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• Bautista Aldo

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4.2-METODOS DE APLICACIÓN 1. METODO DE SUPERPOSICION Como método alternativo para la evaluación de pendientes y ordenadas de la elástica se pueden utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas, para obtener por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas más complicadas. Este procedimiento llamado superposición, determina la pendiente y de flexión en un punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones producidas en ese mismo punto, por cada una de las cargas cuando actúan por separado. A continuación se enumeran los pasos a seguir con este método: a)

Seleccionamos

tantas

reacciones

redundantes

indeterminación

como

grado

de

tenga la viga, tratando

siempre que la viga primaria sea estable y presente estados de carga contenidos en las tablas de superposición. b) Asumimos las reacciones anteriores como cargas externas. c) Se plantea un total de casos de carga o sub-problemas equivalente al número de

cargas externas más las reacciones escogidas como

redundantes. d) Se asocia un caso de deformación, con cada reacción redundante, es así como una reacción tipo “fuerza” se corresponde con una deformación tipo “flecha o deflexión”, mientras que una reacción tipo “momento” se asocia con una deformación tipo “giro”. Estas deformaciones deben ocurrir en el mismo punto de aplicación de las reacciones redundantes. e) Se plantean tantas ecuaciones de deformaciones compatibles como sea el número de reacciones redundantes. Para ello se plantea que las deformaciones asociadas tengan el valor de deformación de la viga original y su curva elástica en los puntos específicos, que suele ser en los apoyos

g) Se tendrá un número equivalentes de ecuaciones y de reacciones redundantes. Se resuelve el sistema, dando como resultado los valores de las reacciones redundantes. h) Se encuentran las demás reacciones no redundantes, por las ecuaciones de equilibrio estático. 2. METODO DE TRES MOMENTOS Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase. Esto da suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma:

Dónde: M1≡ Momento primer apoyo; M2≡ Momento segundo apoyo; M3≡ Momento tercer apoyo;

≡ Término de cargas primer tramo;

≡ Término de cargas segundo tramo;

h1≡ Diferencia de altura entre el primer y segundo apoyo; h2≡ Diferencia de altura entre el segundo y tercer apoyo.

La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo indicado en la Figura 7. En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones simultáneas para

determinar los momentos

desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de tramos contiguos (véase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos.

3- METODO DE DOBLE INTEGRACION Primero se generan las ecuaciones de deformaciones compatibles, tantas como grado de indeterminación tenga la estructura, mediante un procedimiento similar al descrito para calcular las deformaciones en vigas isostáticas. En este caso las condiciones de borde o de frontera cinemática encontradas, tendrá que ser igual al grado de indeterminación(G.I) más dos, para poder encontrar los valores de las dos constantes de integración C1 y C2.: No Condiciones de borde = G.I + 2 Con estas ecuaciones generadas por deformaciones, más las ecuaciones de equilibro respectivas, se tendrá el número suficiente para calcular todas las reacciones externas de la viga. 4. METODO DE CROSS. Este método desarrollado por Hardy Cross en 1932, parte de una estructura ideal cuyos nodos están perfectamente rígidos, lo que obliga que para llegar a la estructura real es necesario realizar dos pasos: 1). Distribuir los momentos de desequilibrio que se presentan en cada nudos. 2). Estos momentos de desequilibrio distribuidos afectan el otro extremo de la barra. a) Su cuantificación se hace a través de un factor de transporte. Al realizar este transporte se vuelve a desequilibrar la viga lo que obliga a realizar una nueva distribución. Este proceso termina cuando el momento distribuido,

sea tan pequeño que no afecte el resultado del momento final. Secuela de cálculo: b) Se consideran perfectamente empotrados todos los apoyos y se calculan los momentos de empotramiento. c) Se calculan las rigideces para cada barra con la fórmula R=(4EI)/l; en caso de que todas las barras de la viga sean del mismo material la fórmula se podrá reducir a R=(4I)/l; si además de estos todas las barras tienen la misma sección podemos utilizar la fórmula R=4/l. d) Se calculan los factores de distribución por nodo y por barra a través de la fórmula fd= ri/Sri, que significa la rigidez de la barra i entre la suma de las rigideces de las barras que concurren a ese nodo. Para el caso de los extremos libremente apoyados o en cantiléver el factor de distribución es 1 y si es empotrado 0. e) Se hace la primera distribución multiplicando el momento desequilibrado por los factores de distribución de las barras que concurren a ese nodo, verificando que la suma de los momentos distribuidos sea igual al momento de desequilibrio. Cuando los momentos tengan el mismo signo, el momento desequilibrado se encuentra restando al mayor el menor, y cuando son de diferente signo se suman. A los momentos distribuidos en los nodos centrales se le coloca signo negativo (-) al menor y positivo (+) al mayor, en los extremos siempre se cambia el signo. e) Se realiza el primer transporte; los momentos distribuidos se multiplican por el factor de transporte ft= 0.5 para encontrar los momentos que se van a transmitir al otro extremo de la barra y siempre al transportarlo se le cambia el signo. f) Se repiten los dos pasos anteriores hasta que el momento distribuido sean menores del 10% de los momentos de empotramiento. Generalmente esto sucede en la 3a o 4a distribución. g)

Los momentos finales se encontraran sumando todos los momentos distribuidos y transportados; verificando que el momento final de las barras que concurren al nodo sean iguales.