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• vladimir

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3.K2 Flujo radial entre dos discos paralelos:

Una parte de un sistema de lubricaci´on,consta de dos discos circulares entre los que fluye radialmente el lubricante. El flujo se debe a una diferencia de presi´on existente entre los radios interno y externo r1 y r2 . El sistema est´a representado en la figura 3,6 − 1

a) Escriba las ecuaciones de continuidad y movimiento para el sistema de flujo, suponiendo que el flu´ıdo es Newtoniano,incompresible,laminar y estacionario. Connsidere solamente la regi´on r1 y segundo que el flujo est´a dirigido radialmente de forma que Vθ = Vz = 0 b) Demostrar que la ecuaci´on de continuidad permite simplificar la ecuaci´on de movimiento para obtener: dP µ d2 φ φ2 + (1) −ρ[ 3 ] = r dr r dz 2 en la que φ = rVr , es una funci´on exclusiva de z.¿Por qu´e φ es independiente de r? c) Se puede demostrar que cuando se descarta el t´ermino del lado izquiero de la igualdad,

1

la ecuaci´on de movimiento puede integrarse para obtener: 0 = δP + [µln

r2 d2 φ ] r1 dz 2

(2)

d) Demostrar que esta u ´ltima ecuaci´on conduce al siguiente perfil de velocidades: Vr (r, z) =

b2 δP z 2 r2 [1 − ( ) ] 2µrln r1 b

(3)

e) Demostrar finalmente, que la velocidad volm´etrica de flujo Q a trav´es de la rendija viene dada por: 4πb3 δP (4) Q= 3µln rr21 ´ SOLUCION: a) Ecuaci´on de continuidad 1 d (ρrVr ) = 0 r dr

(5)

dVr dP d 1 d d2 Vr ρ[Vr ]=− + µ[ ( (rVr ))] + dr dr dr r dr dz 2

(6)

Ecuaci´on de movimiento

φ = rVr φ Vr = r

(7) (8)

b) Sustituyendo Vr φ d φ dP d2 φ ρ ( )=− + [µ 2 ( )] r dr r dr dz r 2 φ d 1 dP d2 φ2 ρ 2 ( )=− + µ 2( ) r dr r dr dz r 2 ρφ dP µ d2 φ − 3 =− + r dr r dz 2 2

(9) (10) (11)

c) φ2 = 0

(12) 2 2

0=

−dp µ d φ + dr r dz 2 dp µ d2 φ = dr r dz 2

(13) (14)

d) φ = rV r

(15)

d2 φ δp =− 2 dz µln rr21

(16)

d drV r δp =− dz dz µln rr21

(17)

drV r δp =− + C1 dz µln rr12

(18)

1) Condiciones de frontera rV r = −

δp Z 2 + C2 µln rr12 2

C2 = − rV r = −

δp z 2 δp b2 + µln rr12 2 µln rr12 2

Vr =

(20) (21)

δp [b2 − z 2 ] 2µln rr21

(22)

δp [b2 − z 2 ] 2µrln rr21

(23)

δpb2 z 2 r2 [1 − ( ) ] 2µrln r1 b

(24)

rV r = Vr =

δp b2 µln rr21 2

(19)

3

e) b2 δp Z b Q = 2π rV rdz = 2π[ ] rdz 2µrLn rr21 −b −b Z b

Q=

2πb2 δp Z b r dz 2µrLn rr12 −b

2πb3 δp Z 1 (1 − ε2 )dε Q= 2µLn rr21 −1 Q=

(25) (26) (27)

2πδpb3 1 r2 (2)[1 − ] 2µLn r1 3

(28)

πδpb3 4 [ ] µLn rr21 3

(29)

4πδpb3 3µLn rr21

(30)

Q= Q=

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