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OBJETIVO Resolver problemas relacionados con los espacios vectoriales reales o complejos, interpretándolos como una estructura algebraica, utilizando matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.

CONTENIDO: 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

ESPACIOS VECTORIALES SUBESPACIOS VECTORIALES COMBINACIONES LINEALES. SUBESPACIOS GENERADOS INTERSECCION Y SUMA DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL BASE Y DIMENSION VECTOR DE COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE CUESTIONARIO

5.1 ESPACIOS VECTORIALES En esta sección se generalizará el concepto de vector. Se enunciará un conjunto de axiomas que, si una clase de objetos hace que se cumplan, permitirá denominar vectores a esos objetos. Los axiomas se elegirán abstrayendo las propiedades más importantes de los vectores en n. El trabajo desarrollado en esta sección es muy útil, ya que proporciona una herramienta poderosa para extender la representación geométrica a una amplia variedad de problemas matemáticos importantes en los que de otra forma no se contaría con la intuición geométrica. La resolución de los problemas de cualquier género se reduce, al fin y al cabo, al estudio de ciertos conjuntos y, en primer lugar, al estudio de la estructura de dichos conjuntos. Para estudiar la estructura de conjuntos se emplean los más diversos métodos. Por ejemplo, partiendo de la propiedad característica que poseen los elementos o bien partiendo de las propiedades de las operaciones, si están definidas para los elementos. El último método parece ser de atracción especial debido a su generalidad. Efectivamente, ya hemos visto repetidamente que en los más diversos conjuntos pueden introducirse las más diversas operaciones que, no obstante, poseen propiedades iguales. Será evidente por esta razón que si en la investigación de los conjuntos se obtiene cierto resultado sólo en la base de las propiedades de una operación, este resultado tendrá lugar en todos los conjuntos, donde las operaciones poseen las mismas propiedades. En este caso la naturaleza concreta tanto de los elementos como de las operaciones sobre ellos puede ser completamente diferente.

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Se conoce que en realidad detrás de los vectores están los objetos físicos bien reales. Por esto, la investigación detallada de la estructura de los conjuntos representa interés por lo menos para la física. Hay una tentación, originada por la sencillez de los conjuntos citados, que conduce al deseo de estudiarlos apoyándose sólo en las peculiaridades concretas de los elementos. Sin embargo, no podemos sino observar el hecho de que dichos conjuntos tienen mucho en común, razón por la cual parece racional comenzar su estudio partiendo de ciertas posiciones generales, abrigando esperanza, por lo menos, que tendremos éxito en evitar repeticiones fastidiosas y monótonas al pasar de la investigación de un conjunto a la del otro. No se desarrollaran las diferentes propiedades de los cuerpos abstractos y no trataremos de cuerpo específico alguno que no sea de los números racionales, reales y complejos. Es conveniente y cómodo, por el momento, no especificar la naturaleza exacta del cuerpo de escalares, porque gran parte de los espacios vectoriales es válida para cuerpos arbitrarios. El estudiante que no conoce los cuerpos abstractos no estará en desventaja, pues basta con que piense en K como en uno de los cuerpos que le son familiares. Todo lo que importa es que podamos efectuar las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división, en la forma usual. Más adelante tendremos que restringir a K al cuerpo de los números reales o al cuerpo de los números complejos, para obtener ciertos resultados clásicos; pero se pospondrá ese momento tanto como podamos. En general, usaremos letras minúsculas del alfabeto latino para denotar a los vectores. Una excepción es el vector nulo que se denotará por . DEFINICION 5.1.1 Sea V un conjunto cualesquiera no vacío de elementos sobre el que están definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares. Por adición se entiende una regla que asocia a cada par de elementos u y v en V un elemento u + v denominado suma de u y v; por multiplicación escalar se entiende una regla que asocia a cada escalar  y cada elemento u en V un elemento u, denominado múltiplo escalar de u por . Si los elementos u, v, w en V y los escalares  y  satisfacen los axiomas siguientes, entonces V se denomina espacio vectorial, y sus elementos se denominan vectores: 1.- Si u, v están en V, entonces u + v está en V. 2.- Si u, v están en V, entonces u + v = v + u. 3.- Si u, v, w están en V, entonces u + (v + w) = (u + v) + w. 4.- Existe un único elemento  en V, denominado vector cero de V, tal que se cumple que  + u = u +  = u para todo u en V. 5.- Para todo u en V existe un elemento -u en V, denominado opuesto de u, tal que se cumple u + (-u) = (-u) + u = . 6.- Si  es cualquier escalar y u es cualquier elemento en V, entonces u está en V. 7.- Si u, v están en V y  es un escalar, entonces (u + v) = u + v. 8.- Si u está en V y ,  son escalares, entonces ( + )u = u + u. 9.- Si u está en V y ,  son escalares, entonces (u) = ()u. 10.- Si u está en V y 1 es un escalar, 1u = u. Los elementos de cualquier espacio vectorial los llamaremos vectores, a pesar de que según su naturaleza concreta dichos elementos pueden ser bien distintos de los segmentos dirigidos. Las representaciones geométricas, relacionadas con el nombre de vectores, nos ayudaran en aclarar y, con frecuencia, en prever los resultados necesarios, como también en buscar la interpretación geométrica de diferentes hechos la cual no siempre resulta obvia. Cualquier tipo de objeto pueJOE GARCIA ARCOS

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de ser un vector, y es posible que las operaciones de adición y multiplicación escalar no guarden ninguna relación o semejanza con las operaciones vectoriales usuales sobre Rn. El único requisito es que se cumplan los axiomas de la definición de espacio vectorial. A continuación damos a conocer algunas propiedades que provienen de la existencia de las operaciones de adición y multiplicación por un número. Conciernen, en lo esencial, a los vectores nulo y opuesto. TEOREMA 5.1.1 Sean V un espacio vectorial, u un elemento de V y a un escalar, entonces se cumple lo siguiente: 1.- 0u = . 2.- a = . 3.- (-1)u = -u. 4.- Si au = , entonces a = 0 o u = . DEMOSTRACION 1.- Se puede escribir 0u + 0u = (0 + 0)u = 0u Por el axioma 5, el vector 0u tiene un negativo: -0u. Al sumar este negativo a ambos miembros de la última expresión se obtiene (0u + 0u) + (-0u) = 0u + (-0u) o 0u + (0u + (-0u)) = 0u + (-0u) 0u +  =  0u =  2.- Ya que a(v + ) = av + a, entonces a = . 3.- Para probar (-1)u = -u, es necesario demostrar que u + (-1)u = . Para ver esto, obsérvese que u + (-1)u = 1u + (-1)u = (1 + (-1))u = 0u = . 4.- Efectivamente, si la igualdad au =  se realiza, puede haber una de las dos posibilidades: o bien a = 0 o bien a  0. El caso a = 0 confirma la afirmación. Sea ahora, a  0. En este caso 1 1 1  u  1 u    a  u  (au )    = .  a a a   De esta forma, desde el punto de vista de las operaciones de multiplicación, adición y sustracción tienen lugar formalmente todas las reglas de transformaciones equivalentes para las expresiones algebraicas. En algunas aplicaciones, es necesario alterar la definición de espacio vectorial para que los escalares sean números complejos. Entonces se habla de un espacio vectorial complejo. En gran medida, la teoría de los espacios vectoriales reales es igual que la teoría de los espacios vectoriales complejos. En consecuencia, a lo largo del capítulo, se puede reemplazar la expresión espacio vectorial por espacio vectorial complejo. EJEMPLO 5.1.1 Considérese las funciones f :   . Dentro del conjunto de todas estas funciones está el subconjunto que consiste en todas las funciones f derivables dos veces que satisfacen a la ecuación diferencial f ´´ + f = 0, donde cada signo de prima indica derivación. Por supuesto, f ´´ es nuevamente una función de  en . Podemos afirmar que el subconjunto () formado por todas las funciones f que satisfacen la ecuación diferencial, es un espacio vectorial sobre , donde utilizamos las mismas operaciones de suma y producto por escalares en este subconjunto que en (). JOE GARCIA ARCOS

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SOLUCION Verifíquense los axiomas (1) y (6). Para hacerlo con (1), hemos de demostrar que si las funciones f y g satisfacen ambas la ecuación diferencial, entonces también la satisfará f + g. Pero esto es trivial, puesto que de f ´´ + f = 0 y g´´ + g = 0 obtenemos fácilmente (f + g)´´ + (f + g) = 0. De forma análoga, si  es un número real, entonces de f ´´ + f = 0 se halla que (f)´´ + (f) = 0. Por tanto, también es satisfecho el axioma (6). Los otros axiomas automáticamente se cumplen.  EJEMPLO 5.1.2 Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales: a.- En (-; ), los polinomios de grado mayor o igual que 2; b.- En (-; ), los polinomios que tienen un cero en x = 2. SOLUCION a.- Tenemos que analizar el conjunto S = {p(t)  P / p(t) = a2t2 + a3t3 + ... + antn, donde a2, a3, ..., an  }. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 están en S. Es decir: (p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t) = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (b2t2 + b3t3 + ... + bntn) = (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 + … + (an + bn)tn = c2t2 + c3t3 + … + cntn  S. 2.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 = p2 + p1. Es decir: (p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t) = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (b2t2 + b3t3 + ... + bntn) = (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 + … + (an + bn)tn = (b2 + a2)t2 + (b3 + a3)t3 + … + (bn + an)tn = p2(t) + p1(t) = (p2 + p1)(t). 3.- Si p1, p2, p3 están en S, entonces p1 + (p2 + p3) = (p1 + p2) + p3. Es decir: [p1 + (p2 + p3)](t) = p1(t) + [p2(t) + p3(t)] = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + [(b2 + c2)t2 + … + (bn + cn)tn] = (a2 + b2 + c2)t2 + (a3 + b3 + c3)t3 + … + (an + bn + cn)tn] = [(a2 + b2) + c2]t2 + [(a3 + b3) + c3]t3 + … + [(an + bn) + cn]tn = [(a2 + b2)t2 + (a2 + b2)t2 + … + (an + bn)tn] + (c2t2 + c3t3 + ... + cntn) = [p1(t) + p2(t)] + p3(t) = [(p1 + p2) + p3](t). 4.- Existe un único elemento p en S, denominado vector cero de S, tal que se cumple que p + p = p + p = p para todo p en S. Es decir: (p + p)(t) = p(t) + p(t) = (0t2 + 0t3 + ... + 0tn) + (a2t2 + a3t3 + ... + antn) = (0 + a2)t2 + (0 + a3)t3 + … + (0 + an)tn = a2t2 + a3t3 + ... + antn = p(t). 5.- Para todo p en S existe un elemento –p en S, denominado opuesto de p, tal que se cumple p + (-p) = (-p) + p = p. Es decir: [p + (-p)](t) = p(t) + [-p(t)] = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (- a2t2 - a3t3 - ... - antn) = (a2 - a2)t2 + (a3 – a3)t3 + … + (an - an)tn = 0t2 + 0t3 + … + 0tn = p(t). 6.- Si  es cualquier escalar y p es cualquier elemento en S, entonces p está en S. Es decir: (p)(t) = p(t) = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) = (a2)t2 + (a3)t3 + ... + (an)tn = b2t2 + b3t3 + ... + bntn  S. 7.- Si p1, p2 están en S y  es un escalar, entonces (p1 + p2) = p1 + p2. Es decir: [(p1 + p2)](t) = [p1(t) + p2(t)] = [(a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 + … + (an + bn)tn] JOE GARCIA ARCOS

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= (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 + … + (an + bn)tn = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (b2t2 + b3t3 + ... + bntn) = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (b2t2 + b3t3 + ... + bntn) = p1(t) + p2(t). 8.- Si p está en S y ,  son escalares, entonces ( + )p = p + p. Es decir: [( + )p](t) = ( + )p(t) = ( + )(a2t2 + a3t3 + ... + antn) = ( + )a2t2 + ( + )a3t3 + ... + ( + )antn = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (a2t2 + a3t3 + ... + antn) = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (a2t2 + a3t3 + ... + antn) = p(t) + p(t). 9.- Si p está en S y ,  son escalares, entonces (p) = ()p. Es decir: [(p)](t) = [p(t)] = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) = a2t2 + a3t3 + ... + antn = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) = ()p(t). 10.- Si p está en S y 1 es un escalar, 1p = p. Es decir: (1p)(t) = 1p(t) = 1(a2t2 + a3t3 + ... + antn) = 1a2t2 + 1a3t3 + ... + 1antn = a2t2 + a3t3 + ... + antn = p(t). Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial. b.- En este caso tenemos que S = {p  n / p(t) = (t – 2)q(t), q(t)  n-1}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 están en S. Es decir: p1(t) + p2(t) = (t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t) = (t – 2)(q1(t) + q2(t)) = (t – 2)h(t)  S. 2.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 = p2 + p1. Es decir: p1(t) + p2(t) = (t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t) = (t – 2)[q1(t) + q2(t)] = (t – 2) )[q2(t) + q1(t)] = (t – 2)q2(t) + (t – 2)q1(t) = p2(t) + p1(t). 3.- Si p1, p2, p3 están en S, entonces p1 + (p2 + p3) = (p1 + p2) + p3. Es decir: p1(t) + [p2(t) + p3(t)] = (t – 2)q1(t) + [(t – 2)q2(t) + (t – 2)q3(t)] = (t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t) + (t – 2)q3(t) = [(t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t)] + (t – 2)q3(t) = [p1(t) + p2(t)] + p3(t). 4.- Existe un único elemento p en S, denominado vector cero de S, tal que se cumple que p + p = p + p = p para todo p en S. Es decir: p(t) + p(t) = p(t) + (t – 2)q(t) = (t – 2)q(t) + p(t) = (t – 2)q(t) = p(t). 5.- Para todo p en S existe un elemento –p en S, denominado opuesto de p, tal que se cumple p + (-p) = (-p) + p = p. Es decir: p(t) + [-p(t)] = (t – 2)q(t) + [- (t – 2)q(t)] = (t – 2)q(t) - (t – 2)q(t) = (t – 2)[q(t) - q(t)] = (t – 2)p(t) = p(t). 6.- Si  es cualquier escalar y p es cualquier elemento en S, entonces p está en S. Es decir: p(t) = [(t – 2)q(t)] = (t – 2)q(t) = (t – 2)h(t)  S. 7.- Si p1, p2 están en S y  es un escalar, entonces (p1 + p2) = p1 + p2. Es decir: [p1(t) + p2(t)] = [(t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t)] = (t – 2)q1(t) + (t – 2)q2(t) = p1(t) + p2(t). 8.- Si p está en S y ,  son escalares, entonces ( + )p = p + p. Es decir: ( + )p(t) = ( + )[(t – 2)q(t)] = (t – 2)q(t) + (t – 2)q(t) = p(t) + p(t). 9.- Si p está en S y ,  son escalares, entonces (p) = ()p. Es decir: JOE GARCIA ARCOS

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[p(t)] = [(t – 2)q(t)] = (t – 2)q(t) = ()(t – 2)q(t) = ()p(t). 10.- Si p está en S y 1 es un escalar, 1p = p. Es decir: 1p(t) = 1(t – 2)q(t) = (t – 2)q(t) = p(t). Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial.  EJEMPLO 5.1.3 Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales: a.- Todas las f en C2[0; 1] tales que f ´´(x) = x2f(x); b.- Todas las f en C(-1; 1), tales que f es monótona y estrictamente creciente. SOLUCION a.- En este caso tenemos que S = {f  F / f ´´(x) = x2f(x)}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: (f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = x2f1(x) + x2f2(x) = x2[f1 + f2](x) = x2g(x)  S. 2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: (f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = x2f1(x) + x2f2(x) = x2[f1 + f2](x) = x2[f2 + f1](x) = x2f2(x) + x2f1(x) = (f2 + f1)´´(x). 3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: [f1 + (f2 + f3)]´´(x) = f1´´(x) + (f2 + f3)´´(x) = x2f1(x) + x2(f2 + f3)(x) = x2f1(x) + x2f2(x) + x2f3(x) = x2(f1 + f2)(x) + x2f3(x) = (f1 + f2)´´(x) + f3´´(x) = [(f1 + f2) + f3]´´(x). 4.- Existe un único elemento f en S, denominado función cero de F, tal que se cumple que f + f = f + f = f para toda f en S. Es decir: [f + f]´´(x) = f ´´(x) + f ´´(x) =  + x2f(x) = x2f(x) +  = x2f(x) = f ´´(x). 5.- Para todo f en S existe un elemento –f en S, denominado opuesto de f, tal que se cumple f + (-f) = (-f) + f = f. Es decir: [f + (-f)]´´(x) = f ´´(x) – f ´´(x) = x2f(x) - x2f(x) = x2(f – f)(x) = x2f(x) = f ´´(x). 6.- Si  es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces f está en S. Es decir: (f)´´(x) = f ´´(x) = [x2f(x)] = x2[f(x)] = x2g(x)  S. 7.- Si f1, f2 están en S y  es un escalar, entonces (f1 + f2) = f1 + f2. Es decir: (f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = [x2f1(x)] + [x2f2(x)] = x2f1(x) + x2f2(x) = f1´´(x) + f2´´(x). 8.- Si f está en S y ,  son escalares, entonces ( + )f = f + f. Es decir: ( + )f ´´(t) = ( + )x2f(x) = x2f(x) + x2f(x) = f ´´(x) + f ´´(x). 9.- Si f está en S y ,  son escalares, entonces (f) = ()f. Es decir: (f)´´(x) = [f ´´(x)] = [x2f(x)] = x2f(x) = ()x2f(x) = ()f ´´(x). 10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1f = f. Es decir: 1f ´´(x) = 1x2f(x) = x2f(x) = f ´´(x). Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial. b.- En este caso tenemos que S = {f   / f ´(x) > 0}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: (f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) > 0 + 0 = 0  S. 2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: (f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) > 0 + 0 = f2´(x) + f1´ = (f2 + f1)´(x). 3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: [f1 + (f2 + f3)]´(x) = f1´(x) + (f2 + f3)´(x) > 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0 = (f1 + f2)´(x) + f3´(x) = [(f1 + f2) + f3]´(x). 4.- Existe un único elemento f en S, denominado función cero de S, tal que se cumple que f + f = f + f = f para toda f en S. Es decir: (f + f)´(x) = f ´(x) + f ´(x). Como la primera derivada de la función nula es igual a cero, entonces la función nula no pertenece al conjunto S. Entonces, S no tiene estructura de espacio vectorial.  JOE GARCIA ARCOS

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EJEMPLO 5.1.4 Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales: a.- El conjunto de las funciones diferenciables en [a; b]; b.- El conjunto de todas las funciones con derivada segunda en [0; 1]. SOLUCION f ( x  h)  f ( x )   a.- En este caso tenemos que S   f  F / f ´( x)  lim , a  x  b . h 0 h   A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: ( f  f )( x  h)  ( f1  f 2 )( x) ( f1  f 2 )´( x)  lim 1 2 h 0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)]  lim h 0 h f1 ( x  h)  f1 ( x) f ( x  h)  f 2 ( x )  lim  lim 2 h 0 h  0 h h  f1´( x)  f 2´( x)  S. 2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: ( f  f )( x  h)  ( f1  f 2 )( x) ( f1  f 2 )´( x)  lim 1 2 h 0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)]  lim h 0 h [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)]  [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  lim h 0 h ( f 2  f1 )( x  h)  ( f 2  f1 )( x)  lim h 0 h  ( f 2  f1 )´( x)  ( f 2  f1 )´( x) . 3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: [ f  ( f 2  f3 )]( x  h)  [ f1  ( f 2  f3 )]( x) [ f1  ( f 2  f3 )]´( x)  lim 1 h0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [( f 2  f3 )( x  h)  ( f 2  f3 )( x)]  lim h0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)]  [ f3 ( x  h)  f3 ( x)]  lim h 0 h [( f1  f 2 )( x  h)  ( f1  f 2 )( x)]  [ f3 ( x  h)  f3 ( x)]  lim h0 h [( f1  f 2 )  f3 ]( x  h)  [( f1  f 2 )  f3 ]( x)  lim h 0 h  [( f1  f 2 )  f3 ]´( x) . 4.- Existe un único elemento f en S, denominado función cero de S, tal que se cumple que f + f = f + f = f para toda f en S. Es decir: ( f  f )( x  h)  ( f  f )( x) ( f  f )´( x)  lim h 0 h [ f ( x  h)   f ( x)]  [ f ( x  h)  f ( x)]  lim h 0 h  f ( x  h)   f ( x ) f ( x  h)  f ( x )  lim  lim h 0 h 0 h h  0  f ´( x)  f ´( x) . 5.- Para todo f en S existe un elemento –f en S, denominado opuesto de f, tal que se cumple f + (-f) = (-f) + f = f. Es decir: JOE GARCIA ARCOS

192

ESPACIOS VECTORIALES

[ f  ( f )]( x  h)  [ f  ( f )]( x) h ( f  f )( x  h)  ( f  f )( x)  lim h 0 h  f ( x  h)   f ( x )  lim   f ´( x ) h 0 h 6.- Si  es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces f está en S. Es decir: (f )( x  h)  (f )( x) f ( x  h)  f ( x) (f )´( x)  lim    lim  f ´( x)  S. h0 h0 h h 7.- Si f1, f2 están en S y  es un escalar, entonces (f1 + f2) = f1 + f2. Es decir: [( f1  f 2 )]( x  h)  [( f1  f 2 )]( x) [( f1  f 2 )]´( x)  lim h0 h (f1  f 2 )( x  h)  (f1  f 2 )( x)  lim h 0 h [ f1 ( x  h)  f1 ( x)]  [ f 2 ( x  h)  f 2 ( x)]  lim h 0 h f1 ( x  h)  f1 ( x) f ( x  h)  f 2 ( x )    lim    lim 2 h 0 h 0 h h  f1´( x)  f 2´( x) . [ f  ( f )]´( x)  lim

h 0

8.- Si f está en S y ,  son escalares, entonces ( + )f = f + f. Es decir: [(  ) f ]( x  h)  [(  ) f ]( x) [(  ) f ]´( x)  lim h0 h (f  f )( x  h)  (f  f )( x)  lim h0 h [ f ( x  h)  f ( x)]  [ f ( x  h)  f ( x)]  lim h 0 h f ( x  h)  f ( x ) f ( x  h)  f ( x )    lim   lim h 0 h 0 h h  f ´( x)  f ´( x) . 9.- Si f está en S y ,  son escalares, entonces (f) = ()f. Es decir: [(f )]( x  h)  [(f )]( x) [(f )( x  h)  (f )( x)] [(f )]´( x)  lim  lim h 0 h  0 h h (f )( x  h)  (f )( x) f ( x  h)  f ( x)    lim   lim  () f ´( x) h0 h0 h h . 10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1f = f. Es decir: (1 f )( x  h)  (1 f )( x) f ( x  h)  f ( x) (1 f )´( x)  lim  lim  f ´( x) . h0 h0 h h Como se prueban todos los axiomas, entonces S tiene estructura de espacio vectorial. f ´( x  h)  f ´( x)   , 0  x  1 . b.- En este caso tenemos que S   f  F / f ´´( x)  lim h 0 h   A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: ( f  f )´( x  h)  ( f1  f 2 )´( x) ( f1  f 2 )´´( x)  lim 1 2 h 0 h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [ f 2 ´( x  h)  f 2´( x)]  lim h 0 h f1´( x  h)  f1´( x) f ´( x  h)  f 2 ´( x)  lim  lim 2  f1´´( x)  f 2 ´´( x)  S. h 0 h  0 h h 2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: JOE GARCIA ARCOS

ESPACIOS VECTORIALES

193

( f1  f 2 )´( x  h)  ( f1  f 2 )´( x) h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [ f 2 ´( x  h)  f 2´( x)]  lim h 0 h [ f 2 ´( x  h)  f 2 ´( x)]  [ f1´( x  h)  f1´( x)]  lim h 0 h ( f 2  f1 )´( x  h)  ( f 2  f1 )´( x)  lim h0 h  ( f 2  f1 )´´( x) . 3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: [ f  ( f 2  f3 )]´( x  h)  [ f1  ( f 2  f3 )]´( x) [ f1  ( f 2  f3 )]´´( x)  lim 1 h0 h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [( f 2  f3 )´( x  h)  ( f 2  f3 )´( x)]  lim h0 h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [ f 2 ´( x  h)  f 2 ´( x)]  [ f3´( x  h)  f3´( x)]  lim h 0 h [( f1  f 2 )´( x  h)  ( f1  f 2 )´( x)]  [ f3´( x  h)  f3´( x)]  lim h0 h [( f1  f 2 )  f3 ]´( x  h)  [( f1  f 2 )  f3 ]´( x)  lim  [( f1  f 2 )  f3 ]´´( x) . h 0 h 4.- Existe un único elemento f en S, denominado función cero de S, tal que se cumple que f + f = f + f = f para toda f en S. Es decir: ( f  f )´( x  h)  ( f  f )´( x) ( f  f )´( x)  lim h 0 h [ f ´( x  h)   f ´( x)]  [ f ´( x  h)  f ´( x)]  lim h 0 h  f ´( x  h)   f ´( x) f ´( x  h)  f ´( x)  lim  lim h 0 h 0 h h  0  f ´´( x)  f ´´( x) . 5.- Para todo f en S existe un elemento –f en S, denominado opuesto de f, tal que se cumple f + (-f) = (-f) + f = f. Es decir: [ f  ( f )]´( x  h)  [ f  ( f )]´( x) [ f  ( f )]´´( x)  lim h 0 h ( f  f )´( x  h)  ( f  f )´( x)  lim h 0 h  f ´( x  h)   f ´( x)  lim   f ´´( x ) h 0 h 6.- Si  es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces f está en S. Es decir: (f )´( x  h)  (f )´( x) f ´( x  h)  f ´( x) (f )´´( x)  lim    lim  f ´´( x)  S. h0 h0 h h 7.- Si f1, f2 están en S y  es un escalar, entonces (f1 + f2) = f1 + f2. Es decir: [( f1  f 2 )]´( x  h)  [( f1  f 2 )]´( x) [( f1  f 2 )]´´( x)  lim h0 h (f1  f 2 )´( x  h)  (f1  f 2 )´( x)  lim h 0 h [ f1´( x  h)  f1´( x)]  [ f 2 ´( x  h)  f 2 ´( x)]  lim h0 h ( f1  f 2 )´´( x)  lim

h 0

JOE GARCIA ARCOS

194

ESPACIOS VECTORIALES

f1´( x  h)  f1´( x) f ´( x  h)  f 2 ´( x)    lim 2 h0 h h  f1´´( x)  f 2´´( x) .

   lim

h0

8.- Si f está en S y ,  son escalares, entonces ( + )f = f + f. Es decir: [(  ) f ]´( x  h)  [(  ) f ]´( x) [(  ) f ]´´( x)  lim h0 h (f  f )´( x  h)  (f  f )´( x)  lim h0 h [ f ´( x  h)  f ´( x)]  [ f ´( x  h)  f ´( x)]  lim h 0 h f ´( x  h)  f ´( x) f ´( x  h)  f ´( x)    lim   lim h 0 h 0 h h  f ´´( x)  f ´´( x) . 9.- Si f está en S y ,  son escalares, entonces (f) = ()f. Es decir: [(f )]´( x  h)  [(f )]´( x) [(f )´( x  h)  (f )´( x)] [(f )]´´( x)  lim  lim h0 h  0 h h (f )´( x  h)  (f )´( x) f ´( x  h)  f ´( x)    lim   lim  () f ´´( x) h0 h0 h h . 10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1f = f. Es decir: (1 f )´( x  h)  (1 f )´( x) f ´( x  h)  f ´( x) (1 f )´´( x)  lim  lim  f ´´( x) . h0 h0 h h Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial.  EJEMPLO 5.1.5 Verifique que los conjuntos siguientes de funciones no son espacios vectoriales: a.- El conjunto de todas las funciones f diferenciables en [0; 1] tales que f ´ = f – 1; b.- El conjunto de todas las funciones f en [0; 2] con la propiedad que x f(x) en 0  x  2; SOLUCION a.- En este caso tenemos que S = {f  F / f ´(x) = f(x) - 1, 0  x  1}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: (f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) = [f1(x) – 1] + [f2(x) – 1] = (f1 + f2)(x) – 2  S. Como no se cumple el primer axioma, entonces S no tiene estructura de espacio vectorial. b.- En este caso tenemos que S = {f  F / f(x)  x, 0  x  2}. A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)  f1(x) + f2(x) = x + x = 2x  S. Como no se cumple el primer axioma, entonces S no tiene estructura de espacio vectorial.  EJEMPLO 5.1.6 Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales: a.- S consiste en todas las soluciones de y´´ - 8xy = 0, con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un escalar usuales; b.- V consta de todas las funciones reales y continuas definidas en [0; 1] tales que 1

 0 f ( x) dx  0 , con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un escalar usuales. SOLUCION a.- En este caso tenemos que S = {y  F / y´´ - 8xy = 0}. A continuación JOE GARCIA ARCOS

ESPACIOS VECTORIALES

195

comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si y1, y2 están en S, entonces y1 + y2 están en S. Es decir: (y1 + y2)´´ – 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ – 8xy1 – 8xy2 = (y1´´ – 8xy1) + (y2´´ – 8xy2) = 0 + 0 = 0  S. 2.- Si y1, y2 están en S, entonces y1 + y2 = y2 + y1. Es decir: (y1 + y2)´´ – 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ – 8xy1 – 8xy2 = (y1´´ – 8xy1) + (y2´´ – 8xy2) = (y2´´ – 8xy2) + (y1´´ – 8xy1) = (y2 + y1)´´ – 8x(y2 + y1). 3.- Si y1, y2, y3 están en S, entonces y1 + (y2 + y3) = (y1 + y2) + y3. Es decir: [y1 + (y2 + y3)]´´ – 8x[y1 + (y2 + y3)] = y1´´ + (y2 + y3)´´ – 8xy1 – 8x(y2 + y3) = y1´´ + y2´´ + y3´´ – 8xy1 – 8xy2 - 8xy3 = (y1 + y2)´´ + y3´´ – 8x(y1 + y2) – 8xy3 = [(y1 + y2) + y3)]´´ – 8x[(y1 + y2) + y3]. 4.- Existe un único elemento y en S, denominado función cero de S, tal que se cumple que y + y = y + y = y para toda y en S. Es decir: (y + y)´´(x) – 8x(y + y) = y´´(x) + y´´(x) – 8xy – 8xy = y´´(x) – 8xy = 0. 5.- Para todo y en S existe un elemento –y en S, denominado opuesto de y, tal que se cumple y + (-y) = (-y) + y = y. Es decir: [y + (-y)]´´ – 8x[y + (-y)] = y ´´ – y´´ – 8xy + 8xy = y´´ - 8xy = 0. 6.- Si  es cualquier escalar y y es cualquier elemento en S, entonces y está en S. Es decir: (y´´ – 8xy) = y´´ - 8xy = (y)´´ - 8x(y) = z´´ - 8xz = 0  S. 7.- Si y1, y2 están en S y  es un escalar, entonces (y1 + y2) = y1 + y2. Es decir: [(y1 + y2)]´´ - 8x(y1 + y2) = (y1 + y2)´´ - 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ - 8xy1 - 8xy2 = (y1´´ - 8xy1) + (y2´´ - 8xy2) = (y1´´ - 8xy1) + (y2´´ - 8xy2) 8.- Si y está en S y ,  son escalares, entonces ( + )y = y + y. Es decir: ( + )(y´´ - 8xy) = ( + )y´´ - 8( + )xy = y´´ + y´´ - 8xy - 8xy = (y´´ - 8xy) + (y´´ - 8xy) = (y´´ - 8xy) + (y´´ - 8xy). 9.- Si y está en S y ,  son escalares, entonces (y) = ()y. Es decir: [(y´´ - 8xy)] = (y´´ - 8xy) = y´´ - 8xy = ()(y´´ - 8xy). 10.- Si y está en S y 1 es un escalar, 1y = y. Es decir: 1(y´´ - 8xy) = 1y´´ - 18xy) = y´´ - 8xy. Como se prueban todos los axiomas, entonces S tiene estructura de espacio vectorial. b.- En este caso tenemos que





1

V  f  F /  f ( x) dx  0, 0  x  1 . A 0

continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial: 1.- Si f1, f2 están en V, entonces f1 + f2 están en V. Es decir: 1

1

1

 0 ( f1  f2 )( x) dx   0 f1 ( x) dx   0 f2 ( x) dx  0  0  0  S. 2.- Si f1, f2 están en V, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir: 1

1

1

1

1

 0 ( f1  f2 )( x) dx   0 f1 ( x) dx   0 f 2 (x) dx   0 f 2 (x) dx   0 f1 (x) dx  0  0  0 3.- Si f1, f2, f3 están en V, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir: 1

1

1

 0 [ f1  ( f2  f3 )]( x) dx   0 f1 ( x) dx   0 ( f2  f3 )( x) dx 1

1

1

0

0

0

  f1 ( x) dx   f 2 ( x) dx   f3 ( x) dx 1

1

0

0

  ( f1  f 2 )( x) dx   f3 ( x) dx 1

  [( f1  f 2 )  f3 ]( x) dx . 0

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ESPACIOS VECTORIALES

4.- Existe un único elemento f en V, denominado función cero de V, tal que se cumple que f + f = f + f = f para toda f en V. Es decir: 1

 0 ( f

1

1

1

1

0

0

0

0

 f )( x) dx    f ( x ) dx   f ( x) dx   f ( x) dx    f ( x ) dx  0  0  0

. 5.- Para todo f en V existe un elemento –f en V, denominado opuesto de f, tal que se cumple f + (-f) = (-f) + f = f. Es decir: 1

1

1

 0 [ f  ( f )]( x) dx   0 f ( x) dx   0 ( f )( x) dx 1

1

0

0

  f ( x) dx   f ( x) dx  0  0  0 .

6.- Si  es cualquier escalar y f es cualquier elemento en V, entonces f está en V. Es decir: 1

1

1

 0 (f )( x) dx   0 f ( x) dx   0 f ( x) dx    0  0  S 7.- Si f1, f2 están en V y  es un escalar, entonces (f1 + f2) = f1 + f2. Es decir: 1

1

1

1

 0 [( f1  f2 )]( x) dx   0 (f1  f2 )]( x) dx   0 f1 ( x) dx   0 f2 ( x) dx 1

1

0

0

   f1 ( x) dx    f 2 ( x) dx    0    0  0

8.- Si f está en V y ,  son escalares, entonces ( + )f = f + f. Es decir: 1

1

1

1

 0 [(  ) f ]( x) dx   0 (f  f )( x) dx   0 f ( x) dx   0 f ( x) dx 1

1

0

0

   f ( x) dx   f ( x) dx    0   0  0

9.- Si f está en V y ,  son escalares, entonces (f) = ()f. Es decir: 1

1

1

1

 0 (f )( x) dx   0 (f )( x) dx   0 f ( x) dx   0 f ( x) dx  ()  0  0 . 10.- Si f está en V y 1 es un escalar, 1f = f. Es decir: 1

1

1

 0 (1 f )( x) dx  1  0 f ( x) dx   0 f ( x) dx  0 . Como se prueban todos los axiomas, entonces S es espacio vectorial. 

PROBLEMAS 5.1.1 Demuéstrese que el conjunto compuesto solamente por el número 0 es un espacio vectorial, con las reglas habituales de la adición y la multiplicación de números. 5.1.2 Sea Pm el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales y de grado  m. Demuestre que Pm es un espacio vectorial, con la suma de polinomios y la multiplicación de un polinomio por un escalar usuales. 5.1.3 V consta de todas las funciones reales y continuas definidas en 0; 1 tales que f(1) =1, con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un escalar usuales. Muestre que V no es un espacio vectorial. 5.1.4 m consiste en todos los polinomios con coeficientes reales. Demuestre que m es un espacio vectorial, con la suma de polinomios y la multiplicación de un polinomio por un escalar usuales.

5.1.5 Sea n un entero positivo. Sea n el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales y de grado n, con la suma de polinomios y la multiplicación de un polinomio por un escalar usuales. Demuestre que n no es un espacio vectorial. ¿Qué condiciones de la definición fallan? 5.1.6 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes de funciones es un espacio vectorial: a.- Todos los polinomios a0 + a1x2 + … + akx2k que no contienen términos de grado impar. b.- Todas las funciones continuas en 0; 1 que tienen un cero en 1. c.- Todas las funciones definidas en 0; 1 cuyos límites existen cuando x  0+. d.- Todas las combinaciones lineales de Cosx, Cos2x, Cos3x, con dominio -  < x < + . JOE GARCIA ARCOS

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e.- El conjunto de los polinomios reales que tienen a  i como ceros. f.- El conjunto de los polinomios reales que son divisibles entre x2 + x + 1. g.- El conjunto de todas las funciones en 0; 10 que valen cero en 2; 3. h.- El conjunto de todas las funciones f en 0; 1 con derivada tercera en ese intervalo y tales que f ´´´- xf ´ + (Senx)f = 0. i.- El conjunto de todas las funciones que tienen derivada segunda en todos los valores reales y la propiedad de que f ´´(x) = 0. j.- El conjunto de todas las funciones racionales cuyo denominador es x2 + x + 1. k.- El conjunto de todos los polinomios tales que p(0) = p(1). l.- El conjunto de todas las funciones escalonadas en 0; 3. 5.1.7 V consiste en todos los (a, b), donde a y b son números reales. Definimos la suma en V por (a, b) + (c, d) = (2a + 2c, b + d) y definimos la multiplicación por un escalar por  ka kb  k ( a, b)   ,   2 2 ¿Es V un espacio vectorial con estas operaciones? 5.1.8 Determine cuáles de los sistemas son espacios vectoriales: a.- V es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) de números reales. La suma se define como (x, y) + (u, v) = (x + 3u, y – v), y la multiplicación escalar como (x, y) = (x, y). b.- El conjunto V del literal a). La suma definida como (x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), y la multiplicación escalar como (x, y) = (-x, y). c.- El conjunto V del literal a). La suma definida como (x, y) + (u, v) = (x – u, y – v), y la multiplicación escalar como (x, y) = (-x, -y). d.- El conjunto V del literal a). La suma definida como (x, y) + (u, v) = (u, v), y la multiplicación escalar como (x, y) = (x, y). 5.1.9 Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos constituye un espacio vectorial: a.- El conjunto de todos los vectores cuya segunda componente es cero; b.- El conjunto de todos los vectores de la forma (i + 2j – k), donde  es un escalar; c.- El conjunto de todos los vectores de la forma (i – k) + j, donde ,  son escalares; d.- El conjunto de todos los números reales; e.- Todas las funciones de la forma f(x) = Cosx + Senx, donde ,  son números, con la forma usual de adición y multiplicación por números;

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f.- El conjunto de todos los polinomios cuadráticos, lineales y constantes en x, con la adición y multiplicación usuales. 5.1.10 De los conjuntos de funciones que se dan a continuación, todas definidas en 0 < x < , cuáles constituyen una espacio vectorial?: a.- Todas las funciones cuyos límites existen cuando x  . b.- Todas las funciones cuyos límites existen cuando x  0+. c.- Todas las funciones con límite 0 cuando x  . d.- Todas las funciones con límite 0 cuando x  0+. e.- Todas las funciones con límite  cuando x  . f.- Todas las funciones con límite -  cuando x  0+. 5.1.11 Considérense sucesiones infinitas sn, tn, …, n = 1, 2, …, con la adición y la multiplicación definidas de la siguiente manera: sn + tn = sn + tn y csn = csn a.- Hágase ver que las sucesiones reales convergentes forman un espacio vectorial e interprétese ese espacio vectorial como espacio de funciones. b.- Verifíquese que el conjunto de todas las sucesiones complejas forma un espacio vectorial. ¿Se le puede interpretar como espacio vectorial de funciones? 5.1.12 V consiste en todas las funciones reales y continuas definidas en 0; 1 tales que f(1) = 0, con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un escalar usuales. Demuestre que V es un espacio vectorial. 5.1.13 En los conjuntos siguientes, investíguese si son espacios vectoriales: a.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que f ´(x) > 0 en 0; 1. b.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que se puede expresar f como g – h, donde g y h son monótonas y estrictamente crecientes. c.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que f ´´(x) = Senx. d.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que f ´´(x) + Senx f ´(x) = 0. e.- V es el conjunto de todas las matrices de 2 x 2 con componentes reales. La suma es la suma habitual de matrices y la multiplicación escalar está definida por  a b   a 0    .  c d   0 b  f.- El conjunto V del literal e). La suma definida por a b   e f  a b      c d g h c d y la multiplicación escalar es la habitual. g.- El conjunto V del literal e). La suma definida como JOE GARCIA ARCOS

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a b  e f   e f      c d  g h g h y la multiplicación escalar definida por a b  0 0    .  c d   0 d  h.- El conjunto V del literal e). La suma definida por b f  a b  e f   0     0   c d   g h  c  g y la multiplicación escalar por  a b   a b     .  c d   c d 

5.1.14 Determine si el conjunto dado, junto con las operaciones indicadas, es un espacio vectorial. En caso negativo, indique que axiomas no se cumplen: a.- El conjunto de todas las matrices singulares de n x n con las operaciones normales; b.- El conjunto de todas las matrices no singulares de n x n con las operaciones normales; c.- El conjunto de todas las matrices diagonales de n x n con las operaciones normales. 5.1.15 Determine si el conjunto dado, junto con las operaciones indicadas, es un espacio vectorial. En caso negativo, indique que axiomas no se cumplen: a.- Todas las funciones escalonadas definidas en [0; 1]; b.- Todas las funciones con período 2; c.- Todas las f integrable en [0; 1] con

5.1.19 Demuéstrese que con las reglas habituales de la adición y la multiplicación por escalares, los conjuntos siguientes de funciones son espacios vectoriales: a.- El conjunto de las funciones diferenciables en a; b. b.- El conjunto de todas las funciones con derivada segunda en 0; 1. c.- El conjunto de las funciones definidas en 0; 2 que tienen ceros en 0, 1 y 2. 5.1.20 Considérense todas las sucesiones infinitas con índices que empiezan desde 1. Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes constituye un espacio vectorial de funciones: a.- Todas las sucesiones infinitas. b.- Todas las sucesiones convergentes. c.- Todas las sucesiones con límite 0. d.- Todas las sucesiones que están acotadas superior e inferiormente. 5.1.21 Verifíquese que los conjuntos siguientes de funciones no son espacios vectoriales: a.- El conjunto de todas las funciones diferenciables en 0; 1 cuya derivada es 3x2. b.- El conjunto de todas las funciones diferenciables f en 0; 1 tales que f ´ = f – 1. c.- El conjunto de todas las funciones f en 0; 2 con la propiedad de que x  f ( x) en 0  x  2. d.- El conjunto de todas las funciones f en 0; 2 tales que f(1) = 1.

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0 f ( x)dx  0 ;

d.- Todos los polinomios de Taylor de grado  n para un n fijo (incluyendo el polinomio cero); e.- Todas las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden y´´ + P(x)y´ + Q(x)y = 0, siendo P y Q funciones dadas, continuas para todo x; f.- Todas las sucesiones reales acotadas; g.- Todas las sucesiones reales convergentes; h.- Todas las gentes; i.- Todas las series reales convergentes. 5.1.16 Demuestre que los números reales pueden considerarse como un espacio vectorial sobre los números racionales. 5.1.17 Demuestre que los números complejos se pueden considerar como un espacio vectorial sobre los números reales. 5.1.18 Sean V y W espacios vectoriales. Sea U el conjunto de todos los pares ordenados (v, w), donde v está en V y w está en W. Definamos por analogía con V2 la adición y la multiplicación por escalares en U. Verifíquense que el sistema que se obtiene es un espacio vectorial. Es habitual denotar a U con el símbolo V x W.

5.1.22 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes es espacio vectorial de funciones: a.- Todas las funciones f en 0; 1 con derivadas continuas de primero, segundo y tercer órdenes. b.- Todas las funciones f en 0; 1 con la propiedad de que f ´´ + f = 0. c.- Todas las funciones f en 0; 1 tales que f ´´ - 4f = 0. d.- El conjunto de todas las funciones continuas por tramos en 0; 3. e.- El conjunto de todas las funciones representables como suma de una serie convergente de potencias  an xn en (-1; 1). 5.1.23 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes de funciones no es un espacio vectorial: a.- Todas las funciones f definidas y no negativas: f(x)  0 para todo x, en un intervalo dado. b.- Todas las funciones definidas y no continuas en un intervalo dado. c.- Todas las funciones que son continuas en 0; 1 y cuyo valor en x = 1 es 1. d.- Todas las funciones definidas que tienen un número finito de ceros en 0; 1.

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5.2 SUBESPACIOS VECTORIALES En esta sección se estudiará con detalle los espacios vectoriales que estén contenidos en un espacio vectorial más grande. Se enunciarán y demostrarán sus propiedades. Con frecuencia, se tiene que un espacio vectorial está contenido en otro, y que la adición y la multiplicación por escalares del primer espacio vectorial se llevan a cabo de manera exactamente igual a la del segundo. Cuando esto es así, se dice que el primer espacio vectorial es subespacio del segundo. En términos generales, para demostrar que un conjunto U con la adición y la multiplicación escalar En términos generales, para demostrar que un forma un espacio vectorial es necesario verificar los 10 axiomas de espacio vectorial. Sin embargo, si U es parte de un conjunto más grande V del que se sabe es un espacio vectorial, entonces no es necesario verificar ciertos axiomas para U porque son heredados de V. DEFINICION 5.2.1 Un subconjunto U de un espacio vectorial V se denomina subespacio de V si U es un espacio vectorial bajo la adición y la multiplicación escalar definidas sobre V. Es importante tener en cuenta que para que un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V sea un subespacio, el subconjunto y las operaciones de suma de vectores y multiplicación por un escalar deben formar un sistema autocontenido. Es decir, cualquier suma o multiplicación por un escalar efectuada con vectores del subconjunto U siempre produce un vector que está en U. Si U es no vacío y cerrado bajo la suma y multiplicación por un escalar, con seguridad constituye un espacio vectorial por derecho propio. Por tanto, se ha llegado a un criterio eficiente para determinar si un subconjunto es un subespacio de un espacio vectorial. TEOREMA 5.2.1 Si U es un conjunto formado por uno o más vectores de un espacio vectorial V, entonces U es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las condiciones siguientes: 1.- Si u, v son elementos de U, entonces u + v está en U. 2.- Si a es cualquier número y u es un elemento de U, entonces au está en U. DEMOSTRACION Si U es un subespacio de V, entonces se cumplen todos los axiomas de espacio vectorial; en particular, se cumplen los axiomas 1 y 6. Pero éstas son precisamente las condiciones 1 y 2. Recíprocamente, supóngase que se cumplen las condiciones 1 y 2. Como estas condiciones son los axiomas 1 y 6 de espacio vectorial, basta demostrar que U satisface los ocho axiomas restantes. Los vectores de U cumplen automáticamente los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10, ya que estos axiomas se cumplen para todos los vectores en V. En consecuencia, para completar la demostración, basta verificar que los axiomas 4 y 5 se cumplen para vectores en U. Sea u cualquier vector de U. Por la condición 2, au está en U para cualquier escalar a. Haciendo a = 0, se concluye que 0u =  está en U, y haciendo a = -1 se concluye que (-1)u = -u está en U.  Se dice que un conjunto U formado por uno o más vectores de un espacio vectorial V es cerrado bajo la adición si se cumple la condición 1 del teorema anterior, y cerrado bajo la multiplicación escalar si se cumple la condición 2. Así, de esta manera se establece que U es un subespacio de V si y sólo si U es cerrado bajo la adición y cerrado bajo la multiplicación escalar.

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Si AX = B es un sistema de ecuaciones lineales, entonces todo vector que satisface esta ecuación se denomina vector solución del sistema. El teorema siguiente muestra que los vectores solución de un sistema lineal homogéneo forman un espacio vectorial, que se denomina espacio solución del sistema. TEOREMA 5.2.2 Si AX =  es un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas, entonces el conjunto de vectores solución es un subespacio de n. DEMOSTRACION Sea U el conjunto de vectores solución. En U existe por lo menos un vector, a saber, . Para probar que U es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, es necesario demostrar que si X y Y son vectores solución cualesquiera y a es cualquier escalar, entonces X + Y y aX también son vectores solución. Pero si X y Y son vectores solución, entonces AX =  y AY = . A partir de lo cual se deduce que A(X + Y) = AX + AY =  +  =  y A(aX) = aAX = a = . Lo cual demuestra que X + Y y aX son vectores solución.  Dado un espacio vectorial V, siempre se le puede considerar como subespacio se sí mismo. Por lo tanto, cada espacio vectorial V contiene siempre los subespacios {} y V; a estos subespacios se les llama, por lo común, subespacios impropios de V. Un subespacio de V distinto a uno de los subespacios impropios de V se le llama subespacio propio de V. Sea U un subespacio propio de 2. Entonces, U contiene un vector u distinto de cero, y U contiene también a todos los múltiplos escalares de u. Si U contuviera un vector v, que no fuera múltiplo escalar de u, entonces u, v serían linealmente independientes, y U habría de contener a todos los vectores en R2 de la forma u + v, donde ,  son escalares arbitrarios. Pero así se puede representar todo vector del plano y, en consecuencia, U coincidiría con 2. Por lo tanto, no existe el tal vector v, y U consta de los múltiplos escalares de u. Por consiguiente, cada subespacio propio U de 2 corresponde a una recta que pasa por el origen, en el plano. Sea U un subespacio propio de 3. Entonces, U contiene un vector distinto de cero, u = OQ y, en consecuencia, contiene a todos los múltiplos escalares u; es decir, a todos los vectores OP, con P en la recta L que pasa por O y por Q. Esto puede ser la totalidad de U. De no ser así, entonces U contiene un vector v = OR, donde R no está en L. En consecuencia, U también contiene a todos los vectores u = OP, de la forma OQ + OR. Puesto que  y  toman todos los valores reales, P varía en un plano  que pasa por O. Con esto, tal vez tengamos a todo U. De no ser así, entonces en U hay un vector w = OS, donde S no está en . En consecuencia, U contiene a todos los vectores u = OP de la forma OQ + OR + OS. Pero, como S no está en , los puntos P van por todo el espacio tridimensional, y U resulta ser la totalidad de 3. Pero, con esto, U ya no sería subespacio propio de R3. Por lo tanto, sólo hay dos clases de subespacios propios de 3: los que corresponden a rectas que pasan por O y los que corresponden a planos que pasan por O. También se ve claramente que toda recta que pase por O y todo plano que pasa por O corresponderán a subespacios propios U de 3. EJEMPLO 5.2.1 El conjunto  de funciones diferenciables f en [0; 1], con la propiedad de que f ´ = f, es subespacio vectorial. JOE GARCIA ARCOS

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SOLUCION Se ve claramente que  contiene a la función cero, de manera que es un conjunto no vacío de funciones en [0; 1]. Si f y g están en , entonces f + g y f son funciones diferenciables en [0; 1], y (f + g)´ = f ´ + g´ = f + g = (f + g), (f)´ = f ´ = (f) = (f). En consecuencia,  es cerrado bajo la adición y la multiplicación por escalares. Por lo tanto, es subespacio vectorial.  EJEMPLO 5.2.2 Demostrar que el conjunto S = A  M(n x n) / A = AT de las matrices simétricas, forman un subespacio vectorial del espacio de las matrices cuadradas de orden n. SOLUCION Sean A = AT, B = BT  S. Entonces para escalares cualesquiera  y  tenemos: (A + B)T = (A)T + (B)T = AT + BT = A + B  S. Si además   S, entonces: (A + B)T = ( + )T = T + T =  +  =   S. Luego (A + B)T  S, y por lo tanto S es un subespacio de M(n x n).  EJEMPLO 5.2.3 Sea el conjunto solución de un sistema no homogéneo AX = B, con las operaciones usuales de adición de matrices y multiplicación por escalares. Demostrar que este conjunto no es un subespacio vectorial. SOLUCION Supongamos que Y y Z son soluciones del sistema AX = B; es decir Y, Z  n. Entonces para escalares cualesquiera  y , tenemos: A(Y + Z) = A(Y) + A(Z) = (AY) + (AZ) = B + B = ( + )B  B Como (Y + Z) no es solución del sistema, entonces no es un subespacio vectorial de n.  EJEMPLO 5.2.4 Determine si los siguientes subconjuntos son subespacios de 3. En caso afirmativo, pruébelo, en caso contrario de una razón para la cual no sea un subespacio vectorial: a.- S = {(a, b, c) / a + b – 3 = 2c}; b.- S = {(a, b, c) / a + b = 4c}; c.- S = {(a, b, c) / a, b, c  0}; d.- S = {(a, b, c) / a2 + b2 + c2 = 1}. SOLUCION a.- Está claro que S es vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Además el vector más general de S es de la forma (-b + 2c + 3, b, c), donde b y c son números reales cualesquiera. Sean los vectores (-x + 2y + 3, x, y) y (-u + 2v + 3, u, v) de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: (-x + 2y + 3, x, y) + (-u + 2v + 3, u, v) = (-x – u + 2y + 2v + 6, x + u, y + v)  S, k(-x + 2y + 3, x, y) = (-kx + 2ky + 3k, kx, ky)  S. Lo que prueba que S no es un subespacio vectorial. b.- Está claro que S es no vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Además el vector más general de S es de la forma (-b + 4c, b, c), donde b y c son números reales cualesquiera. Sean los vectores (-x + 4y, x, y) y (-u + 4v, u, v) de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: (-x + 4y, x, y) + (-u + 4v, u, v) = (-x – u + 4y + 4v, x + u, y + v)  S, k(-x + 4y, x, y) = (-kx + 4ky, kx, ky)  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. c.- Está claro que S es no vacío cuando a = b = c = 0, puesto que el vector (0, 0, 0)  S, pero cuando a, b, c > 0, S es vacío puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Lo que prueba que S no es un subespacio vectorial. d.- Está claro que S es vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Lo que prueba que S no es un subespacio vectorial.  JOE GARCIA ARCOS

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EJEMPLO 5.2.5 Explique si cada uno de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial 3 son subespacios vectoriales de él: a.- S = {p(x) / a + b = 0; b.- S = {p(x) / a = b = c = d}; c.- S = {p(x) / a = b = c = 0}; d.- S = {p(x) / p(-1) = p(1) = 0}. SOLUCION a.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S. Como S  3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b, entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = bx3 + bx2 + cx + d, donde b, c y d son números reales cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = x3 + x2 + x +  y r(x) = mx3 + mx2 + nx + s de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: q(x) + r(x) = ( + m)x3 + ( + m)x2 + ( + n)x + ( + s)  S, kq(x) = k(x3 + x2 + x + ) = kx3 + kx2 + kx + k  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. b.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S. Como S  3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b = c = d, entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = dx3 + dx2 + dx + d, donde d es un número real cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = x3 + x2 + x +  y r(x) = x3 + x2 + x +  de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: q(x) + r(x) = ( + )x3 + ( + )x2 + ( + )x + ( + )  S, kq(x) = k(x3 + x2 + x + ) = kx3 + kx2 + kx + k  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. c.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S. Como S  3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b = c = 0, entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + d, donde d es un número real cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = 0x3 + 0x2 + 0x +  y r(x) = 0x3 + 0x2 + 0x +  de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: q(x) + r(x) = (0 + 0)x3 + (0 + 0)x2 + (0 + 0)x + ( + ) = 0x3 + 0x2 + 0x + ( + )  S, 3 kq(x) = k(0x + 0x2 + 0x + ) = 0x3 + 0x2 + 0x + k  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. d.- Como S  3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y p(-1) = - a + b - c + d = 0, p(1) = a + b + c + d = 0. Por lo tanto a  b  c  d  0  a  b  c  d  0 Resolviendo este sistema, obtenemos lo siguiente: 1 1 1 1 0   1 1 1 1 0   1 1 1 1 0   1 0 1 0 0        1 1 1 1 0   0 2 0 2 0   0 1 0 1 0   0 1 0 1 0  donde a = -c y b = -d. El nuevo conjunto S = {p(x) / a = -c y b = -d}. Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S. Además el polinomio más general de S es de la forma p(x) = - cx3 - dx2 + cx + d, donde c y d son números reales cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = - x3 - x2 + x +  y r(x) = - mx3 - nx2 + mx + n de S y sea k un número real cualquiera. Entonces: q(x) + r(x) = - ( + m)x3 – ( + n)x2 + ( + m)x + ( + n)  S, kq(x) = k(- x3 - x2 + x + ) = - kx3 - kx2 + kx + k  S. Lo que prueba que S es un subespacio vectorial.  EJEMPLO 5.2.6 Sea 1 el plano en el espacio 3 dado por la ecuación a + 2b + c = 6. ¿Cuál es la ecuación del plano 2 que pasa por el origen y es paralelo a 1? ¿Son 1 y 2 subespacios de 3? JOE GARCIA ARCOS

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SOLUCION Para que el plano 2 pase por el origen y sea paralelo al plano 1 es necesario y suficiente que los coeficientes del plano 2 sean iguales a los de 1 y el término independiente sea igual a cero; es decir 2 : a + 2b + c = 0. El plano 1 = {(a, b, c) / a + 2b + c = 6} no es un subespacio de 3 porque no contiene al elemento nulo (0, 0, 0)  1. Para 2 = {(a, b, c) / a + 2b + c = 0}, está claro que 2 es no vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  2. Además el vector más general de 2 es de la forma (-2b – c, b, c), donde b y c son números reales cualesquiera. Sean los vectores (-2x - y, x, y) y (-2u - v, u, v) de 2 y sea k un número real cualquiera. Entonces: (-2x - y, x, y) + (-2u - v, u, v) = (-2x – 2u – y – v, x + u, y + v)  S; k(-2x - y, x, y) = (-2kx - ky, kx, ky)  S. Lo que prueba que 2 es un subespacio vectorial. 

PROBLEMAS 5.2.1 Sea 5 el espacio vectorial y considere el conjunto U de todos los polinomios de la forma (x3 + x)p(x), donde p(x) está en 2. ¿U es un subespacio de 5? 5.2.2 Demuestre que los únicos subespacios de 2 son: 1. el propio 2; 2. el subespacio trivial que consiste únicamente del vector cero (0, 0); 3. cualquier conjunto de vectores (x, y) representados por flechas que están a lo largo de una recta que pase por el origen. Esto es, dada cualquier recta que pase por el origen, todos los vectores de 2 que puedan representarse como vectores a lo largo de esta recta constituyen un subespacio de 2. Además, cualquier subespacio distinto de 2 y del subespacio trivial consiste en vectores a lo largo de una recta que pasa por el origen. 5.2.3 Demuestre que los únicos subespacios de 3 son los siguientes: 1. el propio 3; 2. el subespacio trivial que consiste solamente del vector cero (0, 0, 0); 3. todos los vectores paralelos a una recta dada que pasa por el origen; 4. todos los vectores que están en un plano dado que pasa por el origen. 5.2.4 En cada uno de los subconjuntos siguientes de 4, determínese si el subconjunto es un subespacio: a.- W: todos los u = (a1, a2, a3, a4) tales que a1 = a2. b.- U: todos los u tales que a1 = a2 y a1 + a2 + a3 + a4 = 0. c.- J: todos los u tales que a1 es racional. d.- K: todos los u tales que a1 + a2 + a3 + a4  0. e.- L: todos los u tales que x1  x22 . f.- M: todos los u tales que, o bien a1 = a2, o bien a3 = a4.

g.- N: todos los u tales que a1  a2  a3  a4  0 . 5.2.5 Determine cuándo el conjunto S de vectores de n forman un subespacio de n: a.- S consta de todos los vectores de 5 de la forma (x, y, z, x, x); b.- S consta de todos los vectores de 4 de la forma (x, 2x, 3x, y); c.- S consta de todos los vectores de 6 de la forma (x, 0, 0, 1, 0, y); d.- S consta de todos los vectores de 3 de la forma (0, x, y); e.- S consta de todos los vectores de R4 de la forma (x, y, x + y, x - y); f.- S consta de todos los vectores de 7 con cero en la tercera y quinta componentes; g.- S consta de todos los vectores de 4 con la primera y segunda componentes iguales; h.- S consta de todos los vectores de 4 con la tercera componente igual a 2; i.- S consta de todos los vectores de 7 con la séptima componente igual a la suma de las primeras seis componentes; j.- S consta de todos los vectores de 8 con cero en la primera, segunda y cuarta componentes y la tercera componente igual a la sexta. 5.2.6 Sea U el espacio vectorial de todas las funciones reales f en -1; 1. Determínese si cada uno de los conjuntos siguientes es subespacio de U: a.- U: el conjunto de todas las f tales que f(0) = 0. b.- U: el conjunto de todas las f tales que f(x) = 0 en -1  x  ½. c.- U: el conjunto de todas las f tales que f es continua en x = ½. d.- U: el conjunto de todas las f tales que f(x) = f(-x) en -1  x  1. JOE GARCIA ARCOS

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e.- U: el conjunto de todas las f tales que f es monótona y estrictamente creciente en -1; 1. 5.2.7 Demuéstrese: si a1, …, ak son escalares, no todos 0, y si W es el conjunto de todos los (u1, …, uk) con la propiedad de que a1u1 + … + akuk = 0, entonces W es subespacio de k, y W es espacio no trivial si k  2.

5.2.8 Sean U y W subespacios de un espacio vectorial V. Hágase ver que, si U es subconjunto de W, entonces U es subespacio de V. 5.2.9 Sea W subespacio de V y sea U subespacio de W. Hágase ver que U es subespacio de V.

5.3 COMBINACIONES LINEALES Y SUBESPACIOS GENERADOS En esta sección estudiaremos un conjunto de vectores S que genera un espacio vectorial dado si todo vector en este espacio se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de S. En general, puede haber más de una forma de expresar un vector del espacio vectorial como una combinación lineal de vectores en un conjunto generador. Suponga que en el espacio vectorial V, definido sobre un cuerpo real o complejo, se ha elegido un número determinado de vectores arbitrarios u1, u2, ..., uk que no son necesariamente diferentes. Llamaremos a estos vectores sistema de vectores. DEFINICION 5.3.1 Un sistema de vectores se denominará subsistema del segundo sistema, si el primer sistema sólo contiene ciertos vectores del segundo y no contiene ningún otro vector. Sobre los vectores del sistema dado y los vectores obtenidos de los primeros se realizarán las operaciones de adición y multiplicación por escalares. Está claro que todo vector u de la forma u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk donde a1, a2, ..., ak son escalares, se obtiene de los vectores del sistema dado u1, u2, ..., uk con ayuda de las operaciones citadas. Más aún, cualquiera que sea el orden en que se realicen estas operaciones, obtendremos solamente los vectores del tipo antes mencionado. DEFINICION 5.3.2 Un vector u se denomina combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk si se puede expresar en la forma u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk donde a1, a2, ..., ak son escalares. Si k = 1, entonces la ecuación de la definición precedente se reduce a u = a1u1; es decir, u es una combinación lineal de un solo vector u1 si es un múltiplo escalar de u1. Respecto del vector u suele decirse que se expresa linealmente en términos de los vectores u1, u2, ..., uk. El segundo miembro de la expresión u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk se denomina combinación lineal de estos vectores y los números a1, a2, ..., ak son los coeficientes de la combinación lineal. EJEMPLO 5.3.1 Está dado el sistema de polinomios p(t) = 1 - t2, q(t) = 1 + t3, r(t) = t - t3, s(t) = 1 + t + t2 + t3. Hallar las combinaciones lineales de los polinomios de ese sistema: a.- 5p(t) + q(t) – 4r(t); b.- p(t) + 9q(t) – 4s(t). Discutir los resultados obtenidos. SOLUCION a.- Para la combinación lineal 5p(t) + q(t) - 4r(t), obtenemos 5(1 - t2) + (1 + t3) – 4(t - t3) = 6 – 4t – 5t2 + 5t3. b.- Para la combinación lineal p(t) + 9q(t) – 4s(t), obtenemos (1 - t2) + 9(1 + t3) – 4(1 + t + t2 + t3) = 6 – 4t - 5t2 + 5t3. Podemos observar que tanto 5p(t) + q(t) - 4r(t), como p(t) + 9q(t) – 4s(t) tienen la misma combinación lineal.  JOE GARCIA ARCOS

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EJEMPLO 5.3.2 a.- Verifíquese que el polinomio p(t) = t2 + 4t - 3 es una combinación lineal de los polinomios q(t) = t2 - 2t + 5, r(t) = 2t2 - 3t, s(t) = t + 3. b.- Verifique si el vector v = (2, -5, 3) se puede expresar como combinación lineal de los vectores v1 = (1, -3, 2), v2 = (2, -4, -1), v3 = (1, -5, 7). SOLUCION a.- Según la definición, debemos resolver p(t) = aq(t) + br(t) + cs(t). Es decir t2 + 4t – 3 = a(t2 - 2t + 5) + b(2t2 – 3t) + c(t + 3) Agrupando términos semejantes, obtenemos t2 + 4t – 3 = (a + 2b)t2 + (-2a - 3b + c)t + (5a + 3c) Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos  a  2b  1  a  3   2a  3b  c  4   b  2  5a  3c  3  c4   Por lo tanto p(t) = - 3q(t) + 2r(t) + 4s(t). b.- Según la definición, debemos resolver v = av1 + bv2 + cv3. Es decir (2, -5, 3) = a(1, -3, 2) + b(2, -4, -1) + c(1, -5, 7) Agrupando términos semejantes, obtenemos (2, -5, 3) = (a + 2b + c, -3a – 4b – 5c, 2a – b + 7c) Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos  a  2b  c  2  3a  4b  5c  5 .  2 a  b  7c  3  Este sistema tiene un número indeterminado de soluciones. Por lo tanto el vector v no se puede expresar como combinación lineal de los vectores v1, v2, v3.  EJEMPLO 5.3.3  3 1 Verifique si la matriz A    se puede expresar como combinación lineal de  1 1 1 1  0 0  0 2 0 1 las matrices B   , C , D , E . 1 0 1 1 0  1       1 0 SOLUCION Según la definición, debemos resolver A = aB + bC + cD + dE. Es decir  3 1 1 1   0 0   0 2  0 1    a   b   c d   1 1 1 0   1 1   0 1 1 0 Agrupando términos semejantes, obtenemos a a  2c  d   3 1     1  1 a  b  d bc     Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos a3   a3  a  2c  d  1 b   2      a  b  d  1   c  1  b  c  1  d  0

Por lo tanto A = 3B - 2C – D.  EJEMPLO 5.3.4 Compruebe que el vector p(t) = t2 + 3t – 2 se puede expresar como combinación lineal de los vectores q(t) = 3t2 + t - 4, r(t) = 2t – 5, s(t) = 2t2 – 2t + 3.

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SOLUCION Según la definición, debemos resolver p(t) = aq(t) + br(t) + cs(t). Es decir t2 + 3t – 2 = a(3t2 + t - 4) + b(2t – 5) + c(2t2 – 2t + 3) Agrupando términos semejantes, obtenemos t2 + 3t – 2 = (3a + 2c)t2 + (a + 2b – 2c)t + (- 4a - 5b + 3c) Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos  3a  2c  1  a  13 / 3 13 20     b  20 / 3  p(t )  q(t )  r (t )  6s(t ) .   a  2b  2c  3 3 3 4a  5b  3c  2  c  6   % COMPRUEBA SI UN VECTOR ES COMBINACION LINEAL DE UN SISTEMA DE VECTORES S clc;clear; fprintf('\n COMBINACION LINEAL \n') fil=input('Ingrese el numero de vectores: '); col=input('Ingrese la dimension del vector: '); %Ingreso de elementos fprintf('\n Ingrese los vectores del sistema S\n') for f=1:fil fprintf('\n Ingrese el vector (%d)\n', f) for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',c,f) S(c,f)=input(' :'); end end fprintf('\n El SISTEMA DE VECTORES S ES:\n') S fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(c,1)=input(' :'); end fprintf('El VECTOR u es:\n') u end fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA ES:') R1= rref(S); R1 RangS=rank(S) fprintf('\n LA MATRIZ AUMENTADA ES: \n',c); A=[S,u]; A R2= rref(A); R2 RangA=rank(A) end if RangA==col-1 fprintf('El vector u si se expresa como combinacion lineal de S\n') else fprintf('El vector u no se puede expresar como combinacion lineal de S\n') end

DEFINICION 5.3.3 Si S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto de vectores en un espacio vectorial V, entonces el subespacio U de V que consta de todas las combinaciones lineales de los vectores en S se denomina espacio generado por v1, v2, ..., vk, y se dice que los vectores v1, v2, ..., vk generan a U. Para indicar que U es el espacio generado por los vectores del conjunto S. Fijemos el sistema de vectores u1, u2, ..., uk y dejemos que los coeficientes de las JOE GARCIA ARCOS

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combinaciones lineales tomen cualesquiera valores. En este caso quedará definido cierto conjunto de vectores de V. Este conjunto lleva el nombre de subespacio generado de los vectores u1, u2, ..., uk. El interés hacia los subespacios generados se debe a dos circunstancias. En primer lugar, si U es un subespacio de V que contiene a v1, v2, ..., vk, entonces U contiene a todas las combinaciones lineales de esos vectores; es decir, U contiene a Span{v1, v2, ..., vk}. Segundo, podemos decir que Span{v1, v2, ..., vk} es el menor de los subespacios de V que contienen a los vectores v1, v2, ..., vk. Si U es subespacio de V y si S es un subconjunto de V con la propiedad de que Span(S) = U, decimos que S genera a U. Subconjuntos diferentes pueden generar el mismo subespacio U. También podemos hablar del subespacio que genera un subconjunto infinito S de V. En ese caso, Span(S) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de todos los subconjuntos finitos de S. TEOREMA 5.3.1 Si v1, v2, ..., vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces: 1.- El conjunto U de las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk es subespacio de V; 2.- U es el menor subespacio de V que contiene a v1, v2, ..., vk, en el sentido de que cualquier otro subespacio que contenga a v1, v2, ..., vk debe contener a U. DEMOSTRACION 1.- Para demostrar que U es un subespacio de V, es necesario probar que es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. En U existe por lo menos un vector, a saber, , ya que  = 0v1 + 0v2 + ... + 0vk. Si u y v son vectores en U, entonces u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk y v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk donde a1, a2, ..., ak, b1, b2, ..., bk son escalares. Por consiguiente, u + v = (a1 + b1)v1 + (a2 + b2)v2 + ... + (ak + bk)vk y, para cualquier escalar a, au = (aa1)v1 + (aa2)v2 + ... + (aak)vk. Así, u + v y au son combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk, y, en consecuencia, están en U. Por tanto, U es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. 2.- Cada vector vi es una combinación lineal de v1, v2, ..., vk, ya que es posible escribir vi = 0v1 + 0v2 + ... + 0vk. Por consiguiente, en el subespacio U están todos y cada uno de los vectores v1, v2, ..., vk. Sea W cualquier otro subespacio que contiene a v1, v2, ..., vk. Como W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, debe contener todas las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk. Así, W contiene a cada vector de U.  Ahora surgen unas preguntas: ¿En qué condiciones los subespacios generados de dos sistemas diferentes de vectores consisten de los mismos vectores del espacio inicial? ¿Qué número mínimo de vectores define un mismo subespacio vectorial? ¿Será el espacio vectorial inicial un subespacio generado de algunos de sus vectores? Las respuestas a estas preguntas y otras las daremos más adelante. Con este fin emplearemos en gran escala la noción de combinación lineal y, en particular, la propiedad de su transitividad. A saber, si un cierto vector u es una combinación lineal de los vectores v1, v2, ..., vk, y cada uno de ellos, a su turno, es una combinación lineal de los vectores w1, w2, ..., wk, entonces el vector u también puede ser representado como combinación lineal de los vectores w1, w2, ..., wr. JOE GARCIA ARCOS

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DEFINICION 5.3.4 Dos sistemas de vectores S = {v1, v2, ..., vk} y S´ = {w1, w2, ..., wk} de un espacio vectorial V, se dicen equivalentes, cuando ambos engendran el mismo subespacio. Es evidente que, para el conjunto de los sistemas finitos de vectores de un espacio vectorial, la equivalencia recién definida es una relación de equivalencia. De aquí se desprende que si los subespacios generadores de dos sistemas de vectores coinciden, entonces los sistemas son equivalentes. Así pues, los conjuntos generadores no son únicos. TEOREMA 5.3.2 Si S = {v1, v2, ..., vk} y S´= {w1, w2, ..., wk} son dos conjuntos de vectores en un espacio vectorial V, entonces Span(S) = Span(S´) si y sólo si todo vector en S es una combinación lineal de los vectores en S´ y, recíprocamente, todo vector en S´ es una combinación lineal de los vectores en S. DEMOSTRACION Los sistemas S y S´ son equivalentes, es decir, si Span(S) = Span(S´), todo vector de uno de estos subespacios, y en particular los vectores que le engendran pertenecen al otro, es decir, depende linealmente de los vectores que engendran al otro. Recíprocamente, si todos los vectores del sistema S dependen linealmente de los del sistema S´, entonces, todo vector que depende linealmente de los vectores de S también depende linealmente de los de S´, es decir Span(S)  Span(S´), si además, también los vectores de S´ dependen linealmente de los de S, se verificará que Span(S´)  Span(S).  EJEMPLO 5.3.5 Determine en caso de existir el subespacio generado por el conjunto de vectores a.- S = {t2 + 3t – 1, 2t2 + 1, 3t2 + t – 1}; b.- S = {1- t2, t – t2, 2 – t – t2}. SOLUCION a.- Dado at2 + bt + c un elemento de 2, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir at2 + bt + c = (t2 + 3t – 1) + (2t2 + 1) + (3t2 + t – 1) Agrupando los términos comunes, obtenemos at2 + bt + c = ( +  + 3)t2 + (3 + )t + (-  +  - ) Establecemos el sistema de ecuaciones JOE GARCIA ARCOS

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     3  a   3    b        c  Resolvemos este sistema, utilizando el método de operaciones elementales  1 1 3 a 1 1 3 a  1 1 3 a          3 0 1 b 0 3 8 3 a  b 0 3 8 3 a  b        1 1 1 c   0 2 2 a  c   0 0 10 3a  2b  3c        Como el Rang(A) = 3, no existe subespacio generado por el conjunto S. b.- Dado at2 + bt + c un elemento de 2, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir at2 + bt + c = (1 - t2) + (t - t2) + (2 – t - t2). Formamos el determinante de la matriz de coeficientes: 1 0 1 0 1 1  0 . 2 1 1 Como este determinante es igual cero, entonces procedemos a encontrar el subespacio generado:  1 0 1 a   1 0 1 a   1 0 1 a          0 1  1 b 0 1  1 b 0 1  1 b      .  2 1 1 c   0 1 1 2a  c   0 0 0 2a  b  c        En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma: Span(S) = {(a, b, c)/ 2a - b – c = 0}. 

EJEMPLO 5.3.6 Hallar el menor subespacio de 3 en el que se encuentran los polinomios: q(t) = 2t3 + 2t2 - 2t, r(t) = t3 + 2t2 - t + 5, s(t) = t3 + 2t2 - 6t - 6. SOLUCION Como q(t) + r(t) + s(t) = p(t), entonces (2t3 + 2t2 - 2t) + (t3 + 2t2 - t + 5) + (t3 + 2t2 - 6t - 6) = at3 + bt2 + ct + d  2 1 1 a 2 1 1  a  2 1 1 a       ab   2 2 2 b    0 1 1 a  b    0 1 1  2 1 6 c   0 0 5 a  c   0 0 5 ac         0 5 6 d   0 5 6 d   0 0 11 5a  5b  d  2 1 1  a   a b  0 1 1   0 0 5  ac    0 0 0 14a  25b  11c  5d  Por lo tanto, el subespacio mínimo es Span{q(t), r(t), s(t) = Span{(a, b, c, d) / 14a - 25b – 11c + 5d = 0}.  EJEMPLO 5.3.7 Demuestre que el menor subespacio de 3 en el que se encuentran los vectores v1 = (1, 0, -1), v2 = (0, 2, -2), v3 = (0, -2, 2) es el plano a + b + c = 0. SOLUCION El menor subespacio de 3 que contiene a v1, v2 y v3 es Span(S), donde: Span(S) = Span{(a, b, c) = (1, 0, -1) + (0, 2, -2) + (0, -2, 2) / , ,   } = Span{(a, b, c) = (, 2 - 2, - - 2 + 2) / , ,   } Se desea describir este subespacio de 3 en otros términos. Obsérvese que de la JOE GARCIA ARCOS

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última expresión para Span(S) se obtiene a   2  2  b   2  2  c  que puede interpretarse como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas , , , el cual se sabe que tiene solución. Al aplicar el método de eliminación Gaussiana a este sistema se obtiene  1 0 0 a 1 0 0 a  1 0 0 a        b    0 2 2 b  0 2 2 b    0 2 2   1 2 2 c   0 2 2 a  c   0 0 0 a  b  c   Entonces, el hecho de la existencia de soluciones del sistema es equivalente a que a + b + c = 0. Es decir, el vector v es una combinación lineal de v1, v2 y v3 si, y sólo si a + b + c = 0. Por lo tanto, el subespacio Span{v1, v2, v3} puede ser escrito como: Span{v1, v2, v3} = Span{(a, b, c) / a + b + c = 0}, lo cual es subespacio vectorial de 3 que representa geométricamente un plano que pasa por el origen.  EJEMPLO 5.3.8 Demuestre que no existe subespacio propio de 3 en el que se encuentren los vectores (1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0). SOLUCION Span(S) = Span{(a, b, c) = (1, 1, 1) + (1, 1, 0) + (1, 0, 0) / , ,   } = {( +  + ,  + , ) / , ,   } Se desea describir este subespacio de 3 en otros términos. Obsérvese que de la última expresión para Span{v1, v2, v3} se obtiene       a     b  c  que puede interpretarse como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas , , . Al aplicar el método de eliminación Gaussiana a este sistema se obtiene 1 1 1 a   1 1 1 a   1 1 0 a  b        1 1 0 b    0 0 1 b  a    0 0 1 b  a  1 0 0 c   0 1 1 c  a   0 1 0 c  b        Podemos ver que no existe condición restrictiva para que el vector v sea combinación lineal de los vectores v1, v2, v3. Por lo tanto no existe subespacio propio de 3.  EJEMPLO 5.3.9 Hallar el menor subespacio del subespacio solución S del sistema homogéneo: a  2b  2c  2d  e  0   a  2b  c  3d  2e  0 . 2a  4b  7c  d  e  0  SOLUCION Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneas:  1 2 2 2 1 0   1 2 2 2 1 0   1 2 2       1 2 1 3 2 0    0 0 1 1 1 0    0 0 1  2 4 7 1 1 0   0 0 3 3 1 0   0 0 0     

de ecuaciones

2 1 0   1 1 0  0 2 0 

Por lo tanto, el subespacio mínimo de S es Span(S) = Span{(a, b, c, d, e) / a = - 2b – 4d, c = - d, e = 0}.  JOE GARCIA ARCOS

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EJEMPLO 5.3.10 a.- Demuéstrese que si U es un subconjunto de V, entonces Span(U) es un subespacio de V. b.- Demostrar que Span(U) es el menor subespacio que contiene a U, si W es un subespacio de V y si U  W, entonces Span(U)  W. SOLUCION a.- Sabemos por hipótesis que U  V y que U  Span(U). El Span(U) es el subespacio generado por todas las combinaciones lineales de U, si U es subconjunto de V, entonces sus elementos cumplen con los axiomas del espacio vectorial V. Por lo tanto, el subespacio generado por U también cumple dichos axiomas, por lo cual el Span(U) es un subespacio de V. b.- Si U genera un subespacio, éste es el resultado de todas las combinaciones lineales posibles a partir de U, si no se tomaran todas las combinaciones lineales posibles para generar el Span(U), éste no heredaría los axiomas del espacio vectorial, y por tanto solamente sería un conjunto contenido en el espacio vectorial. En consecuencia, Span(U) es el menor subespacio de V que puede contener a U. Además, si el conjunto U está contenido en un subespacio W del espacio vectorial V, este subespacio W contiene al Span(U). En un caso muy particular, W puede ser igual al Span(U), debido a que el Span(U) es el menor subespacio que puede ser generado por el conjunto U en el espacio vectorial V.  EJEMPLO 5.3.11 Describir el subespacio generado por los sistemas de vectores siguientes: a.- S = {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)}; b.- S = {(1, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0)}; c.- S = {(1, 0, 0, 0, -1), (0, 1, 0, 0, -1), (0, 0, 1, 0, -1), (0, 0, 0, 1, -1)}. SOLUCION a.- Dado (a, b, c, d, e) un elemento de 5, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir (a, b, c, d, e) = (1, 0, 0, 0, 0) + (0, 0, 1, 0, 0) + (0, 0, 0, 0, 1). Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal: 1 0 0 a    0 0 0 b  0 1 0 c  .   0 0 0 d  0 0 1 e    En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma: Span(S) = {(a, b, c, d, e) / b = d = 0}. b.- Dado (a, b, c, d, e) un elemento de 5, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir (a, b, c, d, e) = (1, 0, 0, 0, 1) + (0, 1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1, 0, 0). Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal: 1 0 0 a  1 0 0 a  1 0 0 a        b  0 1 0 b  0 1 0 b  0 1 0 0 0 1 c   0 0 1 c   0 0 1 c .       d  0 0 0 b  d  0 1 0 d  0 1 0 1 0 0 e  0 0 0 a  e 0 0 0 a  e        En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma: Span(S) = {(a, b, c, d, e) / b - d = 0, a – e = 0}. c.- Dado (a, b, c, d, e) un elemento de 5, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir (a, b, c, d, e) = (1, 0, 0, 0, -1) + (0, 1, 0, 0, -1) + (0, 0, 1, 0, -1) + JOE GARCIA ARCOS

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+ (0, 0, 0, 1, -1) Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal:  1 0 0 0 a  1 0 0 0 a  1 0 0 0 a        b  0 1 0 0 b  0 1 0 0 b  0 1 0 0   0 0 1 0 c   0 0 1 0  c   0 0 1 0 c       d  0 0 0 1 d  0 0 0 1 d  0 0 0 1   1 1 1 1 e   0 1 1 1 a  e   0 0 1 1 a  b  e        1  0 0  0 0 

0 1 0 0 0

0 0 a  1   0 0 b  0   0 1 0 c   0 1 d  0 0 1 a  b  c  e   0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 a   0 b  . 0 c  1 d  0 a  b  c  d  e 

En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma: Span(S) = {(a, b, c, d, e) / a + b + c + d + e = 0}.  EJEMPLO 5.3.12 Demuéstrese que si V es el espacio de las funciones doblemente diferenciables definidas en a  t  b y S es el conjunto de funciones Sent, Cost}, entonces Span(S) es el espacio de las funciones que cumplen f ´´ = - f. SOLUCION Sabemos que S = {Sent, Cost}. Haciendo la combinación lineal obtenemos f(t) = aSent + bCost derivamos dos veces esta expresión f ´(t) = aCost – bSent f ´´(t) = - aSent – bCost = - (aSent + bCost) = - f(t) Por lo tanto concluimos que Span(S) = {f  C2[a; b] / f ´´(t) = - f(t)}. 

PROBLEMAS 5.3.1 Pruebe que S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} es una base, demostrando que Span(S) contiene a (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). ¿Por qué basta esto? 5.3.2 Los números reales forman un espacio vectorial sobre los racionales. Demuestre que {1, 2} y {1  2,1  2} generan al mismo subespacio.

5.3.3 Encontrar la ecuación del plano generado por los vectores u = (-1, 4, 5) y v = (6, -3, 2). 5.3.4 Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta generada por el vector u = (5, -1, 4).

5.3.5 Sean S = {(1, 0, -2), (0, 3, 6), (-4, -2, 3)} y u = (4, 1, -4) y sea W = Span(S): a.- ¿Está u en S? ¿Cuántos vectores hay en S?; b.- ¿Está u en W? ¿Cuántos vectores hay en W? c.- Demuestre que (1, 0, -2) está en W. 5.3.6 Determine el menor subespacio de las matrices de 3 x 3 que contenga todas las matrices simétricas y todas las matrices triangulares inferiores. ¿Cuál es el mayor subespacio contenido en ambos subespacios? 5.3.7 Demuestre que los sistemas de vectores S1 = {(1, 6, 4), (2, 4, -1), (-1, 2, 5)} y S2 = {(1, -2, -5), (0, 8, 9)} generan el mismo subespacio de 3.

5.4 INTERSECCION Y SUMA DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA En esta sección se estudiarán los subespacios intersección, suma y suma directa. Con el trabajo aquí realizado se comprenderá mejor la relación que hay entre las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales y las propiedades de su matriz de coeficientes. JOE GARCIA ARCOS

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Considere el espacio vectorial arbitrario V. Este espacio engendra el conjunto de todos los subespacios suyos, El cual se representa por S. En este conjunto S se pueden definir dos operaciones algebraicas que, a base de unos subespacios, permiten construir otros. DEFINICION 5.4.1 Se denomina intersección de los subespacios vectoriales U y W, al conjunto de todos los vectores pertenecientes simultáneamente tanto a U como a W. TEOREMA 5.4.1 Dados un subespacio vectorial S, sobre un cuerpo K, y dos subespacios suyos U y W, demuestre que el conjunto U  W es también un subespacio vectorial de S. DEMOSTRACION Si u  U y w  W, se debe verificar, por una parte, que u  U  W y w  U  W, y por otra parte, que u + w  U, u + w  W y u + w  U  W. De la misma manera, se llega a la conclusión u + w  U  W, para todo a  K, que demuestra como U  W es un subespacio vectorial de S.  Como el vector nulo de V pertenece a todos sus subespacios, no hay subespacio de intersección vacía. Cuando se diga que dos subespacios U y W son disjuntos, se debe entender que no tienen más elemento en común que el vector cero, es decir, se verifica que U  W = {}. Resulta evidente que el subespacio intersección de varios subespacios dados es el más amplio de todos los subespacios contenidos en todos ellos. EJEMPLO 5.4.1 Sean U = {(a, b, c, d) / b – 2c + d = 0} y W = {(a, b, c, d) / a = d, b = 2c} subespacios de 4. Hallar U  W. SOLUCION Tomando las condiciones de los conjuntos U y W, tenemos el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo:  0 1 2 1 0   0 1 2 1 0  b  2c  d  0        1 0 0 1 0    1 0 0 1 0  . ad 0  b  2c  0  0 1 2 0 0   0 0 0 1 0       Por lo tanto U  W = {(a, b, c, d) / a = d = 0, b = 2c}.  EJEMPLO 5.4.2 Sean U = {(1, -1, -1, 0, 0), (1, -2, -2, 0, -3), (1, -1, -2, -2, 1)} y W = {(1, -2, -3, 0, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)} subespacios de 5. Hallar U  W. SOLUCION Primera encontramos los subespacios generados Para U y W:  1 1 1 a  1 1 1 a a  1 1 1        ab  1 2 1 b   0 1 0 a  b   0 1 0   1 2 2 c    0 1 1 a  c    0 0 1  bc       d d   0 0 2  0 0 2 d   0 0 2    0 0 1 3a  3b  e   0 3 1 e   0 3 1 e      

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1 1   0 1 0 0  0 0 0 0 

1 a   0 ab  . 1 bc  0 2b  2c  d  0 3a  4b  c  e 

Por lo tanto Span(U) = {(a, b, c, d, e) / 3a + 4b – c – e = 0,  1 1 1 a  1 1 1 a  1       2 1 1 b   0 1 1 2a  b   0  3 3 2 c    0 0 1 3a  c    0      d  0  0 2 2 d  0 2 2  2 4 5 e   0 2 3 2a  e   0      1  0 0  0 0 

1 1 0 0 0

2b – 2c + d = 0}. 1 1 a   1 1 2a  b  0 1 3a  c   0 0 4a  2b  d  0 1 6a  2b  e 

1 a   1 2a  b   1 3a  c  0 4a  2b  d  0 9a  2b  c  e 

Por lo tanto Span(W) = {(a, b, c, d, e) / 4a + 2b – d = 0, 9a + 2b + c – e = 0}. Luego, para encontrar la intersección entre estos subespacios debemos resolver el sistema de ecuaciones homogéneas, que resulta de las condiciones restrictivas de cada uno de estos subespacios:  3 4 1 0 1 0   3 4 1 0 1 0   3a  4b  c  e  0      2b  2c  d  0 2 2 1 0 0    0 2 2 1 0 0    0    4 2 0 1 0 0   0 10 4 3 4 0  4a  2b  d  0      9a  2b  c  e  0  9 2 1 0 1 0   0 10 4 0 2 0   3 4 1 0 1 0   3 4 1 0 1 0       0 2 2 1 0 0    0 2 2 1 0 0   0 0 6 2 4 0   0 0 6 2 4 0       0 0 6 5 2 0   0 0 0 3 2 0  Por lo tanto Span(U  W) = {(a, b, c, d, e) / a = -d/2, b = 5d/6, c = 4d/3, e = 3d/2}.  EJEMPLO 5.4.3 El conjunto U de todas las ternas de 3 cuya primera coordenada es 0 es subespacio de 3, como también lo es el conjunto W de todas las ternas (a, b, c) en donde la primera componente es igual a la segunda componente. Demuestre que U  W es subespacio de 3. SOLUCION Por el ejemplo anterior, el conjunto U  W es subespacio de 3; U  W consta de todas las termas (0, 0, c) en las que c es arbitrario.  Sean U, W subconjuntos, no necesariamente subespacios, de un espacio vectorial V. Denotaremos por U + W el conjunto de todos los vectores v de V que se pueden expresar como suma de un vector de U y de un vector de W. Por lo tanto, v estará en U + W exactamente cuando existan un vector u de U y un vector w en W tales que v = u + w. El conjunto U + W se denomina suma de los conjuntos U y W.

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DEFINICION 5.4.2 Dados un subespacio vectorial S, sobre un cuerpo K, y dos subespacios suyos U y W, se denominan suma de dichos subespacios, y se representa por U + W, al conjunto de todos los vectores de S que pueden expresarse como suma de un vector de U y otro de W. Obsérvese que, tanto la intersección como la suma de subespacios siempre son conjuntos no vacíos, ya que les pertenece a ciencia cierta el vector nulo del espacio vectorial V. TEOREMA 5.4.2 Como U + W es subespacio de S, entonces el subespacio U + W contiene tanto a U como a W. Además, si S es también subespacio de V que contenga tanto a U como a W, entonces S también contiene a U + W. Por lo tanto, U + W es el menor de los subespacios de S que contienen tanto a U como a W; es decir, U + W = Span(U  W). Además si U y W son subespacios de S, entonces U + W es un subespacio de S. DEMOSTRACION Puesto que   U y   W, el elemento neutro pertenece a la suma, ya que  =  +   U + W. Por otra parte, si suponemos que u1 + w1  U + W y u2 + w2  U + W, debe verificarse que (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2)  U + W y a(u1 + w1) = au1 + aw1  U + W, cuyas dos condiciones justifican que U + W es un subespacio vectorial de V. Dado que   U, W  U + W. De igual modo, U  U + W. Ya que U + W es un subespacio que contiene a U  W, Span(U  W)  U + W. Para cualquier v  U + W, v se puede escribir en la forma v = u + w donde u  U y w  W. Entonces u  U  Span(U  W) y w  W  Span(U  W). Como Span(U  W) es un subespacio, v = u + w  Span(U + W). De donde U + W = Span(U + W).  En 2, supongamos que en U sólo está el vector u = OQ, y sea W el conjunto de todos los vectores OP desde el origen O hasta un punto P situado en el segmento de recta AB. Entonces, U + W consta de todos los vectores OR = OQ + OP, donde Q es fijo y P varía en el segmento AB. En consecuencia, U + W corresponde al segmento de recta CD que se obtiene de AB al trasladar cada punto en el vector u; en particular, AC = u, BD = u. En 3 sean u, v vectores no nulos, ninguno de ellos múltiplo escalar del otro. Supongamos que U es el conjunto de todos los múltiplos escalares de u y que W es el conjunto de todos los múltiplos escalares v. Entonces, U + W consta de todos los vectores au + bv. Aquí, U corresponde a la recta L1 que pasa por O, W a la recta L2 que pasa por O, y U + W a un plano  que también pasa por O y contiene a L1 y a L2. Indiquemos, finalmente, las propiedades siguientes de la suma de subespacios, que se desprenden directamente de la definición: 1.- U + W = W + U; 2.- U + (W + V) = (U + W) + V; 3.- Si U está contenido en un subespacio W, se tiene U + W = W. EJEMPLO 5.4.4 Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, se define U + W como el conjunto de vectores de V que pueden escribirse como suma de uno de U más otro JOE GARCIA ARCOS

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de W, es decir, U + W = {w  V / w = u + v con u  U y v  W}. Demostrar que U + W es el mínimo subespacio vectorial que contiene a U y a W. SOLUCION En efecto,   U + W, pues es  =  +  y   U y   W. Además, si w1 y w2 son de U + W, serán w1 = u1 + v1 y w2 = u2 + v2 donde u1, u2  U y v1, v2  W, y por tanto, será w1 + w2 = (u1 + u2) + (v1 + v2), lo que por ser u1 + u2  U y v1 + v2  W, indica que es w1 + w2  U + W. Por otro lado, si k es un escalar cualquiera y w  U + W, es w = u + v con u  U y v  W, de donde, kw = k(u + v) = ku + kv, y como ku  U y kv  W, es kw  U + W. Consecuentemente, U + W es un subespacio. Además, U + W contiene a U, pues si u  U, es u = u + , y   W; del mismo modo contiene a W, pues si v  W, es v =  + v, y   U. Y por fin, si un subespacio contiene a U y a W, entonces debe contener todas las sumas del tipo u + v donde u  U y v  W, y por tanto, debe contener a U + W, lo que prueba que U + W es el mínimo subespacio que contiene a U y a W.  EJEMPLO 5.4.5 Sean U = {(a, b, c, d) / b – 2c + d = 0} y W = {(a, b, c, d) / a = d, b = 2c} subespacios de 4. Hallar U + W. SOLUCION Los subespacios U y W generan las siguientes bases U = {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, -1, 0, 1)} y W = {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} construimos una matriz con los vectores de ambos subespacios, para poder determinar los elementos que contiene el subespacio U + W: 1 0 0 0 1 0 0 0     0 2 1 0 0 2 1 0  0 1 0 1    0 0 1 2      0 2 1 0 0 0 0 0  1 0 0 1   0 0 0 1      Por lo tanto Base(U + W) = {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 1, 2), (0, 0, 0, -1)}. Como Dim(U + W) = 4, entonces U + W = 4.  EJEMPLO 5.4.6 Sean U = {(1, -1, -1, 0, 0), (1, -2, -2, 0, -3), (1, -1, -2, -2, 1)} y W = {(1, -2, -3, 0, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)} subespacios de 5. Hallar U + W. SOLUCION Para encontrar el subespacio U + W, debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las filas no nulas formarán la base de U + W: 1 1 1 0 0   1 1 1 0 0   1 1 1 0 0        1 2 2 0 3   0 1 3 0 3   0 1 3 0 3  1 1 2 2 1   0 0 3 2 1   0 0 3 2 1        1 2 3 0 2   0 1 4 0 2   0 0 1 0 1  1 1 3 2 4   0 0 4 2 4   0 0 4 2 4        1 1 2 2 5   0 0 3 2 5   0 0 3 2 5 

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 1 1  0 1 0 0  0 0 0 0  0 0

1 3 3 0 0 0

0 0   1 1   0 3 0 1 2 1   0 0   1 1 0 0 7 8   0 0   2 3   0 0

1 3 3 0 0 0

0 0  0 3 2 1   1 1 0 1  0 0 

Por lo tanto: Base(U + W) = {(1, -1, 1, 0, 0), (0, 1, 3, 0, 3), (0, 0, 3, 2, -1), (0, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 0, 1)}. 5 Como Dim(U + W) = 5, entonces U + W =  .  EJEMPLO 5.4.7 Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma (r, 2r – t, r + t, t) de 4, donde r, t son arbitrarios. Sea U el conjunto de todos los vectores de la forma (2a + 2b, b, b, 3a + 2b), donde a, b son arbitrarios: a.- Compruebe que U + W es el conjunto de todos los vectores de la forma (u + 2w, 2u – v, u + v, v + 3w); b.- Compruebe que U, W y U + W son subespacios de 4; c.- Encuéntrese U  W. SOLUCION a.- Encontramos las bases de W y U respectivamente: (r, 2r – t, r + t, t) = r(1, 2, 1, 0) + t(0, -1, 1, 1) BaseW = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1)}, (2a + 2b, b, -b, 3a + 2b) = a(2, 0, 0, 3) + b(2, 1, -1, 2) BaseU = {(2, 0, 0, 3), (2, 1, -1, 2)}. A continuación encontramos una base para el subespacio U + W: 1 2 1 0 1 2 1 0  1 2 1 0 1 2 1 0          0 1 1 1    0 1 1 1    0 1 1 1    0 1 1 1  .  2 0 0 3   0 4 2 3   0 0 6 1   0 0 6 1           2 1 1 2   0 3 3 2   0 0 6 1   0 0 0 0  De esta manera podemos decir que la base de U + W es: Base(U + W) = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1), (2, 0, 0, 3)}. Esta base es exactamente la misma que genera el subespacio U + W dada: (u + 2w, 2u – v, u + v, v + 3w) = u(1, 2, 1, 0) + v(0, -1, 1, 1) + w(2, 0, 0, 3) Base(U + W) = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1), (2, 0, 0, 3)}. Con esto queda demostrado el inciso a). b.- Por el inciso a), U, W y U + W tienen estructura de subespacio vectorial de 4, por cuanto cada uno de ellos generan su propia base. c.- En el inciso a) nos podemos dar cuenta que en la matriz se anula una fila, por lo tanto la base del subespacio intersección U  W es: Base(U  W) = {(2, 1, -1, 2)}.  EJEMPLO 5.4.8 Hallar U + W y U  W dados los siguientes sistemas: a.- U = {(0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (-2, 0, 1, 1)} y W = {(-1, 3, 2, -1), (1, 1, 0, -1)}. b.- U = {(2, -5, 3, 4), (1, 2, 0, -7), (3, -6, 2, 5)} y W = {(2, 0, -4, 6), (1, 1, 1, 1), (3, 3, 1, 5)}. SOLUCION a.- Debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las filas no nulas formarán la base de U + W:

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 0 1 1 1  0 1 1 1  0 1 1 1  0 1 1 1           1 1 1 2   0 0 1 3   0 0 1 3   0 0 1 3   2 0 1 1    0 2 1 1    0 0 1 3    0 0 0 0           1 3 2 1  0 4 2 2   0 0 2 6   0 0 0 0   1 1 0 1  1 1 0 1   1 1 0 1   1 1 0 1          Por lo tanto: Base(U + W) = {(0, 1, 1, 1), (0, 0, -1, -3), (1, 1, 0, -1)}. Para encontrar el subespacio U + W, debemos hallar el subespacio generado con respecto a la base encontrada: 0 0 1 a  1 0 1 b  1 0 1 b        a  1 0 1 b   0 0 1 a   0 0 1  1 1 0 c   1 1 0 c   0 1 1 b  c         1 3 1 d   1 3 1 d   0 3 2 b  d  1  0 0  0

0 0 1 0

1 b  1 0   1 a   0 0 1 b  c  0 1   1 2b  3c  d   0 0

1 b   1 a .  1 bc  0 a  2b  3c  d 

Por lo tanto Span(U + W) = {(a, b, c, d) / a – 2b + 3c – d = 0}. Podemos observar que (-2, 0, 1, 1) y (-1, 3, 2, -1) son los vectores que se eliminaron al encontrar la base de U + W, entonces estos elementos forman la base de U  W. Para encontrar el subespacio U  W, debemos hallar el subespacio generado con respecto a la base encontrada:  2 1 a   2 1 a   2 1 a        0 3 b 0 3 b 0 3 b      .  1 2 c   0 3 a  2c   0 0 a  b  2c         1 1 d   0 3 a  2d   0 0 a  b  2d  Por lo tanto Span(U  W ) = {(a, b, c, d) / a – b + 2c = 0, a + b + 2d = 0}. b.- Debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las filas no nulas formarán la base de U + W:  2 5 3 4   2 5 3 4   2 5 3 4         1 2 0 7   0 3 1 6   0 3 1 6   3 6 2 5   0 3 5 2   0 0 1 1         2 0 4 6   0 5 7 2   0 0 4 9   1 1 1 1   0 7 1 2   0 0 1 9        5   0 21 7 2   0 0 0 1  3 3 1  2 5 3 4   2 5 3 4       0 3 1 6   0 3 1 6   0 0 1 1   0 0 1 1       0 0 0 1  0 0 0 1 0 0 0 1  0 0 0 0      0 0 0 1  0 0 0 0  Por lo tanto: Base(U + W) = {(2, -5, 3, 4), (0, -3, 1, 6), (0, 0, -1, 1), (0, 0, 0, 1)}. Como Dim(U + W) = 4, entonces el subespacio U + W = 4. Podemos observar que (1, 1, 1, 1) y (3, 3, 1, 5) son los vectores que se eliminaron al encontrar la base de JOE GARCIA ARCOS

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U + W, entonces estos elementos forman la base de U  W. Para encontrar el subespacio U  W, debemos hallar el subespacio generado con respecto a la base encontrada: 1 3 a   1 3 a  1 3 a        a b  1 3 b    0 0 a  b    0 0 . 1 1 c   0 2 a  c   0 2 ac        1 5 d   0 2 a  d   0 0 2a  c  d  Por lo tanto Span(U  W ) = {(a, b, c, d) / a – b = 0, 2a – c – d = 0}.  DEFINICION 5.4.3 Sean U y W subconjuntos del espacio vectorial V y sea S el conjunto compuesto por todos los vectores v de V que están en U, en W o en ambos. El conjunto S se llama unión de U y W. La unión la denotamos por , y ponemos S = U  W. Se puede deducir que U + W contiene a U  W, y que es el menor de los subespacios que contienen a U  W. En general, U + W es un conjunto mucho mayor que U  W. Esto sirve para observar que, en contraste con la intersección, la unión de dos subespacios no es necesariamente otro subespacio. Aquellos casos en los cuales U  W = {} merecen atención especial. Si U  W = {}, se dice que la suma U + W es directa: U + W es una suma directa de U y W. Dados un espacio vectorial V y los subespacios suyos, U y W se dice que su suma, U + W es suma directa, y se representa como U  W, si todo vector de dicha suma puede expresarse de manera única como suma de vectores de los espacios sumandos. Los subespacios U1, U2, ..., Un, del espacio vectorial V, son independientes si, y sólo si, la descomposición del vector cero en suma de vectores de dichos subespacios es única. Si en un espacio vectorial V, varios subespacios son independientes, entonces son disjuntos dos a dos. Es muy importante observar que la proposición recíproca, en general, no es cierta; es decir, el sólo hecho de ser unos subespacios disjuntos dos a dos no implica forzosamente que ellos sean independientes. Como consecuencia de esta afirmación, podemos establecer que dos subespacios U y W son independientes si, y sólo si, son disjuntos. TEOREMA 5.4.3 Demuestre que el espacio vectorial V es la suma directa de los subespacios U y W si y solamente si se verifica que V = U + W y U  W = {}. DEMOSTRACION Si se acepta que V = U  W, para todo v  V puede expresarse de una sola manera en la forma v = u + w, con u  U y w  W, en cuyo caso particular se verifica que V = U + W. Si suponemos que v  U  W, debe ocurrir que v = v + , en donde v  U y   W; v =  + v, en donde   U y v  W; pero al no ser posible nada más que de una sola forma la descomposición anterior, ha de verificarse que v =  y, por tanto, U  W = {}. Recíprocamente, vamos a probar que si se cumplen las condiciones del problema, se trata de una suma directa, lo que exige demostrar que la suma v = u + w es única. Si existe otra posible descomposición, tal como v = u1 + w1, con u1  U y w1  W, se tiene que u + w = u1 + w1, de donde, u – u1 = w1 - w; pero como u – u1  U y w1 - w  W y por hipótesis U  W = {}, debe ocurrir que u – u1 = w1 - w = , de donde u = u1 y w = w1.  JOE GARCIA ARCOS

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TEOREMA 5.4.4 Los subespacios U1, U2, ..., Un, del espacio vectorial V, son independientes si, y sólo si, la descomposición del vector cero en suma de vectores de dichos subespacios es única. DEMOSTRACION Para demostrar este teorema basta con cerciorarse de que los subespacios U1, U2, ..., Un, son independientes, pues con repetir la demostración un número finito de veces se prueban todos los casos que se pueden presentar. Supóngase que U1, U2, ..., Un, no fuesen independientes, es decir, que un cierto vector u de su suma admitiese dos descomposiciones distintas como suma de vectores de los subespacios sumandos u = u1 + u2 + ... + un y u = v1 + v2 + ... + vn, con ui, vi  Ui y siendo uj  vj para algunos índices j, entonces, tomando un vector cualquiera u  U1, el vector v = u1 + u pertenece a la suma U1 + U2 + ... + Un y sería expresable, como suma de vectores de U1, U2, ..., Un, de dos formas distintas, u = u1 + u2 + ... + un y u = v1 + v2 + ... + vn, lo cual no es posible, pues estos subespacios son independientes; esta imposibilidad obliga a rechazar el supuesto de ser U1 + U2 + ... + Un no independientes, es decir, la proposición es verdadera.  TEOREMA 5.4.5 Si en un espacio vectorial V, varios subespacios son independientes, entonces son disjuntos dos a dos. DEMOSTRACION Si dos de los subespacios, Ui y Uj, con i  j, no fuesen disjuntos, es decir, si existe v   que pertenece a ambos, todo vector u = u1 + u2 + ... + un de la suma podría expresarse también en la forma u = u1 + ... + (ui + v) + ... + (uj + v) + ... + un, como suma de vectores de los subespacios sumandos, distinta de la de partida, lo cual no es posible, ya que dichos subespacios son independientes.  Es muy importante observar que la proposición recíproca, en general, no es cierta; es decir, el sólo hecho de ser unos subespacios disjuntos dos a dos no implica forzosamente que ellos sean independientes. Como consecuencia de este teorema, podemos establecer que dos subespacios U y W son independientes si, y sólo si, son disjuntos. EJEMPLO 5.4.9 Si S1 genera a U y S2 genera a W, entonces S1  S2 genera a U + W. SOLUCION Dado que   U, W  U + W. De igual modo, U  U + W. Ya que U + W es un subespacio que contiene a U  W, Span(U  W)  U + W. Para cualquier u  U + W, u se puede escribir en la forma u = v + w donde v  U y w  W. Entonces v  U  Span(U  W) y w  W  Span(U  W). Como Span(U  W) es un subespacio, u = v + w  Span(U  W). De donde U + W = Span(U  W). La segunda parte de la demostración se deduce ahora directamente. U = Span(S1)  Span(S1  S2) y W = Span(S2)  Span(S1  S2), de manera que U  W  Span(S1  S2)  Span(U  W) y, por lo tanto, Span(U  W) = Span(S1  S2).  EJEMPLO 5.4.10 Sean U, W y S subespacios de un espacio vectorial V: a.- Pruébese que U + W = Span(U  W), es decir que U + W es el menor subespacio que contiene a U  W. b.- Pruébese que U  S, entonces S  (U + W) = U + (S  W). SOLUCION a.- Como U y W están ambos contenidos en U + W se tiene que U  W  U + W. Supongamos que U es un subespacio que contiene a U  W. Para todo elemento u de U + W existen v  U y w  W con u = v + w. El elemento u es una suma de JOE GARCIA ARCOS

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dos elementos de X y por lo tanto pertenece a X. Hemos visto así que U + W  X. Por tanto, todo subespacio X que contiene a U  W contiene a U + W y, en consecuencia, U + W es el menor subespacio que contiene a U  W. b.- Como W  U + W tenemos en cualquier caso que S  W  S  (U + W). Además U  S y U  U + W, de donde U  S  (U + W). Entonces, U  (S  W)  S  (U + W) y por a) U + (S  W)  S  (U + W). Para demostrar la extensión recíproca, consideramos un elemento u  S  (U + W). Entonces u  S y existen v  U y w  W con u = v + w. Como U  S, el elemento w = u – v  S y por tanto u = v + w, con v  U y w  S  W. Es decir u  U + (S  W).  EJEMPLO 5.4.11 La intersección de dos subespacios diferentes y propios de 2 será siempre el espacio nulo {}. SOLUCION Esto se ve con facilidad si se recuerda que los espacios propios de 2 correspondían a rectas que pasan por el origen, y que dos rectas diferentes entre sí y que pasan por el origen se interceptan necesariamente sólo en el origen. Por lo tanto, el espacio de la intersección consta solamente del vector cero; es decir la intersección es el espacio nulo {}. De forma general, cuando dos subespacios de un espacio vectorial V se interceptan en el espacio cero, decimos que se interceptan sólo trivialmente.  EJEMPLO 5.4.12 Demuestre que si dos subespacios, U y W de un espacio vectorial V tienen la misma dimensión finita y U  W, entonces U = W. SOLUCION Existe una base de U que se puede extender hacia una base de W. Pero como DimU = DimW, la base de W no puede tener más elementos que la base de U. Esto significa que una base de U es también una base de W; es decir, U = W.  EJEMPLO 5.4.13 La suma de los subespacios U y W se denomina suma directa y se nota U  W si sólo si todo vector de este subespacio se escribe como suma de uno de U y otro de W de manera única. Demuestre que la suma de los subespacios U y W es directa si y sólo si es U  W = {}. SOLUCION En efecto, supongamos que la suma de los subespacios U y W es directa y que existe un vector v   que pertenece a U y a W. Sería entonces  =  +  y  = v + (-v), y por tanto, el vector  se expresaría como suma de uno de U más otro de W cuando menos de dos maneras distintas, contradiciendo el hecho de ser la suma de U y W directa. Luego, el único vector que a la vez es de U y W es el vector . Recíprocamente, sea U  W = {}. Si fuese u1 + v1 = u2 + v2, donde u1 y u2 son de U y v1 y v2 son de W, sería el vector u1 + (-u2) de U igual al vector v2 + (-v1) de W, de donde, debe ser u1 = u2 y v1 = v2, lo que prueba que la suma de los subespacios U y W es directa.  EJEMPLO 5.4.14 Si V = U  W y S es un subespacio cualquiera de V tal que U  S, pruebe que S = (S  U)  (S  W). SOLUCION Ya que U  S, U + (S  W)  S. Todo u  S  (U + W) se puede escribir en la forma u = v + w donde v  U y w  W. Como U  S, v  S. Así, w  S y u  (S  U) + (S  W) = U + (S  W). De donde, S = S  (U + W) = U + (S  W). Finalmente, es fácil ver que esta última suma es directa. 

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PROBLEMAS 5.4.1 Suponga que U1, U2 y U3 son subespacios de V, entonces: a.- Demuéstrese que (U1  U3) + (U2  U3)  (U1 + U2)  U3; b.- Dé un ejemplo en 2, de tal forma que se cumpla el inciso anterior.

5.4.4 Sean U = Span{(1, 2, 3, 6), (4, -1, 3, 6), (5, 1, 6, 12)} y W = Span{(1, -1, 1, 1), (2, -1, 4, 5)} subespacios de 4. Encuentre bases para U  W y U + W. Extienda la base de U  W hacia una base de U, y extienda la base de U  W hacia una base de W. De estas bases, obtenga una base de U + W.

5.4.2 Demuéstrese con un ejemplo que si U, W, S son subconjuntos de un espacio vectorial V y si U está contenido en W, entonces U + S está contenido en W + S.

5.4.5 Demuestre con un ejemplo que si U1, U2, U3 son subespacios de V y U3  U1, U3  U2 entonces U3  U1  U2.

5.4.3 Descríbanse las intersecciones de los subconjuntos siguientes U, W de C(-; +) y determínese si la intersección es un subespacio: a.- U: todas las f tales que f(0) = 0; W: todas las f tales que f(1) = 0. b.- U: todos los polinomios; W: todas las funciones pares. c.- U: todos los polinomios; W: todas las funciones acotadas. d.- U: todas las f que tienen período 3; W: todas las f que tienen período 2. e.- U: todas las f con límite 0 cuando x  ; W: todas las f con límite 1 cuando x  .

5.4.6 Sea U el subespacio de 3 de todos los polinomios tales que p(0) = 0, y sea W el subespacio de todos los polinomios tales que p(1) = 0. Determine una base de U, una base de W y una base de su intersección U  W.

f.- U: todas las f tales que existe f tales que existe



0

f ( x) dx ; W: todas las

5.4.7 Examínese desde el punto de vista geométrico la clase posible de intersección de dos subespacios no triviales U, W de 3 en cada uno de los casos siguientes: a.- U y W corresponden a rectas que pasan por 0. b.- U corresponde a una recta que pasa por 0, W a un plano que pasa por 0. c.- U y W corresponden a planos que pasan por 0.

0

 f ( x) dx .

5.5 DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL En esta sección se estudiarán condiciones en las que cada vector en un espacio vectorial se puede expresar de manera única como una combinación lineal de los vectores generadores. Los conjuntos generadores con esta propiedad son fundamentales en el estudio de los espacios vectoriales. Considere los vectores arbitrarios u1, u2, ..., uk en un espacio vectorial V. Puede ocurrir que uno de ellos se expresa como combinación lineal de los demás. Sea, por ejemplo, el vector u1. Entonces, cada uno de los vectores u1, u2, ..., uk se expresa linealmente en términos de u2, ..., uk. Por esta razón cualquier combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk es también una combinación lineal de los vectores u2, ..., uk. Por consiguiente, los subespacios generados por los vectores u1, u2, ..., uk y u2, ..., uk coinciden. Suponga luego que entre los vectores u2, ..., uk hay un vector, por ejemplo, u2 que también se expresa linealmente en términos de los vectores restantes. Al repetir estos razonamientos, llegamos a la conclusión de que ahora cualquier combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk es también una combinación lineal de los vectores u3, ..., uk. Continuando este proceso, pasamos, del sistema u1, u2, ..., uk a un sistema de vectores del cual ya no podemos excluir ni uno de los vectores. El subespacio generado del nuevo sistema de vectores coincide con el subespacio generado de los vectores u1, u2, ..., uk. Además, podemos decir que si entre u1, u2, ..., uk hubo aunque un solo vector no nulo, el nuevo sistema de vectores o bien JOE GARCIA ARCOS

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consiste solamente en un vector no nulo o bien ninguno de sus vectores se expresa linealmente en términos de los vectores restantes. Tal sistema de vectores se denomina linealmente independiente. DEFINICION 5.5.1 Si S = {u1, u2, ..., uk} es un conjunto no vacío de vectores, entonces la ecuación vectorial a1u1 + a2u2 + ... + akuk =  tiene por lo menos una solución, a saber, a1 = a2 ... = ak = 0. Si esta es la única solución, entonces S se denomina conjunto linealmente independiente. Si existen otras soluciones, entonces S se denomina conjunto linealmente dependiente. Es evidente que la definición de independencia lineal de un conjunto no tendría sentido si un vector de un conjunto pudiera aparecer un número arbitrario de veces en una relación simple. Sin embargo, si se da un conjunto de vectores, particularizando los vectores de dicho conjunto, resulta inconveniente insistir en que todos los vectores enumerados sean distintos. La expresión linealmente dependiente sugiere que los vectores dependen entre sí de alguna manera. La dependencia y la independencia lineal constituyen las propiedades del sistema de vectores. TEOREMA 5.5.1 Un conjunto S con dos o más vectores es: 1.- Linealmente dependiente si y sólo si por lo menos uno de los vectores en S puede expresarse como combinación lineal de los demás vectores en S. 2.- Linealmente independiente si y sólo si ningún vector en S se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S. DEMOSTRACION 1.- Sea S = {v1, v2, ..., vk} un conjunto con dos o más vectores. Si se supone que S es linealmente dependiente, entonces existen escalares a1, a2, ..., ak, no todos iguales a cero, tales que a1v1 + a2v2 + ... + akvk = . Para ser más específicos, suponga que a1  0. Entonces la expresión anterior se puede volver a escribir como  a   a  v1    2  v2  ...    k  vk  a1   a1  que expresa a v1 como una combinación lineal de los demás vectores en S. De manera semejante, si ai  0 en la misma expresión para alguna j = 2, 3, ..., k, entonces vi se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S. Recíprocamente, se supone que por lo menos uno de los vectores en S se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores. En concreto, supóngase que v1 = c1v1 + c2v2 + ... + ckvk de modo que v1 – c2v2 – c3v3 - ... – ckvk = . Se concluye que S es linealmente dependiente, ya que la ecuación a1v1 + a2v2 + ... + akvk =  se satisface por a1 = 1, a2 = -c2, a3 = -c3, ..., ak = -ck que no todos son cero. La demostración para el caso en que algún vector diferente de v1 se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S es semejante. La segunda parte del teorema se demuestra de forma análoga.  Si entre los vectores u1, u2, ..., uk no todos son nulo en términos de los vectores citados nulos y si dicho sistema es linealmente dependiente, entonces en éste JOE GARCIA ARCOS

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puede existir un subsistema linealmente independiente de vectores, en cuyos términos es linealmente expresado cualquiera de los vectores u1, u2, ..., uk. Una circunstancia, inesperada a primera vista, determina si un sistema de vectores u1, u2, ..., uk es linealmente dependiente o linealmente independiente. Ya se observo que el vector nulo pertenece al subespacio generado y es representado por la combinación lineal u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk con valores nulos de los coeficientes. A pesar de esto, puede expresarse linealmente en términos de los vectores a1u1 + a2u2 + ... + akuk de otro forma. La independencia lineal de los vectores u1, u2, ..., uk está estrechamente vinculada con la unicidad de la representación del elemento nulo en términos de los vectores citados. El siguiente teorema establece un hecho sencillo sobre independencia lineal que es importante conocer. TEOREMA 5.5.2 Un conjunto finito de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente. DEMOSTRACION Para vectores cualesquiera v1, v2, ..., vk, el conjunto S = {v1, v2, ..., vk, } es linealmente dependiente, ya que la ecuación 0v1 + 0v2 + ... + 0vk + 1() =  expresa al vector  como una combinación lineal de los vectores en S con coeficientes no todos iguales a cero.  Este teorema es una conclusión del hecho de que dos vectores son linealmente independientes si y sólo si ninguno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Geométricamente, esto equivale a afirmar que los vectores no están en la misma recta cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen. TEOREMA 5.5.3 Cualquier parte de un sistema de vectores linealmente independientes {u1, u2, ..., un}  V es linealmente independiente. DEMOSTRACION Si {u1, u2, ..., uk, uk+1,..., un} es un conjunto linealmente independiente, mientras el subconjunto {u1, u2, ..., uk} (h < n) es linealmente dependiente, debe existir en a1u1 + ... + akuk existe al menos un ai diferente de cero, en contra de la hipótesis que exige el valor cero para todos los ai que figuran en la expresión a1u1 + ... + akuk + ak+1uk+1 + ... + anun = .  TEOREMA 5.5.4 Si algunos de los vectores del sistema {u1, u2, ..., un} son linealmente dependientes, todo el sistema {u1, u2, ..., un} será linealmente dependiente. DEMOSTRACION Sin restringir la generalidad podemos considerar que los primeros vectores del sistema {u1, u2, ..., uk} son linealmente dependientes. Por consiguiente, existen tales escalares a1, a2, ..., ak, entre los cuales hay distintos de cero, que a1u1 + a2u2 + ... + akuk = . De aquí fluye la legitimidad de la igualdad a1u1 + a2u2 + ... + akuk + 0uk+1 + ... + 0un = . Mas, esta igualdad significa dependencia lineal de los vectores del sistema {u1, u2, ..., un}, puesto que entre los escalares a1, a2, ..., ak, 0, ..., 0 hay algunos que no son nulos.  La independencia lineal de los vectores u1, u2, ..., uk está estrechamente vinculada con la unicidad de la representación del elemento. Con todo este análisis, podemos decir que un conjunto con exactamente dos vectores es linealmente independiente si y sólo si ninguno de los vectores es un múltiplo escalar del otro. Esta afirmación es una conclusión del hecho de que tres vectores son linealmente independientes si y sólo si ninguno de ellos es una comJOE GARCIA ARCOS

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binación lineal de los otros dos. Geométricamente, esto equivale a decir que ninguno de los vectores está en el mismo plano que los otros dos o, de otro modo, que los tres vectores no están en un plano común cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen. TEOREMA 5.5.5 Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V, y suponga que S contiene a dos o más elementos. Entonces, S es linealmente dependiente si, y sólo si, hay un subconjunto propio S´ de S con la propiedad de que Span(S) = Span(S´). DEMOSTRACION Suponga que existe ese subconjunto S´. Entonces, debe haber un vector u que está en S sin estar en S´. Ahora bien, u está en Span(S) y, como Span(S) = Span(S´), u también está en Span(S´). Por lo tanto, u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk, donde u1, u2, ..., uk están en S´. Por lo tanto, los ui están en S y son diferentes de u. Pero, entonces, a1u1 + a2u2 + ... + akuk + (-1)u =  y concluimos que S es linealmente dependiente. A continuación, sea S un conjunto linealmente dependiente. Entonces, existen vectores u1, u2, ..., uk en S tales que a1u1 + a2u2 + ... + akuk =  donde no todos los coeficientes son cero; supongamos que a1  0. Entonces, podemos expresar u1 como combinación lineal de u2, ..., uk. Por lo tanto, podemos expresar toda combinación lineal de elementos de S como una combinación lineal así, sin usar a u1. Por lo tanto, si tomamos a S´ como S sin el vector u1, entonces Span(S´) = Span(S), y S´ es subconjunto propio de S.  El siguiente teorema muestra que un conjunto linealmente independiente en n puede contener cuando mucho n vectores. TEOREMA 5.5.6 Sea S = {v1, v2, ..., vk} un conjunto de vectores en n. Si k > n, entonces S es linealmente dependiente. DEMOSTRACION Se supone que  v1  (a11 , a1 2 , ..., a1 n )  v2  (a21 , a2 2 , ..., a2 n )    v  (a , a , ..., a ) k1 k 2 kn  k Considérese la ecuación b1v1 + b2v2 + ... + bkvk = . Si reemplazamos los vectores anteriormente definidos en la ecuación, ambos miembros de esta se expresan en términos de las componentes b1(a11, ..., a1n) + b2(a21, ..., a2n) + ... + bk(ak1, ..., akn) = (0, 0, ..., 0) y después se igualan las componentes correspondientes, se obtiene el sistema a11b1  a21b2   ak1bk  0 a b  a b   a b  0  12 1 22 2 k2 k    a1n b1  a2 n b2   ak n bk  0  Este es un sistema homogéneo de n ecuaciones en k incógnitas b1, b2, ..., bk. Como k > n, se concluye que el sistema tiene soluciones no triviales. Por consiguiente, S es un conjunto linealmente dependiente.  Este teorema establece que un conjunto en 2 con más de dos vectores es linealmente dependiente, y que un conjunto 3 con más de tres vectores es linealmente dependiente. JOE GARCIA ARCOS

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EJEMPLO 5.5.1 Mostrar que cualesquiera que sean los vectores u, v, w y los números a, b, c el sistema de vectores {au - bv, cv - aw, bw - cu} es linealmente dependiente. SOLUCION Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:  = (au - bv) + (cv - aw) + (- cu + bw)  = (a - c)u + (- b + c)v + (- a + b)w Establecemos un sistema de ecuaciones homogéneas: a 0 c  a  c  0  0 0 b  c  0  b c  a  b  0 0 a b  Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es igual a cero, entonces éste tiene un número indeterminado de soluciones. Lo cual indica que el sistema dado es linealmente dependiente.  EJEMPLO 5.5.2 Sea u, v, w un sistema de vectores linealmente independiente. Serán linealmente independientes los sistemas de vectores siguientes: a.- {u, u + v, u + v + w}; b.- {u + v, v + w, w + u}; c.- {u – v, v – w, w – u}. SOLUCION a.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:  = u + (u + v) + (u + v + w)   = ( +  + )u + ( + )v + w como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces: 1 1 1       0   0  0 1 1  0  0 0 0 1  Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es diferente de cero, entonces éste tiene solución única y por lo tanto  =  =  = 0. Lo cual indica que el sistema dado es linealmente independiente. b.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:  = (u + v) + (v + w) + (u + w)   = ( + )u + ( + )v + ( + )w como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces: 1 0 1     0      0  1 1 0  0     0 0 1 1  Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es diferente de cero, entonces éste tiene solución única y por lo tanto  =  =  = 0. Lo cual indica que el sistema dado es linealmente independiente. c.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:  = (u - v) + (v - w) + (- u + w)   = ( - )u + (-  + )v + (-  + )w como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces: 1 0 1  0      0  1 1 0  0      0 0 1 1  Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es igual a cero, entonces éste tiene un número indeterminado de soluciones. Lo cual indica que el sistema dado es linealmente dependiente.  EJEMPLO 5.5.3 Establecer, si los siguientes sistemas de vectores de sus correspondientes espacios, son linealmente dependientes o no: a.- {(1, i, 2 – i, 3 + i), (1 – i, 1 + i, 1 – 3i, 4 – 2i)}; JOE GARCIA ARCOS

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b.- {(1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (1, -1, 1, -1), (1, 1, -1, -1)}. SOLUCION a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: i 2  i 3 i  1 i 2  i 3 i  1    . 0 0  1  i 1  i 1  3i 4  2i   0 0 Como el rango de la matriz es igual a 1, entonces el sistema es linealmente dependiente. b.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un determinante con sus elementos: 1 1 1 1 1 1 1 1 0. 1 1 1 1 1 1 1 1 Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente independiente.  EJEMPLO 5.5.4 Sean a, b, c distintos números reales. Será linealmente dependiente el siguiente sistema de polinomios {(x - a)(x - b), (x - a)(x - c), (x - b)(x - c)}? SOLUICION Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:  = (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) 0x2 + 0x + 0 = ( +  + )x2 + [-(a + b) - (a + c) - (b + c)]x + (ab + ac + bc). Establecemos un sistema de ecuaciones homogéneas:   0 1 1 1   (a  b)  (a  c)  (b  c)  0  a  b a  c b  c  (a  b)(a  c)(c  b) .  ab ac bc ab  ac  bc  0  Si (a – b)(a – c)(c – b) = 0, el sistema es linealmente dependiente. Si (a – b)(a – c)(c – b)  0, el sistema es linealmente independiente.  EJEMPLO 5.5.5 Verifíquese que los conjuntos siguientes son subconjuntos linealmente independientes del espacio vectorial  de todos los polinomios: a.- {1, t – 1, t2 – t, t3 – t2}; b.- {1, 1 + t, 1 + t + t2, 1 + t + t2 + t3}. SOLUCION a.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un determinante con sus elementos: 0 0 0 1 0 0 1 1 0. 0 1 1 0 1 1 0 0 Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente independiente. b.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un determinante con sus elementos: 1 0 0 0 1 1 0 0 0. 1 1 1 0 1 1 1 1 JOE GARCIA ARCOS

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Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente independiente.  Algunas veces la dependencia lineal de funciones se puede deducir a partir de identidades conocidas. Sin embargo, tales identidades se pueden aplicar sólo en situaciones especiales. Aunque no existe ningún método general para establecer independencia lineal o dependencia lineal de funciones en (-, ), a continuación desarrollaremos un teorema que algunas veces se puede aplicar para demostrar que un conjunto de funciones dado es linealmente independiente. DEFINICION 5.5.2 Las funciones f1, f2, ..., fn se dicen linealmente independientes en el intervalo [a; b] si existen constantes a1, a2, ..., an todas nulas, tales que a1f1 + a2f2 + … + anfn = . Caso contrario son linealmente dependientes. Es decir, las funciones f1, f2, ..., fn son linealmente independientes en [a; b] si la relación a1f1 + a2f2 + … + anfn =  para todo x, tal que a  x  b implica que a1 = a2 = ... = an = 0. En otras palabras, la única combinación lineal de f1, f2, ..., fn que es idénticamente nula en [a; b], es la combinación lineal trivial. Si un conjunto de funciones f1, f2, ..., fn es linealmente dependiente en un intervalo [a; b], se deduce inmediatamente que para cada x  [a; b], el correspondiente conjunto de n vectores constantes es linealmente dependiente. Sin embargo, una afirmación equivalente sobre la independencia lineal de n funciones no es válida, es decir, si el conjunto de funciones f1, f2, ..., fn es linealmente independiente en un intervalo [a; b] no se verifica que necesariamente los n vectores constantes sean linealmente independientes. TEOREMA 5.5.7 Si las funciones f1, f2, ..., fn admiten n - 1 derivadas continuas sobre el intervalo (-; ) y si el wronskiano de estas funciones no es idénticamente cero sobre este intervalo, entonces las funciones forman un conjunto linealmente independiente de vectores en (n-1)(-, ). DEMOSTRACION Si las funciones f1, f2, ..., fn son derivables n - 1 veces sobre el intervalo (-, ), entonces el determinante f1 f2 fn f ´1 f ´2 f ´n W f1( n 1)

f 2( n 1)

f n( n 1)

se llama wronskiano de f1, f2, ..., fn. Supóngase, por el momento, que f1, f2, ..., fn son vectores linealmente dependientes en (n-1)(-; ). Entonces existen escalares a1, a2, ..., an, no todos iguales a cero, tales que a1f1 + a2f2 + … + anfn =  para toda x en el intervalo (-, ). Al combinar esta ecuación con las ecuaciones obtenidas al derivar sucesivamente n - 1 veces, se obtiene  a1 f1  a2 f 2   an f n  0  a f ´ a f ´   a f ´  0 n n  1 1 2 2   a f ( n 1)  a f ( n 1)   a f ( n 1)  0 2 2 n n  1 1 Así, la dependencia lineal de f1, f2, ..., fn indica que el sistema lineal

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f2 f n   a1   0   f1   f ´2 f ´n   a2   0   f ´1          0  ( n 1)     f f 2( n 1) f n( n 1)   an   0   1 tiene una solución no trivial para toda x en el intervalo (-, ). Esto a su vez significa que para toda x en (-, ) la matriz de coeficientes es singular o, de manera equivalente, que su determinante es cero para toda x en (-, ). Por tanto, si el wronskiano no es idénticamente cero sobre (-, ), entonces las funciones f1, f2, ..., fn deben ser vectores linealmente independientes en (n-1)(-, ). 

El recíproco del teorema es falso. Si el wronskiano de f1, f2, ..., fn es idénticamente cero sobre (-, ), entonces no es posible llegar a ninguna conclusión respecto a la independencia lineal de {f1, f2, ..., fn}; este conjunto de vectores puede ser linealmente independiente o linealmente dependiente. EJEMPLO 5.5.6 Determínese si los subconjuntos siguientes de C(0; ) son linealmente independientes: a.- {Sen2t, Sent, t}; b.- {Sent, Sen2t, Sen3t}; c.- {Sent, Sen(t + 1), Cost}; d.- {et, tet, t2et}; e.- {Cost, Cos2t, Cos3t}. SOLUCION a.- Construimos el Wronskiano: Sen2 t Sent t 2 W{Sen t , Sent , t}  Sen2t Cost 1  2Sent  2tSen2t  2tCost  3Sen3t . 2Cos 2t  Sent 0 Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Sen2t, Sent, t} es linealmente dependiente. b.- Construimos el Wronskiano: Sent Sen2t Sen3t W{Sent , Sen2t , Sen3t}  Cost 2Cos 2t 3Cos3t  Sent 4Sen2t 9Sen3t  9SentSen2tCos3t  (5CostSen2t  16SentCos2t )Sen3t Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Sent, Sen2t, Sen3t} es linealmente dependiente. c.- Construimos el Wronskiano: Sent W{Sent , Sen(t  1), Cost}  Cost  Sent Como W = 0, entonces el conjunto {Sent, dependiente.

Sen(t  1) Cost Cos(t  1)  Sent  0 .  Sen(t  1) Cost Sen(t + 1), Cost} es linealmente

d.- Construimos el Wronskiano: et

tet

t 2 et

W{et , tet , t 2 et }  et

(t  1)et

(t 2  2t )et

et

(t  2)et

(t 2  4t  2)et

 2e3t .

Como W  0, entonces el conjunto {et, tet, t2et} es linealmente independiente.

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e.- Construimos el Wronskiano: Cost

Cos 2t

Cos3t

W{Cost , Cos 2t , Cos3t}   Sent

 Sen2t

3SentCos 2t

Cost 2Cos 2t (9Sen2 t  3)Cost

1   Sen3 2t . 4

Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Cost, Cos2t, Cos3t} es linealmente dependiente.  % COMPRUEBA LA DEPENDENCIA LINEAL DE UN SISTEMA DE VECTORES S clc;clear; fprintf('\n DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL \n') fil=input('Ingrese el numero de vectores: '); col=input('Ingrese la dimension del vector: '); %Ingreso de elementos fprintf('Ingrese los vectores del sistema S\n') for f=1:fil fprintf('\nIngrese la Ecuacion (%d)\n', f) for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',f) S(c,f)=input(' :'); end end fprintf('La matriz de vectores es:\n') S fprintf('La matriz reducida es:') R= rref(S); R RangS=rank(R) if (rank(S)==fil) fprintf('El sistema S es linealmente independiente :\n') else fprintf('El sistema S es linealmente dependiente :\n') end

PROBLEMAS 5.5.1 Demuestre que un subconjunto no vacío de un conjunto finito de vectores linealmente independientes es linealmente independiente. 5.5.2 Demuestre que si S1 es un subconjunto de S2 y S1 es linealmente dependiente, entonces también S2 es linealmente dependiente. 5.5.3 Demuestre que cualquier conjunto de vectores que contenga al vector cero es linealmente dependiente. 5.5.4 Demuestre que dos vectores son linealmente dependientes sí y sólo si están en una misma recta que pasa por el origen. Si u y v son linealmente independientes y si {u, v, w} es linealmente dependiente, entonces e está en Span{u, v}. 5.5.5 Dado que {u1, u2, ..., uk} es un conjunto de vectores linealmente independientes, pero el conjunto {u1, u2, ..., uk, u} es linealmente dependiente, demuestre que u es una combinación lineal de los ui.

5.5.6 Si u y v son linealmente independientes y w está en Span{u, v} entonces {u, v, w} es linealmente dependiente. 5.5.7 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en 4 y u3 = 2u1 + u2, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente dependiente. 5.5.8 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en 4 y u3 = , entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente dependiente. 5.5.9 Demuestre que si u1 y u2 están en 4 y u1 no es un múltiplo escalar de u2, entonces {u1, u2} es linealmente independiente. 5.5.10 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en 4 y u3 no es combinación lineal de u1, u2, u4, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente independiente. 5.5.11 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 son vectores linealmente independientes en 4, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente independiente. JOE GARCIA ARCOS

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5.5.12 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en 4 y {u1, u2, u3} es linealmente dependiente, entonces {u1, u2, u3, u4} también es linealmente dependiente. 5.5.13 ¿En qué condiciones un conjunto que consta de un solo vector es linealmente independiente? 5.5.14 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si U es subconjunto linealmente independiente de W, entonces U es subconjunto linealmente independiente de V. 5.5.15 Demuestre que si {u, v, w} es un conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V y x es cualquier vector en V, entonces {u, v, w, x} también es linealmente independiente. 5.5.16 Demuestre que dos vectores u y v son linealmente dependientes sí y sólo si uno es un múltiplo escalar del otro. 5.5.17 Sean A y B dos matrices de n x n con A y B no nulas. Demuestre que si A es simétrica y B es antisimétrica, entonces {A, B} es un conjunto linealmente independiente. 5.5.18 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si U es subconjunto de W que además es subconjunto linealmente independiente de V, entonces U es subconjunto linealmente independiente de W. 5.5.19 En cada caso, determínese un valor de k, de manera que el par dado de vectores sea linealmente dependiente: a.- {(k + 1)u + v, 4u + (k + 1)v}; b.- {u – 2v, 3u + kv}. 5.5.20 Demuestre que si {u, v, w} es un conjunto de vectores linealmente independiente, entonces también {u, v}, {u, w}, {v, w}, {u}, {v} y {w} son linealmente independientes. 5.5.21 Demuestre que todo conjunto con más de tres vectores de 2 es linealmente dependiente. 5.5.22 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si U es base de W, entonces U es subconjunto linealmente independiente de V.

5.5.23 Determínese si los subconjuntos siguientes de C(0; ) son linealmente independientes: a.- Senx, Cosx, 1; b.- lnx, lnx2, lnx3; c.- ex, lnx, x. 5.5.24 De los subconjuntos siguientes de 3, ¿cuáles son linealmente independientes? a.- (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1); b.- (1, 2, 3), (3, 4, 5), (5, 6, 7); c.- (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), (2, 3, 1); d.- (1, 2, 3), (3, 2, 1), (-7, -2, 1); e.- (1, 1, 2), (2, 3, -1), (-1, -6, 9). 5.5.25 Sean U, W subconjuntos de un espacio vectorial V. Demuéstrese que: a.- Si U es conjunto linealmente dependiente y si U está contenido en W, entonces W es conjunto linealmente dependiente. b.- Si W es conjunto linealmente independiente y si U está contenido en W, entonces U es conjunto linealmente independiente. 5.5.26 Suponga que A es una matriz de m x n con la propiedad de que para cada B de m la ecuación AX = B tiene a lo más una solución. Utilice la definición de independencia lineal para explicar por qué las columnas de A deben de ser linealmente independientes. 5.5.27 Verifíquese que los conjuntos siguientes son subconjuntos linealmente independientes del espacio vectorial  de todos los polinomios: a.- 1, x – 1, x2 – x, x3 – x2; b.- 1+ x, 1 + 2x, 1 + 3x; c.- x, x + x2, x + x2 + x3, x4; d.- x, x2 – x, x3 – x; e.- x3 - 1, 2x3 - 2, x4; f.- 1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3; g.- x2 - 1, 2x2 - 4, x2 + 1; h.- x4 – 2x2, x4 + 2x2, - x4 - 2x2; i.- x2 + 1, x2 - x, x2 - x. 5.5.28 Demuestre que si {u, v} es linealmente independiente y w no está en Span{u, v}, entonces {u, v, w} es linealmente independiente.

5.6 BASE Y DIMENSION En esta sección se estudiará la base y dimensión de un espacio vectorial, porque es común imaginar a una recta como unidimensional, a un plano como bidimensional y al espacio circundante como tridimensional. Se enunciarán y demostrarán las propiedades más importantes. Sea dado un espacio vectorial V arbitrario que se compone no sólo de un vector nulo. En tal espacio se tiene a ciencia cierta aunque un vector no nulo y, por lo JOE GARCIA ARCOS

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tanto, existe un sistema linealmente independiente, por lo menos, de un vector. Por consiguiente, son posibles dos casos: o bien existe un sistema linealmente independiente que contiene un número de vectores tan grande como se quiera o bien existe un sistema linealmente independiente que contiene el número máximo de vectores. En el primer caso el espacio vectorial se dice que es de dimensión infinita y en el segundo caso, de dimensión finita. Nuestra atención estará dirigida a lo largo de este trabajo exclusivamente a los espacios vectoriales de dimensión finita. En particular, un espacio vectorial de dimensión finita lo constituirá cualquier conjunto generador construido con un número finito de vectores de un espacio vectorial arbitrario. DEFINICION 5.6.1 Si V es cualquier espacio vectorial y S = {v1, v2, ..., vn} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las dos condiciones siguientes: 1.- S es linealmente independiente. 2.- S genera a V. Si S = {v1, v2, ..., vn} es una base de V, según la definición, un vector v de V se puede escribir en la forma v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. Lo interesante de una base, a diferencia de otros conjuntos generadores, es que los coeficientes están determinados en forma única por v. Porque, supóngase que también tenemos v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn. Restando, se obtiene la relación lineal (a1 – b1)v1 + (a2 – b2)v2 + ... + (an – bn)vn =  ya que S es un conjunto linealmente independiente, a1 – b1 = 0, a2 – b2 = 0, ..., an – bn = 0 y, por tanto, a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Como veremos, un hecho relacionado con esto es que una base es un conjunto generador particularmente eficiente. Una base es la generalización de espacio vectorial de un sistema de coordenadas en el espacio bidimensional y en el espacio tridimensional. El siguiente teorema ayudará a ver por qué es así. TEOREMA 5.6.1 Si S = {v1, v2, ..., vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces todo vector v en V se puede expresar en forma única como v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn. DEMOSTRACION Como S genera a V, por la definición de subespacio generado se concluye que todo vector v en V se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S. Para ver que sólo existe una manera de expresar un vector como una combinación lineal de los vectores en S, supóngase que algún vector v se puede escribir como v = a1v1 + a2v2 + ... + anvn y también como v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn. Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene  = (a1 – b1)v1 + (a2 – b2)v2 + ... + (an – bn)vn. Como el miembro derecho de esta ecuación es una combinación lineal de vectores en S, la independencia lineal de S indica que a1 – b1 = 0, a2 – b2 = 0, ..., an – bn = 0, es decir, a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Así, las dos expresiones para v son iguales.  Este teorema indica que dos combinaciones lineales de vectores de una base resultan en el mismo vector si, y sólo si, el coeficiente de cada vector de la base es el mismo en las dos expresiones; es decir, si {v1, v2, ..., vn} es base de V y si JOE GARCIA ARCOS

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a1v1 + a2v2 + ... + anvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Este es el método de comparación de coeficientes, que frecuentemente se usa. EJEMPLO 5.6.1 Todo conjunto linealmente independiente de tres vectores de 3 es base de 3. SOLUCION Si u = OP, v = OQ, w = OR son linealmente independientes, entonces O, P, Q, R no están en el mismo plano y, por consiguiente, cada vector x = OS se puede expresar como combinación lineal de u, v, w; esto se puede observar en la figura.  La noción de base está ligada con un sistema linealmente independiente que contiene el número máximo de vectores. No obstante, es evidente que todas las bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita representan sistemas equivalentes linealmente independientes. Estos hechos nos sirven para asignar un número, que se llama dimensión, a cada espacio vectorial. Dos combinaciones lineales de vectores de una base resultan en el mismo vector sí, y sólo si, el coeficiente de cada vector de la base es el mismo en las dos expresiones; es decir, si {v1, v2, ..., vn} es base de V y si a1v1 + a2v2 + ... + anvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Este es el método de comparación de coeficientes, que frecuentemente se usa. La noción de base está ligada con un sistema linealmente independiente que contiene el número máximo de vectores. No obstante, es evidente que todas las bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita representan sistemas equivalentes linealmente independientes. Estos hechos nos sirven para asignar un número, que se llama dimensión, a cada espacio vectorial. DEFINICION 5.6.2 La dimensión de un espacio vectorial V de dimensión finita, denotada por Dim(V), se define como el número de vectores que hay en una base de V. Además, por definición, el espacio vectorial cero es de dimensión cero. Obsérvese que el espacio cero, {}, no tiene base, pues {} sólo contiene al vector , por lo cual no contiene ningún subconjunto linealmente independiente. Se puede demostrar que todos los demás espacios vectoriales sí tienen bases, aunque a veces las bases son conjuntos infinitos. DEFINICION 5.6.3 Se dice que un espacio vectorial V diferente de cero es de dimensión finita si contiene un conjunto finito de vectores v1, v2, ..., vn que forma una base. Si no es así, se dice que V es de dimensión infinita. Además, se considera que el espacio vectorial cero es de dimensión finita. Indicaremos que la dimensión de un espacio vectorial depende del sistema numérico que se use para los escalares. La dimensión de C, el conjunto de los números complejos, como espacio vectorial complejo, es 1. Pero C también se puede considerar como espacio vectorial real, y, en este caso, su dimensión es 2. El siguiente teorema proporciona la clave del concepto de dimensión. TEOREMA 5.6.2 JOE GARCIA ARCOS

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Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y {v1, v2, ..., vn} es cualquier base, entonces: 1.- Todo conjunto con más de n elementos es linealmente dependiente. 2.- Ningún conjunto con menos de n vectores genera a V. DEMOSTRACION 1.- Sea S´ = {u1, u2, ..., um} cualquier conjunto de m vectores en V, donde m > n. Se quiere demostrar que S´ es linealmente dependiente. Como S = {v1, v2, ..., vn} es una base, todo ui se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S, por ejemplo  u1  a11v1  a21v2   an 1vn   u2  a1 2 v1  a2 2 v2   an 2 vn (1)   u  a v  a v   a v 1m 1 2m 2 nm n  m Para demostrar que S´ es linealmente dependiente, es necesario encontrar escalares b1, b2, ..., bm, no todos cero, tales que b1u1 + b2u2 + ... + bmum =  (2) Usando las ecuaciones anteriores en esta expresión, obtenemos b1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn) + b2(a12v1 + a22v2 + ... + an2v2) + ... + bm(a1mv1 + a2mv2 + ... + anmvn) = , de donde (b1a11 + b2a12 + ... + bma1m)v1 + (b1a21 + b2a22 + ... + bma2m)v2 + ... + (b1an1 + b2an2 + ... + bmanm)vn = . Así, a partir de la independencia lineal de S, el problema de demostrar que S´ es un conjunto linealmente dependiente se reduce a probar que existen escalares b1, b2, ..., bm, no todos cero, que satisfacen  a11b1  a12b2   a1m bm  0 a b  a b   a b  0  21 1 22 2 2m m (3)    an1b1  an 2 b2   anm bm  0 Pero este sistema contiene más incógnitas que ecuaciones, de modo que la demostración está completa, ya que de esta manera se garantiza la existencia de soluciones no triviales. 2.- Sea S´ = {u1, u2, ..., um} cualquier conjunto de m vectores en V, donde m < n. Se quiere demostrar que S´ no genera a V. La demostración será por contradicción: Se probará que suponiendo que S´ genera a V se llega a una contradicción de la independencia lineal de {v1, v2, ..., vn}. Si S´ genera a V, entonces todo vector en V es una combinación lineal de los vectores en S´. En particular, cada vector básico vi es una combinación lineal de los vectores en S´, por ejemplo,  v1  a11u1  a21u2   am 1um  v2  a1 2 u1  a2 2 u2   am 2 um (4)   v  a u  a u   a u 1n 1 2n 2 mn m  n Para obtener la contradicción, se demostrará que existen escalares b1, b2, ..., bm, no todos cero, tales que b1v1 + b2v2 + ... + bnvn =  (5) Pero obsérvese que (4) y (5) son de la misma forma que (1) y (2), excepto que se han intercambiado m y n, así como las u y las v. Por tanto, los cálculos con los que se llegó a (3) ahora producen

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 a11b1  a1 2 b2   a1 n bn  0  a21b1  a2 2 b2   a2 n bn  0   a b  a b   a b  0 mn n  m1 1 m 2 2

Este sistema lineal tiene más incógnitas que ecuaciones y por lo tanto posee soluciones no triviales.  De este teorema se deduce que si S = {v1, v2, ..., vn} es cualquier base para un espacio vectorial V, entonces todos los conjuntos en V que simultáneamente generan a V y son linealmente independientes deben tener precisamente n vectores. Así, todas las bases de V deben tener el mismo número de vectores que la base arbitraria S. Esto lleva al siguiente teorema, que es uno de los más importantes en álgebra lineal. TEOREMA 5.6.3 Todas las bases de un espacio vectorial de dimensión finita tienen el mismo número de vectores. DEMOSTRACION Supóngase que S es una base con un número finito n de elementos y S´ otra base cualquiera. Ya que S genera a V y S´ es linealmente independiente, el número m de elementos en S´ debe ser a lo más n. Esto prueba que S´ es finita y m  n. Pero entonces pueden intercambiarse los papeles de S y S´ para obtener la desigualdad en el otro sentido, así que m = n.  Este teorema afirma que, en un espacio vectorial V de dimensión finita, cualquier conjunto dado de vectores linealmente independientes de V forma parte de alguna base de V. En realidad, hay muchas bases así. Se dice que la base S = {v1, ..., vm, ..., vn} es la extensión a una base de V del conjunto linealmente independiente {v1, v2, ..., vm}. EJEMPLO 5.6.2 Hallar todas las bases de los sistemas de vectores siguientes: a.- {(4, -2, 12, 8), (-6, 12, 9, -3), (-10, 5, -30, -20), (-14, 28, 21, -7)}; b.- {(1, 2, 3, 0, -1), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 3, 4, 1, -1)}; c.- {(1 + i, 1 – i, 2 + 3i), (i, 1, 2), (1 – i, - 1 – i, 3 – 2i), (4, -4i, 10 + 2i)}. SOLUCION a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 8   2 1 6 4   2 1 6 4   2 1 6 4   4 2 12          6 12 9  3   2 4 3 1   0 1 3 1   0 1 3 1       10 5 30 20   2 1 6 4   0 0 0 0   0 0 0 0           14 28 21 7   2 4 3 1   0 1 3 1   0 0 0 0  Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tiene dos elementos: S1 = {(4, -2, 12, 8), (-6, 12, 9, -3)} y S2 = {(-10, 5, -30, -20), (-14, 28, 21, -7)}. b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:  1 2 3 0 1  1 2 3 0 1  1 2 3 0 1       0 1 1 1 0   0 1 1 1 0   0 1 1 1 0   1 3 4 1 1  0 1 1 1 0   0 0 0 0 0        Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tienen dos elementos: JOE GARCIA ARCOS

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S1 = {(1, 2, 3, 0, -1), (0, 1, 1, 1, 0)} y S2 = {(1, 2, 3, 0, -1), (1, 3, 4, 1, -1)}. c.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 2  3i  1  i 1  i 2  3i  1  i 1  i     i 1 2   0 0 1    1  i 1  i 3  2i   0 0 0      4i 10  2i   0 0 0   4 Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tienen dos elementos: S1 = {(1 + i, 1 – i, 2 + 3i), (i, 1, 2)}, S2 = {(i, 1, 2), (1 – i, - 1 – i, 3 – 2i)}, S3 = {(i, 1, 2), (4, -4i, 10 + 2i)}.  Cualquier vector distinto de cero v constituye un subconjunto linealmente independiente de V y, en consecuencia, el teorema afirma que cada vector v distinto de cero aparece en alguna base de V. Entre otras cosas, lo que nos enseña el teorema es que existen muchas bases diferentes de V y que tenemos algo de libertad en la elección de una base de V. TEOREMA 5.6.4 Un conjunto de n vectores en un espacio vectorial V es una base si, y sólo si es linealmente independiente. DEMOSTRACION Sea S = {v1, v2, ..., vn} un conjunto linealmente independiente y v un vector cualquiera en V. Ya que {v1, v2, ..., vn, v} contiene n + 1 elementos, debe ser linealmente dependiente. Cualquier relación no trivial que exista debe contener a v con un coeficiente diferente de cero, porque si ese coeficiente fuera cero, la relación equivaldría a una relación en S. Así pues, v depende de S. Por lo tanto, S genera a V y es una base.  EJEMPLO 5.6.3 Todo conjunto linealmente independiente de tres vectores de 3 es base de 3. SOLUCION Si u = OP, v = OQ, w = OR son linealmente independientes, entonces O, P, Q, R no están en el mismo plano y, por consiguiente, cada vector x = OS se puede expresar como combinación lineal de u, v, w.  EJEMPLO 5.6.4 Hallar una base cualquiera de cada uno de los siguientes sistemas de vectores: a.- {(0, 2, -1), (3, 7, 1), (2, 0, 3), (5, 1, 8)}; b.- {(-1, 4, -3, -2), (3, -7, 5, 3), (3, -2, 1, 0), (-4, 1, 0, 1)}; c.- {(14, -27, -49, 113), (43, -82, -145, 15), (-29, 55, 96, -17), (85, -163, -13, 77)}; d.- {(3 – i, 1 – 2i, - 7 + 5i, 4 + 3i), (1 + 3i, 1 + i, - 6 – 7i, 4i), (0, 1, 1, -3)}. SOLUCION a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:  0 2 1  0 2 1   0 2 1       1  3 7 1  3 7 1   3 7   2 0 3   0 2 1   0 0 0         5 1 8   0 32 19   0 0 3  Como el rango de la matriz es igual a 3, entonces la base buscada esta formada por: {(0, 2, -1), (3, 7, 1), (5, 1, 8)}. b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: JOE GARCIA ARCOS

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 1 4 3 2   1 4 3 2   1 4 3 2         3 7 5 3    0 5 4 3    0 5 4 3   3 2 1 0   0 5 4 3   0 0 0 0         4 1 0 1   0 5 4 3   0 0 0 0  Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces la base buscada esta formada por: {(-1, 4, -3, -2), (3, -7, 5, 3)}. c.- En este caso formamos un determinante, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular dicho determinante: 14 27 49 113 43 82 145 15 0 29 55 96 17 85 163 13 77

Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema dado es base. d.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:  3  i 1  2i 7  5i 4  3i   3  i 1  2i 7  5i 4  3i      4i    0 3i 3i 9  3i  1  3i 1  i 6  7i  0 1 1 3   0 1 1 3    3  i 1  2i 7  5i 4  3i    3i 3i 9  3i   0  0 0 0 0   Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces la base buscada esta formada por: {(3 – i, 1 – 2i, - 7 + 5i, 4 + 3i), (1 + 3i, 1 + i, - 6 – 7i, 4i)}. 

EJEMPLO 5.6.5 Determínese si el subconjunto S es linealmente independiente y, cuando sea posible, encuéntrese una base del espacio que contiene a S: a.- S = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)}  4; b.- S = {t + t3, t2 + t6, 1 – t – t3}  6. SOLUCION a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 1 1 1 1 1 1  0.    1 0, 1 2 1 2 3 4  Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces el sistema dado es linealmente independiente. Para extender hasta encontrar una base del espacio 4 que contenga a S, aumentamos a la matriz inicial una fila de variables: 1 1 1 1 1 1 1    1 2 3 4 1 2 3  a  2b  c .   a b c d  a b c   Para que el vector (a, b, c, d) forme parte de la base de 4, entonces debe satisfacer a – 2b + c  0, es decir un posible vector puede es, (1, 1, -1, 0). Para encontrar el último vector que formará parte de la base del espacio 4, a la última matriz le aumentamos una fila de variables: 1 1 1 1 1 1 1 1    1 2 3 4   1 2 3 4  3x  4 y  z  2u .  1 1 1 0  1 1 1 0   x y z u x y z u Para que el vector (x, y, z, u) forme parte de la base de 4, entonces debe satisfacer JOE GARCIA ARCOS

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3x – 4y – z + 2u  0, es decir un posible vector puede es, (1, 1, 1, 0). Por lo tanto la base de 4 buscada tiene la forma: Base 4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (1, 1, -1, 0), (1, 1, 1, 0)}. b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1    , ,  0  1  0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0.   1 0  1 1 0 1 0 0 0  1 1 0   Como el rango de la matriz es igual a 3, entonces el sistema dado es linealmente independiente. Para extender hasta encontrar una base del espacio 6 que contenga a S, aumentamos a la matriz inicial una fila de variables: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 1  0 0 1 0  d b .  1 1 0 1 0 0 0  1 1 0 1   a b c d a b c d e f g  2 3 4 Para que el polinomio a + bt + ct + dt + et + ft5 + gt6 forme parte de la base de 6, entonces debe satisfacer b - d  0, es decir un posible vector puede es, 1 + t + t2 - t3 + t4 + t5 + t6. Para encontrar el último vector que formará parte de la base del espacio 6, a la última matriz le aumentamos una fila de variables: 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1  1 1 0 1 0 0 0   1 1 0 1 0  b  d  2e .   1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1  a b c d e f g  a b c d e   Para que el vector a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5 + gt6 forme parte de la base de 6, entonces debe satisfacer b – d – 2e  0, es decir un posible vector puede es, t4. De esta forma seguimos encontrando los polinomios necesarios para formar la base del espacio 6: 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1    1 1 0 1 0 0 0  1 1 0 1 0 0 bd 2f    1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1 1  0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0   a b c d e f a b c d e f g  1 + t + t3 + t5; 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0   0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1  1 1 0 1 0 0 0  1 1 0 1 0 0 0    1 1 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 1 1  2c  2 g 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0   1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 a b c d e f g  a b c d e f g   2 1 + t + t + t3 + t4 + t5 - t6. Por lo tanto la base de 6 buscada tiene la forma: Base 6 = {t + t3, t2 + t6, 1 – t – t3, 1 + t + t2 - t3 + t4 + t5 + t6, t4, 1 + t + t3 + t5, 1 + t + t2 + t3 + t4 + t5 - t6}.  JOE GARCIA ARCOS

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TEOREMA 5.6.5 En un espacio vectorial de dimensión finita, todo conjunto generador contiene una base. DEMOSTRACION Sea S´ un conjunto que genera a V. Si V = {}, entonces   S´ es una base de {}. Si V  {}, entonces S´ debe contener al menos un vector v1, diferente de cero. Busquemos otro vector en S´ que no dependa de {v1}. Llamemos a este vector v2 y busquemos otro vector en S´ que no dependa del conjunto linealmente dependiente {v1}. Continuamos de la misma manera hasta donde podamos, pero el proceso debe terminar ya que no podemos encontrar más de n vectores linealmente independientes en S´. Supongamos que se ha hallado el conjunto S = {v1, v2, ..., vm} con la propiedad de que todo vector en S´ es linealmente dependiente de S. Entonces el conjunto S también debe generar a V y es una base.  TEOREMA 5.6.6 En un espacio vectorial de dimensión finita, cualquier conjunto linealmente independiente de vectores se puede extender hasta tener una base. DEMOSTRACION Sea S = {v1, v2, ..., vn} una base de V y S´ = {u1, u2, ..., um} un conjunto linealmente independiente m  n. El conjunto {u1, u2, ..., um, v1, v2, ..., vn} genera a V. Si este conjunto es linealmente dependiente, entonces algún elemento es una combinación lineal de los elementos precedentes. Este elemento no puede ser uno de los ui, porque entonces S´ sería linealmente dependiente. Pero entonces puede eliminarse este vi para obtener un conjunto menor que genera a V. Continuamos de esta manera, quitando elementos mientras se tenga un conjunto generador linealmente dependiente. En ningún paso se elimina a alguno de los ui. Ya que nuestro conjunto generador es finito, este proceso debe terminar con una base que contenga a S´ como subconjunto.  Como caso especial del teorema, podemos enunciar lo siguiente: si {v1, v2, ..., vm} es base de un subespacio S de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces existe una base de V que contiene a v1, v2, ..., vm. Por consiguiente, se puede extender cada base de un subespacio a una base de la totalidad del espacio vectorial. TEOREMA 5.6.7 Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial V. Si S es un conjunto linealmente independiente y v es un vector en V que no pertenece a Span(S), entonces el conjunto que se obtiene al incluir v en S aún es linealmente independiente. DEMOSTRACION Supóngase que S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto linealmente independiente de vectores en V y que v es un vector en V fuera de Span(S). Para probar que S´ = {v1, v2, ..., vk, v} es un conjunto linealmente independiente, es necesario demostrar que los únicos escalares que satisfacen a1v1 + a2v2 + ... + akvk + ak+1v =  son a1 = a2 = ... = ak = ak+1 = 0. Pero se debe tener que ak+1 = 0; en caso contrario, v se podría despejar en la ecuación como una combinación lineal de S, contradiciendo la hipótesis de que v es un vector que no pertenece a Span(S). Así, la ecuación se simplifica a a1v1 + a2v2 + ... + akvk =  lo cual, debido a la independencia lineal de S, significa que a1 = a2 = ... = ak = 0.  EJEMPLO 5.6.6 Sea Span(S) = {(a, b, c) / a – b + c = 0} y v = (1, -2, 1)  3. Demostrar que el JOE GARCIA ARCOS

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conjunto que se forma con la base de Span(S) y el vector v es linealmente independiente y, además es base de 3. SOLUCION Encontramos una base para el subespacio; Base Span(S) = {(1, 1, 0), (-1, 0, 1)}. Para verificar que los elementos de la base del subespacio y el vector v forman una base de 3, construimos una matriz con sus correspondientes elementos y calculamos su determinante 1 1 0 1 0 1  0 1 2 1 como el determinante de la matriz es diferente de cero, el rango es igual 3 y la dimensión del conjunto formado por estos elementos es linealmente independiente y tiene dimensión 3. Por lo tanto el conjunto S´ = {(1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, -2, 1)} es base de 3.  Un conjunto S de tres vectores linealmente independientes en 3 genera un plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera de este plano, entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es linealmente independiente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano que los otros dos. TEOREMA 5.6.8 Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial V. Si v es un vector en S que se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S, y si S - {v} denota el conjunto que se obtiene al quitar v de S, entonces S y S - {v} generan el mismo espacio; es decir, Span(S) = Span(S - {v}). DEMOSTRACION Supóngase que S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto de vectores en V y, para ser específicos, supóngase que vk es una combinación lineal de v1, v2, ..., vk-1, por ejemplo vk = a1v1 + a2v2 + ... + ak-1vk-1 (1) Se quiere demostrar que si vk se extrae de S, entonces el conjunto de vectores restantes {v1, v2, ..., vk-1} sigue generando a Span(S); es decir, se debe demostrar que todo vector u en Span(S) se puede expresar como una combinación lineal de {v1, v2, ..., vk-1}. Pero si u está en Span(S), entonces u se puede expresar en la forma u = b1v1 + b2v2 + ... + bk-1vk-1 + bkvk (2) o bien, sustituyendo en la ecuación (1) u = b1v1 + b2v2 + ... + bk-1vk-1 + bk(a1v1 + a2v2 + ... + ak-1vk-1) que expresa a u como una combinación lineal de v1, v2, ..., vk-1.  Si S es un conjunto de tres vectores no colineales en 3 que están en un plano común que pasa por el origen, entonces los tres vectores generan el plano. Sin embargo, si de S se extrae cualquier vector v que sea una combinación lineal de los otros dos, entonces el conjunto restante de dos vectores sigue generando el plano. En general, para probar que un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} es una base de un espacio vectorial V, se debe demostrar que los vectores son linealmente independientes y generan a V. Sin embargo, si se sabe que la dimensión de V es n, entonces basta verificar ya sea, la independencia lineal o la generación: la otra condición se cumple automáticamente. JOE GARCIA ARCOS

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TEOREMA 5.6.9 Si U es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces Dim(U)  Dim(V); además, si Dim(U) = Dim(V), entonces U = V. DEMOSTRACION Sea S = {u1, u2, ..., um} una base para U. S puede ser una base para V o no. Si es así, entonces Dim(U) = Dim(V) = m. Si no es así, entonces es posible agregar vectores al conjunto linealmente independiente S a fin de convertirlo en una base para V de modo que Dim(U) < Dim(V). Por tanto, Dim(U)  Dim(V) en todos los casos. Si Dim(U) = Dim(V), entonces S es un conjunto de m vectores linealmente independientes en el espacio vectorial V de dimensión m; por tanto, S es una base para V. Esto significa que U = V.  Considerando la suma de dos subespacios vectoriales arbitrarios U y W, podremos ver fácilmente que su dimensión depende no sólo de la dimensión de los subespacios U y W, sino también de cuán grande es la parte común de los mismos. El valor exacto de la dimensión de la suma se determina por el siguiente teorema. TEOREMA 5.6.10 Si U y W son subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio vectorial V, entonces Dim(U + W) + Dim(U  W) = Dim(U) + Dim(W). DEMOSTRACION Hemos de verificar que, si U y W son subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial V, entonces Dim(U + W) + Dim(U  W) = Dim(U) + Dim(W). Puesto que U  W es subespacio del espacio de dimensión finita U. Sabemos que U  W es de dimensión finita. Como U + W está generado por la unión de una base de U y una base de W, también es de dimensión finita. Sea {u1, u2, ..., uk} una base de U  W, existen vectores v1, v2, ..., vr en U tales que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr} es base de U. De la misma manera, hay vectores w1, w2, ..., wt en W tales que {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wt} es base de W. Vemos claramente que Span{u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr, w1, w2, ..., wt} = U + W. Si a1u1 + a2u2 + ... + akuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr + c1w1 + c2w2 + ... + ctwt = , entonces, v = a1u1 + a2u2 + ... + akuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr = - c1w1 - c2w2 - ... - ctwt está en U  W. Luego existen escalares d1, d2, ..., dk con la propiedad de que v = d1u1 + d2u2 + ... + dkuk, de donde tenemos que d1u1 + d2u2 + ... + dkuk + c1w1 + c2w2 + ... + ctwt = . Pero {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wt} es un conjunto linealmente independiente de V y, en consecuencia, c1 = c2 = ... = ct = 0. Pero, entonces vemos que a1u1 + a2u2 + ... + akuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr =  y, como {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr} es base de U y, por tanto, conjunto linealmente independiente, tenemos que a1 = a2 = ... = ak = b1 = b2 = ... = br = 0. Por lo tanto, hemos hecho ver que {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr, w1, w2, ..., wt} es linealmente independiente y genera a U + W. Por consiguiente, Dim(U + W) = t + k + r = (t + k) + (r + k) – k = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U  W).  De este teorema se puede deducir una desigualdad que ofrece el valor mínimo de la dimensión de la intersección de unos subespacios. Consideremos los subespacios vectoriales U y W de V y sean r y s las dimensiones de estos JOE GARCIA ARCOS

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subespacios, n la dimensión de V y m la dimensión de la intersección U  W. En virtud del teorema, la dimensión de la suma U + W es igual a r + s – m. Pero la dimensión de la suma U + W es no mayor que la dimensión del espacio V. Por consiguiente, r + s – m  n, de donde se tiene m  r + s – n. Es decir, la dimensión de la intersección de dos subespacios vectoriales del espacio V no puede ser menor que el exceso de la suma de las dimensiones de estos subespacios respecto a la dimensión del espacio vectorial V. Por ejemplo, la intersección de dos planos del espacio de tres dimensiones contiene siempre una recta, la intersección de un subespacio de dos dimensiones con un subespacio de tres dimensiones en un espacio de cuatro dimensiones contiene una recta, la intersección de dos subespacios de tres dimensiones de un espacio de cuatro dimensiones contiene un plano, etc. EJEMPLO 5.6.7 Suponga que V es de dimensión n y que cada uno de los conjuntos U y W es subespacio de V de dimensión n - 1. Suponga además, que U  W. Entonces, Dim(U  W) = n - 2. SOLUCION Puesto que U  W, uno de los espacios contiene un vector que no está en el otro. En consecuencia, U + W contiene a uno de U, W o tal vez a ambos, como subespacio propio. De acuerdo con eso n  Dim(U + W) > n - 1 = Dim(U) = Dim(W); de donde se desprende que Dim(U + W) = n. Entonces se deduce que Dim(U  W) = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W) = (n - 1) + (n - 1) – n = n - 2.  EJEMPLO 5.6.8 Sea U el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que a – b + c = 0. Sea W el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que b + c + d = 0. Entonces, U  W = S será el conjunto de elementos (a, b, c, d) que cumplan tanto con la condición a – b + c = 0 como con la condición b + c + d = 0, y DimS = 2. SOLUCION Como podemos apreciar, U, W son subespacios de 4, y DimU = DimW = 3. Se ve claramente que (1, 1, 0, 0) está en U y no está en W, de manera que U  W. Por lo tanto DimS = 2.  Cuando se definen propiedades y se demuestran teoremas acerca de espacios vectoriales, suele ser aconsejable, y, habitualmente, más fácil, trabajar sin tomar una base particular. Cuando se define una propiedad por medio de una base, es necesario determinar si esa propiedad es intrínseca del espacio vectorial o si depende explícitamente de una base en particular. Por eso, al definir la dimensión de un espacio vectorial, nos aseguramos con mucho cuidado de que no dependíamos, al hacerlo, de una base en particular, sino que teníamos una propiedad que poseen todas las bases y, por consiguiente, intrínseca al espacio vectorial. Sin embargo, cuando se hacen cálculos, se encuentra que las cosas se simplifican al usar una base en particular. Si se sabe que la cantidad que se va a calcular es independiente, de la base usada, entonces podemos estar seguros de que nuestro resultado será el mismo, al margen de nuestra elección de base. Es habitual que los cálculos se pueden hacer con mucha facilidad si se elige la base adecuada. TEOREMA 5.6.11 La dimensión de una suma directa de subespacios es igual a la suma de las dimensiones de estos subespacios. JOE GARCIA ARCOS

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DEMOSTRACION Si tenemos dos sumandos, entonces la dimensión de la suma es igual, por el teorema anterior. Pero, la intersección de subespacios en el caso de una suma directa es nula y su dimensión es igual a cero. Por esto, la dimensión de una suma directa de dos subespacios es igual a la suma de sus dimensiones.  TEOREMA 5.6.12 La dimensión del espacio de soluciones del sistema homogéneo con n incógnitas AX = O es igual a la diferencia n – r, donde r es el rango del sistema AX = O. Como consecuencia de este teorema, podemos enunciar lo siguiente: para que un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas de n incógnitas AX = O no tenga soluciones no nulas, es necesario y suficiente que la matriz A de este sistema sea no singular. Efectivamente, la condición n = r significa que el rango de la matriz A debe coincidir con su orden, es decir, la matriz A debe ser no singular. Otra consecuencia es la siguiente: para que un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas de n incógnitas tenga solución no nula es necesario y suficiente que el determinante de la matriz de este sistema sea igual a cero. En efecto, una matriz cuadrada es singular si, y sólo si, su determinante es igual a cero. En un espacio vectorial V de dimensión finita, cualquier conjunto dado de vectores linealmente independientes de V forma parte de alguna base de V. En realidad, hay muchas bases así. Se dice que la base S = {v1, ..., vm, ..., vn} es la extensión a una base de V del conjunto linealmente independiente {v1, v2, ..., vm}. Un conjunto S de tres vectores linealmente independientes en 3 genera un plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera de este plano, entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es linealmente independiente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano que los otros dos. Considerando la suma de dos subespacios vectoriales arbitrarios U y W, podremos ver fácilmente que su dimensión depende no sólo de la dimensión de los subespacios U y W, sino también de cuán grande es la parte común de los mismos. Consideremos los subespacios vectoriales U y W de V y sean r y s las dimensiones de estos subespacios, n la dimensión de V y m la dimensión de la intersección U  W. La dimensión de la suma U + W es igual a r + s – m. Pero la dimensión de la suma U + W es no mayor que la dimensión del espacio V. Por consiguiente, r + s – m  n, de donde se tiene m  r + s – n. Es decir, la dimensión de la intersección de dos subespacios vectoriales del espacio V no puede ser menor que el exceso de la suma de las dimensiones de estos subespacios respecto a la dimensión del espacio vectorial V. Por ejemplo, la intersección de dos planos del espacio de tres dimensiones contiene siempre una recta, la intersección de un subespacio de dos dimensiones con un subespacio de tres dimensiones en un espacio de cuatro dimensiones contiene una recta, la intersección de dos subespacios de tres dimensiones de un espacio de cuatro dimensiones contiene un plano, etc. % COMPRUEBA SI UN SISTEMA DE VECTORES S ES BASE clc;clear; fprintf('\n BASE Y DIMENSION \n') fil=input('Ingrese el numero de vectores: '); col=input('Ingrese la dimension del vector: '); JOE GARCIA ARCOS

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%Ingreso de elementos fprintf('Ingrese los vectores del sistema S\n') for f=1:fil fprintf('\nIngrese la Ecuacion (%d)\n', f) for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',f) S(f,c)=input(' :'); end end fprintf('LA MATRIZ DE VECTORES ES:\n') S fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA ES:') R= rref(S); R if (rank(S)==fil) fprintf('EL SISTEMA DE VECTORES S ES UNA BASE \n') DimS=rank(R) else fprintf('EL SISTEMA DE VECTORES S NO ES UNA BASE \n') end

EJEMPLO 5.6.9 Si a, b, c son números reales, si c  0 y si S es el conjunto de todos los vectores (x, y, z) de 3 con la propiedad de que ax + by + cz = 0, entonces S es subespacio de V y Dim(S) = 2. SOLUCION Como ax + by + cz = 0 es un plano que pasa por el origen, entonces vemos que S es subespacio de 3. Sean k = - a/c, r = - b/c. Entonces, podemos describir a S como el conjunto de todos los (x, y, z) tales que kx + ry - z = 0. Además, observamos que u = (1, 0, k) y v = (0, 1, r) están en S. Podemos demostrar que u, v son linealmente independientes. Si w = (x, y, z)  S, entonces z = kx + ry, de manera que w = (x, y, kx + by) = xu + yv. En consecuencia, Span{u, v} = S. Como u, v es un conjunto linealmente independiente, concluimos que constituye una base de S.  EJEMPLO 5.6.10 Sea S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 1, 1), (3, 2, 1)}  3. Demuestre que tanto S como S´ = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 1, 1)} generan el mismo subespacio. SOLUCION Para encontrar el Span(S), construimos la matriz aumentada de la siguiente manera: 1 0 1 3 a 1 0 1 3  a  1 0 1 3 a         2 1 1 2 b 0  1 1 4 2 a  b 0  1 1 4 2 a  b        3 2 1 1 c   0 2 2 8 3a  c   0 0 0 0 a  2b  c        de donde Span(S) = {(a, b, c) / a – 2b + c = 0}. Para encontrar el Span(S´), construimos la matriz aumentada de la siguiente manera: 1 0 1 a 1 0 1  a  1 0 1 a       2a  b   2 1 1 b    0 1 1 2a  b    0 1 1  3 2 1 c   0 2 2 3a  c   0 0 0 a  2b  c        de donde Span(S´) = {(a, b, c) / a – 2b + c = 0}. Por lo tanto concluimos que Span(S) = Span(S´).  EJEMPLO 5.6.11 Suponga que V es de dimensión n y que cada uno de los conjuntos U y W es subespacio de V de dimensión n - 1. Suponga además, que U  W. Entonces, Dim(U  W) = n - 2. SOLUCION Puesto que U  W, uno de los espacios contiene un vector que no está en el otro. En consecuenJOE GARCIA ARCOS

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cia, U + W contiene a uno de U, W o tal vez a ambos, como subespacio propio. De acuerdo con eso n  Dim(U + W) > n - 1 = Dim(U) = Dim(W) de donde se desprende que Dim(U + W) = n. Entonces se deduce que Dim(U  W) = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W) = (n - 1) + (n - 1) – n = n - 2.  EJEMPLO 5.6.12 Sea U el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que a – b + c = 0. Sea W el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que b + c + d = 0. Entonces, U  W = S será el conjunto de elementos (a, b, c, d) que cumplan tanto con la condición a – b + c = 0 como con la condición b + c + d = 0, y Dim(S) = 2. SOLUCION Como podemos apreciar, U, W son subespacios de R4, y Dim(U) = Dim(W) = 3. Se ve claramente que (1, 1, 0, 0) está en U y no está en W, de manera que U  W. Por lo tanto Dim(S) = 2.  EJEMPLO 5.6.13 Hallar una base cualquiera y la dimensión del subespacio generado por los sistemas de polinomios siguientes: a.- {3t2 + 2t + 1, 4t2 + 3t + 2, 3t2 + 2t + 3, t2 + t + 1, 4t2 + 3t + 4}; b.- {t3 + 2t2 + 3t + 4, 2t3 + 3t2 + 4t + 5, 3t3 + 4t2 + 5t + 6, 4t3 + 5t2 + 6t + 7}. SOLUCION a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 3 2 1   3 2 1  4 3 2 3 2  3 2 3  3  0 , 0, 4 3 2 0. 4 3   3 2 3 1 1 1  4 3 4   Como el rango de la matriz es 3, entonces la base buscada es {3t2 + 2t + 1, 4t2 + 3t + 2, 3t2 + 2t + 3} y su dimensión es 3. b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4        2 3 4 5  0 1 2 3  0 1 2 3 3 4 5 6 0 2 4 6 0 0 0 0        4 5 6 7 0 3 6 9 0 0 0 0 Como el rango de la matriz es 2, entonces la base buscada es {t3 + 2t2 + 3t + 4, 2t3 + 3t2 + 4t + 5} y su dimensión es 3.  EJEMPLO 5.6.14 Hallar los valores de a y b, para que el sistema de vectores siguientes sea una base de 3: a.- {(a, 1, 1), (1, a, 1), (1, 1, a)}; b.- {(a + 1, 1, 1), (1, a + 1, 1), (1, 1, a + 1)}; c.- {(1, a + 1, a), (a + 1, a + 2, a + 3), (a, 0, a + 4)}; d.- {(a – i, 0, 1), (0, a, 0), (1, -2ia, a – i)}; e.- {(a, 1, 1), (b, ab, b), (1, 1, a)}; f.- {(2a - b, 1, b – a), (0, a, 0), (2a - 2b, 2, 2b – a)}. SOLUCION a.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:

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a 1 1 1 a 1  (a  2)(a  1)2 . 1 1 a

En este caso (a + 2)(a – 1)2  0, de donde obtenemos que a  -2 y a  1. b.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a 1 1 1 1 a  1 1  a 2 (a  3) . 1 1 a 1 En este caso a2(a + 3)  0, de donde obtenemos que a  0 y a  -3. c.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 1 a 1 a a  1 a  2 a  3  (1  a)(a  2)2 . a 0 a4 En este caso (1 – a)(a + 2)2  0, de donde obtenemos que a  1 y a  -2. d.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a i 0 1 0 a 0  a(a  1  i )(a  1  i ) . 1 2ia a  i En este caso a(a + 1 – i)(a – 1 – i)  0, de donde obtenemos que a  0, a  -1 + i y a  1 + i. e.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a 1 1 b ab b  b(a  2)(a  1)2 . 1 1 a En este caso b(a + 2)(a – 1)2  0, de donde obtenemos que b  0, a  -2 y a  1. f.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 2a  b 1 b  a 0 a 0  a 2b . 2a  2b 2 2b  a En este caso a2b  0, de donde obtenemos que a  0 y b  0.  EJEMPLO 5.6.15 Sea S el conjunto de los vectores (a, b, c, d, e) de 5 tales que a  b  c  0  b  d  e  0 Determínese una base de S. Encuéntrese una base de 5 que sea extensión de la base obtenida para S. SOLUCION Para encontrar una base para S, debemos resolver el sistema de ecuaciones:  1 1 1 0 0 0   1 0 1 1 1 0      0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 donde a = - c – d – e y b = - d – e. Con estas condiciones reemplazamos en el vector (a, b, c, d, e) para obtener la base: (a, b, c, d, e) = (- c – d – e, - d – e, c, d, e) = c(-1, 0, 1, 0, 0) + d(-1, -1, 0, 1, 0) + e(-1, -1, 0, 0, 1) Base S = {(-1, 0, 1, 0, 0), (-1, -1, 0, 1, 0), (-1, -1, 0, 0, 1)} JOE GARCIA ARCOS

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A continuación extendemos esta base a una para 5: 1 0  1 0 1 0 0     1 1 0 1 0   1 1  1 1 0 0 1  1 1   a b  a b c d e

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1 0 0 c

0 1  a bc 0 d

El cuarto elemento se puede obtener de la condición a – b + c  0, que puede ser (1, 1, 1, 0, 0). El quinto elemento lo encontramos con la misma condición pero diferente al anterior, éste puede ser (0, 0, 1, 1, 1). Entonces la base es: Base 5 = {{(-1, 0, 1, 0, 0), (-1, -1, 0, 1, 0), (-1, -1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 1)}.  EJEMPLO 5.6.16 Sea S el conjunto de los polinomios reales de grado no mayor que 5 que tienen a 1 como cero. Determínese una base de S. Encuéntrese Dim(S). Encuéntrese una base de 5 que sea extensión de la base ya determinada de S. SOLUCION Este conjunto se puede expresar como: S = {p  5 / p(t) = (t – 1)(a + bt + ct2 + dt3 + et4), a, b, c, d, e  }. Expandiendo el polinomio, obtenemos: p(t) = - a + (a – b)t + (b – c)t2 + (c – d)t3 + (d – e)t4 + et5 Una base para S es: Base S = {(-1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,), (0, -1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 0, -1, 1)}. Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de 5, debemos construir un determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean incógnitas: 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0  a  b  c  d  e  f . 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 a b c d e f Como falta un elemento para completar la base de 5, entonces este elemento se puede obtener de la condición a + b + c + d + e + f  0. Una posible base es: Base P5 = {(-1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,), (0, -1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1, 0), (0, 0, 0, 0, -1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}.  EJEMPLO 5.6.17 Hallar los valores de a y b, para que el sistema de vectores siguientes sea una base de 4: a.- {(1, a, b, a – b), (a, a, 0, 0), (b, 0, b, 0), (a – b, 0, 0, a – b)}; b.- {(1, a, a, a), (a, 1, a, a), (a, a, 1, a), (a, a, a, 1)}; c.- {(2, 1, 1, a), (b, b, 2b, b), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)}; d.- {(a + 3, -a, a, -a), (a, 3 – a, a – 1, 1 – a), (0, 0, a + 1, 1 – a), (0, 0, a – 1, 3 – a)}; e.- {(a + 2, 0, -2, 0), (2a + 4, -1, -a – 3, a + 1), (0, 0, a, 0), (2a, -a – 1, 1 – a, 2a + 1)}. SOLUCION a.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 1 a b a b a a 0 0  ab(b  a)(2a  1) . b 0 b 0 a b 0 0 a b En este caso ab(b – a)(2a - 1)  0, de donde obtenemos que a  0, b  0, a  ½ y b  ½ . JOE GARCIA ARCOS

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b.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 1 a a a a 1 a a  (1  a)3 (3a  1) . a a 1 a a a a 1 En este caso (1 – a)3(3a + 1)  0, de donde obtenemos que a  1 y a  -1/3. c.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: 2 1 1 a b b 2b b  2b(1  a) . 1 1 0 0 0 1 1 0 En este caso 2b(1 – a)  0, de donde obtenemos que b  0 y a  1. d.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a  3 a a a a 3  a a 1 1  a  36 . 0 0 a 1 1 a 0 0 a 1 3  a En este caso para cualquier valor de a, el sistema es base de 4. e.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema: a2 0 2 0 2a  4 1 a  3 a  1  a3 (a  2) . 0 0 a 0 2a  a  1 1  a 2a  1 En este caso a3(a + 2)  0, de donde obtenemos que a  0 y a  -2.  EJEMPLO 5.6.18 Sea S el conjunto de los polinomios reales de grado no mayor que 5 cuya derivada tercera es cero en 0. Hágase ver que S es subespacio de 5. Determínese una base de S y hágase su extensión a una base de 5. SOLUCION Este conjunto se puede expresar como: S = {p  5 / p´´´(0) = 0}. Haciendo que p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5, entonces p´´´(t) = 6d + 24et + 60ft2, p´´´(0) = 6d = 0, d = 0. Una base para S es: Base S = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1)}. Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de 5, debemos construir un determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean incógnitas: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 d . 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 a b c d e f Como falta un elemento para completar la base de 5, entonces este elemento se puede obtener de JOE GARCIA ARCOS

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la condición d  0. Una posible base es: Base P5 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}.  EJEMPLO 5.6.19 Sea S el conjunto de los polinomios reales p(t) de grado no mayor que 5 con la propiedad de que p´(3) = 0. Hágase ver que S es subespacio de 5. Determínese una base de S y hágase su extensión a una base de 5. SOLUCION Este conjunto se puede expresar como: S = {p  5 / p´(3) = 0}. Haciendo p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5, entonces p´(3) = b + 6c + 27d + 108e + 405f, b + 6c + 27d + 108e + 405f = 0. Una base para S es: Base S = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -6, 1, 0, 0, 0), (0, -27, 0, 1, 0, 0), (0, -108, 0, 0, 1, 0), (0, -405, 0, 0, 0, 1)}. Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de 5, debemos construir un determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean incógnitas: 1 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 0 0 27 0 1 0 0  b  6c  27d  108e  405 f . 0 108 0 0 1 0 0 405 0 0 0 1 a b c d e f Como falta un elemento para completar la base de 5, entonces este elemento se puede obtener de la condición b + 6c + 27d + 108e + 405f  0. Una posible base es: Base 5 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -6, 1, 0, 0, 0), (0, -27, 0, 1, 0, 0), (0, -108, 0, 0, 1, 0), (0, -405, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}. 

PROBLEMAS 5.6.1 Demuestre que si S = {u1, u2, ..., uk} es una base de un espacio vectorial V y  es un escalar no nulo, entonces el conjunto S1 = {u1, u2, ..., uk} también es una base de V. 5.6.2 Muéstrese gráficamente que w = u – v, z = u + v son linealmente independientes y que, por lo tanto, forman una base. 5.6.3 Sea V el conjunto generado por u = Cos2x, v = Sen2x, w = Cos2x: a.- Demuestre que S = {u, v, w} no es una base para V. b.- Determine una base para V. 5.6.4 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones continuas en el intervalo [-; ]. Sea U el subconjunto de V que consta de todas las funciones f que satisfacen las tres

ecuaciones





 f (t )dt  0 ,  f (t )Costdt  0 ,



 f (t )Sentdt  0 : a.- Demostrar que U es un subespacio de V.

b.- Demostrar que U contiene las funciones f(x) = Cosnx y f(x) = Sennx para cada n = 2, 3, ... c.- Demuestre que U es de dimensión infinita. 5.6.5 Sean f1, …, fk elementos de un espacio vectorial V de funciones. Demuéstrense los siguientes enunciados: a.- Si f1 = 0, entonces f1, …, fk son linealmente dependientes. b.- Si se puede expresar f1 como combinación lineal de f2, …, fk, entonces f1, …, fk son linealmente dependientes. c.- Si k  2 y si f1, …, fk son linealmente dependientes, entonces una de las funciones se puede expresar como combinación lineal de las demás. d.- Si f1, …, fk son linealmente independientes y si h < k, entonces f1, …, fk son linealmente independientes. e.- Si f1, …, fk constituyen una base de V, entonces f1, …, fk son linealmente independientes. f.- Si f1, …, fk son linealmente independientes y si c1f1 + … + ckfk = a1f1 + … + akfk, entonces c1 = a1, …, ck = a k. JOE GARCIA ARCOS

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5.6.6 Demuestre que si U es un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces la dimensión de U es menor o igual que la dimensión de V. 5.6.7 Demuéstrese que Cosx, Cos2x, Cos3x son linealmente independientes y que, por lo tanto, forman una base. 5.6.8 Sea V el conjunto de todas las funciones racionales de la forma ax  b , x  1, x  2 ( x  1)( x  2) a.- Hágase ver que V es espacio vectorial de dimensión 2. 1 1 b.- Demuéstrese que g1 ( x)  , g 2 ( x)  están x 1 x2 en V, son linealmente independientes y forman una base de V. 5.6.9 Sea V el conjunto de todas las funciones racionales de la forma ax 2  bx  c , x  0, x  2, x  -2 x( x 2  4) a.- Hágase ver que V es espacio vectorial de dimensión 3. b.- Demuéstrese que 1 1 1 g1 ( x)  , g 2 ( x)  , g3 ( x )  x x2 x2 están en V, son linealmente independientes y forman una base de V. 5.6.10 a.- Sea W el conjunto de los vectores de 5 tales que a1 – a2 + a3 = 0 y a2 + a4 + a5 = 0. Determínese una base de W. Encuéntrese una base de 5 que sea extensión de la base obtenida para W. b.- Sea U el subespacio de los vectores de 5 tales que 2a1 – a2 + a3 – a5 = 0 y a1 + a2 – a4 + 6a5 = 0. Determínese una base de U. Encuéntrese una base de 5 que sea extensión de la base obtenida para U. c.- Hágase ver que Dim(U  W)  1. d.- Encuéntrese una base de U  W.

5.6.11 Demuestre que el conjunto de las matrices triangulares de m x n constituye un espacio vectorial de 1 dimensión mn  (m2  m) si m  n, y de dimensión 2 1 2 (n  n) si n  m. 2 5.6.12 Determine una base del subespacio S de n y determine la dimensión del subespacio: a.- S consiste en todos los vectores (x, y, -y, -x) en 4; b.- S consiste en todos los vectores (x, y, 2x, 3y) en 4; c.- S consiste en todos los vectores del plano 2x – y + z = 0 en el espacio 3; d.- S consiste en todos los vectores (x, y, -y, x – y, z) en 5; e.- S consiste en todos los vectores en 4 con la segunda componente cero; f.- S consiste en todos los vectores (-x, x, y, 2y) en 4; g.- S consiste en todos los vectores paralelos a la recta y = 4x en 2; h.- S consiste en todos los vectores del plano 4x + 2y – z = 0 en 3. 5.6.13 Sea {u, v, w} una base de un espacio vectorial V. Demuestre que {x, y, z} también es una base, donde u = x, y = u + v, z = u + v + w. 5.6.14 Sea W el espacio generado por f = Senx y g = Cosx: a.- Demuestre que para cualquier valor de , f1 = Sen(x + ) y g1 = Cos(x + ) son vectores en W. b.- Demuestre que f1 y g1 forman una base para W. 5.6.15 En 3, todos los vectores de un plano  que pasa por el origen forman un subespacio S de 3. Determine la dimensión de S para cualquier plano . 5.6.16 En 2, todos los vectores paralelos a una recta dada L que pasa por el origen forman un subespacio S. Determine la dimensión de S para cualquier recta L.

5.7 VECTOR DE COORDENADAS. CAMBIO DE BASE En esta sección se estudiará la relación entre los coeficientes de una combinación lineal con un vector de coordenadas. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades. Anteriormente se ha considerado las propiedades generales de los espacios vectoriales. Sin embargo, en las aplicaciones, además de conocer las propiedades generales, es importante saber definir los vectores en términos de números y poder reducir las operaciones vectoriales a operaciones con números. Este problema se resuelve introduciendo las coordenadas de un espacio vectorial. Toda base de un espacio vectorial V, cuyos vectores se toman en un orden determinado, se llamará JOE GARCIA ARCOS

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sistema de coordenadas de V. Por consiguiente, si B = {u1, u2, ..., un} es un sistema de coordenadas de V, estos mismos vectores, pero tomados en otro orden, representarán otro sistema de coordenadas de V. DEFINICION 5.7.1 Sea V un espacio vectorial n-dimensional y sea B = {u1, u2, ..., un} una base de V. Defínase el vector de coordenadas de u respecto de la base B, el cual se denota por uB, como el vector uB = (a1, a2, ..., an)  n, en donde los escalares a1, a2, ..., an son tales que u = a1u1 + a2u2 + ... + anun. Sean B1 = {u1, u2, ..., un} y B2 = {v1, v2, ..., vn} dos bases del espacio vectorial n sobre el cuerpo K. Sea u un vector arbitrario del espacio vectorial. Nos proponemos encontrar una relación entre las coordenadas de u respecto de la primera y segunda base respectivamente. Para poder establecer esta relación se necesita conocer las coordenadas de los vectores de una de las bases dadas respecto de la otra. Supongamos conocidas las componentes de los vectores de la base B1 respecto de la base B2.  u1  a11v1  a1 2 v2   a1 n vn  u2  a21v1  a2 2 v2   a2 n vn (1)   u  a v  a v   a v n1 1 n2 2 nn n  n El vector u, respecto de la base B2, se expresa de forma única como u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, por otro lado, al ser también B1 una base, el vector u admite la siguiente expresión: u = b1u1 + b2u2 + ... + bnun Por (1) se tiene: u = b1(a11v1 + a12v2 + ... + a1nvn) + b2(a21v1 + a22v2 + ... + a2nvn) + ... + bn(an1v1 + an2v2 + ... + annvn) = (b1a11 + b2a21 + ... + bnan1)v1 + (b1a12 + b2a22 + ... + bnan2)v2 + ... + (b1a1n + b2a2n + ... + bnan n)vn Luego a1  b1a11  b2 a21   bn an1 a  b a  b a   b a  2 1 12 2 22 n n2    an  b1a1n  b2 a2 n   bn ann que son las ecuaciones que permiten relacionar las coordenadas de un mismo vector respecto de las bases B1 y B2.

El concepto de espacio vectorial tiene dos facetas esencialmente diferentes. En primer lugar, un espacio vectorial es un conjunto de ciertos entes que se denominan vectores y, en segundo lugar, en un espacio vectorial actúan las operaciones de adición y de multiplicación por un número. Por esto, o bien podemos limitarnos a estudiar qué es lo que representan los vectores y cuáles son la naturaleza y las propiedades de los mismos, o bien podemos tomar otro punto de vista y estudiar las propiedades de las operaciones indicadas independientemente de la naturaleza de los elementos con los cuales se efectúan estas operaciones. En lo sucesivo nos interesarán solamente las propiedades del segundo género. Por ello, dos espacios de la misma estructura respecto a las operaciones de adición y de multiplicación por números se considerará que tienen las mismas propiedades o que son isomorfos.

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DEFINICION 5.7.2 Dos espacios vectoriales U y V dados sobre un mismo cuerpo K se llaman isomorfos, si se puede establecer tal correspondencia biyectiva entre sus vectores que a la suma de cualesquiera dos vectores del primer espacio le corresponda la suma de los vectores correspondientes del segundo espacio y al producto de un escalar por un vector del primer espacio le corresponda el producto de este mismo escalar por el vector correspondiente del segundo espacio. Toda correspondencia biyectiva que posee las propiedades indicadas se llama isomorfismo. TEOREMA 5.7.1 En una correspondencia isomorfa el vector nulo corresponde al vector nulo. DEMOSTRACION Supongamos que en una aplicación isomorfa de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial W el vector v de V corresponde al vector w de W. Entonces, según la definición, el vector nulo del primer espacio debe transformarse en el vector nulo del segundo espacio.  TEOREMA 5.7.2 En una aplicación isomorfa un sistema de generadores del primer espacio se transforma en un sistema de generadores del segundo sistema. DEMOSTRACION Sean v1, v2, ..., vt unos generadores del espacio V y sean w1, w2, ..., wt los vectores que les corresponden en el espacio W. Tomemos en W un vector arbitrario w y consideremos el vector v de V. Por hipótesis, el vector v puede ser representado en la forma v = a1v1 + a2v2 + ... + atvt. Según la definición, la suma a1v1 + a2v2 + ... + atvt, debe transformarse en la suma a1w1 + a2w2 + ... + atwt y, por consiguiente, el vector w debe coincidir con la suma a1w1 + a2w2 + ... + atwt, es decir, los vectores w1, w2, ..., wt constituyen un sistema de generadores del espacio W.  TEOREMA 5.7.3 A un sistema linealmente independiente de vectores le corresponde de nuevo un sistema linealmente independiente. DEMOSTRACION Supongamos que los vectores linealmente independientes v1, v2, ..., vm del espacio V se transforman en los vectores w1, w2, ..., wm del espacio W. Supongamos que entre los últimos existe una relación de tipo b1w1 + b2w2 + ... + bmwm = . Según la definición, al primer miembro de esta igualdad corresponde en el espacio V el vector b1v1 + b2v2 + ... + bmvm y al vector nulo  corresponde en el espacio V el vector nulo . Por consiguiente b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = . Puesto que los vectores v1, v2, ..., vm son linealmente independientes se tiene b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, los vectores w1, w2, ..., wm son linealmente independientes.  De estos teoremas se deduce directamente que en un isomorfismo una base de un espacio vectorial se transforma de nuevo en una base de un espacio vectorial y, por consiguiente, los espacios vectoriales isomorfos tienen la misma dimensión. La afirmación recíproca es también válida: si dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo de coeficientes tienen la misma dimensión, son isomorfos. JOE GARCIA ARCOS

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EJEMPLO 5.7.1 Considere el conjunto de vectores en 3, B = {(3, 1, 2), (-1, 0, 2), (4, 3, 5)}: a.- Demuestre que B es una base de 3; b.- Encuentre (3, 4, 6) en B; c.- Para un vector cualquiera u  3, encuentre u en B. SOLUCION Es fácil verificar que los vectores {(3, 1, 2), (-1, 0, 2), (4, 3, 5)} forman una base de 3. Es decir, debemos aprovechar que podemos calcular el determinante del sistema de vectores 3 1 4 1 0 3 0 2 2 5 como el determinante es diferente de cero, podemos concluir que el sistema B es linealmente independiente y por lo tanto es una base. Aprovechando las operaciones elementales que se pueden realizar sobre matrices para resolver sistemas de ecuaciones, podemos evaluar los puntos b) y c) inmediatamente, es decir:  3 1 4 3 a   3 1 4 3 a       1 0 3 4 b    0 1 5  4 a  3b   2 2 5 6 c   0 8 7 12 2a  3c      3 0 9   0 1 5  0 0 11 

3a 0 0 48 18a  39b  9c    33    a  3b 1 a  7b  5c     0 11 0 2a  8b  3c   0 0 11 20 2a  8b  c  16 1 20 De esta manera tenemos que 1   ,  2   y 3  , con lo que podemos 11 11 11 decir que 16 1 20 (3, 4, 6)B    ,  ,   11 11 11  1 (3, 4, 6)B   6a  13b  3c,  a  7b  5c,  2a  8b  c  .  11 12 9 20

EJEMPLO 5.7.2 En 3 considere las dos bases B1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y B2 = {(2, 1, 2), (1, 0, 3), (-1, 4, -2)}: a.- Encuentre [(1,1, 3)]B1 ; b.- Encuentre [(1,1, 3)]B2 ; c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B1 a B2; d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B2 a B1; e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los incisos c) y d). SOLUCION a.- (1, 1, 3) = a1(1, 1, 1) + a2(1, 1, 0) + a3(1, 0, 0) (1, 1, 3) = 3(1, 1, 1) – 2(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0) [(1,1, 3)]B1 = (3, -2, 0)T. b.- (1, 1, 3) = b1(2, 1, 2) + b2(1, 0, 3) + b3(-1, 4, -2) (1, 1, 3) = 1/17(2, 1, 2) + 10/17(1, 0, 3) + 4/17(-1, 4, -2) [(1,1, 3)]B2 = (1/17, 19/17, 4/17)T.  2 1 1  c.-  1 0 4  2 3 2 

1 1 1

1 1 0

1   2 1 1 1   0    0 1 9 1 0   0 2 1 0

1 1  1 1 1 1 JOE GARCIA ARCOS

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 2 0  8   0 1  9  0 0 17 

2 1 2

2 1 1

P B 2

1 1 1  d.- 1 1 0 1 0 0 

2 1 2

1 0 3

1 1 1  0 1 2 0 1 1 

1 0 0  0 1 0 0 0 1 

0 1 0 0   1  0 1 0 3   0 0 1 13 9  17 17  1 8 B1     17 17  2 1   17 17 

1   1 1   4  0 0 2   0 1 2 1 1   1 1 4  0 2 1  2 1 1

3 3 1

1 1 1

2 1 0

9 /17 1/17 2 /17

13 /17 8 /17 1/17

12 /17   10 /17  3 /17 

12  17  10   17  3   17 

1 1 2

1   5  1 

 1 0 1   0 1 2  0 0 1 

1 1 1

2 1 1

3   4  5 

2   2 3 2     6   P B1 B2    1 3 6   1 1 5  5   

e.- [(1,1, 3)]B1  P B1 B2  [(1,1, 3)]B2 = (3, -2, 0)T [(1,1, 3)]B2  P B2 B1  [(1,1, 3)]B1 = (1/17, 19/17, 4/17)T.

PROBLEMAS 5.7.1 En 2 considere las dos bases B1 = {1 - t – t2, - 1 – 2t2, t + 2t2} y B2 = {3 + 6t2, 2 + t + 6t2, t2}: a.- Encuentre [1  t  t 2 ]B1 ; b.- Encuentre [1  t  t 2 ]B2 ; c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B1 a B2; d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B2 a B1; e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los incisos c) y d). 5.7.2 Sea P la matriz de transición de B2 a B1 y sea Q la matriz de transición de B1 a B2. ¿Cuál es la matriz de transición de B2 a B1? 5.7.3 En C3 considere las dos bases B1 = {(1 + i, 2 – i, 1), (3 + 2i, 4 – 4i, 1), (i, 2, -i)} y B2 = {(1, i, 1 + i), (1, i, -i), (2i, 1, 1 – i)}: a.- Encuentre [(2i, 3,1  i)]B1 ; b.- Encuentre [(2i, 3,1  i)]B2 ; c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B1 a B2; d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B2 a B1;

e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los incisos c) y d). 5.7.4 En (2 x 2) considere las dos bases  1 1  1 1 1 0   0 1    B1 =  ,  ,  ,   1  1  1 1 1 0 2 0           y 1 1 1 1   1 1   1 0     B2 =  ,  ,  ,   : 1 1 1 0 0 0 0 0            1 2   a.- Encuentre   ;  7 4   B1  1 2   b.- Encuentre   ;  7 4   B 2 c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B1 a B2; d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B2 a B1; e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los incisos c) y d).

5.7.4 Sea P la matriz de transición de B2 a B1, y sea Q matriz de transición de B1 a B. ¿Cuál es la matriz de transición de B a B2? JOE GARCIA ARCOS

ESPACIOS VECTORIALES

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5.8 CUESTIONARIO Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas, indicar por que lo es: 5.8.1 Todos los polinomios de grado 3 que poseen coeficientes reales forman un espacio vectorial. 5.8.2 Las matrices antisimétricas no forman un subespacio vectorial de todas las matrices cuadradas de n x n. 5.8.3 Todos los vectores de n, que tienen iguales la primera y última coordenada forman un subespacio vectorial. 5.8.4 Tres vectores no coplanares u, v y w, son linealmente dependientes. 5.8.5 Un sistema de vectores que contiene dos vectores iguales es linealmente dependiente. 5.8.6 Un sistema de vectores cuyos dos vectores se diferencian por un factor escalar es linealmente independiente. 5.8.7 Un sistema de vectores que contiene al vector nulo es linealmente dependiente. 5.8.8 Si una parte del sistema de vectores es linealmente dependiente, entonces todo el sistema también es linealmente dependiente. 5.8.9 Cualquier parte de un sistema de vectores linealmente independiente es por sí misma linealmente dependiente. 5.8.10 Si tres vectores u1, u2 y u3 son linealmente dependientes y el vector u3 no se expresa linealmente a través de los vectores u1 y u2, entonces estos últimos se diferencian entre sí sólo por un factor numérico. 5.8.11 Sean S, U y W subespacios vectoriales de V. Entonces S será la suma directa de U y W cuando y sólo cuando S esté contenido en U y W. 5.8.12 Si los vectores u1, u2, ..., uk son linealmente dependientes, y los vectores u1, u2, ..., uk, u son linealmente independientes, entonces el vector u se expresa linealmente a través de los vectores u1, u2, ..., uk. 5.8.13 Si la dimensión de la suma de dos subespacios vectoriales del espacio V supera la dimensión de su intersección en una unidad, la suma coincide con uno de esos subespacios y la intersección con el otro.

5.8.14 Si un sistema de vectores dado, posee el rango r, entonces cualesquiera r vectores linealmente independientes forman la base de este sistema. 5.8.15 Cualquier subsistema linealmente dependiente de un sistema dado puede completarse hasta la base de ese sistema. 5.8.16 Suponga que el subespacio vectorial W contiene el subespacio vectorial U. Entonces la dimensión de U no supera a la de W, con la particularidad de que las dimensiones son iguales entre sí cuando, y sólo cuando, U = W. 5.8.17 La suma S = U + W de dos subespacios vectoriales de V es igual a la intersección de todos los subespacios vectoriales de V que contienen tanto U, como también W. 5.8.18 La suma U + W de los subespacios vectoriales U y W será suma directa cuando, y sólo cuando, todos los vectores u  U + W se representen de forma única como u = ui + vj, donde ui  U y vj  W. 5.8.19 Suponga que el subespacio vectorial S es la suma directa de los subespacios vectoriales U y W. Entonces la dimensión de S es igual a la suma de las dimensiones de U y W con la particularidad de que cualesquiera bases de U y W dan juntas la base de S. 5.8.20 Para cualquier subespacio vectorial U del espacio V puede hallarse otro subespacio W, tal que todo el espacio V sea la suma directa de U y W. 5.8.21 Si los vectores u1, u2, ..., uk se expresan linealmente a través de los vectores v1, v2, ..., vr, el rango del primer sistema no supera el del segundo. 5.8.22 Si el vector u se expresa linealmente mediante los vectores u1, u2, ..., uk, el rango del último sistema de vectores no varía, añadiéndole el vector u. 5.8.23 Todas las bases de un sistema de vectores dado, contienen la misma cantidad de vectores. 5.8.24 Si los vectores u1, u2, ..., um son linealmente independientes y se expresan linealmente a través de los vectores v1, v2, ..., vn, entonces m  n.

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