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Actividad de aprendizaje # 9 Ejercicios Nombre: Danny Pachacama Carrera: Ing. Mecánica NRC: 2800 Nombre del profesor: Ramiro Alejandro Yerovi Vargas

1. Utilizando el teorema de existencia y unicidad de punto fijo determine si la función (x^2) − 2 tiene puntos fijos y si son únicos. 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 − 2

Utilizando el teorema de existencia y unicidad tenemos: 𝑥 −2=𝑥 𝑥 −𝑥−2=0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0 →𝒙=𝟐 → 𝒙 = −𝟏 𝒇(𝟐) = 𝟐 𝒇(−𝟏) = 𝟏 Entonces se dice que la función f(x) tiene dos puntos fijos, los cuales son 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = −1.

2. Utilizando el teorema de existencia y unicidad de punto fijo determine si la función 3^-x tiene puntos fijos y si son únicos. 𝑓 (𝑥 ) = 3

En el intervalo [0,1] Su derivada es negativa en este intervalo: 𝑔 (𝑥) = −3

∗ ln(3) < 0 𝑒𝑛 [0,1] → 𝑔(𝑥 )𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 [0,1]

𝑔(1) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 𝑔(0) 𝑒𝑛 [0,1] →

1 ≤ 𝑔(𝑥 ) ≤ 1 𝑒𝑛 [0,1] 3

Esto nos asegura la existencia de algún punto fijo en 𝑔(𝑥)𝑒𝑛 [0,1] Y puesto que 𝑔 (0) = − ln(3) = −1.098612, que no en menor que 1, no es posible utilizar el teorema de la unicidad del punto fijo. Sin embargo, la unicidad del punto fijo la deducimos que la función es decreciente. (La grafica de g(x) solo puede cortar a la diagonal una vez).

3. Consulte el error del método de punto fijo. Dada la aproximación

, la siguiente iteración se calcula con la fórmula:

Supongamos que la raíz

verdadera es, es decir,

restando las

últimas ecuaciones obtenemos: Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que si en

y diferenciable en

entonces existe

es continua

tal que

. En nuestro caso, existe

en el intervalo determinado por

De aquí tenemos que:

y

tal que:

o bien,

tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el

término

ésima iteración,

es precisamente el error absoluto en la

mientras que el término

corresponde al error absoluto en la

ésima

iteración. Por lo tanto, solamente si

, entonces se disminuirá el error en la siguiente

iteración. En caso contrario, el error irá en aumento.

Referencias Bibliográficas Ayuda de Matlab: Anónimo. Recuperado de http://noosfera.indivia.net/metodos/puntoFijo.html internet, T. d. (13 de enero de 2021). Tecnologias de internet en la enseñanza de la matematica. Obtenido de https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/HERRAmInternet/ecuaexecl/node6.html