• Author / Uploaded
• Gerson Albeiro RODRIGUEZ CORREA

Citation preview

ACTIVIDAD 7 “RESUMEN DE LA FUNCION EXPONENCIAL Y LA FUNCION LOGARITMICA”

Fundamentos de Matemáticas NRC: 8887

Presentado por: Wendy Snayderin Vergara Rodríguez, ID: 736479 Stefany Alexandra Guillen Gómez, ID: 724976 Gerson Albeiro Rodríguez Correa, ID: 726619

Presentado a: Ing. Luis Frenando Fossi Becerra

Corporación Universitaria Minuto de Dios Ciencias Económicas Contaduría Pública– COPD San José de Cúcuta 2019

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

1. Función Exponencial Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de base una constante a. Su expresión es:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y cuando a > 1, es una función creciente.

1.1.

Características de la función exponencial:



Dominio:

={-∞,+∞}

El dominio son todos los números reales. 

Recorrido:

={0,+∞}

El recorrido son todos los números reales positivos. 

Es inyectiva, es decir a elementos distintos del conjunto (dominio) les

corresponden elementos distintos en el conjunto (codominio). 

Es una función continua.



Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es creciente. En cambio, si a es

menor que 1 (a < 1), la función es decreciente.



La imagen de 0 siempre es 1 y la imagen de 1 es a.

𝑓 (0) = 𝑎 0 = 1 𝑓 (1) = 𝑎 1 = 𝑎 Así pues, las funciones exponenciales siempre pasan por los puntos (0, 1) y (1, a).

1.2.

Propiedades de la función exponencial:

1.3.

Ejercicios de función exponencial:



Representar la función 𝑓(𝑥) = 4𝑥 , y determinar el dominio y el codominio

Dominio:

= {-∞,+∞}; El dominio son todos los números reales.

Codominio o Recorrido:

= {0,+∞}; El recorrido son todos los números

reales positivos. 

Representar la función 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 + 3, determinar el dominio, el codominio

y la asíntota.

Dominio:

= {-∞,+∞}; El dominio son todos los números reales.

Codominio o Recorrido: = {3,+∞}; El recorrido son todos los números reales positivos. Asíntota horizontal: 𝑦 = 3

1.4.

Aplicación de las funciones exponenciales en las Ciencias

Económicas:

1.4.1. Interés

compuesto:

El interés

compuesto representa

el costo

del

dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial C0 principal a una tasa de interés i durante un período de tiempo n, en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período

de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final resultante Cn. Para un período determinado sería: Capital final (Cn) = capital inicial (C0) más los intereses. Ejemplo: Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual). Año

Depósito

Interés

Saldo final

inicial 0 (inicio)

$1.000.000

($1.000.000 x 10% = ) $100.000

$1.100.000

1

$1.100.000

($1.100.000 × 10% = ) $110.000

$1.210.000

2

$1.210.000

($1.210.000× 10% = ) $121.000

$1.331.000

3

$1.331.000

($1.331.000 × 10% = ) $133.100

$1.464.100

4

$1.464.100

($1.464.100 × 10% = ) $146.410

$1.610.510

5

$1.610.510

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final. Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general: La fórmula para calcular el interés compuesto:

Cn = C0 (1 + i)n Siendo C0 el capital inicial prestado, i la tasa de interés, n el periodo de tiempo considerado y Cn el capital final resultante. Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a:

𝒊=(

𝒕𝒂𝒔𝒂 % ) 𝟏𝟎𝟎

1.4.2. Crecimiento y decrecimiento de utilidades: Muchos de los problemas de utilidades pueden ser fácilmente resueltos tomando como base la fórmula del interés compuesto.

1.4.2.1.

Crecimiento de utilidades:

Un = U0 (1 + i)n

Ejemplo: Una empresa tiene para el año 2004 $150 millones de pesos y crecen con un 25% anual. ¿Cuál será la utilidad en los próximos 5 años?

AÑO

FORMULA

UTILIDAD

0

𝑈𝑛 = 150(1 + 0,25)𝑛

$150

1

𝑈 = 150(1 + 0,25)1

$187,5

2

𝑈 = 150(1 + 0,25)2

$234,37

3

𝑈 = 150(1 + 0,25)3

$292,96

4

𝑈 = 150(1 + 0,25)4

$366,21

5

𝑈 = 150(1 + 0,25)5

$457,76

Gráfica:

1.4.2.2.

Decrecimiento de utilidades:

Un = U0 (1 - i)n

Ejemplo: Suponiendo que una empresa pasa por un mal momento en el que sus utilidades experimentan una baja anual del 5%. ¿Cuál será su utilidad para los próximos 5 años si su utilidad inicial era de 48 millones?

AÑO

FORMULA

UTILIDAD

0

𝑈𝑛 = 48(1 − 0,05)𝑛

$48

1

𝑈 = 48(1 − 0,05)1

$45,6

2

𝑈 = 48(1 − 0,05)2

$43,32

3

𝑈 = 48(1 − 0,05)3

$41,154

4

𝑈 = 48(1 − 0,05)4

$39.096

5

𝑈 = 48(1 − 0,05)5

$37,141

Gráfica:

2.

Función Logarítmica

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces es una función creciente.

2.1.

Características de la función logarítmica



Dominio:

={0,+∞}

El dominio son todos los números reales positivos. 

Recorrido:

={-∞,+∞}

El recorrido son todos los números reales. 

Las funciones logarítmicas son continuas.



Es inyectiva, es decir a elementos distintos del conjunto (dominio) les

corresponden elementos distintos en el conjunto (codominio)



Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En

cambio, si a es menor que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.



La imagen de 1 siempre es 0 y la imagen de a es 1.

𝑓 (𝑥) = log 𝑎 1 = 0 𝑓 (𝑥) = log 𝑎 𝑎 = 1 Así pues, las funciones logarítmicas siempre pasan por los puntos (1, 0) y

(a, 1).



No existe el logaritmo de un número con base negativa: 𝐥𝐨𝐠 −𝒂 𝒙



No existe el logaritmo de un número negativo: 𝐥𝐨𝐠 𝒂 ( −𝒙)



No existe el logaritmo de cero: 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟎



El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente:

𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒂𝒏 = 𝒏 2.2.

Propiedades de la función logarítmica:

Todas las funciones logarítmicas cumplen las siguientes propiedades: 

Función logarítmica del producto:

𝑓 (𝑥 ∗ 𝑦) = log 𝑎 (𝑥 ∗ 𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 

Función logarítmica de la división:

𝑥 𝑥 𝑓 ( ) = log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 𝑦 𝑦 

Función logarítmica del inverso multiplicativo:

1 1 𝑓 ( ) = log 𝑎 ( ) = −log 𝑎 𝑥 𝑥 𝑥 

Función logarítmica de la potencia:

𝑓 (𝑥 𝑦 ) = log 𝑎 ( 𝑥 𝑦 ) = 𝑦 log 𝑎 𝑥 

Función logarítmica de una raíz:

𝑛

𝑛

𝑓( √𝑥 ) = log 𝑎 ( √𝑥 ) = 

1 log 𝑎 𝑥 𝑛

El exponente es un logaritmo:

𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 

Sean

dos

números

reales a y b,

siendo a ≠ 1.

El logaritmo

en

base a de b es el elemento al que hay que elevar el número a para que dé como

resultado el número b. log 𝑎 (𝑏) = 𝑐



»

𝑎𝑐 = 𝑏

Cuando el logaritmo es en base 10 (a = 10), se llama logaritmo decimal y

no se suele escribir la base: f(x) = log x. También se llaman logaritmos comunes. Algunos logaritmos decimales:



Normalmente, cuando no se especifica la base, se entiende como función

logarítmica la que tiene de base el número e (a = e = 2,7182818…). En este caso se llama logaritmo neperiano o logaritmo natural y suele escribirse: f(x) = ln x. Propiedades del logaritmo natural:



Cambio de base:

log 𝑏 𝑎 = log 𝑎 𝑥 = log 𝑏 𝑎 =

log 𝑐 𝑎 log 𝑐 𝑏

log 𝑥 ln 𝑥 = log 𝑎 ln 𝑎

1 »» (log 𝑎 𝑏)( log 𝑏 𝑎) = 1 log 𝑎 𝑏 ln 𝑦 = 2,3026 log 𝑦



Relación entre logaritmos naturales y logaritmos decimales:

Conocido el logaritmo decimal de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo neperiano es:

ln 𝑥 =

log 𝑥 log 𝑒

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 log 𝑒 = 0,434294 …

Conocido el logaritmo neperiano de un número, la fórmula que permite obtener su logaritmo decimal es:

log 𝑥 =

ln 𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 ln 10 = 2,302585 … ln 10

2.3.

Ejercicios de función logarítmica:



Graficar las funciones indicadas y determinar el dominio y el codominio de

cada una:

Función

Dominio

Codominio

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙

D={0,+∞}

C={-∞,+∞}

𝒈(𝒙) = 𝐥𝐧 𝒙

D={0,+∞}

C={-∞,+∞}

𝒉(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟏𝟎 𝒙

D={0,+∞}

C={-∞,+∞}

Gráfica:

2.4.

Relación inversa entre la función exponencial y la función logarítmica

Dada los siguientes ejemplos:

𝒂𝒙 = 𝒃 ≫ 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝒙 32 = 9 ≫ log 3 9 = 2 34 = 81 ≫ log 3 81 = 4 La función exponencial en una base cualquiera y la función logarítmica en la misma base son funciones inversas.

2.5.

Aplicación de las funciones logarítmicas en las Ciencias

Económicas: Las funciones logarítmicas se utilizan para solucionar cualquier tipo de ecuación exponencial donde el exponente sea una variable desconocida. Si aplicamos este concepto a las aplicaciones de las funciones exponenciales quedarían de la siguiente forma;

2.5.1. Interés compuesto: La fórmula para calcular el interés compuesto:

Cn = C0 (1 + i)n Siendo C0 el capital inicial prestado, i la tasa de interés, n el periodo de tiempo considerado y Cn el capital final resultante. Si se requiere despejar el valor de n:

Procedimiento

Paso a paso

𝑪𝒏 = 𝑪𝟎 (𝟏 + 𝒊)𝒏

Formula inicial

𝐶𝑛 = (1 + 𝑖)𝑛 𝐶0

Se pasa a dividir el capital inicial.

𝐶𝑛 ) = log(1 + 𝑖)𝑛 𝐶0

Se aplica logaritmo a ambos lados.

log (

𝐶𝑛 log ( ) = 𝑛 log(1 + 𝑖) 𝐶0 𝑪𝒏 ) 𝑪𝟎 𝒏= 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒊) 𝐥𝐨𝐠 (

Se aplica la propiedad de la potencia de un logaritmo. Se despeja la n, periodo de tiempo. 𝒕𝒂𝒔𝒂 %

Recordando que: 𝒊 = (

𝟏𝟎𝟎

)

2.5.2. Crecimiento y decrecimiento de utilidades: Muchos de los problemas de utilidades pueden ser fácilmente resueltos tomando como base la fórmula del interés compuesto.

2.5.2.1.

Crecimiento de utilidades:

Un = U0 (1 + i)n

De igual manera se puede despejar el valor de n y quedaría así:

𝑼𝒏 ) 𝑼𝟎 𝒏= 𝐥𝐨𝐠(𝟏 + 𝒊) 𝐥𝐨𝐠 (

2.5.2.2.

Decrecimiento de utilidades:

Un = U0 (1 - i)n

De igual manera se puede despejar el valor de n y quedaría así:

𝑼𝒏 ) 𝑼𝟎 𝒏= 𝐥𝐨𝐠(𝟏 − 𝒊) 𝐥𝐨𝐠 (

3.

Solución de Ecuaciones Exponenciales con Logaritmos

Depende del tipo de ecuación exponencial del que se trate y por su nivel de complejidad hay diversas formas de resolverlas, las más comunes son: 

Reducción a una base común: Si ambos miembros de una ecuación se

pueden representar como potencias de base común a donde a es un número positivo, distinto de 1. Se busca una igualdad entre las potencias y se igualan los exponentes para obtener una ecuación.

Ejemplo: Ecuación

Paso a paso

9𝑥 − 27 = 0 (32 )𝑥 − 33 = 0

Se escribe tanto el 9 como el 27 como potencia con una misma base.

32𝑥 − 33 = 0 32𝑥 = 33

Se aplican las propiedades de las potencias. Se escribe en forma de igualdad entre potencias de la misma base:

2𝑥 = 3 𝑥=



Se igualan los exponentes para obtener una ecuación.

3 2

Solución de la ecuación exponencial.

Reducible a cuadrática o cambio de variable: Se trata de pasar la

ecuación exponencial a una ecuación cuadrática haciendo un cambio de variable: Ejemplo: Ecuación

Paso a paso

2 ∗ 9𝑥 − 3(𝑥+1) − 2 = 0 2 ∗ (3𝑥 )2 − 3 ∗ 3𝑥 − 2 = 0 2𝑈 2 − 3𝑈 − 2 = 0

Se aplica la propiedad de los exponentes Se dice que 𝑈 = 3𝑥 , y se hace cambio de variable.

(𝑈 − 2)(2𝑈 + 1) = 0

Se

resuelve

la

ecuación

cuadrática

obtenida con el método deseado. 𝑈1 = 2 » 𝑈2 = −

1 2

Se tiene dos posibles respuestas, pero la respuesta 𝑼𝟐 por ser negativa es imposile porque 𝟑𝒙 > 𝟎, por lo tanto la respuesta es 𝑼𝟏 .

3𝑥 = 2 𝑥 = log 3 2 = (

ln 2 log 2 )=( ) = 0,6309 ln 3 log 3

Por lo tanto reemplazando el valor de U. Como son de bases diferentes se aplica el logaritmo resolverla.

y

sus

propiedades

para



Bases diferentes, aplicación de logaritmos: Si no tenemos potencias con

la misma base, la solución de la ecuación suele ser un logaritmo. Para trabajar estas ecuaciones, se deben utilizar las propiedades de los logaritmos. Ejemplo: Ecuación

Paso a paso

4(𝑥+1) = 15 log 4 15 = 𝑥 + 1

Se aplica el logaritmo y sus propiedades recordando que: 𝒂𝒙 = 𝒃 ≫ 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝒙

𝑥=

𝑥 = log 4 15 − 1

Se despeja la variable x

log 15 − 1 = 0,9534 log 4

Se puede aplicar cambio de base y se resuelve el la calculadora.