• Author / Uploaded
• Leonardo Lunasco

Citation preview

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL LA PLATA

ESTABILIDAD

ING. LISANDRO BALLARIO, MBA 2003. ED. 2013

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

SISTEMAS RETICULADOS 1.

GENERALIDADES. ......................................................................................................... 3

2.

RELACIÓN ENTRE EL NÚMERO DE BARRAS Y DE VÉRTICES. CONDICIÓN DE RIGIDEZ. .............................................................................. 4

3.

VÍNCULOS EXTERNOS. DETERMINACIÓN DE REACCIONES. ............................................. 6

4.

TIPOS DE RETICULADOS. .............................................................................................. 7

5.

ESFUERZOS EN RETICULADOS. ..................................................................................... 9

6.

DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES EN LAS BARRAS. ................................................... 9

6.1.

MÉTODO ANALÍTICO PROPIAMENTE DICHO. MÉTODO DE LOS NUDOS. ................................................................................................................ 9

6.2.

MÉTODO GRÁFICO DE CULLMAN. ................................................................................ 17

6.3.

MÉTODO GRÁFICO – NUMÉRICO DE RITTER. ............................................................... 19

6.4.

BIBLIOGRAFÍA. ........................................................................................................... 21

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 1

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 2

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

1.

GENERALIDADES.

Denominamos barra a toda chapa cuya dimensión transversal sea pequeña en relación con su longitud, de tal manera que pueda representarse mediante su eje. Si tenemos, como vemos en la figura, dos o más barras articuladas en un punto N, esta articulación recibe el nombre de nudo o vértice.

Supongamos la cadena cinemática abierta de la figura, compuesta por tres barras articuladas en N1 y N2.

El sistema de la figura tiene 3  3  2  2  5 grados de libertad, recordemos que cada barra independiente tiene tres grados de libertad y que cada articulación intermedia que conecta dos barras, restringe dos grados de libertad. Si unimos los extremos de las barras b1 y b3 mediante una articulación, el nuevo sistema tendrá 3  3  3  2  3 grados de libertad, comportándose como rígido e isostático interiormente, mientras que, exteriormente, posee tres grados de libertad los cuales los podemos restringir con apoyos externos como vimos anteriormente.

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 3

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Si ahora agregamos al triángulo anterior, dos barras en los nudos N2 y N3 y las articulamos en el N4, tendremos un nuevo sistema isostático, libre en el plano.

De esta manera, articulando en los nudos, nuevas barras a su vez articuladas en sus extremidades de dos en dos, formamos un sistema isostático, al cual denominamos sistema reticulado.

2.

RELACIÓN ENTRE EL NÚMERO DE BARRAS Y DE VÉRTICES. CONDICIÓN DE RIGIDEZ.

En párrafos anteriores vimos que en el triángulo simple teníamos tres barras y tres nudos, a éste le íbamos agregando pares de barras que, al articularse entre sí, originaban nuevos vértices. Si llamamos n al número de pares de barras que se agregan al triángulo original, el número total de barras será:

b  3  2n Como cada par de barras da origen a un nudo, el número de nudos será:

N  3 n Despejando n de la segunda ecuación y reemplazándola en la primera, tenemos: Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 4

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

b  3  2( N  3)  3  2 N  6 

b  2N  3

Esta expresión corresponde a la condición de rigidez de un reticulado plano. Esta condición necesaria pero no suficiente, establece que para que el sistema reticulado sea isostático, el número de barras tiene que ser igual al doble de la cantidad de nudos menos tres. La otra condición que debe cumplir este sistema para que sea isostático, es que la distribución de los elementos sea conveniente.

En el reticulado de la figura se cumple la expresión anterior:

b9 N 6

b  2N  3



9  2 6  3 99

Sin embargo, el cuadrilátero formado por N1, N2, N3, N4, es hiperestático y el formado por N2, N4, N5, N6, es hipostático. De no cumplirse la expresión anterior y si se verifica que b  2 N  3 , el sistema es hiperestático, y si se verifica que b  2 N  3 , el sistema es hipostático.

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 5

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

3.

VÍNCULOS EXTERNOS. DETERMINACIÓN DE REACCIONES.

Como vimos anteriormente, un sistema reticulado isostático interiormente, es rígido y exteriormente se comporta como una única chapa, por lo que sus condiciones de vínculos externos son las vistas para aquéllas, esto es, lo podemos sustentar a tierra mediante la aplicación de tres vínculos externos, por ejemplo:

Para determinar las reacciones de vínculo, lo hacemos planteando dos ecuaciones de proyección y una de momentos:

F F M

X

0

Y

0 i

0

También puede presentarse el caso de cadenas de vigas de reticulados, como muestra la figura:

Las reacciones las determinamos de la misma manera que en el caso visto para cadenas cinemáticas de dos chapas:

F M

X

0 IZQ M

0 ó

F M

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Y

0

DER M

M

i

0

0

Pág. 6

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

4.

TIPOS DE RETICULADOS.

Estos sistemas se utilizan, por ejemplo, en la construcción de techos, tramos de puentes y torres para sostén de tanques o líneas eléctricas de alta tensión. Para construcción de techos, principalmente en galpones o naves industriales, podemos citar: a) Este tipo es el más simple y se construye generalmente de acero o madera. Se encuentra sustentado a tierra mediante un apoyo doble y otro fijo. En este tipo de reticulado, podemos distinguir dos tipos de barras, de cordón y de alma. Éstas últimas, si son verticales se denominan montantes, y las inclinadas diagonales. b) Este sistema recibe el nombre de Armadura Inglesa o Cercha.

c) Estamos frente a un reticulado compuesto denominado Polonceau, empleado para luces de cierta magnitud. Está formado por dos chapas reticuladas S1 y S2 vinculadas mediante una articulación relativa en C y una biela m, de modo de constituir una única chapa rígida vinculada a tierra mediante los apoyos en A y en B.

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 7

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Para la construcción de puentes, las vigas de reticulado pueden ser de cordones paralelos, semiparabólicos o parabólicos.

En la figura anterior se muestran estos tipos de vigas, en los que se ha utilizado el sistema de reticulado denominado Pratt. Por otro lado encontramos la viga Warren, la cual puede tener o no montantes, se caracteriza porque sus diagonales cambian de dirección en mallas sucesivas y en algunos casos, se utilizan contradiagonales. La viga Warren formada con contradiagonales es un reticulado compuesto.

La figura siguiente muestra otro tipo de reticulado, denominado Viga K.

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 8

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

5.

ESFUERZOS EN RETICULADOS.

La determinación de esfuerzos en barras es un problema similar al estudio de los esfuerzos internos (MNQ) en las vigas de alma llena. En general, las cargas o fuerzas exteriores actúan sobre los nudos del reticulado, con excepción del peso propio de las barras, que en este tipo de estructuras es relativamente pequeño y puede considerarse concentrada en los nudos. Los esfuerzos en las barras de un reticulado, son exclusivamente de tracción o compresión. Se entiende por esfuerzo de tracción, que actúa sobre una barra, a la acción que producen dos fuerzas T, iguales y de sentido opuesto, que actúan sobre los extremos de dicha barra en forma tal que tienden a extenderla, se le asigna signo positivo (+).

Contrariamente, el esfuerzo de compresión, es provocado por dos fuerzas T que tienden a comprimir a la barra. Se le asigna signo negativo (-).

6.

DETERMINACIÓN DE LAS TENSIONES EN LAS BARRAS.

La determinación de las tensiones en las barras de los reticulados, considerados estáticamente Isostáticos interiormente (nudos articulados), se efectúa mediante procedimientos analíticos y gráficos. Estudiaremos el método analítico propiamente dicho o método de los nudos, el método gráfico de Cullman y el método gráfico – analítico de Ritter. De los cuales, estos dos últimos se refieren particularmente a la determinación de los esfuerzos en una determinada sección del reticulado.

6.1.

MÉTODO ANALÍTICO PROPIAMENTE DICHO. MÉTODO DE LOS NUDOS. Sea el reticulado de la figura, sometido a un estado de cargas Pi.

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 9

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Para que el sistema sea isostático, deberá cumplirse la ecuación:

b  2N  3 tenemos:

b = 11 barras N = 7 nudos



b  11  2  7  3  11

Este sistema isostático, interior y exteriormente, presenta como incógnitas: -

Tensiones en cada una de las barras:

-

Reacciones de apoyo ( R1H , R1V , R7 ):

-

Total:

11 incógnitas. 3 incógnitas. 14 incógnitas.

Las condiciones de equilibrio estático de las fuerzas que concurren a cada nudo, fuerzas incógnitas (tensiones en barras y reacciones de vínculo) y conocidas (fuerzas exteriores Pi), nos permiten plantear dos ecuaciones para cada nudo, ya que en cada uno de ellos, debe cumplirse que la suma de las proyecciones de todas las fuerzas que concurran al mismo, sobre los ejes X, Y, sean nulas. Por ejemplo, en el nudo 4:

F F

X

 T24  T46  T3X4  T4X5  0

Y

  P4  T3Y 4  T4Y5  0

El número de ecuaciones que disponemos es igual a 2 N , en nuestro caso, 2  7  14 ecuaciones, número que coincide con el de las incógnitas, constituyendo un sistema de ecuaciones que nos permite determinarlas. Para resolver un reticulado mediante este método, el primer paso consiste en la determinación de las reacciones de vínculo. Al tratarse de una sola chapa, las determinamos mediante las tres ecuaciones de la estática.

1)

F

X

0

2)

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

F

Y

0

3)

M

i

0

Pág. 10

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Una vez determinadas las reacciones de vínculo, debemos plantear el equilibrio en cada nudo del reticulado, para esto, como vimos en párrafos anteriores, disponemos de dos ecuaciones de proyección por nudo, lo que significa, que en el nudo a analizar, no podemos tener más de dos incógnitas. Esto significa, que debemos ir determinando las tensiones en los nudos en forma progresiva, comenzando por aquél que no presente más de dos incógnitas. Por ejemplo, el nudo 4 visto anteriormente, en primer medida no lo podemos resolver debido a que tenemos cuatro incógnitas y solo dos ecuaciones. EJEMPLO. Sea el reticulado de la figura, en el cual deseamos conocer los esfuerzos en todas sus barras.

Quitamos los vínculos y colocamos las reacciones que éstos originan, supuestas en sentido positivo, y planteamos las tres ecuaciones de la estática:



1) 2) 3)

F F M

X

 R1  0

Y

 R1V  R7  2tn  4tn  2tn  0 i



 R7 15m  2tn  2.5m  4tn  7.5m  2tn  12.5m  0

R1  0

de 1)

5tnm  30tnm  25tnm 15m

de 3)

R7 

de 2)

R1V  2tn  4tn  2tn  4tn

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

R7  4tn R1V  4tn

Pág. 11

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Colocamos los sentidos correctos de las reacciones.

Para comenzar a determinar los esfuerzos en las barras, debemos comenzar por algún nudo que no presente más de dos incógnitas, en nuestro caso, pueden ser los nudos 1 ó 7.

NUDO 1:



  38º39'35' ' cos  0.7809 sin   0.6247

2)

F F

de 2)

T12  

de 1)

T13  T12  cos  (6.4tn)  0.7809

1)

X

 T13  T12  cos  0

Y

 R1V  T1 2  sin   0

R1V 4tn  sin  0.6247

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA



T12  6.4tn



T13  5.0tn

Pág. 12

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Colocamos los sentidos correctos y los esfuerzos obtenidos en el reticulado:

Observamos que la barra 1-2 está comprimida y la barra 1-3 está traccionada. Vemos ahora que los únicos nudos que no tienen más de dos incógnitas son los nudos 2 y 7, por lo que debemos continuar analizando por cualquiera de éstos.

NUDO 2:





  38º39'35' ' cos  0.7809 sin   0.6247

2)

F F

1)

6.4tn  0.7809  T24  T23  0.7809  0

2)

6.4tn  0.6247  2tn  T23  0.6247  0

de 2)

T23 

de 1)

T24  6.4tn  0.7809  3.2  0.7809

1)

X

 T12  cos  T2 4  T23  cos  0

Y

 T12  sin   2tn  T23  sin   0

6.4tn  0.6247  2tn 0.6247



T23  3.2tn



T13  7.5tn

Colocamos los sentidos correctos y los esfuerzos obtenidos en el reticulado:

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 13

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

NUDO 3:





1) 2)

F F

  38º39'35' ' cos  0.7809 sin   0.6247

X

 5tn  3.2tn  cos  T35  T34  cos  0

Y

 3.2tn  sin   T34  sin   0



T34  3.2tn



T35  10.0tn

Colocamos los sentidos correctos y los esfuerzos obtenidos en el reticulado:

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 14

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

NUDO 4:





1) 2)

F F

  38º39'35' ' cos  0.7809 sin   0.6247

X

 7.5tn  3.2tn  cos  T46  T45  cos  0

Y

 4tn  3.2tn  sin   T45  sin   0



T45  3.2tn



T46  7.5tn

Colocamos los sentidos correctos y los esfuerzos obtenidos en el reticulado:

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 15

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

NUDO 5:





1) 2)

F F

  38º39'35' ' cos  0.7809 sin   0.6247

X

 10tn  3.2tn  cos  T57  T56  cos  0

Y

 3.2tn  sin   T56  sin   0



T56  3.2tn



T35  5.0tn

Colocamos los sentidos correctos y los esfuerzos obtenidos en el reticulado:

NUDO 6:





1) 2)

F F

  38º39'35' ' cos  0.7809 sin   0.6247

X

 7.5tn  3.2tn  cos  T67  cos  0

Y

 2tn  3.2tn  sin   T67  sin   0

 Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

T67  6.4tn Pág. 16

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Colocamos los sentidos correctos y los esfuerzos obtenidos en el reticulado:

Quedando de esta manera resuelto el reticulado.

6.2.

MÉTODO GRÁFICO DE CULLMAN.

Este método está basado en el procedimiento homónimo para descomponer una fuerza en tres direcciones no concurrentes. Es un procedimiento gráfico que por su esencia, impone trabajar simultáneamente con los esfuerzos en tres barras, cuyos ejes no deben ser concurrentes. Consideramos la sección n-n del reticulado de la figura. Determinaremos los esfuerzos en las barras que esta sección interfecta, esto es, las barras 2-4, 3-4 y 3-5.

El sistema se encuentra en equilibrio debido a que el conjunto de fuerzas activas Pi y reactivas Ri, también lo están. Supongamos que eliminamos las barras afectadas por la sección n-n (2-4, 3-4 y 3-5) de manera tal que el sistema quede dividido en dos chapas independientes, los cuales no se encontrarán en equilibrio por no estarlo los sistemas de fuerzas que solicitan a cada uno de ellos. Si queremos restablecer el equilibrio de las chapas, será necesario aplicar a cada una de ellas fuerzas que, compuestas con las actuantes, originen sistemas nulos. Estas fuerzas tendrán por recta de acción a los ejes de las barras suprimidas y materializarán las tensiones en las barras. Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 17

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Las fuerzas Pi y R1V que solicitan a la chapa izquierda admiten un resultante Ri que denominamos resultante izquierda, por serlo de las fuerzas que actúan a la izquierda de la sección considerada. Esta resultante debe encontrarse en equilibrio con las fuerzas T2-4, T3-4 y T3-5. Para hallar la intensidad y sentido de estas fuerzas, debemos descomponer Ri en sus direcciones, cambiando luego el sentido de las componentes. El cambio de sentido se debe a que las componentes halladas de Ri actúan sobre los nudos de la derecha (nudos 4 y 5). En los nudos opuestos (2 y 3), el sentido del esfuerzo es el contrario. Por lo expuesto y continuando con nuestro ejemplo, en primera media determinamos la resultante izquierda y su punto de aplicación mediante la utilización del polígono funicular.

Ahora, aplicando el método de Cullman, descomponemos esta resultante en las direcciones de los esfuerzos buscados. Estos esfuerzos, actúan, como se expresó anteriormente, en los nudos 4 y 5, por lo que debemos cambiarle el sentido para aplicarlos en los nudos 2 y 3.

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 18

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

T34  2.92tn

6.3.

T24  10.67tn

T35  9.63tn

MÉTODO GRÁFICO – NUMÉRICO DE RITTER.

Una vez determinada la Resultante izquierda y colocadas las tensiones en las barras, el procedimiento de Ritter consiste en expresar las condiciones de nulidad de momentos, eligiendo como centros de momentos, puntos para los que se anulen dos de ellos, resultando en definitiva, tres ecuaciones independientes con una incógnita cada una.

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 19

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

Tomando momentos en A:

T34  d 3  Ri  d A

Ri  d A 2.5tn  3.01m  d3 2.57m



T34 



T34  2.92tn



T24 



T24  10.67tn



T35 



T35  9.63tn

Tomando momentos en B:

T24  d1  Ri  d B

Ri  d B 2.5tn  5.51m  d1 1.29m

Tomando momentos en C:

T35  d 2  Ri  d C

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Ri  d C 2.5tn  8.01m  d2 2.08m

Pág. 20

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL

ESTABILIDAD

FACULTAD REGIONAL LA PLATA.

6.4.

BIBLIOGRAFÍA. Estabilidad 1. Fliess. (Kapeluz) Curso Medio de Estática Gráfica. Enrique Panseri. (Construcciones) Ciencia De La Construcción. Belluzzi — (Tomos 1, 2 y 3) (Aguilar) Estática Aplicada y Resistencia de Materiales. Stussi (Dunod) Estática. J.L. Merian. (Reverte) Mecánica de Construcción Tomos 1 y 2. V.A. Kiqeliov (Mir)

Profesor: Ing. Lisandro Ballario, MBA

Pág. 21