Actividad evaluativa eje 1 JORGE ALEJANDRO TORRES, Fundación Universitaria Areandina CÁLCULO MULTIVARIADO – FUNCIONES
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Actividad evaluativa eje 1
JORGE ALEJANDRO TORRES,
Fundación Universitaria Areandina CÁLCULO MULTIVARIADO – FUNCIONES VECTORIALES Agosto, 2020
Introducción De acuerdo a lo que se ve en las funciones vectoriales donde una función transforma un número real en un vector. Esperamos en este trabajo tener más claridad sobre el concepto y los mecanismos para llegar a solucionar dichos ejercicios y así mismo poder aplicar los conocimientos en los momentos que se requieran.
Objetivo El objetivo principal de este tema es poder aclarar todas las dudas y tener los conceptos básicos al momento de realizar los problemas que se presenta y también utilizarlos en cualquier momento de la vida cotidiana que esta lo requiera. Tener claro como es el interpretar una función vectorial y resolver problemas físicos.
Ejercicio 1 1. 2
2
x = t + t , y = t , p (2,4) y= t t = 2
2
x= t + t =y
y y , x= y
y
1 2 y ) y´ y´ = (1
1 = y´
1 1 y´=
1 2 y
1 4 y´ x 2 1 3 y 4 1 2 4
4 4 8 4 8 y 4 ( x 2) x , y x 4 3 3 3 3 3 y
4 4 x 3 3 , Ecuación recta tangente en P (2,4)
Gráfica
2. R (t ) ln(cos t )i ln( sent ) j
R´(t )
sent sent i j tan ti cot tj cos t cos t
R´(t ) (
sent 2 cos t 2 sen 2t cos 2 t ) ( ) cos t sent cos 2 t sen 2t
R´(t ) (
sent cos t 2 sen 4t cos 2 t )( ) cos t sent cos 4 t sen 2t
R´(t )
sen 4t cos 4 t cos 2 tsen 4t
R´(t ) T (t ) R´(t )
T (t )
(
sen 4t cos 4 t sent cos t
sent cos t , ) cos t sent sen4t cos 4 t sent cos t
sen 2t sen 4t cos 4 t
i
Vector tangente unitario
cos 2 t sen 4t cos 4 t
j
1 1 sen 4t cos 4 t 2 cos tsent cos 2 t ( sen 4t cos 4 t ) 2 (4sen3t cos t 4 cos3 tsent ) j 2 T ´(t ) ( sen 4t cos 4 t ) 2 +
N (t )
T ´(t ) T ´(t )
Vector normal unitario
3. V (t ) 2 senti 4 cos tj , t 0
x 2sent , y cos t , z t t x y z
Gráfica:
0 0 4 0
/2
3 / 2
2
5 / 2
3
7 / 2
4
2 0
0 -4
-2 0
0 4
2 0
0 -4
-2 0
0 4
/2
3 / 2
2
5 / 2
3
7 / 2
4
1 t r (t ) ( x(t ), y (t )) t 2, t2 4. Determine el dominio de la función 1 y (t ) t 2, t2 t 2 0 t 2, t 2 0, t 2
Df t R / t 2
5. Determine la imagen de R (t ) ti tj 3sentk , 0 t 2 t x y z
0 0 0 0
/2 /2 /2
3 / 2 3 / 2 3 / 2
2 2 2
5 / 2 5 / 2 5 / 2
3 3 3
7 / 2 7 / 2 7 / 2
4 4 4
3
0
-3
0
3
0
-3
0
1 ˆ R (t ) (2t 3)iˆ sentjˆ k t 1 determine: 6
R´(t ) (2, cos t , a.
b.
1 ) (t 1) 2
R (0) (2,1, 1)
1
0
1
R (t )dt (2t 3, sent , 0
(t 2 , cos t , ln(t 1))
4 )dt t 1
1 0
(1, cos1, ln 2) (0, 1ln1) (1,1 cos1, ln 2)
7. Calcule integral. 1
(
t 1, cos t , t )dt
0
3 2 sen t 2 32 2 ( (t 1) , , t ) 3 3
1 0
2 3 sen 2 2 ( (2) 2 , , ) ( , 0,0) 3 3 3 2 2 ( ( 8 1), 0, ) 3 3
8. Determine la longitud de arco de:
R´(t ) (t sent ,1 cos t ), 0 t 2 R´(t ) (1 cos t , sent )
R´(t ) (cos t ) 2 sen 2t 1 2 cos t cos 2 t sen 2t 2(1 cos t ) L
2
2(1 cos t )dt
0
2
0
L 2
2
0
2 sen 2t dt 1 cos t
U 1 cos t
sent dt 1 cos t 1 2
L 2 u du 2 2 1 cos t L 2 2( 2 2) 8
du sentdt 2 0
ˆ ˆ 9. Una partícula parte del reposo en (0,1,1) y se mueve con aceleración a i j . Encuentre la ubicación de la partícula en t 2
r (0) (0,1,1)
a (t ) (1,1, 0) dv(t ) (1,1, 0) dt
dv(t ) (1,1, 0)dt (t , t , 0) c v(t ) (t , t ,0) c
0 (0, 0, 0) c,
c0
v (t ) (t , t , 0)
1 1 r (t ) (t , t , 0)dt ( t 2 , t 2 , 0) c 2 2 r (0) (0, 0, 0) c (0,1,1), c (0,1,1)
1 1 r (t ) ( t 2 , t 2 , 1,1) 2 2 r (2) (2,3,1) Conclusiones Se realiza este trabajo y se llega a la conclusión de lo importante que es entender el tema de funciones vectoriales, debido a que entendiendo todo lo relacionado con las ecuaciones y sus derivadas nos puede aportar para ir adquiriendo más conocimiento que seguro se aplicara en algún momento en la vida diaria. Fuentes http://hermes22.yolasite.com/resources/MB148_semana2_2012_II.pdf https://www.youtube.com/watch?v=JcYe0u_VwaU