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• Valeria Gomez

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476

C A P Í T U LO 6

| Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo

6.6 L A L EY DE C OSENOS La Ley de Cosenos  Navegación: orientación y rumbo  El área de un triángulo

W La Ley de Cosenos La Ley de Senos no se puede usar directamente para resolver triángulos si conocemos dos lados y el ángulo entre ellos, o si conocemos los tres lados (Casos 3 y 4 de la sección precedente). En estos dos casos aplica la Ley de Cosenos.

C

b

A

LA LEY DE COSENOS

a

En cualquier triángulo ABC (vea Figura 1), tenemos a2 b2

B

c

c2

b2 a2 a2

c2 c2 b2

2bc cos A 2ac cos B 2ab cos C

FIGURA 1

DEMOSTRACIÓN Para probar la Ley de Cosenos, ponga el triángulo ABC de modo que ∠A esté en el origen, como se muestra en la Figura 2. Las coordenadas de los vértices B y C son 1c, 02 y 1b cos A, b sen A), respectivamente. (El lector debe comprobar que las coordenadas de estos puntos serán las mismas si trazamos el ángulo A como ángulo agudo.) Usando la Fórmula de Distancias, obtenemos

y C ( b ç A, b sen A)

1b cos A c2 2 1b sen A 02 2 b 2 cos2 A 2bc cos A c2 b 2 sen 2 A b 2 1cos2 A sen 2 A2 2bc cos A c2 b 2 c2 2bc cos A Porque sen2 A cos2 A

a2 b

a

c

A(0, 0)

B(c, 0) x

FIGURA 2

1

Esto prueba la primera fórmula. Las otras dos fórmulas se obtienen de la misma forma si se coloca cada uno de los otros vértices del triángulo en el origen y se repite el argumento precedente. Q

En palabras, la Ley de Cosenos dice que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de esos dos lados por el coseno del ángulo incluido. Si uno de los ángulos de un triángulo, por ejemplo ∠C, es un ángulo recto, entonces cos C  0 y la Ley de Cosenos se reduce al Teorema de Pitágoras, c2  a2  b2. Por lo tanto, el Teorema de Pitágoras es un caso especial de la Ley de Cosenos.

E J E M P LO 1

Longitud de un túnel

Un túnel se ha de construir por una montaña. Para estimar la longitud del túnel, un topógrafo hace las mediciones que se ven en la Figura 3. Use la información del topógrafo para aproximar la longitud del túnel. B

A

S O LU C I Ó N

c2

FIGURA 3

ies

es pi

C

a2 388

212 p

8 38

82.4º

Para aproximar la longitud c del túnel, usamos la Ley de Cosenos:

b2 2

2ab cos C 2

212

213882 12122 cos 82.4°

173730.2367 c

1173730.2367

Ley de Cosenos Sustituya Use calculadora

416.8

Tome raíces cuadradas

Por lo tanto, el túnel será de aproximadamente 417 pies de largo. AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 3 Y 39

Q

S E C C I Ó N 6.6

E J E M P LO 2

| La Ley de Cosenos 477

LLL, la Ley de Cosenos

Los lados de un triángulo son a  5, b  8 y c  12 (vea Figura 4). Encuentre los ángulos del triángulo. C

b=8 A

FIGURA 4

a=5 B

c=12

S O LU C I Ó N Primero hallamos ∠A. De la Ley de Cosenos, a2  b2  c2  2bc cos A. Despejando cos A, obtenemos

b2

cos A COS

COS O

ARC

a2

82

122 52 2182 1122

183 192

0.953125

Usando una calculadora, encontramos que ∠A  cos110.9531252 ≈ 18°. En la misma forma obtenemos a2 c 2 b 2 52 122 82 cos B 0.875 2ac 2152 1122

1

O INV

c2 2bc

COS

a2

cos C

b2 2ab

c2

52

82 122 2152 182

0.6875

Usando una calculadora, encontramos que

cos 1(0.875)

B

29

y

C

cos 1( 0.6875)

133

Desde luego, una vez calculados dos ángulos, el tercero se puede hallar más fácilmente del hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°. No obstante, es buena idea calcular los tres ángulos usando la Ley de Cosenos y sumar los tres ángulos como prueba en los cálculos. Q

AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 7

E J E M P LO 3

LAL, la Ley de Cosenos

Resuelva el triángulo ABC, donde ∠A  46.5°, b  10.5 y c  18.0. S O LU C I Ó N

Podemos hallar a usando la Ley de Cosenos.

a

2

b2

c2

110.52 2

2bc cos A 118.02 2

2110.52 118.02 1cos 46.5°2

174.05

Entonces, a 1174.05 13.2. También usamos la Ley de Cosenos para hallar ∠B y ∠C, como en el Ejemplo 2.

cos B

a2

c2 2ac

b2

13.22 18.02 10.52 2113.22 118.02

a2

b2 2ab

c2

13.22 10.52 18.02 2113.22 110.52

C b=10.5 A

98.2*

46.5*

FIGURA 5

aÅ13.2 35.3*

c=18.0

cos C B

0.816477 0.142532

Usando calculadora, encontramos que

B

cos 1(0.816477)

35.3

y

C

cos 1( 0.142532)

98.2

Para resumir: ∠B ≈ 35.3°, ∠C ≈ 98.2° y a ≈ 13.2. (Vea Figura 5.) AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 13

Q

Podríamos haber usado la Ley de Senos para hallar ∠B y ∠C en el Ejemplo 3, porque conocíamos los tres lados y un ángulo del triángulo. Pero, conocer el seno de un ángulo no especifica de manera única el ángulo, porque un ángulo u y su suplemento 180°  u tienen

478

C A P Í T U LO 6

| Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo ambos el mismo seno. Entonces, necesitaríamos determinar cuál de los dos ángulos es la selección correcta. Esta ambigüedad no aparece cuando usamos la Ley de Cosenos, porque todo ángulo entre 0° y 180° tiene un coseno único. Por lo tanto, usar sólo la Ley de Cosenos es preferible en problemas como el Problema 3.

W Navegación: orientación y rumbo En navegación, es frecuente que una dirección se dé como rumbo, es decir, como un ángulo agudo medido directamente del norte o del sur. El rumbo N 30° E, por ejemplo, indica una dirección que apunta 30° al este del norte (vea Figura 6). N

N 30°

O

N

N

60° E

O

E

O

E 70°

O

E 50°

S

S

S

S

N 30° E

N 60° O

S 70° O

S 50° E

FIGURA 6

E J E M P LO 4 40*

C

B 100 mi 200 mi 20*

A

Navegación

Un piloto sale de un aeropuerto y hace rumbo en la dirección N 20° E, volando a 200 mi/h. Después de una hora, hace una corrección de curso y hace rumbo en la dirección N 40° E. Media hora después de esto, problemas en los motores lo obligan a hacer un aterrizaje de emergencia. (a) Encuentre la distancia entre el aeropuerto y su punto final de aterrizaje. (b) Encuentre el rumbo del aeropuerto a su punto final de aterrizaje. S O LU C I Ó N (a) En una hora el avión viaja 200 millas y, en media hora, 100 millas, de modo que podemos localizar el curso del piloto como en la Figura 7. Cuando hace la corrección de su curso, vira 20° a la derecha, de modo que el ángulo entre los dos catetos de su viaje es 180°  20°  160°. Entonces, por la Ley de Cosenos, tenemos

FIGURA 7

b2

2002

1002

2 # 200 # 100 cos 160°

87,587.70 Por lo tanto, b ≈ 295.95. El piloto aterriza a unas 296 millas de su punto de partida. (b) Primero usamos la Ley de Senos para hallar ∠A.

sen A 100

sen 160° 295.95

sen A

100 #

sen 160° 295.95

0.11557 Otro ángulo con seno 0.11557 es 180°  6.636°  173.364°. Pero éste es claramente demasiado grande para ser ∠A en ∠ABC.

Usando la tecla SEN 1 en una calculadora, hallamos que ∠A ≈ 6.636°. De la Figura 7 vemos que la línea del aeropuerto al punto final de aterrizaje apunta en la dirección 20°  6.636°  26.636° al este del norte. En consecuencia, el rumbo es aproximadamente N 26.6° E.

AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 45

Q

S E C C I Ó N 6.6

| La Ley de Cosenos 479

W El área de un triángulo Una aplicación interesante de la Ley de Cosenos involucra una fórmula para hallar el área de un triángulo a partir de las longitudes de sus tres lados (vea Figura 8). B c Ꮽ A

FÓRMULA DE HERÓN

a

El área

de un triángulo ABC está dada por 1s1s

C

b

a2 1s

b2 1s

c2

donde s 12 1a b c2 es el semiperímetro del triángulo; esto es, s es la mitad del perímetro.

FIGURA 8

DEMOSTRACIÓN Así, 2

1 2

Empezamos con la fórmula

1 2 2 4a b

ab sen C de la Sección 6.3.

sen 2C

1 2 2 4 a b 11

cos2C2

1 2 2 4 a b 11

cos C2 11

Identidad de Pitágoras

cos C2

Factorice

A continuación, escribimos las expresiones 1  cos C y 1  cos C en términos de a, b y c. Por la Ley de Cosenos tenemos

a2

cos C cos C

1

1

b2 2ab a2

c2

Ley de Cosenos

b2 2ab

c2

a2 b 2 2ab

2ab 1a

b2 2 2ab

1a

b

1

cos C

Sume 1

c2

Común denominador

c2

Factorice

c2 1a 2ab

b

c2

Diferencia de cuadrados

Análogamente

1c

b2 1c 2ab

a

a

b2

Sustituyendo estas expresiones en la fórmula que obtuvimos para Para ver que los factores de los últimos dos productos son iguales, observe por ejemplo que

a

b 2

c

a

b 2

s

c

c

c

2

1 2 2 4a b

1a

1a

b 2

s1s

c2 1s

c2 1a 2ab

b c2 1a

b2 1s

b

c2 1c

c2 1c

b 2

a 2

a

2

b2 1c 2ab

b2 1c

resulta

a a 2

b2 b2

a2

La Fórmula de Herón se obtiene al tomar la raíz cuadrada de cada lado.

Q

480

C A P Í T U LO 6

| Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo

31

Área de un lote

Un negociante desea comprar un lote triangular en una zona de gran movimiento en el centro de una ciudad (vea Figura 9). Los frentes del lote en las tres calles adyacentes miden 125, 280 y 315 pies. Encuentre el área del lote.

280 pi es

5p ies

E J E M P LO 5

S O LU C I Ó N

El semiperímetro del lote es

125

s

280 2

125 pies

315

360

Por la Fórmula de Herón el área es

13601360

FIGURA 9

1252 1360

2802 1360

3152

17,451.6

Entonces, el área es aproximadamente 17, 452 pies2. Q

AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 29 Y 53

6.6 EJERCICIOS CO N C E P TO S

9.

1. Para el triángulo ABC con lados a, b y c la Ley de Cosenos dice que c2  ____________________.

B 10. A

24

C

10

30* 30

2. ¿En cuál de los siguientes casos debe usarse la Ley de Cosenos para resolver un triángulo?

C

¨

x 20

12

A

ALA LLL LAL LLA

B

HABILIDADES

11-20

3-10 Q Use la Ley de Cosenos para determinar el lado x indicado o el ángulo u.

11.

21 A

C 25

B

18

25 x

B 8

B

88* 2

A B

7.

¨

68.01

42.15

C 37.83

A

60.1 A

A

B

40

¨

122.5 154.6

13. a

3.0, b

14. b

60,

c

30,

15. a

20,

b

25, c

22

16. a

10,

b

12, c

16

17. b

125, c

162,

B

18. a

65,

c

50,

C

52

19. a

50,

b

65,

A

55

20. a

73.5,

4.0,

B

C A

53 70

61 ,

40

C

83

21-28 Q Encuentre el lado indicado x o el ángulo u. (Use ya sea la Ley de Senos o la Ley de Cosenos, según sea apropiado.)

C

8.

C

B

6. C

140* x

A

120*

12

44

108* A

5.

12.

18

x

15

B

42

C A

x 39*

Resuelva el triángulo ABC.

10

4. C

C

3.

Q

C

21.

B

3 A

35*

85*

C

22.

10

x B

A

x

40* 18

B

S E C C I Ó N 6.6 C

23.

50

110 38*

138

B

11

A

40* ¨

C

1000

98*

x

48

A 38

A

25*

7,

32. a

11, b

8, c

9

100, c

101

33.

34.

6

5

3 5

5

5

100*

a cos B

b cos A

36.

6

3

3 4 7

40.3*

C

A

3.56 mi

40. Geometría Un paralelogramo tiene lados de longitudes 3 y 5, y un ángulo es de 50°. Encuentre las longitudes de las diagonales. 41. Cálculo de una distancia Dos carreteras rectas divergen en un ángulo de 65°. Dos autos salen del crucero a las 2:00 a.m. uno de ellos corriendo a 50 mi/h y el otro a 30 mi/h. ¿A qué distancia entre sí están los autos a las 2:30 p.m.? 42. Cálculo de una distancia Un auto viaja por una carretera recta, dirigiéndose al este durante 1 hora, y luego corre 30 minutos en otro camino con dirección al noreste. Si el auto ha mantenido una velocidad constante de 40 mi/h, ¿a qué distancia está de su posición inicial?

2

2

35.

c

2.82 mi

33-36 Q Encuentre el área de la figura sombreada, redondeada a dos lugares decimales.

4

a cos C

B

30*

b

c cos A

B

x

B 29-32 Q Encuentre el área del triángulo cuyos lados tienen las longitudes dadas. 29. a 9, b 12, c 15 30. a 1, b 2, c 2 31. a

b

39. Topografía Para hallar la distancia de un lado a otro de un pequeño lago, un topógrafo ha tomado las mediciones que se ilustran. Encuentre la distancia de un lado a otro del lago usando esta información.

C

28.

c cos B

A P L I C AC I O N E S B

27.

b cos C

10 8

B

a

Éstas reciben el nombre de Leyes de Proyección. 3Sugerencia: Para obtener la primera ecuación, sume las ecuaciones segunda y tercera en la Ley de Cosenos y despeje a.4

C

26.

¨

A

¨

A

B C

10

4

100*

25.

38. Demuestre que en el triángulo ABC

C

x

30*

A

24.

| La Ley de Cosenos 481

4 60*

8

37. Tres círculos de radios 4, 5 y 6 cm son mutuamente tangentes. Encuentre el área sombreada encerrada entre los círculos.

43. Situación por estima Una aviadora vuela en una trayectoria recta durante 1 h 30 min. Entonces hace una corrección de curso, dirigiéndose 10° a la derecha de su curso original, y vuela 2 horas en la nueva dirección. Si ella mantiene una velocidad constante de 625 mi/h, ¿a qué distancia está de su posición inicial? 44. Navegación Dos botes salen del mismo puerto al mismo tiempo. Uno de ellos navega a una velocidad de 30 mi/h en la dirección N 50° E y, el otro, viaja a una velocidad de 26 mi/h en una dirección S 70° E (vea la figura). ¿A qué distancia están entre sí los dos botes después de una hora?

N 50˚ E

N 50˚

E

O 70˚ S

S 70˚ E

482

C A P Í T U LO 6

| Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo

45. Navegación Un pescador sale de su puerto base y navega en dirección N 70° O. Viaja 30 minutos y llega a Egg Island. Al día siguiente navega al N 10° E durante 50 minutos, llegando a Forrest Island. (a) Encuentre la distancia entre el puerto base del pescador y Forrest Island. (b) Encuentre el rumbo de Forrest Island de regreso a su puerto base.

49. Cometas en vuelo Un niño está haciendo volar dos cometas al mismo tiempo; tiene 380 pies de cuerda a una de las cometas y 420 pies para la otra. Él estima que el ángulo entre las dos cuerdas es de 30°. Aproxime la distancia entre las cometas.

380 pies 420 pies

Forrest Island

30º

50 mi 10º Egg Island

30 mi

70º

puerto base

46. Navegación El aeropuerto B está a 300 millas del aeropuerto A a un rumbo N 50° E (vea la figura). Un piloto que desea volar de A a B erróneamente vuela en dirección al este a 200 mi/h durante 30 minutos, cuando se da cuenta de su error. (a) ¿A qué distancia está el piloto de su destino en el momento en que se percata del error? (b) ¿Qué rumbo debe tomar su avión para llegar al aeropuerto B?

Aeropuerto B 300 mi 50˚

50. Asegurar una torre Una torre de 125 pies está situada en la ladera de una montaña que está inclinada 32° con la horizontal. Un cable de retenida se ha de sujetar a la parte superior de la torre y anclarse en un punto a 55 pies debajo de la base de la torre. Encuentre la longitud más corta del alambre necesario.

125 pies

s

32º 55

pie

51. Teleférico Una empinada montaña está inclinada 74° con la horizontal y se eleva a 3400 pies sobre la llanura circundante. Un funicular se ha de instalar desde un punto a 800 pies de la base hasta lo alto de la montaña, como se muestra. Encuentre la longitud más corta del cable necesario.

Aeropuerto A 47. Campo triangular Un campo triangular tiene lados de longitudes 22, 36 y 44 yardas. Encuentre el ángulo más grande. 48. Remolque de una barcaza Dos remolcadores que están a 120 pies uno del otro tiran de una barcaza, como se muestra. Si la longitud de un cable es 212 pies y la longitud del otro es 230 pies, encuentre el ángulo formado por los dos cables.

212 pies 120 pies 230 pies

74*

3400 pies

800 pies

52. Torre CN La Torre CN en Toronto, Canadá, es la estructura libre más alta de Norteamérica. Una mujer que está en la plataforma de observación, a 1150 pies sobre el suelo, desea determinar la distancia entre dos puntos de referencia que están al nivel del suelo. Ella observa que el ángulo formado por las líneas de vista a estos dos puntos de referencia es de 43°; también observa que el ángulo entre la vertical y la línea de vista a uno de los puntos de referencia es de 62° y el del otro punto de referencia

CAPÍTULO 6 es de 54°. Encuentre la distancia entre los dos puntos de referencia.

| Repaso 483

53. Valor de un terreno Un terreno en el centro de Columbia está valuado en $20 el pie cuadrado. ¿Cuál es el valor de un lote triangular con lados de longitudes 112, 148 y 190 pies?

DESCUBRIMIENTO

Q

DISCUSIÓN

Q

REDACCIÓN

54. Despejar los ángulos de un triángulo El párrafo que sigue la solución del ejemplo 3 de la página 477 explica un método alternativo para hallar ∠B y ∠C, usando la Ley de Senos. Use este método para resolver el triángulo del ejemplo, hallando ∠B primero y ∠C después. Explique cómo escoger el valor apropiado para la medición de ∠B. ¿Cuál método prefiere usted para resolver un problema de triángulo LAL, el explicado en el Ejemplo 3 o el que usó en este ejercicio?

54* 43* 62*

C A P Í T U L O 6 | R E PA S O Q VERIFICACIÓN DE CONCEPTOS 1. (a) Explique la diferencia entre un ángulo positivo y un ángulo negativo. (b) ¿Cómo se forma un ángulo de 1 grado de medida? (c) ¿Cómo se forma un ángulo de 1 radián de medida? (d) ¿Cómo se define la medida en radianes de un ángulo u? (e) ¿Cómo se convierte de grados a radianes? (f) ¿Cómo se convierte de radianes a grados? 2. (a) ¿Cuándo está un ángulo en posición inicial? (b) ¿Cuándo son coterminales dos ángulos? 3. (a) ¿Cuál es la longitud s de un arco de círculo con radio r que subtiende un ángulo central de u radianes? (b) ¿Cuál es el área A de un sector de círculo con radio r y ángulo central de u radianes? 4. Si u es un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, defina las seis relaciones trigonométricas en términos de los lados adyacentes y opuestos a u y la hipotenusa. 5. ¿Qué significa resolver un triángulo? 6. Si u es un ángulo en posición normal, P(x, y2 es un punto en el lado terminal y r es la distancia del origen a P, escriba expresiones para las seis funciones trigonométricas de u.

7. ¿Cuáles funciones trigonométricas son positivas en los cuadrantes primero, segundo, tercero y cuarto? 8. Si u es un ángulo en posición normal, ¿cuál es el ángulo de referencia u? 9. (a) Exprese las identidades recíprocas. (b) Exprese las identidades de Pitágoras. 10. (a) ¿Cuál es el área de un triángulo con lados de longitud a y b y con ángulo entre ellos u? (b) ¿Cuál es el área de un triángulo con lados de longitud a, b y c? 11. Defina la función seno inversa sen1 x . ¿Cuáles son su dominio y rango? 12. Defina la función coseno inversa cos1 x. ¿Cuáles son su dominio y rango? 13. Defina la función tangente inversa tan1 x. ¿Cuáles son su dominio y rango? 14. (a) Exprese la Ley de Senos. (b) Exprese la Ley de Cosenos. 15. Explique el caso ambiguo de la Ley de Senos.

Q EJERCICIOS 1-2 Q Encuentre la medida en radianes que corresponda a la medida dada en grados.

1. (a) 60

(b) 330

(c)

2. (a) 24

(b)

(c) 750

330

135

(d)

90

(d) 5

3-4 Q Encuentre la medida en grados que corresponda a la medida dada en radianes.

3. (a)

5p 2

(b)

p 6

(c)

9p 4

(d) 3.1

11p 3p (d) 6 5 5. Encuentre la longitud de un arco de una circunferencia de radio 8 m si el arco subtiende un ángulo central de 1 rad. 4. (a) 8

(b)

5 2

(c)

6. Encuentre la medida de un ángulo central u en un círculo de 5 pies de radio si el ángulo está subtendido por un arco de 7 pies de longitud. 7. Un arco circular de 100 pies de longitud subtiende un ángulo central de 70°. Encuentre el radio del círculo. 8. ¿Cuántas revoluciones hará una rueda de 28 pulg. de un auto en media hora si el auto está corriendo a 60 mi/h?

484

C A P Í T U LO 6

| Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo

9. Nueva York y Los Ángeles están a 2450 millas entre sí. Encuentre el ángulo que el arco entre estas dos ciudades subtiende en el centro de la Tierra. (El radio de la Tierra es de 3960 millas).

17-20 Q Encuentre los lados marcados x y y, redondeados a dos lugares decimales. 17.

18.

10. Encuentre el área de un sector con ángulo central de 2 rad en un círculo de 5 m de radio.

x 5

11. Encuentre el área de un sector con ángulo central de 52° en un círculo de 200 pies de radio.

y

35* 2

40*

12. Un sector de un círculo de 25 pies de radio tiene un área de 125 pies2. Encuentre el ángulo central del sector. 13. La rueda de un alfarero, con radio de 8 pulg., gira a 150 rpm. Encuentre las velocidades angular y lineal de un punto en el borde de la rueda.

y

x 19.

20.

x 20*

y

y

20*

30*

x

4

1 8 pulg.

21-24

Q

Resuelva el triángulo.

C

21.

C

22.

A 14. En la transmisión de un automóvil, una relación de engranajes g es la relación

g

3

20*

velocidad angular del motor velocidad angular de las ruedas

La velocidad angular del motor se ve en el tacómetro (en rpm). Cierto auto deportivo tiene ruedas con radio de 11 pulg. Sus relaciones de engranes se ilustran en la tabla siguiente. Suponga que el auto está en cuarta y el tacómetro indica 3500 rpm. (a) Encuentre la velocidad angular del motor. (b) Encuentre la velocidad angular de las ruedas. (c) ¿A qué velocidad corre el auto (en mi/h)?

Velocidad

Relación

1a. 2a. 3a. 4a. 5a.

4.1 3.0 1.6 0.9 0.7

60* A C

23.

25

20

B C

24.

7

5

B

A

A

12

B

25. Exprese las longitudes a y b de la figura en términos de las relaciones trigonométricas de u.

y a

15-16 Q Encuentre los valores de las seis relaciones trigonométricas de u. 15.

B

0

¨

b 1

x

16.

5

¨

¨

10 7

3

26. La torre libre más alta de Norteamérica es la Torre CN de Toronto, Canadá. De 1 km de distancia a su base, el ángulo de elevación a lo alto de la torre es de 28.81°. Encuentre la altura de la torre. 27. Encuentre el perímetro de un hexágono regular que está inscrito en un círculo de 8 m de radio.

CAPÍTULO 6 28. El pistón del motor de un auto sube y baja repetidamente para hacer girar el cigüeñal, como se ilustra. Encuentre la altura del punto P sobre el centro O del cigüeñal en términos del ángulo u.

22p b 3

35. cot a

36. sen 405 22p 3 13p 40. sec 6 23p 42. tan 4 38. sec

37. cos 585

y 39. csc

8p 3

41. cot1 390°2 P

43. Encuentre los valores de las seis relaciones trigonométricas del ángulo u en posición normal si el punto 15, 122 está en el lado terminal de u.

8 pulg.

44. Encuentre sen u si u está en una posición normal y su lado terminal corta la circunferencia de radio 1 con centro en el origen en el punto 1 13/2, 12 2.

Q ¨

O

2

x

29. Como se ve desde la Tierra, el ángulo subtendido por la Luna llena es de 0.518°. Utilice esta información y el dato de que la distancia AB de la Tierra a la Luna es de 236,000 millas para hallar el radio de la Luna.

45. Encuentre el ángulo agudo que está formado por la recta y 13x 1 0 y el eje x. 46. Encuentre las seis relaciones trigonométricas del ángulo u en posición normal si su lado terminal está en el tercer cuadrante y es paralelo a la recta 4y  2x  1  0. 47-50 Q Escriba la primera expresión en términos de la segunda, para u en el primer cuadrante. 47. tan u,

cos u;

u en el segundo cuadrante

48. sec u,

sen u;

u en el tercer cuadrante

sen u;

u en cualquier cuadrante

2

49. tan u, 2

0.518˚ A

| Repaso 485

B

30. Un piloto mide que los ángulos de depresión a dos barcos son 40° y 52° (vea la figura). Si el piloto está volando a una elevación de 35,000 pies, encuentre la distancia entre los dos barcos.

2

50. csc u cos u,

sen u;

u en cualquier cuadrante

51-54 Q Encuentre los valores de las seis funciones trigonométricas de u a partir de la información dada.

51. tan u

17/3, sec u

53. sen u

3 5,

cos u

55. Si tan u  cos u.

1 2

56. Si sen u sec u.

1 2

4 3

52. sec u 54. sec u

0

csc u

41 40 , 13 5,

tan u

41 9

0

para u en el segundo cuadrante, encuentre sen u

para u en el primer cuadrante, encuentre tan u 

57. Si tan u  1, encuentre sen2u  cos2u. 58. Si cos u

40º

59-62

52º

Q

13/2 y p/1 < u < p, encuentre sen 2u.

Encuentre el valor exacto de la expresión.

59. sen 1 1 13/2 2 61. tan1sen 63-64

Q

Q

1 2 52

62. sen 1cos

1

64. sec1sen 1 x2

x2

Exprese u en términos de x. 66.

65. 31-42

Q

Encuentre el valor exacto.

31. sen 315 33. tan1 135° 2

9p 32. csc 4 5p 34. cos 6

1 3 82

Reescriba la expresión como una expresión algebraica en x.

63. sen 1tan 65-66

60. tan 1 1 13/3 2

3

¨ x

x ¨ 2

486

C A P Í T U LO 6

67-76

Q

| Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo

Encuentre el lado marcado x o el ángulo marcado u.

C

67.

10 A

C

68.

x

80*

30*

78. Del punto A en el suelo, el ángulo de elevación a la parte superior de un edificio elevado es 24.1°. De un punto B, que está 600 pies más cercano al edificio, el ángulo de elevación que se mide es de 30.2°. Encuentre la altura del edificio.

A

45* 105*

B

x

2 B

69.

20 A

x

40*

A

210

8 x

120*

A

2

110* 6

25*

5

B

A

4 80*

¨

C A

76.

C ¨

3.2 mi

5.6 mi

B

A

100

79. A partir de la información mostrada, encuentre la distancia entre los puntos A y B opuestos de un lago.

B

C

120

B

42*

x

A

75. A

600 pies

C

74.

23

¨

B

C

B

12

A

4

C

30.2*

24.1*

70 x

72.

B

60*

B

71. A

73.

C

70.

C 100

80. Un barco está de viaje por el océano frente a una playa recta. Los puntos A y B están a 120 millas uno del otro en la orilla, como se ve en la figura. Se encuentra que ∠A  42.3° y ∠B  68.9°. Encuentre la distancia más corta del barco a la orilla.

3 orilla

B

85

A

¨

B

42.3*

5 10*

120 mi C 77. Dos barcos salen de un puerto al mismo tiempo. Uno de ellos navega a 20 mi/h en dirección N 32° E y, el otro, navega a 28 mi/h en dirección S 42° E (vea la figura). ¿A qué distancia están los dos barcos después de 2 horas? N

32*

N 32˚ E

42* S 42˚ E S

68.9* B

81. Encuentre el área de un triángulo con lados de longitud 8 y 14 y ángulo incluido de 35°.

E

O

C

82. Encuentre el área de un triángulo con lados de longitud 5, 6 y 8.

C A P Í T U LO 6

EXAMEN 1. Encuentre las medidas en radianes que corresponden a las medidas en grados de 330° y 135°. 4p 2. Encuentre las medidas en grados que corresponden a las medidas en radianes de y 1.3. 3 3. Las paletas del rotor de un helicóptero miden 16 pies de largo y están girando a 120 rpm. (a) Encuentre la velocidad angular del rotor. (b) Encuentre la velocidad lineal de un punto situado en la punta de una paleta. 4. Encuentre el valor exacto de cada uno de lo siguiente. 5p (a) sen 405 (b) tan1 150°2 (c) sec 3

(d) csc

5p 2

5. Encuentre tan u  sen u para el ángulo u de la figura.

2 ¨ 3 6. Exprese las longitudes a y b mostradas en la figura, en términos de u.

24

a

¨ b 7. Si cos u 8. Si sen u

1 3 5 13

y u está en el tercer cuadrante, encuentre tan u cot u  csc u.

y tan u

5 12,

encuentre sec u.

9. Exprese tan u en términos de sec u para u en el segundo cuadrante. 10. La base de la escalera de la figura siguiente está a 6 pies del edificio, y el ángulo formado por la escalera y el suelo es de 73°. ¿A qué altura del edificio llega la escalera?

73* 6 pies 11. Exprese u en cada figura en términos de x. (a)

(b)

x x

¨

3

¨ 4 12. Encuentre el valor exacto de cosAtan

1 9 40 B.

487

488

C A P Í T U LO 6

| Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo 13-18

Q

Encuentre el lado marcado x o el ángulo marcado u. 14.

13.

x

10

x

48˚

52˚ 12

69˚

230

15.

x 16.

28 15

108˚

x

20˚ 28˚ 50 17.

18.

9

5

6 ¨

¨

75*

8

7

19. Consulte la figura siguiente. (a) Encuentre el área de la región sombreada. (b) Encuentre el perímetro de la región sombreada.

72˚ 10 m

20. Consulte la figura siguiente. (a) Encuentre el ángulo opuesto al lado más largo. (b) Encuentre el área del triángulo.

13

9 20

21. Dos cables sujetan un globo al suelo, como se muestra. ¿A qué altura está el globo respecto al suelo?

h

75* 100 pies

85*

ENFOQUE SOBRE MODELADO

Topografía ¿Cómo podemos medir la altura de una montaña o la distancia de un lado a otro de un lago? Obviamente, puede ser difícil, incómodo o imposible medir estas distancias directamente (es decir, usando una cinta de medir). Por otra parte, puede ser fácil medir ángulos en donde intervienen objetos distantes. Aquí es donde la trigonometría entra en acción: las relaciones trigonométricas relacionan ángulos con distancias, de modo que se pueden usar para calcular distancias a partir de los ángulos medidos. En este Enfoque examinamos cómo se usa trigonometría para trazar el mapa de una ciudad. Los modernos métodos de hacer mapas usan satélites y el sistema de posicionamiento global, pero la matemática sigue estando en el centro del proceso.

W Trazar el mapa de una ciudad Un estudiante desea trazar un mapa de su ciudad natal. Para construir un mapa preciso (o modelo a escala), necesita hallar distancias entre varios puntos de referencia de la ciudad. El estudiante hace las mediciones que se muestran en la Figura 1. Observe que sólo se mide una distancia, entre el Ayuntamiento y el primer puente. Todas las otras medidas son ángulos.

CAMINOS AYUNTAMIENTO 160°

LÍNEAS DE VISTA

50°

170° 30°

25° 0.86mi

BANCO

66°

50°

PRIMER PUENTE

30°

RÍO

150°

O

IGLESIA

50°

RÍ

RISCO EN CURVA DEL RÍO

SEGUNDO PUENTE

60°

80° 80° 55° 45°

BOMBEROS

ESCUELA

130°

FIGURA 1

Las distancias entre otros puntos de referencia se pueden hallar ahora usando la Ley de Senos. Por ejemplo, la distancia x del banco al primer puente se calcula aplicando la Ley de Senos al triángulo con vértices en el Ayuntamiento, el banco y el primer puente:

x sen 50° x

0.86 sen 30°

Ley de Senos

0.86 sen 50° sen 30°

Despeje x

1.32 mi

Calculadora

Por lo tanto, la distancia entre el banco y el primer puente es 1.32 millas.

489

490

Enfoque sobre modelado

La distancia que acabamos de encontrar se puede usar ahora para hallar otras distancias. Por ejemplo, hallamos la distancia y entre el banco y el risco como sigue:

y sen 64° y

1.32 sen 50°

Ley de Senos

1.32 sen 64° sen 50°

Despeje y

1.55 mi

Calculadora

Si continuamos en esta forma, podemos calcular todas las distancias entre los puntos de interés mostrados en el diagrama aproximado de la Figura 1. Podemos usar esta información para trazar el mapa que se ve en la Figura 2.

Ayuntamiento

Banco

Iglesia

Bomberos N

Escuela 0

FIGURA 2

1/ 4 1/ 2 3/4 1 milla

Para hacer un mapa topográfico, necesitamos medir elevación. Este concepto se explora en los Problemas 4-6.

PROBLEMAS 1. Completar el mapa

Encuentre la distancia entre la iglesia y el Ayuntamiento.

2. Completar el mapa Encuentre la distancia entre la estación de bomberos y la escuela. (Primero necesitará hallar otras distancias.) 3. Determinar una distancia Una experta en topografía, que se encuentra en un lado de un río, desea hallar la distancia entre los puntos A y B del lado opuesto del río. En el lado de ella, escoge los puntos C y D, que están a 20 m entre sí y mide los ángulos mostrados en la figura siguiente. Encuentre la distancia entre A y B.

A B 50* 40* 20* C

45* D 20 m

Topografía

491

4. Altura de un risco Para medir la altura de un peñasco inaccesible en el lado opuesto de un río, un topógrafo hace las mediciones que se ilustran en la figura de la izquierda. Encuentre la altura del risco. 5. Altura de una montaña Para calcular la altura h de una montaña, se miden el ángulo å, ∫ y la distancia d, como se ve en la figura siguiente. 33.1*

(a) Demuestre que

69.4* 200 m 51.6*

d

h

cot a

h

d

cot b

(b) Demuestre que

sen a sen b sen 1b a2

(c) Use las fórmulas de los incisos (a) y (b) para hallar la altura de una montaña si å  25°, ∫  29° y d  800 pies. ¿Obtiene usted la misma respuesta de cada fórmula?

C

h ∫

å d

A

68º 39º 42º

6. Determinación de una distancia Un topógrafo ha determinado que una montaña mide 2430 pies de altura. De lo alto de la montaña él mide los ángulos de depresión a dos puntos de referencia en la base de la montaña y encuentra que son de 42° y 39°. (Observe que éstos son los mismos que los ángulos de elevación de los puntos de referencia como se ven en la figura de la izquierda.) El ángulo entre las líneas de vista a los puntos de referencia es de 68°. Calcule la distancia entre los dos puntos de referencia. 7. Levantamiento topográfico de lotes de edificios Un topógrafo hace el levantamiento topográfico de dos lotes adyacentes y hace el siguiente bosquejo aproximado que muestra sus mediciones. Calcule todas las distancias mostradas en la figura, y use sus resultados para trazar un mapa preciso de los dos lotes.

87° 150 pies

2430 pies

B

32° 91°

60°

88°

41° 50°

92°