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ASIGNATURA: Estadística II

TEMA: Actividad III

PARTICIPANTE: Francisco Rodríguez De Jesús

16-10984

Facilitador: Francisco Bobonagua Mercedes, M.A.

FECHA: 15/09/2019

RECINTO NAGUA

TEMA I

Actividad 1. Realización de un resumen de la unidad (valor 2 puntos) La primera actividad de este curso consiste en realizar un resumen del tema "Introducción a las probabilidades", para realizar esta actividad, le sugiero que leas y estudies el tema en el libro de texto básico completo, luego haga una lista de los conceptos claves de la unidad y elabore su resumen en torno a ello. Introducción a las probabilidades 1.1 Concepto e Importancia. Son medidas numéricas de las posibilidades de que ocurra un evento. En cuanto a la importancia, radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta posible, los imponderables debidos al azar en los más variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana.

1.2 Enfoques de probabilidades. Enfoque clásico, a priori o de Laplace Este enfoque define la probabilidad como un número, determinado de la siguiente forma: P(A)= (n(A))/(n(S)) Dónde: S = Cardinal del espacio maestral S del experimento. N(A) = Cardinal del evento A. La aplicación de este enfoque supone las siguientes condiciones: Trabaja con espacios muéstrales finitos. Los puntos de S deben ser igualmente importantes, esto es, igual peso específico. Enfoque empírico, frecuencia o a posteriori

El enfoque empírico utiliza la frecuencia relativa como una aproximación al valor de la probabilidad de un evento, esto se refiere a un valor empírico de la probabilidad de ocurrencia del evento, la cual es un valor teórico resultante de un cálculo matemático. Es conveniente por lo tanto tener, presente el concepto de frecuencia, como la cantidad de veces que ocurre un evento en un determinado periodo. Ahora bien, las frecuencias pueden ser absolutas o relativas: Frecuencia absoluta: Es el número de veces que se presenta un evento determinado en un experimento. Frecuencia relativa: Es la fracción o porción de veces que se presenta un evento determinado en un experimento. La frecuencia relativa para un evento A esta dada por: fA: (frecuencia absoluta)/(número de ejecuciones del experimento)= (Número de veces que ocurre A)/(Numero de ensayos) fA: nA/n P(A) = lim(n->inf)nA/n Come se puede observar en la expresión anterior, la frecuencia relativa tiende a la probabilidad de ocurrencia del evento en el límite, es decir cuando el experimento se ejecuta un gran número de veces. Enfoque matemático, axiomático o de Kolmogorov. Este enfoque se presenta por medio de tres axiomas, los cuales son la fundamentación d toda la teoría de probabilidad. Axioma 1: 0 < = P(A) < = 1 Esto indica que la probabilidad de ocurrencia de un evento es un número, el cual debe oscilar siempre entre 0 y 1, sin contradecir la definición dada por Laplace en el enfoque clásico. El extremo superior representa la certeza absoluta de la no ocurrencia del evento, mientras que el inferior representa la certeza absoluta de la no ocurrencia del evento. Cualquier otro valor entre 0 y 1 indica incertidumbre acerca de la ocurrencia del evento.

Axioma 2: P(S) = 1 P( ø ) = 0 P(S) representa la probabilidad de ocurrencia de algún resultado cuando se realiza un experimento aleatorio, y de acuerdo con el axioma 1, esta probabilidad debe ser 1. En consecuencia, la probabilidad del evento vacío debe ser 0. Axioma 3: Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades individuales. P(A U B) = P(A) + P(B) La expresión anterior es generalizable a más de dos eventos, así: P(A1 U A2 U A3 U … U An ) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + … + P(An)

1.3 Eventos y sus probabilidades. Un evento es una colección de puntos muestrales, los cuales se clasifican en: Evento cierto.- Un evento es cierto o seguro si se realiza siempre. Ejemplo: Al introducirnos en el mar, en condiciones normales, es seguro que nos mojaremos. Evento imposible.- Un evento es imposible si nunca se realiza. Al lanzar un dado una sola vez, es imposible que salga un 10 Evento probable o aleatorio.- Un evento es aleatorio si no se puede precisar de antemano el resultado. En cuanto a sus probabilidades, están las siguientes: Probabilidad empírica.- Si E es un evento que puede ocurrir cuando se realiza un experimento, entonces la probabilidad empírica del evento E, que a veces se le denomina definición de frecuencia relativa de la probabilidad. Probabilidad teórica.- Si todos los resultados en un espacio muestral S finito son igualmente probables, y E es un evento en ese espacio muestral, entonces la probabilidad teórica del evento E está dada por la siguiente fórmula, que a veces se le denomina la definición clásica de la probabilidad, expuesta por Pierre Laplace en su famosa Teoría analítica de la probabilidad publicada en 1812.

1.4 Experimento, técnicas de conteo y asignación de probabilidades: Multiplicación, combinaciones y permutaciones. En el estudio de la probabilidad, definimos un experimento como un proceso que genera resultados bien definidos. En cualquier repetición siempre de un experimento, ocurrirá uno y solo uno de los posibles resultados experimentales. A continuación vemos algunos ejemplos de experimentos y sus resultados. Reglas de conteo, combinaciones, permutaciones Es un paso necesario en la asignación de probabilidades es poder identificar y contar los resultados experimentales. Regla de conteo para experimentos de etapas múltiples Si un experimento se puede describir como una sucesión de K etapas, en las que hay n1 resultados posibles de la primera etapa, n2 en la segunda, etc.., la cantidad total de resultados experimentales es igual a (n1),(n2)......(nK). Si el experimento de lanzar dos monedas se considera como una sucesión de primero lanzar una moneda (n1=2) y luego lanzar la otra (n2=2), podemos inferir de la regla de conteo que hay (2)(2)=4 resultados experimentales distintos. Como se observa, hay S={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}. El número de resultados experimentales en un experimento que consiste en el lanzamiento d seis monedas es (2)(2)(2)(2)(2)(2)=64 Combinaciones Una segunda regla de conteo que con frecuencia es de utilidad, permite contar la cantidad de resultados experimentales cuando en un experimento se deben seleccionar r objetos entre un conjunto de n objetos (por lo común más grande). Se llama regla de conteo para combinaciones. El orden de los objetos seleccionados no es importante en el orden. Regla de conteo para combinaciones La cantidad de combinaciones de n objetos tomados r a la vez es

1.5 Relaciones básicas de probabilidad: Complemento de un evento y ley de adición. Complemento de un evento. Si el evento A es un subconjunto de un espacio muestral S, el complemento de A contiene los elementos de S que no son miembros de A. El símbolo para el complemento de un evento es A. Ley de adición. Establece que si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad de que uno u otro evento ocurran es igual a la suma de sus probabilidades.

1.6 Probabilidad condicional: eventos independientes y ley de multiplicación. Eventos independientes. Dos eventos son independientes si el resultado del segundo evento no es afectado por el resultado del primer evento. Si A y B son eventos independientes, la probabilidad de que ambos eventos ocurran es el producto de las probabilidades de los eventos individuales. Ley de multiplicación. Establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales.

1.7 Teorema de Bayes: Método tabular y diagrama del árbol. La regla de Bayes es solo una técnica para calcular probabilidades condicionales, y como regla de probabilidad es indiscutible así como su validez. A partir de un conjunto de probabilidades llamadas "a priori" o "sin corregir", calcula un conjunto de probabilidades "a posteriori" o "corregidas" que no son más que una modificación de las primeras ante la evidencia de que un determinado suceso ha ocurrido. Para aclarar estos conceptos, observemos a continuación la diferencia entre el planteo de probabilidad condicional realizado hasta este momento y el de Bayes. Cuando nosotros escribimos:

P(B|A) decimos que esto es la probabilidad de que habiendo ocurrido el suceso A, ocurra B. Probabilidad condicional. El planteo que hace la Regla de Bayes es: el suceso B ha ocurrido, cual es la probabilidad de que provenga de A. Que A sea causa de B. O sea debo hallar P(A|B). De una manera más general podemos decir: El evento B ha ocurrido, cual es la probabilidad de que haya sido generado por el suceso A 1, el A2, etc.; causas posibles y excluyentes entre sí. Sabemos que: P(Ai ∩ B) P(B|Ai ) = P(Ai ) P(Ai ∩ B) P(Ai |B) = P(B) De lo que se deduce: P(Ai |B) × P(B) = P(B|Ai ) × P(Ai ) P(B|Ai ) × P(Ai ) P(Ai |B) = … (α) P(B) Método del Diagrama: En algunas oportunidades con el objeto de sintetizar la información, antes de encarar la resolución de un problema de Bayes, puede convenir la realización de una gráfica o diagrama como se verá a continuación.

Método del Árbol:

P(B|A1 ) P(B´|A1 ) P(B|A2 )

P(A2 )

P(B´|A2 )

...

Ω

P(A1 )

P(An )

P(B|An ) P(B´|An )

Método Tabular:

P(A1 )

P(B|A1 )

P(A1 ) × P(B|A1 )

P(B|A1 ) × P(A1 ) P(B)

A2

P(A2 )

P(B|A2 )

P(A2 ) × P(B|A2 )

P(B|A2 ) × P(A2 ) P(B)

A3

P(A3 )

P(B|A3 )

P(A3 ) × P(B|A3 )

P(B|A3 ) × P(A3 ) P(B)

...

P(An )

An

Sumatori a

1

P(B|An )

P(An ) × P(B|An )

P(B)

...

A1

...

Probabilidades Posteriores

...

Probabilidade s Conjuntas

Sucesos

...

Probabilidade s Previas

Probabilidade s Condicionales

P(B|An ) × P(An ) P(B)

1

Si no tienes experiencia elaborando resúmenes, la información en el siguiente linc te ayudará a elaborar un buen resumen. Probabilidades La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida del grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos previamente enunciados. Si cuenta con las probabilidades, tiene la capacidad de determinar la posibilidad de ocurrencia que tiene cada evento. La importancia de la probabilidad radica en que, mediante este recurso matemático, es posible ajustar de la manera más exacta posible los imponderables debidos al azar en los más variados campos tanto de la ciencia como de la vida cotidiana.

Los valores de probabilidad se encuentran en una escala de 0 a 1. Los valores cercanos a 0 indican que las posibilidades de que ocurra un evento son muy pocas. Los cercanos a 1 indican que es casi seguro que ocurra un evento. Reglas de conteo, combinaciones y permutaciones Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales. A continuación tres reglas de conteo que son muy utilizadas. Experimentos de pasos múltiples La primera regla de conteo sirve para experimentos de pasos múltiples. Considere un experimento que consiste en lanzar dos monedas. Un diagrama de árbol es una representación gráfica que permite visualizar un experimento de pasos múltiples. En la figura 4.2 aparece un diagrama de árbol para el experimento del lanza- miento de dos monedas. La secuencia de los pasos en el diagrama va de izquierda a derecha. Asignación de probabilidades Ahora verá cómo asignar probabilidades a los resultados experimentales. Los tres métodos comúnmente son el método clásico, el método de la frecuencia relativa y el método subjetivos. Sin importar el método que se use, es necesario satisfacer los requerimientos básicos para la asignación de probabilidades. Probabilidades para el proyecto KP&L Para continuar con el análisis del proyecto KP&L hay que hallar las probabilidades de los nueve resultados experimentales enumerados en la tabla 4.1. De acuerdo con la experiencia, los administrativos incluyen que los resultados experimentales no son todos igualmente posibles. Por tanto, no emplean el método clásico de asignación de probabilidades. Eventos y sus probabilidades En la introducción de este capítulo el término evento fue aplicado tal como se usa en el lengua- je cotidiano. Después, en la sección 4.1 se presentó el concepto de experimento y de los correspondientes resultados experimentales o puntos muéstrales. Puntos muéstrales y eventos son la base para el estudio de la probabilidad.

Complemento de un evento Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de todos los puntos muéstrales que no están en A. El complemento de A se denota Ac. Al diagrama de la figura 4.4 se le llama diagrama de Venn e ilustra el concepto del complemento. La ley de la adición La ley de la adición sirve para determinar la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Es decir, si A y B son eventos, nos interesa hallar la probabilidad de que ocurra el evento A o el B o ambos. Probabilidad condicional Con frecuencia, en la probabilidad de un evento influye el hecho de que un evento relacionado con él ya haya ocurrido. Suponga que tiene un evento A cuya probabilidad es P(A). Si obtiene información nueva y sabe que un evento relacionado con él, denotado por B, ya ha ocurrido, deseará aprovechar esta información y volver a calcular la probabilidad del evento A. Eventos independientes En el ejemplo anterior, P(A) 􏰂 0.27, P(A | M) 􏰂 0.30 y P(A | W) 􏰂 0.15. Es claro que a la pro- habilidad de ser promovido (evento A) le afecta o le influye el que el oficial sea un hombre o una mujer. En concreto, como P(A | M) 􏰂 P(A) los eventos A y M son eventos dependientes. Es decir, a la probabilidad del evento A (ser promovido) la altera o le afecta saber que se da el evento M (que el agente sea hombre). De manera similar, como P(A | W) 􏰂 P(A), los eventos A y W son eventos dependientes. Pero, si la probabilidad de un evento A no cambia por la existencia del evento M —es decir, si P(A | M) 􏰂 P(A)—, entonces los eventos A y M son eventos independientes. Esto lleva a la definición de la independencia de dos eventos. Ley de la multiplicación Mientras que la ley de las suma de probabilidades sirve para calcular la probabilidad de la unión de dos eventos, la ley de la multiplicación es útil para calcular la probabilidad de la intersección de dos eventos. La ley de la multiplicación se basa en la definición de probabilidad condicional. Al despejar en las ecuaciones (4.7) y (4.8) P(A 􏰂 B), se obtiene la ley de la multiplicación.

Teorema de Bayes En el estudio de la probabilidad condicional vio que revisar las probabilidades cuando se obtiene más información es parte importante del análisis de probabilidades. Por lo general, se suele iniciar el análisis con una estimación de probabilidad inicial o probabilidad previa de los eventos que interesan. Después, de fuentes como una muestra, una información especial o una prueba del producto, se obtiene más información sobre estos eventos.