GOULD, EPPEN, SCHMIDT, Capitulo 3 – Programación Lineal Ejercicio 3.5 Planificación financiera. Willie Hanes es presiden
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GOULD, EPPEN, SCHMIDT, Capitulo 3 – Programación Lineal Ejercicio 3.5 Planificación financiera. Willie Hanes es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $100,000. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule usted un PL para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera.
Definición de variables: x1 : numero de acciones de gofer crude x2 : numero de acciones de can oil x3 : numero de acciones de sloth petroleum Función Objetivo: Max Z = 7x1 + 3x2 + 3x3 Restricciones: 60x1 + 25x2 + 20x3 ≤ 100000 60x1 ≤ 60000 25x2 ≤ 25000 20x3 ≤ 30000 x1 , x2 , x3 ≥ 0 Modelo Matemático: Max Z = 7x1 + 3x2 + 3x3 S.A. 60x1 + 25x2 + 20x3 ≤ 100000 60x1 ≤ 60000 25x2 ≤ 25000 20x3 ≤ 30000 x1 , x2 , x3 ≥ 0
Ejercicio 3.6 Problema de integración. Douglas E. Starr, administrador de la perrera Heavenly Hound Kennels, Inc., ofrece alojamiento en plan de pensión para mascotas. La comida de los perros alojados en la perrera se prepara mezclando tres productos granulados, con lo cual se obtiene una dieta bien balanceada para los canes. La información sobre los tres productos se muestra en la siguiente tabla. Si Douglas quiere asegurarse de que cada uno de sus perros ingiera diariamente cuando menos 8 onzas de proteínas, 1 onza de carbohidratos y no más de 0.5 onzas de grasas, ¿qué cantidad de cada producto en grano deberá incluirse en el alimento de los perros a fin de minimizar los costos de Douglas? (Nota: 16 onzas = 1 libra.)
Definición de variables: x1 : libras de producto en grano A x2 : libras de producto en grano B x3 : libras de producto en grano C Función Objetivo: Min Z = 0.45x1 + 0.38x2 + 0.27x3 Restricciones: 0.62x1 + 0.55x2 + 0.36x3 ≥ 128 0.05x1 + 0.10x2 + 0.20x3 ≥ 16 0.03x1 + 0.02x2 + 0.01x3 ≤ 8 x1 , x2 , x3 ≥ 0 Modelo Matemático: Min Z = 0.45x1 + 0.38x2 + 0.27x3 S.A. 0.62x1 + 0.55x2 + 0.36x3 ≥ 128 0.05x1 + 0.10x2 + 0.20x3 ≥ 16 0.03x1 + 0.02x2 + 0.01x3 ≤ 8 x1 , x2 , x3 ≥ 0
Ejercicio 3.7 Un problema de integración. McNaughton, Inc. produce dos salsas para carne: Spicy Diablo y Red Baron (la más suave). Estas salsas se hacen mezclando dos ingredientes, A y B. Se permite cierto nivel de flexibilidad en las fórmulas de estos productos. Los porcentajes permisibles, así como la información acerca de ingresos y costos, aparecen en la siguiente tabla. Es posible comprar hasta 40 litros de A y 30 de B. McNaughton puede vender toda la salsa que elabore. Formule un modelo PL cuyo objetivo sea maximizar las ganancias netas obtenidas por la venta de estas salsas.
Definición de variables: x11 : litros del ingrediente A en spicy diablo x12 : litros del ingrediente B en spicy diablo x21 : litros del ingrediente A en red baron x22 : litros del ingrediente B en red baron Función Objetivo: Max Z = 1.75x11 + 0.76x12 + 1.25x21 + 0.26x22 Restricciones: x11 ≥ 0.25(x11 + x21 ) x21 ≥ 0.75(x11 + x21 ) x12 ≥ 0.50(x12 + x22 ) x11 + x21 ≤ 40 x12 + x22 ≤ 30 x11 , x12 , x21 , x22 ≥ 0 Modelo Matemático: Max Z = 1.75x11 + 0.76x12 + 1.25x21 + 0.26x22 S.A. x11 ≥ 0.25(x11 + x21 ) x21 ≥ 0.75(x11 + x21 ) x12 ≥ 0.50(x12 + x22 ) x11 + x21 ≤ 40 x12 + x22 ≤ 30 x11 , x12 , x21 , x22 ≥ 0
Ejercicio 3.8 Un problema de integración. La Corey Ander’s Spice Company dispone de una cantidad limitada de tres ingredientes que se utilizan en la producción de condimentos. Corey emplea los tres ingredientes (HB01, HB02 y HB03) para la elaboración de cúrcuma y pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que la compañía puede vender todo el pimentón que sea capaz de producir, pero solamente puede vender un máximo de 1,700 botellas de cúrcuma. Los ingredientes no utilizados podrán venderse en el mercado. Los precios están expresados en $/onza. Los precios actuales son: HB01, $0.60; HB02, $0.70; HB03, $0.55. Además, Corey ha firmado un contrato para suministrar 600 botellas de pimentón a Wal-Mart. En la siguiente tabla se ofrece información adicional. Formule el problema de Corey como un modelo de programación lineal para maximización de ingresos.
Definición de variables: x1 : botellas de curcuma x2 : botellas de pimenton x3 : onzas de hb01 no usado x4 : onzas de hb02 no usado x5 : onzas de hb03 no usado Función Objetivo: Max Z = 3.25x1 + 2.75x2 + 0.60x3 + 0.70x3 + 0.55x3 Restricciones: x1 ≤ 1700 x2 ≤ 600 4x1 + 3x2 + x3 ≤ 8000 2x1 + 2x2 + x4 ≤ 9000 1x1 + 3x2 + x5 ≤ 7000 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0 Modelo Matemático: Max Z = 3.25x1 + 2.75x2 + 0.60x3 + 0.70x3 + 0.55x3 S.A. x1 ≤ 1700 x2 ≤ 600 4x1 + 3x2 + x3 ≤ 8000 2x1 + 2x2 + x4 ≤ 9000 1x1 + 3x2 + x5 ≤ 7000 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
Ejercicio 3.10 Un problema de producción. La Ebel Mining Company es propietaria de dos minas que producen cierto tipo de mineral. Dichas minas están localizadas en distintas partes del país y, en consecuencia, presentan diferencias en sus capacidades de producción y en la calidad de su mineral. Después de ser molido, el mineral se clasifica en tres clases dependiendo la calidad: alta, mediana y baja. Ebel ha sido contratada para suministrar semanalmente a la planta de fundición de su compañía matriz 12 toneladas de mineral de alta calidad, 8 toneladas de calidad mediana y 24 toneladas de calidad baja. A Ebel le cuesta $20,000 diarios operar la primera mina y $16,000 la segunda. Si embargo, en un día de operación, la primera mina produce 6 toneladas de mineral de alta calidad, 2 toneladas de mediana y 4 toneladas de baja, mientras que la segunda produce 2 toneladas diarias de material de alta calidad, 2 de mediana y 12 de baja. ¿Cuántos días a la semana tendría que funcionar cada mina para cumplir los compromisos de Ebel de la manera más económica posible? (En este caso resulta aceptable programar la operación de las minas en fracciones de día.)
Definición de variables: x1 : numero de dias de operacion para la mina 1 x2 : numero de dias de operacion para la mina 2 Función Objetivo: Min Z = 20000x1 + 16000x2 Restricciones: 6x1 + 2x2 ≥ 12 2x1 + 2x2 ≥ 8 4x1 + 12x2 ≥ 24 x1 ≤ 7 x2 ≤ 7 x1 , x2 ≥ 0 Modelo Matemático: Min Z = 20000x1 + 16000x2 S.A. 6x1 + 2x2 ≥ 12 2x1 + 2x2 ≥ 8 4x1 + 12x2 ≥ 24 x1 ≤ 7 x2 ≤ 7 x1 , x2 ≥ 0
Ejercicio 3.11 Un problema de producción. Cada una de las tres máquinas fabrica dos productos. Para elaborar una libra de cada producto se requiere una cantidad determinada de horas de trabajo en cada máquina, como se indica en la siguiente tabla. Las horas disponibles en las máquinas 1, 2 y 3 son 10, 16 y 12, respectivamente. Las contribuciones a las ganancias correspondientes a cada libra de los productos 1 y 2 son $4 y $3, respectivamente. Defina las variables de decisión, formule este problema como un programa lineal para la maximización de ganancias y resuélvalo.
Definición de variables: x1 : libras de producto 1 x2 : libras de producto 2 Función Objetivo: Max Z = 4x1 + 3x2 Restricciones: 3x1 + 2x2 ≤ 10 1x1 + 4x2 ≤ 16 5x1 + 3x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0 Modelo Matemático: Max Z = 4x1 + 3x2 S.A. 3x1 + 2x2 ≤ 10 1x1 + 4x2 ≤ 16 5x1 + 3x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0
Ejercicio 3.18 Un problema de producción. Una planta tiene suficiente capacidad para manufacturar cualquier combinación de cuatro productos diferentes (A, B, C, D). Para cada producto se requiere invertir tiempo en cuatro máquinas distintas, el cual está expresado en minutos por kilogramo de producto, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Cada máquina tiene una disponibilidad de 60 horas por semana. Los productos A, B, C y D pueden venderse a $9, $7, $6 y $5 por kilo, respectivamente. Los costos variables de mano de obra son de $2 por hora para las máquinas 1 y 2, y de $3 por hora para las máquinas 3 y 4. Los costos de material para cada kilo del producto A son de $4. Los costos de material para cada kilo de los productos B, C y D son de $1. Formule un modelo de PL que maximice las ganancias, dada la demanda máxima por producto que se muestra a continuación, y luego resuélvalo.
Definición de variables: x1 : kilos de producto A x2 : kilos de producto B x3 : kilos de producto C x4 : kilos de producto D Función Objetivo: Max Z = 9x1 + 7x2 + 6x2 + 5x2 −
2 3 (15x1 + 9x2 + 9x2 + 6x2 ) − (9x1 + 12x2 + 6x2 + 3x2 ) − 4x1 − 1x2 − 1x3 − 1x4 60 60
Restricciones: 5x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 3600 10x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 3600 6x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4 ≤ 3600 3x1 + 8x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 3600 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0 Modelo Matemático: Max Z = 9x1 + 7x2 + 6x2 + 5x2 −
2 3 (15x1 + 9x2 + 9x2 + 6x2 ) − (9x1 + 12x2 + 6x2 + 3x2 ) − 4x1 − 1x2 − 1x3 − 1x4 60 60
S.A. 5x1 + 3x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 3600 10x1 + 6x2 + 5x3 + 2x4 ≤ 3600 6x1 + 4x2 + 3x3 + 1x4 ≤ 3600 3x1 + 8x2 + 3x3 + 2x4 ≤ 3600 x1 , x2 , x3 , x4 ≥ 0
TAHA, HAMDY Capitulo 2 – Método Grafico Ejercicio 5 Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de ventas de A es por lo menos 80% de las ventas totales de A y B. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Ambos productos utilizan una materia prima, cuya disponibilidad diaria máxima es de 240 lb. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A y de 4 lb por unidad de B. Las utilidades de A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determine la combinación óptima de productos para la compañía. Definición de variables x1 : unidades de A x2 : unidades de B Función Objetivo: Max Z = 20x1 + 50x2 Restricciones 2x1 + 4x2 ≤ 240 −0.2x1 + 0.8x2 ≤ 0 x1 ≤ 100 x1 , x2 ≥ 0 Modelo Matemático: Max Z = 20x1 + 50x2 S.A. 2x1 + 4x2 ≤ 240 −0.2x1 + 0.8x2 ≤ 0 x1 ≤ 100 x1 , x2 ≥ 0
Reporte Excel Celda objetivo (Máx) Celda Nombre $C$6 FO x1
Valor original 2600
Valor final 2600
Celdas de variables Celda Nombre $C$3 Valores x1 $D$3 Valores x2
Valor original 80 20
Valor final Entero 80 Continuar 20 Continuar
Restricciones Celda $E$9 $E$10
Nombre Valor de la celda Fórmula Estado Demora R1 240 $E$9=$G$13 $E$14 R6 200 $E$14>=$G$14 $E$9 R1 150 $E$9