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95 Ejercicios Resueltos DE Intereses Simples Ingenieria economica (Universidad Francisco de Paula Santander)

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AUTORES: ASTRID DANIELA JIMENEZ CONTRERAS

KAREN STEFANNY CABALLERO GONZALEZ DIANA KATHERINE ESTUPIÑAN PATIÑO SILVANA CAMILA JAIMES GAFARO JUAN GUILLERMO ROJAS OLEJUA JUAN DIEGO PINEDA CIFUENTES WILLIAM ANDRES ORTEGA PEÑARANDA NINI JHOJANA ALVAREZ BACCA JENNIFFER ALEJANDRA GUERRERO BUENO YESSICA JULIETH GELVES DÍAZ MARÍA FERNANDA VALBUENA GRANADOS DANNA LIZBETH CONTRERAS MEZA ZAYDA LUCY GELVEZ DUARTE LEIDDY CAROLINA MONTOYA REMOLINA DIANA CAROLINA CALDERON OYOLA PEDRO GONZALEZ RODRIGUEZ LUIS ANTONIO MARQUÉS CUEVAS ALIX CAMILA FERNANDA ARÉVALO CASTRO PAULA ANDREA MERIÑO PEÑALOZA HECTOR ELIAS MENDOZA CARDENAS

ANTONIO VICENTE GRANADOS GUERRERO DOCENTE

INGENIERÍA ECONOMICA

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE INGENIERÍAS INGENIERÍA INDUSTRIAL SAN JOSÉ DE CÚCUTA 2018

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____________________ 95 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTERÉS SIMPLES ____________________ ELABORADO POR: ESTUDIANTES DE QUINTO SEMESTRE DE INGENIERÍA INDUSTRIAL ____________________ 2018

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PRÓLOGO

En el momento actual de una economía globalizada, los conceptos teóricos de la Ingeniería Económica o las Matemáticas Financieras son fundamentales para apoyar la toma de decisiones acertadas sobre el manejo optimo del dinero. Los estudiantes universitarios de esta materia, que quieren llegar a tener un dominio aceptable de la misma, consideran que es imprescindible complementar los conceptos teóricos, mediante la resolución de problemas Es por esto que el documento que se presenta a continuación, el cual forma parte de un conjunto de cuatro

módulos elaborados por un grupo alumnos de la materia de Ingeniería Económica del Plan de Estudios de Ingeniería Industrial de la Universidad Francisco de Paula Santander, pretende ser una herramienta útil para apoyar el trabajo académico de los alumnos de las facultades de Ingenierías, Administración, Economía, Contaduría Pública y carreras afines en el estudio y aprendizaje de la Ingeniería Económica o las Matemáticas financieras, con una colección variada de ejercicios resueltos de Intereses Simples, Intereses compuestos, Anualidades y Gradientes, que logren estimularlos en la reflexión, la búsqueda y la investigación.

Ingeniero Antonio Vicente Granados Guerrero Docente Cátedra Universidad Francisco de Paula Santander

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El interés simple es aquel que se paga al final de cada periodo y por consiguiente el capital prestado o invertido no varía y por la misma razón la cantidad recibida por interés siempre va a ser la misma, es decir, no hay capitalización de los intereses. La falta de capitalización de los intereses implica que con el tiempo se perdería poder adquisitivo y al final de la operación financiera se obtendría una suma total no equivalente a la original, por lo tanto, el valor acumulado no será representativo del capital principal o inicial. El interés a pagar por una deuda, o el que se va a cobrar de una inversión, depende de la cantidad tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión, el interés simple varia en forma proporcional al capital (P) y el tiempo (n).

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LAS FORMULAS QUE SE UTILIZARON EN EL SIGUIENTE SOLUCIONARIO SON LAS SIGUIENTES: I=P*i*n F=P(1+ i*n)

DESCUENTO COMERCIAL VT = VF – D D = VF * id * n VT = VF – VF * id * n VT = VF * ( 1 - id * n)

TENIENDO EN CUENTA QUE: 1 AÑO = 360 DIAS 1 AÑO = 12 MESES 1 AÑO = 48 SEMANAS 1 AÑO = 2 SEMESTRES 1 AÑO = 4 TRIMESTRES 1 AÑO = 6 BIMESTRES

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EJERCICIO # 1 Si la tasa de interés que reconocen algunos documentos financieros es del 5% anual simple. Cuánto dinero hay dentro de 3 años, si una empresa invierte hoy $240.000.000. Solución: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  𝑖𝑠 = 5% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

 n = 3 años

 𝑃 = $240.000.000 𝑓 =?

0

𝑃 = $240.000.000

𝑖𝑎𝑠 = 5%

3 años

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El periodo 0 representa el día de hoy, como se puede ver en la gráfica el valor de la inversión se representa con la letra p y el valor que me piden hallar es un valor futuro. Por lo cual se utilizan la ecuación: 𝑓 = 𝑃(1 + 𝑖𝑠 ∗ 𝑛)

Sustituimos los valores: 𝑓 = $240.000.000(1 + 0,05 ∗ 3) 𝑓 = $276.000.000

NOTA: El valor del interés se debe dividir en 100 y no reemplazar en porcentaje. R/ el dinero que habrá en 3 años es $276.000.000

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Cuánto se debe invertir hoy para tener dentro de 5 trimestres la suma de $8.250.000 y se ganen unos intereses de $480.000. Cuál es la tasa de interés quincenal simple. Solución: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  𝑓 = $8.250.000  I = $480.000

 n = 5 trimestres

𝑓 = $8.250.000

0

P=?

𝑖𝑞𝑠 =?

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5 trimestres

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En el ejercicio nos piden hallar dos cosas el valor presente, es decir, el valor que se debe invertir hoy el cual se designa con la letra P y la tasa de interés quincenal simple para esto: Lo primero es hallar el valor presente para eso utilizamos la siguiente ecuación: 𝑓 =𝑃+𝐼

Como necesitamos el valor de P entonces despejamos de la ecuación anterior: 𝑃 =𝑓−𝐼

Reemplazamos los valores 𝑃 = $8.250.000 − $480.000 𝑃 = $7.770.000

Después de haber obtenido el valor de P, se puede hallar el valor del interés de dos maneras. 1. Utilizando la ecuación: 𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑖𝑠 ∗ 𝑛

De la ecuación despejamos 𝑖𝑠 :

𝑖𝑠 =

𝐼 𝑃∗𝑛

𝑖𝑠 =

$480.000 $7.770.000 ∗ 5

Sustituimos los valores

𝑖𝑠 = 0,0123 = 1,23% Trimestral 2. Utilizando la ecuación:

𝑓 = 𝑃(1 + 𝑖𝑠 ∗ 𝑛)

Despejamos el 𝑖𝑠 : 𝑓 −1 𝑖𝑠 = 𝑃 𝑛

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$8.250.000 −1 $7.770.000 𝑖𝑠 = 5

𝑖𝑠 = 0,0123 = 1,23% Trimestral

Debido a que el interés no lo piden quincenal, tomando en cuenta que 1 trimestre tiene 6 quincenas, lo que hacemos es dividir el valor del interés trimestral en 6. 𝑖𝑠 =

1,23% = 0,205% 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 6

R/ El valor que se debe invertir es de $7.770.000 a una tasa de interés del 0,205% quincenal simple

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Cuál es el valor a cancelar el 5 de octubre de 2017 a una entidad bancaria por el préstamo de $11´000.000 realizado el 5 de marzo de 2016, si se conoce que hasta el 15 de septiembre del 2016 se cobra un interés del 2.42% mensual simple y de ahí en adelante del 17.8% semestral simple. Solución: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la gráfica: 194 días

5/03/2016

385 días

15/09/201 6

𝑖𝑚𝑠 = 2,42%

𝑃 = $11.000.000

𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠 = 17,8%

𝑓 =?

5/10/2017

Después de esto, se deben cambiar las tasas de interés a diario, sabiendo que un mes tiene 30 días y que un semestre tiene 180 días. 𝑖𝑑𝑠 = 𝑖𝑑𝑠 =

2,42% = 0,0806% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 30

17,8% = 0,0989% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 180

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Para saber cuál debe ser el valor a cancelar, se deben sumar la P y los intereses ganados desde el 5 de marzo del 2016 hasta el 15 de septiembre del 2016, y también el interés del 15 de septiembre de 2016 al 5 de octubre del 2017: 𝑓 = 𝑃 + 𝐼1 + 𝐼2

Para calcular I se utiliza la ecuacion: 𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑖𝑠 ∗ 𝑛

𝐼1 = $11.000.000 ∗ 0,000806 ∗ 194 = $1.720.004

𝐼2 = $11.000.000 ∗ 0,000989 ∗ 385 = $4.188.415 𝑓 = $11.000.000 + $1.720.004 + $4.188.415 𝑓 = $16.908.419

R/ El valor a cancelar el 5 de octubre de 2017 es de $16.908.419

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Se solicita un préstamo por $22.500.000 a 8 trimestres y una tasa del interés del 32% anual Si realiza un pago de $10.900.000 a los 4 trimestres, ¿Cuánto deberá pagar al final de los 8 trimestres? Use como fecha focal dentro de 8 trimestres. Solución: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la gráfica: $10.900.000

0

4

𝑖𝑠 = 32%𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

𝑃 = $22.500.000

𝑓 =?

Pagos

8 trimestre

Deudas

Para saber cuál es el monto final que debe pagar, se debe cambiar la tasa de interés a trimestral: 𝑖𝑠 =

32% = 8% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4

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Después de cambiar la tasa de interés, tomando en cuenta de que el punto focal está en el 8 trimestre, todo se lleva a ese punto, tomando en cuenta que: Deudas = Pagos $22.500.000(1 + 0,08 ∗ 8) = $10.900.000(1 + 0,08 ∗ 4) + 𝑥

Despejamos x y hallamos el valor: 𝑥 = $22.512.000

R/ El valor a pagar en octavo trimestre es $22.512.000

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Calcular a cuánto asciende el interés semestral simple producido por un capital de $25.000.000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 2.6 % semestral simple. Solución: Lo primero al resolver el ejercicio es plantear la gráfica: 𝑓 =?

0 𝑖𝑠 = 2,6% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

𝑃 = $22.500.000

4 años

Debido a que el interés esta semestral se debe pasar a anual, sabiendo que un año tiene 2 semestres: 𝑖𝑠 = 2,6% ∗ 2 = 5,2% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

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Como lo que nos piden son los intereses obtenidos, se utiliza la ecuación: 𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑛 ∗ 𝑖𝑠

Sustituimos los valores: 𝐼 = $25.000.000 ∗ 0,052 ∗ 4 𝐼 = $5.200.000

Este interés también se puede hallar con el valor futuro, con la ecuacion: 𝑓 = 𝑃(1 + 𝑖𝑠 ∗ 𝑛)

Sustituimos los valores: 𝑓 = $25.000.000(1 + 0,052 ∗ 4) 𝑓 = $30.200.000

Una vez obtenido este valor se puede hallar el interés, con la ecuacion: 𝑓 =𝑃+𝐼

De la ecuación anterior, se despeja I y se sustituye: 𝐼 =𝑓−𝑃

𝐼 = $30.200.000 − $25.000.000 𝐼 = $5.200.000

R/ los intereses ganados son $5.200.000

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EJERCICIO # 6 Un empresario presta $ 200.000.000 a 150 días con un interés del 4,5% bimestral simple, los cuales deberán ser cancelados al vencimiento del plazo. En el contrato se estipula que en caso de mora debe pagar el 3,2% mensual, sobre el saldo ya vencido. ¿Qué suma tendrá que pagar si cancela a los seis meses y 25 días?

PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

n1 = 150 días

0

𝐹1

𝑖1 = 4,5% bimestral simple

P= $200.000.000

n2 = 55 días

𝐹2 = ¿?

𝑖2 = 3,2% mensual simple

NOTA: Para el cálculo de los 55 días:

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6 meses= 180 días 180 días+25 días= 205 días 205 días-150 días= 55 días El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).

SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que es diario. 2 bimestres=360 días 1 bimestre=180 días 𝑖1 =

4,5% bimestral simple = 0,025% = 0,00025 180 días

12 meses=360 días 1 mes=30 días 𝑖2 =

3,2% bimestral simple = 0,1067% = 0,001067 30 días

TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. 𝐹1 = P (1 + 𝑖1 ∗ n1 )

𝐹2 = F2 (1 + 𝑖2 ∗ n2 ) CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. Primero se resuelve el monto que el empresario tuvo que haber pagado al vencimiento de la fecha, a los 150 días. 𝐹1 = P (1 + 𝑖1 ∗ n1 )

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𝐹1 = 200.000.000 (1+0,00025*150)= 207.500.000

Sobre ese saldo vencido se calcula el futuro (pago) de toda la deuda con la mora. 𝐹2 = F2 (1 + 𝑖2 ∗ n2 )

𝐹2 = 207.500.000 (1+0,001067*55) 𝐹2 = $219.677.137

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Se hace un préstamo por $ 26.100.000 a dos años con un interés del 2,3% mensual los 6 primeros meses y el 2,8% mensual los últimos 18 meses; todos estos intereses serán cancelados al vencimiento de la obligación principal y no habrá interés sobre intereses. ¿Cuál será el total a pagar al finalizar los 2 años? PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

𝑖1 = 2,3% mensual simple n1 = 6 meses

0

𝑖2 = 2,8% mensual simple F= ¿? n2 = 18 meses

n= 2 años P= $26.100.000 NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).

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SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que es anual. 1 año=12 meses 𝑖1 = 2,3% mensual simple ∗ 12 meses = 27,6% = 0,276 1 año=12 meses

𝑖2 = 2,8% mensual simple ∗ 12 meses = 33,6% = 0,336 TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. 𝐹1 = P + I1 + I2 I1 = P ∗ i1 ∗ n1

I2 = P ∗ i2 ∗ n2

𝐹1 = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2 CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. 12 meses=1 año 6 meses=0,5 años 18 meses=1,5 años 𝐹1 = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2

𝐹1 = 26.100.000 + 26.100.000 ∗ 0,276 ∗ 0,5 + 26.100.000 ∗ 0,336 ∗ 1,5

𝐹1 = $42.856.200

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Se presta $ X cantidad de dinero al 25% anual y luego la misma cantidad se invierte al 30% anual. Si las ganancias que obtuvo, en esta operación fueron de $2.650.000 anuales. ¿Cuánto había recibido en préstamo?

PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

0

𝑖1 = 25% anual simple

P1= $X

0

𝑖2 = 30% anual simple

P2= $X

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F1 = ¿? n1 = 1 año

F2 = ¿? n2 = 1 año

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NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).

SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que es anual. Pero los intereses ya están con las unidades que se necesitan. 25%=0,25 30%=0,30

TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. F = P + I1 + I2 I1 = P ∗ i1 ∗ n1

I2 = P ∗ i2 ∗ n2

F = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2

CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. F = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2

X + 2.650.000 = X + X ∗ 0,25 ∗ 1 + X ∗ 0,30 ∗ 1 X = $4.818.181

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¿Cuánto dinero se debe cancelar el 25 de noviembre de 2018 a una entidad bancaria por el préstamo de $17´755.000 realizado el 10 de abril de 2016, si se conoce que hasta el 15 de marzo del 2017 se cobra un interés del 28% anual simple y de ahí en adelante del 13% semestral simple? PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

25 de noviembre de 2018 15 de marzo de 2017

F= ¿?

n1 = 339 días

n2 = 620 días

𝑖1 = 28% anual simple

𝑖2 = 13% semestral simple

0

P= 17.755.000

10 de abril de 2016 NOTA: Para el cálculo de los días entre fechas, se usa la aplicación “calculadora de días” en Play Store. El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).

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SEGUNDO PASO: Convertir los porcentajes de interés en el tiempo estipulado, que es diario. 1 año=360 días 𝑖1 =

28% anual simple = 0,0778% = 0,000778 360 días

2 semestres=360 días 1 semestre=180 días 𝑖2 =

13% semestral simple = 0,0722% = 0,000722 180 días

TERCER PASO: Las fórmulas que se usarán. F = P + I1 + I2 I1 = P ∗ i1 ∗ n1

I2 = P ∗ i2 ∗ n2

F = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2 CUARTO PASO: Resolver el ejercicio. F = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2

F = 17.755.000 + 17.755.000 ∗ 0,000778 ∗ 339 + 17.755.000 ∗ 0,000722 ∗ 620 F= $30.385.587

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Dos capitales, uno de $50.000.000 y otro de $35.000.000 rentan anualmente $3.500.000. Hallar la cantidad de intereses anuales y las tasas de interés sabiendo que estas se encuentran en relación de 1/3? PRIMER PASO: Hacer un dibujo que represente el ejercicio.

𝑖1 = ¿?

0

P1= $50.000.000

0

I1 = ¿?

𝑖2 = ¿?

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F1 n1 = 1 año

F2

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P2= $35.000.000

n2 = 1 año

I2 = ¿?

$85.000.000+$3.500.000= $88.500.000 0 n= 1 año P1 + P2 = $50.000.000+$35.000.000= $85.000.000 $35.000.000

NOTA: El período cero (0) representa el día de hoy, ahí se sitúa P (inversión).

SEGUNDO PASO: Las fórmulas que se usarán. i2 =

i1 3

F = P + I1 + I2

I1 = P1 ∗ i1 ∗ n1

I2 = P2 ∗ i2 ∗ n2

F = P + P1 ∗ i1 ∗ n1 + P2 ∗ i2 ∗ n2

F = P1 (1 + i1 ∗ n1 ) + P2 (1 + i2 ∗ n2 ) TERCER PASO: Resolver el ejercicio. Hallando los porcentajes de interés.

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F = P1 (1 + i1 ∗ n1 ) + P2 (1 + i2 ∗ n2 )

85.000.000 + 3.500.000 = 50.000.000(1 + i1 ∗ 1) + 35.000.000(1 +

i1 = 0,0567= 5,67% anual simple

i2 =

i1 0,0567 = 3 3

i2 = 0,019= 1,9% anual simple Hallando los intereses. I1 = P1 ∗ i1 ∗ n1

I1 = 50.000.000 ∗ 0,0567 ∗ 1

I1 = $2.835.000

I2 = P2 ∗ i2 ∗ n2

I2 = 35.000.000 ∗ 0,019 ∗ 1 I2 = $665.000

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i1 ∗ 1) 3

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Se hace un préstamo por $ 17.120.000 para pagar en tres años de plazo y una tasa de interés simple de 7.56% Trimestral. ¿Cuánto pagará por concepto de intereses? ¿Cuánto pagará al final del plazo por el préstamo recibido? Solución

¿F=? . 0

3

17120000

Datos: P=17120000 I=7.56% trimestral N=3 años En primer lugar, podemos observar que el plazo para pagar es de 3 años y que la tasa de interés con la que se trabaja es de 7,56% trimestral, se aconseja cambiar la tasa de interés de trimestral a años, porque no habrá tanta margen de error. 1 año = 4 trimestres 7,56% trimestral * 4 = 0.3024

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Para hallar cuanto pagará en intereses se utilizará la siguiente formula: I= p*i*n Remplazando I = (17120000) (0,3024) (3) =

15531264

Se tendrá que pagar 15531264 por concepto de intereses Para hallar cuanto se pagará al final del plazo en su totalidad se utilizará la siguiente formula la cual es para calcular el futuro de lo que se tendrá que pagar: F= p (1+ i*n) Donde F= es el valor futuro Remplazando F= 17120000(1 + (0.3024) (3)) =

32651264

El total a pagar la deuda después de los 3 años cumplidos será de 32651264

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Una deuda de $34.567.000 con vencimiento en 24 de septiembre de 2018 y otra de $13.456.000 y con vencimiento en 17 de enero de 2019 e intereses del 13.3% semestral simple, van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $ X c/u con vencimiento en 25 julio de 2018 y el 13 de septiembre de 2019 respectivamente. Con una tasa de interés del 10% semestral simple, hallar el valor de los pagos. Coloque la fecha focal en el mes 5 de diciembre de 2018.

34567000

.

.

25/7/18

.

13456000

5/12/18 24/9/18

¿X=?

13/9/19 17/1/19

punto focal

¿X=?

Podemos empezar calculando los días que hay de cada fecha hasta el punto focal (se recomienda calcularlos con una aplicación llama calculadora de días). Del 25/7/18 al 5/12/18 hay 133 días Del 24/9/18 al 5/12/18 hay 91 días

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Del 17/1/19 al 5/12/18 hay 43 días Del 13/9/19 al 5/12/18 hay 282 días Cambiamos la tasa de interés de semestral a diaria ya que estamos trabajando con días. 1 año = 2 semestres = 360 días 10% semestral * 2/ 360 = 0.056% diarios Tomando como punto de referencia el punto focal debemos primeramente llevar cada fecha hasta dicho punto focal e igualar las deudas con los pagos: Σ Deudas = Σ pagos 34567000 (1+ (0.056%) (91)) + .

13456000

= X (1+ (0,056%) (133)) +

(1+ (0.056%) (43))

.

X

1,94X = 49468132.79

(1+ (0.056%) (282) X=

25499037.52

Observando la gráfica cuando se tiene pagos o deudas en la parte izquierda del punto focal se aplica normal la formula establecida, pero en los casos cuando estos se encuentran en la parte derecha del punto focal se pone el valor del pago o préstamo y se divide en el resto de la formula.

X (1 + (i*n))

Los dos pagos que se tienen que hacer cada uno en su día de vencimiento es de 25499037.52 para poder pagar la deuda.

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Se solicita un préstamo por $ 25.000.000 al 9,5% trimestral de interés simple, ¿cuánto debe pagar por concepto de intereses al termino de 9 meses? ¿Cuál es el valor del monto final a cancelar?

F 0

.

9

25000000

Datos: P= 25000000 i = 9.5% trimestral n= 9 meses en primer lugar, hay que cambiar la tasa de interés de trimestral a mensual 1 año = 4 trimestres = 12 meses 9.5% trimestral *4 / 12 = 3.167% mensual Para hallar el valor de los puros intereses hasta el plazo dado se hace lo siguiente: I = p*i*n

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.

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Se utiliza la tasa de interés convertida a mensualidades ya que estamos hablando de 9 meses de plazo. I = (25000000) (3.167%) (9) =

7125750

Por lo tanto, el interés que se va a cobrar tiene un total de 7125750, y por último para hallar el valor futuro total a pagar

F = p (1 + (i*n)) = 25000000 (1+ ( 3.167%)(9)) =

32125750

Al final del plazo se tendrá que pagar un total de 32125750 para cancelar el préstamo solicitado.

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A una persona le prestan $ 12.000.000 el 3 de febrero de 2017 y cancela el capital principal más los intereses el 20 de julio de 2019. Obtenga los intereses y el monto, si la tasa de interés fue del 3% mensual.

F

3/2/17

. 20/7/19

12000000

Datos: P= 12000000 i = 3% mensual De la fecha 3/2/17 hasta el 20/7/19 hay 897 días

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Primeramente, cambiamos la tasa de interés mensual a diaria 3% mensual *12/ 360 = 0.1% diario El monto que se debe cancelar sería el valor futuro que queremos conocer. F= p (1+ (i*n)) F= 12000000(1+ (0.1%) (897)) =

22764000

Lo siguiente que se debe hacer para hallar el valor de los intereses es con lo siguiente: I = p*i*n I = (12000000) (0,1%)(897) =

10764000

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El interés ganado por un préstamo de $ 8.000.000, en un plazo de 7 meses, fue de$ 350.000. Calcule la tasa efectiva del periodo y la tasa de interés anual.

F .

.

8000000

Datos: I = 350000 P=8000000 n = 7 meses Para hallar la tasa de interés efectiva (en este caso mensual ya que el pazo que nos dan es en meses) simplemente es aplicando la siguiente formula: I = p*i*n

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Despejando la variable i (tasa de interés) i=

350000

= 6.25x10^-3

0.625% mensual

(8000000) (7)

Para convertir la tasa de interés mensual a anual se multiplica con su equivalente que seria 12. 0.625% * 12 =

7.5 % anual

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Entre dos personas reúnen $22.000.000; la primera persona lo invierte al 20% anual simple y la segunda persona lo invierte al 2,5% mensual simple. Si al término de cuatro años, la primera persona tiene $2.600.000 más que segunda, ¿cuál era el capital inicial de cada uno?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. FT = F1 + F2

i1 = 20 % anual simple

P1 + P2 = $22.000.000

i2 = 2,5 % mensual simple

F1 = F2 + $2.600.000 n= 4 años

Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan la cantidad de cada persona inicialmente: ¿ P1 y P2 ? Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades.

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Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es anual. i2 = 2,5 % mensual simple ∗ 12 meses = 30% anual simple Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F1 = P1 (1 + i1 ∗ n)

F2 = P2 (1 + i2 ∗ n)

P1 + P2 = $22.000.000

F1 = F2 + $2.600.000

P1 = $22.000.000 - P2 (despejando)

Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. F1 = F2 + $2.600.000

P1 (1 + i1 ∗ n) = P2 (1 + i2 ∗ n) + $2.600.000

($22.000.000 - P2 ) (1 + 0,20 ∗ 4) = P2 (1 + 0,30 ∗ 4) + $2.600.000 P2 = $9.250.000

P1 = $22.000.000 - $9.250.000 P1 = $12.750.000

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Una persona deposita el 7 junio de 2017 su prima vacacional de $1.745.000 en un banco que le bonifica el 5.44% simple anual, ¿cuánto puede retirar el 18 de diciembre del mismo año?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. ¿F? 07 de junio de 2017

P = $1.745.000

i = 5,44 % anual simple

n= 194 días 18 de diciembre de 2017

NOTA: El número de días calculado se realiza mediante una aplicación llamada “calculadora de días” en Play Store.

Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro: ¿ F?

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Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es diario.

i =

5,44 % anual simple = 0,0151% diario simple 360 días

Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F = P (1 + i ∗ n) Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. F = P (1 + i ∗ n)

F = $1.745.000 (1 + 0,000151 * 194) F = $1.796.118

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Se compra mercancía en abarrotes con valor de $73.250 para pagarse con $25.000 a los 3 meses, y otro pago a 5 meses de la compra. ¿De cuánto es este pago, si se cargan intereses del 9,6% simple anual?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema. P2 = $25.000 P1 = $73.250

¿P3? n= 5 meses

n= 3 meses i = 9,6 % anual simple

Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el último pago: ¿ P3 ?

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Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia el porcentaje de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es mensual. i =

9,6 % anual simple = 0,8% mensual simple 12 meses

Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F3 = P1 (1 + i1 ∗ n) F3 = P2 + P3

P3 = F3 - P2

Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. F3 = P1 (1 + i1 ∗ n)

F3 = $73.250 (1 + 0,008 ∗ 5) = $76.180 P3 = F3 - P2

P3 = $76.180 - $25.000 P3 = $51.180

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Una persona debe cancelar $24.000.000 a 3 meses, con el 8% de interés trimestral simple. Si el pagaré tiene como cláusula penal que indica que, en caso de mora, se cobre el 10% trimestral simple por el tiempo que exceda al plazo fijado, ¿qué cantidad paga el deudor, 70 días después del vencimiento?

Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.

i1 = 8 % trimestral simple n1 = 3 meses

P= $24.000.000

¿F?

i2 = 10 % trimestral simple n2 = 3 meses y 70 días

NOTA: 3 meses a días 12 meses = 360 días 3 meses = 90 días

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4 trimestres = 360 días 1 trimestre = 90 días

Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro: ¿ F? Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es diario. i1 = i1 =

8 % trimestral simple = 0,089% diario simple = 0,00089 90 días 10 % trimestral simple = 0,11% diario simple = 0,011 90 días

Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F2 = P + I1 + I2 I1 = P ∗ i1 ∗ n1

I2 = P ∗ i2 ∗ n2

F2 = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2 Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan. F2 = P + P ∗ i1 ∗ n1 + P ∗ i2 ∗ n2

F2 = 24.000.000+ 24.000.000 ∗ 0,00089 ∗ 90 + 24.000.000 ∗ 0,0011 ∗ 70

F2 = $27.770.400

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Un empresario recibe el 15 de mayo del 2017, las siguientes tres ofertas por la compra de su negocio. ¿Cuál de las tres es la mejor si el rendimiento del dinero es del 10,5% semestral simple? a) $65.000.000 de cuota inicial y pagaré por $28.000.000 millones con fecha de cobro del 10 de septiembre del 2017. b) $31.250.000 millones a los 120 días; y $65.320.000 millones a los 180 días, en ambos casos reconociendo unos intereses de 4% bimestral simple c) $23.359.000 de cuota inicial y un pagaré por $71.111.000 con vencimiento a los 120 días. Primer paso: Hacer un dibujo alusivo del problema.

Propuesta A ¿F?

$24.000.000

$28.000.000 118 días

15 de mayo de 2017

i = 10,5% semestral

10 de septiembre de 2017

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Propuesta B ¿F? $65.320.000

$31.250.00 0 120 días

180 días i = 4% bimestral simple

Propuesta C ¿F?

$23.359.000

$71.111.000 120 días i = 10,5% semestral

NOTA: El número de días calculado se realiza mediante una aplicación llamada “calculadora de días” en Play Store. 2 semestres = 360 días 1 semestre = 180 días 6 bimestres = 360 días 1 bimestre = 60 días

Segundo paso: ¿Qué nos preguntan? Nos preguntan el futuro: ¿ F? y la mejor propuesta que sea rentable. Tercer paso: Tenemos que usar todos los términos con las mismas unidades. Se cambia los porcentajes de interés con respecto al tiempo. En este caso el tiempo es diario.

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i = i1 =

10,5 % semestral simple = 0,058% diario simple = 0,00058 180 días 4 % bimestral simple = 0,067% diario simple = 0,00067 60 días

Cuarto paso: Planteamos las fórmulas que usaremos. F = P (1 + i ∗ n) Quinto paso: Resolver el ejercicio a partir de las fórmulas planteadas y lo que nos preguntan.

Propuesta A F = P (1 + i ∗ n)

F = 65.000.000 + 28.000.000 (1 + 0,00058 ∗ 118)

F = $94.916.320 Propuesta B

F = P (1 + i ∗ n)

F = (31.250.000 (1 + 0,00067 ∗ 120) + 62.320.000 (1 + 0,00067 ∗ 180))

F = $103.598.282 Propuesta C

F = P (1 + i ∗ n)

F = 23.359.000 + 71.111.000 (1 + 0,00058 ∗ 120)

F = $99.419.325

La propuesta más rentable es la B

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Una empresa presta a una entidad financiera la suma de $20.000.000 el 24 de Abril del 2015 con el compromiso de cancelar la totalidad de la deuda el 3 de febrero de 2016 al 1,5% mensual simple. Sin embargo, la empresa efectúa el pago el 15 de Noviembre de 2017. Si el contrato estipulaba una tasa del 2,7% mensual simple sobre el saldo en mora, ¿Cuál es el valor de los intereses al vencimiento? ¿Cuál es el valor de los intereses de mora? ¿Cuál es el total pagado?

F=?

P: $20.000.000

𝑖: 1,5% 𝑚. 𝑠

03-02-2016

𝑖: 2,7% 𝑚. 𝑠

15-11-2017

24-04-2015

 Lo primero que debemos haces es calcular cuántos días han transcurrido desde el día del préstamo hasta el día del vencimiento del préstamo y desde el día de vencimiento

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hasta el día que se efectúa el pago. Esto lo sabemos por medio de la aplicación “Calculadora de días” la cual podemos descargar por medio de Play Store.

Nota: Como el interés es 𝑖 = 1,5% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 debemos pasarlo a interés diario simple y hacemos de la siguiente manera: 1,5

30

%𝑚. 𝑠 = 0,05% 𝑑. 𝑠

 Procedemos a calcular el valor FUTURO al día 03/02/2016 teniendo en cuenta los siguiente datos y la formula: 𝑃 = $20.000.000

𝑛 = 285

𝐹 = 𝑝(1 + 𝑖 ∗ 𝑛)

𝑖 = 0,0005

𝐹 = $20.000.000(1 + (0.0005 ∗ 285)) 𝐹 = $22.850.000

 Para hallar el valor futuro al día 15-11-2017, hacemos el mismo procedimiento tanto. Esta vez tomando el valor futuro que hallamos anteriormente como el valor Presente.

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𝑖:

2,7 % 𝑚. 𝑠 = 0,09% 𝑑. 𝑠 30

3 de Febrero al 15 de Noviembre= 651 días 𝑃 = $22.850.000

𝑛 = 651

𝑖 = 0,0009

𝐹 = 𝑝(1 + 𝑖 ∗ 𝑛)

𝐹 = $22.850.000(1 + (0.0009 ∗ 651)) 𝐹 = $36.237.815



Hallamos el valor Interés al vencimiento haciendo la relación Futuro - Presente

 $22.850.000 - $20.000.000 =

$2.850.000

interés al vencimiento.

 Hallamos el Interés en mora haciendo la relación Futuro – Presente. $36.237.815 - $22.850.000=

$13.387.815

interés en mora.

 El total pagado es el último valor Futuro que calculamos al día 15-11-2017. F= $36.237.815

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Una persona presta una cantidad al 18,5% de interés anual simple. Después de 8 años y 3 meses la retira, y lo producido incluido los intereses, los vuelve a prestar pero ahora al 10,5%. semestral simple. Producto de esta segunda vez que presta recibe un monto de $1.200.000 de solo intereses ¿Cuál fue la cantidad que prestó inicialmente? P = ¿?

8 años y 3 meses 18.5% a.s 1.200.000 intereses 10.5% s.s  Calculamos los días transcurridos en los 8 años y 3 meses y convertimos los intereses de anual simple a diario simple. 𝑖:

18.5% 360

= 0.051% 𝑑. 𝑠

8 años y 3 meses = 2970 días

 Establecemos una relación entre futuro y presente mediante la fórmula del valor Futuro

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(𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛) (𝐼 = 𝑃 ∗ 0.00051 ∗ 2970)

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖 ∗ 𝑛) 𝐹 = 𝑃(1 + 0.00051 × 2970) 𝐹 = 2.5147𝑃

 Tomamos a 2.5147P como el valor Presente para reemplazarla en la fórmula de Intereses, además decimos que el valor n= 1 semestre. Despejamos P

I=10.5% semestral simple

n=1 semestre

𝐼 =𝑃∗𝑖∗𝑛 1.200.000 = 2.5147𝑃 ∗ 𝑂. 105 ∗ 1 𝑃 = $4.544.705

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Dos capitales cuya suma es de $35.500.000 han estado impuestos a interés simple durante el mismo tiempo y al mismo porcentaje, produciendo unos capitales finales de $13.125.000 y $24.150.000. ¿Cuáles eran dichos capitales?  Establecemos una relación 𝑃 1 + 𝑃 2 = $35.500.000

𝑃 2 = $35.500.000 − 𝑃 1

 Establecemos la relación de cada una de los capitales y despejamos 13.125.000 = 𝑃 1(1 + 𝑖 ∗ 𝑛) 13.125.000 = (1 + 𝑖 ∗ 𝑛) 𝑃1

24.150.000 = (35.500.000 − 𝑃 1)(1 + 𝑖 ∗ 𝑛) 24.150.000 = (1 + 𝑖 ∗ 𝑛) 35.500.000 − 𝑃1

 Como i y n son las mismas permanecen constantes, igualamos y despejamos P1 yP2. 13.125.000 21.150.000 = 𝑃 35.500.000 − 𝑃 𝑃1 = $13.594.091

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𝑃2 = $35.500.000 − $13.594.091.9 = $21.905.908.1

Respuesta: dichos capitales son $13.594.091. 9 y $21.905.908.1, respectivamente.

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Calcular el futuro de $150.000.000 e al 6% de interés anual colocado durante 1 año y 4 semanas en régimen de interés simple.

F = ¿?

I= 6% a. s

P= $150.000.000

Teniendo en cuenta los datos que nos dieron, aplicamos la fórmula de Valor Futuro 6

𝑖 = 48 % = 0.125% 𝑠𝑒. 𝑠 𝑝 = $150.000.000

𝑛 = 52 𝑠𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠

𝑖 = 0.125 % 𝑠𝑒. 𝑠 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖 ∗ 𝑛)

𝐹 = $150.000.000(1 + 0.00125 × 52) 𝐹 = $159.750.000

Respuesta: el valor futuro es de $159.750.000

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N: 1 año y 4 semanas

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Cuántos días tardará un préstamo de $ 7.230.000 para producir $ 120.500 de interés simple, si la tasa de interés es de 25% anual simple? Solución: Se realiza la gráfica, poniendo el presente (valor del préstamo) abajo, y el valor futuro en la parte superior. Se conoce que los intereses simples producidos son $120.500.

F: 7.350.500

Is: 25% anual

N: ?

P: 7.230.0000

 El valor futuro se conoce utilizando la formula F = P + I, entonces conociendo los interés ganados durante cierto tiempo, reemplazamos:

F = 7.230.000 + 120.500 = 7.350.500

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 Luego se cambia la tasa de interés de anual a diaria:

is =

25 % = 0.069% diaria 360

 Se reemplaza la siguiente formula, donde se despeja N: F = P(1 + i ∗ n)

7.350.500 = 7.230.000(1 + 0.00069 × n) N =24 días

RTA/ Se tardan 24 días para que el préstamo produzca $ 120.500 de interés simple.

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Un empresario desea conocer cuánto deberá invertir hoy en un fondo para dentro de tres años y medio reponer la maquinaria que estima costará $500´000.000. El fondo utiliza interés bancario en sus cálculos y reconoce un interés mensual simple del 3% Lo primero que se debe hacer es identificar los datos que plantea el problema P=? Incógnita del problema F=$500.000.000 Es el valor que tendrá la maquina en un futuro i= 3% ms interés bancario del problema n= 3.5 número de periodos. Se toma 3.5 ya que se indica 3 años y medio

Se procede a dibujar la graficar con todos los datos

$500.000.000

3.5 años

P i=3%m s

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Para iniciar la solución del ejercicio lo primero que se debe hacer es transformar la tasa de interés mensual simple a anual simple ya que la tasa de interés y el número de periodos deben ser congruentes La tasa de interés se transforma de la siguiente manera: el interés que el problema da se multiplica por 12 debido a que 1 año tiene 12 meses y se transforma de una tasa de interés menor a mayor 3%𝑚𝑠 ∗ 12 = 36%𝑎𝑠 = 0.36

Aplicando la formula correspondiente para intereses simple, la solución queda así: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖 ∗ 𝑛)

se despeja P que es lo que se necesita 𝑃=

𝐹 (1 + 𝑖 ∗ 𝑛)

Se procede a reemplazar los datos y resolver 𝑃=

$500.000.000 = $221.238.938 (1 + 0.36 ∗ 3.5) 𝑃 = $221.238.938

$221.238.938 es el dinero que se debe invertir hoy para poder obtener dentro de 3 años y medio el dinero necesario para la compra de la maquina

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Hallar la verdadera tasa bancaria que cobra un banco cuando descuenta un documento con valor de maduración de $3.400.000, si es descontado 125 días antes del vencimiento al 29% anual simple Identificación de los datos que plantea el problema i2=? Incógnita del problema Vf = $3.400.000 Valor de maduración o valor final del documento o pagaré n = 125 días tiempo antes del vencimiento del documento i1 = 29% as interés utilizado por el banco para realizar el descuento en el valor del pagaré

Dibujo de la grafica $3.400.000

n = 125 días Vt

29%as

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Todos los datos deben ser congruentes, por lo tanto se transforma la tasa de interés anual simple a un interés diario simple de la siguiente manera:

29%𝑎𝑠 = 0.0805%𝑑𝑠 = 0.000805 360 Como se desea transformar una tasa de interés mayor a una menor se divide por el periodo de tiempo adecuado al cual se desea convertir Para la solución de este problema es necesario calcular el descuento que realizará el banco al documento para luego proceder a calcular el valor total o valor real de éste el día de hoy y por último el interés que es la incógnita del problema

Aplicando la fórmula de descuento 𝐷 = 𝑉𝑓 ∗ 𝑖1 ∗ 𝑛 = $3.400.000 ∗ 0.000805 ∗ 125 = $342.125

$342.125 será el descuento que realizara el banco

𝑉𝑇 = 𝑉𝑓 − 𝐷 = $3400.000 − $342.125 = $3.057.875

$3.057.875 es lo que vale el documento en el momento en que es descontado

Aplicando la fórmula de futuro para intereses simples: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖2 ∗ 𝑛)

Se reemplaza los datos y se procede a despejar la incógnita i2 mediante la calculadora fx-570ES PLUS para agilizar el calculo F es el valor final o futuro del documento, P es el valor total o valor real el dia de hoy (Presente) $3.400.000 = $3.057.875(1 + 𝑖2 ∗ 125) = 0.0009 = 0.09%𝑑𝑠

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Se transforma la tasa de interés diaria simple a una tasa de interés anual simple, teniendo en cuenta que se transforma de una tasa menor a una mayor. Por lo tanto se debe multiplicar

0.09% ∗ 360 = 32.4%𝑎𝑠 𝑖 = 32.4% as

32.4% será la verdadera tasa de interés que cobrara el banco al momento de realizar el descuento

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El hospital María Auxiliadora desea adquirir material quirúrgico –para poder brindar un mejor servicio– y cuenta para ello con dos propuestas que deben ser analizadas: Propuesta A: Cuota inicial $ 300.000.000 y 2 cuotas semestrales de $ 45.000.000 cada una. Propuesta B: Cuota inicial $ 220.554.110 y 4 cuotas trimestrales de $ 59.000.000 cada una. Si el costo del dinero es el 3,5% de interés simple mensual, ¿cuál es la mejor oferta? Para la solución de este ejercicio se deben analizar las dos propuestas por aparte y calcular su presente pues el presente es lo que pagara por el material quirúrgico. En la gráfica las flechas arriba indicaran los pagos y hacia abajo indicara el presente

Propuesta A $45.000.000

$300.000.000

0

1

P

$45.000.000

2

semestres

3.5% ms

Se transforma la tasa de interés mensual a semestral. Teniendo en cuenta la transformación de menor a mayor se multiplica

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3.5%𝑚𝑠 ∗ 6 = 21%𝑠𝑠 = 0.21

Se calcula el presente con la ecuación correspondiente teniendo en cuenta la cuota inicial y el traslado de los pagos semestrales hasta el día de hoy (cero) 𝑃 = $300.000.000 +

$45.000.000 $45.000.000 + = $368.880.223 (1 + 0.21 ∗ 1) (1 + 0.21 ∗ 2) 𝑃 = $368.880.223

Propuesta B

$220.554.110 $59.000.000 $59.000.000 $59.000.000

0

1

P

2

3

$59.000.000

4

trimestres

3.5%m s

Se transforma la tasa de interés mensual a trimestral. Teniendo en cuenta la transformación de menor a mayor se multiplica 3.5% ∗ 3 = 10.5%𝑡𝑠 = 0.105

Se calcula el presente con la ecuación correspondiente teniendo en cuenta la cuota inicial y el traslado de los pagos semestrales hasta el día de hoy (cero) 𝑃 = $220.554.110 +

$59.000.000 $59.000.000 $59.000.000 $59.000.000 + + + (1 + 0.105 ∗ 1) (1 + 0.105 ∗ 2) (1 + 0.105 ∗ 3) (1 + 0.105 ∗ 4)

𝑃 = $409.124.321

La mejor propuesta es sin duda la A, pues el material quirúrgico saldrá mas económico

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Una persona firmó un pagaré el 14 de febrero de 2017 por un capital de $117.800.000 a un interés del 32% anual simple. ¿En qué fecha los intereses serán $2.890.000? Datos del problema Vt = $117.800.000 Presente, Valor total o real del pagaré I = $2.890.000 Intereses Generados i = 32%as = 0.32 tasa de interés n =? Numero de días Grafica Correspondiente F

14 febrero 2017

$117.800.000

n

32%as

Se debe trasformar la tasa de interés anual simple a diaria simple para obtener el resultado (n) en días y poder calcular la fecha mediante la calculadora de días

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Se tiene en cuenta que para transformar una tasa de interés mayor a menor se divide 32%𝑎𝑠 = 0.0889%𝑑𝑠 = 0.000889 360

Se sabe que para calcular los intereses se aplica la siguiente ecuación: 𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛 despejando n queda: 𝑛=

𝑛=

𝐼

𝑃∗𝑖

se procede a reemplazar y resolver

$2.890.000 $117.800.000 ∗ 0.000889 𝑛 = 28 𝑑𝑖𝑎𝑠

La fecha correspondiente según la calculadora de días es 14 de Marzo de 2017

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Un padre de familia coloca su capital mediante préstamos a interés simple. El primero y segundo préstamos de $175.000.000 y $ 128.000.000, respectivamente; realiza el segundo préstamo 9 meses después del primero. La tasa que ofrecen pagarle es del 3.5% mensual simple, ¿cuál es el monto generado por estos préstamos si ambas partes deciden mantener esta operación por 3 años más después del último préstamo?

Datos del problema P1 = $175.000.000 Primer préstamo P2 = $128.000.000

Segundo préstamo

i = 3.5%ms

Tasa de interés ofertada o pactada

n1 = 45 meses

Tiempo transcurrido después del primer préstamo

n2 = 36 meses

Tiempo transcurrido después del segundo préstamo

Ftotal =?

Dinero recibido después de los 3 años

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Grafica del Problema En esta grafica se tendrá en cuenta las flechas hacia abajo (prestamos) y flechas hacia arriba (retiros) F

9

0

45

$175.000.000

meses

$128.000.000

3.5%ms

La tasa de interés ya está acorde con los periodos, por lo tanto no se le realiza ninguna transformación Para calcular el monto generado se deberá calcular el futuro total, este futuro es la suma individual de cada uno de los futuros 𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃1(1 + 𝑖 ∗ 𝑛1) + 𝑃2(1 + 𝑖 ∗ 𝑛2)

Reemplazando y resolviendo

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $175.000.000(1 + 0.035 ∗ 45) + $128.000.000(1 + 0.035 ∗ 36) 𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = $739.905.000

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¿En cuántos bimestres se duplicará una cierta cantidad de dinero si se invierte al 28% de interés anual simple? Solución: Se realiza la gráfica, poniendo el presente (valor del préstamo) abajo, el cual no se conoce entonces lo llamaremos X y el valor futuro en la parte superior, como nos dice que esta cantidad se duplica, nuestro futuro será 2X.

F: 2X

is= 28% anual

P: X

 Luego se cambia la tasa de interés de anual a bimestral:

is =

28 % = 4.67% bimestral 6

 Se reemplaza la siguiente formula, donde se despeja N: F = P(1 + IS × N) 2X = X(1 + 0.0467 × N)

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N

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N= 21 bimestres NOTA: Se toma N como valor X para realizar la operación en la calculadora. RTA/ En 21 bimestres se duplica esta cierta cantidad de dinero.

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Cuántos intereses se debe cancelar el 21 de mayo de 2018 a una entidad bancaria por el préstamo de $12´600.000 realizado el 18 de junio de 2015, si se conoce que hasta el 28 de agosto del 2016 se cobra un interés del 3.8% trimestral simple y de ahí en adelante del 7.8% semestral simple. Solución: Se realiza el grafico P: 12.600.000

18/06/15

28/08/16

is:3.8% trimestral

is:7.8% semestral

 Se calcula el número de días que hay entre las fechas dadas: 18/06/15 437dias 28/08/16

28/08/16 21/05/18

631 días

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I

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 Se cambian las tasas de interés, la 1 de trimestral a diario y la 2 de semestral a diario:

is 1 = is 2 =

3.8 % = 0.042% diario 90

7.8 % = 0.043% diario 180

 Se hace el planteamiento, donde se dice que los intereses totales son iguales a la sumatoria de los intereses del primer periodo más los intereses del segundo periodo, es decir: IT = I 1 + I 2  Se reemplaza la siguiente formula, donde se halla I 1 Y I 2: I =P×I×N I 1 = 12.600.000 × 0.00042 × 437 I 1= 2.312.604

I 2 = 12.600.000 × 0.00043 × 631 I 2 = 3.418.758

IT= 2.312.604 + 3.418.758

IT= 5.731.362

RTA/ Se deben cancelar $5.731.362 de intereses el 21 de mayo de 2018 a la entidad bancaria por concepto del préstamo de $12.600.000 realizado el 18 de junio de 2015.

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Una cantidad de dinero se ha dividido en tres partes, y se ha impuesto la primera al 4%; la segunda al 5%, y la tercera, al 6%, dando en total una ganancia anual de $9.244.000. Si la primera y tercera parte del capital se hubieran impuesto al 5,5 %, los intereses correspondientes a estas dos partes serían de $6.534.000 anualmente. Calcular las tres partes del capital, sabiendo además que la tercera parte es los 2/9 de la primera. Solución: Se realiza el grafico, donde se nombran las tres partes como: A, B y C.

PARTE A

PARTE B

PARTE C F 1= 9.244.000

is: 4% anual

is: 5% anual

is: 5,5% anual

 Se sabe que el capital C es igual a

is: 6% anual

is: 5,5% anual

𝟐 𝟗

del capital A

 Se utiliza la siguiente formula en donde se reemplazan los datos del primer periodo y se nombra como ecuación 1, es decir:

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F 2= 6.534.000

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F = P(1 + IS × N)

9.244.000= A (1 + 0,04 × 1) + B (1 + 0,05 × 1) + C (1 + 0,06 × 1) 9.244.000= 1,04 A + 1,05 B + 1,06 C ---- ( ecuación 1)

 De la misma manera, en la formula se reemplazan los datos del segundo periodo y se nombra como ecuación 2, es decir: 6.534.000 = A (1 + 0,055 × 1) + C (1 + 0,055 × 1) 6.534.000 = 1,055 A + 1,055 C ---- (ecuación 2)  De la ecuación 2, se despeja A : 6.534.000 = 1,055A + 1,055C 6.534.000 = 1,055A + 1,055 (

2 9

A)

A= 5.067.298

 Teniendo A, se despeja C: C=(

C=(

2 A) 9

2 )(5.067.473) 9

C = 1.126.105

 De la ecuación 1, se despeja B: 9.244.000= 1,04 A + 1,05 B + 1,06 C

9.244.000= 1,04 (5.067.473) + 1,05 B + 1,06 (1.126.105) B= 2.647.768

RTA/ La cantidad de dinero quedo dividida así: la parte A igual a $5.067.298, la parte B igual a $1.126.105 y la parte C igual a $2.647.768.

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Una inversión de $15.525.000 gana $3.125.000 de interés en 8 meses. ¿Cuál es la tasa de interés imple anual que se ganó? Solución: Se realiza el grafico F

Is 15.525.00 0

 Se utiliza la siguiente ecuación y se reemplaza los datos: I = P × Is × N

3.125.000 = 15.525.000 × Is × 8 Is = 0,025 = 25% mensual

 Se cambia la tasa de interés de mensual a anual: Is = 0,025 × 12 = 0, 3 anual Is anual= 3 %

RTA/ Se ganó una tasa de interés simple anual del 3%

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8 meses

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Un capital de cuantía P se ha colocado la cuarta parte al 5% de interés anual simple durante 30 días, la mitad del resto se ha colocado al 4% anual simple durante 60 días y la otra mitad al 8% anual simple durante 40 días. Determinar la cuantía de P si los intereses totales son de $2.750.000 Solución: Se realiza el grafico, interpretando los datos del problema

P/ 4

3/8 P

30 días

Is =5% anual

3/8 P

60 días

Is = 4% anual

40 días

Is = 8% anual

IT = 2.750.000  Se cambian todas las tasas de interés de anual a diaria: 𝐼𝑠 =

5 % = 0,014% 360

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𝐼𝑠 = 𝐼𝑠 =

4 % = 0,011% 360

8 % = 0,022% 360

 Se utiliza la siguiente ecuación : I = P × Is × N, donde se reemplazan los datos anteriores, y se despeja P, es decir:

2.750.0 (

1 4

P ) × 0,00014 × 30 + (

3 8

P ) × 0,00011 × 60 + ( P = 402.930.403

3

8

P ) × 0,00022 × 40

RTA/ la cuantía P, si los intereses totales son de $2.750.000 es de $402.930.403

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Entre dos personas reúnen $ 22.000.000; la primera persona lo invierte al 20% anual simple y la segunda persona lo invierte al 2,5% mensual simple. Si al término de cuatro años, la primera persona tiene $ 2.600.000 más que segunda, cuál era el capital inicial de cada uno. Datos: P1 + P2 = 22.000.000

Se despeja una variable,

P2= 22.000.000 – P1

𝑖𝑠1 = 20% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

𝑖𝑠2 = 2,5% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

n = 4 años

F1= 2.600.000 + X F2= X Persona 1

𝒊𝟏 = 20% anual simple

F1 = 2.600.000 + X

n= 4 años

P1 Persona 2

𝒊𝟐 = 2,5% mensual simple P2 Downloaded by APK98 ([email protected])

F2 = X

n= 4 años

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Solución: -Se debe cambiar las tasas de interés a un tiempo anual, de modo que coincidan con el periodo, sabiendo que un año tiene 12 meses, así: 𝑖𝑠1 = 20% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

𝑖𝑠2 = 2,5% ∗ 12 = 30% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

-Se plantean dos ecuaciones, una por cada caso, y se reemplazan los valores: F1 = P1(1 + 𝑖𝑠1 ∗ 𝑛)

(2.600.000 + X) = P1 (1 + 0,20 * 4) (2.600.000 + X) = P1 + 0,8*P1 X= 1,8 P1 – 2.600.000

Despejando a X,

(1)

F2 = P2(1 + 𝑖𝑠2 ∗ 𝑛)

X = (22.000.000 – P1) (1 + 0,30 * 4) X = 22.000.000 + 26.000.000 – P1 – 1,2*P1 X = – 2,2*P1 + 48.400.000

(2)

-Se iguala X de (1) y (2) y se encuentra el valor de P1 1,8 P1 – 2.600.000 = – 2,2*P1 + 48.400.000 (1,8 + 2,2)*P1 = 48.400.000 + 2.600.000 P1 =

51.000.000 4

= $ 12.750.000

-Por último se calcula P2 P2 = 22.000.000 – 12.750.000 = $ 9.250.000

R/: El capital invertido por cada persona respectivamente será, $12.750.000 y $9.250.000

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Se invirtieron $ 15.220.000 en una entidad financiera a plazo de 180 días. Si al vencimiento recibieron $ 1.620.000 de intereses, ¿qué tasa de interés anual ganó? Datos: P= 15.220.000 n = 180 días I= 1.620.000

I= 1.620.000

n= 180 días

𝒊𝒔 P= 15.220.000

Solución: -Se debe modificar el periodo de días a años, sabiendo que un año se conforma de 360 días: n= 180 días *

1 𝑎ñ𝑜

360 𝑑í𝑎𝑠

= 0,5 años

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-Utilizando la ecuación: 𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑖𝑠 ∗ 𝑛

-Despejando y despejando para 𝒊𝒔 queda: 𝑖𝑠 =

𝑖𝑠 =

𝐼 𝑃∗𝑛

1.620.000 15.220.000 ∗ 0,5

𝑖𝑠 = 0,2128 = 21,28% anual

R/: Se gana una tasa de interés igual a 21,28% anual

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Calcule el valor futuro de un préstamo de $11.200.000 al 30% de interés anual simple y 10 meses de plazo. Datos: P= 11.200.000 𝑖𝑠 = 30% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

F

n = 10 meses

𝒊𝒔 = 𝟑𝟎% 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆

n= 10 meses

P= 11.200.000

Solución: -Se debe cambiar la tasa de interés a un tiempo mensual, de modo que coincida con el periodo, sabiendo que un año tiene 12 meses, así: 𝑖𝑠 =

30% = 2,5% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

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-Se utiliza y reemplazan los valores en la siguiente ecuación 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖𝑠 ∗ 𝑛)

𝐹 = 11.200.000(1 + 0,025 ∗ 10)

F= $ 14.000.000

R/: El pago futuro del préstamo será por $ 14.000.000

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Un equipo de sonido $ 7.150.000 de contado. Se cancela una cuota inicial del 25% del precio de contado y el resto a 270 días con un recargo del 15% sobre el saldo. ¿Qué tasa de interés simple anual acepta cancelar? Datos: Precio de contado= 7.150.000 𝑃0 = (7.150.000 *25%) n = 270 días

P= Saldo = (7.150.000 - 𝑃0 ) I= P*15%

I= P*15%

𝑷𝟎 = (7.150.000 *25%)

𝒊𝒔 P = (7.150.000 - 𝑷𝟎 )

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n= 270 días

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Solución: -Se calcula la cuota inicial “𝑷𝟎 ”, el saldo “P” y el recargo “I”: 𝑃0 = 7.150.000*0,25 = 1.787.500´

P= 7.150.000 – 1.787.500 = 5.362.500 I= 5.362.500*0,15 = 804.375 -Se cambia el periodo de días a años: n= 270 días *

1 𝑎ñ𝑜

360 𝑑í𝑎𝑠

= 0,75 años

-Utilizando la ecuación: 𝐼 = 𝑃 ∗ 𝑖𝑠 ∗ 𝑛

-Despejando y despejando para 𝒊𝒔 queda: 𝑖𝑠 =

𝑖𝑠 =

𝐼 𝑃∗𝑛

804.375 5.362.500 ∗ 0,75

𝑖𝑠 = 0,20 =

20% anual

R/: Se acepta cancelar el equipo de sonido por una tasa de interés de 20% al año.

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Una persona concedió un préstamo a un amigo por $35.000.000 comprometiéndose éste a devolverlo dentro de dos años y cuatro meses. Por el mencionado préstamo le cobró una tasa de interés simple del 12% anual. ¿Cuál será el interés que deberá pagar este amigo por el préstamo? Datos: P= 35.000.000 n = 2 años y 4 meses = 28 meses I

𝑖𝑠 = 12% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝒊𝒔 = 𝟏 % P = $ 35.000.000

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n= 26 meses

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Solución: -Se debe cambiar la tasa de interés a un tiempo mensual, de modo que coincida con el periodo, sabiendo que un año tiene 12 meses: 𝑖𝑠 =

12% = 1% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

-Utilizando la siguiente ecuación y sustituyendo valores: I = 𝑃 ∗ 𝑖𝑠 ∗ 𝑛

I = 35.000.000 ∗ 0,01 ∗ 28 I = $ 9.800.000

R/: Este amigo deberá pagar los intereses por la suma de $ 9.800.000

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Un capital colocado durante 10 meses se ha convertido, junto con los intereses en 29’760.000 el mismo capital, menos sus intereses durante 17 meses ha quedado reducido 27’168.000. Determinar el capital y la tasa de interés a la que ha colocado.

Solución. En primer lugar, se realiza la interpretación gráfica correspondiente. Para este ejercicio es necesario hacer dos gráficas: Grafica 1.

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En donde: X: representa el capital y será tomado en cuenta como valor presente para este caso. Grafica 2.

En donde: X: representa el capital y en este caso será tomado como un valor futuro. Ahora se determinan ecuaciones para cada grafica de acuerdo a la fórmula de interés simple: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖. 𝑛) Para la gráfica 1. 29.760.000 = 𝑋(1 + 10𝑖) 29.760.000 = 𝑋 + 10𝑋𝑖

𝑖=

29.760.000−𝑋 10𝑋

Ecuación 1

Para la gráfica 2. 𝑋 = 27.168.000(1 + 17𝑖)

𝑋 = 27.168.000 + 461.856.000𝑖

Reemplazo ecuación 1 en ecuación 2.

𝑋 = 27.168.000 + 461.856.000 (

29.760.000−𝑋 ) 10𝑋

Usando el programa SOLVE de la calculadora se obtiene:

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Ecuación 2

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𝑋 = 28.765.221,65 Respuesta. El valor del capital corresponde a $ 28.765.221,65 Para hallar la tasa de interés reemplazo el valor de X en la ecuación 1.

𝑖=

29.760.000−28.765.221,65 10(28.765.221,65)

𝑖 = 0,00346 = 0,346% Respuesta. La tasa de interés a la que fue colocado el capital es de 0,346%.

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Determinar el tiempo necesario en meses para que un capital de cuantía P, colocado en un interés del 4% trimestral simple genere una igualdad a 3 veces el capital inicial.

Solución. Primero se hace la gráfica.

F = 3P. El valor futuro es tres veces el valor presente. Se debe transformar la tasa de interés trimestral a una tasa de interés mensual. 4

𝑖𝑚𝑠 = = 1,33%𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙. = 0,0133 3

Se realiza el despeje de “n” de la formula.

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𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖. 𝑛) 𝐹 = 𝑃 + 𝑃. 𝑖. 𝑛

𝑛=

𝑛=

𝑛=

𝑛=

𝐹−𝑃 𝑃.𝑖

3𝑃−𝑃 𝑃.(0,0133)

2𝑃 𝑃.(0,0133) 2

0,0133

= 150.37

Respuesta. Se requiere de un tiempo de 150 meses aproximadamente para triplicar el valor de un capital inicial.

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Se firman dos pagares así: uno con valor de vencimiento por 22´750.000 a pagar en 3 semestres y otro con valor de vencimiento por 14´100.000 a pagar en 6 semestres. En un nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar 12´050.000 el día de hoy y el resto dentro de 9 semestres. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de semestre 9, si la tasa de interés es 2,5 % mensual simple y se toma como fecha focal el semestre 5?

Solución. Se debe hacer la gráfica respectiva:

Se debe transformar la tasa de interés mensual simple a una tasa de interés semestral simple. 𝑖𝑠𝑠 = 2,5% ∗ 6 = 15%𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒. = 0,15

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Se toma como punto focal el semestre 5. 22´750.000(1 + 0,15 ∗ 2) +

14´100.000 (1 + 0,15 ∗ 1)

= 12´050.000(1 + 0,15 ∗ 5) +

𝑋 (1 + 0,15 ∗ 4)

29´575.000 + 12´260.869,57 = 21´087.500 + 20´748.369,57 =

𝑋 (1 + 0,15 ∗ 4)

𝑋 (1 + 0,15 ∗ 4)

Usando el programa SOLVE de la calculadora se tiene que: X=33.197.392

Respuesta. Al final del semestre 9 la persona deberá pagar una cantidad de $ 33.197.392

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lOMoARcPSD|4050704

Un certificado de depósito termino a término de 10´500.000 paga el 3% semestral simple. Cuanto produce de intereses al cabo de 5 años

Solución. Interpretación gráfica:

Se debe transformar la tasa de interés semestral simple a una tasa de interés anual simple. 𝑖𝑎𝑠 = 3% ∗ 2 = 6%𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒. = 0,06

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Aplicar la fórmula: 𝐼 = 𝑃. 𝑖. 𝑛 𝐼 = 10.500.000 ∗ 0,06 ∗ 5

𝐼 = 3.150.000

Respuesta. La cantidad de intereses que se generan al cabo de 5 años por el CDT corresponde a $ 3.150.000

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En cuanto tiempo quincenas una inversión de 20´000.000 produce intereses de 7´200.000 si el capital se invirtió al 7.5% trimestral simple.

Solución. En primer lugar se hace la gráfica:

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Se debe transformar la tasa de interés trimestral simple a una tasa de interés quincenal simple. 𝑖𝑞𝑠 =

7,5 6

% = 1,25% 𝑞𝑠 = 0,0125

Aplicar la fórmula: 𝐼 = 𝑃. 𝑖. 𝑛

𝑛=

𝑛=

𝐼

𝑃𝑖

7.200.000

(20.000.000)(0,0125)

𝑛 = 28,8

Respuesta. En un tiempo de 29 quincenas aproximadamente se obtienen los intereses mencionados anteriormente.

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lOMoARcPSD|4050704

Se respalda una deuda de 11´000.000 a una tasa de 20.7% anual simple a 190 días de plazo. Queda de acuerdo de pagar una tasa de interés moratoria igual al 15.5% semestral simple. Calcule el interés moratorio y la cantidad total por pagar si el documento es liquidado 120 días después de la fecha de vencimiento. Solución. Representación gráfica:

Se debe transformar las dos tasas de interés dadas anteriormente a tasas de interés diarias simples: Tasa de interés del periodo 0 a 190 días: en un año hay 360 días 𝑖𝑑𝑠 =

20,7 360

% = 0,0575% 𝑑𝑠 = 0,000575

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Tasa de interés del periodo 190 a 310 días: en un semestre hay 180 días 𝑖𝑑𝑠 =

15,5 180

% = 0,0861% 𝑑𝑠 = 0,000861

Determinamos el valor de F que corresponde al valor futuro de la deuda a los 190 días. 𝐹 = 𝑃 + 𝐼1 = 𝑃(1 + 𝑖. 𝑛)

𝐹 = 11.000.000(1 + 0,000575 ∗ 190) = 12.201.750 Determinamos los intereses moratorios que corresponden a 120 días después de la fecha de vencimiento de la deuda y que se halla en base al valor de F calculado anteriormente. 𝐼𝑚𝑜𝑟𝑎 = 𝐹. 𝑖. 𝑛 = (12.201.750)(0,000861)(120) = 1.260.684,81

𝐼𝑚𝑜𝑟𝑎 = 1.260.684,81

Respuesta. Los intereses moratorios corresponden a $ 1.260.684,81 Por ultimo determinamos el valor X que se refiere a la cantidad total a pagar.

𝑋 = 𝐹 + 𝐼𝑚𝑜𝑟𝑎 = 12.201.750 + 1.260.684,81 = 13.462.434,81

Respuesta. La cantidad total a pagar a los 310 días corresponde a $ 13.462.434,81

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lOMoARcPSD|4050704

Calcule la cantidad de intereses de un préstamo de 35´000.000 al 8% trimestral simple del 15 de abril del 2017 al 13 de agosto del 2018.

Solución. Primero la interpretación gráfica:

Determinar con la aplicación del celular “calculadora de días”, los días que hay entre el 15 de abril del 2017 al 13 de Agosto del 2018. Hay 485 días.= n

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Transformar la tasa de interés trimestral simple a una tasa de interés diaria simple: En un trimestre hay 90 días. 𝑖𝑑𝑠 =

8

90

% = 0,0889% 𝑑𝑠 = 0,000889

Aplicar la fórmula: 𝐼 = 𝑃. 𝑖. 𝑛

𝐼 = 35.000.000 ∗ 0,000889 ∗ 485 = 15.090.775 Respuesta. Los intereses del préstamo corresponden a $ 15.090.775

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Determine la cantidad de intereses que se obtienen de 25.000 dólares del 2 de enero del 2016 al 01 de agosto del 2018. La tasa de interés es del 6.5% anual simple

Solución. Primero se debe hacer la gráfica:

Determinar con la aplicación del celular “calculadora de días”, los días que hay entre el 2 de enero del 2016 al 1 de Agosto del 2018. Hay 942 días.= n

Transformar la tasa de interés anual simple a una tasa de interés diaria simple: En un año hay 360 días.

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6,5

𝑖𝑑𝑠 = 360 % = 0,0181% 𝑑𝑠 = 0,000181

Aplicar la fórmula: 𝐼 = 𝑃. 𝑖. 𝑛

𝐼 = 25.000 ∗ 0,000181 ∗ 942 = 4.262,55 Respuesta. Los intereses del préstamo corresponden a 4.262,55 dólares.

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lOMoARcPSD|4050704

Se desea comprar una máquina. Se recibe el 18 de abril del 2017. La siguiente oferta a 1´789.000 de contado, b 500.000 de cuota inicial y se firma un pagare de 1´480.000 con vencimiento el 16 de agosto del 2017 y c 300.000 de cuota inicial y se firman dos pagares uno por 630.000 a 30 días de plazo y otro 980.000 con fecha de vencimiento el 17 de julio del 2017. Cual oferta le conviene más si el rendimiento normal del dinero es de 2.5% mensual simple

OFERTA A) $1´789.000 de contado OFERTA B) Realizamos la interpretación grafica de la oferta B

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Determinar con la aplicación del celular “calculadora de días”, los días que hay entre el 18 de abril del 2017 al 16 de Agosto del 2017. Hay 120 días.= n

Transformar la tasa de interés mensual simple a una tasa de interés diaria simple: En un mes hay 30 días. 𝑖𝑑𝑠 =

2,5 30

% = 0,0833% 𝑑𝑠 = 0,000833

Aplicar la fórmula:

Se toma como punto focal el punto en P y quedaría:

𝑃 = 500.000 +

𝑃 = 500.000 +

1.480.000

(1+𝑖𝑑𝑠.𝑛)

1.480.000

(1+0,000833∗120)

= 1.845.503,47

Para el día 18/04/17 la oferta B seria de $1´845.944 sin los intereses

OFERTA C) Realizar la gráfica:

Determinar con la aplicación del celular “calculadora de días”, los días que hay entre el 18 de abril del 2017 al 17 de julio del 2017, que corresponde a 90 días.= n

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lOMoARcPSD|4050704

La tasa de interés diaria simple es la misma calculada anteriormente que corresponde a 0,0833%.

Se toma como punto focal el 18 de abril del 2017 y se trae el valor de los dos pagares a esa fecha, para conocer el valor presente de la oferta:

𝑃 = 300.000 + 𝑃 = 300.000 +

630.000

(1+𝑖𝑑𝑠.𝑛)

+

630.000

980.000

(1+𝑖𝑑𝑠.𝑛)

(1+0,000833∗30)

+

980.000

(1+0,000833∗90)

= 1.826.293,49

El día 18/04/17 la oferta C tendría un valor de $1´826.293,49 sin los intereses de los pagarés.

Respuesta. Por lo tanto, al comparar los valores de las tres ofertas para comprar la máquina, la mejor opción es la oferta A porque es la más económica.

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Cuanto deberá pagar una persona por un crédito que le concedieron por una deuda de 35’560.000 a 55 días de plazo si le cargan una tasa de interés del 3.25% mensual simple.

Solución. Primero se hace la gráfica:

Hay que determinar la tasa de interés diaria simple, para eso se tiene en cuenta que en un mes hay 30 días:

𝑖𝑑𝑠 =

3,25 30

% = 0,1083% 𝑑𝑠 = 0,00108

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Aplicar la fórmula de valor futuro: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖𝑑𝑠. 𝑛)

𝐹 = 35.560.000(1 +∗ 0,00108 ∗ 55) = 37.672.264 Respuesta. La persona deberá pagar a los 55 días por el crédito solicitado una cantidad de $ 37.672.264.

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Un empresario acuerda con una entidad financiera un préstamo bancario por la suma de $280 millones para pagar en un plazo de 120 días y una tasa de interés del 20% anual simple. ¿Cuánto dinero deberá pagar cuando se cumpla el plazo pactado? SOLUCIÓN Lo primero para realizar el ejercicio es realizar la gráfica, sabiendo que:  𝑃 = $280.000.000  𝑛 = 120 𝑑𝑖𝑎𝑠

 𝑖 = 20% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑛 = 120

$280.000.000

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𝐹

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El problema nos pide hallar el dinero que se deberá pagar, esto hace referencia al valor futuro F; para ello se deberá hacer uso de la formula 𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖 ∗ 𝑛) (1) En ella la tasa de interés deberá tener las mismas unidades del periodo. Como en este caso el interés se encuentra en años y el periodo en días, se tendrá que convertir la tasa interés de la siguiente manera:

1 𝑎ñ𝑜 = 360 𝑑𝑖𝑎𝑠

𝑖=

Reemplazando en la primera ecuación, nos da 𝐹 = 280.000.000(1 + 0.00055 ∗ 120) 𝐹 = 298.480.00

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20% = 0.055% 360

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Calcular la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa del 29% anual simple. DATOS  𝑖 = 29% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒

1 𝑎ñ𝑜 = 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 En este problema nos piden convertir una tasa de interés anual a mensual y se procede de la siguiente forma: 𝑖=

29% 12

𝑖 = 2.42% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒

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Una entidad financiera prestó $ 30.000.000 a una persona por 5 años. Se sabe que durante este lapso de tiempo la tasa de interés tuvo las siguientes variaciones: • 0,5% quincenal simple durante los primeros 17 meses. • 2,5% semestral simple por los 15 meses consecutivos. • 1,2% mensual simple por los siguientes 4 trimestres. • 6% anual simple por los siguientes 5 bimestres. • 0,016% diario por los últimos 6 meses. a) El inversionista desea conocer el interés generado por su capital. b) ¿Cuál es la tasa única anual simple de esta operación?

SOLUCIÓN En primer lugar se procede a sacar datos y luego realizar la grafica DATOS  𝑃 = 30.000.000

 En los primeros 17 meses el 𝑖 = 0.5% 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙

 En los siguientes 15 meses el 𝑖 = 2.5% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

 En los siguientes 4 trimestres el 𝑖 = 1.2% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

 En los próximos 5 bimestres el 𝑖 = 6% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

 Y en los últimos 6 meses el 𝑖 = 0.016% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜

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I1

I2

I3

I4

I5

17 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

15 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

4 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

5 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

𝑖 = 0.5% 𝑞

𝑖 = 2.5% 𝑠

𝑖 = 1.2% 𝑚

𝑖 = 6% 𝑎

𝑖 = 0.016% 𝑑

𝑃 = 30.000.000 Como se observa los intereses no se encuentran en las mismas unidades que el periodo, así que se procede hacer las respectivas conversiones  0.5% 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑐𝑒𝑛𝑎𝑙 = 1% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

 2.5% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 = 0.42%𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙  1.2% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 = 3.6% 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙  6% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = 1.2% 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

 0.016% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 = 0.48% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

En la primera parte del problema nos piden hallar el valor de los intereses totales, para calcularlos se plantea la siguiente ecuación: 𝐼 = 𝐹 − 𝑃 (1)

Como se observa ya tenemos el valor de P, ahora nos corresponde hallar el valor de F 𝐹 = 𝑃 + 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 + 𝐼4 + 𝐼5

𝐹 = 30,000,000 + 30,000,000 ∗ 0.01 ∗ 17 + 30,000,000 ∗ 0.0042 ∗ 15 + 30,000,000 ∗ 0.036 ∗ 4 + 30,000,000 ∗ 0.012 ∗ 5 + 30,000,000 ∗ 0.0048 ∗ 6 𝐹 = 43,974,000

Reemplazando en la ec. 1:

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𝐹

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𝐼 = 43,974,000 − 30,000,000 𝐼 = 13,974,000

En la segunda parte del problema nos piden calcular la tasa única simple anual

Despejando la tasa de interés

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑖 ∗ 𝑛) 43,974,000 = 1 + 5𝑖 30,000,000

𝑖 = 9.32% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒

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Un empresario desea saber cuánto debe invertir el 22 de octubre de 2016 en un fondo que le garantiza el 28% anual simple para que el 25 de marzo de 2018 pueda retirar la suma de $150´000.000. DATOS:  𝑃 =?

 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜 = 22 − 10 − 16

 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 25 − 03 − 18

 𝑖 = 28% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒  𝐹 = 150,000,00

Con la información que contamos se realiza la grafica

𝐹 = 150,000,000 𝑛 = 519 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑖 = 28%𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑃

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En este problema se debe hallar el valor que se debe invertir para obtener la suma de 150,000,000; para esto se debe, en primer lugar, convertir la tasa de interés

𝑖=

28% = 0.077% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 360

Luego se aplica la formula

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑛 ∗ 𝑖) Y de ella se despeja el presente

𝑃=

150,000,000 (1 + 519 ∗ 0.00077) 𝑃 = 107,171,181

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Calcular la cantidad de interés que genera un capital de $10´000.000 en 3 años a una tasa de interés del 0,8% mensual simple

DATOS  𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠

 𝑖 = 0.8% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒  𝑃 = 10,000,000

 𝐼 =?

𝑛 = 3 𝑎ñ𝑜𝑠

𝑃 = 10,000,000

𝑖 = 0.8% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙

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𝐹

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En este problema piden calcular la cantidad de intereses, para ello se aplica la siguiente formula

𝐼 =𝐹−𝑃 Como no se tiene el valor futuro, se deberá hallar con la ecuación

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑛 ∗ 𝑖) Al igual que los anteriores problemas, se debe convertir la tasa de interés

𝑖 = 0.8% ∗ 12 = 9.6% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 Reemplazando 𝐹 = 10,000,000(1 + 3 ∗ 0.096) 𝐹 = 12,880,000

Entonces, aplicando la primera ecuación 𝐼 = 12,880,000 − 10,000,000 𝐼 = 2,880,000

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Se firma un pagare el 10 de enero de 2017 por un valor de $65.490.000 pactándose un interés del 9% semestral simple. Se desea saber en qué fecha los intereses serán de $9.590.000.

P = $65.490.000

18/10/17

10/01/17 Is = 9% semestral

La fecha 10/01/17 representa el día en el que se tienen $65.490.000. Se observa que la tasa de interés que me da el ejercicio es semestral, dicha tasa de interés debe ser coherente con el ‘’n’’ del ejercicio, por lo cual lo primero que haremos es transformar la tasa de interés semestral a diaria. Se usa la siguiente formula: Interés diaro simple (Ids) =

9

180

% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 = 0.0005 = 0.05% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒

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Se divide la tasa de interés semestral sobre 180, debido a que en un semestre hay 180 días.

Ya que la tasa de interés y ‘’n’’ concuerdan, procedemos a hallar la fecha en la que los intereses serán de $9.590.000, para esto usamos la siguiente formula: I = P x is x n

Dónde: P es el valor presente, is es la tasa de interés simple y n hace referencia a la fecha en la que se firma el pagaré y la fecha en la que el interés alcanza los $9.590.000.

Despejando la formula en función de n, tenemos: 𝑛 =

𝐼

𝑃 𝑥 𝑖𝑠

=

9.590.000

65.490.000 𝑥 0.0005

= 293 𝑑í𝑎𝑠

Ahora, le sumamos 293 días a la fecha 10/01/17, lo que nos da la fecha de 18/10/17, es decir, los intereses serán de $9.590.000 el 18 de Octubre del 2017. R/. I = $9.590.000

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Se quiere saber que suma se debe colocar en un fondo de inversiones que paga una tasa de interés promedio del 8,5% anual simple, para dentro de 18 meses poder retirar la suma de $13.000.000.

P =?

n=540 días Is = 8.5% anual

F = $13.000.000

Se observa que tenemos en el ejercicio una tasa de interés anual simple y el ‘’n’’ lo tenemos en meses, así que debemos transformar la tasa de interés anual a una diario simple, lo hacemos de la siguiente manera: Interés diario simple (ids) =

8.5

360

% = 0.00024 = 0.024 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒

Se divide 8.5 sobre 360 debido a que en un año hay 360 días.

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Luego transformamos los 18 meses en días, lo cual equivale a 540 días. El ejercicio nos pide hallar P, para lo cual se utiliza la siguiente formula: F = P (1 + is x n) Despejando en función de P, tenemos: 𝑃=

𝐹 (1+𝑖𝑠 𝑥 𝑛)

=

13.000.000 (1+0.00024 𝑥 540)

= $11.508.499

Esto quiere decir que la suma que se requiere colocar en el fondo de inversiones para dentro de 540 días retirar la suma de $13.000.000, es de $11.508.499. R/. P = $11.508.499

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Se desea conocer el interés que se debe cancelar el 3 de agosto de 2018 a una entidad bancaria por el préstamo de $31.000.000 realizado el 31 de marzo de 2017, si se conoce que hasta el 30 de noviembre del 2017 se cobra un interés del 5.4% bimestral simple y de ahí en adelante del 7.8% trimestral simple. $31.000.000 n1=244 días 31/03/17

n2 =246 días

03/08/18

30/11/17 ibs= 5.4% its= 7.8%

Se observa que las tasas de interés y ‘’n’’ no son coherentes, así que debemos pasar cada una de las tasas de interés a tasas de interés diarias, realizando el siguiente procedimiento: ibs  ids 𝑖𝑑𝑠 =

5.4 % = 0.0009 = 0.09 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 60

Se divide 5.4 sobre 60 debido a que en un bimestre hay 60 días. its  ids 𝑖𝑑𝑠 =

7.8 % = 0.00087 = 0.087 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 90

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lOMoARcPSD|4050704

Se divide 7.8 sobre 90 debido a que en un trimestre hay 90 días. Luego hallamos la cantidad de días que hay entre 31/03/17 y 30/11/17, lo cual son 244 días. Hacemos lo mismo partiendo desde 30/11/17 a 03/08/18, lo cual equivale a 246 días. El ejercicio nos pide que hallemos el interés que se debe cancelar el 3 de agosto de 2018 por el préstamo, lo hacemos de la siguiente manera: 𝐼 = 𝑃 𝑥 𝑖𝑠 𝑥 𝑛 𝑖1 = 31.000.000 × 0.0009 × 244 = 6.807.600 𝑖2 = 31.000.000 × 0.00086 × 246 = 6.558.360

Tenemos que el interés total, es la suma de los dos intereses hallados anteriormente: 𝐼 = 6.807.600 + 6.558.360 = $13.365.960

R/. I = $13.365.960

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lOMoARcPSD|4050704

Juan debe pagar $1.600.000 de matrícula en la universidad el día 13 de febrero de 2018. ¿Cuánto dinero debió depositar el 5 de agosto de 2017 en una cuenta de ahorros que paga el 5% anual simple?

F = $1.600.000 n = 192 días 05/08/17 13/02/18 is = 5% anual P =?

Para resolver el ejercicio lo primero que debemos hacer es transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés diario simple.

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𝑖𝑑𝑠 =

5 % = 0.00014 = 0.014 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 360

Se divide 5 sobre 360 debido a que un año tiene 360 días. Luego, hallamos la cantidad de días que hay entre las fechas 05/08/17 y 13/02/18, que son 192 días. Ahora, el ejercicio nos pide hallar P, lo hacemos aplicando la siguiente formula: 𝐹 = 𝑃 (1 + 𝑖𝑠 𝑥 𝑛) Despejando P de la formula tenemos: 𝑃 =

𝐹 (1+𝑖𝑠 𝑥 𝑛)

=

1.600.000

(1+0.00014 𝑥 192)

= $1.558.118

Esto quiere decir que Juan debió depositar $1.558.118 el 5 de Agosto de 2017.

R/. P= $1.558.118

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Se quiere saber cuánto se recibirá “exactamente” al final, si presta a un amigo la suma de $3.000.000 entre el 23 de agosto de 2017 hasta el 7 de octubre de 2019 a una tasa de interés del 35% anual simple.

F=?

23/08/17

n = 775 días is = 35% anual

7/10/19

P = $3.000.000

Se observa en el préstamo se realiza entre las fechas, 23/08/17 y 7/10/19, hallamos la cantidad de días que hay entre ambas fechas y encontramos que son 775 días. Es por esto que ahora debemos pasar la tasa de interés anual simple a una tasa de interés diario simple, de la siguiente manera: 𝑖𝑑𝑠 =

35 % = 0.00097 = 0.097 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 360

Una vez que tenemos la tasa de interés simple y ‘’n’’ en las mismas unidades, procedemos a hallar F, que es lo que nos pide el ejercicio, lo hacemos aplicando la siguiente formula: 𝐹 = 𝑃 (1 + 𝑖𝑠 𝑥 𝑛) = 3.000.000 (1 + 0.00097 𝑥 775) = $5.255.250

Esto quiere decir que al final se recibirán ‘’exactamente’’ $5.255.250 R/. F= $5.255.250

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Una persona tiene las siguientes deudas la primera por $ 24.500.000 que deberá pagar dentro de 3 meses y la segunda por $23.680.000 a pagar dentro de 5 meses. Si se desea cancelar toda la deuda en este momento, ¿Qué cantidad deberá pagar si la tasa de interés es de 4,3% bimestral simple? Use el periodo cero como fecha focal.

En 1 año hay 12 meses y cómo podemos observar en el ejercicio nos dan un tiempo de 8 meses, en 8 meses hay 4 bimestres, como tenemos la tasa de interés en bimestres debemos pasarla a meses de la siguiente manera: 𝐼

I = ∗ 100

I=

𝑃

4.3% 2

= 0.0215 meses

F= P (1+i*n)

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Partiendo de la ecuación dada, seguimos a reemplazar desde el punto focal hasta los 3 meses. F= 24, 500,000 (1+ (0.0215) (3)) F= 24, 500, 000 (1+0.0645) F= 24, 500, 000 (1.0645) F= 26, 080,250

Para este inciso reemplazamos con los valores, pero esta seria con los siguientes meses y datos resultantes F= P (1+i*n) F= 23, 680,000 (1+ (0.0215) (5)) F= 23, 680,000 (1+0.1075) F= 23, 680,000 (1.1071) F = 26, 225,600

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Una persona requiere un préstamo por $ 16.320.000 para realizar una compra. Acuerda pagar $ 1.810.000 de intereses al cabo de 270 días. ¿Qué tasa de interés anual simple paga por el préstamo?

En 9 meses hay 270 días Los datos que nos otorga el ejercicio son los siguientes: P = 16, 320, 000 I = 1, 810, 000 N = 270 días Ia=?

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De acuerdo con la expresión tenemos que, reemplazando los datos de la siguiente manera I=P*I*n 1, 810, 000 = 16, 320, 000 (i) (9 meses) I=

1,810,000

16,320,000(9)

I = 0.0123

Ahora lo multiplicamos por el 100% para hallar la tasa de interés I = 0.0123 * 100% = 1.23% Luego se multiplica por 12 para hallar la tasa de interés anual Ia = 1.23% * 12 meses = 14.78% Ia = 14.78%

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Se puede comprar un equipo de sonido en $ 8.750.000 de contado o bien, en $ 9.267.000 a crédito con 5 meses de plazo. Si el dinero se puede invertir al 15% anual, ¿Qué alternativa de pago resulta más ventajosa para el comprador?

Los datos obtenidos del ejercicio son los siguientes: D = 8, 750, 000 F = 9, 267, 000 N = 5 meses

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En 1 año hay 12 meses 𝐼

I = ∗ 100 𝑃 I=

15% 12

= 1.25% mensual

Aplicando la ecuación de pago futuro, y despejando el pago se obtiene lo siguiente: F = P (1 + i (n)) P=

9,267,000

(1+1.25%(5))

P = 8, 721, 882

Donde el valor de pago y la mejor opción es 8, 721, 882 siendo la mejor opción para pagar de contado.

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Un equipo para una empresa industrial cuesta $ 5.200.000 si se paga de contado y $ 5.680.000 si se paga a los 125 días. Si la empresa realiza un préstamo de $5.200.000 por el mismo tiempo al 9% anual simple para comprar el equipo y pagar de contado, le conviene?

12 meses equivalen a 1 año, para saber cuánto es la tasa de interés mensual procedemos hacer lo siguiente: 𝐼

I = ∗ 100 𝑃

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I=

9% 12

= 0.075% mensual ---------- 0.75%

Aplicando la ecuación de pago futuro, se obtiene lo siguiente: F = 5, 200, 000 (1+ 0.75% (12 m) F = 5, 668,000

El préstamo si conviene, ya que esa tasa de interés paga menos que 5, 680, 000 Por otra parte 𝐼

I = ∗ 100 𝑃

I=

1.75

125 𝑑𝑖𝑎𝑠

I = 0.014

* 100 0.56 conviene más hacer el préstamo con el banco, ya que el

crédito sale a una tasa de interés muy alta.

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Se desea invertir $ 180.000.000 en dos bancos, de manera que sus ingresos totales anuales por concepto de intereses sean de $ 5.120.000 al mes. Una entidad financiera reconoce una tasa de interés del 6,16% anual simple y la otra ofrece una tasa del 1,82% trimestral simple. ¿Cuánto debe invertir en cada banco? En 1 año hay 12 meses Ias =

6.16

= 0.00.513 --------0.513% mensual simple

Its =

1.82

= 0.00606 ---------0.606% mensual simple

12 3

I=P*i*n X + Y = 180, 000,000 Reemplazamos en la formula dichos datos 0.00513X + 0.00606Y = 5, 120, 000 0.00513X + 0.00606 (180, 000, 000 – X) = 5, 120, 000 Despejando en ecuación tenemos que: 0.00606-0.00513X + 1090800-X = 5, 120, 000 0,00093X + 1090800 = 5, 120, 000 Restamos el 1090800 en ambos lados

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-0,00093X + 1090800 – 1090800 = 5, 120, 000 – 1090800 Acá pasamos el -0,00093 a dividir para despejar la variable -0,00093X = 4029200 X=

4029200

−0,00093

X = -433, 274,311 Reemplazando en la ecuación tenemos que: Y = 180, 000, 000 – X Y = 180, 000, 000 + 433, 274, 3 11 Y = 613, 274, 311

La cantidad de X y Y no da precisa, porque los intereses mensuales son muy altos con respecto a los intereses planteados originalmente en el ejercicio, por lo que no se pudo obtener el concepto de interés establecido.

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Un padre de familia coloca su capital mediante préstamos a interés simple. El primero y segundo préstamos de $35.000.000 y $ 38.000.000, respectivamente; realiza el segundo préstamo 9 meses después del primero. La tasa que ofrecen pagarle es del 5.2% trimestral simple, ¿cuál es el monto generado por estos préstamos si ambas partes deciden mantener esta operación por 6 semestres más después del último préstamo?

GRAFICA

n1 = 9 meses

𝑖1 = 5.2% t simple

P= $35.000.000

n2 = 6 Semestres

𝐹2 = ¿?

P2= 38.000.000

FORMULAS A EMPLEAR 𝐟 = 𝐏(𝟏 + 𝐈𝐬 ∗ 𝐍)

a) Averiguar el futuro para el primer préstamo 

ANALISIS

Encontrar el monto generado a partir del préstamo 1 y el préstamo 2 después de 6 semestres que se haya generado el segundo préstamo.

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

CAMBIAR LAS TASA DE INTERES La tasa de interés está en trimestral simple por consiguiente debemos pasarla a semestral, ya que queremos trabajar con semestres y tanto la tasa de interés como el periodo de tiempo deben estar en iguales términos. 𝐈𝐬 = 𝟓, 𝟐% 𝐭. 𝐬 ∗ 𝟐



𝐈𝐬 = 𝟏𝟎. 𝟒% 𝐬𝐞𝐦𝐞𝐬𝐭𝐫𝐚𝐥 𝐬𝐢𝐦𝐩𝐥𝐞

AVERIGUAR N

Si vemos la gráfica en el periodo de tiempo del préstamo uno al préstamo 2 hay 9 meses, luego como estamos trabajando en semestres, pasaremos ese periodo de tiempo a meses. 9 meses * 1 semestre/6 meses = 1.5 semestres Ahora bien, del préstamo P2 hasta F1 hay 6 semestres por consiguiente N = 7.5 

ULTIMO PASO Reemplazar en la formula.

𝐟 = 𝟑𝟓. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟕. 𝟓) RESPUESTA: 62300000

b) Averiguar el futuro para el segundo préstamo  Análisis Se hace el mismo proceso prácticamente, en este caso solo seria 6 meses 𝐟 = 𝟑𝟖. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟔) RESPUESTA: 61712000

FT = 61712000+62300000= 124.012.000

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Una persona invierte $ 32.000.000 en dos entidades financieras diferentes, En la entidad financiera 1 invirtió una parte de los $ 32.000.000 en una cuenta de ahorros que paga rendimientos liquidables al vencimiento a plazo de 180 días y a una tasa de interés del 9,25% semestral simple. En la otra entidad financiera invirtió el resto con rendimientos liquidables al vencimiento de 180 días y una tasa de interés del 5,8% trimestral simple. Si al final del plazo, el interés total fue de $ 3.300.000, ¿Cuál fue la cantidad invertida en cada una de las entidades financieras?.

GRÁFICA Is= 9.25% semestral

F= ¿? 180 días

P1= X Is = 5.8% Trimestral P2=32000000- X

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180 días

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

ANALISIS

Para la primera entidad invierte un monto de X y para la segunda invertirá 32000000-X

DATOS

PT= 32.000.000

N2= 180 Días

N1=180 días

Interés total = 3.300.000

Teniendo conocimiento que 𝐈𝐭 = 𝐈𝟏 + 𝐈𝟐 luego, 𝟑. 𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝐈𝟏 + 𝐈𝟐 

CONVERTIR LAS TASA DE INTERES

Como N está en días debemos llevar nuestra tasa de interés de semestral a días en los dos casos.



Is1 =

9.25%

Is2 =

5.8%

180 90

= 0.0514% dia

= 0.0644% dia

1 semestre=180 días

1 trimestre= 90 días

REEMPLAZAR 𝐈𝐭 EN LA FORMULA DE INTERES SIMPLE. 3300000 = P1 ∗ Is1 ∗ N1 + P2 ∗ Is2 ∗ N2



3300000 = X ∗ (0.000514)(180) + (32000000 − X)(0.000644)(180)

DESPEJANDO X

𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟗𝟐𝟓𝟐𝐗 + 𝟑𝟕𝟎𝟗𝟒𝟒𝟎 − 𝟎. 𝟏𝟏𝟓𝟗𝟐𝐗

𝟑𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟕𝟎𝟗𝟒𝟒𝟎 = (𝟎. 𝟎𝟗𝟐𝟓𝟐 − 𝟎. 𝟏𝟏𝟓𝟗𝟐)𝐗 −𝟒𝟎𝟗𝟒𝟒𝟎 = (−𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝟒)𝐗

RESPUESTA

𝐗=

−𝟒𝟎𝟗𝟒𝟒𝟎 −𝟎. 𝟎𝟐𝟑𝟒

La cantidad invertida en el primer pago es de $ 17.497.345,9 La cantidad invertida en el segundo pago es de & 32000000-17.497.345,9 =14502564.1

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Si a usted le hacen un préstamo por $ 44.238.000 y aceptan liquidar el préstamo dos años después. Existe el acuerdo que mientras exista la deuda, pagará intereses mensuales de 2,5% mensual simple. ¿Cuánto deberá pagar de intereses cada mes? ¿Si la deuda se liquida solo hasta el final de los 2 años cuánto se deberá pagar?

GRÁFICA DEL TIEMPO

𝑖1 = 2.5% mensual simple

0

P1= $44238000

𝑰 = 𝑷 ∗ 𝒊𝒔 ∗ 𝑵 FORMULA

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F1 = ¿? n1 = 2 años

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a) CUANTO DEBERÁ PAGAR CADA MES 

CALCULAR EL INTERES A UN MES

I = 44238000 ∗ 0.025 ∗ 1mes I = $1105950 

CALCULAR EL INTERES A UN AÑO

I = 44238000 ∗ 0.025 ∗ 24meses I = $26542800 b) ¿Si la deuda se liquida hasta el final de dos años cuanto se deberá pagar? 

Convertir tasa de interés. is = 2.5% mensual simple ∗ 12 = 30% anual simple



Reemplazar datos en la formula. 𝐟 = 𝐏(𝟏 + 𝐈𝐬 ∗ 𝐍)

f = 44238000(1 + 0.3 ∗ 2 años ) Respuesta Deberá pagar $ 70780800

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Qué interés generan $ 3.150.000 en 6 meses al 1,8% quincenal simple?

𝑖2 = 1.8% quincenal simple P2= $3.150.000

n2 = 6 meses

Formulas a) F = P + I b) I = P * is* N 



TRANSFORMAR TASA DE INTERES is = 1.8% ∗

CALCULAR EL INTERES 𝐈 = 𝟑𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟎𝟑𝟔 ∗ 𝟔

24 = 3.6% mensual simple 12

Respuesta

La cantidad de intereses que se gano fue de $680400 en 6 meses.

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Una persona compra a crédito un equipo que tiene un precio de contado de $11.520.000. Queda de acuerdo en dar una cuota inicial de $ 3.500.000 y un pago final 5 meses más tarde. Si acepta pagar una tasa de interés del 10.8% semestral simple sobre el saldo, ¿Cuánto deberá pagar dentro de 5 meses?

GRAFICA DEL TIEMPO (crédito) 3.500.000 F= ¿?

N = 5 meses P=11.520.000



ANALISIS Valor del equipo contado 115.200.000, si la persona decide sacar el equipo a crédito la Primera cuota que deberá pagar será de $ 3.500.000.

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Si analizamos esta situación, si la persona saca el equipo a crédito los intereses que se generen a partir de ahí, estarán en base de lo que debe que es: Lo que debe = 115.200.000 - 3.500.000 = $ 8020000 

TRANSFORMACION DE LA TASA DE INTERES La tasa de interés el ejercicio se encuentra en semestral, pero si vemos nuestra N que significa el periodo de tiempo está en meses, para poder resolver este ejercicio tanto N como la tasa de interés deben estar en los mismos términos, por ende, convertiremos la tasa de interés a meses siendo esto lo más indicado. Como 1 semestre tiene 6 meses, dividimos nuestra tasa de interés entre 6 𝐢𝐬 =



𝟏𝟎. 𝟖 % = 𝟏. 𝟖% 𝐦𝐞𝐧𝐬𝐮𝐚𝐥 𝐬𝐢𝐦𝐩𝐥𝐞 𝟔

REEMPLAZAR EN LA FORMULA

𝐟 = 𝐏(𝟏 + 𝐈𝐬 ∗ 𝐍)

𝐟 = 𝟖𝟎𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟖 ∗ 𝟓 𝐌𝐄𝐒𝐄𝐒) RESPUESTA Se deberá pagar dentro de 5 meses f = $ 8741800

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Una empresa de ingeniería completa un proyecto en donde obtuvo una ganancia de $2.300.000.000 en un año. Si la cantidad de dinero que la empresa había invertido fue de $9.000.000.000. Cuál es la tasa de interés que representa el retorno de la inversión. SOLUCION: se realiza el diagrama económico sabiendo que: I= 2.300.000.000 P=9.000.000.000 IT=? n= 1 año

IT=? P=2.300.000.000

El ejercicio solicita hallar la tasa de interés con la cual se obtienen intereses de 2.300.000.000 por lo tanto se aplica la siguiente formula en función de los intereses: 𝐼 = 𝑃 × 𝐼𝑇 × 𝑛

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Despejando la variable IT se tiene: 𝐼

𝐼𝑇 =

𝑃×𝑛

𝐼𝑇 =

9.000.000.000×1

Reemplazando las variables conocidas en la ecuación:

IT=

2.300.000.000

25,5% anual

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Calcular la cantidad de intereses producidos por $3.500.000 que fueron colocados por 20 trimestres, a una tasa del 1,9% mensual simple.

SOLUCION: se procede a realizar el diagrama económico sabiendo que:

I=? P= 3.500.000 IT=1,9% ms n= 20 trimestres

IT=1.9%mensual P=3.500.000

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El ejercicio solicita hallar los intereses por lo tanto se aplica la siguiente ecuación: 𝐼 = 𝑃 × 𝐼𝑇 × 𝑛

Antes de reemplazar en la ecuación, transformamos el interés mensual a interés trimestral de la siguiente manera: 0,019𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 ×

12𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠

4𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

= 0,057 = 5,7 % 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Reemplazamos los valores en la ecuación: 𝐼 = 3.500.000 × 0,057 × 20 I=

3.990.000

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Cuánto dinero se invirtió el 9 de mayo del 2016 al 10,5% anual simple para disponer de un monto de $5.000.000 el 22 de junio del 2018? SOLUCION: se procede a realizar el diagrama económico sabiendo que:

F= $5.000.000 n=774 días IT= 10, 5 % anual P=?

F= 5.000.000

IT= 10, 5% mensual P=?

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Se dice que para hallar P que es el valor que se invirtió se aplica la siguiente ecuación: 𝑃=

𝐹

(1+𝐼𝑇)×𝑛

Antes de reemplazar en la ecuación se transforma la tasa de interés mensual a interés anual: 0,105 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 ×

1𝑎ñ𝑜

360𝑑𝑖𝑎𝑠

= 0.00029 = 0,0209% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜

Reemplazamos los valores en la ecuación: 𝑃=

P=

5.000.000

(1+0,00029)×774

4083432.697

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Juan presta $4.000.000 al 22.5% anual simple el 13 de abril del 2017. Calcule la cantidad que le adeudarán al 28 de Julio 2022

SOLUCION: se procede a realizar el diagrama económico sabiendo que: F=? P=4.000.000 IT=22,5% as n= 1932 F=?

P=4.000.000

IT= 22,5% as

Para hallar F que es la cantidad que se adeuda en los 1932 días se aplica la siguiente ecuación: 𝐹 = 𝑃(1 + 𝐼𝑇 × 𝑛)

Antes de reemplazar en la ecuación se transforma la tasa de interés anual a tasa de interés diaria:

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1𝑎ñ𝑜

0,225 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 × 360𝑑𝑖𝑎𝑠 = 0.000625 = 0,0625% 𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑜 Reemplazamos en la ecuación: 𝐹 = 4.000.000(1 + 0,000625 × 1932)

F=

8.830.000

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Se consignan $ 2.200.000 y al final de 2 años la suma existe es de $ 2.963.000. Se pide: Determine la suma ganada por intereses y la tasa de interés semestral simple de la operación financiera. SOLUCION: se realiza el diagrama económico sabiendo que: P= 2.200.000 n= 2 años F= 2.963.000

F=2.963.000

IT=? P=2.200.000

Se tiene que para hallar la cantidad de dinero ganado por interés se utiliza la siguiente ecuación: I = F– P

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Reemplazamos los valores que ya se conocen en la ecuación: I = 2.963.000– 2.200.000

I=

763.000

Para hallar el valor de IT se aplica la siguiente formula: I = P × IT × n Se despeja IT: 𝐼𝑇 =

𝐼

𝑃×𝑛

Reemplazamos los valores en la ecuación: 𝐼𝑇 =

763.000

2.200.000×2

IT= 0,1734 = 17,34 % anual Como nos piden la tasa de interés semestral, se debe pasar de anual simple a semestral simple de la siguiente manera: 0,1734𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 ×

1 𝑎ñ𝑜

2 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠

= 0,0867 = 8,67% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

8,67% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

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Si hizo un préstamo a un amigo por $ 2.500.000 durante dos años, al final de los cual le entregaron $ 3.200.000. ¿Cuál fue su la tasa de interés mensual simple que le pagaron? Solución F= $ 3.200.000

n= 2 años ί=? P= $ 2.500.000

Para hallar la tasa de interés que debe pagar durante los dos años partimos con la fórmula de futuro que: F=P (1+ί*n) de la ecuación despejamos la incógnita de interés ί=

F −1 P

n

y reemplazamos los datos. 3.200.000 −1 ί = 2.500.000 = 0.14 ≈ 14% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 2

Luego de hallar el interés nos está dando el interés anual debemos pasarlo a mensual lo cual lo vamos a dividir en 12 meses que tiene un año

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ί=

14 % = 1.17% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12

Respuesta: Durante los dos años le debe pagar a el amigo el interés de 1.17% mensual

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A usted le prestaron $ 15.520.000 durante 5 trimestres, al final del cual debe pagar $16.180.000. Cuál fue la tasa de interés anual simple que le cobraron.

F= $ 16.180.000

n= 5 trimestres ίa =? P= $ 15.520.000

Partiendo que F=P (1+ί*n) de ahí comenzamos a despejar pasamos a multiplicar P y pasamos a restar uno

F

P

− 1 = Í ∗ n luego pasamos a dividir n para que la ecuación nos quede en

función del interés

𝐹 −1 𝑃

𝑛

=Í

Primero pasamos los trimestres a años porque nos están pidiendo el interés anual en: 1 año

4 trimestres

X

5 trimestres

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X = 5 trimestres * 1 año

= 1.25 años

4 trimestres Luego aplicamos la ecuación despejada con 1.25 años que nos dio la operación anterior 16.180.000 −1 15.520.000 Í= = 0.03402 ≈ 3.4% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 1.25

Respuesta: la tasa de interés anual simple que le cobraron durante los 1.25 años es de 3.4% anual

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Hallar el valor presente de $17.320.000 al 12,3% anual simple durante dos años y medio.

F= $ 17.320.000

n= 2.5 años ί = 12.3% anual P= $?

El valor presente se simboliza por P, de un valor futuro F que se vence en una fecha futura, es la cantidad de dinero que invertida hoy a una tasa de interés dada producirá un monto F. Para hallar el valor presente utilizamos la siguiente formula: P = Donde:

P= valor presente F= valor futuro

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F

(1+Í∗n)

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ί= tasa de interés n= tiempo P=

17.320.000 = 13.246.654 (1 + 0.123 ∗ 2.5)

Respuesta: El valor presente con la tasa de interés de 12.3 % anual simple es de $13.246.654

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Juanita solicitó prestado $5.600.000 para pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es del 30% anual simple, Que cantidad debe pagar por concepto de intereses dentro de 15 meses?

F= $?

4 meses

n= 15 meses ί = 30% anual simple P= $5.600.000 El valor futuro F, indica que un capital que se presta o invierte durante un tiempo n, a una tasa de interés simple ί% por una unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad F al final del tiempo n. Los interés se hallan restando a el valor futuro el valor presenta; I= F- P el valor presente lo tenemos, y el valor futuro lo hallamos por F= P (1+ί*n) I= F- P F= P (1+ί*n)

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Primero se requiere que la tasa de interés y el número de periodos se expresen en la misma unidad de tiempo 1 año = 12 meses ί:

30 % = 2.5% mensual 12

F= 5.600.000 (1+0.025*15) = $ 7.700.000 El valor futuro es $ 7.700.00 ahora hallamos los intereses I= 7.700.000 – 5.600.000= 2.100.0000 Respuesta: la cantidad que debe pagar por concepto de intereses dentro de 15 meses es de $ 2.100.000

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Una empresa recibe el 20 de noviembre de 2016 un pagaré por $ 22.840.000 a un plazo de 320 días al 20% anual simple. El 10 de febrero de 2017 lo negocia con una institución financiera que lo adquiere a una tasa de descuento del 25% anual simple. ¿Cuánto recibirá la empresa por el pagaré y cuanto ganará la institución financiera por la operación?

Vf= ? 320 días ί = 20% as 20/11/16 P= $22.840.000

ί = 25% as

n=320 días

10/02/2017 Vt=?

Para hallar el valor de la transferencia (Vt), primero debemos hallar el valor final (Vf) con el tiempo de 320 días y una tasa de interés del 20%, luego hallamos el descuento a la cantidad de intereses cobrados con anticipación (D) por la tasa de interés del 25% para la final hallamos el valor de la transferencia que es a el valor final se le resta el descuento

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Primero se requiere que la tasa de interés y número de periodos se expresen en la misma unidad de tiempo ί: ί:

20 % = 0.055% diario 360

25 % = 0.069% diario 360

Luego se halla el valor final; Vf= P*(1+ί*n) Vf= 22.840.000(1+0.00055*320) = $ 26.859.840 Seguido se halla el descuento D= Vf * ί * n, para hallar el número de días se utiliza la App calculadora de días donde nos da el dato exacto de cuantos días han transcurrido de la 10/02/17 restando a los 320 días en total del plazo la cual nos da 238 días D= 26.859.840 * 0.00069* 238 = $ 4.410.922 Finalmente se halla el valor de la transferencia teniendo el valor final y el descuento Vt= Vf – D Vt= 26.859.840 – 4.410.922 = $22.448.918 Respuesta: la empresa recibe por el pagare $26.859.840 y la institución financiera ganara $ 4.410.922

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Una persona contrajo una deuda hace 8 meses por $ 22.000.000 con un interés del 30% anual simple, y que vence dentro de 4 meses. Además, debe pagar otra deuda de $11.500.000 contraída hace 2 meses, con interés del 31% anual simple y que vence dentro de 12 meses. Si la tasa de interés es del 32% anual simple. ¿Qué pago deberá hacerse hoy para saldar sus deudas, si se compromete a pagar $ 11.000.000 dentro de seis meses? Coloque la fecha focal en el día de hoy.

Convertimos cada una de las tasas de interés simple a tasas de interés simple mensual ya que el periodo que vamos a manejar es mensual. 𝒊𝒎𝒔 =

𝒊𝒎𝒔 =

𝒊𝒎𝒔 =

𝟑𝟎% = 𝟐, 𝟓% 𝟏𝟐

𝟑𝟏% = 𝟐, 𝟓𝟖% 𝟏𝟐 𝟑𝟐% = 𝟐, 𝟔𝟕% 𝟏𝟐

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Ubicamos las deudas y los futuros pagos: El periodo cero representa el día de hoy, a la deuda de $22.000.000 le asignamos el nombre de deuda A y a la deuda de $11.500.000 le asignamos el nombre de deuda B. Ubicamos estas deudas en los respectivos meses en los que se realizaron los préstamos. Y ubicamos el punto focal en el día de hoy como lo pide el ejercicio. Podemos observar que las deudas se ubican en la parte superior de la línea del tiempo y los pagos en la parte inferior de la línea de tiempo.

Deuda A $22.000.000

Deuda B $11.500.000

Deudas Pagos

8

4

Futuro deuda A PF

●

0

Futuro deuda B 6

4

Meses 12

$11.0000.000 X

i a.s= 30% i a.s= 31% i a.s= 32%

Hallamos cada uno de los futuros de las deudas con su respectiva tasa de interés simple:

Hallamos el Futuro de la deuda A: 𝐅=𝐏+𝐈

𝐈= 𝐏∗𝐢∗𝐧

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𝐅= 𝐏+𝐏∗𝐢∗𝐧

𝐅 = 𝐏 (𝟏 + 𝐢 ∗ 𝐧)

𝑭𝑨 = 𝑷(𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏) = $𝟐𝟐. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 ∗ 𝟏𝟐) = $𝟐𝟖. 𝟔𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 Hallamos el Futuro de la deuda B:

𝐅=𝐏+𝐈

𝐈= 𝐏∗𝐢∗𝐧

𝐅= 𝐏+𝐏∗𝐢∗𝐧

𝐅 = 𝐏 (𝟏 + 𝐢 ∗ 𝐧)

𝑭𝑩 = 𝑷(𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏) = $𝟏𝟏. 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟒) = $𝟏𝟓. 𝟔𝟓𝟑. 𝟖𝟎𝟎 Ubicamos los futuros de las deudas en el gráfico y planteamos la ecuación de valor donde igualamos deudas y pagos llevando cada uno de estos al punto focal con una tasa de interés simple de 2.67% mensual.

$28.600.000 PF

Deudas 8

Pagos

4

● 0

$15.653.800 6

4

12

$11.0000.000 X

Ʃdeudas = Ʃpagos

Meses

(pf=0)

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$𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟐𝟖. 𝟔𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟓. 𝟔𝟓𝟑. 𝟖𝟎𝟎 + =𝑿+ (𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏) (𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏) (𝟏 + 𝒊 ∗ 𝒏) $𝟐𝟖. 𝟔𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 $𝟏𝟓. 𝟔𝟓𝟑. 𝟖𝟎𝟎 $𝟏𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + =𝑿+ (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟕 ∗ 𝟒) (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟐) (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟐𝟔𝟕 ∗ 𝟔) Usando el programa Solve de la calculadora casio fx-570 Plus el resultado de X es $𝟐𝟖. 𝟐𝟏𝟒. 𝟒𝟖𝟑, 𝟏𝟑 X= $𝟐𝟖. 𝟐𝟏𝟒. 𝟒𝟖𝟑, 𝟏𝟑

Conclusión: el pago que se debe hacer hoy es de $28.214.483,13; pagando dentro de 6 meses $11.000.000

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Calcule la cantidad de interés que causan $5.800.000 al 28% anual simple del 7 de Julio de 2017 a 1 de septiembre de 2017.

F= P + I 7/07/2017

Días ia.s =28%

1/09/2017

$5.800.000

Hallamos el número de días que hay entre el 7 de julio de 2017 y el 1 de septiembre de 2017. n= 7 de Julio 2017 al 1 septiembre 2017 = 56 días (hallamos este número de días usando la aplicación *calculadora de días*)

Convertimos la tasa de interés simple anual a una tasa de interés simple diaria dividiendo la tasa de interés anual en el número de días que trae un año, en este caso dividimos porque estamos convirtiendo una tasa de interés mayor a una tasa de interés menor. 𝑰 𝒂. 𝒔 =

𝟐𝟖% = 𝟎. 𝟎𝟕𝟖% 𝒅. 𝒔 𝟑𝟔𝟎 𝒅í𝒂

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Sabiendo que F= P + I y que I= P*i*n donde: I= cantidad de intereses P= Préstamo asignado i= tasa de interés n= Periodo de tiempo Remplazamos: I= $5.800.000 * 0.00078 * 56

𝑰 = $𝟐𝟓𝟑. 𝟑𝟒𝟒

Conclusión: La cantidad de intereses que causan $5.800.000 a una tasa de interés simple 28% anual es $253.344.

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El señor García firmó un pagaré el 4 de mayo de 2017 con vencimiento el 4 de septiembre del 2018. Si el capital prestado fue de $ 63.400.000, calcule el valor de la deuda al vencimiento, si la tasa de interés fue del 9.3% trimestral. F= P + I 4/05/2017 i t.s= 9.3%

4/09/2018

Días

$63.400.000 Hallamos el número de días que hay entre el 4 de mayo de 2017 hasta el 4 de septiembre 2018. n= 4 de mayo 2017 al 4 de septiembre 2018= 488días (hallamos este número de días usando la

aplicación *calculadora de días*)

Convertimos la tasa de interés simple trimestral a una tasa de interés simple diaria dividiendo la tasa de interés simple trimestral en el número de días que tiene un trimestre.

𝒊 𝒕. 𝒔 =

𝟗. 𝟑% = 𝟎. 𝟏𝟎𝟑𝟑% 𝒅. 𝒔 𝟗𝟎 𝒅í𝒂

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Hallamos el futuro del préstamo de la siguiente manera: 𝐅=𝐏+𝐈

𝐈= 𝐏∗𝐢∗𝐧

𝐅= 𝐏+𝐏∗𝐢∗𝐧

𝐅 = 𝐏 (𝟏 + 𝐢 ∗ 𝐧)

F= $63.400.000 (1+0.001033*488)

𝑭 = $𝟗𝟓. 𝟑𝟔𝟎. 𝟏𝟗𝟑 Conclusión: El valor de la deuda de vencimiento es $95.360.193

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Obtenga el valor de vencimiento de un pagaré que tiene las siguientes características: fecha firma del pagaré: noviembre 3 de 2017, fecha de vencimiento: marzo 18 de 2018, valor presente $ 16.400.000, tasa anual simple 32% anual simple.

F= P + I 03/11/2017 i a.s=32%

18/03/2018

Días

$16.400.000

Hallamos el número de días que hay entre el 3 de Noviembre 2017 hasta el 18 de Marzo 2018. n= 3 de Noviembre 2017 al 18 de Marzo 2018 = 135 días (hallamos este número de días usando la aplicación *calculadora de días*)

Convertimos la tasa de interés simple anual a una tasa de interés simple diaria, dividiendo la tasa de interés simple anual en el número de días que tiene un año.

𝒊𝒅𝒔 =

𝟑𝟐% = 𝟎, 𝟎𝟖𝟗% 𝟑𝟔𝟎

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𝑭 = $𝟏𝟔. 𝟒𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟗 ∗ 𝟏𝟑𝟓) 𝑭 = $𝟏𝟖. 𝟑𝟕𝟎. 𝟒𝟔𝟎 Conclusión: el valor de vencimiento del pagare es $18.370.460

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Un pagaré por $ 11.340.000 se liquidó después de 47 días por la suma de $11.600.000. ¿Cuál es la tasa de interés quincenal simple que se reconoce?

$11.600.000 𝒊 𝒒. 𝒔 =?

$11.340.000

n=47 días

Días

Teniendo el valor futuro del pagaré (valor por el que fue liquidado) que es $11.600.000 reemplazamos en la siguiente formula:

𝐅=𝐏+𝐈

𝐈= 𝐏∗𝐢∗𝐧

𝐅= 𝐏+𝐏∗𝐢∗𝐧

𝐅 = 𝐏 (𝟏 + 𝐢 ∗ 𝐧)

$11.600.000= $11.340.000 (1 + i.s diario * 47días)

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Usando el programa Solve de la calculadora Casio fx-570 Plus

el resultado del interés

simple diario es 0.04878% Ahora convertimos la tasa de interés simple diaria a una tasa de interés simple quincenal, multiplicando la tasa de interés simple diaria por 15 días que tiene una quincena. 𝒊 𝒒. 𝒔 = 𝒊 𝒅. 𝒔 ∗ 𝟏𝟓 𝒊 𝒒. 𝒔 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟖𝟕𝟖% ∗ 𝟏𝟓 𝒊 𝒒. 𝒔 = 𝟎. 𝟕𝟑𝟏𝟕%

Conclusión: la tasa de interés quincenal simple que se reconoce es de 0.7317%

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Por una deuda de $126.000.000 se cobran intereses moratorios de $ 3.453.334. Si la tasa de interés de mora es de 2.8% mensual simple, ¿Cuántos días se retrasó el pago de la deuda? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  P=$126.000.000, donde P es el valor presente.  I= $ 3.453.334, donde I son los intereses monetarios.  is= 2.8% mensual simple, donde is es el interés simple. Para poder ilustrar mejor los datos de la gráfica hallamos el valor futuro con la fórmula: F= P+I

Donde F

es la incógnita de momento y es equivalente al valor futuro.

Resolviendo: F= 126.000.000 + 3.453.334; F= $129.453.334.

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La tasa de interés mensual dada en el ejercicio deberá ser convertida a una tasa de interés diaria ya que el ejercicio nos pide son los días de retraso al pago de la deuda, para ello implementamos la fórmula de: id= 𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 2.8% 𝑚𝑠

is=

30

= 0.093% diario.

30

donde 30 son los días que tiene un mes.

Para hallar los días de retraso al pago de la deuda se parte de la fórmula de interés simple que es:

F= P (1+is*n)

donde el is lo dividimos en 100 para que nos quede en número

natural y no en porcentaje. Reemplazando la formula nos queda: $129.453.334=126.000.000 (1+0.00093*n) Donde n es nuestra incógnita; para despejarla colocamos los datos en la calculadora dejando a n como la incógnita y luego hacemos la operación SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ésta nos arroja el resultado de: n= 29, 47. Lo que aproximado a número entero es 30 días. LA RESPUESTA ES APROXIMADAMENTE n= 30 días.

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Obtenga la cantidad de intereses que causan $11.400.000 desde el 2 de enero de 2018 al 1 de mayo del 2019. La tasa de interés es del 20.5 % anual simple. Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  P=$11.400.000, donde P es el valor presente.  n=484 días, donde n son los días que hay entre el 2 de enero de 2018 al 1 de mayo del 2019.  is= 20.5 % anual simple, donde is es el interés.

La tasa de interés anual dada en el ejercicio deberá ser convertida a una tasa de interés diaria ya que el n lo manejamos en días, para ello implementamos la fórmula de: 360 son los días que tiene un año.

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𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 donde id= 360

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is=

20.5% 360

= 0.0569% diario.

Para hallar cuantos son los interés causados debemos usar la fórmula de I= P*i*n , donde el is lo dividimos en 100 para que nos quede en número natural y no en porcentaje. Que despejando nos da: I= $11.400.000* 0.000569* 484. Donde I= $3.139.514. Lo cual es esta nuestra respuesta.

I= $3.139.514.

Pero si queremos más completo nuestro ejercicio hallamos el valor futuro que es igual a: F=P+I. Que reemplazando da: F= $11.400.000+ $3.139.514; F= $14. 139.514.

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En el día de hoy se cumple 3 bimestres de que una persona consiguió un préstamo por $130.000.000 con tasa de interés del 25% anual simple y vencimiento a 7 bimestres. Seis bimestres antes de haber realizado el primer préstamo, había firmado un pagaré con valor de vencimiento por $ 163.500.000 a un plazo de 9 bimestres. Hoy da un abono de $112.000.000 y acuerda cancelar su deuda con otro pago dentro de 9 bimestres. ¿De cuánto será este pago si la tasa de interés se combinó en 28% anual simple? Use la fecha de hoy como fecha focal. Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:  Del bimestre 3 al bimestre 4 hay 7 bimestres y se maneja un is= 25%as.  Del bimestre 9 a hoy hay lógicamente 9 bimestres.  En el día de hoy se debe pagar el pagare de valor de $ 163.500.000.

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 X es el pago de la deuda con el interés combinado de 28%as. ib=

𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 6

ib=

25% 6

Lo primero que hacemos para realizar este problema es hallar el valor que hay que pagar del primer crédito. Para ello convertimos la tasa de interés anual a una tasa de interés bimestral, para ello implementamos la fórmula de:

ib=

𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙

tiene un año. Reemplazando la fórmula: ib= 25% 6

6

, donde 6 son los bimestres que

= 4.17% bimestral.

Ahora seguimos con el planteamiento la ecuación del primer crédito: F= P (1+ib (n)), donde P es el valor presente, ib es el interés bimestral del primer crédito y n es el tiempo del primer crédito. Donde el ib debe ir dividido en 100 para que nos dé un número natural y no porcentual. Reemplazando nos da: F=$130.000.000(1+0.0417 (7));F= $167.947.000. Después de haber encontrado del valor del primer crédito, lo que hacemos es llevar todo a un punto focal, donde las deudas son iguales que los pagos, lo que es igual a decir que la flechas de arriba deben ser igual a las flechas de abajo. Este punto focal ya nos lo da el ejercicio el cual dice que es hoy. Acá manejamos el interés combinado que nos daba el problema, pero primer hay que convertirlo a un interés bimestral, con la misma fórmula mencionada anteriormente. ib=

28% 6

= 4.67% bimestral. Ahora si comenzamos con: Σ DEUDAS = Σ PAGOS

163.500.000+ (

167.947.000

(1+0.0467(4))

) = 112.000.000+

𝑋

(1+0.0467(9))

Resolviendo esta ecuación por SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ésta nos arroja el resultado aproximado de: X= $274.135.612. Respuesta: El resultado del pago con la tasa de interés que combinó en 28% anual simple es de $274.135.612.

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¿Cuál será la rentabilidad trimestral de un título valor que al día de hoy se adquiere por $75.000.000 y después de tres años devuelve $330.000.000? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:

 La rentabilidad es la tasa de interés trimestral del título de valor.  P= $75.000.000, donde P es el valor presente.  n= 3 años, donde n es el tiempo.  F= $330.000.000, donde F es el valor futuro.

Lo que debemos hacer para resolver este problema es despejar de la fórmula de valor futuro nuestro interés. La fórmula de valor futuro es, F= P(1+is*n), que reemplazando valores nos da: $330.000.000 = $75.000.000 (1+ is(3)), esta operación la realizamos por medio de SHIFT SOLVE de la calculadora fx 570 ES PLUS, donde ésta nos arroja el resultado

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aproximado de: is= 1.13 anual. Pero este se debe convertir a porcentaje multiplicando por 100, lo cual este interés nos dará is= 113.3 %anual. Pero esto no es todo, hay que convertirlo de anual a trimestral ya que el ejercicio nos lo pide así, por la tanto se emplea la siguiente fórmula: número de trimestres que tiene un año. its=

113.3% 4

its=

𝑖𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 4

= 28.3% trimestral.

Respuesta: La rentabilidad del título es 28.3% trimestral.

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, donde 4 es el

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Una empresa debe cancelar una deuda de $14 millones a los seis meses, con una tasa de interés del 8% semestral simple; si el contrato del préstamo tiene una clausula penal por mora que cobra el 12% semestral simple por el tiempo que se exceda del plazo fijado, ¿Qué cantidad pagara el deudor, 100 días después del vencimiento? Solución: Lo primero a resolver el ejercicio es plantear la gráfica sabiendo que:

 P= $14.000.000, donde P es el valor presente.  n1= 6 meses es igual a 180 días, n2= 100 días, donde n es el tiempo.  F= es la incógnita, donde F es el valor futuro después de los 100 días de vencimiento.

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Lo primero que hay que hacer para realizar el ejercicio es transformar las tasas de interés semestral a diarias, ya que el tiempo lo estamos manejando es en días, para esto utilizamos la fórmula de id= id=

8%

= 0.044%

180

𝑖𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 180

id=

, donde 180 son los días que tiene un semestre.

12% 180

=0.067%

Luego procedemos a utilizar la fórmula de valor futuro, que es igual a F=P+I1+I2, se maneja dos I ya que hay dos tasas diferentes de interés en el ejercicio. Reemplazando la fórmula me queda:

F= $14.000.000+$14.000.000 (0.00044 (180))+ $14.000.000 (0.00067 (100)), que al hacer la operación me da que el valor futuro es igual F= $16.046.800.

Respuesta: Por lo tanto el deudor pagará una suma de $16.046.800 después de 100 días de vencimiento.

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Hallar el monto a y cancelar por un préstamo de $10.300.000 al 1.1% mensual después de 4 años 3 meses. SOLUCION: Grafica.

Determinar el valor de n en meses: 4 años * 12 meses = 48 meses + 3 meses = 51 meses en total. Luego se aplica la fórmula de valor futuro de intereses simples: F= P (1+im*n) F: 10.300.000(1+0.011*51) = 16.078.300 El monto a cancelar será de $ 16.078.300

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Cuánto se debe cancelar el 5 de enero de 2018 a una entidad bancaria por el préstamo de $27.675.000 realizado el 15 de febrero de 2016, si se conoce que hasta el 18 de octubre del 2016 se cobra un interés del 1,2% quincenal simple y de ahí en adelante del 0,8% semanal simple? SOLUCION: Grafica.

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Además, se debe tener en cuenta la siguiente información.

Transformar las tasas de interés a tasas de interés simples y calcular los interese de cada tramo.

Ahora se determina el valor futuro sumando el valor presente mas los intereses de cada zona.

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¿Durante cuántos meses debe invertirse un capital de $18.350.000 para que se convierta en $21.600.000 si la tasa de interés es del 12,5% anual simple? SOLUCION: Grafica.

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Transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés mensual simple.

Despejar “n” de la fórmula de intereses simples:

La respuesta son 17 meses.

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Una persona prestó a una entidad $1.500.000 el 21 de mayo del 2015 al 14% semestral simple. ¿A qué fecha se ha generado intereses por $ 350.000? SOLUCION: Grafica.

Transformar la tasa de interés anual a una tasa de interés semestral simple.

Como me dan el valor del interés despejo n de la formula como se ve a continuación:

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La fecha en que se ha generado intereses por $ 350.000 es el 15 de Marzo del 2016

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El 23 de junio de 2012 una persona compró una casa por un valor de $42.500.000 y el 2 de noviembre del 2017 la vendió en $75.000.000. ¿Cuál es la tasa de interés mensual simple generada por la inversión? SOLUCION: Grafica.

Se determina la cantidad de días correspondientes a la fecha en que se compró la casa y la fecha en que se vendió.

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Corresponde a 1979 días = n Ahora aplico la formula y despejo la tasa de interés simple

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