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MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRÁULICA 159

7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES 7.1 INTRODUCCIÓN El flujo uniforme rara vez ocurre en la naturaleza, debido a que los canales naturales son noprismáticos e irregulares. Aún en canales prismáticos, la ocurrencia de flujo uniforme es relativamente poco frecuente, debido a la existencia de controles hidráulicos, tales como cambios de pendiente, umbrales, vertederos, compuertas, etc., los cuales imponen una relación profundidaddescarga distinta de la apropiada para flujos uniformes. No obstante lo anterior, el flujo uniforme es una condición de importancia básica para el tratamiento de los problemas de diseño de canales. Por ejemplo, si se proyecta instalar ciertos controles en un canal de riego, es necesario comparar su relación caudal-profundidad con la del flujo uniforme, y el carácter del flujo en el canal dependerá de la forma que resulte de dicha comparación. En un canal con determinadas pendiente y rugosidad, que conducirá cierto caudal, la condición del flujo uniforme es el criterio que gobierna el área de la sección transversal mínima requerida, o aún cuando exista otro criterio que determine las dimensiones de la sección, éstas no podrán ser menores que dicha sección mínima. De otro lado, las fuerzas que actúan sobre un líquido, moviéndose en un canal, son las de tensión superficial, de gravedad, fuerzas de resistencia o de fricción, desarrolladas éstas principalmente en las fronteras sólidas y en la superficie libre, las fuerzas de inercia, debidas a la naturaleza casi siempre turbulenta del flujo, la presión normal a las paredes y al fondo del canal y a las secciones transversales del volumen de control, y, ocasionalmente, las fuerzas debidas al movimiento de sedimentos. La interacción de estas fuerzas da lugar a la complejidad del flujo a superficie libre, y únicamente, a base de simplificaciones y generalizaciones, es posible el entendimiento y análisis de la mecánica del movimiento. Para que un flujo uniforme se presente se requiere que, además de que el canal tenga una sección transversal, una rugosidad y una pendiente constantes, exista un equilibrio entre la componente del peso del líquido, en el sentido del flujo, y la fuerza de resistencia al movimiento. 7.2 OBJETIVOS  Comprobar la existencia de flujo uniforme en un tramo del canal de pendiente variable.  Determinar el coeficiente de rugosidad de las paredes del canal, llámese éste coeficiente de Chézy, C, o coeficiente de Manning, n, o coeficiente de rugosidad absoluta, k.  Analizar la variación de los coeficientes C y n con el número de Reynolds y el radio hidráulico del flujo.

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

7.3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 7.3.1 Definición de flujo uniforme. Un flujo uniforme es aquél en el cual la profundidad, y, el área mojada, A, y la velocidad del flujo, v , son constantes a lo largo del canal. Véase la Figura 7.1.

FIGURA 7.1. Perfil longitudinal y sección transversal del flujo uniforme en un canal abierto.

Matemáticamente se expresa así:

y v A    x x x

0

(7.1)

donde x es la dirección del flujo. El flujo uniforme puede ser: permanente, laminar, turbulento, crítico, subcrítico o supercrítico. El flujo uniforme no-permanente no es físicamente posible, debido a que, para que ocurra, se requiere que la superficie libre se levante o caiga, de un instante a otro, en forma paralela al fondo del canal. La profundidad del flujo uniforme se conoce con el nombre de profundidad normal , y se denota por yn. Una condición importante para el flujo uniforme es que la distribución o perfil de velocidades debe ser idéntica en todas las secciones transversales del flujo. Ello implica la constancia de los coeficientes  y , a lo largo del flujo uniforme. Por lo anterior, un flujo, en un canal abierto, es uniforme si se cumplen las siguientes igualdades: y1

 y2

A1  A 2 v1

 v2

 v1 2g

2



 y3

   yn

 A3  v3

 v2 2g

(7.2)

   An

(7.3)

   vn

2



 v3 2g

2



(7.4)

 vn 2g

2

(7.5)

Por lo tanto, hay una consecuencia importante: la línea de energía total es paralela a la superficie libre del flujo y a la superficie del fondo del canal, con lo cual se verifica que:

Sf

 Sw

 S0  S

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(7.6)

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MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRÁULICA 161

7.3.2 Ecuaciones para la velocidad en flujo uniforme. A excepción de la fórmula de Chèzy, todas las ecuaciones para el cálculo de la velocidad del flujo uniforme son de carácter empírico y tienen la siguiente estructura: x

v  K RH S 0

x

(7.7)

donde: K : Coeficiente de resistencia. Constante que depende del número de Reynolds, R, y de la forma y rugosidad del canal. x,y : Exponentes empíricos. RH : Radio hidráulico de la sección del flujo. S0 : Pendiente longitudinal del fondo del canal. Existe una ecuación que es semi-racional, que combina la ecuación de Darcy  Weisbach con la ecuación empírica de Colebrook  White, que también, y últimamente, se emplea para el cálculo del flujo uniforme. Posteriormente se tratará esta ecuación. 7.3.2.1 Ecuación de Chèzy ( Antoine Chèzy, ingeniero francés, 1769 ). Supóngase un canal de sección cualquiera, en el cual se presenta un flujo uniforme como el de la Figura 7.2. Como quiera que la profundidad y la velocidad media del flujo permanecen constantes, la aceleración del movimiento, al pasar el líquido de una sección a otra, es igual a cero.

FIGURA 7.2. Análisis de fuerzas que intervienen en un flujo uniforme.

De este modo, al establecer la ecuación de equilibrio dinámico del prisma de líquido en movimiento, de longitud L , entre dos secciones normales, se tendría que la componente del peso en la dirección del escurrimiento debe ser igual a la fuerza de fricción producida en el fondo y paredes del canal, evaluada por el esfuerzo tangencial, 0, sobre dichas fronteras sólidas. Véase la Figura 7.2. Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento al volumen de control de la Figura 7.2, se tiene:

F 

ext



    ρ v β v dA   t sc





   ρ β v dvol  ρ Q β 2 v 2  β1 v 2 

F1  Ff  W senθ  Faire  F2  ρ Q β2 v 2  β1 v1 

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(6.1)

vc

(7.8)

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

Pero,

F1

  y1 A1

 F2

  y2 A 2

,y

v1

 v 2 , por ser flujo uniforme

Luego, despreciando la fuerza de resistencia debida al aire, resulta: W senθ  Ff

(7.9)

Es decir: La componente del peso en sentido del flujo = la fuerza de resistencia al flujo. W sen    0 A lateral

(7.10)

 A L sen  0 P L

(7.11)

0

A     sen  P

(7.12)

0

  R H sen θ

(7.13)

Además, para ángulos pequeños (  , sen   tan  = So. Luego, 0

  RH S0

(7.14)

Antes de seguir con la deducción de la ecuación de Chèzy, se aprovechará el resultado de la ecuación anterior para introducir el concepto de velocidad de fricción, formulado por Schlichting: 0

  gR H S 0

(7.15)

0 ρ

 gR H S 0

(7.16)

De donde,

Sacando raíz cuadrada a ambos lados, se tiene: 0  gR H S 0 ρ Schlichting llamó al término

(7.17)

L  0 velocidad de fricción, vf, por tener dimensiones  T  , y 

por deberse al esfuerzo cortante desarrollado entre el fluido y las paredes del canal, aunque físicamente no represente una velocidad como tal. A este término también suele denotársele, en los textos clásicos de Hidráulica, como v*. Además, este término es el que da origen al número de Reynolds de fricción, Rf o R* , parámetro fundamental en transporte de sedimentos.

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Luego, vf

0 ρ

 v* 



gR H S 0

(7.18)

De otro lado, Newton desarrolló un expresión para el esfuerzo 0, ejercido sobre una superficie sólida, por la acción de una corriente fluida, y es: 0

ρv2 f 8



(7.19)

f : coeficiente de fricción, de Darcy. Es función del número de Reynolds, de la rugosidad de las paredes y del tamaño y forma de la sección transversal del canal. Reemplazando (7.15) en (7.19), se tiene: 

ρ gRH S0

v2



ρv2 f 8

8 gR H S 0 f

8g R H S0 f Ahora, llamando coeficiente de Chèzy, C: v 

(7.20)

8g f

C 

(7.21)

resulta:

v  C

RH S0

Ecuación de Chèzy

(7.22)

Al aplicar la ecuación de caudal, resulta:

Q  CA

RH S0

(7.23)

Las dimensiones de C son las que se derivan de la siguiente ecuación: C 

C

v 12 RH S 0

(7.24)

12

 LT   L1 2    12   T  L a dim  

Ejemplos de unidades de C son: m1/2/ s , pie1/2/ s , cm1/2/s , pulg1/2/ s

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

En la tabla siguiente, se muestran varias fórmulas para el cálculo del coeficiente de fricción de Chèzy Tabla 7.1. Ecuaciones para determinar el coeficiente de Chèzy

AUTOR

Ganguillet y Kutter (1869)

ECUACIÓN

41.65  0.00281 / S 0  1.811 / n C  n 1  1/ 2 41.65  0.00281 / S 0  RH

1/ 2

Kutter

Bazin (1897)

Koseny

100 R H C  1/ 2 m  RH C 

157 .6 1/ 2 1 m / RH

C  20 log y  NC

OBSERVACIONES Recomendable para canales naturales; cambios pequeños de n originan cambios grandes en C. RH en pie; C en pie1/2/s. n : coeficiente de rugosidad, de Manning (adim.). Es una simplificación de la ecuación de Ganguillet. m: coeficiente de rugosidad (adim.). RH en pie; C en pie1/2/s. Basada en un gran número de datos experimentales. m: coeficiente de rugosidad (adim.). Basada en datos experimentales, análoga a la de los tubos. y: profundidad hidráulica. NC: coeficiente de rugosidad.

Manning y Strickler

C 

(1890)

Pavlovskij

C 

 RH n

RH n

1/ 6

z

0.6

Es la ecuación más empleada. Se obtuvo a partir de siete fórmulas diferentes, basadas en los ensayos de Bazin. n: coeficiente de rugosidad, de Manning. : constante que depende del sistema de unidades empleado; véase el numeral 7.3.2.3. Considera que el exponente de la ecuación de Manning no es constante. Si RH  1 m, z = 1.5n. Si RH  1 m , z = 1.3 n0.6. Válida en el sistema métrico.

Martínez

C  17.7 log

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RH  13.6 d

d: diámetro (m) del grano del fondo del material del río. Válida para 0.15 m  RH  2.25 m.

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7.3.2.2 Ecuación de Manning (Robert Manning, Ingeniero irlandés, 1889). Como se presentó en la tabla anterior, el coeficiente de Manning tiene la siguiente expresión:

C 

 16 RH n

(7.25)

que reemplazada en la ecuación de Chèzy, produce lo siguiente: 23

v 

R H S 0 n

12

Ecuación de Manning

(7.26)

Donde, n : coeficiente de rugosidad, de Manning (adimensional). Aplicando la ecuación de caudal, Q = v A, resulta la ecuación de Manning para el caudal: 23

Q 

 A RH S 0 n

12

Ecuación de Manning

(7.27)

Despejando  de (7.26), se obtiene:  



nv 12 RH S0



(7.28)

23

nv

R S  23

H

12

0



a dim L T L2 3 a dim

 L1 3     T 

En su ecuación original, Robert Manning encontró que:   1.486

pies1 3 s

 1.486 0.3048

13

m1 3 s

 1.000054796

m1 3 s

7.3.2.3 Ecuación de Darcy & Weisbach - Colebrook & White. Partiendo de la ecuación de Darcy & Weisbach, se tiene lo siguiente:

hf v2

v2

 f

L v2 D 2g

(7.29)

D h   2g  f  f L D  2 g Sf f

Donde Sf es la pérdida unitaria de carga, expresada en tanto por uno, es decir, en decimales.

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

Sacando raíz cuadrada a ambos miembros de la ecuación anterior, resulta: v 

1 f

2 gD S f

(7.30)

Por otro lado, para flujos turbulentos en tuberías con superficie hidráulicamente rugosa, Colebrook & White propusieron la siguiente ecuación: 1 f

  / D 2.51     2 log    3 . 7 R f  

Ecuación de Colebrook  White

(7.31)

Donde  es el coeficiente de rugosidad absoluta de la pared interior de la tubería. Este término se reemplazará por k, en flujos en canales. Reemplazando (7.31) en (7.30), se tiene:   / D 2.51   v   2 log    3 . 7 R f  

2 gD S f

(7.32)

Además, reemplazando R = v D/ en la ecuación anterior, se tiene:   /D 2.51 v   2 2 gD S f log    3.7 v D f   

     

(7.33)

Reemplazando la velocidad v de la ecuación (7.30) en (7.33), y ordenando términos, se tiene:

  /D v   2 2 gD S f log   1  3.7  f 

  2.51    2 gD S f D f  

 /D 2.51  v   2 2 gD S f log    3.7 D 2 gD S f 

   

(7.34)

(7.35)

Aplicando la ecuación de caudal, Q = v A; se tiene:  /D 2.51  Q   2 A 2 gD S f log    3.7 D 2 gD S f 

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   

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  /D  D2  2.51   2 gD S f log  Q   2     4   3.7 D 2 g D S f  D2 Q   2

 /D 2.51  2 gD S f log    3.7 D 2 gD S f 

   

   

(7.36)

Las ecuaciones (7.35) y (7.36) son válidas para flujos a presión en conductos circulares. Para utilizar dichas ecuaciones en el cálculo de flujo uniforme en canales abiertos, se debe sustituir el diámetro D por un Dequiv = 4RH, y, además, se hacen  = k y Sf = S0 . En efecto, la ecuación (7.35) se convierte en:  k 4 RH v   4 2 g4 R H  S 0 log    3.7 4R H   k v   32 gR H S 0 log    14.8 R H 2 R H 

2.51  2 g4 RH  S 0

2.51  4 2 g4 R H  S 0

 k 1.255  v   32 gR H S 0 log    14.8 R H R 32 gR S H H 0 

   

   

   

(7.37)

Aplicando la ecuación de continuidad, se obtiene la siguiente ecuación para el caudal:  k 1.255  Q   A 32 gR H S 0 log    14.8 R H R 32 gR S H H 0 

   

(7.38)

Esta es la ecuación de Darcy  Weisbach y Colebrook  White para flujo uniforme en canales abiertos, y es válida para conductos circulares y no circulares. 7.3.3 Factores que afectan el coeficiente de rugosidad. En general, la resistencia al flujo en canales depende de la rugosidad de sus paredes y del número de Reynolds del flujo. Sin embargo, se ha comprobado que el coeficiente de fricción, f, se hace independiente del número de Reynolds, R, para valores altos de éste, es decir, para flujos turbulentos completamente desarrollados. Despejando n de la ecuación (7.25), se tiene:

n 

 16 RH C

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(7.39)

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

y reemplazando C, de la ecuación (7.21), en la ecuación anterior, se tiene: n 

 RH

16

8g f

De donde:    1/ 6 R n    8g  H  

f

(7.40)

La ecuación anterior prueba que n es función del RH y de f, pero este último coeficiente, en flujos turbulentos completamente desarrollados, es independiente del número de Reynolds. Ello explica el hecho de que, aún en flujos altamente turbulentos, el coeficiente de rugosidad, n, no es estrictamente constante, sino que depende del radio hidráulico, el cual, a su vez, varía con la profundidad del flujo, y, con la magnitud de éste, Q, y con la forma y dimensiones de la sección transversal del canal. A continuación se presentan los principales factores que afectan el valor del coeficiente de rugosidad, n, de un canal:  La rugosidad, n, varía con la profundidad del flujo. Se ha comprobado que, con el aumento de la profundidad, disminuye el valor del coeficiente n. Sin embargo, cuando el nivel del agua alcanza las orillas de un cauce natural, y éstas presentan material grueso, el coeficiente de rugosidad, n, aumenta apreciablemente.  La rugosidad depende del material del lecho o del canal. En efecto, para material fino, n es bajo, y para material grueso, n es alto.  La rugosidad depende de las irregularidades del canal, de los cambios en la forma geométrica de la sección transversal, y de los cambios en las dimensiones de ésta.  La rugosidad varía con los cambios en el alineamiento de canal. Efectivamente, n varía con los cambios en el alineamiento horizontal del canal y con los cambios en la pendiente longitudinal del mismo.  La presencia de obstáculos en el cauce modifican el valor de la rugosidad del canal. Es decir, n aumenta con el número y distribución de los obstáculos.  Los procesos de erosión y sedimentación activos producen cambios en la rugosidad. Obviamente, estos procesos modifican continuamente la forma de la sección transversal del cauce natural de la corriente, con lo cual se altera el valor del coeficiente de rugosidad.  Las variaciones del caudal y, por tanto, de la profundidad, y del número de Reynolds, también producen cambios en el valor de la rugosidad. El tipo, densidad y distribución de la vegetación desarrollada en el cauce de un canal producen un aumento en el valor de la rugosidad. En efecto, la vegetación ofrece una resistencia adicional al movimiento de la masa líquida a lo largo del canal.

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Tabla 7.2. Valores normales de n y k para distintos materiales

Tipo de material de las paredes del canal Vidrio Material liso (latón, cobre, plomo, aluminio) Mampostería, ladrillo Asbesto-cemento Acero no-revestido Acero revestido Concreto Ladrillo vitrificado Gres (arcilla o barro) vitrificado P.V.C.

n (adim) 0.009 - 0.010 0.010 0.014 0.010 0.012 0.013 0.013 0.025 0.013 0.010

k (mm) 0.003 1.20 0.03 0.03 0.06 0.15 1.50 0.06 0.03

7.3.4 Cálculo de la profundidad normal, yn . En las ecuaciones (7.23), (7.27) y (7.40), para un Q dado, los parámetros A y RH llevan implícita la profundidad del flujo uniforme. Esta profundidad es la profundidad normal, yn. El cálculo de la yn, de un flujo uniforme, para una forma geométrica dada de la sección transversal del canal, con cualquiera de las ecuaciones arriba citadas, es un proceso que conduce a un polinomio de grado fraccional, no-explícito para yn, cuya solución sólo es posible a través de un método iterativo. Para facilitar y agilizar el cálculo de la profundidad normal, se han preparado dos programas en lenguaje BASIC, que resuelven iterativamente las ecuaciones de Manning y Darcy  WeisbachColebrook  White, cuyos listados aparecen en el Anexo A2. 7.3.5 Flujo uniforme en conductos circulares. El flujo uniforme en conductos circulares es el supuesto fundamental para el diseño de colectores en sistemas de alcantarillados de aguas residuales y pluviales. Es ésta la razón por la cual, a continuación, se hace un desarrollo teórico y amplio de la hidráulica de conductos circulares.

FIGURA 7.3 Elementos geométricos del flujo en conductos circulares.

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

Las ecuaciones básicas para el cálculo de flujo uniforme, en canales circulares, son:

 2y  θ  2 cos-1  1    d0    

y d0



(7.41)

θ 2

(7.42)

1  cos  

(7.43)

2

ó, de la ecuación (7.41), resulta:

y 1     1  cos   do 2  2 

(7.44)

T  2 y (d0  y) d P  θ 0 2

(7.45) (7.46)

d02 (θ  senθ) 8 d θ  senθ   0 4 θ

A 

(7.47)

RH

(7.48)

Retomando la ecuación de Manning, (7.26), para la velocidad del flujo en un canal circular, se tiene lo siguiente:

v



 R H 2 3 S 01 2 n

(7.26)

Reemplazando la ecuación (7.48), para el radio hidráulico, en la ecuación anterior, se obtiene la velocidad del flujo para la sección circular parcialmente llena, así:   d0  v    n 4 

23

 θ  sen θ    θ  

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23

S0

12

(7.49)

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Es decir,

 d0 2 3 S01/ 2  θ  senθ    42 3 n  θ 

v 

23

(7.50)

La ecuación para la velocidad del flujo en un conducto circular completamente lleno se obtiene haciendo  = 2 en la ecuación (7.50), así: 23

v LL



 d0 S 0 42 3 n

v LL



  d0    n 4 

1/ 2

 2   sen 2     2  

23

23

S 01 2

(7.51)

Reorganizando términos, resulta: v LL



 d0 2 3 S 10/ 2 42 / 3 n

(7.52)

Ahora, suponiendo constante el coeficiente de rugosidad, n, y dividiendo la ecuación (7.50) por la (7.52), se obtiene la siguiente relación de velocidades:

v v LL

 θ  sen θ     θ  

23

(7.53)

La ecuación (7.53) expresa la relación entre la velocidad del flujo en un conducto circular, para una profundidad dada, y < do, y la velocidad del flujo en el mismo conducto cuando éste se encuentra totalmente lleno, es decir, cuando y = do. Este mismo procedimiento se realiza para hallar la relación entre el caudal de flujo en un conducto circular parcialmente lleno y el caudal del flujo en el mismo conducto completamente lleno. Retomando la ecuación de Manning, para el caudal, se tiene lo siguiente:

Q 

 2/3 1/ 2 A R H S0 n

(7.27)

Reemplazando la ecuación (7.48), para radio hidráulico, y la ecuación (7.47), para el área mojada, en la ecuación anterior, se obtiene el caudal de flujo para una conducción circular parcialmente llena:  d0 Q  n

2

   sen    d 0  2 3    sen   2 3 S 1/ 2 8

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  4

 



 

0

(7.54)

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

Reorganizando términos, se tiene:   d 0 8 3 S 01/ 2      sen  5 3    Q   53 23     2 4 n    

(7.55)

Ahora, el caudal del flujo para una conducción circular completamente llena se obtendrá reemplazando el valor de   2 en la ecuación (7.55), así:

Q LL

  d 0 8 3 S 01 / 2    2   sen 2  5 3      53 23    2  4 n  2     

QLL

   d0  n  4

2

  d 0  2 3 1/ 2    S0  4  

(7.56)

Reorganizando los parámetros de esta ecuación, resulta: QLL

83 1/ 2   d0 S 0  n 45 3

(7.57)

Nuevamente, suponiendo n constante y dividiendo el caudal del flujo para una conducción circular parcialmente llena, por el caudal del flujo en la misma conducción, pero completamente llena, es decir, la ecuación (7.55) dividida por la (7.57), se obtiene la siguiente relación: Q Q LL

53 1   sen   2 3 2

(7.58)

Las relaciones v/vLL y Q/QLL, expresadas por las ecuaciones (7.53) y (7.58), respectivamente, se grafican en función de la relación y/do, esta última llamada relación de ocupación. Véase la Figura 7.4.

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FIGURA 7.4. Relaciones adimensionales para el flujo uniforme en conductos circulares.

Obtenidas las relaciones (7.53) y (7.58), el siguiente paso es hallar los puntos críticos para las relaciones de velocidad y caudal, en conductos circulares parcial y totalmente llenos; es decir, aquellos valores de  y de la relación y/do que hacen máximos los valores de las relaciones v/vLL y Q/QLL . Con este objetivo, se derivarán las anteriores relaciones con respecto al ángulo , así: Derivando la ecuación (7.53) con respecto a , se tiene: d  v  2    sen         d  v LL  3 

1/ 3

 d  v  2       d  v LL  3    sen  

1/ 3

d    sen      d  

(7.59)

 1  cos     sen 1   2

d  v  2 1 3     cos     sen       13  d  v LL  3   sen   2  d  v  2 1 3    cos   sen       13  d  v LL  3   sen   2 

d v  d  v LL

 2 1    sen   cos   53 3    sen1/ 3 

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(7.60)

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174

7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

Igualando a cero, la derivada anterior, se tiene: 2 1  sen    cos    0 53 3    sen  1 / 3

de donde se concluye que:

sen   cos  0 sen    cos 

 

sen cos 

  tan 

(7.61)

Cuya solución es:

c v  4.49340945 791 rad

(7.62)

Sustituyendo este valor de c en la ecuación (7.44), se obtiene el valor correspondiente de la relación y/do:

 y  1    2  do  c v

  4.49340945 791   1  cos 2   

 y     0.8128  do  c v

(7.63)

Ahora, reemplazando el ángulo c en la ecuación (7.53) se obtiene la relación de velocidades (v / vLL)máx, así:  v      v LL  máx

 4.4934094579 1  sen 4.4934094579 1    4.4934094579 1  

23

 v     1.14  v LL  máx

(7.64)

v máx  1.14 v LL

(7.65)

1a Conclusión: La velocidad máxima del flujo en un conducto circular no ocurre a tubo lleno, sino para un valor de y = 0.8128d0, y es un 14 % mayor que la velocidad del flujo a tubo lleno.

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MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRÁULICA 175

Análogamente, se procederá con la relación de caudales, a partir de la ecuación (7.58).    

53 1 d    sen     2 d  2 3 

d  Q  d  QLL

   

 23 5 23 5 3 2 1 3      sen  1  cos     sen      1 3 3   2  4 3   

d  Q  d  QLL

   

1 1 2 3 23     sen  2 3

d  Q  d  QLL

   

2 3   sen  6

d  Q  d  QLL

   

  sen2 3 5   5  cos   2   2 sen

d  Q  d  QLL

d Q     d  QLL 

23

    sen    5 1  cos   2     

 5  1  cos   2   sen    

6  1 3

  sen 2 / 3  3   5  cos   2 sen 

(7.66)

6  1/ 3

Igualando a cero la anterior derivada, se concluye que:

3  2 sen  5 cos  0 de donde:

 

5  cos   2 sen  3

(7.67)

 5.2781071379 3 rad

(7.68)

cuya solución, es:

c Q

Reemplazando el valor anterior en la ecuación (7.44), se tiene la correspondiente relación y/d o:

 y  1    2  do  c Q

  5.2781071379 1  cos 2  

 y     0.93818 d  o c Q

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3    (7.69)

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176

7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

Ahora, reemplazando el ángulo  c Q en la ecuación (7.58), se obtiene la relación de caudales máxima:  Q   Q LL

53  1 5.27810713793  sen 5.27810713793   2 5.278107137932 3  máx

 Q    Q  LL máx



1.0757

(7.70)

2a Conclusión: El caudal máximo del flujo en un conducto circular no es precisamente el caudal a tubo lleno, sino el correspondiente a una profundidad y = 0.93818d 0, y es 7.57 % mayor que este último. Cuando la relación profundidad / diámetro, y/do, es igual a 0.5,  = 0.5  . Entonces, sustituyendo 0.5 en la ecuación (7.53), produce el siguiente valor de la relación de velocidades: 23 23  v     sen                   v LL  0.5

 v     1.0  v LL  0.5

(7.71)

es decir,

v semilleno



v lleno

(7.72)

3a Conclusión: Con una relación de ocupación del 50 %, la velocidad del flujo en un conducto circular, a tubo semilleno, es exactamente igual a la velocidad del flujo a tubo lleno. Asimismo, llevando  = 0.5 =  a la ecuación (7.58), se obtiene la correspondiente relación de caudales, así:  Q     Q  LL  0.5

1   sen 5 3 23 2 

 Q     QLL  0.5

0.5

(7.73)

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

53



1  2  2 3



 2

 0.5

MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRÁULICA 177

lo cual significa que:

Q semilleno

1 Q lleno 2



(7.74)

4a Conclusión: El caudal del flujo en un conducto circular semilleno (y = d o / 2) es exactamente igual a la mitad del valor del caudal a tubo lleno. Por otra parte, las Normas de Diseño de Colectores de Alcantarillado, de las EE.PP. de Medellín, entre otras disposiciones, establecen lo siguiente: 1a Norma de diseño: Q/QLL  0.85 Luego, para el valor límite Q/QLL = 0.85, se tiene: Q QLL



5/3 1   sen   2 / 3 2

 0.85

(7.75)

Despejando el ángulo , resulta: 



23

  sen  5 / 3 2 0.85

de donde: 1.5





 1     1.7  



 sen  2.5

(7.76)

Cuya solución es:

0.85  4.00063390 997 rad

(7.77)

Reemplazando este valor de 0.85 en la ecuación (7.44), se obtiene el valor de y/do , así:

 y  1  4.00063390 997     1  cos   2 2    d o  0.85  y     0.7082  d o  0.85

(7.78)

5a Conclusión: En cumplimiento de la anterior norma de diseño, para cualquier relación Q/QLL  0.85, se obtendrán los siguientes resultados:

  4.00063390997 rad UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

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178

7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

  1.14127 rad y d0

 0.7082

2a Norma de diseño: y/do  0.75 Luego, para el valor extremo y/do = 0.75, se tiene:

 y  1       1  cos 0.75   0.75  2  2   d o  0.75   y   1  2     d0  0.75  

θ 0.75



2 cos

-1

θ 0.75



2 cos

-1

0.75



4   240 3

1  2 0.75  (7.79)

Por último, reemplazando este ángulo en la ecuación (7.58), se obtiene:

 Q     Q LL  0.75



4   1  3  2   

 Q    Q  LL  0.75



0.912

 4    sen    3   4     3 

23

53

    0.91187768 613   

entonces,



0.85

(7.80)

En consecuencia de lo anterior, se concluye lo siguiente: 6a Conclusión: Si se diseñan los colectores para una relación de ocupación y/do = 0.75, se incumple la norma que establece que Q/QLL  0.85. Un resumen esquemático de los puntos críticos y de las normas de diseño analizadas anteriormente se presenta en la Figura 7.5.

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MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE HIDRÁULICA 179

FIGURA 7.5. Resumen de los puntos críticos y condiciones particulares del flujo uniforme en conductos circulares.

7.3.6. Canales con rugosidad compuesta o múltiple. Cuando el canal es tal que presenta una composición heterogénea del material de su cauce, la rugosidad de las paredes de éste presenta también una variación espacial en su magnitud. Por ello, para toda la sección transversal se debe determinar una rugosidad equivalente, que, empleada en la ecuación de Manning, represente aproximadamente el comportamiento de cada una de las rugosidades de las diferentes porciones del lecho con rugosidad distinta a la de las demás. Véase la Figura 7.6.

FIGURA 7.6. Sección transversal de un canal de rugosidad múltiple

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180

7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

Se trata, entonces, de hallar el valor de una rugosidad equivalente, n eq,, para emplearse en la ecuación de Manning (7.27), de lo cual resulta:  A R H 2 3 S 01 2 neq



Q

(7.81)

neq: coeficiente de rugosidad equivalente que refleja el efecto de la multiplicidad de rugosidades que presenta el lecho del canal. Existen diversas fórmulas o ecuaciones para determinar un valor de neq, de la sección completa, a partir de las distintas porciones o subsecciones de la sección entera, y en función de otros parámetros hidráulicos, tales como son ni, RHi, Pi, Ai, A, P, RH. A continuación, se presentan dichas ecuaciones. 7.3.6.1. Ecuación de Horton & Einstein. Esta ecuación se basa en la siguiente hipótesis: La velocidad del flujo en cada subsección es igual a la velocidad media del flujo correspondiente a la sección completa; esto es:

v1  v 2  v 3  ....  v i  ...  v k  v  velocidad media

(7.82)

R H2 13 S1012 n1



 R2H23 S1022 n2

(7.83)

 RHi2 3 S10i2 ni



 R H2 3 S10 2 neq

R Hi2 3 ni RH

 ... 

 R Hi2 3 S10i2 ni

 ... 

23 12  R Hk S 0k nk

R H2 3 neq



 AP ;

A i Pi 2 3



ni

R Hi

 A i Pi

A P2 3 neq 32

Ai

A  ni   Pi P  neq 

A 

k

A i 1

i

32

An     i  Pi i  1 P  neq  k

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



 k   Pi ni 3 2 i  1 23 P



neq

P n   P 32



neq

1

1

2

n2



  

32

23

(7.84)

    P

k

P

nk

32



23

(7.85)

23

7.3.6.2 Ecuación de Lotter. Este autor se basó en la siguiente hipótesis: El caudal total, Q, de la sección completa es la suma de los caudales parciales correspondientes a cada una de las subsecciones de la sección entera.

Q 

k

Q i 1

 A R 2H 3 S10 2 n eq

(7.86)

i

 A i R Hi2 3 S10i2  ni i 1 k

 ... 



RH

 A P ; R Hi

neq



neq



i 1

A i R Hi2 3 ni

A R 2H 3 k A i R Hi2 3  ni i 1

neq

neq

k

 ...   S10i2 

(7.87)

(7.88)

P R H5 3 k  Pi R Hi5 3   ni i 1 

 A i Pi

y A  PRH ; A i

 Pi R Hi

(7.89)

  

A5 3 P2 3 k  A 5i 3    23   i1  n i Pi 



A

53

 A5 3  23 P  i 23    i 1  ni Pi 

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k

(7.90)

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

7.3.6.3 Ecuación de Pavlovskij. La hipótesis empleada por este autor es: La fuerza de resistencia al flujo, a través de la sección completa, es igual a la suma de las fuerzas de resistencia parciales debidas a todas y cada una de las subsecciones. Esta ecuación permite calcular un valor del coeficiente de rugosidad equivalente, de la siguiente manera:

 

neq



k 2   Pi ni    i 1 12 P

12

(7.91)

7.3.6.4 Ecuación de Cox. Este autor estima el coeficiente de rugosidad equivalente como un promedio ponderado de los coeficientes de rugosidad, n i, de cada subsección, de la siguiente manera: k

neq



 A n  i

i 1

i

A

(7.92)

7.3.6.5 Ecuación de Colbatch. Similarmente a la ecuación anterior, este autor pondera los coeficientes de rugosidad, ni, de cada subsección, con el área, Ai, correspondiente. De esta manera, obtuvo la siguiente ecuación:

 k 32   A i ni   neq   i 1 2 3  A

23

(7.93)

7.3.7 Ecuaciones empíricas para la estimación del coeficiente de rugosidad, de Manning. Además de las ecuaciones anteriores, diversos autores han desarrollado sus propias ecuaciones empíricas para estimar el coeficiente de rugosidad, n, en canales naturales, entre las cuales se citan las siguientes: 7.3.7.1 Ecuación de Strickler (1923). Ref. [7]: 16

n  0.047 d

(7.94)

Donde d es el diámetro (mm) de la arena uniforme adherida a los lados y al fondo del canal, medido bajo régimen crítico en un modelo experimental.

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7.3.7.2 Ecuación de Lacey, (1930-1946). Ref. [17] :

n 

0.0255 f

1 4

(7.95)

donde

f



12

 1.6 d , con d en mm.

(7.96)

El autor expresó el coeficiente n en función de un factor de finura del material del lecho y de las 

paredes del canal, f , el cual se obtiene en función del diámetro medio de las partículas, y cuya validez se limita a un rango de caudales de 5 pie3/s < Q < 5000 pie3/s y a un rango de partículas de 0.15 mm < d < 0.40 mm. 7.3.7.3 Ecuaciones de Keulegan, (1938 y 1949). Ref. [17]:

n 

0.0260 d50

16

(7.97)

n 

0.0416 d65

16

(7.97a)

n 

0.0249 d90

16

(7.97b)

No se conocen las unidades de los diámetros d50, d65 y d90 . 7.3.7.4 Ecuación de Meyer – Peter y Muller (1948). Ref. [7]: 16

n  0.038 d 90

(7.98)

Válida para mezclas de materiales de fondo con una significativa proporción de tamaños granulométricos. d90 es el diámetro (m) del material del fondo, tal que el 90% del material por peso tiene un diámetro menor. 7.3.7.5 Ecuación de Lane y Carlson (1953). Ref. [7]: 16

n  0.038 d 75

(7.99)

Obtenida a través de experimentos de campo, involucrando canales empedrados con guijarros; en esta ecuación, d70 es el diámetro (pulg) del material del fondo, tal que el 75% del material por peso tiene un diámetro menor.

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

7.3.7.6 Ecuación de Chow, (1959) Ref. [17]:

n 

16

0.0417 d65

(7.100)

No especifica unidades del diámetro d65. 7.3.7.7 Ecuación de Henderson (1966). Ref. [7]: 16

n  0.034 d

(7.101)

Henderson señaló que las investigaciones de Strickler estuvieron basadas en corrientes con fondos de grava, y no en un canal medidor de régimen crítico, y que d es el tamaño medio del material del fondo, en unidades no especificadas. 7.3.7.8 Ecuación de la administración de carreteras federales de los estados unidos , (1975). Ref. [17]:

n



16

0.0395 d50

(7.102)

No especifican las unidades del d50. 7.3.7.9 Ecuación de Raudkivi (1976). 16

n  0.042 d

(7.103)

Este autor continuó con el trabajo de Strickler, y propuso la anterior fórmula, donde d se expresa en metros. Alternativamente, el mismo autor propuso las siguientes ecuaciones empíricas: 16

n  0.013 d 65

(7.104)

donde d65 es el diámetro del material del fondo en milímetros tal que el 65% del material por peso es menor; y 16

n  0.034 d 65

(7.105)

donde d65 es el diámetro del material del fondo en pie. 7.3.7.10 Ecuación de Simons y Senturk, (1976) Ref. [17]

0.0389 d50

16

(7.106)

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n 

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7.3.7.11 Ecuación de Garde y Raju (1978). Ref. [7]. 16

n  0.039 d 50

(7.107)

Estos investigadores señalaron que los datos analizados por Strickler se realizaron a partir de varias corrientes naturales, en Suiza, con fondos formados por material de granulometría gruesa y libre de ondulaciones. d50 es el diámetro (pie) del material del fondo, tal que el 50% del material por peso tiene un diámetro menor. 7.3.7.12 Ecuaciones de Bray, (1979). Ref. [17]: 0.179

(7.108)

0.179

(7.109)

0.16

(7.110)

n 

0.0593 d50



0.0561 d65

n 

0.0495 d90

n

No se especifican las unidades de los diámetros d50, d65 y d90. 7.3.7.13 Ecuación de Subramanya (1982). Ref. [7]. 16

n  0.047 d 50

(7.111)

donde d50 es el diámetro (m) del material del fondo, tal que el 50% del material por peso tiene un diámetro menor. 7.3.7.14 Ecuación de Leliavsky, (1984). Ref.[17] 16

n  0.0150 d

(7.112)

No se conocen las unidades del diámetro d. 7.3.7.15 Ecuación de Yen, (1992). Ref. [17] 16

n  0.0384 d90

(7.113)

No se conocen las unidades del diámetro d90.

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

7.3.7.16 Ecuación de Posada y Posada (1998). Ref. [17]. Desarrollada de acuerdo a un estudio realizado en canales naturales. 16

n  0.0487 d50

(7.114)

donde d50 es el tamaño medio (m) del material del lecho del canal. 7.4 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL 7.4.1 Descripción de la instalación. Antes de efectuar las mediciones requeridas en esta práctica, se fijará la pendiente del canal, se definirán m secciones transversales, y se instalarán uno o dos limnímetros sobre el canal, y otro aguas arriba del vertedero de medida de caudales. En caso de emplear el medidor electromagnético de caudales, se tendría una verificación del caudal medido con ayuda del vertedero calibrado. Posteriormente, se abrirá la válvula de alimentación de flujo al canal, hasta lograr el establecimiento de un flujo visiblemente uniforme. Véase la Figura 7.6. Se aclara que, por tratarse de un canal de relativa corta longitud, es factible que en toda su extensión no se desarrolle completamente el flujo uniforme. No obstante, para efectos pedagógicos, se aceptará que el flujo es uniforme. La pendiente longitudinal del canal se calculará con la siguiente ecuación: S0

 tan  

z

L

(7.115)

Posteriormente, en cada una de las secciones preestablecidas, se medirán los niveles en la superficie libre, LSL, preferiblemente en tres posiciones distintas, para obtener un nivel superficial promedio, y en el fondo del canal. La diferencia de lecturas entre el promedio de las mediciones hechas en la superficie libre, LSL, y la correspondiente al nivel del fondo, Lf, representa la profundidad normal, yni, en la iésima sección transversal. Esto es: L SLi

y ni



1 3 L SLi 3 i1

 L SLi  L f

(7.116)

(7.117)

Hecho lo anterior, para todas y cada una de las secciones transversales, se medirá la carga, h V, en el vertedero patrón instalado aguas abajo. El caudal de flujo uniforme, Q, se determinará reemplazando la carga hV en la ecuación de calibración de dicho vertedero, o, simplemente haciendo lectura en el medidor electromagnético de caudales.

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FIGURA 7.7. Esquema de la instalación para la práctica sobre flujo uniforme y determinación de la rugosidad en canales

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188

7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

7.4.2

Tabla de datos. Para cada ensayo, es decir, para cada determinado caudal, Q, los datos se registrarán en una tabla como la siguiente:

Ensayo

Profundidades normales, (m)

No. 1 2 3 . . . n

yn1 yn2 yn3 yn4 yn5 yn6 yn7 yn8 yn9 yn10

hV

Q

(cm)

(m3/s)

RH yn A P 2 (m) (m) (m ) (m)

7.4.3 Cálculos y resultados. Para un caudal determinado, es decir, para un ensayo específico, se harán los siguientes cálculos. Véase la Figura 7.7:

FIGURA 7.8. Sección transversal del flujo uniforme.

1 10  yn 10 i1 i

yn



A



B yn

(7.119)

P



B  2 yn

(7.120)

RH



A P

(7.118)

(7.121)

Finalmente, se calcularán los coeficientes de rugosidad del canal con su correspondiente ecuación de resistencia, así:

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A partir de la ecuación de Manning, se obtiene: n 

 A R H 2 / 3 S 01/ 2 Q

(7.122)

A partir de la ecuación de Chèzy, se obtendrá C, así:

C 

 R H1 / 6 n

(7.123)

Y, a partir de la ecuación de Darcy - Weisbach y Colebrook - White, se obtendrá:   k  14.8 R H 10 A  

Q 32 g RH S0



   32 g R H S0 

1.255 RH

(7.124)

Recuérdese que para calcular  = / se requiere medir la temperatura del agua, Tagua, y con ésta se obtienen, de tablas, agua y agua.. También se deben calcular los términos (RH·S0)1/2 y RH2/3 S01/2 , para conocer la variación de la velocidad del flujo con éstos. Los resultados de los cálculos precedentes se consignarán en la tabla siguiente: yn Ensayo Q 3 No. (m /s) (m) 1 Q1 2 Q2 3 Q3 . . . . . . N QN

A

P

(m2) (m)

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RH

(m)

C v n (RH·S0)1/2 RH2/3S01/2 k (m/s) (adim) (m1/2/s) (mm) (m1/2) (m2/3)

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7. FLUJO UNIFORME Y DETERMINACIÓN DE LA RUGOSIDAD EN CANALES

7.5 CUESTIONARIO 7.5.1 Los valores de n, C y k se pueden calcular, también, para cada una de las secciones transversales del flujo, a partir del caudal y su correspondiente y ni . Explique cómo lo haría usted, calcule dichos coeficientes de rugosidad, y compárelos con los obtenidos en el numeral anterior. 7.5.2. Con el objeto de verificar las ecuaciones de Chèzy y Manning, represente gráficamente las variaciones v vs. RH1/2 S01/2 y v vs. RH2/3 S01/2, y exprese sus conclusiones acerca de dichas variaciones. 7.5.3 ¿Cómo varían los coeficientes de rugosidad con la variación del caudal? 7.5.4 ¿Cómo influye la variación del radio hidráulico en la variación del coeficiente de rugosidad? 7.5.5 ¿Por qué en las ecuaciones (7.37) y (7.38) la velocidad y el caudal son independientes del coeficiente de fricción, f, de Darcy? 7.5.6 ¿Por qué el flujo de un fluido real, en un canal horizontal, no puede ser uniforme? 7.5.7 ¿De qué formas estimaría usted el coeficiente de rugosidad, n, de Manning, para un canal natural? 7.5.8 Consulte otras expresiones para determinar el coeficiente de rugosidad, en función del material del lecho. 7.5.9 Enumere algunos casos de importancia práctica, en los cuales es indispensable conocer las rugosidades de un canal natural. 7.5.10 Deduzca las correspondientes ecuaciones para la estimación del error relativo total de los coeficientes de resistencia n, C y k.

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