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Trigonometría 089 ●●●
Desde cierto punto del suelo se ve la parte superior de una torre formando un ángulo de 30° con la horizontal. Si nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, ese ángulo es de 60°. Halla la altura de la torre. Llamando h a la altura de la torre y x a la distancia al pie de la torre:
x ⋅ tg 30° = h (x − 75) ⋅ tg 60° = h
冧 → x ⭈ tg 30° = (x ⫺ 75) ⭈ tg 60°
→ x ⭈ tg 30° ⫺ x ⭈ tg 60° = ⫺75 ⭈ tg 60°
–129,75 = 112,53 m 0,57 – 1,73 h = x ⭈ tg 30° = 112,53 ⭈ 0,57 = 64,14 m. La torre mide 64,14 m de altura. → x ⭈ (tg 30° ⫺ tg 60°) = ⫺75 ⭈ 1,73 → x =
090 ●●●
Desde la playa se observan dos barcos. Calcula la distancia que hay entre ellos con los ángulos que se indican.
B
b 60° 50° 20 m
Sea d la distancia que hay entre los dos barcos. Hallamos la medida de b y B. b → b = 20 ⭈ tg 50° = 23,84 m 20 B tg 60° = → B = 20 ⭈ tg 60° = 20 ⭈ 3 = 34,64 m 20 Utilizando el teorema de Pitágoras: d 2 = 202 + (34,64 − 23,84)2 = 516,64 → d = 516,64 = 22,73 m
tg 50° =
Por tanto, los dos barcos distan 22,73 m. 091 ●●●
Desde la cima de una montaña, a una altura de 1.114 m, vemos una aldea y una granja situadas en el valle que está a una altura de 537 m sobre el nivel del mar. Si observamos la aldea con un ángulo de 68° y la granja con uno de 83°: a) ¿Cuál de los dos lugares está más cerca de la montaña? b) Si la montaña, la aldea y la granja se encuentran alineadas, halla la distancia que hay entre la aldea y la granja. a) Está más cerca el lugar que se observa con menor grado, es decir, la aldea. La distancia a la aldea es: (1.114 − 537) · tg 68° = 1.428,13 m. b) La distancia a la granja es: (1.114 − 537) · tg 83° = 4.699,29 m. La distancia entre la aldea y la granja es: 4.699,29 − 1.428,13 = 3.271,16 m.
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SOLUCIONARIO
092 ●●
20 millas El piloto de un avión observa un C A punto del terreno con un ángulo 30° de depresión de 30°. Dieciocho segundos más tarde, el ángulo de depresión obtenido sobre el mismo punto es de 55°. Si vuela horizontalmente y a una velocidad de 400 millas/hora, halla la altitud de vuelo.
La distancia recorrida por el avión es: 400 ·
7
x
55°
h
18 = 20 millas. 3.600
x · tg 55° = h ⎪⎫⎪ ⎬ → x · 1,43 = (x + 20) · 0,58 (x + 20) · tg 30 º = h ⎪⎭⎪ → 0,85 5x = 11,6 → x = 13,65 millas
h = 13,65 · 1,43 = 19,52 millas. La altitud de vuelo es de 19,52 miillas. En un acantilado, situado a 50 m sobre el nivel del mar, se encuentran dos amigos. Uno de ellos observa un barco con un ángulo de depresión de 60°, y el otro mira un avión, situado encima del barco, con un ángulo de elevación de 45°.
45° 50 m
093 ●●●
60°
a) ¿A qué distancia se encuentra el barco de la costa? b) ¿A qué altura vuela el avión? c) ¿Cuál de los dos elementos está más lejos? a) Llamando d a la distancia a la que se encuentra el barco de la costa: d 3 tg 30° = → d = 50 ⭈ tg 30° = 50 ⭈ = 28,87 m 50 3 El barco se encuentra a 28,87 m de la costa. b) Teniendo en cuenta que el avión está situado encima del barco, se obtiene: h → h = 28,87 ⭈ tg 45° = 28,87 m 28,87 El avión vuela a: 50 + 28,87 = 78,87 m de altura sobre el mar.
tg 45° =
c) Siendo d1 la distancia a la que se encuentra el barco, y d2, la del avión: 2 50 d1 = = 50 ⭈ = 57,7 m 3 cos 30° 28, 87 28, 87 28, 87 → d2 = = = 40,8 m d2 2 sen 45° 2 Luego el barco está más lejos de los amigos que el avión.
sen 45° =
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Trigonometría A
094 ●●●
Dos poblaciones, A y B, están situadas en una carretera que va del norte al sur. Otra población, C, a 10 kilómetros en línea recta de la carretera anterior, está situada a 20° al sureste de A y a 30° al sureste de B. ¿Qué distancia separa A de B ?
G
20°
B 30 °
10 = 27,47 km tg 20° 10 BP = = 17,32 km tg 30 º AP =
10 km
P
C
AB = AP − BP = 10,15 km 095 ●●●
La superficie de un terreno de forma de trapecio es 1.200 m2. Sabiendo que tiene dos ángulos de 45° y que la base menor mide 65 m, calcula la base mayor y la distancia entre las bases.
h 45°
45°
x
x
65 cm
tg 45° =
h → x =h x
65 + (65 + 2x ) x =h · h = 1.200 ⎯⎯→ h 2 + 65h − 1.200 = 0 2 ⎪⎧h = 15 →⎨ ⎩⎪⎪h = −80 (solución no válida)) B = 65 + 2x = 5 m La base mayor mide 95 m y la distancia entre las bases es 15 m. 096
¿Cuánto se obtendrá por vender esta parcela si se paga a 300 €/m2?
●●● 12 0
h
m
40° 50 m
A=
120 · (50 · sen 40°) = 1.928,36 m2 2
Precio = 1.928,36 · 300 = 578.508 € x
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SOLUCIONARIO
Calcula la superficie de este terreno.
●●●
D
E 142 m
BAC = 33° 45'
F
CAD = 24° 13'
5 24
1 15
DAE = 42° 15'
C 23 2m
097
m
m
EAF = 33° 41'
A
220 m
B
220 · 245 · sen 33° 45' = 14.972,62 m2 2 232 · 245 · sen 24° 13' = 11.657,55 m2 A CAD = 2 142 · 232 · sen 42° 15' A DAE = = 11.698,17 m2 2 151 · 142 · sen 33° 41' AEAF = = 5.945,9 m2 2 A = ABAC + ACAD + ADAE + AEAF = 44.274,24 m2 A BAC =
098 ●●●
Sin utilizar la calculadora, ordena de menor a mayor. a) cos 24°
sen 113°
cos 292°
b) tg 242°
1,70
a) cos 24° sen 113° = sen (90° + 23°) = cos 23° cos 292° = cos (360° − 68°) = cos 68° En los ángulos agudos, cuanto mayor es el ángulo, menor ess el coseno. cos 292° < sen 113° < cos 24° b) tg 242° = tg (180° + 62°) = tg 62° tg 60° = 3 > 1,70 En los ángulos agudos, cuanto mayor es el ángulo, mayor es la tangente. 1,70 < tg 62°
099 ●●●
Dos lados de un triángulo miden 15 cm y 20 cm. a) ¿Cuál es el área máxima que puede tener ese triángulo? ¿Por qué? b) ¿Qué tipo de triángulo es en ese caso? a) El área de un triángulo es: a · b · sen α sen α ≤ 1 a ·b ⎯⎯⎯⎯→ A ≤ 2 2 15 · 20 A≤ = 150 2
A=
El mayor valor que puede tomar es 150 cm2, cuando el seno vale 1. b) El máximo valor se da cuando el seno es igual a 1, es decir, cuando el ángulo mide 90°, luego es un triángulo equilátero.
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Trigonometría 100 ●●●
Deduce una fórmula para tg (α + β) a partir de la longitud de los segmentos de la figura. E
D
C
F
1m α+β β
A
tg (α + β) =
α
B
AB AF
EN LA VIDA COTIDIANA 101 ●●●
Los datos en los medios de comunicación sobre los incendios que han tenido lugar en el país durante el verano no han sido muy desfavorables. Sin embargo, el último fin de semana se ha producido un incendio en uno de los parques naturales.
Desde uno de los helicópteros de protección civil, situado en el radar en el origen de coordenadas, el piloto observa un fuego en dirección Norte y la situación del lago más cercano a 25° y de la piscina municipal a 120°.
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SOLUCIONARIO
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Desde la torre de control les dan el aviso de que el viento empieza a ser más fuerte, y que es necesario que el incendio sea controlado antes de que se propague.
La distancia al fuego es de 10 km.
Y la distancia al lago es de 20 km.
¿Adónde irán a recoger agua?
Piscina
d1
d d2 F
° 120
10
a
Lago 20 25°
a
Hay que calcular la menor de estas distancias: 20 + d2, d + d1. d2 =
(10 ⋅ sen 65°)2 + (20 − 10 ⋅ cos 65°)2 = 18,2 km → 20 + d 2 = 38,2 km
a = 20 ⋅ cos 25° = 18,13 → d =
d1 =
a 18,13 = = 36, 26 km cos 60° 0,5
(10 ⋅ sen 30°)2 + (36,26 − 10 ⋅ cos 30°)2 = 28,05 → d + d 1 = 64,31 km
Irán a recoger agua en el lago.
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Trigonometría 102 ●●●
El Ayuntamiento ha decidido construir viviendas de protección oficial en un terreno. Para realizar el proyecto han contratado a un estudio de arquitectos.
Los encargados municipales no les han proporcionado las dimensiones del recinto, y uno de los aparejadores ha visitado el terreno para hacer las mediciones.
Luego han presentado el estudio incluyendo redes geodésicas del terreno, formadas por puntos desde los cuales se mide con gran precisión y que, además, son los vértices de triángulos adosados unos a otros.
m 50
33 m
m 30
50° 70° 43 m
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SOLUCIONARIO
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Con estos datos, determina la superficie de terreno que va a ser edificable.
m 30
b
33 m
h'
m 50
h a 50° 70°
43 m
h = 33 · sen 50° = 25,28 m a = 33 · cos 50° = 21,21 m b =
302 − 25,282 = 16,15 m
h' = 43 · sen 70° = 40,41 m A ACD =
37,36 · 25,28 (a + b ) · h = = 472,23 m2 2 2
A ABC =
37,36 · 40,41 (a + b ) · h' = = 754,86 m2 2 2
A = A ACD + A ABC = 472,23 + 754,86 = 1.227,09 m2 La superficie del terreno que será edificable es de 1.227,09 m2.
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