4.1. ANÁLISIS POR RESISTENCIA. Un eje de transmisión es un elemento de sección circular cuya función es la de transmitir
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4.1. ANÁLISIS POR RESISTENCIA. Un eje de transmisión es un elemento de sección circular cuya función es la de transmitir movimiento y potencia. La transmisión del movimiento se realiza a través de otros elementos tales como engranes, poleas, cadenas, etc. Diseñar un eje consiste básicamente en la determinación del diámetro correcto del eje para asegurar una rigidez y una resistencia satisfactorias, cuando el eje transmite potencia bajo diferentes condiciones de carga. El diseño de un eje debe estudiarse a partir de los siguientes puntos de vista: 1.- Análisis por resistencia. · Bajo cargas estáticas. · Bajo cargas dinámicas. 2.- Análisis por rigidez. · Cálculo de deformaciones. · Velocidades críticas. 4.1.1. BAJO CARGAS ESTÁTICAS. En un eje redondo macizo de diámetro d, que se somete a cargas de flexión, axiales y de torsión se desarrollan los siguientes esfuerzos:
Los esfuerzos principales no nulos son:
El esfuerzo de Von Mises (energía de distorsión máxima) es:
Si el análisis o diseño ha de ser con base a la teoría del esfuerzo cortante máximo, entonces el valor admisible de t Max es:
En donde S y = resistencia a la fluencia del material ns = factor de seguridad
Con base a la teoría de la energía de distorsión se tiene que
4.1.2. BAJO CARGAS DINÁMICAS. En cualquier eje rotatorio cargado por momentos estacionarios de flexión y torsión, actuarán esfuerzos por flexión completamente invertida debido a la rotación del árbol, pero el esfuerzo torsional permanecerá estable. Por lo tanto se tiene que
De acuerdo con lo anterior se han desarrollado una serie de teorías para el diseño por fatiga, siendo las más populares: · Relación elíptica ASME para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo. (Norma ANSI B106.1M-1985).
· Relación de Goodman modificada para la fatiga y la energía de distorsión para el esfuerzo.
en donde
Siendo = eS Límite de resistencia a la fatiga de la muestra de viga rotatoria.
Se = límite de resistencia a la fatiga corregido para todos los efectos, excepto Concentración de esfuerzos S y = Resistencia de fluencia del material Su = resistencia última del material Ma = momento flector alternante Tm = Valor promedio del momento torsional 4.2. RESTRICCIONES GEOMÉTRICAS Los sistemas de Diseño Asistido por Computador (CAD) basados en el paradigma de diseño mediante características se desarrollaron con la intención de capturar la llamada intención del diseñador. El objetivo es que la representación almacene información que permita interpretar los deseos del diseñador y, a partir de ella, realizar razonamientos sobre el diseño en curso. Desde el punto de vista del usuario, estos sistemas aumentan su eficacia cuando se les dota de capacidad de diseño paramétrico basado en restricciones geométricas. En el diseño basado en restricciones geométricas, el usuario esboza un croquis que define de manera aproximada la forma del objeto que se desea diseñar y, en algún momento del proceso, el usuario anota el croquis con un conjunto de restricciones que definen de manera precisa el objeto deseado. Ser ‘a el sistema informático el encargado de elucidar si el objeto está o no está bien definido. Caso de estar bien definido, el sistema generará alguna representación que permitira la construcción efectiva del objeto. Un componente, usualmente conocido con el termino sol ver, juega un papel importante en los sistemas CAD basados en restricciones, puesto que ser ‘a el encargado de resolverlas. En general, las variables de los problemas definidos mediante restricciones geométricas (distancias, ´ángulos, etc.) toman valores en dominios continuos. Y el objetivo final es encontrar, si es posible, un conjunto de coordenadas que posicionen los elementos geométricos que componen el objeto de manera tal que se cumplan todas las restricciones.
Así pues, desde el punto de vista de Programación de Restricciones, la resolución de los problemas definidos mediante restricciones geométricas pertenece a la familia de Resolución de Restricciones. Los métodos propuestos para resolver problemas definidos mediante restricciones geométricas son diversos y variados y pueden agruparse en tres grandes familias: ecuacionales, constructivos y de análisis de grados de libertad. Ninguno de ellos es suficientemente general, eficiente y robusto como para que sea aplicable en todos los casos. El resto del artículo se estructura como sigue. En la Sección 2 definiremos de manera precisa el problema a resolver. La Sección 3 realiza un repaso sintético de los diferentes métodos utilizados en la resolución del problema de restricciones geométricas. Finalmente, la Sección 4 presenta, a grandes rasgos, un caso concreto de sol ver basado en una técnica constructiva, que puede caracterizarse de manera adecuada según los conceptos de Satisfacción de Restricciones. Un problema definido mediante restricciones geométricas se caracteriza mediante una tupla (E, O, X, C) donde E es el espacio geométrico considerado, dotado de un sistema de referencia y usualmente euclıdeo. O es el conjunto de objetos geométricos concretos que configuran el problema, escogidos dentro de un repertorio prefijado. X es un conjunto, posiblemente vacío, de variables a determinar. Las variables pueden referirse a elementos geométricos o representar conceptos no necesariamente geométricos. En el segundo caso se denominan variables externas.
C es el conjunto de restricciones. Pueden ser geométricas o ecuacionales. Las restricciones geométricas pertenecen a un conjunto predeterminado de tipos y
siempre involucran o bien un parámetro del problema o bien una variable que denominamos dimensional. El conjunto de restricciones ecuacionales puede ser vacío. El problema de la resolución de un problema definido mediante restricciones se puede enunciar Como Dado un problema de restricciones geométricas (E, O, X, C), 1. ¿Quedan determinadas de manera coherente las posiciones relativas de los elementos geométricos en O de manera tal que se cumplen las restricciones C? En caso afirmativo, 2. Si se asignan valores a las restricciones evaluadas y a las variables externas, ¿existe alguna construcción real sobre los elementos geométricos que cumpla todas las restricciones y ecuaciones? A la hora de enfrentarse con problemas geométricos definidos mediante restricciones, la primera cuestión que debe decidirse es la dimensión del espacio de trabajo E. Si bien el estudio del problema de la resolución de restricciones geométricas en E = R2, ha obtenido un ´éxito notable, todavía quedan por resolver numerosos problemas interesantes. Por ejemplo, la caracterización del dominio de las diferentes técnicas conocidas. El problema en E = R3, aplicable en ´áreas tales como planificación de movimiento de robots, modelado molecular, representación del terreno y demostración automática de teoremas, presenta grandes dificultades tanto de conceptualización como de resolución efectiva y, hasta ahora, el avance ha sido mínimo. Trabajos pioneros en este campo pueden consultarse en Hoffman y Vermeer, [31, 32] y Durand, [16]. En lo que sigue nos ceñiremos a problemas bidimensionales. En los métodos ecuacionales, las restricciones geométricas se representan mediante ecuaciones, de manera que se obtiene un sistema de ecuaciones, en general, no lineales. Posteriormente, el sistema de ecuaciones se resuelve aplicando
alguna
técnica
conocida. Los métodos ecuacionales admiten
restricciones simbólicas porque ´estas se expresan de manera natural como
ecuaciones y son métodos independientes de la dimensión. El cambio de representación produce la pérdida del sentido geométrico del problema. Además, los problemas bien restringidos dan lugar a sistemas de ecuaciones indeterminados, ya que las restricciones definen las posiciones relativas de los elementos geométricos y, por lo tanto, quedan por fijar los grados de libertad correspondientes a una translación y una rotación del objeto rígido. Los métodos ecuacionales, a su vez, pueden clasificarse en función de las técnicas específicas de resolución de los sistemas de ecuaciones. 4.3. EJES HUECOS Casi toda la maquinaria rotatoria esta dotada de flechas de transmisión o simplemente flechas, con el fin de transferir movimiento y par de torsión rotatorios de un sitio a otro. Por lo tanto, el diseñador de maquinas tiene la tarea de diseñar flechas. Por lo general, una flecha transmite a la maquina por lo menos un par de torsión proveniente de un dispositivo impulsor. Algunas veces, las flechas servirán de soporte para engranes, poleas o ruedas dentadas, mismas que transmiten un movimiento rotatorio de una a otra flecha, vía engranes, bandas o cadenas. La flecha podría ser parte integral del impulsor, como la flecha de un motor eléctrico o el cigüeñal de un motor de combustión interna. Las cargas en las flechas de transmisión rotatoria son principalmente de uno de dos tipos: torsión debido al par de torsión transmitido o de flexión proveniente de cargas transversales por engranes, poleas o ruedas dentadas. Estas cargas suelen ocurrir combinadas, ya que, por ejemplo, el par de torsión transmitido puede estar asociado con fuerzas en los dientes de engranes o ruedas dentadas de las flechas. El carácter de las cargas por par de torsión y de las de flexión puede ser uniforme (constante) o variar con el tiempo. Uniformes y variables en el tiempo,
las cargas por par de torsión y a flexión también pueden ocurrir en una misma flecha en cualquier combinación. La reducción de peso y uso de material en elementos de maquinas es una preocupación que constantemente atañe a las personas involucradas en el proceso de diseño y manufactura de estos, sin embargo no se ha profundizado suficientemente en tales aspectos, por ejemplo un eje hueco puede lograr tener una resistencia mecánica similar a la de un eje macizo, siempre que la geometría utilizada sea lo suficientemente apropiada. Una forma acertada de establecer comparaciones entre la resistencia mecánica y rigidez de ejes o árboles macizos y huecos es la utilización de teorías y ecuaciones ampliamente aceptadas y utilizadas en un software que permita comparar mediante tablas o graficas de resultados las hipótesis supuestas Es sabido que la resistencia mecánica volumétrica de un árbol, es decir, la magnitud de las tensiones que surgen en su sección transversal bajo una carga determinada, está definida por el módulo de resistencia a la flexión (Wf) y el módulo de resistencia a la torsión (Wt). Estos módulos de resistencia dependen de la geometría de la sección transversal del árbol. Se desarrollara una comparación entre árboles macizos y huecos, tomando como parámetro comparativo el módulo de resistencia a la flexión (Wf) [2,6-7]: Wfmacizo = Π . d3 / 32 Wfhueco = Π . d3 (1 – c4) / 32 donde: Cideal = do/d para el caso de una sección circular sin entallas de ningún tipo. (d: diámetro exterior, do: diámetro hueco) Para este análisis se realizo un programa de computación [8], que partiendo de un árbol macizo de un diámetro determinado, va incrementando progresivamente la relación (do/d) y calcula para cada una de las relaciones la variación de (Wf) y del área de la sección transversal (A) con
respecto al árbol macizo. Para la tabla de resultados del programa partimos de un árbol de diámetro 50 mm. Estos resultados fueron graficados y se representan en la figura 1:
Figura. 1. Gráfico de variación del módulo de Resistencia a la
Flexión y el área de un árbol de sección circular. Del gráfico podemos destacar los siguientes aspectos Para relaciones Cideal menores que 0.22 la variación del módulo de resistencia a la flexión es menor de un 0.25% y la variación del área es menor de un 0.25%. Para la relación Cideal igual a 0.31 la variación del módulo de resistencia a la flexión es de aproximadamente el 1% sin embargo el área ha disminuido alrededor de un 0.8%. Para la relación Cideal igual a 0.38 la variación del módulo de resistencia a la flexión es de 2.08% y la variación del área alcanza una disminución del 2%. Para la relación Cideal igual a 0.45 el módulo de resistencia a la flexión ha disminuido sólo un 6.2% y el área ha disminuido un 6%.
Para la relación Cideal igual a 0.56 ya el módulo de resistencia a la flexión ha disminuido alrededor de un 10% y la disminución del área es del 9.83%. Para relaciones Cideal mayores que 0.57 la disminución del área es superior del 12% y el módulo de resistencia a la flexión disminuye más del 11%. Analizando los aspectos anteriormente expuestos y tomando como variación máxima el módulo de resistencia a la flexión del 10%, podemos plantear que en pos de disminuir el área (peso) del árbol las relaciones recomendadas están aproximadamente en el rango (0.2 < Cideal < 0.57). En el análisis anterior se considero una sección circular sin ningún tipo de entalla, como se sabe las secciones críticas de los árboles generalmente coinciden con las secciones que soportan elementos de transmisión (ruedas dentadas, poleas, estrellas, etc.), y estos suelen unirse a los árboles mediante chavetas, estrías, etc como se muestra en la figura 2. La variación de la relación (do/d) está limitada por una (do/d)recomendado debido a la resistencia en la zona del chavetero, es decir, que el árbol hueco debe tener un espesor que permita la colocación del chavetero con la resistencia adecuada, la magnitud de esta relación podemos determinarla como:
(do/d)recomendado
=
1
/
1.5345
–
0.2109(d/100)
+
0.062(d/100)2
–
0.0071(d/100)3 [1]
Figura. 2. Sección circular de un eje con chavetero tener en cuenta el chavetero se elaboró un programa con las expresiones de [2], [6-7]:
Wfmacizo = [π.d3 / 32] - [bt(d-t)^2]/2d Wfhueco = [π.d3.(1 – c4) / 32] - [bt(d-t)^2]/2d Donde (b: base de la sección del chavetero, t: altura de la sección del chavetero en el eje), que incrementa la relación (do/d) hasta (do/d) recomendado, para este programa y la tabla de resultados obtenidos por él. El gráfico obtenido es el siguiente:
Figura. 3. Gráfico de variación del módulo de resistencia a la flexión y el área de un árbol de sección circular con chavetero.
4.4. ANÁLISIS POR RIGIDEZ.
El problema de la deflexión en un eje es de suma importancia cuando este efecto es una limitante en el diseño del mismo. Para determinar la deflexión de un eje en cualquier punto, podemos utilizar los siguientes criterios: a).- Método de la doble integración. b).- Método del área de momentos. El “método de la doble integración” recomendado para ejes de sección uniforme, se basa principalmente en determinar la ecuación de la curva elástica, a partir de la ecuación de momentos
El “método del área de momentos” recomendado para ejes de sección variable, está fundamentado en dos teoremas básicos: El primer teorema dice: El ángulo de las tangentes A y B es igual al área del diagrama de momentos flectores entre esos dos puntos divididos por el producto EI.
El segundo teorema dice: La distancia vertical entre el punto B de la elástica y la tangente trazada a la curva por A es igual al momento respecto a la vertical por B del área del diagrama de momentos flectores entre A y B divididas por EI.
4.5. VELOCIDAD CRÍTICA.
Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación debido a las fuerzas de inercia desequilibradas. Esta deformación alcanza su valor máximo en las denominadas velocidades críticas, poniendo en peligro la integridad del sistema [1]. Es por este riesgo de rotura, que se debe evitar trabajar a velocidades cercanas a las críticas. Pero, ¿qué ocurre si una velocidad crítica del eje coincide con la de trabajo de la máquina? Es necesario realizar un rediseño del eje o de los soportes para alejar la velocidad crítica de la de trabajo. Los parámetros que se pueden modificar para variar la velocidad crítica de un eje son: o La geometría y el material del eje o El número de soportes y su distancia o Las características de los soportes (grados de libertad y rigidez) o La magnitud y distribución de las masas que soporta el eje Generalmente, en la industria, es habitual modificar la geometría, el material del eje, el número de soportes o su distancia, ya que su modificación no suele ser una tarea complicada. La magnitud y la distribución de las cargas suele venir definida por la tarea para la que está diseñada la máquina, por lo que es un parámetro difícilmente modificable. La variación de las características de los soportes, es una solución que no se suele plantear, pero que podría resultar ventajoso en ciertas situaciones donde, variar el resto de parámetros no es posible, o no provoca una variación suficiente en el valor de velocidad crítica. 4.6. MATERIALES PARA EJES
Los materiales de uso corriente en Ingeniería se pueden clasificar en dos grandes grupos, a saber: Materiales metálicos Materiales no metálicos
Aleaciones ferrosas Las aleaciones ferrosas se pueden clasificar a su vez en: Aceros y fundiciones de hierro (hierros colados).
Los aceros dependiendo de su contenido de carbono y de otros elementos de aleación se clasifican en: - Aceros simples - Aceros aleados - Aceros alta aleación
Los aceros simples se pueden definir así.- Aleación hierro con carbono con un contenido de éste último en el rango de 0.02 hasta el 2% con pequeñas cantidades de otros elementos que se consideran como impurezas tales como P, S, Mn, Cu, Si, etc. Los aceros simples se clasifican de acuerdo a su contenido de carbono en: - Aceros de bajo carbono - Aceros de medio carbono - Aceros de alto carbono
Cada uno de los grupos anteriores tienen características bien definidas como se muestra a continuación: Aceros de bajo carbono (0.02