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• Kevin Celis

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES La solución de los sistemas de ecuaciones lineales encuentra una amplia aplicación en la ciencia y la tecnología. En particular, se puede afirmar, que en cualquier rama de la Ingeniería existe al menos una aplicación que requiera del planteamiento y solución de tales sistemas.

I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ¿PARA QUE? En esta sección se presentan cuatro problemas cuya solución requiere del planteamiento de un sistema de ecuaciones lineales.

Problema 1. Una compañía minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de níquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de níquel y 5% de cobre. ¿Qué cantidad de mineral se deberá extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de níquel y 9 toneladas de cobre? ¿Cuánto se obtiene de níquel de la mina I? 0.01x ¿y de la mina II? 0.02y luego: 0.01x+0.02y=4 Análogamente para el cobre tenemos: 0.02x+0.05y=9 Así, para saber cuántas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: 0.01x+0.02y=4 0.02x+0.05y=9

Problema 2. Luis y Víctor son dos amigos que invierten en acciones bursátiles, entre ellos se entabla el siguiente dialogo: Víctor- He comprado acciones de alfa, peñoles y vitro. Luis- ¿Qué cantidad tienes de cada una de ellas? Víctor- ¡adivina! Luis- Dime el valor total de tus acciones en tres días diferentes y te diré cuantas tienes de cada una. Victor- El martes 21 de noviembre del 2000 a precio de cierre las acciones valían 138900 el 28 de noviembre valían 131220 y el 5 de diciembre 121280 pesos. Luis conoce la siguiente información: El 21 de noviembre el precio de alfa, peñoles y vitro era respectivamente 16.98, 9.0, 9.0; el 28 de noviembre 15.90, 8.72, 8.52 y el 5 de diciembre 14.08, 8.20, 8.76. ¿Qué cantidad de acciones tiene Víctor?

Solución:

¿Cuál es el problema? El número de acciones que tiene Víctor de cada tipo. Asignemos literales, sean: A la cantidad de acciones que tiene de alfa. P la cantidad de acciones que tiene de peñoles. V la cantidad de acciones que tiene de vitro.

Establezcamos relaciones algebraicas entre las

literales.

El martes 21 de noviembre las acciones de alfa que adquirió Víctor valían 16.98A, las de peñoles valían 9P, las de vitro valían 9V y todas juntas valían $138900 por lo tanto: 16.98 A  9P  9V  138900 Análogamente para el 28 de noviembre se tiene: 15.90 A  8.72P  8.52V  131220 Y el 5 de diciembre: 14.08 A  8.20P  8.76V  121280 Luis sabrá el número de acciones que tiene Víctor sí resuelve el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 16.98 A  9P  9V  138900 15.90 A  8.72P  8.52V  131220 14.08 A  8.20P  8.76V  121280

Problema 3 En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2, 3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Solución. Queremos saber cuántos lotes de cada tipo de camisa se pueden producir, asignemos literales. Sea x el número de lotes de camisas del tipo 1 que se pueden producir. Sea y el número de lotes de camisas del tipo 2 que se pueden producir. Sea z el número de lotes de camisas del tipo 3 que se pueden producir. Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables. El número de minutos que se emplean en cortar una camisa del tipo 1 es 30x, del tipo 2 es 50y, y del tipo 3 es 65z. El número total de minutos que se emplea en cortar todas las camisas es: 30x  50 y  65z Y tiene que ser igual a 480 minutos que son las 8 horas que se trabajan en cortar 30 x  50 y  65z  480 Análogamente en coser se tiene: 40x  50 y  40z  480 En planchar y empaquetar tenemos: 50x  50 y  15z  480 Luego sí queremos resolver el problema hay que solucionar el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. 30 x  50 y  65z  480 40 x  50 y  40 z  480 50 x  50 y  15z  480

Problema 4. Tres compuestos se combinan para formar tres tipos de fertilizantes. Una unidad del fertilizante del tipo I requiere 10 kg del compuesto A, 30 kg del compuesto B y 60 kg del compuesto C. Una unidad del tipo II requiere 20 kg del A, 30 kg del B, y 50 kg del C. Una unidad del tipo III requiere 50 kg del A y 50 kg del C. Si hay disponibles 1600 kg del A, 1200 kg del B y 3200 del C. ¿Cuántas unidades de los tres tipos de fertilizantes se pueden producir si se usa todo el material químico disponible?

Solución. Queremos saber cuantas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir, asignemos literales. Sea x el número de unidades del fertilizante del tipo I. Sea y el número de unidades del fertilizante del tipo II. Sea z el número de unidades del fertilizante del tipo III. Establezcamos relaciones algebraicas entre las variables. La cantidad de kilogramos del compuesto A que contiene el fertilizante del tipo I es 10x, del tipo II es 20y, y del tipo III es 50z. El número total de kilogramos del compuesto A es: 10 x  20 y  50 z Y tiene que ser igual a 1600 kg que son los kilogramos disponibles del compuesto A.  10x  20 y  50z  1600 Análogamente para el compuesto B se tiene 30x  30 y  1200 Para el compuesto C se tiene 60x  50 y  50z  3200 Así, para saber cuántas unidades de cada tipo de fertilizante se pueden producir, hay que resolver el sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.

10x  20 y  50z  1600 30x  30 y  1200 60x  50 y  50z  3200 Aplicación de las matrices y los determinantes a los sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:

donde aij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes.

Representación matricial de un s.e.l. El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:

De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina

matriz

de

coeficientes.

También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la cual le hemos añadido la columna del término independiente:

Discusión

de

un

s.e.l.:

Teorema

de

Rouché-Fröbenius

Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A' y rangos respectivos r y r' se verifican: 1. El sistema de ecuaciones es incompatible cuando rango(A)  rango(A') 2. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A') En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:  Si r = r' = n (nº de incógnitas). Sistema compatible determinado (una única solución)  Si r = r' < n (nº de incógnitas). Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones) Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema.

Rouché, Eugéne (Sommières, 1832 – Lunel, 1910) Matemático francés. Realizó investigaciones sobre teoría de las funciones, descoposición en serie, integrales definidas, probabilidad, descoposición de los números racionales y raíces de una ecuación. Escribió algunos tratados de alcance didáctico sobre análisis matemático, teoría de funciones y álgebra. Frobenius, Georg b. Oct. 26, 1849, Berlin, Prussia [Germany] d. Aug. 3, 1917, Berlin in full FERDINAND GEORG FROBENIUS German mathematician who made major contributions to group theory, especially the concept of abstract groups and the theory of finite groups of linear substitutions, that later found important uses in the theory of finite groups as it applies to quantum mechanics.

Frobenius became assistant professor of mathematics at the University of Berlin in 1874 and in 1875 was appointed professor of mathematics at the Federal Polytechnic, Zürich. In 1892 he returned to the University of Berlin as professor of mathematics. Frobenius' findings in abstract group theory were published in the paper "Über Gruppen von vertauschbaren Elementen" (1879; "Concerning Groups of Permutable Elements"), in collaboration with Ludwig Stickelberger. In collaboration with Issai Schur, he developed group theory by means of the theory of finite groups of linear substitutions. Many of his results were published in such papers as "Über die Gruppencharaktere" (1896; "Concerning Group Characters"). He also contributed to the development of a means of solving linear homogenous differential equations. II. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES a) Regla de Cramer Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado (a un s.e.l. que cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer). El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes.

Cramer, Gabriel (Ginebra, 1704 – Bagnols, 1752) Matemático suizo. Profesor de matemáticas de la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-27. En 1750 ocupó la cátedra de filosofia en la citada universidad. En 1731 presentó en la Academia de las Ciencias de París, una memoria sobre las causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de Jean Bernouilli (1742) y Jacques Bernouilli (1744) y el Comercium epistolarum de Leibniz. Su obra fundamental

es la Introduction à l’analyse des courbes algébriques (1750), en la que se desarrolla la teoría de las curvas algégricas según los principios newtonianos. Ejemplo b) Por inversión de la matriz de coeficientes Si A·X = B, entonces X = A-1B. Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible determinado. Ejemplo c) Mediante el método de reducción de Gauss Jordan

El tema se presenta en 4 secciones: A) sistemas con solución única, B) sistemas con infinidad de soluciones, C) sistemas sin solución y D) sistemas homogéneos. A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA 1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss- Jordan.

2x+3y+z=1 3x-2y-4z=-3 5x-y-2z=4 SOLUCION: Escribimos la matriz aumentada del sistema: 1 1  2 3    3  2  4  3  5 1  2  4  

Debemos convertir dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz. La primera fila por 1/2

3/ 2 1/ 2 1 / 2  2  1 3 / 2 1/ 2 1/ 2   1  1 3 / 2 1/ 2 1/ 2      13 F2 , 2 F3    3  2  4  3    0  13 / 2  11 / 2  9 / 2    0 1 11 / 13 9 / 13   5  1  2  4   0  17 / 2  7 / 2  0  17  7 3  6      1 / 2  13  1 3 / 2 1/ 2  1 3 / 2 1 / 2 1 / 2  11  1 3 / 2 0  1/ 2   96 F3   13 F3  F2 , 21 F3  F1    0 1 11 / 13 9 / 13        0 1 0  1   0 1 11 / 13 9 / 13    0 0 96 / 13 192 / 13  0 0 0 0 1 2  1 2      

1 0 0 1      0 1 0  1 0 0 1 2    3 F2  F1 2

Luego

x=1,

y= -1,

z=2

2.-Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

3x+2y+4z=1 5x-y-3z = -7 4x+3y+z = 2 La solución del sistema es: x= -1,

y=2, z=0

3.-Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

a - b  6 b  c 3 c  2d  4 2 a - 3d=5 Solución. a=31, b=37, c= -34, d=19

4.-Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

36+16B-6D+4E+F=0 64+B-8D+E+F=0 4+16B+2D-4E+F=0 64+9B+8D-3E+F=0 Solución: B=4, D= -4,

E= -8, F= -92

B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES 5.- Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales 3x 2 y  3z  5 2 x  4 y z  2 Solución: 3/ 2   3  2 3 5 1 0 5 / 8         2 4  1 2  0 1  9 / 16  1 / 4 

La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir más, de donde obtenemos:

x + (5/8) z = 3/2 y – (9/16) z = -1/4 despejando x e y x = - (5/8) z + 3/2

y = (9/16) z - ¼ luego x, y dependen de z, si z = t, t € ℝ, tenemos x = - (5/8) t + 3/2,

y = (9/16) t - ¼,

z= t

Es decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valor de t habrá un valor para x, y, z. Por ejemplo, si t  0 entonces x = 3/2, y = -1/4, z = 0 es una solución del sistema de ecuaciones. Si t  1 entonces x = 7/8, y = 5/16, z = 1 es otra solución del sistema de ecuaciones. Así una vez más, remarcamos, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

6) Resolver el sistema de ecuaciones: 2 x y  3z  4 3x  2 y  z  3 x  3 y  4z  1 Solución: x = (11/7) – (5/7) t y = (-6/7) + (11/7) t

tR

z=t

Por lo tanto, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

C) SISTEMAS SIN SOLUCION 7) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. x  8 y  5z  3 3x  2 y  3z  1 2x  3y  z  4 8) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. a  b  3c  4d  1 2a  2b  c  2d  1 a  b  2c  2d  5

9) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. 3x  2 y  5 2x  4 y  1 x  6 y  2

III.

ANALISIS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES QUE INVOLUCRAN CONSTANTES ADICIONALES PARA QUE EL SISTEMA TENGA O NO SOLUCION

En esta parte se dan ejemplos de sistemas de ecuaciones lineales donde se determinan valores de constantes para que el sistema tenga o no solución. 10) Obtener el valor de β para que el sistema de ecuaciones: 

2x  y  6 xβ y  4

tenga a) Solución única. b) Infinidad de soluciones. c) Carencia de solución.

Solución:  Si β = ½ el sistema no tiene solución  Si β  ½ el sistema tiene solución  Para ningún valor de β el sistema tendrá infinidad de soluciones. 11) Obtener el valor de β para que el sistema de ecuaciones tenga solución única, infinidad de soluciones y no tenga solución. 2x + β y = 1 βx+2y=1 Solución:  Si  β ≠ 2, el sistema tiene solución única.  Si β  2, el sistema tiene infinidad de soluciones.  Si β  2, el sistema no tiene solución.

IV. APLICACIONES DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 1) Una cadena de supermercados en México vende carne molida del tipo popular y selecta. Un lote de molida popular contiene 3 kg de grasa y 17 kg de carne roja, un lote de molida selecta contiene 2 kg de grasa y 18 kg de carne roja. Si en un momento dado cuenta con10 kg de grasa y 90 kg de carne roja. ¿Cuántos lotes de molida popular y selecta pueden producir utilizando toda la carne y toda la grasa sin desperdiciar nada? Solución. Sean x el número de lotes de carne molida popular y el número de lotes de carne molida selecta La cantidad de grasa utilizada en la molida popular es 3x la cantidad de grasa utilizada en la molida selecta es 2y por lo tanto 3x  2 y  10 análogamente 17 x  18 y  90 Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x = 0, y = 5

Luego sí no quieren desperdiciar nada deberán de producir cinco lotes de carne molida selecta y cero de la popular. Leyes de Kirchhoff Los circuitos eléctricos se rigen por las leyes de Kirchhoff que son: -Primera ley de Kirchhoff La suma algebraica de corrientes en un nodo es igual a cero. -Segunda ley de Kirchhoff En una malla cerrada la suma de caídas de tensión es igual a la suma de fuerzas eléctricas aplicadas.

2) Para el siguiente circuito obtenga el valor de las corrientes i1 , i 2 , i3 .

EJERCICIOS: 1. Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

2. Resolver; en forma matricial, el sistema:

3. Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

Multiplicamos la segunda ecuación por -2

Sumamos miembro a miembro

Si multiplicamos la primera ecuación por 3 y sumamos miembro a miembro obtenemos:

4. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos. 1 Representar esta información en dos matrices. Filas: Modelos A, B, C

Columnas: Tipos G, P

Matriz de los elementos de las estanterías: Filas: Tipos G, P

Columnas: T, S

2 Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería. Matriz que expresa el número de tornillos y soportes para cada modelo de estantería:

5. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración. 1.Representar la información en dos matrices. Matriz de producción: Filas: Modelos A y B

Columnas: Terminaciones N, L, S

Matriz de coste en horas: Filas: Terminaciones N, L, S Columnas: Coste en horas: T, A

2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.