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VII Congreso Chileno de Geotecnia SOFTWARE DE ANALISIS DE ESTABILIDAD DE TALUDES MEDIANTE LA SIMULACION DE MONTE CARLO Jaime Rodríguez Urquiza Universidad de La Serena, Departamento de Ingeniería en Obras Civiles [email protected] Miguel Aguirre Cerda Universidad de La Serena, Departamento de Ingeniería en Obras Civiles [email protected] Juan Carlos Guerra Rojas Universidad de La Serena, Departamento de Ingeniería en Obras Civiles [email protected] Luis Lemus Mondaca Geotecnia Ambiental Ltda. [email protected] RESUMEN Este trabajo presenta un software denominado Estb-Simul2010 de análisis de estabilidad de taludes mediante la simulación de Monte Carlo. Fue desarrollado en el lenguaje de programación Visual Basic 6.0 y analiza la estabilidad de un talud sometido a diferentes estados de carga externa, realizando el análisis a través del método determinista y con el método probabilístico mediante la Simulación de Monte Carlo (SMC), Aguirre, M., Guerra, J.C.(2010). 1. INTRODUCCIÓN. El análisis de estabilidad de taludes, tanto los de origen natural como los construidos por el hombre (artificiales), han sido constante objeto de estudio en el área de la ingeniería civil. El estudio de la estabilidad de taludes es un proceso complejo que implica la participación de muchos factores que influyen tales como, la geometría del talud, los parámetros mecánicos del suelo, la presencia de napa, las grietas de tensión, las cargas externas solicitadas y cargas dinámicas por acción sísmica. Para este último, generalmente se considera un análisis pseudoestático como cargas estáticas horizontales y verticales, asociado a bajos niveles de deformación. Con el objeto de analizar las condiciones de estabilidad de un talud se desarrollan modelos matemáticos, los cuales se pueden resolver en base a diferentes metodologías, como lo son los métodos de Equilibrio Límite y los métodos de Análisis Límite (Elementos Finitos). Para el proceso de cálculo de estos métodos se cuentan con variadas técnicas resolutivas que incluyen desde el uso de ábacos o tablas de cálculo rápido, cálculos manuales, gráficos, hasta el uso de programas computacionales modernos cada día más poderosos. En este trabajo, se utilizan las ecuaciones de equilibrio límite estático para el cálculo del factor de seguridad, usando para ello el método determinístico de Morgenstern–Price para una superficie de falla circular. Los métodos determinísticos no tienen la capacidad de poder determinar las incertezas de los parámetros internos del suelo como la cohesión, ángulo de fricción interna, peso unitario, grado de

compactación, etc., ya que estos suelos poseen una variabilidad inherente por naturaleza, lo que nos lleva a generar modelos matemáticos destinados a cuantificar la incertidumbre de estos parámetros, para lo que se requiere que las variables que representan estas propiedades de los suelos sean de tipo probabilístico. Por este motivo se recurre al uso del método de simulación de Monte Carlo que nos permite analizar la fiabilidad del talud y estudiar la sensibilidad de los modelos a las variaciones de los parámetros internos del suelo. Para llevar a cabo el objetivo del análisis de los factores de seguridad, se confecciona un programa computacional (Estb-Simul2010) Aguirre, M. y Guerra, J.C. (2010), que desarrolla tanto la parte determinística como la parte de simulación de Monte Carlo, con lo que se obtiene la variabilidad del factor de seguridad, la fiabilidad y probabilidad de falla del talud debido a la generación de variables pseudoaleatorias de los parámetros internos para distintos tipos de suelos. El programa se realiza en lenguaje Visual Basic y cuenta con una base predeterminada de datos de suelos de Arena limosa (SM), Arena limpia (S) y también permite ingresar otro tipo de suelo definido por el usuario. 2. ANALISIS DE LA ESTABILIDAD DEL TALUD. Para el análisis de la estabilidad de talud, se ocupan los métodos de equilibrio límite. Estos métodos se basan exclusivamente en las leyes de la estática para determinar el estado de equilibrio de una masa de suelo potencialmente inestable y no se tienen en cuenta las deformaciones del suelo ante las solicitaciones. Este tipo de análisis, consiste en determinar si existe la suficiente resistencia en los suelos del talud para soportar los esfuerzos de corte que tienden a causar la falla o deslizamiento de la masa de suelo. Se asume además, que el factor de seguridad es igual en todos los puntos a lo largo de la superficie de falla, y para un suelo homogéneo en condición no drenada las fuerzas actuantes y resistentes permanecen constantes a lo largo de toda la superficie de falla. Para el análisis del talud, se ocupan el método de las dovelas, en donde la masa de suelo que está por encima de la superficie de falla es dividida en franjas verticales. El método de cálculo a realizar es Morgenstern-Price, Zhu D.Y et al (2005), cuya condición es cumplir que el factor de seguridad por medio de un equilibrio de momentos, sea igual al factor de seguridad por equilibrio de fuerzas horizontales. Para el análisis de talud, en las Figuras 1 se muestran todas las fuerzas actuantes sobre una superficie de deslizamiento circular y sobre la dovela dentro de la masa deslizante de suelo. Dichas solicitaciones son: N Sm E X P k•W A

: Fuerza normal total en la base de cada dovela, : Fuerza cortante movilizante en la base de cada dovela, : Las fuerzas normales horizontales interdovelas. La fuerza normal en el lado izquierdo de la dovela se denomina EI y para el lado derecho ED, : Fuerzas de corte verticales interdovelas. La fuerza de corte en el lado izquierdo de la dovela se denomina XI y para el lado derecho XD, : Carga puntual externa, : Fuerza sísmica horizontal aplicada en el centro de masa de cada dovela, : La resultante de las fuerzas externas de agua. Los subíndices "g" y "w" designan el lado izquierdo y derecho del talud, respectivamente.

Centro

x d ag P

b



e

R

aw

Ag Zona de traccion

XI

h

EI

kW ED

W

Aw Sm N



Agua

XD



Figura 1. Fuerzas actuando sobre una dovela a través de la masa deslizante con superficie de deslizamiento circular La ecuación de equilibrio límite en la que se basa el método de Morgenstern-Price, es obtenida a partir de la ecuación general de falla, mediante la ecuación (1):

(1) Siendo, : El esfuerzo efectivo de corte resistente con cohesión efectiva c'; Ángulo de fricción efectiva ϕ'; esfuerzo normal total σ y presión de poros , : Esfuerzo de corte movilizante que tiende a causar la falla. : Factor de seguridad local, método Morgenstern-Price. Haciendo una referencia a la Figura 1, el Factor de Seguridad global puede ser derivado basado en un equilibrio de momento general alrededor de un punto común o centro de rotación para todas las dovelas, este factor de seguridad se denomina Fm, según la ecuación (2). (2)

También puede ser derivado de un equilibrio de fuerzas horizontales, este factor de seguridad de denominará Ff, según la ecuación (3). (3) Dentro de las ecuaciones (2) y (3) se encuentra la fuerza normal en la base de cada dovela (Ni), obtenida a partir de un equilibrio de fuerzas verticales para cada dovela, según la ecuación (4). (4) La fuerza de corte vertical interdovela (X) se presenta según la ecuación (5). (5)

Dónde: f(x) : Función de fuerza interdovela, λ : Factor de escala desconocido o un porcentaje de la función usada que se resuelve como parte de las incógnitas, también llamado Lambda. La función de fuerza a utilizar será la función de fuerza semi-sinusoidal, según la ecuación (6). (6) Dónde: : Distancia desde el origen hasta la cara vertical derecha de cada dovela, : Punto de entrada de la superficie de deslizamiento, : Punto de salida de la superficie de deslizamiento. El factor de escala Lambda λ se presenta según la ecuación (7). (7)

Para determinar en forma cuantitativa la fiabilidad y la probabilidad de falla del talud, la base datos que se utiliza para la simulación fue recopilada a través de información de ensayos resistencia al corte de suelos existentes en las ciudades de Coquimbo y La Serena, Región Coquimbo, Chile. Los suelos corresponden a arenas limosas con muestras de grados compactación (80%, 85%, 90% y 95%), Calderón, R. (2006).

de de de de

Una vez recolectada la información de suelos para la base de datos del programa e identificadas las variables probabilísticas que se utilizará en la simulación, se analiza las distribuciones de probabilidad que mejor se ajustan al comportamiento de las variables (Prueba de bondad de ajuste), en este caso son las distribuciones Normal y Lognormal, y que son representadas por la media y la desviación estándar. A continuación, se muestra un resumen de las distribuciones de ajustes de probabilidad para el ángulo de fricción interna con grados de compactación de 80%, 85%, 90% y 95%. Ángulo de fricción interna [º] % GC (PM)

Distribución Normal

Distribución Lognormal

80

31,35

3,727

31,35

3,677

85

33,99

3,651

34,00

3,752

90

35,65

3,997

35,66

4,170

95

37,19

4,801

37,20

4,939

Tabla 1. Resumen de distribuciones de ajuste para las bases de datos arenas limosas. Este análisis se realiza mediante la Simulación de Monte Carlo a través del software EstbSimul2010. El resultado del modelo no es tan solo el factor de seguridad, sino que también la confiablidad y la probabilidad de falla cuantificada en la estabilidad del talud, influenciada por la variabilidad inherente de los parámetros resistentes del suelo. Para la generación de los números pseudoaleatorios se utiliza un algoritmo congruencial lineal, generando un máximo de 30.000 intentos. Las variables de entrada al modelo de simulación, se obtienen a través del método de Box – Müller, que genera variables aleatorias normales.

Para el análisis probabilístico se generan las variables aleatorias según el número de intentos, y con cada variable aleatoria generada se calculan los factores de seguridad. Finalmente, se realiza un análisis estadístico de estos, calculando la media y desviación estándar; la fiabilidad y la probabilidad de falla del talud; evaluar la probabilidad de ocurrencia y obtener la distribución de probabilidad del conjunto de factores de seguridad calculado. El procedimiento para calcular las variables pseudoaleatorias es el siguiente: a) Generación de números pseudoaleatorios por medio del algoritmo congruencial lineal García, R. et al (2006), según la siguiente ecuación recursiva: (8) Donde es la constante multiplicativa, es una constante aditiva y es el modulo, estas constantes son número enteros positivos. La operación significa multiplicar por , sumar y dividir el resultado entre para obtener el residuo , la ecuación (8) genera una secuencia de números enteros y para generar los números pseudoaleatorios se requiere la siguiente ecuación: (9) La ecuación recursiva (8), calcula el siguiente número a partir del último que se obtuvo anteriormente, dado un número entero inicial llamado número semilla preferentemente entre 100 y 999, Este algoritmo determinístico tiene un período o longitud de vida de tamaño , lo que significa que a partir de en adelante, el algoritmo repite el conjunto de números pseudoaleatorios, Para obtener sucesiones de estos números de manera eficiente y con una longitud de vida máxima igual , los parámetros iniciales ( , y ) deben cumplir las siguientes condiciones: -

y debe terminar en 01, 21, 41, 61 u 81 debe ser entero relativamente primo a y termine en uno de los dígitos 1,3,7 ó 9 debe ser entero

En este trabajo, las constantes tendrán los siguientes números enteros , y . Este procedimiento se repite según el número de intentos que deseen para la simulación. b) Se generan las variables aleatorias normales (

) con el método de Box – Müller (ecuación

(10)), utilizando un par de conjunto de números pseudoaleatorios (

y

). (10)

Donde, es la media y la desviación estándar de la distribución normal ajustada al conjunto de datos recopilados como muestra; y son un par de conjunto de números pseudoaleatorios con distribución uniforme entre [0,1].

c) Obtener de las variables de salida y estudio estadístico de las mismas. d) Por último, para calcular la probabilidad de falla, es necesario determinar el índice de fiabilidad ( ). Para resultados con una distribución normal, el índice de fiabilidad se obtiene con la ecuación (11) y para una distribución Lognormal con la ecuación (12). El número de corridas depende de la estabilización de las de salida (factores de seguridad), se estimó en este estudio que las variables se estabilizan con un número de corridas del orden de 4.000 repeticiones. (11)

(12)

El índice de fiabilidad representa la diferencia que existe entre el valor crítico que representa la falla ( = 1,0) y la media de la simulación, con respecto a su desviación estándar. Para obtener la probabilidad de falla , se debe buscar el valor de en la tabla tipificada de la distribución normal, y la fiabilidad del talud corresponde a 1-

.

3. CARACTERÍSTICAS DEL SOFTWARE. El Software está diseñado para analizar la estabilidad de un talud mediante el cálculo del factor de seguridad a través del método determinista y el método probabilístico. Para este último se utiliza la Simulación de Monte Carlo para cuantificar la fiabilidad del talud y la probabilidad de falla, a partir de recopilación de información de ensayos de resistencia al corte de suelos existentes en las ciudades de Coquimbo y La Serena, Región de Coquimbo, Chile. Calderón, R. (2004). Algunas características del software son las siguientes: 1. Método determinista 1.1 Menú Principal 1.2 Sub-Menú 1.3 Análisis Tornado 2. Simulación de Monte Carlo 2.1 Arenas limosas 2.2 Arenas limpias 2.3 Otro tipo de suelo Para el método determinista, en el menú principal, el usuario debe seleccionar: el método de cálculo; ingresar el número de estratos (la cantidad máxima es de 5); el número de dovelas (la cantidad máxima es de 100) y determinar si desea incluir cargas externas, cargas sísmicas, napa freática o grieta de tracción. En el Sub-Menú se debe ingresar: las coordenadas geométricas del talud; las coordenadas geométricas del nivel freático; el rango de entrada y salida de la superficie de falla; las propiedades mecánicas de los suelos y las cargas externas. Finalmente, para la Simulación de Monte Carlo se debe escoger el tipo de suelo y la variable del suelo con la que se va a simular. 4. APLICACIÓN Y RESULTADOS. El ejemplo consiste en el estudio de la estabilidad de un talud compuesto por un estrato con suelo de Arena limosa sometido a una carga sísmica con coeficiente sísmico horizontal kh = 0,2 y vertical Kv=0 (Figura 2). Se aplica la Simulación de Monte Carlo utilizando el software Estb-Simul2010.

y

(10;10)

(4;10)

(0;10)

= 0,2

(17;5)

(30;5)

(25;5)

(0;0)

(30;0) x

Figura 2. Modelo de talud para el análisis de simulación de Monte Carlo Para este modelo, se considera como variable probabilística a simular el ángulo de fricción interna del suelo de arena limosa según los grados de compactación (80%, 85%, 90% y 95%); y los parámetros del suelo no simulados: cohesión de 0,5 [Tonf/m2] y peso unitario de 1,8 [Tonf/m3]. Se calcula la media de los factores de seguridad con su respectiva desviación estándar y fiabilidad del talud para cada clasificación de muestra según una distribución Normal y Lognormal. Distribución Normal

Grado de compactación (PM)

CV

Fiabilidad [%]

Distribución Lognormal CV

Fiabilidad [%]

GC80%

1,140

0,0741

0,065

97,13

1,140

0,0722

0,063

97,93

GC85%

1,204

0,0719

0,060

99,77

1,207

0,0779

0,065

99,81

GC90%

1,302

0,0857

0,066

99,98

1,303

0,0899

0,068

99,99

GC95%

1,347

0,1046

0,078

99,96

1,347

0,1076

0,008

99,99

Tabla 2. Fiabilidad del talud para las Distribuciones Normal y Lognormal. En la Figura 3 se muestra la variación de los factores de seguridad media con respecto al grado de compactación.

Figura 3. Variación del factor de seguridad con respecto al grado de compactación. Se estiman la fiabilidad y probabilidad de falla del talud para los factores de seguridad calculados, según muestras de grado de compactación de 85%,90% y 95%, se obtuvieron probabilidades de falla casi nulas, menores al 0,3%, lo que significa una fiabilidad del talud casi de un 100%. Pero

para la muestra de grado de compactación de 80% existe una probabilidad de falla de un 2,07% a un 2,87% para las distribuciones Lognormal y Normal respectivamente, como se muestra en la Figura 4.

Figura 4. Variación de la probabilidad de falla con respecto al grado de compactación, para una distribución normal y Lognormal 5. CONCLUSIONES. Analizar un modelo de talud a través de un método determinístico, donde se asignan valores solamente a situaciones independientes para ver los resultados que se pueden producir en cada una, presenta principalmente la desventaja de que no evalúa la probabilidad de cada resultado e ignora la interdependencia entre las variables del modelo y el impacto de ellas sobre los estabilidad del talud, reduciendo la precisión. De esta manera se tiene un valor de factor de seguridad de poco significado físico. En cambio, al analizar el modelo mediante la simulación de Monte Carlo, la variabilidad inherente de los parámetros del suelo se representan usando distribuciones normal o Lognormal, para así obtener una distribución de probabilidades de factores de seguridad. Además, la simulación entrega otros índices estadísticos, como el índice de confiablidad y la probabilidad de falla, entregando una visión más completa en la toma de decisión acerca de la estabilidad del talud. Para el ejemplo de aplicación, se puede apreciar como varía el factor de seguridad por causa de la variabilidad del ángulo de fricción interna, a medida que se aumenta el grado de compactación, se permite aumentar los valores del ángulo de fricción interna lo que genera aumento en los valores de factores de seguridad. Con relación a la fiabilidad y probabilidad de falla del talud, la influencia de la variabilidad del ángulo de fricción en la estabilidad de talud, genera una media del factor de seguridad, el cual, si bien es mayor al crítico, se obtiene como máximo una probabilidad de falla de 2,87%, que corresponde al grado de compactación de 80% según una distribución Normal, para las muestras de grado de compactación entre 85% y 95% se obtuvieron probabilidades de falla muy bajas menores al 0,3% y una fiabilidad muy cercanas al 100% utilizando distribución Normal y Lognormal. 6. AGRADECIMIENTOS. Los autores agradecen el apoyo brindado en la realización de esta investigación al Departamento de Ingeniería en Obras Civiles y a la Universidad de La Serena, La Serena, Chile. 7. REFERENCIAS. Calderón, R. (2004), “Determinación de Parámetros de Resistencia al Corte en Arenas y Propuesta de Implementación Equipo Compresión Triaxial”, Memoria de Titulo, Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles, Universidad de La Serena, La Serena, Chile.

Calderón, R. (2006), “Movilización de los Parámetros de Resistencia al Corte Generado por la Deformación y Utilización de Modelo Hiperbólico para Arenas Limosas”, Memoria de Titulo, Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles, Universidad de La Serena, La Serena, Chile. Instituto Nacional de Normalización (1996), “Norma Chilena Oficial NCh 433.Of96, Diseño sísmico de edificios”, Chile. Alba, J. Arenas, R. (2006). “Análisis de Muros de Contención Cantilever Mediante el Método de Simulación de Monte Carlo”, Memoria de Titulo, Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles, Universidad de La Serena, La Serena, Chile. Aguirre, M., Guerra, J.C. (2010), “Análisis de Estabilidad de Talud Mediante Simulación de Monte Carlo”, Memoria de Titulo, Departamento de Ingeniería Civil en Obras Civiles, Universidad de La Serena, La Serena, Chile. Centeno, R. (2002). “Simulación de Monte Carlo y su Aplicación a la Ingeniería Geotécnica”, Caracas, Venezuela. Zhu D.Y.; Lee C.F; Qian Q.H. y Chen G.R. (2005). “A concise algorithm for computing the factor of safety using the Morgenstern-Price method”, Canadian Geotechnical Journal 42(1): 272-278. García, R.; García, H. y Cárdenas, L. (2006). “Simulación y análisis de sistema con ProModel”, Primera Edición, Pearson Educación Prentice Hall, México. Geo-Slope International, Ltd. (2004). GEOSTUDIO 2004, Calgary, Alberta, Canadá. Braja M. Das, (2001). “Fundamentos de Ingeniería Geotécnica”, Capitulo 7, “Resistencia Cortante del Suelo” y Capitulo 10, “Estabilidad de Taludes”. Editorial Thomson Learning, México. George C. Canavos, (1988). “Probabilidad y Estadística Aplicaciones y Métodos”, Capítulo 8, “Estimación puntual y por intervalos” y Capítulo 10, “Prueba de bondad de ajustes y análisis de tablas de contingencia”. Editorial McGraw Hill Interamericana, México. Rodríguez, J. (2006). “Asignatura de Mecánica de Suelo, Apuntes de Clases”, Departamento de Obras Civiles, Ingeniería Civil, Universidad de La Serena, La Serena, Chile.