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• Isabel Muñoz

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Matemáticas   

Quinto Semestre     

Análisis Matemático I     

Actividades    Unidad 1.  Espacios Vectoriales     

Clave  05143528/06143528     

  México D.F. Enero 2020      

Universidad Abierta y a Distancia de México     

 

  Actividad  4. Espacios vectoriales, normas, distancia y topología.    1. Demuestre que un intervalo abierto en los números reales es un conjunto abierto y un intervalo cerrado es un conjunto cerrado.  2. Sea X=(X, d) un espacio métrico . Prueba que para cualquiera w, x, y, z ÎX, se cumple que  

|d(w,x)−d(y,z)|≤d(w,y)+d(x,z)   3. Prueba que  ‖x‖∞≔max{|x1 |, …, |xn|}     donde   x=(x1 ,…,xn )∈Rn, es una norma  en Rn.   4. Sea la matriz 

A=[11.000122]  calcule 

∥A∥∞    y   ∥A−1∥∞     y calcule la condición de la matriz A        K(A)=∥A∥⋅∥A−1∥   5. Describe los conjuntos  Bp−(0,1)≔ {x∈R2:‖x‖p≤1}   para  p=1, 2, ∞.  Haz un dibujo para cada uno de ellos.  6. Demuestre que  ∥x+y∥2−∥x+y∥2=4   7. Sea el radio espectral de  ρ(A)=max|λ|  donde  λ  es un valor característico de  A.  Si se considera  

A=⎡⎣⎢11−1121012⎤⎦⎥     a. Calcule 

A TA   b. Calcule el polinomio racterístico   P(λ)=∣∣ATA−λI∣∣  para calcular los eigenvalores   c. calcule 

∥A∥2=ρ(ATA)−−−−−−−√   8. Determine todos los puntos de acumulación de los siguientes conjuntos de números reales y decida si los conjuntos son abiertos o cerrados (o ninguno de los dos).  a. Todos los enteros. 

b. El intervalo (a,b].  c. A=(1,7]  d. B=x/x∈R∧x2