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• Valdez Luis

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4PDCB302 Ondas fluios 14.72. El bloque A cuelga mediante un cordón de la balanza de resorte D y se sumerge en el líquido C contenido en el vaso de precipitados B. La masa del vaso es 1.0 kg; la del líquido es 1.8 kg. La balanza D marca 3.5 kg, y la E, 7.5 kg. El volumen del bloque A es de 3.8𝑥10−3 𝑚3 . a) ¿Qué densidad tiene el líquido? b) ¿Qué marcará cada balanza si el bloque A se saca del líquido?

14.84. Un recipiente cilíndrico con un líquido incompresible (de densidad 𝜌) gira con rapidez angular constante 𝜔 alrededor de su eje de simetría, que tomamos como eje y. a) Muestre que la presión a una altura dada dentro del fluido aumenta en la dirección 𝜕𝑝 radial (hacia fuera desde el eje de rotación) de acuerdo con la ecuación 𝜕𝑟 = 𝜌 𝜔2 𝑟 b) Integre esta ecuación diferencial parcial para determinar la presión como función de la distancia del eje de rotación a lo largo de una línea horizontal en 𝑦 = 0. c) Combine el resultado del inciso b) con la ecuación (𝑝 = 𝑝0 + 𝑟𝑔ℎ ) para demostrar que la superficie del líquido en rotación tiene forma parabólica, es decir, la altura del líquido está dada por ℎ(𝑟) =

𝜔2 𝑟 2 2𝑔

.

(Esta técnica se usa para hacer espejos de telescopio parabólicos; se hace girar vidrio líquido, dejando que se solidifique mientras gira.)

14.87. Hay agua hasta una altura H en un tanque abierto grande con paredes verticales. Se perfora un agujero en una pared a una profundidad h bajo la superficie del agua. a) ¿A qué distancia R del pie de la pared tocará el piso el chorro que sale? b) ¿A qué distancia sobre la base del tanque debería hacerse un segundo agujero de manera que el chorro que salga por él tenga el mismo alcance que el que sale por el primero?

14.89. Fluye agua continuamente de un tanque. La altura del punto 1 es de 10 𝑚, y la de los puntos 2 y 3 es de 2 𝑚. El área transversal en el punto 2 es de 0.048 𝑚2 ; en el punto 3 es de 0.016 𝑚2 . El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Suponiendo que puede aplicarse la ecuación de Bernoulli, calcule a) la rapidez de descarga en 𝑚3 /𝑠; b) la presión manométrica en el punto 2.

14.92. El tubo horizontal tiene área transversal de 40 𝑐𝑚2 en la parte más ancha y de 10 𝑐𝑚2 en la constricción. Fluye agua en el tubo, cuya descarga es de 6.0𝑥10−3 𝑚3 /𝑠 (6.0 𝐿/𝑠). Calcule a) la rapidez de flujo en las porciones ancha y angosta; b) la diferencia de presión entre estas porciones; c) la diferencia de altura entre las columnas de mercurio en el tubo con forma de U.

15.4. Imágenes por ultrasonido. Se llama ultrasonido a las frecuencias más arriba de la gama que puede detectar el oído humano, esto es, aprox… mayores que 20,000 Hz. Se pueden usar ondas de ultrasonido para penetrar en el cuerpo y producir imágenes al reflejarse en las superficies. En una exploración típica con ultrasonido, las ondas viajan con una rapidez de 1500 m>s. Para obtener una imagen detallada, la longitud de onda no debería ser mayor que 1 mm. ¿Qué frecuencia se requiere entonces?

15.5. Luz visible. La luz es una onda, pero no una onda mecánica. Las cantidades que oscilan son campos eléctricos y magnéticos. La luz que es visible para los seres humanos tiene longitudes de onda de entre 400 𝑛𝑚 (violeta) y 700 𝑛𝑚 (rojo), en tanto que toda la luz viaja en el vacío a una rapidez 𝑐 = 3𝑥108 𝑚/𝑠. a) ¿Cuáles son los límites de la frecuencia y el periodo de la luz visible? b) ¿Usando un cronómetro podría usted medir el tiempo que dura una sola vibración de luz?

1. (15.6)La ecuación de cierta onda transversal es 𝒚(𝒙, 𝒕) = (𝟔. 𝟓𝟎 𝒏𝒎) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝝅 (

𝒙 𝒕 − ) 𝟐𝟖 𝒄𝒎 𝟎. 𝟎𝟑𝟔𝟎𝒔

Halle la a) amplitud b) longitud de onda c) frecuencia d) rapidez de propagación y e) dirección de propagación de la onda. 15.8. Una onda de agua que viaja en línea recta en un lago queda descrita por la ecuación 𝑦(𝑥, 𝑡) = 3.75𝑐𝑚 cos(45𝑚𝑚−1 𝑥 + 5.4𝑠 −1 𝑡) donde y es el desplazamiento perpendicular a la superficie tranquila del lago. a) ¿Cuánto tiempo tarda un patrón de onda completo en pasar por un pescador en un bote anclado, y qué distancia horizontal viaja la cresta de la onda en ese tiempo? b) ¿Cuál es el número de onda y el número de ondas por segundo que pasan por el pescador? c) ¿Qué tan rápido pasa una cresta de onda por el pescador y cuál es la rapidez máxima de su flotador de corcho cuando la onda provoca que éste oscile verticalmente? 2. (15.9) ¿Cuál de las siguientes funciones satisfacen la ecuación de onda, ecuación 2𝜋

𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 [ 𝜆 (𝑥 − 𝑣𝑡)] a) 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡), b) 𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 + 𝜔𝑡) c) 𝑦 (𝑥, 𝑡) = 𝐴 (cos 𝑘𝑥 + cos 𝜔𝑡) d) Para la onda del inciso b) escriba las ecuaciones para la velocidad y la aceleración transversal de una particular en el punto x. 3. (15.11) Una onda senoidal se propaga por una cuerda estirada en el eje x. El desplazamiento de la cuerda en función del tiempo se gráfica en la figura para partículas en x=0 y en x= 0.0900 m a) Calcule la amplitud de la onda b) Calcule el periodo de la onda c) Se sabe que los puntos en x = 0 y x =0.0900 m están separados una longitud de onda. Si la onda se mueve en la dirección +x, determine la longitud de onda. Si la onda se mueve en la dirección +𝑥, determine la longitud de onda y la rapidez de la onda. d) SI ahora la onda se mueve en la dirección – 𝑥 , determine la longitud de onda y la rapidez de la onda.

e) ¿Sería posible determinar la manera definitiva la longitud de onda en los incisos c) y d) si no supiéramos que los dos puntos están separados una longitud de onda? ¿Por qué? 4. (15.20) Un alambre de piano con masa de 3.00 g e longitud de 80 cm se estira con una tensión de 25 N. Una onda con frecuencia de 120 Hz y amplitud de 1.6 mm viaja por el alambre. a) Calcule la potencia media que transporta esta onda. b) Qué sucede con la potencia media si la amplitud de la onda se reduce a la mitad? 15.22. Umbral del dolor. Imagine que investiga un informe del aterrizaje de un OVNI en una región despoblada de Nuevo México, y encuentra un objeto extraño que radia ondas sonoras uniformemente en todas direcciones. Suponga que el sonido proviene de una fuente puntual y que puede despreciar las reflexiones. Está caminando lentamente hacia la fuente. Cuando está a 7.5 m de ella, determina que la intensidad es de 𝟎. 𝟏𝟏 𝑾/𝒎𝟐 . 𝑾 Comúnmente, se considera que una intensidad de 𝟏 𝒎𝟐 es el “umbral del dolor”. ¿Cuánto más podrá acercarse a la fuente antes de que la intensidad del sonido alcance ese umbral? 15.24. Imagine que un compañero con dotes matemáticas le dice que la función de onda de una onda viajera en una cuerda delgada es 𝑟𝑎𝑑 𝑦(𝑥, 𝑡) = 2.3 𝑚𝑚 𝑐𝑜𝑠[(6.98 ) 𝑥 + (742 𝑟𝑎𝑑/𝑠)𝑡] 𝑚 Usted, que es una persona más práctica, efectúa mediciones y determina que la cuerda tiene una longitud de 1.35 m y una masa de 3.38 𝑥10−3 𝑘𝑔. Ahora le piden determinar lo siguiente: a) amplitud; b) frecuencia; c) longitud de onda; d) rapidez de la onda; e) dirección en que viaja la onda; f) tensión en la cuerda; g) potencia media transmitida por la onda. 15.34. Los antinodos adyacentes de una onda estacionaria en una cuerda están separados 15 cm. Una partícula en un antinodo oscila en movimiento armónico simple con amplitud de 0.85 cm y periodo de 0.075 s. La cuerda está en el eje +x, fija en 𝑥 = 0 a) ¿Qué tan separados están los nodos adyacentes? b) ¿Cuáles son la longitud de onda, la amplitud, la rapidez de las dos ondas viajeras que forman este patrón? c) Calcule las rapideces transversales máxima y mínima de un punto en un antinodo. d) ¿Cuál es la distancia mínima en la cuerda entre un nodo a un antinodo?

15.45. La porción de una cuerda de cierto instrumento musical que está entre el puente y el extremo superior del batidor (o sea, la porción que puede vibrar libremente) mide 60 cm y tiene una masa de 2 g. La cuerda produce una nota A4 (440 Hz) al tocarse. a) ¿A qué distancia x del puente debe una ejecutante poner un dedo para tocar una nota D5 (587 Hz)? En ambos casos, la cuerda vibra en su modo fundamental. b) Sin reafinar, ¿es posible tocar una nota G4 (392 Hz) en esta cuerda? ¿Por qué? 5.

(15.50) La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda es 𝑦 (𝑥, 𝑡) = (0.750 𝑐𝑚) cos 𝜋 [(0.400 𝑐𝑚−1 )𝑥 + (250 𝑠 −1 )𝑡] a) Calcule la amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, el periodo y la rapidez de propagación. b) Dibuje la forma de la cuerda en los siguientes valores de t: 0, 0.0005 s y 0.0010s. c) ¿La onda viaja en la dirección + x 0 - x? d) La masa por unidad de longitud de La cuerda es de 0,0500 kg/m. Calcule la tensión e) Calcule la potencia media de esta onda. 6. (16.58) una barra uniforme de 165 N está sostenida horizontalmente por dos alambres idénticos A y B. Un pequeño cubo de plomo de 185 N está colocado a 3⁄4 del camino de A a B. Cada uno de los alambres mide 75 cm de largo y tiene una masa de 5.50 g . Si ambos son pulsados simultáneamente en el centro, ¿Cuál es la frecuencia de los pulsos que se producirán cuando cada uno de los alambres vibre en su frecuencia fundamental?

7. (16.60) Imagine que diseño un nuevo instrumento musical de construcción muy sencilla. Su diseño consiste en un tubo metálico de longitud L y diámetro L/10 . Ha estirado una cuerda con masa por unidad de longitud 𝜇 a lo ancho del extremo abierto del tubo. El otro extremo abierto al tubo. El otro extremo está cerrado. Para

producir el efecto musical que le interesa, quiere que la frecuencia de la onda estacionaria de tercer armónico en la cuerda sea igual a la frecuencia fundamental para las ondas sonoras en la columna es de aire dentro del tubo. La rapidez de las ondas sonoras en esa columna es 𝑣𝑠 . a) ¿Qué tensión debe haber en la cuerda para producir el efecto deseado? b) ¿Sucede con el sonido producido por el instrumento, si la tensión se aumenta al doble del valor calculado en el inciso a) , ¿Qué otros armónicos de la cuerda, si acaso , están en resonancia con ondas estacionarias en la columna de aire?

15.65. Una onda senoidal transversal viaja por una cuerda de longitud 8 𝑚 y masa 6 𝑔. Su rapidez es de 30 𝑚/𝑠 y su longitud de onda es de 0.2 𝑚. a) ¿Qué amplitud debe tener la onda para que su potencia media sea de 50 W? b) En esta misma cuerda, si la amplitud y la longitud de onda son las del inciso a), ¿qué potencia media tendrá la onda si la tensión se aumenta de modo que la rapidez de la onda sea el doble? 8. 16.66) El canal auditivo del oído humano se extiende unos 2.5 cm del oído exterior al tímpano a) explique por qué el oído humano es especialmente sensible a sonidos con frecuencias cercanas a 3500 Hz. Use 𝑣 = 344 𝑚/𝑠 b) ¿esperaría que el oído humano es especialmente sensible a frecuencias cercanas a 7000 Hz? ¿A 10,500 Hz? ¿Por qué? 15.68. Una cuerda de 50 cm de longitud vibra sometida a una tensión de 1 N. La figura muestra cinco imágenes estroboscópicas sucesivas de la cuerda. La lámpara produce 5000 destellos por minuto y las observaciones revelan que el desplazamiento máximo se dio en los destellos 1 y 5, sin otros máximos intermedios. a) Calcule la longitud de onda, el periodo y la frecuencia de las ondas que viajan por esta cuerda. b) ¿En qué modo normal (armónico) está vibra la cuerda? c) Calcule la rapidez de las ondas viajeras en la cuerda. d) ¿Con qué rapidez se está moviendo el punto P cuando la cuerda está en i) la posición 1 y ii) la posición 3? e) Calcule la masa de la cuerda.

9. (16.70) Dos altavoces idénticos están situados en los puntos A y B, separados 2m. Los altavoces son alimentados por el mismo amplificador y producen ondas sonoras con una frecuencia de 784 Hz. La rapidez del sonido en aire es de 344 m/s. Un micrófono pequeño se aleja del punto B sobre una línea perpendicular a la línea que une a A y B (línea BC en la figura) a) ¿A qué distancias de B habrá interferencia destructiva? b) ¿Y constructiva? c) Si la frecuencia es lo bastante baja, no habrá posiciones sobre la línea BC en las que haya interferencia destructiva ¿Qué tan baja ser la frecuencia para que esto suceda? 10. (16.76)Una sirena policiaca con frecuencia 𝑓𝑠𝑖𝑟𝑒𝑛𝑎 está sujeta a una plataforma vibrante. La plataforma y la sirena oscilan verticalmente en movimiento armónico simple, con amplitud Ap y frecuencia 𝑓𝑝 . a) calcule las frecuencias máximas y mínimas del sonido que usted escucharías en una posición directamente arriba de la sirena. c) ¿en qué momento del movimiento de la plataforma se escucha la máxima frecuencia?¿Y la mínima? Explique su respuesta. 17.78. El tamaño de las estrellas. La superficie caliente luminosa de las estrellas emite energía en forma de radiación electromagnética. Es una buena aproximación suponer 𝑒 = 1 para estas superficies. Calcule los radios de las estrellas siguientes (supóngalas esféricas): a) Rigel, la estrella azul brillante de la constelación de Orión, que radia energía a una tasa 𝑑𝑒 2.7𝑥1032 𝑊 y tiene una temperatura superficial de 11,000 𝐾; b) Procyon B (visible sólo con un telescopio), que radia energía a una tasa de 2.1𝑥1023 𝑊 y tiene temperatura superficial de 10,000 K. c) Compare sus respuestas con el radio de la Tierra, el del Sol y la distancia entre la Tierra y el Sol. (Rigel es un ejemplo de estrella super gigante; Procyon B es un ejemplo de estrella enana blanca.) 11. (16.84) Dos altavoces, A y B, radian sonido uniformemente en todas direcciones en aire a 20 ºC , La salida de potencia acústica de A es de 8.00 𝑥 10−4 𝑊 y la de B, 6.00 𝑥 10−5 𝑊. Ambos altavoces vibran en fase a una frecuencia de 172 Hz. Halla la a) diferencia de fase de las dos señales en un punto C sobre la línea que une A a B, a 3 m de B y 4 m de A b) intensidad y el nivel de intensidad de sonido en C debidos al altavoz A si B se apaga, y haga lo mismo para altavoz B si A se apaga.

c) Con ambos altavoces encendidos, determine la intensidad y el nivel de intensidad

de sonido en C. 17.86. Usted vierte 108 𝑐𝑚3 de etanol, a una temperatura de −10.0 °𝐶, en un cilindro graduado inicialmente a 20.0 °𝐶, llenándolo hasta el borde superior. 𝐽 El cilindro está hecho de vidrio con un calor específico de 840 𝐾𝑔 𝐾 y un coeficiente de expansión de volumen de 1.2𝑥10−5 𝐾 −1 ; su masa es de 0.110 kg. La masa del etanol es de 0.0873 𝑘𝑔. a) Cuál será la temperatura final del etanol, una vez que se alcanza el equilibrio térmico? b) Cuánto etanol se desbordará del cilindro antes de alcanzar el equilibrio térmico?