APLICACIONES DE LAS INECUACIONES A LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA 1. El producto bruto interno (PBI) de un país está proye
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APLICACIONES DE LAS INECUACIONES A LA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMIA 1. El producto bruto interno (PBI) de un país está proyectado en 𝑡 2 + 2𝑡 + 50 miles de millones de dólares, donde “t” se mide en años a partir de año en curso. Determínese el instante en que el PBI del país sea igual o exceda $58 mil millones Desarrollo: El PBI del país será igual o excederá $58 mil millones cuando 𝑡 2 + 2𝑡 + 50 ≥ 58 Para obtener la solución de la inecuación expresaremos en la forma: 𝑡 2 + 2𝑡 − 8 ≥ 0 donde al factorizar se tiene (t + 4)(t - 2) ≥ 0 . Aplicando el criterio de los puntos críticos se tiene: +
-
+ -4
2
El conjunto solución de la inecuación es < −∞, −4] ∪ [2, ∞ > como t debe ser positivo, entonces se considera t ≥ 2 es decir que, el PBI será igual o excederá por vez primera a los $58 mil millones, cuando t=2 es decir dentro de dos años. 2. Para una compañía que fabrica termostatos, el costo combinado de mano de obra y material es de $5 por termostato. Los costos fijos (los costos de un periodo dado sin importar la producción) son de $60,000. Si el precio de venta de un termostato es de $7. ¿Cuántos debe venderse para que la compañía obtenga utilidades? SOLUCION: Como
Ganancia = ingreso total – costo total
Entonces debemos encontrar el ingreso total y el costo total y después determinar cuándo su diferencia es positiva. Sea q = el número de termostato que deben ser vendidos, entonces su costo es 5q Luego el costo total para la compañía es 5q + 60,000, el ingreso total de q termostatos será 7q y como: Ganancia = Ingreso total – costo total ≥ 0
Entonces7𝑞 − (5𝑞 + 60000) > 0, de donde 2q > 60000 entonces q > 30000 por lo tanto se deben vender al menos 30,001 termostatos para que la compañía obtenga utilidades.
3. El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce al precio de $60 cada artículo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la operación de la planta. Encuentre el número de unidades que debería producir y vender para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana. Solución: Sea X = número de artículos producidos y vendidos a la semana. Como el costo total de producir X unidades es de $3000 más $40 por artículo, es decir: (40x + 3000) dólares el ingreso obtenido por vender X unidades a $60 cada una será de 60x dólares, por lo tanto: Utilidad = ingresos – costos = 60x − (40x + 3000) = 20x − 3000 Como debe tener una ganancia de al menos $1000 al mes, tenemos la inecuación: Utilidad ≥ 1000 de donde 20x − 3000 ≥ 1000 entoncesx ≥ 200 Por lo tanto, el fabricante debe producir y vender al menos 200 unidades cada semana
4. La gerencia de la misma Antamina, un gran consorcio, ha estimado que necesita X miles de dólares para adquirir 100,000(−1 + √1 + 0.001𝑥) acciones de la compañía telefónica. Determinar el dinero que necesita Antamina para adquirir un mínimo de 100,000 acciones de telefónica. Solución: Calculamos la cantidad de dinero que Antamina necesita para adquirir un mínimo de 100,000 acciones resolviendo la inecuación. 100,000(−1 + √1 + 0.001𝑥) ≥ 100,000 de donde (−1 + √1 + 0.001𝑥) ≥ 1 entonces √1 + 0.001𝑥 ≥ 2 elevando al cuadrado 1 + 0.001x ≥ 4 → 0.001x ≥ 3 , entonces x ≥ 3000 por lo tanto Antamina necesita al menos $3000,000 .
5. Un constructor debe decidir si renta o compra una máquina excavadora. Si renta la máquina el pago mensual sería de $600 (con base en un año), y el costo diario (gas, aceite y conductor) sería de $60 por cada día que sea utilizada. Si la compra, su costo fijo anual sería de $ 4000, y los costos por operación y mantenimiento serían de $80 por cada día que la maquina sea utilizada ¿ Cuál es el número mínimo de días al año que tendría que usarse la máquina para justificar la renta en lugar de la compra? Solución: Determinaremos expresiones para el costo anual de la renta y el de la compra, así encontraremos cuando el costo de la renta es menor que el de la compra. Sea d = el número de días de cada año en que la máquina es utilizada. Si la maquina rentada, el costo total anual consistiría en el pago de la renta, que es (12)(600) y los cargos diarios de 60d, si la máquina es comprada, el costo por año será 4000 + 80d , queremos Costo renta < costo compra (12)(600) + 60d < 4000 + 80d → 7200 + 60d < 4000 + 80d, de donde 3200 < 20d → 160 < d, por lo tanto, el constructor debe utilizar la máquina al menos 161 días para justificar su renta.
6. Las ventas mensuales X de cierto artículo cuando su precio es P dólares están dadas por 𝑃 = 200 − 3𝑥. El costo de producir X unidades del mismo artículo es 𝐶 = (650 + 5𝑥) dólar ¿Cuántas unidades de este artículo deberían producirse de modo que la utilidad mensual sea por lo menos de 2500 dólares? Solución Sea R= el ingreso en $ obtenido por vender X unidades al precio de P dólares por unidad, es decir: R = X (precio por unidad) = x(p) = x (200 – 3x) → R = 200x − 3x 2 C = el costo en $ de fabricar X unidad, es decir : C = 650 + 5x Como utilidad = Ingresos – Costos = (200x − 3x 2 ) − (650 + 5x) = 195x − 3x 2 − 650 Como la utilidad debe ser al menos de $2500, es decir: Utilidad ≥ 2500, de donde 195x − 3x 2 − 650 ≥ 2500, simplificando
x 2 − 65x + 1050 ≤ 0, factorizando se tiene: (x − 30)(x − 35) ≤ 0, aplicando puntos críticos +
-
+ 30
35
La solución es 30 ≤ 𝑥 ≤ 35 Luego para obtener una utilidad de al menos $2500 al mes, el fabricante debe producir y vender cualesquiera unidades de 30 a 35. 7. Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50. El ingreso recibido de los distribuidores es de $ 1.40 por revista. El ingreso por publicidad es de 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de 10000 ¿Cuál es el número mínimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades? Solución: Sea q= número de revistas vendidas El ingreso total recibido de los distribuidores es de 1.40q y el recibido por publicidad es (0.10)[(1.40)(q − 10000)] el costo tota de la publicidad es 150q Como utilidad = ingreso – costo > 0 1.40q + (0.10)[(1.40)(q − 10000)] − 1.50q > 0 → 1.4q + 0.14q − 1400 − 1.5q > 0 0.04q − 1400 > 0 → 0.04q > 1400 → q > 35000 Por lo tanto el número total de revistas debe ser mayor que 35000, es decir que al menos 35001 ejemplares deben ser vendidos para garantizar utilidades.