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• Hugo Chino Moreno

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´ AL ANALISIS ´ INTRODUCCION ´ MATEMATICO DE UNA VARIABLE

´ AL ANALISIS ´ INTRODUCCION ´ MATEMATICO DE UNA VARIABLE ´ LATEX Edicion

Robert G. Bartle Universidad del Este de Michigan

Donald R. Sherbert Universidad de Illinois

A JOHN WILEY & SONS, INC., PUBLICATION

Versi´on en espa˜nol de la obra publicada en ingl´es con el t´ıtulo: INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS c John Wiley & Sons, Inc. ⃝ Colaborador en la traducci´on: ˜ GARC´IA RODOLFO PINA La presentaci´on y disposici´on en conjunto de ´ AL ANALISIS ´ ´ INTRODUCCION MATEMATICO DE UNA VARIABLE Son propiedad del editor. Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida o transmitida, mediante ning´un sistema o m´etodo, electr´onico o mec´anico (incluyendo el fotocopiado, la grabaci´on o cualquier sistema de recuperaci´on y almacenamiento de informaci´on), sin consentimiento por escrito del editor. Derechos reservados:

c ⃝2004, EDITORIAL LIMUSA, S.A, de C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES Balderas 95, M´exico, D.F. C.P. 06040 Introducci´on al an´alisis matem´atico de una variable Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert Hecho en M´exico ISBN 968-18-5191-1 7.2

Para Carolyn y Janice

´ PROLOGO

El estudio del an´alisis real es de enorme valor para cualquier estudiante que quiera llegar m´as all´a del manejo rutinario de f´ormulas para resolver problemas comunes, ya que la capacidad para aplicar el pensamiento deductivo y analizar ejemplos complicados resulta esencial para modificar y extrapolar los conceptos a nuevos contextos. Adem´as, los conceptos torales de l´ımite y continuidad del an´alisis real desempe˜nan un papel crucial en muchas a´ reas de la matem´atica y de sus aplicaciones. De hecho, la matem´atica se ha convertido en una herramienta indispensable en muchos campos, incluyendo la econom´ıa y las ciencias de la administraci´on as´ı como las ciencias f´ısicas, la ingenier´ıa y la ciencia de las computadoras, y el an´alisis real es uno de los pilares fundamentales de la matem´atica. Nuestra meta es ofrecer un libro de texto accesible para los estudiantes de estos campos que avance de manera gradual en los conceptos y las t´ecnicas b´asicas del an´alisis real. A pesar de los m´ultiples retos que plantea, el an´alisis real demuestra su valor en el trabajo posterior dentro de la matem´atica y sus aplicaciones. Se restringe la atenci´on aqu´ı a las funciones de una variable; se remite a los lectores que deseen estudiar funciones de varias variables al libro Introducci´on al an´alisis matem´atico de Robert G. Bartle, publicado tambi´en por Editorial Limusa. La primera edici´on de esta obra tuvo una excelente acogida y en esta segunda edici´on hemos conservado tanto su esp´ıritu como el enfoque amistoso para el usuario. Se revis´o cada secci´on, se cambi´o de lugar a algunos temas y se agregaron algunos temas nuevos; estos cambios se describen a continuaci´on. Los problemas fueron objeto de una revisi´on total, siendo el resultado la modificaci´on de algunos ejercicios y la incorporaci´on de un n´umero considerable de nuevos ejercicios. En el texto hay m´as material del que se necesitar´ıa en un semestre y se ha tenido en cuenta que varias secciones se pueden omitir parcial o totalmente. A fin de proporcionar cierta ayuda cuando los estudiantes analicen las demostraciones de los teoremas, se ha incluido un ap´endice sobre “L´ogica y demostraciones”, donde se explican temas tales como la implicaci´on, los cuantificadores, la negaci´on, el contrapositivo y los diferentes tipos de demostraciones. Se ha conservado la explicaci´on informal a fin de evitar quedar empantanados en los detalles t´ecnicos de la l´ogica formal. Su colocaci´on en un ap´endice indica que es una lectura opcional y se puede examinar en cualquier momento del curso o cuando sea necesario. Se cree que es una experiencia de mayor utilidad analizar y hacer demostraciones de teoremas que limitarse a leer acerca de las mismas. Un cambio significativo en esta edicin es que los conceptos topolgicos, como conjunto abierto, conjunto cerrado y compacidad, se han reunido y colocado en un nuevo cap´ıtulo: el cap´ıtulo 10, La topolog´ıa de R. En la primera edicin es tos ternas estaban intercalados a lo largo del libro, pero nuestra experiencia nos ha demostrado la conveniencia de reunirlos en un solo sitio en vez de tenerlos dispersos en diferentes partes del libro. Ahora presentarnos desde un principio teoremas acerca de funciones en intervalos abiertos y cerrados, pero las demostraciones se dan en una forma que se adapta con facilidad a situaciones m´as generales, de tal vii

viii

PREFACE

modo que los estudiantes no necesitar´an olvidar las demostraciones en un nuevo contexto. Un instructor puede pasar perfectamente al cap´ıtulo 10 en cualquier momento, por ejemplo, en conexin con el cap´ıtulo 5, si as´ı lo desea. En el cap´ıtulo 1 se presenta un breve resumen de las nociones y notaciones de conjuntos y funciones que se emplean en el libro. Sc incluye asimismo una explicacin de la induccin matem´atica, ya que esta t´ecnica de demostracin se presenta con regularidad. Se recomienda que este cap´ıtulo se estudie con rapidez; se deber´a resistir cualquier tentacin para extenderse en el formalismo de la teor´ıa de conjuntos, ya que tal estudio no presagia de manera precisa la naturaleza del an´alisis real. En el cap´ıtulo 2 se presentan las propiedades del sistema de los n´umeros rea les. En las tres primeras secciones se ofrece pr´actica en el pensamiento deductivo b´asico y en la elaboracin de demostraciones; se pueden cubrir con rapidez, en especial silos estudiantes cuentan con experiencia previa de esta naturaleza. La importante propiedad de completidad del sistema de los n´umeros reales se establece en la seccin 2.4 como la propiedad del supremo, y sus ramificaciones se analizan en la seccin 2.5. Estas dos Secciones se deber´an estudiar con atencin, ya que el uso de supremos es esencial en el material posterior. La propiedad de los intervalos anidados se trata en la seccin 2.6. En la Seccin 2.7 se demuestra que el conjunto de los n´umeros reales es incontable; esta demostracin es precedida por un cuidadoso estudio de los conjuntos finitos, un tema cuyas sutilezas suelen dejarse de lado y que proporciona una excelente oportunidad para aplicar el razonamiento inductivo. En el cap´ıtulo 4 se presenta un tratamiento exhaustivo de las sucesiones de n´umeros reales y los conceptos de l´ımites relacionado. Este material es, desde luego, de m´axima importancia; afortunadamente, los estudiantes lo encuentran muy natural. El teorema de Bolzano-Weierstrass para sucesiones se establece en la seccin 3.4 demostrando primero que toda sucesin real tiene una subsucesin montona. El cap´ıtulo 4 sobre l´ımites y el cap´ıtulo 5 sobre funciones continuas constituyen el corazn del libro. El estudio de l´ımites de funciones depende en gran medida del uso de sucesiones; este tratamiento paralelo refuerza la comprensin de los l´ımites y permite tratar los teoremas b´asicos con bastante rapidez. (Algunos instructores quiz´as prefieran saltarse la seccin 4.3 en un curso introductorio.) De manera similar, los resultados iniciales relativos a las funciones continuas del cap´ıtulo 5 se construyen con base en la teor´ıa de l´ımites establecida en las secciones anteriores. Las propiedades fundamentales de las funciones continuas en intervalos se desarrollan en la seccin 5.3, y la continuidad uniforme se introduce en la seccin 5.4. En estas dos secciones, se explota el potencial pleno de la teor´ıa previa a fin de establecer las profundas propiedades de las funciones continuas. Las propiedades de las funciones montonas se establecen en la seccin 5.5. La teor´ıa b´asica de la derivada se presenta en las dos primeras secciones del cap´ıtulo 6. La seccin 6.2 es en esencia una secuencia de consecuencias del teorema del valor medio. La teor´ıa b´asica de la integral de Riemann est´a contenida en las tres primeras secciones del cap´ıtulo 7. La integral se introduce por medio de las integrales superior e inferior, y el criterio de Riemann se usa como herramienta b´asica para establecer la existencia de la integral. La seccin 7.3 sobre el teorema fundamental del c´alculo se ha redactado de nuevo en su totalidad a fin de clarificar las relaciones entre los diferentes aspectos de dicho teorema. En las secciones posteriores de los cap´ıtulos 6 y 7 se estudian otras propiedades de la derivada y la integral que se pueden cubrir si el tiempo lo permite. En el cap´ıtulo 8 se explica la convergencia uniforme. Los instructores quiz´as prefieran estudiar la seccin 8.1 despu´es del cap´ıtulo 5 y considerar despu´es los teoremas de “preservacin” de la seccin 8.2 a medida que vayan avanzando en los dem´as cap´ıtulos. En las secciones 8.3 y 8.4 las funciones trascendentales b´asicas, las cuales suelen darse por descontadas, se estudian sobre fundamentos tericos firmes usando la convergencia uniforme. El capitulo 9 sobre series infinitas se en ha revisado y ampliado ligeramente con secciones separadas donde se estudia la convergencia absoluta y no absoluta de las series. Los cap´ıtulos 8 y 9 poseen una importancia y un inter´es intr´ınsecos, pero a la vez muestran la manera en que el material visto en los cap´ıtulos anteriores se puede aplicar en temas num´ericos y anal´ıticos. El cap´ıtulo 10 es nuevo y versa sobre conceptos topolgicos. Las demostraciones anteriores dadas para intervalos se extienden ahora a su contexto m´as abstracto y se hace el e´ nfasis debido en el concepto de compacidad. Se incluye una muy breve introduccin a los espacios m´etricos. Puesto que muchos conceptos y argumentaciones se generalizan de inmediato a los espacios m´etricos, la inclusin de este tema proporciona una situacin privilegiada para introducir las nociones de car´acter bastante abstracto discutidas en las secciones previas del cap´ıtulo.

PREFACE

ix

A lo largo del libro se ha prestado mayor atencin que la acostumbrada a los temas del an´alisis num´erico y a la teor´ıa de las aproximaciones. Lo hemos hecho la debido a la importancia creciente de estos temas para el estudiante contempor´aneo y porque la comprensin apropiada de estos temas cuenta con bases m´as slidas en el contexto del an´alisis real. Al mismo tiempo, estos temas tambi´en mejoran la comprensin de ideas “puramente anal´ıticas” En muchos de los ejercicios se ofrecen “sugerencias”, por lo general incompletas y en ocasiones un tanto misteriosas. Su intencin es ayudar a encaminar a los estudiantes hacia la solucin, pero los detalles adicionales deben proporcionarlos ellos. Es una experiencia satisfactoria observar la manera en que aumenta la madurez matem´atica de los estudiantes y como aprenden gradualmente a trabajar con soltura con conceptos que en un principio parec´ıan tan misteriosos. Por supuesto, en un semestre no es posible cubrir todos los temas del libro, pero los temas importantes se pueden estudiar con profundidad si uno no se que empantanado al principio en los preliminares. Hay abundante material para que se puedan seguir los intereses particulares del instructor y de los estudiantes. Hemos recibido muchos comentarios valiosos de colegas de una amplia variedad de instituciones que han ense˜nado con la primera edicin, y expresarnos nuestra apreciacin para ellos. Sus observaciones y cr´ıticas resultaron en extremo valiosas en la elaboracin de esta edicin. Nuestro agradecimiento por comunicarse con nosotros, dese´andoles e´ xito en sus empresas futuras para impartir el desaf´ıo y la excitacin del an´alisis real a sus estudiantes. Es nuestra esperanza que encuentren esta nueva edicin a´un m´as u´ til que la primera. ROBERT G. BARTLE D ONALD . R. S HERBERT Ypsilanti and Urbana

CONTENIDO

Pr´ologo 1

PRELIMINARES 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7

2

3

vii

El a´ lgebra de conjuntos Ejercicios Tips On Special Section Heads This Version of Section Head will be sent Contents This show how to explicitly break lines in Table of Contents How to get lower case in section head: pH How to use a macro that has both upper and lower case parts: VT xyz Equation

1 1 5 6 6 6 6 6 6

First Edited Book Sample Chapter Title G. Alvarez and R. K. Watts

7

2.1

7

Here is a normal section

Second Edited Book Sample Chapter Title George Smeal, Ph.D., Sally Smith, M.D. and Stanley Kubrick 3.1 3.2 3.3

3.4

Sample Section Example, Figure and Tables 3.2.1 Side by Side Tables and Figures Algorithm Problems Ejercicios Summary

9 9 10 10 11 11 12 12

References

12

Ap´endice: This is the Chapter Appendix Title

12

Chapter Ap´endice

12

A

15

This is the Appendix Title

xi

xii

CONTENIDO

B

´ Apendice

17

C

Alternate Reference Styles

19

Bibliograf´ıa ´INDICE TEMATICO ´

21 23

CAP´ITULO 1

PRELIMINARES

En este cap´ıtulo se presentar´an los fundamentos necesarios para el estudio del an´alisis real. Las secciones 1.1 y 1.2 se dedican a un buen repaso del a´ lgebra de conjuntos y de las funciones, dos herramientas vitales para la matem´atica en general. El t´ermino “conjunto” se considera sin´onimo de “clase”, “colecci´on” y “familia”, pero estos t´erminos no se definir´an as´ı como tampoco se dar´a una lista de axiomas para la teor´ıa de conjuntos. Suele hacerse referencia a este enfoque pragm´atico como teor´ıa de conjuntos “na¨ıve” y resulta bastante adecuada para trabajar con los conjuntos en el contexto del an´alisis real. La secci´on 1.3 se ocupa de un m´etodo especial de demostraci´on llamado inducci´on matem´atica. Se relaciona con las propiedades b´asicas del sistema de los n´umeros naturales y aunque se encuentra restringido a la demostraci´on de proposiciones de tipos particulares, es importante y su aplicaci´on es frecuente. En el ap´endice se puede encontrar un estudio informal relativo a los diferentes tipos de demostraciones que se usan en el an´alisis y en la matem´atica en general. Adem´as de introducir los conceptos b´asicos y de establecer la notaci´on y la terminolog´ıa, este cap´ıtulo tambi´en proporciona al lector cierta experiencia inicial para trabajar con definiciones precisas y en la escritura de demostraciones. El estudio atento del an´alisis real implica de manera inevitable la lectura y la escritura de demostraciones, habilidades que, como cualquier otra, es necesario practicar. El presente cap´ıtulo es un punto de partida. 1.1

´ El algebra de conjuntos

Si A denota un conjunto y x es uno de sus elementos, se escribir´a x∈A como una forma abreviada de la afirmaci´on de que x es un elemento de A, o que x es miembro de A, o que el conjunto A contiene a elemento x o que x est´a en A. Si x es un elemento que no pertenece a A, se escribir´a x ̸∈ A. Si A y B son conjuntos tales que x ∈ A implica que x ∈ B (es decir, que todo elemento de A tambi´en es elemento de B), entonces se dir´a que A est´a contenido en B, que B contiene a A o que A es un subconjunto de B, y se escribir´a A ⊆ B o B ⊇ A. Introducci´on al an´alisis matem´atico de una variable, Segunda Edici´on. c 2016 John Wiley & Sons, Inc. By Robert G. Bartle Copyright ⃝

1

2

PRELIMINARES

Si A ⊆ B y existe un elemento de B que no est´a en A, se dir´a que A es un subconjunto propio de B. Deber´a notarse que la proposici´on A ⊆ B no excluye de manera autom´atica la posibilidad de que A cubre la totalidad de B. Cuando esto es cierto, los conjuntos A y B son “iguales” como se define a continuaci´on. Definici´on 1.1.1 Dos conjuntos A y B son iguales si contienen los mismos elementos. Si los conjuntos A y B son iguales, se escribe A = B. Por tanto, para demostrar que los conjuntos A yB son iguales, debe probarse que A ⊆ B y que B ⊆ A. Un conjunto se puede definir numerando sus elementos o especificando una propiedad que determine los elementos del conjunto. No es sencillo definir con precisi´on el t´ermino “propiedad”, pero no dudaremos en usarlo en la manera informal ordinaria. Si P denota una propiedad que tenga sentido y no sea ambigua para una colecci´on de elementos, entonces se escribe {x : P(x)} para el conjunto de todos los elementos x para los cuales se cumple la propiedad P. La notaci´on se lee “el conjunto de todas las x tales que P(x)”. Si es necesario especificar los elementos que s est´an considerando para la propiedad P, se puede escribir {x ∈ S : P(x)} para denotar el conjunto de S cuyos elementos cumplen con la propiedad. En este libro se usan varios conjuntos particulares que se denotan por s´ımbolos comunes como se indica a continuaci´on. (El s´ımbolo := se emplea para indicar que el s´ımbolo de la izquierda se define por la expresi´on de la derecha.) ´ • El conjunto de los numeros naturales N := {1, 2, 3, ...} • El conjunto de los enteros Z := {0, 1, −1, 2, −2, ...} ´ • El conjunto de los numeros racionales Q := {m/n : m, n ∈ Z y n ̸= 0} ´ • El conjunto de los numeros reales R El conjunto R es de importancia fundamental y se examinar´a en detalle en el cap´ıtulo 2.

EJEMPLO 1.1

a) El conjunto {x ∈ N : x2 − 3x + 2 = 0} consta de los n´umeros naturales que satisfacen la ecuaci´on enunciada. Puesto que las u´ nicas soluciones de la ecuaci´on cuadr´atica x2 − 3x + 2 = 0 son x = 1 y x = 2, en lugar de escribir la expresi´on anterior, este conjunto se denota generalmente por {1, 2}, es decir, numerando sus elementos. b) En ocasiones se puede usar una f´ormula para abreviar la descripci´on de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto de todos los n´umeros naturales pares se podr´ıa denotar por {2x : x ∈ N}, en lugar de usar la expresi´on m´as complicada {y ∈ N : y = 2x, x ∈ N}. c) El conjunto {x ∈ N : 6 < x < 9} se puede escribir en forma expl´ıcita como {7, 8}, con lo cual se pone de manifiesto los elementos del conjunto. Desde luego, hay muchas otras descripciones posibles para este conjunto. Por ejemplo, {x ∈ N : 40 < x2 < 80}, {x ∈ N : x2 − 15x + 56 = 0}, {7 + x : x = 0 o x = 1}.

´ EL ALGEBRA DE CONJUNTOS

3

Operaciones con conjuntos A continuaci´on se dan algunos m´etodos para construir nuevos conjuntos a partir de otros ya dados. Definici´on 1.1.2 a) Si A y B son conjuntos, entonces su intersecci´on, denotada por A ∩ B, es el conjunto de todos los elementos que perteneces tanto a A como a B. (Ver figura 1.1) En otras palabras, se tiene A ∩ B := {x : x ∈ A y x ∈ B} b) La uni´on de A y B, denotada por A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o B. (Ver figura 1.2) En otras palabras, se tiene A ∪ B := {x : x ∈ A o x ∈ B}. En relaci´on con la uni´on de dos conjuntos, es importante tener presente el hecho de que el vocablo “o” se est´a usando en el sentido inclusivo. Decir x pertenece a A o B deja abierta la posibilidad de que x pertenezca a ambos conjuntos. En la terminolog´ıa legal este sentido inclusivo en ocasiones se indica por “y/o”. Se ha supuesto t´acitamente que la intersecci´on y la uni´on de dos conjuntos tambi´en es un conjunto. Entre otras cosas, esto requiere la existencia de un conjunto que no tenga elementos en com´un (es decir, si A ∩ B no tienen elementos en com´un, su intersecci´on no tiene elementos). Definici´on 1.1.3 El conjunto que no tiene elementos se llama conjunto vac´ıo y se denotar´a por el s´ımbolo ∅. Si A y B son conjuntos sin elementos en com´un (es decir, si A ∩ B = ∅), entonces se dice que A y B son disjuntos o que no se intersecan. El resultado siguiente establece algunas de las propiedades algebraicas de las operaciones con conjuntos que se acaban de definir. Puesto que las demostraciones de estas afirmaciones son rutinarias, se dejar´an en su mayor´ıa como ejercicios para el lector. Teorema 1.1.1 Sean A, B y C conjuntos cualesquiera, entonces a) A ∩ A = A, A ∪ A = A b) A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A c) (A ∩ B) ∩C = A ∩ (B ∩C), (A ∪ B) ∪C = A ∪ (B ∪C) d) A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C), A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C) En ocasiones se hace referencia a estas igualdades como propiedades de idempotencia, asociativa y distributiva, respectivamente, de las operaciones de intersecci´on y uni´on de conjuntos.

A

B

B

A∩B Figura 1.1. La intersecci´on de dos conjuntos.

A A∪B Figura 1.2. La uni´on de dos conjuntos.

A

B

A\B Figura 1.3. El complemento relativo.

En calidad de ejemplo de una demostraci´on, se probar´a la primera ecuaci´on de d). Sea x un elemento de A ∩ (B ∪C), entonces x ∈ A y x ∈ B ∪C. Esto significa que x ∈ A y que x ∈ B o x ∈ C. Por tanto se tiene que i x ∈ A y x ∈ B o que ii x ∈ A y x ∈ C. Por lo tanto, x ∈ A ∩ B o x ∈ A ∩C, de donde x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩C). Con esto se demuestra que A ∩ (B ∪C) es un subconjunto de (A ∩ B) ∪ (A ∩C). Rec´ıprocamente, sea y un elemento de (A ∩ B) ∪ (A ∩C). Entonces, iii y ∈ A ∩ B o iv y ∈ A ∩C. Se concluye que y ∈ A y que y ∈ B o y ∈ C. Por tanto, y ∈ A y y ∈ B ∪C de modo que y ∈ A ∩ (B ∪C). As´ı, (A ∩ B) ∪ (A ∩C) es un subconjunto de A ∩ (B ∪C) Con base en la definici´on 1.1.1, se concluye que los conjuntos A ∩ (B ∪C) y (A ∩ B) ∪ (A ∩C) son iguales.

4

PRELIMINARES

Considerando las relaciones del teorema 1.1.1 c), se acostumbra a omitir los par´entesis y escribir simplemente A ∩ B ∩C, A ∪ B ∪C. Es posible demostrar que si {A1 , A2 , ..., An } es una colecci´on de conjuntos, entonces existe un conjunto A con una definici´on u´ nica que consta de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A j , j = 1, 2, ..., n; y que existe un conjunto B con una definici´on u´ nica que consta de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos A j , j = 1, 2, ..., n. Omitiendo los par´entesis, es escribe A = A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An := {x : x ∈ A j para alguna j}, B = A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An := {x : x ∈ A j para toda j}. En ocasiones, a fin de economizar espacio, se imita la notaci´on empleada en las sumatorias y se usa la notaci´on m´as condensada, tal como A=

n ∪

Aj =

∪

{A j : j = 1, 2, ..., n},

j=1

B=

n ∩

Aj =

∩

{A j : j = 1, 2, ..., n}.

j=1

De manera similar, si para toda j de un conjunto J existe un conjunto A j , entonces ∪{A j : j ∈ J} denota el conjunto de todos los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos Ai . Del mismo modo, ∩{A j : j ∈ J} denota el conjunto de todos los elementos que pertenecen a todos los conjuntos A j para j ∈ J. Se introduce ahora otro m´etodo para construir un nuevo conjunto a partir de dos conjuntos dados. Definici´on 1.1.4 Si A y B son conjuntos, entonces el complemento de B con respecto a A es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a B. Este conjunto se denotar´a por A \ B (l´ease “A menos B”), aunque en ocasiones otros autores usan las notaciones afines A − B y A ∼ B. (Ver la figura 1.3) En la notaci´on introducida anteriormente, se tiene A \ B := {x ∈ A : x ̸∈ B}. En ocasiones el conjunto A se sobrentiende y no necesita mencionarse expl´ıcitamente. En esta situaci´on se hace referencia simplemente al complemento de B y A \ B se denota por C (B). Se enuncian a continuaci´on las leyes de De Morgan para tres conjuntos; en los ejercicios se dar´a una formulaci´on m´as general de ellas.

Teorema 1.1.2 Si A, B y C son conjuntos cualesquiera, entonces A \ (B ∪C) = (A \ B) ∩ (A \C), A \ (B ∩C) = (A \ B) ∪ (A \C). Demostraci´on. Se har´a la demostraci´on de la primera relaci´on y la segunda se deja al lector. Para establecer la igualdad de los conjuntos, se prueba que todo elemento de A \ (B ∪C) est´a contenido tanto en (A \ B) como en (A \C), y rec´ıprocamente. Si x est´a en A \ (B ∪ C), entonces x est´a en A pero no est´a en B ∪ C. Por tanto, x est´a en A, pero no est´a en B ni en C. (¿Por qu´e?) Por lo tanto, x est´a en A pero no en B, y x est´a en A pero no en C. Es decir, x ∈ A \ B y x ∈ A \C, con lo cual se demuestra que x ∈ (A \ B) ∩ (A \C). Rec´ıprocamente, si x ∈ (A \ B) ∩ (A \C), entonces x ∈ (A \ B) y x ∈ (A \C). Por tanto, x ∈ A y x ̸∈ B y x ̸∈ C. Se concluye que x ∈ A y x ̸∈ (B ∪C), de donde x ∈ A \ (B ∪C). Puesto que los conjuntos (A \ B) ∩ (A \C) y A \ (B ∪C) contienen los mismos elementos, son iguales por la definici´on 1.1.1. Q.E.D.

EJERCICIOS

3

A×B

2

A×B

B b

•

5

(a, b)

1 0

a

1

A Figura 1.4. El producto cartesiano.

2

3

Figura 1.5. El producto cartesiano de A y B.

Producto cartesiano A continuaci´on se define el producto cartesiano de dos conjuntos. Definici´on 1.1.5 Si A y B son dos conjuntos no vac´ıos, entonces el producto cartesiano A × B de A y B es el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B. (Ver la figura 1.4) Por tanto, si A = {1, 2, 3} y B = {4, 5}, entonces el conjunto A × B es el conjunto cuyos elementos son los pares ordenados (1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5). El conjunto A × B se puede representar como el conjunto de los seis puntos del plano con las coordenadas que se acaban de enumerar. Con frecuencia se traza un diagrama (como el de la figura 1.4) para indicar el producto cartesiano de dos conjuntos A y B. Sin embargo, deber´a tenerse presente que este diagrama puede ser un tanto simplificado. Por ejemplo, si A := {x ∈ R : 1 ⩽ x ⩽ 2} y B := {x ∈ R : 0 ⩽ 1 o´ 2 ⩽ x ⩽ 3}, entonces en lugar de un rect´angulo, se tendr´ıa un trazo como el de la figura 1.5.

EJERCICIOS 1.1

Trazar un diagrama para representar los conjuntos mencionados en el teorema 1.1.1.

1.2

Demostrar el inciso c) del teorema 1.1.1.

1.3

Demostrar la segunda parte del inciso d) del teorema 1.1.1.

1.4

Demostrar que A ⊆ B si y s´olo si A ∩ B = A.

1.5 Demostrar que el conjunto D de todos los elementos que pertenecen a A o a B pero no a ambos est´a dado por D = (A \ B) ∪ (B \ A). Ese conjunto D suele llamarse la diferencia sim´etrica de A y B. Representarlo en un diagrama. 1.6 Demosrar que la diferencia sim´etrica D, definida en el ejercicio anterior, tambi´en est´a dada por D = (A ∪ B) \ (A ∩ B). 1.7

Si B ⊆ A, demostrar que B = A \ (A \ B).

1.8 Dados los conjuntos A y B, demostrar que los conjuntos A ∩ B y A \ B son disjuntos y que A = (A ∩ B) ∪ (A \ B). 1.9 1.10

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, demostrar que A ∩ B = A \ (A \ B). Si {A1 , A2 , ..., An } es una colecci´on de conjuntos y si E es un conjunto cualquiera, demostrar que E∩

n ∪ j=1

.

Aj =

n ∪ j=1

(E ∩ A j ), E ∪

n ∪ j=1

Aj =

n ∪ j=1

(E ∪ A j )

6

PRELIMINARES

This is the subsubsection Here is some text after the subsubsection. Here is some text after the subsubsection. Here is some text after the subsubsection. Here is some text after the subsubsection. 1.1.0.1

This is the paragraph

Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some text. Here is some

normal text.

1.2 Tips On Special Section Heads Here are some things you can do for a special section head.

1.3 Break Long Section heads with double backslash Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text.

1.4 Here is a Section Title See this section head for information on how to explicitly break lines in table of contents.

1.5 How to get lower case in section head:

pH

Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text.

1.6 How to use a macro that has both upper and lower case parts: VT xyz See the top of this file where the definition and box were set.

1.7 Equation For optimal vertical spacing, no blank lines before or after equations

αβ Γ∆ as you see here.

(1.1)

CAP´ITULO 2

FIRST EDITED BOOK SAMPLE CHAPTER TITLE G. Alvarez and R. K. Watts Carnegie Mellon University, Pittsburgh, Pennsylvania

2.1 Here is a normal section Here is some text.

Introducci´on al an´alisis matem´atico de una variable, Segunda Edici´on. c 2016 John Wiley & Sons, Inc. By Robert G. Bartle Copyright ⃝

7

CAP´ITULO 3

SECOND EDITED BOOK SAMPLE CHAPTER TITLE George Smeal, Ph.D.1 , Sally Smith, M.D.2 and Stanley Kubrick1 1 AT&T

Bell Laboratories Murray Hill, New Jersey Medical School, Boston, Massachusetts

2 Harvard

3.1 Sample Section Here is some sample text.

Introducci´on al an´alisis matem´atico de una variable, Segunda Edici´on. c 2016 John Wiley & Sons, Inc. By Robert G. Bartle Copyright ⃝

9

10

SECOND EDITED BOOK SAMPLE CHAPTER TITLE

3.2 Example, Figure and Tables

Optional Example Name

EJEMPLO 3.1

Use Black’s law [Equation (6.3)] to estimate the reduction in useful product life if a metal line is initially run at 55◦ C at a maximum line current density. illustration here Figura 3.1. Short figure caption.

Figura 3.2. Oscillograph for memory address access operations, showing 500 ps address access time and superimposed signals of address access in 1 kbit memory plane.

Table 3.1. Small Table one

two

three

four

C

D

E

F

Table 3.2. Effects of the two types of αβ ∑AB scaling proposed by Dennard and co-workersa,b Parameter

κ Scaling

κ , λ Scaling

Dimension

κ −1

λ −1

Voltage

κ −1

κ −1

Currant

κ −1

λ /κ 2

κ

λ 2 /κ

Dopant Concentration a Refs. bκ , λ

3.2.1

19 and 20. > 1.

Side by Side Tables and Figures Space for figure...

Space for second figure...

Figura 3.3. This caption will go on the left side of the page. It is the initial caption of two side-by-side captions.

Figura 3.4. This caption will go on the right side of the page. It is the second of two side-by-side captions.

The command \sidebyside{}{} works similarly for tables: Table 3.3. Table Caption

Table 3.4. Table Caption

one

two

three

four

A

B

C

D

a

little

sample

table

a

second little

sample

table

When using \sidebyside, one must use the cross referencing command \label{} after and outside of \caption{}: \begin{table} \sidebyside{\caption{Table Caption}\label{tab1} first table} {\caption{Table Caption}\label{tab2} second table} \end{table} or,

ALGORITHM

11

\begin{figure} \sidebyside{\vskip\caption{fig caption}\label{fig1}} {\vskip\caption{fig caption}\label{fig2}} \end{figure} 3.3 Algorithm This is a sample algorithm. Algorithm 3.1 state transition algorithm { for each neuron j ∈ {0, 1, . . . , M − 1} { calculate the weighted sum S j using Eq. (6); if (S j > t j ) {turn ON neuron; Y1 = +1} else if (S j < t j ) {turn OFF neuron; Y1 = −1} else {no change in neuron state; y j remains unchanged;} } }

Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. Here is some normal text. This is a sample of extract or quotation. This is a sample of extract or quotation. This is a sample of extract or quotation.

a) This is the first item in the numbered list. b) This is the second item in the numbered list. This is the second item in the numbered list. This is the second item in the numbered list. This is the first item in the itemized list. This is the first item in the itemized list. This is the first item in the itemized list. This is the first item in the itemized list. This is the first item in the itemized list. This is the first item in the itemized list. This is the first item in the itemized list. This is the first item in the itemized list. PROBLEMS 3.1 For Hooker’s data, Problem 1.2, use the Box and Cox and Atkinson procedures to determine a appropriate transformation of PRES in the regression of PRES on TEMP. find λˆ , λ˜ , the score test, and the added variable plot for the score. Summarize the results. 3.2 The following data were collected in a study of the effect of dissolved sulfur on the surface tension of liquid copper (Baes and Killogg, 1953). Y = Decrease in Surface Tension x = Weight % sulfur

(dynes/cm), two Replicates

0.

034

301

316

0.

093

430

422

0.

30

593

586

a) Find the transformations of X and Y sot that in the transformed scale the regression is linear. b) Assuming that X is transformed to ln(X), which choice of Y gives better results, Y or ln(Y )? (Sclove, 1972).

12

SECOND EDITED BOOK SAMPLE CHAPTER TITLE

c) In the case of α1 ?

d) In the case of α2 ?

3.3

Examine the Longley data, Problem 3.3, for applicability of assumptions of the linear model.

3.4

In the case of Γ1 ?

3.5

In the case of Γ2 ?

EJERCICIOS 3.1 For Hooker’s data, Exercise 1.2, use the Box and Cox and Atkinson procedures to determine a appropriate transformation of PRES in the regression of PRES on TEMP. find λˆ , λ˜ , the score test, and the added variable plot for the score. Summarize the results. 3.2 The following data were collected in a study of the effect of dissolved sulfur on the surface tension of liquid copper (Baes and Killogg, 1953). Y = Decrease in Surface Tension x = Weight % sulfur

(dynes/cm), two Replicates

0.

034

301

316

0.

093

430

422

0.

30

593

586

a) Find the transformations of X and Y sot that in the transformed scale the regression is linear. b) Assuming that X is transformed to ln(X), which choice of Y gives better results, Y or ln(Y )? (Sclove, 1972). c) In the case of ∆1 ?

d) In the case of ∆2 ?

3.3

Examine the Longley data, Problem 3.3, for applicability of assumptions of the linear model.

3.4

In the case of Γ1 ?

3.5

In the case of Γ2 ?

3.4 Summary This is a summary of this chapter. Here are some references: [1], [4].

REFERENCES 1. J. S. Kilby, “Invention of the Integrated Circuit,” IEEE Trans. Electron Devices, ED-23, 648 (1976). 2. R. W. Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers, Chapter N-1, McGraw-Hill, New York, 1962. 3. J. Lee, K. Mayaram, and C. Hu, “A Theoretical Study of Gate/Drain Offset in LDD MOSFETs” IEEE Electron Device Lett., EDL-7(3). 152 (1986). 4. A. Berenbaum, B. W. Colbry, D.R. Ditzel, R. D Freeman, and K.J. O’Connor, “A Pipelined 32b Microprocessor with 13 kb of Cache Memory,” it Int. Solid State Circuit Conf., Dig. Tech. Pap., p. 34 (1987).

´ Apendice: This is the Chapter Appendix Title This is an appendix with a title.

αβ Γ∆

Figura 3-A.1. This is an appendix figure caption.

´ Apendice This is a Chapter Appendix without a title.

(A.1)

´ APENDICE

13

Table 3-A.1. This is an appendix table caption Date

Event

1867

Maxwell speculated the existence of electromagnetic waves.

1887

Hertz showed the existence of electromagnetic waves.

1890

Branly developed technique for detecting radio waves.

1896

Marconi demonstrated wireless telegraph.

1897

Marconi patented wireless telegraph.

1898

Marconi awarded patent for tuned communication.

1898

Wireless telegraphic connection between England and France established.

Here is a math test to show the difference between using Computer Modern math fonts and MathTimes math fonts. When MathTimes math fonts are used the letters in an equation will match TimesRoman italic in the text. (g, i, y, x, P, F, n, f, etc.) Caligraphic fonts, used for A BC below, will stay the same in either case. gi (y| f ) = ∑ P(x|Fn ) fi (y|x)A BC

(B.1)

x

where gi (y|Fn ) is the function specifying the probability an object will display a value y on a dimension i given Fn the observed feature structure of all the objects.

´ APENDICE A THIS IS THE APPENDIX TITLE

This is an appendix with a title.

αβ Γ∆

(A.1)

Figura A.1. This is an appendix figure caption.

Table A.1. Appendix table caption Alpha

Beta

Gamma

Delta

α

β

Γ

∆

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´ APENDICE B

This is an appendix without a title. Here is a math test to show the difference between using Computer Modern math fonts and MathTimes math fonts. When MathTimes math fonts are used the letters in an equation will match TimesRoman italic in the text. (g, i, y, x, P, F, n, f, etc.) Caligraphic fonts, used for A BC below, will stay the same in either case. gi (y| f ) = ∑ P(x|Fn ) fi (y|x)A BC

(B.1)

x

where gi (y|Fn ) is the function specifying the probability an object will display a value y on a dimension i given Fn the observed feature structure of all the objects.

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´ APENDICE C ALTERNATE REFERENCE STYLES

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BIBLIOGRAF´IA

1. J. S. Kilby, “Invention of the Integrated Circuit,” IEEE Trans. Electron Devices, ED-23, 648 (1976). 2. R. W. Hamming, Numerical Methods for Scientists and Engineers, Chapter N-1, McGraw-Hill, New York, 1962. 3. J. Lee, K. Mayaram, and C. Hu, “A Theoretical Study of Gate/Drain Offset in LDD MOSFETs” IEEE Electron Device Lett., EDL-7(3). 152 (1986). 4. A. Berenbaum, B. W. Colbry, D.R. Ditzel, R. D Freeman, and K.J. O’Connor, “A Pipelined 32b Microprocessor with 13 kb of Cache Memory,” it Int. Solid State Circuit Conf., Dig. Tech. Pap., p. 34 (1987).

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´INDICE TEMATICO ´

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