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• Carlos Ɲùñez

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Exámenes ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

DEPARTAMENTO DE FORMACION BASICA EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA 5/ENERO/2000 NOMBRE:

PARALELO:

1 Determinar el dominio de las funciones: a) F(x) = 2

4x 3 x

x13 2

Determinar los intervalos de monotonía de: f(x)

=

1 ; x≠0 xx

x1

; x ϵR

3

f x 1 , six0 x , six ≤ 0

Dadas las funciones:

y g(x) =

Determinar (f o g) (x). 4

Sea

fx

x1 , six1 x 3 x2 , six ≥1 2

a) Redefinir la función para que sea biyectiva de forma que mantenga el recorrido. b) Determinar

1

ƒ

5 Resolver la ecuación: 4 sen (2x) cos (2x) + 6sen (2x) = - 3 - 2cos (2x)

Determinar los x de los reales tales que: 6

a arcsen –

11 xx

b π 1 cos x 2 2 arccos cos 1x1x

7 Si g(x) es una función par y h(x) es una función impar, determinar si ( g + h) (x) es par, impar o ninguna.

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA Fecha: 7 de Junio-2001 Nombre:

1 2

Curso:

Determine el dominio de f si:

f x4 x 2 x

Sean: 2

x 2 x si 0x ≤ 2 fx

;

gx

x3 Si x ∈R x 0 X

1 si x ≤ 0

Determine fog donde exista.

3 4 5

Determinar los intervalos de monotonía de : Demostrar la identidad:

h x3

1 4x 2

2

2

21cos x csc x11cos 2 x

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACION BASICA 07/04/2003 1.- Resolver la siguiente inecuación:

x1≤ x 21

2.- Determinar el recorrido de la siguiente función: 1,3

1 x

2x 3x

3.- En el dominio de g, determinar los intervalos de monotonía de la función gx

1 fx

Sabiendo que

2

f x x 3 x2

4.- Hallar el valor exacto de la siguiente expresión: 3θ θ tan 2 2 E 1 sin cot 3 cos

Si

1 3π sin θ ˄ ≤θ ≤ 2 π 3 2

5.-Determinar el recorrido de la siguiente relación para que sea función, y demuestre que es inyectiva. fx

x2 x2 3 3x 2x

π 3π π cos xtan x sin x1 2 2 2 : 6.- Simplifique la siguiente expresión 5π cos xtan π x cos 8 π x2 2

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 7/ABRIL/2003 NOMBRE: _____________________________________ _______________

1

PARALELO:

Determine el dominio y el recorrido de f si: 2

2

f x44 cos xcos x cos x 96 cos x

2

Determine el valor exacto de la siguiente expresión:

2

tan 2 x 1 cot E

3

csc x

x 2

sin

π 1 3π x ; cos x y ≤ x ≤2 π 2 2 2

Resolver la siguiente inecuación: 3

2

arc . cos x ≥ 5 arc . cos x 8 arc . cos x4 arc . cos x z

4

Resolver la siguiente inecuación:

π 2x 2x log cos a 2 4 ≥ log cos a 2 2 ; ≤ a ≤0 2

5

Analizar la monotonia de la siguiente función:

fx

π 2 x b sin x ; si x ≤ 0 2 2

EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 15/SEPTIEMBRE/2003

Determinar el dominio de la siguiente relación para que sea 1 función: 2 f x = 2 log xlog 2 x 2 2 Demuestre que la siguiente función es biyectiva y halle la función inversa:

f:

x

RR

y=

x 22 x ÷ 4 si x ≥ 1 3 x2 si x 1 x1

3

Resolver:

arc cos

2 ≥ 2 arc sen 1x

4 ln x x 22 e

Resolver:

1



1≤ x1

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACION BASICA EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMATICA 13-12-2004

NOMBRE:

PARALELO:

1 Resolver la siguiente inecuación: x12 x1

2 fx

Calcular el dominio para que:

1x 2x 1x 2x

sea función.

3 Sea

f : R →1,1

x→f x

x 1x

a) ¿f es biyectiva? b) Hallar la inversa 4 Determinar la monotonía de

fx

1 1x 2

si x ∈ 1,0

5 2 Conociendo las funciones: f x x si x ≤ 0 , g xm x 2 si x ≥ 0

Determinar: a)

gof

b) El valor de m si

gof 24

6

2

Demostrar la siguiente igualdad:

7 Hallar el valor exacto de la siguiente expresión: 3π

tan 2 α csc E

1sin 2 α

3

conociendo que π ≤ α ≤ 2 y cos α 4

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACION BASICA Examen bimestral de fundamentos de matemática 21/diciembre/2004 Nombre:

Paralelo:

2 x1 1 ≥ 1x x

1

Resolver la siguiente ecuación:

2

Calcular el valor de x, para que: ƒ(x) =

3

Sea ƒ: R X

R ƒ(x) =

2

ax 4x

sea función.

1x x

a) ¿ƒ es biyectiva? b) si no lo es, transformar en biyectiva y hallar la inversa. x si x ≤ 0 1x ƒ(x)=

4

x 1x

si x > 0

Determinar la monotonía de ƒ(x) =

2 2 x4

si x ϵ R – {-2,2}.

α 2 ,

x

5

Conociendo las funciones: ƒ =

Determinar: a) goƒ

si x

0 si x < 0

2 , g(x) = a x 2 si x

sen asen 3 asen 5 a cos acos 3 acos 5 a

6

Demostrar la siguiente identidad:

7

Hallar el valor exacto de la siguiente expresión: E =

≥0

= tan 3ª

csc a 1sen 4 a

,

conociendo que 3 2 π

≤

2a

3 ≤ 2π y sen 2a = 4

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÀTICA Nombre: ____________________________

Paralelo: ___________

1

Usando las leyes del álgebra de proposiciones demuestre: (¬p  q) ⊻ p es lógicamente equivalente a q. (0.5P)

2

Sean r, s, q, p proposiciones demuestre que se puede concluir r  ¬p, a partir de las siguientes premisas: ¬(r ⊻ s), ¬s v (q  ¬s), r  (s  ¬p). (0.5P)

2006-12-01

P1) ¬(r ⊻ s) P2) ¬s v (q  ¬s) P4) r  (s  ¬p) C) r  ¬p

3

De 1200 estudiantes de primer año de una universidad 582 tomaron Física, 627 tomaron Inglés, 543 tomaron Matemática, 217 tomaron Física e Inglés, 307 tomaron Física y Matemática, 250 tomaron Matemática e Inglés y 122 tomaron los tres cursos. ¿Cuántos tomaron una sola materia? (0.5P)

627 Inglés I 543 Matemática M

4

5

Sean A, B conjuntos no vacíos, simplifique la siguiente operación entre los C conjuntos: { A B



A ∆ BC }  A. (0.5P)

Utilizando el principio de inducción matemática, demostrar que: n 1.32.43.5…n n2 n1 2 n7 6 (0.5P)

n21.32.43.5… (Nota:

n 1

6

3

Resolver la siguiente inecuación:

2

x8 2x 4 x ≥ 2 13 x x4 3 x 11 x4

(1.0P)

9

7 677

Hallar el coeficiente de

x 14

en el desarrollo de

. (0.5P)

8

Resolver la siguiente ecuación:

2 x3x 432 x5 .

(1.0P)

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

EXAMEN SUPLETORIO DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 2008-02-07 1.- Demostrar que se pueden concluir

q˅ p ,

q˅ r →q,r → p,

t

a partir de las siguientes premisas:

r↔t .

2.- Al simplificar el siguiente enunciado

AC ∩ B ∪AC ∪A ∩C

demustre que es

igual A 3.- Resolver:

4.-

Resolver:

3 1 ≥2 x

x4 x25 ≥ 0

5.- Determine los complejos

z 252 z

z que cumplan la siguiente condición:

6.- Analizar los intervalos de monotonia de la siguiente function:

x3 7.- Resolver:

sec x ≤ 2

8.- Resolver:

log 2 xlog 2 x1 ≤ log 3 2 log 2 31 2

fx

1 x 52 2

si

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN ATRASADO BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 12/Mayo/2010

Nombre: ____________________________________

1

Paralelo: __________

 pq Utilizando reglas de inferencia demostrar que se puede concluir premisas:

, bajo las siguientes

2 Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta, motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes:

I) II) III) IV) V) VI) VII) VIII)

Motocicleta solamente: 5 Motocicleta: 38 No gustan del automóvil: 9 Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil: 3 Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20 No gustan de la bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No gustan de la motocicleta: 61

¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? ¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta?

n

  2i  1  3

3

i

 n 1 



i 1

3 n 1  3

Demostrar que

4 Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora. ¿Cuántas bacterias habrá luego de seis horas?

x2  x  2  2  x

5 Resolver:

1  x  1 x x

6 Resolver la siguiente inecuación:

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 09/Noviembre/2010

NOMBRE: ____________________________

1 Demostrar que se puede concluir

PARALELO: ___________

P ∨Q

dadas las premisas:

2

P1:

∼S ∧R

P2:

∼P ∨∼R

P3:

∼Q ∨S

Sean A, B, C conjuntos. Determine el valor de verdad de la siguiente expresión y justifique su respuesta:

AC∅ ∧BC∅ entonces AB

Si

3

Demostrar que:

∀n ∈N :32 n2n

es divisible por 7.

4 Determinar

b y c del trinomio : x 2bxc ,

de manera que los coeficientes:

1, b , c

estén en progresión aritmética. La suma de los cuadrados de las raíces de:

x 2bxc0

5

Hallar los

es igual a 47.

x ∈R ,

tal que:

x1x26 x96 x

6

Resolver la inecuación:

x112 ≤7

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

Nombre: ____________________________________

29/ABRIL/2010

Paralelo: __________

1 Dadas las premisas:

  P  Q  P P1:

 P  Q  R P2:

QR P3:

Q Demostrar:

2

  A  C   B    B  C   A   A  B  C    A  B  3

Demostrar que

Cada succión de una bomba de vacío extrae el 4% del aire contenido en un tanque. Qué cantidad de aire habrá en el tanque después de 50 succiones, si al principio contenía 1 m 3?

4

n

 n    :  i  i !   n  1 !  1 i 1

Demostrar:

2 x 1

5

Resolver:



1 4 x  4 x2 x

x 1  x 1  x

6

1 x

Resolver

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN FINAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

05/JULIO/2010

Nombre: ____________________________________

Paralelo: __________

1 Determinar el valor de verdad de la proposición:

π ∀x ∈R arcSen x →1log 2 x ≤0 4

2

Calcular las tres raíces cubicas de:

E

z si z1i 2z

3 2x

f xe 1 si x ∈R ∧g xln

Sean las funciones:

Hallar

fog

1 si x0 . x

donde exista. Simplifique su respuesta.

4

h

Transformar

en biyectiva y hallar su inversa 2

h :∞ ,0 → R x → h x x 1

5

x ∈0, 2 π , f

Para qué valores de

fx

es función?

cos x Csc 2 xcos 2 xSen 2 x cot x

6 Resolver:

log 1 5x125 x ≥2 6

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN FINAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA

17/Enero/2011

Nombre: ____________________________________

Paralelo: __________

1 Determinar los valores de

a

y

b , tal que: 3

32 i

2 Analizar la monotonía de

f xln 4 xx 2

ab i 1i

3

Dada la función:

f :R ⟶ R x ⟶ 33 x si x ≤1 x2 fx 1 si x1 x1 Demostrar que

f

es inyectiva, redefinir

Hallar el dominio de la relación definida por:

f

para que sea biyectiva y hallar la inversa.

4 log2

fx

5

1 9

x 16

log2

84

Hallar los

1 3

x∈R

x 16

– 243

tal que:

2

2 Sen2 3 x Sen2 6 x2

fx

2

2

cos x Csc xcos xSen x cot x

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN FINAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA NOMBRE: ____________________________

18/Enero/2010

PARALELO: ___________

1 fx

Sea

x1 si x ≥ 9 . Transformarla en biyectiva y hallar su inversa. x

Resuelva la siguiente inecuación:

2

4

4 x 2

log 1 x 4 log 1 2

3

Calcular el valor exacto de:

E2

4

log 0.25 Sen

x Sec x 2

1 π Sen x ∧ x ∈ , π 3 2

si se conoce que

Resuelva la siguiente inecuación:

5 Hallar las raíces cuartas de

6 Hallar los intervalos de monotonía de

2 Sen – x cos x ≤ 1

z1

f si f xlog 2 cos x si x ∈ 3

π π , 2 2

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN SUPLETORIO DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 13/Julio/2010

NOMBRE: ____________________________

PARALELO: ___________

1 Dadas las premisas:

P1 : I → T ↓ P P2 : S → T

Demostrar que se puede concluir:

2

I →S↓T

Usando las leyes del Algebra de conjuntos, demostrar que:

C

A ∪B ∪ A ∩ BC ∆ A C A ∆ B

3

Sea

f x x3 x a) Analizar la paridad de

f

b) Encontrar los puntos de corte de

4 Encontrar los valores de

a yb

en:

f

con los ejes

x

y

y

abi

z1i 2

z

si ze

1 log2 e

icos arc tan 0

Determinar el dominio de:

5

2

fx

2 log 2 xlog 2 x 2

log 2 x1

6 Resolver la siguiente inecuación: 2

2 cos 2 xcos 2 x1 ≤0 Sen 2 x2

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN SUPLETORIO DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 25/Enero/2011

NOMBRE: ____________________________

1 Determinar:

A ∩B , B A y A C , donde:

A x ∈ Rarc tan x

2

π 4

,

x ≥0 3 2

B x ∈ Rlog 1

Resolver:

log 0.1 4 x 2log 0.1 6 x3

3

Resolver:

PARALELO: ___________

5 ax5 ax

4

Demostrar:

∀ n∈ N

5

12 a 5 ax

n k1

1 nn3 k k1 k2 4 n1 n2

Resolver:

3tan πx31 tan πx ≥ 2

6

gof

Hallar la función

y su dominio.

f :R ⟶ x ⟶

R fx

x 21 x1 1x

si

x1

si x ≥1

g : ∞, 0 ⟶ R x ⟶ g x x1

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA EXAMEN SUPLETORIO DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 26/Enero/2010

NOMBRE: ____________________________

PARALELO: ___________

1 Utilizando reglas de inferencia demostrar que se puede concluir r, bajo las siguientes premisas: P1:

p→ p ∧q

P2:

p→ q∨r

P3:

q

2 Demostrar que

3

∀ n∈ N :2610… … …4 n22 n2

En una región de bosques tropical de 1000 hectáreas, se deforestan el 2% anual. Qué cantidad de bosque se habrá perdido en 12 años?

4 Resolver la ecuación:

5

log 2 4 x 4 xlog 2 2x13

Resolver:

π arccos

6 Sea

H

1 1 ≥ arccos2 2 2 1x 1x

32 ki 12 i

Hallar el valor de k, tal que, H sea un número imaginario puro. Indicar el valor de H.

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN DE UBICACIÓN DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 03/Febrero/2011

NOMBRE: ____________________________

PARALELO: ___________

1 Dadas las siguientes funciones proposicionales Encuentre en

x∈R

; el conjunto solución de:

p x →q x∨ q x

2 Resolver:

3

x 2x1x5

2

2

p x : x 10; q x : x ≥ 1

C

Simplificar

A A ∩ B ∪B A ∩ B ∪ A ∩B ∩ A C ∪ BC 13 3

4

Calcular:

5

π 2 Analizar la monotonía de: f xtan xcot x si∈ 0, π

1i

; x≠

6 Resolver:

arc Sen

2 x1 0 2 x

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA

EXAMEN BIMESTRAL DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 10/Noviembre/2009

NOMBRE: ____________________________

1

D  A B Si

PARALELO: ___________

( A B ) D  , demostrar que

2 Dadas las siguientes premisas:

p q r



P1:





rs







r  s



P2:

qt P3:

p t Concluir:



3 Resolver la ecuación

x 1 

2



x3 

  3  x

x2  x  4  x2

4

2 x2  7 x  4

 0

Resolver la inecuación

n3  n  3

5 Demostrar por inducción que

es divisible para 3.

6 Calcular la altura de la cual se soltó, desde el reposo, una pelota elástica, si se conoce que en cada rebote la pelota pierde 1/10 de su altura anterior y la altura alcanzada en el rebote número 20 es 2 cm.

a  bi 

7

Hallar a y b tal que :

6

1 1

1 1

i

15

1  i 17  1