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• DarwinNestorArapaQuispe

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3.

En una división inexacta, el dividendo es múltiplo del divisor, más el residuo por defecto, o menos el residuo por exceso. 

* 58 = 7 + 



=

7– 





I. DEFINICIÓN

* 215 = 4 + 

=

4– 

Se dice que “A” es divisible por “B”, si al dividir A entre B la división resulta exacta y el cociente entero. Por ejemplo, 42 es divisible por 6, dado que 42 6 0 7

* 32507 = 5 +  =

5– 

división exacta

cociente entero

De donde: 42 = 6 (7)





* 1000 = 13 +  = 4.





13 – 

Principio de Arquímedes: 

También se puede decir que:

Si el producto de dos números es n y uno de ellos no admite divisores comunes con n, entonces el otro es

es múltiplo de



42

6

n. 



*4a = 9

es divisor de

II. NOTACIÓN Para denotar que A es divisible por B, escribiremos: A es múltiplo de B

a = .....

* 6 b = 15

b = ......

IV. CRITERIOS GENERALES DE DIVISIBILIDAD





A = B B es divisor de A 

A = B  K, donde K  

En general, si: A = B



Observemos por ejemplo, los múltiplos de 7:

* abcd = 2



7 = 7,

Divisibilidad por 2n y 5n. Un número es divisible por 2n ó por 5n, si sus “n” últimas cifras son ceros, o forman un múltiplo de 2n ó 5n respectivamente.



14,

21,

28,

35, ...

* abcd = 5

72

73

74

75

* abcd = 4



71





* abcd = 25

7 =7K ; K



Además debemos tener en cuenta que: El cero es múltiplo de todos los números. La unidad es divisor de todos los números.

* abcd = 8 

* abcd = 125 

III. PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD 

1.







nnn





* 7  7 

Divisibilidad por 3 y 9. Un número es divisible por 3 o por 9, si la suma de sus cifras es



* 5  5 

respectivamente. 



2.







n  K  n , ó K , ó (n  K)



* 35 

* abcd = 3

 



* abcd = 9



-1– Av. Universitaria 1875 Teléfono: 261-8730





3

ó 9



son casados; en cuanto al personal femenino es la séptima parte del personal masculino”. ¿Cuál es la totalidad del personal?

Divisibilidad por 11. Se aplican los restos potenciales de 11: +1, -1, +1, -1, +1, -1,  

Si por ejemplo:

a b c d e  11

6.

A una reunión a la que asistieron 149 personas se observó que la séptima parte de los varones tenían bigote, la cuarta parte de las mujeres usaban falda y la sexta parte de ellas usaban pantalón. ¿Cuántas mujeres no usaban falda ni pantalón?

7.

Se tienen las cifras 2; 3; 5; 6 y 0. ¿Cuántos números de cuatro cifras múltiplos de 25 se pueden formar utilizando únicamente dichas cifras ?

8.

Los números de la forma: ab (2a) (2b) siempre son

+ -+ -+ 

 + a - b + c - d + e = 11 

Divisibilidad por 7. Se aplican los restos potenciales de 7: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1, -3, -2,  

Si por ejemplo:

a b c d ef g  7 1 -2 -3 -1 2 3 1



 a - 2b -3c - d + 2e + 3f + g = 7 

divisibles por :

Divisibilidad por un número compuesto. Si un número “A” es divisible por otro número “B”, también será divisible por cada uno de los factores de “B”. Por ejemplo: 

* Si:

N = 36



 N



9.

Hallar “a” si: 5a6a4 = 23

10. ¿Cuántos valores puede tomar “a” , si N es múltiplo de 9? 23 23 23  N= a  a a   

9 

179 cifras

4

11. ¿Cuántos números de 2 cifras cumplen, que al ser divididos entre 5 y 9 dejan como residuos 4 y 6 respectivamente?





* Si:

N = 42

2

 N



3 

7



12. Si: 4aa8  7 , ¿cuántos valores puede tomar “a”? 13. Hallar “x” para que: 9  8  7  6 1  sea divisible por 11.

1.

¿Cuántos números de 2 cifras son divisibles por 6?





14. Hallar: a + b – c, si: abc = 45 y ca = 8 2.

¿Cuántos números de 3 cifras no son múltiplos de 15?

3.

¿Cuántos números de 4 cifras, que terminan en 2,

15. Hallar “a” , si: 

202a025 = 1  3  5  ...

son 6 ? 

4.

Del 1 al 840, ¿cuántos números son divisibles por 8, pero no por 5?

16. Si: 5a10b = 72 , hallar a  b. 17. Si el número: xyx2y es múltiplo de 99, hallar x + y.

5.

Un gerente al ser preguntado por el número de personas que trabajan en su empresa contestó: “El personal masculino está comprendido entre 200 y 280, la cuarta parte de ellos usan anteojos y la tercera parte -2–

18. El número (a  7) a (a  2) no es múltiplo de: A) 4

B) 5

C) 9

D) 23

E) 10

Divisibilidad

19. Si al cuadrado de un número de 2 dígitos diferentes se le resta el cuadrado del número formado por los 2 dígitos en orden invertido, el resultado es divisible por: A) 7. B) el producto de los dígitos. C) la suma de los cuadrados de los dígitos. D) la diferencia de los dígitos. E) 13. 20. La menor cifra que se debe escribir a la derecha de 533, para obtener un número que sea múltiplo de 6 es:

1.

Si a un número de 3 cifras se le resta el mismo número pero con las cifras invertidas, la diferencia es divisible necesariamente por: A) 7 B) 2 C) 5 D) 11 E) 13

2.

¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 13? A) 67 B) 68 C) 69 D) 70 E) más de 70

3.

¿Cuántos números de 3 cifras que terminan en 1, son múltiplos de 7? A) 10 B) 9 C) 8 D) 12 E) 13

4.

¿Cuántos números de 4 cifras hay tales que al disminuirles 10 unidades, sean múltiplos de 9? A) 1000 B) 950 C) 900 D) 1010 E) 1100

8.

¿Qué dígito podría sustituir a la última cifra del número telefónico de ÉLITE, para que resulte un múltiplo de 9? A) 9 B) 7 C) 5 D) 3 E) 1

9.

Hallar “a” si aa2a  17



A) 1

6.

Del 1 al 360, ¿cuántos números son divisibles por 3, pero no por 9? A) 120 B) 80 C) 60 D) 40 E) N.A.

D) 7

E) 9

11. A un congreso Internacional de Medicina al cual asistieron 225 médicos entre europeos y americanos, se observó que entre los americanos los 3/8 eran cardiólogos, los 5/12 mujeres y los 2/15 eran peruanos. ¿Cuántos europeos asistieron a dicho congreso? A) 95 B) 125 C) 115 D) 90 E) 105 12. Del 1 al 900, ¿cuántos números son múltiplos de 12 pero no son múltiplos de 15? A) 40 B) 60 C) 80 D) 75 E) 50 13. A la derecha de una cifra menor que 4, se coloca su doble y a su izquierda se coloca su triple. Luego el número de 3 cifras así formado no es siempre múltiplo de: A) 12 B) 9 C) 8 D) 13 E) 26 14. La suma : abcd + dcba , siempre es múltiplo de: B) 10

C) 11

D) 12

E) 13

15. ¿Cuántos números de 4 cifras son múltiplos de 7 y terminan en 1? A) 125 B) 1286 C) 1280 D) 128 E) 129

Determinar la suma de todos los números de la forma: 





27a4b que son 4 y 9 a la vez.

A) 81332 B) 82462 7.

C) 5

10. Un entero dividido entre 7 da residuo 6 y dividido por 4 da residuo 1. ¿Qué residuo se obtendrá, si se divide dicho número entre 28? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

A) 9 5.

B) 3

C) 82332 D) 82233

16. Si: ab  5 E) 82234



ba  9 

Un vendedor tiene 6 cestas que contienen huevos: en unas hay huevos de gallina y en otras de codorniz. El número de huevos de cada cesta es: 8, 12, 21, 23, 24 y 29. El vendedor decía: “si vendo esta cesta, me quedaría el cuádruple de huevos de huevos de gallina que de codorniz”. ¿A qué cesta se refería? A) 12 B) 21 C) 23 D) 24 E) 29 -3–

abc  8 , hallar “c” A) 8 B) 6

C) 4

D) 2

E) 0

17. ¿Cuántos números capicúas de 3 cifras al dividirse entre 5 y 11 siempre dejan como residuo 4 y 3 respectivamente? A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 8

Divisibilidad

18. A una fiesta de carnaval asistieron 105 personas entre niños, mujeres y hombres. La cantidad de niños era la séptima parte de las mujeres que asistieron y los hombres que no bailaban eran la octava parte de las mujeres que asistieron. ¿Cuántas mujeres no bailaban? A) 34 B) 56 C) 22 D) 12 E) 28

28. ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras son divisibles por 63? A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5 29. ¿Cuántos números de 3 cifras, cuya cifra de las decenas es 5, cumplen con ser múltiplos de 36? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

19. Al naufragar un barco el cual viajaban 200 personas se observa que de los sobrevivientes 1/7 son casados, 3/5 son colombianos y 1/3 son marineros. ¿Cuántos murieron? A) 105 B) 130 C) 95 D) 120 E) 100

30. Hallar “a”, si: a4a4a  8

20. Un número de la forma (3a) (3b) ab

31. Hallar “a”, si: 5a2a6  7 A) 2 B) 3 C) 4



A) 2

B) 9

C) 8

D) 6

E) 10

D) 6

E) 8

D) 4

E) 6

D) 6

E) 7

D) 15

E) 24

D) 16

E) 12

D) 3

E) 2

D) 5

E) 7



múltiplo de: A) 41 B) 43

C) 11

D) 17

es siempre E) 9



21. ¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 12 y terminan en 8? A) 16 B) 12 C) 14 D) 13 E) 15

32. Calcular “a”, si: 4aa13  9 A) 2 B) 5 C) 3 

33. Hallar “a”, si: a17a0  125 A) 3

22. Hallar a + c – b

B) 2

C) 5





Si: abc = 7 y ab = 8 c A) 5

B) 6

C) 7

D) 4

34. Hallar a  b, si: 2a42b  72

E) 3

A) 6

B) 8

C) 12

23. Hallar el número de la forma: 



35. Calcular a  b si: a95b  88

x ( x  1) ( x  2) ( x  1) x , si es 11 + 9

A) 67 856 B) 78 967

C) 56 745 D) 34 523

E) 23 412

a (a  1) a  7 A) 18

B) 15

B) 14

C) 18 

36. Calcular b, si: 7ab4a  77

24. Hallar a  b, si: 

A) 10

A) 8

B) 6

C) 4



y (a  1) b1  9 C) 12

D) 21



E) 24

37. Calcular a + b ,si: 89a46b  56 A) 9

B) 6

C) 4

25. ¿Cuántos múltiplos de 15 de la forma 1ab existen? A) 3

B) 6

C) 7

D) 11

E) 13

26. Hallar “a”, si: 4a8a6 es múltiplo de 11. A) 9 B) 8 C) 7 D) 6

E) 2

38. ¿Cuántos enteros comprendidos entre 40 y 5 000 terminan en 3 y son múltiplos de 3? A) 168 B) 165 C) 166 D) 164 E) 162 

27. Un número de 2 cifras es múltiplo de 3. Si se le resta 2 unidades se vuelve divisible por 5 y si se le suman 2 unidades se vuelve divisible por 11. Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 6 B) 15 C) 12 D) 9 E) 3 -4–

39. Hallar a, si : aaaa  9 1 A) 9 B) 5 C) 6

D) 7

E) 8

40. Si 6aba4b es divisible por 88, hallar a + b. A) 5

B) 7

C) 9

D) 11

E) 13

Divisibilidad