Actividad evaluativa eje 1

Actividad evaluativa eje 1 JORGE ALEJANDRO TORRES, Fundación Universitaria Areandina CÁLCULO MULTIVARIADO – FUNCIONES

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Actividad evaluativa eje 1

JORGE ALEJANDRO TORRES,

Fundación Universitaria Areandina CÁLCULO MULTIVARIADO – FUNCIONES VECTORIALES Agosto, 2020

Introducción De acuerdo a lo que se ve en las funciones vectoriales donde una función transforma un número real en un vector. Esperamos en este trabajo tener más claridad sobre el concepto y los mecanismos para llegar a solucionar dichos ejercicios y así mismo poder aplicar los conocimientos en los momentos que se requieran.

Objetivo El objetivo principal de este tema es poder aclarar todas las dudas y tener los conceptos básicos al momento de realizar los problemas que se presenta y también utilizarlos en cualquier momento de la vida cotidiana que esta lo requiera. Tener claro como es el interpretar una función vectorial y resolver problemas físicos.

Ejercicio 1 1. 2

2

x = t + t , y = t , p (2,4) y= t  t =  2

2

x= t + t =y 

y y , x= y 

y

1 2 y ) y´ y´ = (1 

1 = y´ 

1 1 y´=

1 2 y

1 4 y´ x  2   1 3 y  4 1 2 4

4 4 8 4 8 y  4  ( x  2)  x  , y  x   4 3 3 3 3 3 y

4 4 x 3 3 , Ecuación recta tangente en P (2,4)

Gráfica

2. R (t )  ln(cos t )i  ln( sent ) j

R´(t ) 

sent sent i j   tan ti  cot tj cos t cos t

 R´(t )  (

 sent 2 cos t 2 sen 2t cos 2 t ) ( )   cos t sent cos 2 t sen 2t

 R´(t )  (

 sent cos t 2 sen 4t cos 2 t )( )   cos t sent cos 4 t sen 2t

 R´(t ) 

sen 4t  cos 4 t  cos 2 tsen 4t

R´(t ) T (t )    R´(t ) 

T (t ) 

(

sen 4t  cos 4 t sent cos t

 sent cos t , ) cos t sent sen4t  cos 4 t sent cos t

 sen 2t sen 4t  cos 4 t

i

Vector tangente unitario

 cos 2 t sen 4t  cos 4 t

j

1  1  sen 4t  cos 4 t 2 cos tsent  cos 2 t ( sen 4t  cos 4 t ) 2 (4sen3t cos t  4 cos3 tsent ) j 2 T ´(t )  ( sen 4t  cos 4 t ) 2 +

N (t ) 

T ´(t ) T ´(t ) 

Vector normal unitario

3. V (t )  2 senti  4 cos tj , t  0

x  2sent , y  cos t , z  t t x y z

Gráfica:

0 0 4 0

 /2



3 / 2

2

5 / 2

3

7 / 2

4

2 0

0 -4

-2 0

0 4

2 0

0 -4

-2 0

0 4

 /2



3 / 2

2

5 / 2

3

7 / 2

4

1   t  r (t )  ( x(t ), y (t ))   t  2,  t2  4. Determine el dominio de la función 1   y (t )   t  2,  t2  t  2  0  t  2, t  2  0, t  2

Df   t  R / t  2

    5. Determine la imagen de R (t )  ti  tj  3sentk , 0  t  2 t x y z

0 0 0 0

 /2  /2  /2

  

3 / 2 3 / 2 3 / 2

2 2 2

5 / 2 5 / 2 5 / 2

3 3 3

7 / 2 7 / 2 7 / 2

4 4 4

3

0

-3

0

3

0

-3

0

 1 ˆ R (t )  (2t  3)iˆ  sentjˆ  k t  1 determine: 6

 R´(t )  (2, cos t , a.

b.

1 ) (t  1) 2

 R (0)  (2,1, 1)



1

0

1

R (t )dt   (2t  3, sent , 0

 (t 2 ,  cos t , ln(t  1))

4 )dt t 1

1 0

 (1, cos1, ln 2)  (0, 1ln1)  (1,1  cos1, ln 2)

7. Calcule integral. 1

(

t  1, cos  t ,  t )dt

0

3 2 sen t 2 32 2  ( (t  1) , , t ) 3  3

1 0

2 3 sen 2 2  ( (2) 2 , , )  ( , 0,0) 3  3 3 2 2  ( ( 8  1), 0, ) 3 3

8. Determine la longitud de arco de:

 R´(t )  (t  sent ,1  cos t ), 0  t  2  R´(t )  (1  cos t , sent )

R´(t )  (cos t ) 2  sen 2t  1  2 cos t  cos 2 t  sen 2t  2(1  cos t ) L

2

2(1  cos t )dt  

0

2

0

L  2

2

0

2 sen 2t dt 1  cos t

U  1  cos t

sent dt 1  cos t 1 2

L   2  u du  2 2 1  cos t L  2 2(  2  2)  8

du   sentdt 2 0

ˆ ˆ 9. Una partícula parte del reposo en (0,1,1) y se mueve con aceleración a  i  j . Encuentre la ubicación de la partícula en t  2

r (0)  (0,1,1)

a (t )  (1,1, 0) dv(t )  (1,1, 0) dt

 dv(t )   (1,1, 0)dt  (t , t , 0)  c v(t )  (t , t ,0)  c

0  (0, 0, 0)  c,

c0

v (t )  (t , t , 0)

1 1 r (t )   (t , t , 0)dt  ( t 2 , t 2 , 0)  c 2 2 r (0)  (0, 0, 0)  c  (0,1,1), c  (0,1,1)

1 1 r (t )  ( t 2 , t 2 , 1,1) 2 2 r (2)  (2,3,1) Conclusiones Se realiza este trabajo y se llega a la conclusión de lo importante que es entender el tema de funciones vectoriales, debido a que entendiendo todo lo relacionado con las ecuaciones y sus derivadas nos puede aportar para ir adquiriendo más conocimiento que seguro se aplicara en algún momento en la vida diaria. Fuentes http://hermes22.yolasite.com/resources/MB148_semana2_2012_II.pdf https://www.youtube.com/watch?v=JcYe0u_VwaU