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• Rodrigo Sebastian Lezcano

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s >• *o

É
— La n u e v a a b s c i s a %' de X s e r á , p o r definición ( 1 ) , l a d i s t a n c i a O ' X m e d i d a con la u n i d a d O ' U ' y con signo -f o — s e g ú n que X se e n c u e n t r e o no en la m i s m a s e m i r r e c t a q u e U ' , de l a s dos en que divide la r e c t a el n u e v o origen O'. O b s e r v a n d o q u e en el p r i m e r caso O' X y O' U' tienen el m i s m o signo y en el s e g u n d o caso t i e n e n s i g n o s opuestos, r e s u l t a que, inclusive en signo s e r á r21 [2J

= O'U'

« = ± b — a'

É s t a es la f ó r m u l a g e n e r a l del cambio de c o o r d e n a d a s . Si la u n i d a d de m e d i d a n o c a m b i a ni t a m p o c o la o r i e n t a c i ó n , es b — a = 1 y e s t a f ó r m u l a coincide con la [ 1 ] de a n t e s . De la f ó r m u l a P Q = q— p ( T e o r . 2 ) , es fácil o b t e n e r o t r a s relaciones i m p o r t a n t e s e n t r e s e g m e n t o s o r i e n t a d o s de u n a m i s m a r e c t a . L a s más importantes son: 1*) Relación de Chasles. Dados t r e s p u n t o s A . B . C , sobre u n a rect a , se v e r i f i c a s i e m p r e que [3] A B + BC 4 CA = U E n e f e c t o , b a s t a p o n e r A B = b — a, c o m p r o b a r q u e la relación se s a t i s f a c e .

BC = c—b,

CA = a — c,

y

G

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . SERIES Y HACES

2^) E s t a r e l a c i ó n se g e n e r a l i z a al caso de 11 p u n t o s t o m a n d o la f o r m a [4]

A i A2 -f- As A3 ~f- An Ai -¡- . . .

-j- A„-i A n

§ 2 - 1

Ai, Aa, . . . , A n ,

Aa Ai

— 0

como r e s u l t a i n m e d i a t a m e n t e al s u s t i t u i r c a d a s e g m e n t o por la d i f e r e n c i a e n t r e l a s a b s c i s a s de s u s e x t r e m o s . 3^) Relación de Eider. e x i s t e la r e l a c i ó n [5]

A B . CD +

D a d o s 4 p u n t o s A , B, C, D, sobre u n a r e c t a , AC . D B +

A D . BC

= 0

P a r a d e m o s t r a r l o b a s t a , i g u a l que a n t e s , s u s t i t u i r c a d a s e g m e n t o polla d i f e r e n c i a e n t r e l a s a b s c i s a s de sus e x t r e m o s y v e r i f i c a r l a s o p e r a c i o n e s indicadas. 4?) Relación

de Stewart.

A B . CW + B C . AM 2 + CA . BM 2 + A B . B C . C A = que se d e m u e s t r a de i g u a l m a n e r a .

§ 2.

0

H A C E S DE RECTAS

1. Haces de rectas: medidas angulares. — Se llama haz de rectas, al c o n j u n t o de todas las rectas de un plano que pasan por un punto f i j o O, llamado centro o vértice del haz. P a r a d e t e r m i n a r cada recta del haz hay que d e f i n i r en él un sistema de abscisas angulares. P a r a ello conviene r e c o r d a r algunas nociones elementales. Suponemos conocidos los conceptos de ángulo de dos rectas y las operaciones de suma y diferencia. La medición directa de ángulos suele hacerse adoptando como unidad el ángido recto, o bien el grado (sexagesimal o centesimal, menos usado) que es u n a p a r t e alícuota. La medida se expresa indicando la unidad con las a b r e v i a t u r a s R (ángulo r e c t o ) , ° (grado sexag e s i m a l ) , g (grado c e n t e s i m a l ) . Así, por e j e m p l o : R = 45° = 50 g. La medición usual en Análisis, que usaremos f r e c u e n t e m e n te en este libro, es indirecta y se llama radial; adopta como medida a de cada ángulo la longitud de cualquier arco cent r a l subtendido por el ángulo, medida con su propio radio, es decir m L1J

a- i medida radial a =

longitud del arco —t-t-t-—rr— longitud del radio

Así, pues, la medida radial del ángulo llano es :r, porque ésta es la longitud de la semicircunferencia medida con el r a dio; y el ángulo recto tiene la medida radial .-r/2. Son éstas las medidas que usaremos casi exclusivamente en este curso, insistiendo siempre en que estos números son abstractos, como razones de longitudes, lo mismo que los senos, cosenos, etc.

§

2 -2

H A C E S DE R E C T A S

7

1. S a l t a a l a v i s t a ciue e s t a m e d i d a es u n número abstracto, i n d e p e n d i e n t e del r a d i o a d o p t a d o , p o r s e r p r o p o r c i o n a l e s los á n g u l o s cent r a l e s a s u s r e s p e c t i v o s r a d i o s . E s , pues, u n a m e d i d a a n á l o g a a l a s m e d i d a s g o n i o m é t r i e a s , p u e s t a m b i é n el seno, coseno, etc., es u n a r a z ó n de dos l o n g i t u d e s y p o r t a n t o u n n ú m e r o a b s t r a c t o . L a d i f e r e n c i a e s t r i b a en que la m e d i d a r a d i a l c u m p l e la condición de s e r p r o p o r c i o n a l al á n g u l o , y l a s g o n i o m é t r i e a s no. U n a s y o t r a s p u e d e n a d o p t a r s e como abscisas en el haz, p e r o s o l a m e n t e l a s a n t e r i o r e s son medidas, en s e n t i d o e s t r i c t o . 2. Suele decirse f r e c u e n t e m e n t e , que en la m e d i d a r a d i a l , la u n i d a d de m e d i d a es el á n g u l o l l a m a d o radiante ( i n c o r r e c t a m e n t e suele u s a r s e l a p a l a b r a radian del i n g l é s radiant), c u y a l o n g i t u d es i g u a l a su r a d i o y c u y a m e d i d a es a l g o i n f e r i o r a 60°, p u e s t o que é s t e t i e n e l a cnerda i g u a l a l r a d i o . E x a c t a m e n t e , p u e s t o q u e la l o n g i t u d de la s e m i c i r c u n f e r e n c i a e s .ir, o sea s u m e d i d a r a d i a l es x, r e s u l t a como a m p l i t u d del r a d i a n t e , en g r a d o s s e x a g e s i m a l e s NOTA

[2]

=

57° 17' 4 4 " . . .

E s m u y c i e r t o q u e la m e d i d a r a d i a l de e s t e á n g u l o es 1: p e r o no q u e se utilice como u n i d a d de m e d i d a p a r a los á n g u l o s , y t o d a la G e o m e t r í a y s u s a p l i c a c i o n e s p u e d e n d e s a r r o l l a r s e sin u s a r ni m e n c i o n a r este á n g u l o , q u e a d e m á s de i n n e c e s a r i o es p e l i g r o s o por i n d u c i r a e r r o r . A s í p o r e j . e n la e x p r e s i ó n i m p o r t a n t e : sen x ^ x, si el lector s u p o n e x e x p r e s a d o en r a d i a n t e s , r e s u l t a el a b s u r d o de ser u n n ú m e r o a b s t r a c t o i g u a l a u n ángulo. L a ú n i c a r a z ó n q u e i n d u j o a i n t r o d u c i r ese á n g u l o i n n e c e s a r i o , f u é la de t e n e r u n modelo de u n i d a d de á n g u l o s ; p e r o lo m i s m o a c o n t e c e en t o d a s las m a g n i t u d e s c u y a m e d i d a no es d i r e c t a ; p o r eso c a r e c e m o s cíe p a t r o n e s p a r a los m o m e n t o s , velocidades, e n e r g í a s , . . . E l caso del á n g u lo es s i n g u l a r , p a r a él d i s p o n e m o s de u n i d a d n a t u r a l (el á n g u l o r e c t o ) p e r o s u medición m á s ú t i l , q u e es l a r a d i a l , p o r e s t a r i n s e p a r a b l e m e n t e u n i d a de la c i r c u n f e r e n c i a , es i n d i r e c t a y p o r t a n t o no i n t e r e s a cuál sea el á n g u l o c u y a m e d i d a es 1, de i g u a l modo q u e en las p e s a d a s con u n a b á s c u l a , no i n t e r e s a cuál sea el p e s o q u e c o r r e s p o n d e a cada c e n t í m e t r o de escala.

2. Abscisas en el haz. — Alrededor de un punto f i j o O (fig. 1) del plano hay dos sentidos de r o t a c i ó n : el sentido directo o positivo, que es el contrario al de las a g u j a s de un reloj, y el sentido inverso o negativo, que es el de las a g u j a s de un reloj. Sea o u n a recta del haz, de centro O, que tomamos como recta origen. Toda recta a del haz puede d e t e r m i n a r s e por ei ángulo a que f o r m a con o, medido en sentido directo desde o hasta a. E s t e ángulo se llama abscisa• angidar de la recta a. La abscisa a n g u l a r de una recta queda d e t e r m i n a d a salvo un múltiplo de .-T. ES decir, a la recta « corresponden todas las abscisas a, a f j , a + 2;r, . . . Si convenimos en t o m a r los FÍ*. -..

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . S E R I E S Y H A C E S

8

i

2 -2

ángulos negativos en sentido inverso a p a r t i r de o, a la misma recta corresponden t a m b i é n las abscisas a — re, a — 2x, . . . De una m a n e r a general, si una recta a f o r m a con la recta origen o un ángulo positivo a < x, medido en sentido directo de o h a s t a a, todas las abscisas a n g u l a r e s de la f o r m a [3] (oa) = a + nx, donde n indica un múltiplo positivo o negativo ele x, corresponden a la misma recta. E n general, de todas estas abscisas se t o m a r á siempre aquella comprendida en 0 y x, o sea la que cumpla la condición 0 < a < jr. Dadas dos r e c t a s a, b del mismo haz de centro O, r e p r e sentaremos por ( a b ) al ángulo que debe g i r a r la p r i m e r a a, en sentido directo, p a r a superponerla con la segunda b. Nat u r a l m e n t e este ángulo queda sólo determinado salvo un múltiplo de x Si se consideran tres rectas a, b, c del haz, al gir a r en sentido directo, p r i m e r o de a a b, después de b a c y luego de c a a, h a b r e m o s girado un múltiplo de jr. Vale por tanto, la siguiente relación (análoga a la llamada relación d e CHASLESJ

[4]

(ab) + (be)

-j- (ca)

= nx.

P o r la misma razón, si dadas dos rectas b, c se g i r a p r i mero de b a c y luego de c a b. se h a b r á girado todo un múltiplo de x, o sea, (be) + (cb)

- mic

es decir [5]

(cb)

= mx — (be).

Apliquemos [4] al caso de ser c la recta origen o. Será [6]

(ab) + (bo) + (oa) = nx. Según [5] es (bo)=mx—

(ob) y por t a n t o de [6] se de-

ducu

(ab)

= (ob) — (oa) + fot

D a d a s las a b s c i s a s a n g u l a r e s (oa), (ob) de dos r e c t a s a, b, h a l l a r l a s a b s c i s a s de las r e c t a s b i s e c t r i c e s del p a r a, b. EJERCICIO.

de donde

Si c es u n a r e c t a bisectriz, debe ser (oc) —

(oa)

=

(ob)

(OC) r= i [ ( o a )

—

-1- (ob)

(oc)

(ac)

-f k:r

4- fot]

H A C E S DE R E C T A S

=

(cb)

o sea,

9

Al d i v i d i r p o r 2 un múltiplo de .i. el cociente p u e d e ser, o bien o t r o múltiplo de .-T, O bien a / 2 m á s u n m ú l t i p l o de x, de m a n e r a que r e s u l t a n dos bisectrices c u y a s a b s c i s a s a n g u l a r e s r e s p e c t i v a s son (oc) =

h [ (oa)

+

(ob)]

+ k;t ,

(oc') =

h [(oa)

+

(06)]

+-5-+ k n

que c o r r e s p o n d e n a las l l a m a d a s bisectrices i n t e r i o r y e x t e r i o r del á n g u l o de l a s dos r e c t a s a . b .

3. Haces de rayos o de rectas orientadas. — Se llama haz de rayos, al c o n j u n t o de las s e m i r r e c t a s del plano que tienen un mismo origen f i j o O, llamado centro del haz. Cada semir r e c t a se llama también un tojjo del haz. Las abscisas a n g u l a r e s de los rayos de un haz se definen e x a c t a m e n t e igual que en el caso de los haces de rectas, con sólo tener en cuenta que las abscisas a y a -f x que antes cor r e s p o n d í a n a la misma recta, ahora corresponden a dos r a yos distintos, llamados rayos opuestos. P a r a que correspondan a un mismo rayo, las abscisas deben d i f e r i r en un múltiplo, positivo o negativo, de 2x. Las relaciones [5], [6] y [7] del número a n t e r i o r valen igualmente con sólo sustituir los múltiplos de x por múltiplos de 2x. E s decir, se tiene a'nora (cb)

[8]

(ab)

= 2kx — (be)

= (ob) — (oa) -+- 2 k x

donde k es un enteru positivo o negativo. En vez de habiar de semirrectas de origen O, es equivalente h a b l a r de rectas orientadas que pasan por O. E n efecto, a cada s e m i r r e c t a o rayo corresponde la recta orientada que lo contiene con la orientación definida por ser la semirrecta la p a r t e positiva de la recta. Recíprocamente, a toda recta orientada, corresponde su s e m i r r e c t a positiva. P o r consiguiente: existe correspondencia biunívoca entre haces de rayos y haces de rectas orientadas. § 3.

siendo k el n ú m e r o entero, positivo o negativo, n — m. E s t a f ó r m u l a nos da el ángulo de dos rectas en función de sus abscisas angulares.

Solución: según [7],

§ 3

R A Z O N E S S I M P L E S Y CUATERNAS ARMÓNICAS

1. Abscisas homogéneas y punto impropio. — La m a t e m á tica propende a la sencillez mediante la ampliación de sus conceptos, que permite incluir casos diversos en un enunciado general exento de excepciones. La relación perspectiva e n t r e un haz de rectas y su sección por u n a r e c t a r tiene una excepción: a! r a y o paralelo no corresponde n i n g ú n punto en r y p a r a evitar esta excepción se ideó el punto impropio o punto del infinito de la recta.

10

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . SERIES Y HACES

§ 3 -1

P a r e c e r í a n a t u r a l , considerando la recta como ampliación de un segmento por ambos extremos, a d m i t i r dos puntos impropios, uno de abscisa + oc, y otro — cc ; pero en la geom e t r í a euclidiana hay u n a sola recta del haz que es paralela a r; y p a r a conservar la correspondencia biunivoca e n t r e serie y haz, es preciso completar la serie de puntos propios con un solo punto impropio, al cual le hacemos corresponder la única r e c t a no secante, es decir, paralela a r. El p u n t o impropio es, pues, común a todas las rectas paralelas y se p r e f i e r e esta f r a s e " p u n t o común" en lugar de "dirección común" p a r a poder enunciar sin excepciones: Dos rectas cualesquiera del plano tienen un punto común y sólo uno. El lector que haya leído alguna geometría proyectiva sintética, es decir, desarrollada sin auxilio del álgebra, ha podido a d m i r a r la sencillez y generalidad de sus teoremas, g r a c i a s a la introducción de elementos impropios; pero ésta viene a romper el isomorfismo que en (§ 1) habíamos introducido e n t r e la serie de puntos y el campo de los números reales. ¿Qué abscisa a t r i b u i r al punto impropio? Se pensará que el símbolo co, pero cc no es un número, ni obedece a las leyes de los númer o s ; y si bien se usa f r e c u e n t e m e n t e como símbolo p a r a design a r u n p u n t o que carece de abscisa (por ej., en el n ú m e r o [3] de este § 3) , no es abscisa p r o p i a m e n t e tal, pues la única operación a r i t m é t i c a que admite es el paso al límite. Cabría evitar el infinito, como se hace en Análisis, adoptando como abscisa 1/x en lugar de x (coordenada plticker i a n a ) , pero entonces aparece el infinito en el origen. Se resolvió el problema introduciendo p a r a r e p r e s e n t a r cada p u n t o un p a r de n ú m e r o s (x,t) o cualquier otro p a r proporcional a él (no nulos los dos) considerándolos equivalentes, y cuya razón x/t es la abscisa o r d i n a r i a o absoluta. Así, p o r ejemplo, el p u n t o de abscisa — 2 e s t a r á representado por cualquier p a r ( — 2 t , t ) con la condición í ^ O ; y el p a r ( 1 , 0 ) o cualquier otro proporcional (a, 0) siendo a 0, r e p r e s e n t a el p u n t o impropio. Se establece así la siguiente definición: Se llaman abscisas homogéneas de un punto propio cuya abscisa ordinaria sea x, a cualquier par de números cuya razón sea x. Las abscisas homogéneas del punto impropio son (a, 0) siendo a cualquier número distinto de cero. Recíprocamente, dos números cualesquiera (a, b) dados en un cierto orden, pueden considerarse como abscisas homogéneas de un punto cuya abscisa ordinaria sea a / b si b ^ 0. Si b = 0, a =£ 0, el punto correspondiente es el impropio de la recta. Al par a = 0, b = 0, no corresponde ningún punto. Las abscisas homogéneas de un punto de abscisa x serán, por tanto, cualquier p a r de la f o r m a (xt, t) ; en general se toma

§ 3 - 2

RAZONES SIMPLES Y CUATERNAS ARMÓNICAS

11

t = 1 de m a n e r a que basta poner (x, 1) p a r a tener las abscis a s homogéneas del p u n t o x, si éste es propio. EJERCICIOS:

B(—1), C(2).

1. H a l l a r l a s a b s c i s a s h o m o g é n e a s de los p u n t o s A ( 0 ) , Solución: A ( 0 , 1 ) , B ( — 1 , 1 ) , C ( 2 , 1 ) .

2. H a l l a r l a s a b s c i s a s o r d i n a r i a s de los p u n t o s c u y a s a b s c i s a s homog é n e a s son A ( — 3 , 2 ) , B ( l , — 4 ) , C ( 2 , 0 ) . S o l u c i ó n : A ( — 3 / 2 ) , B ( — 1 / 4 ) , C no t i e n e a b s c i s a o r d i n a r i a , p u e s es el p u n t o i m p r o p i o o del i n f i n i t o de la recta. 3. H a l l a r l a d i s t a n c i a e n t r e los p u n t o s c u y a s a b s c i s a s h o m o g é n e a s son A ( — 2 , 1 ) , B ( 3 , 2 ) . Solución: hay que p a s a r a abscisas o r d i n a r i a s y luego r e s t a r , o s e a , A B = 3 / 2 — ( — 2 ) = 7 / 2 .

2. Razón simple de tres puntos. — DEF. 1. Dados t r e s puntos A, B, C sobre u n a recta, se llama razón simple de la t e r n a A, B, C y se r e p r e s e n t a por ( A B C ) , al cociente de vectores: [1]

(ABC)

=

-G£.

La razón simple depende del orden en que se consideren los t r e s p u n t o s ; así, se tiene [2]

(BCA) =

.

(CAB) =

™ .

E n f u n c i ó n de las abscisas a, b, c de los t r e s puntos A, B, C, la razón simple se expresa según § 1, Teor. 2 : 13]

(ABC") = -

C

e

~.

Consideremos dos puntos f i j o s y distintos A, B y un p u n t o variable X. Supongamos que A sea a n t e r i o r a B, o sea, a < b. E n la razón simple , ,,

[4]

/AÜV\

p = (ABX) -

A X

B X

A X — = -x —

se observa que si X es interior al segmento AB, el n u m e r a dor x — a es positivo y el denominador B X — x — b es negativo, con lo cual o resulta negativo. E n cambio, si X es exterior al segmento AB, n u m e r a d o r y denominador son del mismo signo y por t a n t o o es positivo. E n consecuencia: la razón simple (ABX) entre dos puntos fijos A, B y un punto variable X es positiva si X es exterior al segmento AB y es negativa si es interior. El interés geométrico de la razón simple radica en que se conserva en toda semejanza, como salta a la vista, en las figu-

12

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . SERIES Y HACES

§

3

-3

r a s que r e p r e s e n t a n una proyección central sobre rectas paralelas y una proyección paralela sobre rectas oblicuas.

§

3

-3

3. Las razones simples como abscisas. — Analicemos un poco m á s la variación de la razón simple [4]. Ella tiene un valor bien determinado p a r a todo punto X distinto de B. Recíprocamente, dado un valor o de la razón simple ( A B X ) , queda d e t e r m i n a d a la abscisa x del punto X, siempre que sea q^= 1, puesto que de [4] se deduce. a — ob

«=

[5]

v-V

0— 1

Vemos pues que entre los valores de o y los p u n t o s X hay u n a correspondencia biunívoca si se exceptúan el punto B por un lado y el valor q = 1 por el otro. Al p u n t o B ( z = b) no corresponde n i n g ú n número, pero le asignaremos el símbolo co, porque o tiende a + co o bien a — oo según que X tienda a B por el exterior del segmento A B o por el i n t e r i o r del mismo (puesto que ya hemos visto que en el p r i m e r caso q es positivo y en el segundo n e g a t i v o ) . Análogamente al valor o = l no corresponde n i n g ú n punto, pero al tender p - » 1 resulta p a r a las abscisas x - > — c o , o bien x + oo según las dos m a n e r a s , creciendo o decreciendo, con que puede t e n d e r 9 al n ú m e r o 1. E s t a doble f a l t a de biunivocidad se salva con la introducción del punto impropio, o sea admitiendo que las abscisas =fc co corresponden a un mismo punto Q de la recta (punto del infinito de la misma) y que el símbolo q = x representa un número real, que es la razón simple p a r a el p u n t o B. Q Hi

A -J—

M -1

B

O

- © I co Fiff. 3.

L o g r a d a con este doble convenio la correspondencia biunívoca entre puntos y razones o, salta a la vista (fig. 3) que es

13

ordenada decreciente, escribiendo las expresiones [5] o bien [4] de la siguiente m a n e r a : x = b 4-

[6]

F i e . 2.

RAZONES SIMPLES Y CUATERNAS ARMÓNICAS

b

a

o

1

P =

1 +

b x

a b

La continuidad tiene el p u n t o excepcional B y el valor excepcional 1, pero a m b a s se salvan con esta definición: Entorno del punto impropio es todo par de semirrectas: X ant P, X post Q. Entorno del número co es el conjunto x q. Así resulta que se corresponden los entornos de B y de co y los entornos del p u n t o Ziy: y del n ú m e r o 1. Con estos convenios r e s u l t a : la correspondencia entre los puntos y sus abscisas o es biunívoca y bicontinua sin excepción. E s t a s propiedades j u s t i f i c a n el nombre de abscisa que hemos dado al n ú m e r o o correspondiente a cada punto X, pues obedece a la propiedad esencial de las abscisas de distancias, o s e a : correspondencia biunívoca y ordenada con los puntos y por consecuencia la continuidad directa e inversa. Construcciones geométricas. — L a f o r m u l a [ 5 ] í'esuelve a n a l í t i c a m e n t e el p r o b l e m a de h a l l a r el p u n t o X c u y a r a z ó n de d i s t a n c i a A X / B X a dos p u n t o s f i j o s A, B, t i e n e el v a l o r d a d o o. E l m i s m o p r o b l e m a se r e s u e l v e g e o m é t r i c a m e n t e de m a n e r a s i m p l e ( f i g . 4 ) . B a s t a t r a z a r p o r los p u n t o s A y tí uos r e c t a s p a r a l e l a s cualesq u i e r a y t o m a r sobre ellas los s e g m e n t o s A H = o, B E = 1 , en el m i s m o

H

1

B

/ X B

X

H Fi»r. 4.

s e n t i d o si o es p o s i t i v o y en sentido c o n t r a r i o si e s n e g a t i v o . E n a m b o s casos la r e c t a H E c o r t a r á a la d a d a en el p u n t o X b u s c a d o . E n efecto, p o r s e m e j a n z a de t r i á n g u l o s se tiene, en v a l o r absoluto, en los dos casos A X / B X = A H / B E = q. E n c u a n t o al signo, la c o n s t r u c ción e s t á de a c u e r d o con lo dicho, de q u e si X es e x t e r i o r al s e g m e n t o A B , o es positivo, y si X es i n t e r i o r al s e g m e n t o A B . o es n e g a t i v o . O b s e r v e m o s q u e si o = l , la r e c t a H E r e s u l t a p a r a l e l a a la r e c t a A B y por t a n t o X es el p u n t o del i n f i n i t o o p u n t o i m p r o p i o de la r e c t a .

14

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . SERIES Y HACES

§ 3 - 5 §

como h e m o s v i s t o a n a l í t i c a m e n t e . E n cambio, si q = —1, X r e s u l t a el p u n t o medio del s e g m e n t o A B . L o s dos p u n t o s X, Y , c u y a s r a z o n e s s i m p l e s r e s p e c t o del p a r son n ú m e r o s o p u e s t o s q y — q se l l a m a n armónicamente separados A B . E n p a r t i c u l a r , el p u n t o i m p r o p i o Q de la r e c t a y el p u n t o M dio de A B e s t á n a r m ó n i c a m e n t e s e p a r a d o s p o r A, B.

3

ser AB por me-

1. Siendo X el p u n t o m e d i o del s e g m e n t o A B , h a l l a r el v a l o r de c> = ( A B X ) y el de la a b s c i s a x de X . y

por

tanto,

según

[4], q = — 1 .

2. H a l l a r la a b s c i s a del p u n t o X i n t e r i o r al s e g m e n t o A B y que lo divide e n dos p a r t e s s e g ú n la r a z ó n 3 / 5 . Solución. S i e n d o X i n t e r i o r al s e g m e n t o A B , s e r á Q = — 3 / 5 . P o r t a n t o , s e g ú n [ 5 ] , si a, b, son l a s a b s c i s a s de A , B s e r á x = i (3 b + 5 a ) . E n g e n e r a l , si un p u n t o X divide i n t e r n a m e n t e a l s e g m e n t o A B s e g ú n l a r a z ó n m/n, es x= (mb -f na) / ( n + m) y si lo divide s e g ú n la m i s m a r a z ó n e x t e r n a m e n t e , o sea siendo e x t e r i o r a A B , e s x = (mb — — na)/(m— n).

4. Cuaternas armónicas. — DEF. 2. Se dice que el p a r CD está armónicamente separado por el AB, cuando son opuestas las razones en que C y D dividen al p a r AB. Es decir, ( A B C ) = — ( A B D ) , o sea [7] 1 1

-AP.

=

BC

BD

E s t á justificado decir que los p a r e s se " s e p a r a n " pues, siendo las dos razones A C / B C y A D / B D de signos opuestos, según el número anterior, de los dos puntos C, D, uno es int e r i o r y otro exterior al segmento AB. Obsérvese que la relación [7] subsiste si se p e r m u t a n los dos p r i m e r o s elementos A B o los dos segundos CD. E s decir, la propiedad de s e p a r a r s e a r m ó n i c a m e n t e depende de los dos p a r e s A B y CD independientemente del orden de los puntos en cada p a r . Tampoco depende del orden de los dos pares, p u e s si se cumple [7] también s e r á CA DÁ

_

15

-4

EJERCICIOS:

Solución. Es AX n XB = —BX De a q u í , [ 5 ] d a x = i (a + b).

RAZONES SIMPLES Y CUATERNAS ARMÓNICAS

CB DB *

es decir, también el par A B s e p a r a a r m ó n i c a m e n t e al CD. T a m b i é n se dice que los dos elementos de cada p a r son conjugados armónicos respecto del otro p a r . Así se dice, por ejemplo, que A es cc-njugado armónico de B respecto del p a r CD y análogamente que C es el conjugado armónico del D respecto ae AB. Resolvamos a h o r a el problema siguiente: Dadas las abscisas a, b, c de tres puntos A, B, C, hallar ¡a abscisa del punto X conjugado armónico del C respecto del par AB.

R e p r e s e n t a n d o las abscisas de cada punto con la m i s m a let r a minúscula, debe ser, según Def. 2. roí

X— a x — b

c— a c— b

de donde se deduce [9]

z =

(c — a) — (c — b)

E s t a expresión se puede escribir en la f o r m a 1

.

=

A . 2

4- -

1

c— x {c— a ' c— b y si se toma C como origen de coordenadas, o sea c = 0, resulta

[10]

- 1 - = - i - ( - - + • Jx

a b que nos dice que, en este caso, x es la media armónica y b\ 2

l

entre a

5. Propiedades de las cuaternas armónicas. — a) El producto de las distancias del punto medio de un segmento a dos puntos conjugados armónicos respecto de los extremos del mismo, es igual al cuadraao ae la mitad del segmento. E n efecto, tomando el punto medio del segmento como origen de coordenadas, las abscisas de sus extremos s e r á n , por ejemplo, a y — a . Si c, d son dos puntos conjugados a r m ó n i cos respecto de estos extremos, .según [9] donde se haga a = a, b = — a, c = c, x — d, resulta d = a-/c, de donde [111 a- = cd como se quería demostrar. Recíprocamente, si se cumple [11], los p a r e s de puntos a, — a y c, d f o r m a n una c u a t e r n a armónica. Basta, en efecto, comprobar que se cumple la relación [8] con x = — a. Puesto que a- es siempre positivo, de [11] se deduce que d y c deben ser del mismo signo; por t a n t o : b) Los puntos de un par de conjugados armónicos respecto de los extremos de un segmento, están los dos de un mismo lado respecto del punto medio del segmento. O t r a c o n s e c u e n c i a de [ 1 1 ] es c ) Dos pares de puntos conjugados armónicos de un mismo par no se separan entre sí. E n e f e c t o , si eu d, son el s e g u n d o p a r , d e b e r á s e r cd = c, d¡. Si c y Ci son de d i s t i n t o signo, y p o r t a n t o d, d¡ t a m b i é n , los p a r e s 1

R e c u é r d e s e d e la a r i t m é t i c a , q u e u n n ú m e r o x s e l l a m a o t r o s dos a, b p r e c i s a m e n t e c u a n d o s e c u m p l e la r e l a c i ó n [ 1 0 J .

la

media

armónica

entre

16

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . S E R I E S Y H A C E S

S 3 -6

m e n c i o n a d o s n o se s e p a r a n por e s t a r a d i s t i n t o l a d o del p u n t o medio del s e g m e n t o d e t e r m i n a d o por el p a r d a d o . Si c y c, son del m i s m o signo ( s u p o n g a m o s positivo) y es, por e j e m p l o , c < c, < d. de l a i g u a l d a d c d = c,rf, se deduce c < cd/d, < rf y por c o n s i g u i e n t e dx c y p o r t a n t o di es t a m b i é n i n t e r i o r al s e g m e n t o c d. T a m b i é n es c i e r t o el r e c í p r o c o : , d > c > a, el s e g u n d o m i e m b r o p o s i t i v o y p o r t a n t o r e s u l t a ?. r e a l . Con el v a l o r de ?. asi y el v a l o r de x d a d o p o r [13], se t i e n e el p a r de p u n t o s x que, por c u m p l i r s e [ 1 1 ] y s e g ú n el r e c í p r o c o de a ) , s e p a r a m e n t e a los dos p a r e s a,b y c, d.

es siempre encontrado + x — X armónica-

1. E l c o n j u g a d o a r m ó n i c o del p u n t o m e d i o de u n segm e n t o r e s p e c t o de los e x t r e m o s del m i s m o , es el p u n t o del i n f i n i t o de la r ° c t a .

17

RAZONES SIMPLES Y CUATERNAS ARMÓNICAS

§ 3 -6

•

esta expresión y la y A- + B-. P o r reiteración se construyen los segmentos \/"A-~±T B ^ l t ~ . . T ± L- ó bien V A ' A " ± B ' B " ± . . . ±J7Í7'. P a r a el p r i m e r o basta aplicar la construcción p i t a g ó r i c a ; y p a r a el segundo basta ir calculando h media proporcional de cada dos f a c t o r e s A ' A " , B'B", . . . , lo que equivale a t r a n s f o r m a r rectángulos en cuadrados equivalentes. Obsérvase en todas estas expresiones construidas por Euclides, cuyo tipo m á s general se reduce al [14], que todas son de l e r . grado, es decir, r e p r e s e n t a n segmentos. Una expresión de 2? g r a d o como AB

,

P\/QR

,

\ ' A B ( C

r

+ ~ ñ

r

) ,

...

r e p r e s e n t a un área y su f o r m a típica es A B ; y f i n a l m e n t e (aquí t e r m i n a el alcance del método) ABC y sus equivalentes r e p r e s e n t a n volúmenes. La idea nueva de Descartes es la de c o n s t r u i r expresiones de grado cualquiera, entero o fraccionario, liberándose de la estricta l i m i t a c i ó n n= 1, 2, 3, g r a c i a s al sencillo a r t i f i c i o de la introducción de un segmento unidad, U, que p e r m i t e rep r e s e n t a r cualquier expresión, homogénea o no, por un solo segmento. Ejemplos:

=

A2

i)

*

2)

ABC = A B C . ,

EJERCICIOS:

2. R e c u é r d e s e de g e o m e t r í a e l e m e n t a l , q u e l a s b i s e c t r i c e s i n t e r i o r y e x t e r i o r de u n á n g u l o de u n t r i á n g u l o , c o r t a n al lado o p u e s t o en dos p u n t o s c o n j u g a d o s a r m ó n i c o s r e s p e c t o de los v é r t i c e s del mismo.

6. Construcción geométrica de expresiones algebraicas. — El teorema de Thales p e r m i t e construir c u a r t a s proporcionales con regla y escuadra, sin necesidad de compás (usando la regla como t r a n s p o r t a d o r de segmentos) ; por reiteración cabe c o n s t r u i r así expresiones del t i p o : [14]

p r

(

a

+ P +

... +

?. = [i +

v -f- . . . +

re - f 1 )

como se indica en los Ejercicios. U s a n d o a d e m á s el compás se construyen medias geométricas V AB, \ / A- — B - : y mediante el teorema de P i t á g o r a s

ó )) 8

4) 5) 6)

BC

-

~

_

A

U

_

BC

V~A • B =

V

^

U

.B

V A

u V AU

V B— I

V BU — U

4 +

V A — B" =

4U — V A U —

•

S a l t a a la v i s t a q u e por c o m p l i c a d a que sea la e x p r e s i ó n r a c i o n a l o i r r a c i o n a l , se t r a n s f o r m a en s e g m e n t o m e d i a n t e l a c o n s t r u c c i ó n de med i a s y c u a r t a s p r o p o r c i o n a l e s , g r a c i a s al a r t i f i c i o de !a i n t r o d u c c i ó n del s e g m e n t o U . P e r o t a m b i é n es obvio, q u e el r e s u l t a d o depende de ese segm e n t o elegido, e x c e p t o en el caso de h o m o g e n e i d a d de g r a d o cero, e n t o n ces la e x p r e s i ó n r e p r e s e n t a u n n ú m e r o a b s t r a c t o y é s t e m i s m o r e p r e s e n t a el s e g m e n t o c o n s t r u i d o , si se mide con la u n i d a d elegida U . E n r e s u m e n : pese al v a l o r de e s t a g e n e r a l i z a c i ó n de D e s c a r t e s , l a s c o n s t r u c c i o n e s d e s e g m e n t o s , á r e a s y v o l ú m e n e s t i e n e n i m p o r t a n c i a excepcional p o r su s i g n i f i c a d o i n t r i n s e c o , i n d e p e n d i e n t e de t o d a u n i d a d a r b i traria.

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . SERIES Y I I A C E S

18

S 4 -l §

EJERCICIOS

1. Construcciones con regla y escuaara. D a d o s a r b i t r a r i a m e n t e los s e g m e n t o s A, B, C, D, c o n s t r u i r con r e g l a y e s c u a d r a (sin c o m p á s , u s a n d o la r e g l a como t r a n s p o r t a d o r de segmentos) las expresiones a )%

A B- O

, » b)

2. Construir

ABC " t r

con regla

a)

JA_(Ba + £ ) * n

. c)

/ < A S + B2)

-

\ ' A +

V B

3. Construcción a)

A +

b)

A —

A2B " W

AwBn , , , . . qí (wi + ll = p + l )

dJ X )

y compás. b)

C

c )x

1

/ A *

a)

de expresiones

L

_ B 1 D

A V

B"

c

—

V PQ

CI)

—

de grado

•

cualquiera.

V B — V C — E

-

c)

V A — V B

"o"

E n los e j e m p l o s r e s u e l t o s en el t e x t o a n t e r i o r se ve el c a m i n o p a r a la resolución de éstos y o t r o s p r o b l e m a s .

§ 4.

C O M P L E M E N T O S SOBRE LA GEOMETRÍA DE LA RECTA

1. V e c t o r e s s o b r e un e j e y t r a s l a c i o n e s . — E n g e o m e t r í a m é t r i c a ?e determina un segmento enunciando en cualquier orden sus puntos extrem o s ; y se escribe P Q = QP, p o r q u e h a y u n m o v i m i e n t o del p l a n o sobre sí m i s m o , q u e s a c a l a r e c t a de su posición p a r a l l e v a r l a sobre sí m i s m a d e s p u é s de g i r a r , p e r m u t a n d o los p u n t o s P y Q ; p e r o si c o n s i d e r a m o s la r e c t a como u n espacio a u t ó n o m o , los únicos m o v i m i e n t o s s o b r e sí m i s m a se l l a m a n traslaciones y c a d a u n a e s t á d e f i n i d a d a n d o u n solo p u n t o A ( o r i g e n ) y su t r a n s f o r m a d o A ' ( e x t r e m o ) ; todos los d e m á s s e g m e n t o s a n á l o g o s q u e d a n a s í d e t e r m i n a d o s y se c o n s i d e r a n iguales, e s c r i b i e n d o A A ' = B B ' = CC' = m i e n t r a s q u e los A ' A = B ' B = C ' C = son d e s i g u a l e s de aquéllos y se l l a m a n s u s inversos, así como la t r a s l a ción q u e d e f i n e n se l l a m a inversa de la a n t e r i o r . U n s e g m e n t o P Q r e p r e s e n t a n t e de l a t r a s l a c i ó n que t r a n s f o r m a P en Q -se l l a m a vector de origen P y extremo Q. Todo vector A B cuyo e x t r e m o B es el homólogo del o r i g e n A en la m i s m a t r a s l a c i ó n , se l l a m a igual al P Q . E s t a relación t i e n e e v i d e n t e m e n t e l a s p r o p i e d a d e s idéntica, recíproca y transitiva, c a r a c t e r í s t i c a s de l a i g u a l d a d a b s t r a c t a 1 y el vect o r , es decir, el e n t e a b s t r a c t o q u e d e f i n e e s t a i g u a l d a d , e q u i v a l e a la traslación. V e a m o s a h o r a que los v e c t o r e s de u n a r e c t a q u e d a n c l a s i f i c a d o s en 1

S o b r e la i g u a l d a d a b s t r a c t a y la g e n e r a c i ó n d e m a g n i t u d e s p o r a b s t r a c c i ó n , v é a s e R U Y P A S T O R . Curso Cíclico, vol. I, C a p . I. E n C a p . I I e s t u d i a r e m o s a m p l i a m e n t e los vect o r e s de F*2, E.% . . . , c o n s i d e r a n d o c a d a s e g m e n t o o r d e n a d o como r e p r e s e n t a n t e c o n c r e t o del vector abstracto, d e f i n i d o p o r la o p e r a c i ó n l ó g i c a l l a m a d a abstracción d e la f a m i l i a de v e c t o r e s i g u a l e s ; de i g u a l m o d o q u e c a d a o b j e t o b l a n c o e s u n r e p r e s e n t a n t e c o n c r e t o de la blancura, q u e es c o n c e p t o a b s t r a c t o .

4

-2

C O M P L E M E N T O S SOBRE LA G E O M E T R Í A DE LA RECTA

19

dos clases, u n o s positivos y o t r o s n e g a t i v o s , si o r d e n a m o s la r e c t a , a s i g n á n d o l e dos sentidos. R e c o r d e m o s (§ 1, D e f . 1 ) , que elegido en la r e c t a r u n p u n t o O, llam a d o origen; y o t r o p u n t o U , l l a m a d o unidad, q u e d a d e t e r m i n a d a la sem i r r e c t a positiva: es la de o r i g e n O, q u e contiene U . Si P Q es u n segm e n t o de r , es decir, la intersección de u n a s e m i r r e c t a de o r i g e n P y u n a de o r i g e n Q, h a y u n a de ellas a c o r d e con la s e m i r r e c t a p o s i t i v a ; si es la de o r i g e n P, d i r e m o s que el vector P Q es positivo; si la s e m i r r e c t a positiva es la de o r i g e n Q, d i r e m o s que el v e c t o r Q P es positivo, y negativo el P Q . Son e q u i v a l e n t e s l a s l o c u c i o n e s : P Q es positivo; el sentido P Q es positivo; l a s e m i r r e c t a P + ( p o s i t i v a de o r i g e n P ) contiene a Q. T a m bién se e x p r e s a la m i s m a relación d i c i e n d o : P es anterior a Q, siendo legítimo el uso de e s t a p a l a b r a , q u e indica o r d e n , p o r q u e v e r i f i c a la p r o p i e d a d esencial de t o d a ordenación: " S i P es a n t e r i o r a Q, y Q a n t e r i o r 1 a R, es P a n t e r i o r a R " . U n a r e c t a r p r o v i s t a de o r i g e n O y p u n t o u n i d a d U es, p u e s , u n conjunto ordenado; y b r e v e m e n t e se l l a m a r á eje. S u e l e d e f i n i r s e el v e c t o r como " s e g m e n t o d i r i g i d o " o como " s e g m e n t o de e x t r e m o s o r d e n a d o s " , es decir, h a y u n p r i m e r o , l l a m a d o origen, r e s e r v a n d o el n o m b r e de extremo p a r a el o t r o . P e r o e s t a ordenación de e x t r e m o s i m p l i c a la o r d e n a c i ó n de todos s u s p u n t o s , es decir, en todo v e c t o r A B , e n t r e dos c u a l q u i e r a P Q de s u s p u n t o s queda e s t a blecida la o r d e n a c i ó n a c o r d e con la de A y B. NOTA.

2. Adición y s u s t r a c c i ó n de v e c t o r e s . — R e c o r d e m o s (§ 1 - 2 ) q u e los v e c t o r e s P Q = M N se dicen iguales c u a n d o los s e g m e n t o s son congruentes ( r e l a c i ó n q u e e x p r e s a r e m o s |PQI = | M N | y t a m b i é n p o r t a n t o = |NMi y a d e m á s son acordes (del m i s m o signo o sentido).^ L a suma de dos v e c t o r e s V - f W se d e f i n e a s í : a p a r t i r de u n orig e n A se c o n s t r u y e el v e c t o r A B = V ; a p a r t i r del origen B se c o n s t r u y e B C = W . P o r definición se t o m a V + W = A C ; o sea A B + B C = A C , que equivale a e s t a o t r a , f r e c u e n t e m e n t e l l a m a d a igualdad de Chasles: [1]

A B -|- BC +

CA =

0.

Si se t r a t a de n v e c t o r e s consecutivos A i As, A 2 A 3 , A „ - i A n , la s u m a se d e f i n e p o r Ai A 2 + As As + . . . 4- A n - i A n = A i A n , que equivale a l a r e l a c i ó n [2]

AI A2

-(- A : A 3

+

AN-I AN -F- AN A I =

0

la cual g e n e r a l i z a l a a n t e r i o r [ 1 ] . Que l a s u m a a s í d e f i n i d a es u n i f o r m e , a s o c i a t i v a y c o n m u t a t i v a (como la aaicion n u m é r i c a ) se p u e d e d e m o s t r a r g e o m é t r i c a m e n t e , p e r o es p r e f e r i b l e e s p e r a r el p r i n c i p i o básico de la G e o m e t r í a A n a l í t i c a , q u e sust i t u y e a c a d a v e c t o r su m e d i d a , y a p l i c a r e n t o n c e s l a s leyes a r i t m é t i c a s . Sin e m b a r g o , desde a h o r a podemos f o r m u l a r u n r e s u l t a d o i m p o r t a n te. U n c o n j u n t o se l l a m a grupo2 c u a n d o en él es s i e m p r e posible l a adición e n t r e dos e l e m e n t o s c u a l e s q u i e r a ; e x i s t e u n elemento nulo, y t a m bién l a s u s t r a c c i ó n es s i e m p r e posible. P o r t a n t o : los vectores de una recta forman grupo. E s el g r u p o de l a s traslaciones sobre la r e c t a . 1

L o s a m a n t e s del r i g o r l ó g i c o j u s t i f i c a r á n a s í e s t e e n u n c i a d o : L a s e m i r r e c t a P + ( p o s i t i v a d e P ) c o n t i e n e p o r d e f i n i c i ó n a Q. l u e g o t a m b i é n a Q + ; y como p o r h i p ó t e s i s O 4* c o n t i e n e a R , t a m b i é n P - f c o n t i e n e a R : l u e g o P es a n t e r i o r a R . S o b r e el c o n c e p t o de ordenación (total como e s é s t a , o b i e n parcial) v é a s e el l i b r o de R E Y P A S T O R . Elementos de la Teoría, de Funciones. a T a m b i é n s e l l a m a gruyo a t o d o c o n j u n t o d o n d e es s i e m p r e p o s i b l e la multiplicación y división. T a l , es, p o r e j e m p l o , el c o n j u n t o de t o d o s los n ú m e r o s r e a l e s , e x c l u i d o el c e r o . P a r a e v i t a r c o n f u s i o n e s , e s p r e c i s o d e c l a r a r r e s p e c t o d e q u é o p e r a c i ó n s e c o n s i d e r a el g r u p o . ( E j e m p l o : t o d o s los n ú m e r o s r e a l e s , i n c l u s o el cero, f o r m a n g r u p o aditivo, mientras q u e e x c l u y e n d o el c e r o r e s u l t a un g r u p o multiplicativo).

§ 4 -3

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . SERIES Y H A C E S

20

3. E s c a l a de a b s c i s a s s o b r e la r e c t a . — a ) La escala entera: En A r i t m é t i c a s u e l e n i l u s t r a r s e l a s o p e r a c i o n e s de adición y s u s t r a c c i ó n de n ú m e r o s e n t e r o s , r e p r e s e n t á n d o l o s por p u n t o s de u n a r e c t a o e j e , a p a r t i r de u n p u n t o O, que se l l a m a o r i g e n y r e p r e s e n t a el n ú m e r o cero; a d o p t a n d o como u n i d a d de m e d i d a u n s e g m e n t o a r b i t r a r i o O U , el c u a l s e ñ a l a sobre el e j e u n a s e m i r r e c t a , que l l a m a m o s positiva; se c o n s t r u y e en ella la e s c a l a de p u n t o s u n i d i s t a n t e s que d e s i g n a m o s 1, 2, 3, . . . , m i e n t r a s en la s e m i r r e c t a o p u e s t a la e s c a l a de p u n t o s u n i d i s t a n t e s está d e s i g n a d a p o r los n ú m e r o s —1, —2, —3, . . . E l e n t e r o x a s i g n a d o a cad a p u n t o X se l l a m a su abscisa, y la sucesión de p u n t o s u n i d i s t a n t e s con s u s a b s c i s a s r e s p e c t i v a s se l l a m a escala entera. 1. E n l a f i g u r a 6 se h a a d o p t a d o como positivo, s e g ú n cost u m b r e , el s e n t i d o de izquierda a derecha. E s d e c i r : el s e g m e n t o P Q e s positivo p o r q u e P e s t á a la i z q u i e r d a de Q ; t a m b i é n son positivos los s e g m e n t o s M N , N P , OQ, de la f i g u r a y n e g a t i v o s los i n v e r s o s N M , PN, QO. EJEMPLO

§ 4

C O M P L E M E N T O S SOBRE LA GEOMETRÍA DE LA RECTA

1.4 < 1.41 1,414

¡ m

1

1

N

0

P

h- • • • —I 1 1 1 1 í— • • • I n - 2 - 1 0 1 2 3 p Fis

O

!

q

X x

6.

2. E n u m e r a r todos los por los seis p u n t o s d e n o m i n a d o s en N ó t e s e q u e e s t a d e n o m i n a c i ó n sigue el por t a n t o son positivos los s e g m e n t o s fabético. EJEMPLO

I

s e g m e n t o s positivos d e t e r m i n a d o s la f i g u r a con l e t r a s m a y ú s c u l a s . m i s m o o r d e n q u e en el a b e c e d a r i o ; cuyos e x t r e m o s e s t á n en o r d e n al-

b ) La esuCtla racional: Si el v e c t o r u n i d a d O U se divide en dos i g u a l e s , es decir, se a d o p t a como u n i d a d su m i t a d , la e s c a l a de a b s c i s a s es: • ••

2L 9 »

•*•>

2

—2 '

i

-2

o

2

i —2

y a n á l o g a m e n t e se f o r m a n las e s c a l a s de a m p l i t u d e s "3 '

9 9

7Z

-2 -

"

9

J

5 • • • • > cu~

vos p u n t o s t i e n e n las a b s c i s a s ± v/m (n = 0, 1, 2, 3, vi = 1, 2, 3, . . . ) . Dos c u a l e s q u i e r a de e s t a s e s c a l a s t i e n e n p u n t o s c o m u n e s ( p o r e j e m p l o la e s c a l a n a t u r a l e s t á i n c l u i d a en t o d a s ) ; p e r o se o b t i e n e n sin r e p e t i c i ó n todos los p u n t o s de la escala racional, f o r m a d a por los p u n t o s de tocias ellas, a d o p t a n d o t o d a s las a b s c i s a s del t i p o ± v / m , n ú m e r o s que son f r a c c i o n e s irreducibles si t o m a m o s n y m p r i m o s e n t r e sí. 3. L a c i n t a m é t r i c a u s a d a p o r s a s t r e s y m o d i s t a s t i e n e com o u n i d a d el c e n t í m e t r o y en a l g u n a s í cm. Los p r i m e r o s .10 cm. e s t á n divididos en 100 p a r t e s , es decir, en m m . E n la c i n t a de a g r i m e n s o r las a b s c i s a s 1, 2, 3. . . . , e x p r e s a n m e t r o s ; p e r o e s t á n gubdivididos en d m . E n los a p a r a t o s de F í s i c a las e s c a l a s suelen t e n e r 1 m m . como u n i d a d , u s a n d o el nonio p a r a la a p r e c i a c i ó n de s u s f r a c c i o n e s . EJEMPLO

c) La escala real. — A u n q u e la e s c a l a r a c i o n a l p a r e c e a g o t a r los p u n t o s de la r e c t a , se sabe desde P i t á g o r a s q u e hay p u n t o s sin a b s c i s a r a c i o n a l . E n la f i g u r a 7 se h a n s e ñ a l a d o d e s : la d i a g o n a l del c u a d r a d o de lado 1 y la s e m i c i r c u n f e r e n c i a de r a d i o 1 r e c t i f i c a d a son s e g m e n t o s inconmensurables con la u n i d a d , que d e t e r m i n a n en el e j e s e n d o s p u n t o s sin abscisa r a c i o n a l . P a r a e v i t a r t a l e s excepciones se i d e a r o n símbolos, l l a m a d o s números irracionales d e f i n i d o s por a p r o x i m a c i o n e s s u c e s i v a s , c u y a t e o r í a g e n e r a l y a conoce el l e c t o r y q u e en estos e j e m p l o s s o n :

1,5 1,42 1.415

3,1 < 3,14 3,141

.1

„ „


OQ. P o r e s t a r a z ó n hemos a d m i t i d o en § 1-2 la a c o t a c i ó n vxU < A B < < ( m + l ) U p a r a todo s e g m e n t o A B , es decir, la finitud de los segm e n t o s de la r e c t a (no de la r e c t a e n t e r a ) q u e d a n d o así excluido de est a s m a g n i t u d e s l i n e a l e s el infinito actual. A d m i t i d a e s t a a c o t a c i ó n de A r q u í m e d e s , se v a n d e t e r m i n a n d o a p r o x i m a c i o n e s n u m é r i c a s s u c e s i v a s , es decir, dos sucesiones m o n ó t o n a s conv e r g e n t e s , q u e d e f i n e n u n n ú m e r o r e a l , m e d i d a del s e g m e n t o . F a l t a ahor a el p r o b l e m a i n v e r s o : d a d o u n n ú m e r o r e a l c u a l q u i e r a , ¿ e x i s t e en la r e c t a u n p u n t o q u e t e n g a esta a b s c i s a ? A s í acontece si se a d m i t e , como hizo el p r o p i o P i t á g o r a s , r e c t i f i c a n d o s u p r i m i t i v a t e o r í a , el Postulado de continuidad de la recta. T o d a sucesión de s e g m e n t o s , c a d a u n o contenido en el a n t e r i o r , t i e n e al m e n o s u n p u n t o común a todos. E s c l a r o que si los s e g m e n t o s c o n v e r g e n h a c i a cero, como acontece en l a s a p r o x i m a c i o n e s r a c i o n a l e s de un n ú m e r o i r r a c i o n a l , el p u n t o com ú n a todos los s e g m e n t o s es único, y éste es p r e c i s a m e n t e el que cor r e s p o n d e al n ú m e r o r e a l dado, que es su a b s c i s a . L a c o r r e s p o n d e n c i a b i u n í v o c a e n t r e p u n t o s y a b s c i s a s , f u n d a m e n t o de la g e o m e t r í a a n a l í t i c a , r e s u l t a , así, como sencilla consecuencia de los dos p o s t u l a d o s : y al m i s mo t i e m p o se deduce la o r d e n a c i ó n de la c o r r e s p o n d e n c i a y su c o n t i n u i dad en a m b o s s e n t i d o s . Suele d e s t a c a r s e como p r o p i e d a d esencia! de la c o r r e s p o n d e n cia c a r t e s i a n a e n t r e p u n t o s y n ú m e r o s su c a r á c t e r biunívoco; p e r o desde q u e C a n t o r d e m o s t r ó la posibilidad de e s t a b l e c e r c o r r e s p o n d e n c i a s biuriívocas e n t r e s e g m e n t o s , r e c t a s , y d o m i n i o s de c u a l q u i e r n ú m e r o de dim e n s i o n e s , se ha v i s t o q u e el s i g n i f i c a d o de t a l e s c o o r d i n a c i o n e s e s meNOTA.

9

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . SERIES Y IIACES

§ 5 - 2

r a m e n t e de a r i t m é t i c a c a r d i n a l y c a r e c e de valor g e o m é t r i c o ; m a y o r valor q u e e s t a c o r r e s p o n d e n c i a a r i t m é t i c a t i e n e la ordenación, que sumada a l a b i u n i v o c i d a d , implica la bicontinuidad: y ambas conjuntamente c o n s t i t u y e n la relación i m p o r t a n t í s i m a l l a m a d a homeomorfismo: en ella r e s i d e el p a r a l e l i s m o e n t r e Á l g e b r a y G e o m e t r í a r e a l i z a d o p o r D e s c a r t e s . F i n a l m e n t e , desde el p u n t o de v i s t a a l g e b r a i c o , la c o n s e r v a c i ó n de l a s o p e r a c i o n e s de adición, s u s t r a c c i ó n , m u l t i p l i c a c i ó n y división, q u e se exp r e s a con la p a l a b r a isomorfismo, c a r e c e r í a de t r a s c e n d e n c i a si no f u e r a p o r esta c o n c o r d a n c i a en que r e s i d e la í n t i m a f u s i ó n r e a l i z a d a p o r la sencilla idea c a r t e s i a n a : el i s o m o r f i s m o coincide con el h o m e o m o r f i s m o .

§ 5.

N O T A S Y C O M P L E M E N T O S AL C A P Í T U L O I

1. P r e c u r s o r e s de la G e o m e t r í a A n a l í t i c a . L a idea e s e n c i a l de la G e o m e t r í a A n a l í t i c a no es la r e p r e s e n t a c i ó n de los p u n t o s de u n espacio m e d i a n t e c o n j u n t o s de n ú m e r o s , l l a m a d o s c o o r d e n a d a s ; idea m u y a n t i g u a , q u e no r e s u l t ó f e c u n d a ; sino la r e p r e s e n t a c i ó n de los l u g a r e s g e o m é t r i c o s p o r ecuaciones y el e s t u d i o de l a s f i g u r a s susceptibles de t a l e x p r e s i ó n m e d i a n t e el a l g o r i t m o a l g e b r a i c o , q u e p e r m i t e e s t a b l e c e r u n a clasificación s e g ú n sea el g r a d o total de la ecuación ( n ú m e r o i n v a r i a n t e al c a m b i a r de e j e s ) c r e a n d o así i n n u m e r a b l e s c a t e g o r í a s de c u r v a s y s u p e r f i c i e s , a n t e s i n s o s p e c h a d a s , con p r o p i e d a d e s i n t e r e s a n t e s p a r a otros c a p í t u l o s de la Matemática. Los a n t i g u o s egipcios r e f e r í a n los p u n t o s a dos e j e s p e r p e n d i c u l a r e s , p a r a l a medición de p a r c e l a s y l a c o n s t r u c c i ó n de t e m p l o s y p i r á m i d e s . M u y p o s t e r i o r m e n t e , A r q u í m e d e s utilizó c o o r d e n a d a s , en el siglo —III, y A p o l o n i o dió u n a e x p r e s i ó n m é t r i c a c a r a c t e r í s t i c a de c a d a cónica, q u e no es s i n o su ecuación. L a G e o g r a f í a de P t o l o m e o e s c r i t a h a c i a el siglo II es en esencia u n a t a b l a de l o n g i t u d e s y l a t i t u d e s de m u c h o s p u n t o s del m u n d o conocido, a l a s q u e hoy l l a m a m o s " c o o r d e n a d a s g e o g r á f i c a s " . O t r o s m u c h o s e j e m p l o s pueden d a r s e ; b a s t a a l u d i r a la c o s t u m b r e obs e r v a d a en ciertos pueblos v a s c o s q u e s e ñ a l a n ( i g n ó r a s e desde q u é é p o c a ) l a s bocas de r i e g o de la calle, i n s c r i b i e n d o en la p a r e d m á s c e r c a n a dos n ú m e r o s , que son s u s c o o r d e n a d a s , p a r a p o d e r e n c o n t r a r l a s con u r g e n c i a en t i e m p o de nieve. F i n a l m e n t e , los c o n q u i s t a d o r e s e s p a ñ o l e s n o s r e v e l a ron en su t r a z a d o de c i u d a d e s , c u a n a r r a i g a d a e s t a b a en l a s m e n t e s esa idea, que no h a b í a de f r u c t i f i c a r h a s t a el siglo x v i l . L a G e o m e t r í a A n a l í t i c a no p o d í a n a c e r h a s t a q u e la i n c i p i e n t e Álgeb r a e d i f i c a s e u n a l g o r i t m o g e n e r a l ; p e r o l o g r a d o esto p o r V i e t a a f i n e s del siglo xvi, el n u e v o i n s t r u m e n t o p e r m i t e a F e r m a t y D e s c a r t e s el desc u b r i m i e n t o de e s t e n u e v o m u n d o . Y como t a n t a s veces acontece, los dos l l e g a r o n p o r el m i s m o t i e m p o , con i n d e p e n d e n c i a , p o r q u e y a e r a f a t a l , p a r a h o m b r e s de su c a t e g o r í a ; m i e n t r a s que o t r o s m u c h o s m a t e m á t i c o s q u e t r a b a j a r o n en este c a m p o de l a s r e l a c i o n e s del Á l g e b r a con la Geom e t r í a ( S c h o o t e n , Síuse G i r a r d , G h e t a l d i , . . . ) p o s t e r i o r e s a V i e t a , no a t i s b a r o n el g r a n t e s o r o que y a c í a b a j o s u s pies. 2. C r e a d o r e s de la G e o m e t r í a A n a l í t i c a . A t e n i é n d o n o s e x c l u s i v a m e n t e a los d o c u m e n t o s e s c r i t o s , p a r a h u i r de l a s c o n j e t u r a s , l a s ideas de F e r m a t a p a r e c e n c l a r a m e n t e e n su c a r t a a R o b e r v a l de 1636; las de D e s c a r t e s a p a r e c e n i m p r e s a s en su f a m o s a Geometría, p u b l i c a d a en Leyden en 1637, como t e r c e r a p é n d i c e de su " D i s c o u r s de la m e t h o d e " , c l a r o indicio del escaso i n t e r é s q u e dedicaba a l a M a t e m á t i c a p u r a ; disciplina " m u y a b s t r a c t a , q u e no p a r e c e t e n e r n i n g ú n u s o " , en c u y o s p r o b l e m a s " a c o s t u m b r a n a e n t r e t e n e r s e g e ó m e t r a s y c a l c u l a d o r e s ociosos". De l a G e o m e t r í a y el Á l g e b r a dice: " L a p r i m e r a e s t á s i e m p r e t a n l i g a d a a c o n s i d e r a c i o n e s s o b r e l a s f i g u r a s , q u e no p u e d e n e j e r c i t a r el intelecto. sin c a n s a r m u c h o la i m a g i n a c i ó n , y e n la o t r a se e s t á t a n s u j e t o

§ ^ -3

NOTAS Y COMPLEMENTOS AL CAPÍTULO I

23

a c i e r t a s r e d a s y c i e r t a s l e t r a s , que en l u g a r de s e r u n a ciencia q u e e d u a u e la m e n t e , se c o n v i e r t e en u n a r t e oscuro y c o n f u s o que la t u r b a " . T r a s e s t e a n á l i s i s despectivo, se p r o p o n e (y lo c o n s i g u e ) de la m a n e r a m á s b r i l l a n t e , " t o m a r lo m e j o r del A n á l i s i s G e o m é t r i c o y del Á l g e b r a , c o r r i g i e n d o los d e f e c t o s del u n o p o r el o t r o " . E s t a s í n t e s i s feliz, e s t a " M a t e m á t i c a u n i v e r s a l " se p r o p o n e " t o d o aquello q u e p u e d a p r e g u n t a r s e a c e r c a del o r d e n y de l a m e d i d a ; no imp o r t a n d o que l a s m e d i d a s d e b a n b u s c a r s e en n ú m e r o s , f i g u r a s , a s t r o s , sonidos o c u a l q u i e r o t r o o b j e t o " . T a l es, en e f e c t o , la p a u t a s e g u i d a desde aquella m e m o r a b l e f e c h a p o r la M a t e m á t i c a a s í u n i f i c a d a . L a d i v e r s a f i n a l i d a d de la n u e v a G e o m e t r í a — m e t ó d i c a p a r a Desc a r t e s , t é c n i c a p a r a F e r m a t — explica su d i v e r s o d e s a r r o l l o . E l p r i m e r o se l i m i t a a t o m a r s e g m e n t o s p a r a l e l o s sobre u n e j e (son l a s " l i n e a e o r d i n a t a e " de los a g r i m e n s o r e s r o m a n o s ) y ni s i q u i e r a d a la ecuación de la línea r e c t a ; en c a m b i o F e r m a t i n t r o d u c e dos e j e s , y d e s a r r o l l a sistem á t i c a m e n t e la t e o r í a de l a r e c t a y de las cónicas. E s t a o b r a f a m o s a " A d locos p l a n o s e t solidos i s a g o g e " , de f e c h a de publicación desconocida, parece p o s t e r i o r a la G e o m e t r í a de D e s c a r t e s : p e r o es s e g u r o q u e l a s ideas de a m b o s a u t o r e s d a t a n de f e c h a m u y a n t e r i o r al 1636, que es la " f e c h a c i e r t a " de la n u e v a ciencia. E l c a l i f i c a t i v o " a n a l í t i c a " procede de la " A n a l y t i c a " con que A r i s tóteles designó la L ó g i c a , y de él se d e r i v a el n o m b r e a c t u a l " A n á l i s i s m a t e m á t i c o " dado al Á l g e b r a , a m p l i a d a con el Cálculo i n f i n i t e s i m a l . El n o m b r e " c o o r d e n a d a s " de v i e j a r a i g a m b r e , como y a q u e d a dicho, f u é int r o d u c i d o p o r Leibniz en 1692. E s t o s i n i c i a d o r e s d e s c u i d a r o n la i n n o v a c i ó n esencial del sentido o signo de l a s m a g n i t u d e s g e o m é t r i c a s , i n d i s p e n s a b l e p a r a l o g r a r el p e r f e c t o p a r a l e l i s m o con el Á l g e b r a . L a a d j u d i c a c i ó n del signo — a segm e n t o s , á n g u l o s y r e c i n t o s , a c o r d e con s u m e d i d a ( p u e s t o que la i d e a de los n ú m e r o s n e g a t i v o s , p r o c e d e n t e de la I n d i a , f u é y a i n t r o d u c i d a en E u r o p a por L e o n a r d o de P i s a desde 1202), es m u y t a r d í a y p a r e c e debida al a l e m á n Móbius, que la i n t r o d u j o en su f u n d a m e n t a l o b r a " D e r b a r y c e n t r i s e h e C a l c ü l " el a ñ o 1827. L a i g u a l d a d , § 1, [ 3 ] , t o m a d a de ella, con o t r a s ideas, p o r C h a s l e s en " A p e r ^ u h i s t o r i q u e " p u b l i c a d o en 1837, suele l l e v a r el n o m b r e de e s t e r e c o p i l a d o r . F i g u r a d e s c o l l a n t e en la h i s t o r i a de la G e o m e t r í a A n a l í t i c a es el a l e m á n P l ü c k e r , q u e en 1832 a m p l i ó su h o r i z o n t e , c o n s i d e r a n d o como elementos del e s p a c i o r e c t a s o planos, en l u g a r de p u n t o s , e i n t r o d u j o el cómodo uso de a n o t a c i o n e s a b r e v i a d a s p a r a las ecuaciones, como h e m o s hecho en el C a p . I I . 3. Los e s p a c i o s f u n d a m e n t a l e s . L a idea de P l ü c k e r f u é s i s t e m a t i z a d a p o r S t e i n e r en 1832, c l a s i f i c a n d o a s í l a s f o r m a s f u n d a m e n t a l e s , es decir los t i p o s de espacios q u e e s t u d i a la G e o m e t r í a , sea a n a l í t i c a o s i n t é t i c a : I. — Espacios de una dimensión: a ) S e r i e de p u n t o s ; b) H a z p l a n o de r e c t a s ; c ) H a z de p l a n o s . Ii*. — Espacios de dos dimensiones: a ) P l a n o p u n t e a d o ; b) P l a n o r e g l a d o ; c) R a d i a c i ó n de r e c t a s ; d) R a d i a c i ó n de p l a n o s . I I I . — Espacios de tres dimensiones: a ) E s p a c i o p u n t e a d o ; b) E s pacio de p l a n o s . E s t a c l a s i f i c a c i ó n h a dado la p a u t a p a r a la composición del p r e s e n t e l i b r o ; y debe a g r e g a r s e al incompleto e s q u e m a de S t e i n e r el esvacio reglado, s e g ú n P l ü c k e r , cuyos e l e m e n t o s son l a s r e c t a s del espacio i n t u i t i v o , que es t r i d i m e n s i o n a l c o n s i d e r a d o como l u g a r de p u n t o s , p e r o cuadridimenswnal como l u g a r de r e c t a s . ( V . C a p . X, § 4 6 - 2 ) . Los a u t o r e s i t a l i a n o s suelen l l a m a r a los espacios I, I I , I I I , " f o r m a s de 1^, 2^, 3^ e s p e c i e s " ; los españoles, s i g u i e n d o a T o r r o j a , q u e t r a d u j o la n o m e n c l a t u r a de S t a u d t , l a s l l a m a n " f o r m a s de 1^, 2^, 3^ c a t e g o r í a s " . P r e f e r i m o s u s a r la p a l a b r a " e s p a c i o " y a u n i v e r s a l en t o d a la M a t e m á tica, p r e f i r i e n d o a las i n e x p r e s i v a s p a l a b r a s (especie, c a t e g o r í a ) la de-

24

ESPACIOS U N I D I M E N S I O N A L E S . SERIES Y H A C E S

n o m i n a c i ó n del número de dimensiones, es d e c i r número n e c e s a r i a s p a r a d e t e r m i n a r c a d a elemento.

5 5 -4

de coordenadas

4. G e o m e t r í a M é t r i c a y G e o m e t r í a A n a l í t i c a . Conviene d e s t a c a r la d i f e r e n c i a esencial e n t r e la G e o m e t r í a M é t r i c a , q u e compone los libros V y V I de E u c l i d e s , bien conocida desde la e n s e ñ a n z a e l e m e n t a l , y la Geometría Analítica. L a G e o m e t r í a M é t r i c a t i e n e t o d a s l a s v e n t a j a s de la g e o m e t r í a g r i e g a ( v i s u a l i d a d , c a r á c t e r i n t r í n s e c o , i n g e n i o s i d a d ) y t a m b i é n s u s inconvenient e s ( f a l t a de g e n e r a l i d a d y a u s e n c i a de m é t o d o s ) . L a G e o m e t r í a A n a l í t i c a , p o r el c o n t r a r i o , es m e t ó d i c a y s i s t e m á t i c a , y al s u s t i t u i r cada f i g u r a p o r c i f r a s y ecuaciones s o m e t i d a s a las r e g l a s del Á l g e b r a , m e c a n i z a el r a z o n a m i e n t o a h o r r a n d o a r t i f i c i o s e ingeniosid a d e s , p o n i e n d o la i n v e s t i g a c i ó n g e o m é t r i c a al alcance de todos. N o sin r a z ó n se h a p a r a n g o n a d o la invención de e s t a g e o m e t r í a mec á n i c a , con la revolución i n d u s t r i a l o p e r a d a en el m u n d o p o r l a m á q u i n a de v a p o r . E s c l a r o que al d e m o c r a t i z a r así l a G e o m e t r í a , a n t e s p a t r i m o n i o de u n o s pocos, é s t a p i e r d e el e n c a n t o de la a g u d e z a y de l a s u t i l e l e g a n c i a ; p e r o t a m b i é n d e n t r o de la G e o m e t r í a A n a l í t i c a tiene cabida el a r t i f i c i o ingenioso y el cálculo b r e v e y e l e g a n t e , que c o n t r a s t a con el tedioso f o r m u l i s m o , lento y ciego, en q u e i n c u r r e n q u i e n e s a p r e n d e n el m e c a n i s m o metódico, sin c a p t a r su e s e n c i a y su e s p í r i t u .

CAPÍTULO I I

GEOMETRÍA DEL PLANO. PUNTOS, RECTAS Y VECTORES § 6.

COORDENADAS CARTESIANAS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS

1. Sistema de coordenadas cartesianas. — Así como cada panto de la recta orientada está determinado por su abscisa respecto de un origen O y u n vector unitario U, cabe determ i n a r cada p u n t o del plano por un par de números reales x, y, llamadas sus coordenadas, si se adopta como sistema de r e f e rencia dos. vectores cualesquiera U y V, del mismo origen, pero no alineados; es d e c i r : dos ejes X e Y del mismo origen. DEF. 1. Se llama sistema de. coordenadas cartesianas en el plano a todo p a r de ejes de abscisas, X e Y, de origen común O y vectores u n i t a r i o s cualesquiera U y V. Coordenadas cartesianas (x, y) de cada punto P (fig. 8) del plano son las abscisas de las dos proyecciones de P, sobre cada eje, paralelamente al otro. La abscisa de la proyección sobre X, paralelamente a Y se llama abscisa del punto P y se representa por x ; la abscisa de la proyección sobre Y, paralelamente al eje X, se llama ordenada del punto P y se designa por y.

F i g . S.

Fia.

9.

GEOMETRÍA DEL P L A N O . P U N T O S , RECTAS Y VECTORES

2G

5 6 -2

Recíprocamente, dados dos números reales cualesquiera x e y, r e p r e s e n t a n un punto en cada eje, según se ha visto en Cap. I, y las paralelas t r a z a d a s por ellos a los ejes, se cortan en un p u n t o P. El plano queda engendrado así por dos haces de rectas paralelas al eje Y o al X respectivamente. P o r ser biunívoca, como ya se vió, la correspondencia entre los n ú m e r o s reales y los puntos de cada eje, resulta esta propiedad capital, que distingue a las coordenadas c a r t e s i a n a s de otros sistemas. Cada punto del plano tiene dos cada par de coordenadas corresponde correspondencia entre los puntos del m e r o s reales, se llama biunívoca. Los e j e s X e Y dividen al plano drantes caracterizados por los signos se ve en la f i g u r a 9.

coordenadas (x, y ) , y a un punto y sólo uno. Tal plano y los p a r e s de núen cuatro ángulos o cuade las coordenadas, como

L a s c o o r d e n a d a s a r r i b a d e f i n i d a s d i f i e r e n a l g o de l a s i n t r o d u c i d a s p o r D e s c a r t e s , y c o r r e s p o n d e n m á s bien a l a s d e f i n i d a s p o r F e r m a t . E n s u Géometrie u s a D e s c a r t e s p a r a d e t e r m i n a r c a d a p u n t o , su d i s t a n c i a a u n e j e , m e d i d a en dirección p r e f i j a d a (oblicua o n o r m a l ) y el s e g m e n t o q u e la proyección d e t e r m i n a con u n p u n t o f i j a d o e n ese eje. E s é s t e el m é t o d o q u e s u e l e s e g u i r s e en la p r á c t i c a , m u y especialm e n t e u s a n d o direcciones p e r p e n d i c u l a r e s , y o m i t i e n d o el o r i g e n c u a n d o q u e d a l e j a n o de la f i g u r a r e p r e s e n t a d a . A s í , p a r a r e p r e s e n t a r l a v a r i a ción de u n a m a g n i t u d en el t i e m p o ( p o r ej., p r o d u c c i ó n a n u a l de c a r bón) l a g r á f i c a c a r t e s i a n a es u n a c i e r t a c u r v a . E l p a p e l c u a d r i c u l a d o a h o r r a el t r a z a d o de r e c t a s p a r a l e l a s . L o s dos e j e s son i n n e c e s a i i o s . NOTA.

2. Ecuaciones y lugares geométricos. — Hemos demostrado en Cap. I la biunivocidad de la correspondencia e n t r e los puntos del plano y las coordenadas cartesianas, propiedad que no tienen otros sistemas coordenados \ que o p o r t u n a m e n t e introduciremos. D a r un p a r de n ú m e r o s es, por tanto, f i j a r un p u n t o en el plano. ¿Qué significado geométrico t e n d r í a una ecuación f(x,y)=0, donde f (x,y) es un polinomio? Analicemos los tipos m á s sencillos: a ) Ejes coordenados. La ecuación y = 0 impone al p u n t o (x, y) la condición de t e n e r nula la y, pudiendo ser cualquiera la x; es decir, satisfacen esa condición todos los p u n t o s del eje x\ ellos y sólo ellos. Diremos, entonces, que este c o n j u n t o o lugar geométrico tiene la ecuación y = 0. Recuérdese que se llama lugar geométrico al conjunto de todos los elementos que cumplan una o v a r i a s condiciones pref i j a d a s ; es decir, pertenecen al lugar "todos los elementos que cumplen tales condiciones y sólo ellos". i E j e m p l o s : P o l a r e s del p l a n o , e s f é r i c a s y c i l i n d r i c a s del e s p a c i o ; p r o y e c t i v a s l u t a s ) , p l ü c k e r i a n a s ( a b s o l u t a s ) del p l a n o y del e s p a c i o .

(abso-

§ c, -2

COORDENADAS CARTESIANAS Y ECl'AC. ALGEBRAICAS

27

Análogamente, la condición x = 0 caracteriza a los puntos del eje Y ; pues todos ellos y sólo ellos tienen nula la coorden a d a x. Tenemos, en suma, las dos ecuaciones más sencillas y su significación geométrica: TU

y = 0, ecuación del eje X ;

x=

0, ecuación del e j e Y.

b ) Rectas paralelas a los ejes. Si los p u n t o s A', B' tienen igual abscisa c, cualesquiera que sean sus ordenadas, es decir, si se deducen de dos puntos cualesquiera A, B del e j e Y por dos vectores iguales AA' = BB', el cuadrilátero A A ' B ' B que tiene dos lados opuestos iguales y paralelos, es un paralelogramo 1 ; luego la r e c t a A ' B ' es paralela a la A B ; es decir al eje Y ; también lo es la B'C' si es CC' = c ; luego, por el postulado de Euclides, los t r e s puntos A'B'C' (y todos los de abscisa x = c) están en u n a recta paralela al e j e Y. '' Recíprocamente: si A ' B ' J A B , como los segmentos de paralelas i n t e r c e p t a d a s entre paralelas son iguales y de igual sentido, los puntos A ' y B' tienen igual abscisa, y también por tanto todos § los de dicha paralela. Cumplidas así las dos condiciones del l u g a r geométrico, llegamos a los dos tipos de ecuaciones, que comprenden a las [1] como casos particulares, si convenimos en considerar cada r e c t a como paralela a sí m i s m a : [2]

z = const; r e p r e s e n t a u n a recta paralela al eje Y ; y = const; r e p r e s e n t a u n a recta paralela al eje X .

c) Bisectrices de los ejes. P o r igualdad de t r i á n g u l o s demuéstrese que sus ecuaciones s o n : [3]

y = x, bisectriz de c u a d r a n t e s I y I I I ; y = — x, bisectriz de c u a d r a n t e s II y IV.

d) Ecuaciones de primer grado. Veremos en el próximo § 8 que toda recta está expresada por u n a ecuación de p r i m e r grado total respecto de x e y, es decir, del tipo ax + by -f c — 0, m i e n t r a s que la ecuación de p r i m e r g r a d o respecto de cada variable x, y, es decir, del tipo axij + bx -(- cy -f- d = 0 r e p r e senta una curva llamada hipérbola, como veremos en Cap. I V ; esta ecuación de grado total 2, lo mismo que las que contienen términos x- e y-, se llaman de 2? grado. ^ _ e) Ecuaciones algebraicas en general. La Geometría analítica estudia las ecuaciones algebraicas, es decir, del tipo P = 0, siendo P un polinomio de cualquier grado. E n Geomet r í a plana tales ecuaciones algebraicas son del tipo P(x,y)—0, y en el espacio tridimensional P (x, y, z) = 0. Tales ecuaciones, con más de una incógnita, se llaman innr ac Matematicas

cua

' < > l , i e r t e x t o de G e o m e t r í a e l e m e n t a l . elementales de Rey Pastor - Geometría

Por II.

ejemplo:

Biblioteca

Didáctica

§ 6 -3

GEOMETRÍA DEL P L A N O . P U N T O S , RECTAS Y VECTORES

28

determinadas en Álgebra, porque admiten i n f i n i t a s soluciones, reales o i m a g i n a r i a s ; y son precisamente estas ecuaciones indeterminadas las que estudia la geometría analítica. Son éstas y sólo é s t a s ; pues toda ecuación P ( t f ) = 0 con u n a sola incógnita x (por ejemplo x2 — x— 0, que tiene solamente dos soluciones x = 0, £ = 1 ) , la cual r e p r e s e n t a r í a en el espacio E j un n ú m e r o finito de puntos, en cambio es i n d e t e r m i n a d a en E 2 , es decir, en el p l a n o ; pues al no f i g u r a r la y, ésta puede recibir valores a r b i t r a r i o s . E n el ejemplo x2 — x = 0, las soluciones s o n : x = 0, y a r b i t r a r i o (eje Y) ; x = 1, y a r b i t r a r i o (paralela al eje Y ) . 3. Ecuaciones reducibles e irreducibles. — La ecuación del ejemplo a n t e r i o r se llama reducible porque el polinomio es producto de dos; y toda ecuación algebraica de una variable es reducible; pues por el teorema f u n d a m e n t a l de Á l g e b r a 1 todo polinomio P (a;) = 0 de g r a d o n se descompone en n factores (x— ít' a ), (x— £o), . . . , (x — x„), reales o imaginarios, distintos o confundidos; luego la ecuación P ( a ; ) = 0 representa en el plano las rectas paralelas al eje Y : X

==

X i,

X

==

X%f •••»

X -=- Xj¡ •

E s c l a r o que a lo sumo h a b r á n r e c t a s ; p e r o c o n v e n c i o n a l m e n t e , d i r e m o s q u e los p a r e s (x 0 ; b ) y- — xy < 0 ; c) xy

•

o ,

1. — O r d e n a r p o r c u a d r a n t e s los p u n t o s c u y a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a nas son: A) (—1,2); B) (0, i ) ; C) (—1,0,05); D) (12,-1,5); E) (_»,—i). 2. — R e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a d e l a s e c u a c i o n e s : a) x" = xy; b) a;11 — xy = 0 ; c) 3 d) 2a: = ar 4- x; e ) y" — Ay = 0 ; f)

N O T A 1.

f ( x , y)
X , y < a; , y > — x , y < —x

f ( x , y ) > 0,

5 7 -1

EJERCICIOS

Cuadrante I ; expresión A n á l o g a m e n t e los I I , I I I , I V . d)

5 Ü -4

4. — D e m o s t r a r q u e son i r r e d u c i b l e s l a s e c u a c i o n e s : a) x* — ax -f- y" = 1; b) xy + ax -}- by + a no s e r que a, b, c, c u m p l a n c i e r t a c o n d i c i ó n . § 7.


? a

y

mi

de donde se d e s p e j a n l a s c o o r d e n a d a s xf y d e G, q u e d e s i g n a r e m o s a s i :

[12]

2. Cambio de ejes con el mismo origen. Si las coordenadas de P respecto del p a r UV son x, y, y se adopta un nuevo par básico (fig. 14) [9] ü ' = aU + (3 V V' = y U + 5 V

3. Caso general. Finalmente, si los nuevos vectores básicos de componentes U ' ( a , (3), V'(Y> 5) tienen como nuevo origen el punto O ' ( a , b ) deberán s u m a r s e estas componentes de la traslación a las f ó r m u l a s [10] y resultan [11] x — x'a + y'y + a y = z'(3 + y'b + b

y**

=

vuyi m»y2 mi + m*

E n p a r t i c u l a r , si m% = m2 r e s u l t a el p u n t o medio de AIA 2 , q u e p o r e s t o se l l a m a baricentro del p a r de p u n t o s , y c u y a s c o o r d e n a d a s , como y a se vio en el c o r o l a r i o del (§ 1, 3, T e o r . 2 ) , s o n : A 3#-m: o

las dos descomposiciones del vector OP, r e f e r i d o a uno u otro sistema son O P = x'XJ' + V'V = (x'a + y'y)U + (x'P + ?/5)V de donde resultan las f ó r m u l a s de t r a n s f o r m a c i ó n [10] x = x'a + y' y V = + V'b que deberán ponerse en cada ecuación f(x,y) = 0, p a r a obtener la nueva ecuación. Cuando se deseen las expresiones inversas, b a s t a d e s p e j a r x'y', en el sistema de ecuaciones [10].

2 -m¡Xi +. wwx •— mi + m2

X\2 =

[13]

I

/ /

rr

-\

/•m,4-m24m3 /

¿A,

m , +• m 7 Fig.

y[(mi

rn 16.

+ —

Wt) m2)

+ vis] + w8]

= =

(mi — m2)xi2 (nú — nu)yi*

raego el b a r i c e n t r o d e l a s t r e s m a s a s mt,

x =

miXi + mtXa + mi + WJ +

X\

Xs

y =

2/1 +

2/2

Consideremos a h o r a l a s masas mu m«y ?»3 s i t u a d a s en los p u n t o s A i ( x l f y i ) , A 2 ( a r s , 2 / 2 ) , A 3 (^ 3 ,?y 3 ) ( f i g . 1 6 ) . S e g ú n lo d e m o s t r a d o , el b a r i c e n t r o del p a r de m a s a s vu + nu -sobre el p u n t o G i s y w s en el p u n t o A 3 , está determinado por las ecuaciones

/ /

X =

max 3 rn»

9

^

d e d ú z c a s e la f ó r m u l a g e n e r a l p a r a n m a s a s .

+ vux* + vuy*

m3 t i e n e l a s c o o r d e n a d a s rthyi + m-ys 4- m*ys . 9 mi + iru + m*

GEOMETRÍA DEL P L A N O . P U N T O S , RECTAS V VECTORES

36

S 7

-Ej.

E n p a r t i c u l a r : se l l a m a b r e v e m e n t e baricentro de los n p u n t o s Ai, A?. Aa, A«, o centro de distancias medias, al b a r i c e n t r o de n m a s a s i g u a l e s colocadas en los n p u n t o s ; y s u s c o o r d e n a d a s son los p r o m e d i o s de l a s c o o r d e n a d a s : ,,

[14]

* =

.TI +

^2 +

-

• • •

+

.

;

y =

L/T +

2/2 +

- -

. . .

+

UN

.

EJERCICIOS

1. E l b a r i c e n t r o de t r e s p u n t o s no a l i n e a d o s e s t á s i t u a d o en las t r e s m e d i a n a s , q u e d a n d o así d e m o s t r a d o el t e o r e m a conocido de G e o m e t r í a m é t r i c a , según el cual las t r e s m e d i a n a s de un t r i á n g u l o c o n c u r r e n en un p u n t o . 2. E ! b a r i c e n t r o de t r e s m a s a s colocadas en los vértices, p r o p o r c i o n a l e s a l a s l o n g i t u d e s de los l a d o s o p u e s t o s , e s el Incentro (intersección de l a s t r e s b i s e c t r i c e s i n t e r n a s ) . 3. D e m o s t r a r c.ue el b a r i c e n t r o del perímetro de un t r i á n g u l o es el p u n t o de c o n c u r r e n c i a de las b i s e c t r i c e s del t r i á n g u l o f o r m a d o por los n u n t o s m e d i o s de los t r e s lados. 4. D e m o s t r a r que el b a r i c e n t r o de la superficie del t r i á n g u l o coincide con el de los t r e s v é r t i c e s . 5. D a d o el c u a d r i v é r t i c e de v é r t i c e s A I ( # I , I/I), A :(* 2 ,2/ 2 ), AI (IR* J/ 3 ), Á4(A-,,2/ 4 ), si M es el p u n t o medio de A.Ai y N el p u n t o m e d i o de A?A«, d e m o s t r a r que el p u n t o medio de M N es el b a r i c e n t r o del c u a d r i v é r t i c e . 6. Los p u n t o s m e d i o s de '.os p a r e s de v é r t i c e s del c u a d r i l á t e r o A i As An Ai f o r m a n u n p a r a l e l o g r a m o c u y o c e n t r o es el b a r i c e n t r o G del cuadrivértice. 7. P r o b a r a n a l í t i c a m e n t e q u e las r e c t a s q u e u n e n los p u n t o s medios M, N, P , Q, de los lados a d y a c e n t e s de un c u a d r i l á t e r o c u a l q u i e r a , f o r m a n un paralelogramo. 8. S a b i e n d o q u e l a s c o o r d e n a d a s de los v é r t i c e s de u n t r i á n g u l o son A ( — 4 , 8 ) ; B ( 3 , — 6 ) , h a l l a r l a s c o o r d e n a d a s del t e r c e r v é r t i c e C, conociendo a d e m á s las c o o r d e n a d a s del c e n t r o de g r a v e d a d G ( 2 , 6 ) . NOTAS

Flechas y vectores: Dos p u n t o s A , B d e t e r m i n a n u n a dirección, es d e c i r u n a r e c t a ; y a s í p o r e j e m p l o dice el t o p ó g r a f o q u e dos j a l o n e s están en la dirección m e r i d i a n a , o d e t e r m i n a n la dirección m e r i d i a n a ; p e r o si A se f i j a como origen, al m o v e r s e B sobre la r e c t a e n g e n d r a u n a sem i r r e c t a de origen A, q u e t a m b i é n l l a m a r e m o s rumbo. Así d i r e m o s en el e j e m p l o a n t e r i o r que el p a r o r d e n a d o de j a l o n e s AB s e ñ a l a el r u m b o S ; y en s e n t i d o o p u e s t o del r u m b o N ; en o t r a posición s e ñ a l a r á por e j e m plo el r u m b o N W si f o r m a n á n g u l o de medio c u a d r a n t e h a c i a W con el rumbo N. DEF. 1. El s e g m e n t o d e t e r m i n a d o p o r dos p u n t o s d a d o s en un c i e r t o o r d e n A B p a r a f i j a r u n r u m b o , es decir, u n a dirección y u n s e n t i d o de ella, se l l a m a flecha. D o s f l e c h a s A B y A ' B ' se dicen i g u a l e s c u a n d o las r e c t a s A B y A ' B ' son p a r a l e l a s (en p a r t i c u l a r c o i n c i d e n t e s ) y los dos sentidos son acordes, c u a l q u i e r a q u e s e a n l a s l o n g i t u d e s de los s e g m e n t o s . Ejemplos: 1. L a s s a e t a s de u n r e l o j son f l e c h a s ; c a d a u n a s e ñ a l a en cada m o m e n t o u n r u m b o en la c i r c u n f e r e n c i a de l a s h o r a s , de los min u t o s o de los s e g u n d o s .

6 8

-1

PROBLEMAS LINEALES E N EL P I A N O

2. E n todo plano t o p o g r á f i c o es i n d i s p e n s a b l e la colocación de u n a f l e c h a q u e señale u n r u m b o g e o g r á f i c o , p u e s de él se d e d u c i r á n todos los d e m á s . Suele a d o p t a r s e el N o r t e o el Sud, y esa f l e c h a i n d i c a t r i z se dib u j a con longitud arbitraria, evocando el s i g n i f i c a d o de e s t a p a l a b r a v u l g a r , de modo que el e x t r e m o B sea la p u n t a de la f l e c h a . F i j a r u n r u m b o en un p l a n o o m a p a se l l a m a orientarlo, p o r q u e en la g e o g r a f í a m e d i e v a l se a d o p t a b a como r u m b o c a p i t a l el O r i e n t e , donde se u b i c a b a el p a r a í s o . E s t e d e s a c u e r d o con l a c o s t u m b r e a c t u a l a p a r e c e t a m b i é n en o t r o s a s p e c t o s de l e n g u a j e v u l g a r . A s i decimos que v a n en dirección opuesta q u i e n e s c a m i n a n h a c i a el N o r t e y h a c i a el Sud, m i e n t r a s que un g e ó m e t r a d i r á que v a n en " l a m i s m a dirección" p e r o "con r u m b o s o sentidos o p u e s t o s " . M i e n t r a s el concepto de f l e c h a es i n d e p e n d i e n t e de la l o n g i t u d del segmento, suele d e f i n i r s e el vector como " s e g m e n t o de dirección, s e n t i d o y longitud d e t e r m i n a d a " , p e r o el a g r e g a d o de e s t a s t r e s c u a l i d a d e s no c o n s t i t u y e u n a d e f i n i c i ó n , p u e s h a y t r e s tipos d i v e r s o s de v e c t o r e s que las t i e n e n . L a esencia de todo e n t e a b s t r a c t o , q u e c o n s t i t u y e su d e f i n i ción, reside en el tipo de i g u a l d a d q u e es b a s e de la a b s t r a c c i ó n h DEF. 2. E l e n t e a b s t r a c t o d e f i n i d o p o r u n a f a m i l i a de s e g m e n t o s dirigidos, se l l a m a :

fijo.

Flecha, si h a y i g u a l d a d de rumbo (dirección y s e n t i d o ) . Vector libre, „ „ „ „ nimbo y longitud. Vector axial, „ „ „ „ recta base, rumbo y longitud. F i n a l m e n t e , dado u n solo s e g m e n t o dirigido AB, se l l a m a r á vector

Los v e c t o r e s i g u a l e s se l l a m a n t a m b i é n equipolentes. s i g u i e n d o a Bellavitis. Si los v e c t o r e s son a x i a l e s , deben s e r s e g m e n t o s ¡guales y acordes de u n a m i s m a r e c t a ; si son l i b r e s deben s e r lados o p u e s t o s de u n paralelogramo. Ejemplos: 1. L a s s a e t a s de r e l o j , l a s i n d i c a t r i c e s u s a d a s p a r a a r r u m b a r planos, l a s b r ú j u l a s , son f l e c h a s y no v e c t o r e s . 2. Un v e c t o r libre A A ' y c u a l q u i e r a de s u s iguales, d e f i n e n u n a t r a s l a c i ó n del plano^ o del e s p a c i o sobre sí m i s m o ; c a d a f i g u r a A B C D . . . y su h o m ó l o g a A ' B ' C ' D ' son i g u a l e s y s u s s e g m e n t o s homólogos son i g u a les y p a r a l e l o s . 3. Dos caballos que, m e d i a n t e u n cable, t i r a n de u n a m a s a i n e r t e , en un p u n t o A, con i g u a l p o t e n c i a e j e r c e n f u e r z a s r e p r e s e n t a d a s p o r vectores a x i a l e s i g u a l e s sobre la r e c t a del cable. P e r o si la t r a c c i ó n la e j e r cen dos p u n t o s no a l i n e a d o s con la m a s a , los dos v e c t o r e s q u e r e p r e s e n t a n l a s dos f u e r z a s , son d e s i g u a l e s . Su d i f e r e n c i a se l l a m a " p a r de f u e r z a s o de v e c t o r e s " .

§ 8.

P R O B L E M A S L I N E A L E S E N E L PLANO

1. Diversos tipos de ecuación de la recta. — a) Ecuación vectorial. Dados en el plano dos puntos P 0 (#o, 2/o), Pi(a?i, Vi) (fig*. 17), tales que la recta P 0 P i no sea paralela a ninguno de los ejes, es decir, a'n=^.r,, y0^yu cada punto P ( x , y ) de esta recta está determinado por la razón n i L1J

" S o b r e el c o n c e p t o d e i g u a l d a d

-

Pf» P p; p ?

abstracta,

véase

REY

PASTOR.

Curso

Cíclico.

Yol.

I

§ S -1

GEOMETRÍA DEL P L A N O . P U N T O S . RECTAS Y VECTORES

38

medida de P 0 P con la unidad P„ P i ; y como esta razón se conserva al proyectar sobre cada eje, resulta la igualdad Yo Y

XoX

[2]

-

Xo x ;

v

=

Yo Y ,

es decir: x

[3]

x0

y

V»

Xi — X0

Vi

?/o

-

V

Todo punto P de la recta P 0 P i s a t i s f a c e , pues, a esta ecuación. Recíprocamente, si el p a r (x, y) la satisface, siendo p Fi¡r. 17. el valor de las dos fracciones, el punto P de la recta, definido por el vector P 0 P = p . P 0 P i tiene coordenadas d a d a s por [1], es decir, las propuestas. P o r t a n t o : La ecuación de la recta d e t e r m i n a d a por los puntos Po(»o, Vo), Pi(®i, V\) es [ 3 ] . Sin u s a r coordenadas, la ecuación vectorial de la recta a que s a t i s f a c e el p u n t o variable P es [4]

PoP =

v • P 0 P i o bien

(Ecuación vec-

OP = OP0-H>W

t o r i a l ) , siendo W un vector f i j o y p un p a r á m e t r o real variable. b ) Ecuación f5]

explícita. y

—

Despejando en [3] r e s u l t a :

yo =

* — * L Xj Xr>

-

V

l

Xy

-

Xo

a

=

y '

0

-

(Ecuación explícita)

yo -

-

Xy

—

-

X0

xo

yo xi

—

39

y-• an-

c) Ecuación general. La ecuación explícita [5] excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son del tipo x — const.: pero t o d a s las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en esta ecuación g e n e r a l : [7] Are + By — C (Ecuación general) Si es B zfL 0, se puede d e s p e j a r y, resultando una ecuación explícita de tipo [6] (rectas no paralelas al eje y) ; y si es B = 0, resulta del tipo x — = const., es decir, r e c t a s paralelas al eje Y. Si es C = 0 tenemos el haz de todas las rectas que pasan por U, m i e n t r a s que las ecuaciones y = mx, x = ny, excluyen los x = 0. y = 0, respectivamente. 4»

d) Si vidir puede

Ecuación Segmentaria. es C ^ 0, podemos dipor C, y la e c u a c i ó n escribirse así (fig. 18): - a -

+

- f

-

1

V

/

V

F i g . 18.

(Ecuación s e g m e n t a r i a )

donde a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta en cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo y — 0 , resulta x = a x = 0 , resulta y = b

donde es m

PROBLEMAS L I N E A L E S E N EL PLANO

R e s u m e n : la condición de paralelismo de las rectas = m x - f a , y = m ' x + a ' es la igualdad de los coeficientes gulares : m = m'.

[8]

( , _ * )

oue también puede escribirse a s i : [6] y — mx + a

§ 8 - 2

ui XQ

=

XI •— a'o

El n ú m e r o m se llama coeficiente angular de la recta, y es igual al incremento de ordenadas dividido por el incremento de abscisas. El n ú m e r o a se llama ordenada en el origen, porque es el valor de y correspondiente al x — 0 . T «as rectas que p a s a n por O tienen ecuaciones del tipo y = mx, con ordenada nula en O; y al i n c r e m e n t a r ésta, conservando m, s u f r e n igual incremento todas las ordenadas, resultando u n a recta paralela, por las propiedades del paralelogramo.

E s t a ecuación [8] llamada segmentaria, representa todas las rectas que no pasan por el origen, quedando excluidas todas las y = mx que pasan por O. 2. Paralelismo y coincidencia de rectas. — El coeficiente a n g u l a r de la recta [7] respecto del eje X es m = — A / B ; y respecto de Y es n = — B / Á . Como A o B no son nulos, resulta : Condición necesaria y suficiente de paralelismo de dos rectas [9] A x + By = C , A'x + B'y = C' es la proporcionalidad de los coeficientes razón se llaman directores.

de x, y, que por esta

GEOMETRÍA DEL PLANO. P U N T O S . RECTAS Y VECTORES

40

§

8 -3

Tal proporcionalidad se escribe a s í : [10]

- f - = - g - y significa A' = kA,

B' = kB,

inclusive si

A = 0, en cuyo caso es A' = 0; o bien si B = 0, pues entonces es también B' = 0. Con este convenio se elude toda peligrosa consideración sobre denominadores nulos y valores infinitos. Caso especial de paralelismo es la coincidencia, con el convenio ya adoptado en (§ 6-2, b), la condición necesaria, y suficiente de coincidencia de dos rectas es la proporcionalidad de sus tres coeficientes: [11]

= - g - = - ^ r es d e c i r : A' = kA, B' = kB,

C' = kC

Tal condición es suficiente; pues las dos ecuaciones tienen entonces las mismas soluciones. Recíprocamente: si dos ecuaciones de p r i m e r grado [9] r e p r e s e n t a n la m i s m a recta, además de la proporcionalidad [10] entre los A y B, se verifica la de los coeficientes C, necesaria p a r a que t e n g a n el mismo punto de intersección con los ejes. Ejemplos: 1. R e c t a s p a r a l e l a s : •r — íy = 2 , y = 2x + 1 , y — 3 = 2 (a; — 1) 2. E c u a c i o n e s e q u i v a l e n t e s a l a s a n t e r i o r e s : 2x — y — 1 , 2% = y - f 4 , x — ly 4 - 3 = 0

A p a r é e n s e las que r e p r e s e n t a n la misma recta. Con el convenio a d o p t a d o en [ 1 1 ] , si u n o o dos de los coefic i e n t e s A , B, C son nulos, t a m b i é n lo son s u s homólogos. Si se p r e f i e r e e l u d i r l a e s c r i t u r a de f r a c c i o n e s ( q u e en v e r d a d no lo son) p u e d e adopt a r s e la v i e j a n o t a c i ó n de E u c l i d e s : NOTA.

A : B : C = A ' : B ' : C'

3. Puntos alineados. — Si los p u n t o s P 0 (£o, yo), ~Pi(%i,Vi), P? (#2, V2) están en u n a recta, deben satisfacer a una ecuación [7], es decir, deben existir valores no todos nulos, A, B, C, tales que A«t'o Bí/o — C , A.t'i -j- B¿/1 = C , Ax» "4" Bij-2 — C y la condición necesaria y suficiente p a r a ello, es la anulación [12]

'

%o

^

Vo

yi 1/2

1 ' 1 i = 0, 1 |

1

o bien

|

1

^ ~

—

0

o

^ v

"

I ~

y

°

= 0 ,

Si (x, y) es un punto genérico de la recta, d e t e r m i n a d a por (%i> 2/i), (X2,y2), la ecuación de esta recta e s : [13]

x «i Xi

y Vi 2/2

1 1 3

= 0,

o bien

x

—

XÍ

¿1 — x-2

y

—

2/i

!

2/1

—

2/2 !

Q

S

8

•11

PROBLEMAS L I N E A L E S E N EL PLANO

-4

Salta a la vista que esta última es equivalente a la [5] ; y que la p r i m e r a es del tipo [7] con coeficientes que aparecen al desarrollar por la p r i m e r a fila el d e t e r m i n a n t e : [14]

(¿/i — 2/2) x +

(a?. — Xj) y =

2/1^2 —

«12/2.

4. Intersección de rectas. Haces. — Si éstas vieren dadas por las ecuaciones [15] Ax + B y = C, A'a- + B'y = V, como su punto de intersección (.r, y) debe satisfacer a las dos ecuaciones, su determinación se reduce al problema algebraico de resolver las dos ecuaciones [15]. Caso 1. Si A B ' — B A ' ^ 0 , es decir, si las rectas no son paralelas, la regla de C r á m e r da la solución única: [16]

x

CB' — B C ' A B ' _ BÁ'

AC' — CA' AB' — B A '

V

que determina el p u n t o de intersección. Caso 2. Si A B ' = BA', es decir, A y B proporcionales a A' y B' esta igualdad de coeficientes directores indica su paralelismo ; y en particular, si t a m b i é n son proporcionales C y C', e s ' decir, AC' = C A ' ; CB' = BC', las dos rectas son coincidentes. E n el p r i m e r caso, la inexistencia de intersección está acusada por las f ó r m u l a s [16] por tener n u m e r a d o r e s no nulos y denominador cero. E n el caso de coincidencia, viene t a m bién expresada en f o r m a de indeterminación -

.

Condición necesaria y suficiente p a r a que t r e s rectas de ecuaciones A\X +

[17]

A

2

x

AzX

Bj2/ +

Ci

=

0

+ B2?y + C 2 = 0 +

B32/

+

C3

—

0

sean concurrentes es que h a y a solución de dos ecuaciones y s a t i s f a g a n a la otra, y esta compatibilidad del sistema está caracterizada por la condición necesaria: 1

[18]

1

Ai As

Bi Bo

A3

B3

Ci ' C2 ' = 0 C3 ¡

¿ S e r á suficiente? La anulación del d e t e r m i n a n t e implica que alguna fila es combinación lineal de otras, es decir, una recta pasa por la intersección de las o t r a s dos, si existe, o bien es paralela a ambas, si éstas lo son, en cuyo caso curemos que f o r m a n haz impropio. P o r tanto, si generalizamos el concepto

G E O M E T R Í A D E L P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

42

S -6

de haz, incluyendo en él los haces impropios, f o r m a d o s por rectas paralelas, resulta esta conclusión g e n e r a l : Condición necesaria y suficiente para que tres rectas formen haz, propio o impropio, es la anidación del determinante [18] de los coeficientes. o. Ecuación simbólica del haz. — D e s i g n a n d o por una letra un trinomio lineal, y d a d a s dos rectas P = 0, Q = 0, al variar los números reales X, ¡.t, resultan infinitas ecuaciones /.P + uQ = 0, que se satisfacen por la solución común a a m bas, si la hay, resultando infinitos rayos del haz determinado por a m b a s rectas, o bien, si son paralelas, es decir, proporcionales sus coeficientes directores, también lo son los de XP + uQ; luego resultan i n f i n i t a s r e c t a s paralelas. Que en ambos casos se obtiene así todo el haz determinado por las rectas P = 0, Q = 0, es consecuencia de este p r o b l e m a : Recta concurrente con dos, que pasa por u n p u n t o (xn,y0) x o situado en ambas. Sustituyendo, la ecuación XP(# 0 ,2/o)-f + ¡-iQ(#O, y o) = 0, d e t e r m i n a la razón f i n i t a l/\i o bien U/A y se tiene una recta y sólo una, que resuelve el problema. Análogamente, si se pide la recta paralela a otra. E n l a p r á c t i c a suele a d o p t a r s e u n solo p a r á m e t r o , e s c r i b i e n d o la ecuación del h a z en la f o r m a P = ?,Q, a s a b i e n d a s de q u e a s í q u e d a e x c l u i d a en e s t a e x p r e s i ó n l a r e c t a Q = 0 ; omisión que n o i n t e r e s a , c u a n do se t r a t a de e n c o n t r a r u n a t e r c e r a r e c t a que c u m p l a c i e r t a s condiciones. E l caso s i n g u l a r en q u e l a solución sea p r e c i s a m e n t e la r e c t a Q = 0, v e n d r á a c u s a d o p o r la solución /. = oo. NOTA.

Ejemplos:

R e c t a c o n c u r r e n t e con l a s Sx — y — h f 3y = 1 y q u e c u m p l a a l g u n a de e s t a s c o n d i c i o n e s : 1) P a s a p o r el o r i g e n . ( B a s t a e l i m i n a r la c o n s t a n t e , es decir, r e s t a r de l a 2^ el duplo de la 1* y r e s u l t a 4.x = 5 y). 2) E s p a r a l e l a al e j e x. ( S u m a n d o a la 2^ el t r i p l e de la 1$, se elimina y, r e s u l t a n d o llx

=

3)

. /. =

19 \ -^9 J :

luego la solución es 3* _

5

y

=

-

6. Coordenadas homogéneas. — El artificio (§ 3-1) introducido en la geometría de la recta, de sustituir la abscisa por los p a r e s (x,t)

tales que

X

o

PROBLEMAS LINEALES EN E L PLANO

43

de ampliar la escala numérica con los p a r e s (x, 0), que decimos r e p r e s e n t a r el punto impropio, alcanza en la Geometría plana mayor importancia, como ya se adivina ahora, y más adelante se v e r á más ampliamente. DEF. 1. Coordenadas homogéneas (xix&o) de un punto propio del plano con coordenadas c a r t e s i a n a s ( x , y ) , son t r e s números cualesquiera (con a ' o ^ O ) proporcionales a la t e r n a (x, y, 1), es decir tales que Xi — x0

= x ,

- Xo - = y . x0

Las t e r n a s (a, b, 0) r e p r e s e n t a n los puntos impropios o direcciones del plano, estando d e t e r m i n a d a cada dirección por la razón b/a (que es el coeficiente a n g u l a r de la m i s m a respecto del eje x), o bien por la a/b, respecto del eje y ; pudiendo ser nulo a o bien b, pero no ambos a la vez. Así, por e j e m p l o , s o n i m p r o p i o s los puntos ( 1 , 2 , 0 ) . ( 1 , — 1 , 0) ; el p r i m e r o es el de la recta y = 2x, y el segundo el de la bisectriz y = — x, y de todas sus paralelas. Cuando no haya peligro de confusión con las x, y absolutas, r e p r e s e n t a r e m o s por x, y, t, las coordenadas homogéneas. La ecuación homogénea de la recta será, pues, [19] Ax + By + Ct = o y en p a r t i c u l a r r e p r e s e n t a Ax + By — 0 Ax 4- Cí — 0 By + Cí = 0

las rectas por el origen O; las rectas paralelas al eje Y ; las rectas paralelas al eje X.

La ecuación t = 0 r e p r e s e n t a el c o n j u n t o de todos los puntos impropios y tiene propiedades de recta, por ser de p r i m e r grado y t e n e r un solo p u n t o en cada r e c t a [19] propia. Diremos, pues, que la recta impropia tiene la ecuación t = 0. EJERCICIOS

-|-).

E s p a r a l e l a a la r e c t a Sx — 5 y = S. . , 3/. — 2 — l —3 m ( D e s p e j a n d o en ^ • = ^—resulta

§ 8 -Ej.

sea igual a dicha abscisa, con objeto

1. — R e c t a q u e p a s a por el p u n t o ( 1 / 4 , — 1 / 2 ) y es p a r a l e l a a la r e c t a d e t e r m i n a d a p o r los p u n t o s (—2, 1 / 4 ) y ( 1 / 2 , 3 ) . 2. — R e c t a s p a r a l e l a s a la bisectriz a: = y, que p a s a n p o r los p u n t o s (3, 1/4) y (—1/2, 2). 3. — E c u a c i ó n de la r e c t a d e t e r m i n a d a p o r los dos p u n t o s a n t e r i o r e s , en sus f o r m a s v e c t o r i a l , g e n e r a l y s e g m e n t a r i a . 4.—- Se desea h a l l a r la ecuación de u n a r e c t a q u e i n t e r c e p t a n d o sob r e el e j e x u n s e g m e n t o de l o n g i t u d i g u a l a 7 u n i d a d e s , p a s e a d e m á s p o r el p u n t o de a b s c i s a x — 4, p e r t e n e c i e n t e a la r e c i a d a d a p o r : 5x -f- 3y — 30. 5. — P r o b a r a n a l í t i c a m e n t e que las p e r p e n d i c u l a i ' e s b a j a d a s desde dos v é r t i c e s c u a l q u i e r a , de u n t r i á n g u l o , s o b r e la m e d i a n a b a j a d a del t e r c e r v é r t i c e , son i g u a l e s .

í 44

GEOMETRÍA DEL P L A N O . P U N T O S , RECTAS Y VECTORES

§ 9 -1

(i, — P r o b a r a n a l í t i c a m e n t e q u e l a s r e c t a s t r a z a d a s desde u n v é r t i c e A de u n p a r a l e l o g r a m o a los p u n t o s M, N , m e d i o s de los lados opuestos, dividen a u n a de l a s d i a g o n a l e s en t r e s p a r t e s i g u a l e s .

§ 9.

COORDENADAS ORTOGONALES Y POLARES

1. Sistemas ortogonales o rectangulares. — Mientras en los problemas proyectivos (incidencia de elementos) y en los afines (paralelismo) la solución es sencilla, cualquiera que sea el ángulo de los ejes, en cambio conviene elegirlos perpendiculares y con unidades iguales p a r a todos los problemas métricos (distancias, ángulos, á r e a s ) , que t r a t a r e m o s en § 10.

COORDENADAS ORTOGONALES Y POLARES

45

de cada ángulo es, por tanto, 360°, es decir 4R, o bien 2rt, en medida radial. Además de estas dos medidas que llamaremos fundamentales, bien determinadas, cabe a g r e g a r un ángulo de u n a o de v a r i a s vueltas sin a l t e r a r el origen ( + X ) ni el rayo extremo OP del ángulo. Así, pues, si cp' es una medida, se deducen inf i n i t a s por la f ó r m u l a cp ± 2«.t, donde están incluidas las dos fundamentales. L a s m e d i d a s f u n d a m e n t a l e s de los á n g u l o s de inclinación cp, o argumentos de los v e c t o r e s en los d i v e r s o s c u a d r a n t e s , oscilan a s í :

Cuadrante

I:

cp e n t r e

II: >1

i»

III:

yy

(o bien IV:

»»

cp

yy

(o bien

ft

Medidas en Grados

Medidas en Rectos

0 o y 90°

0 y R

y 180°

R y 2R

1 8 0 ' y 270°

2R y 3R

o O O

1. Llamamos sistema ortogonal (o perpendicular) al definido por dos vectores U, V, perpendicido.res y de igual longitud. E s costumbre a d o p t a r sobre el encerado en dirección horizontal y hacia la derecha el semieje + X , y vertical hacia a r r i b a el -|- Y ; queda así definido un sentido de rotación " + X hacia + Y " que se llama positivo, y es opuesto al de rotación de las s a e t a s de un reloj corriente colgado sobre el encerado. También se acostumbra a medir la ordenada y, no sobre el eje Y, sino en la paralela t r a z a d a por P (x,y), desde la intersección con el eje X hacia el punto P. Así en la f i g u r a 19, las DEFINICIÓN

§ 9 - 2

- 9 0 ° y —180°) ( — R y — 2 R ) 270° y s e o 0 - 9 0 ° y o°)

3R y 4R

(—R y 0)

M edida radial O ' í y * -ó¿4 * y 3

~

( — y y —« ) (3 2 y 2 : 0

( -

2 y 0)

2. Funciones circulares. — En el triángulo rectángulo que f o r m a el segmento OP (fig. 20) (cuya longitud absoluta llam a r e m o s r) con los dos catetos de longitudes x, y, la razón de

ordenadas y j de P x ( l e r . c u a d r a n t e ) e y2 de P j (2? c u a d r a n t e ) son positivos, m i e n t r a s que la y3 e y.t en el 3° y 4 9 cuadrantes son negativas. P a r a medir la inclinación del vector OP se adopta el ángulo de r a y o extremo OP, cuyo r a y o origen es el -f- X, con el sentido positivo ya indicado, es decir, el del ángulo ( + X, H - Y ) ; pero si OP está en el c u a d r a n t e 3^ ó 4 9 , p a r a evitar ángulos cóncavos (mayores que un llano) suele medirse la inclinación por el ángulo cíe sentido contrario, al que se asignará signo — . La diferencia entre a m b a s medidas positivas y negativas

dos cualquiera de los t r e s lados d e t e r m i n a la f o r m a del triángulo, y por t a n t o el ángulo cp; estas razones, con el signo que les corresponda por los signos de x, y ( pues r > 0 en todo caso),

§ 9 - 3 46

C E O M E T R f A DEL PI,ANO. P U N T O S , RECTAS Y VECTORES

COORDENADAS ORTOGONALES Y POLARES

§ 9 -2

Ejercicios:

Demostrar, análogamente, estas representad mes:

se llaman funciones goniométrieas, porque sirven p a r a calcular el ángulo cp; o bien circulares, porque al v a r i a r cp conservándose r f i j o , describe P u n a circunferencia, y a cada punto de ella corresponde un valor bien determinado de cada función goniométrica (fig. 2 1 ) .

s«c

; — 3 / 2 , o sea, 2y -f x + + 3 = 0.

3. Ecuación normal de la recta. — Si p es la distancia del origen a una recta y a la inclinación de OP sobre el eje -¡-X (fig. 30), la ecuación segment a r i a (§ 8, [ 8 ] ) y - = i,

x a

sustituyendo a =

v eos a

b =

= — — — , se t r a n s f o r m a en la sen a ecuación siguiente, que suele llamarse n o r m a l : [4]

X

.

eos

a

a

y . sen a = p.

A

F i g . 30.

La dirección de la recta está determinada por la de su vector normal de origen O y longitud p, cuyos ángulos con los semiejes tienen como cosenos los coeficientes A y B de x e y. que hemos llamado (§ 8-2) coeficientes directores de la recta, y que a h o r a se l l a m a r á n cosenos directores. Dada la ecuación Ax -f- By = C, s e r á : A eos a

B sen a •

•

O *

p

Como por la proporcionalidad o igualdad de razones, el valor común de las t r e s es V A- -+ B-, basta dividir los coeficientes A, B y C por y A 2 + B 3 p a r a obtener la ecuación normal A'x -f- B'y = C', cuyos coeficientes tienen los siguientes «significados goniométricos A ' = eos a, B' = sen u, C — p

§ 10

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

58

En resumen: Dada la ecuación general de mía su ecuación normal es Ax + B y + C V'A

2

T B

recta =

Ax + By + C = 0,

0

2

y en ella el término independiente es igual, en valor a la distancia de la recta al origen de coordenadas. Ejemplos-.

-4

absoluto,

D a d a s l a s ecuaciones 3x — 4 y =. 1, Ax — y' + 3 = 0

10

-5

P R O B L E M A S M É T R I C O S . D I S T A N C I A S . Á N G U L O S , ÁREAS

f)9

2. L a d i s t a n c i a del p u n t o P ( 0 , — 1 ) a la r e c t a 3a; — 4¡/ -f 4 = 0 vale 8 / 5 . 3. P a r a h a l l a r la d i s t a n c i a del p u n t o P ( — 1 , 3) a la r e c t a y = =:3x — 1, h a y que e s c r i b i r é s t a en la f o r m a 3* — y — 1 = 0, r e s u l t a n d o en v a l o r absoluto d = 7 / V 10.

D a d a s dos r e c t a s p a r a l e l a s ( f i g . 3 1 ) , si n o r m a l i z a m o s sus ecuaciones s e g ú n se ha explicado en el p á r r a f o a n t e r i o r , es decir, con signo positivo de p, sean las dos ecuaciones así n o r malizadas : x . eos (x + y . sen a = p , x . eos a + y . sen a = p'

se n o r m a l i z a n dividiéndolas p o r 5 y p o r V 17, r e s p e c t i v a m e n t e , r e s u l t a n do así l a s ecuaciones n o r m a l e s : 3 4 1 4 , 1 3 5

x

5

y

~

5 '

v'Tf

x

V~n

P a r a la p r i m e r a r e c t a r e s u l t a n los v a l o r e s c o s a = que d e t e r m i n a n la inclinación

v

vTT

3 4 g - , sen a = — -g-

a = 53°8' y la d i s t a n c i a desde el origen

es p = 4 1 P a r a la s e g u n d a r e c t a r e s u l t a c o s a = — — = r — , s e n a = -•. , que V 17 V 17 d a n la inclinación ( m á s b r e v e m e n t e deducida de la p e n d i e n t e m — 4) a = 75°58', l a d i s t a n c i a r e s u l t a v = 0,73.

4. Distancia de punto a recta y distancia entre paralelas. — P u e s t o que en la ecuación n o r m a l el t é r m i n o c o n s t a n t e es la d i s t a n c i a desde el origen a la r e c t a , p a r a calcular la d i s t a n cia a ella desde un p u n t o c u a l q u i e r a P 0 ( £ o , y0) b a s t a t r a s l a d a r a éste el origen de coordenadas. S e g ú n § 7, [ 7 ] , si la ecuación de la r e c t a es Ax - f B y -f+ C = 0, en el nuevo s i s t e m a de origen (x 0 , y0) su ecuación s e r á A ( x ' + x 0 ) + B {y' + y0) + C = 0, cuyo t é r m i n o independ i e n t e es Axn + B ¡/o + C. E l t é r m i n o i n d e p e n d i e n t e de la ecuación n o r m a l i z a d a s e r á e s t e m i s m o n ú m e r o dividido por V A?2 + B 2 . P o r t a n t o , c o n s i d e r a n d o sólo valores absolutos por simplicidad, se t i e n e : Dada una recta por su ecuación general Ax + By + C = 0 y un punto P ( Í C 0 , Vo), el valor absoluto de la distancia del punto a la recta está dado por a

=

| Axo + By 0 + C ! r

V A 2 + B2

.

1. P a r a h a l l a r l a d i s t a n c i a e n t r e l a s r e c t a s p a r a l e l a s 2x — y + 1 = 0, Ax — 2y -¡-3 = 0, se deben p r i m e r o n o r m a l i z a r , dividiendo la p r i m e r a por V 5 y la s e g u n d a p o r V 20~. La d i s t a n c i a s e r á entonces i g u a l a la d i f e r e n c i a e n t r e los t é r m i n o s independientes, o sea, l/V~o — — 3 / V"20~. EJEMPLOS:

siendo los m i s m o s los coeficientes d i r e c t o r e s de las rectas, la d i s t a n c i a e n t r e ellas s e r á p' — p. Si, por el c o n t r a r i o , son opuestos los vectores p y p', r e s u l t a r á n positivos los s e g u n d o s m i e m b r o s , p e r o opuestos los cosenos d i r e c t o r e s ; u n i f i c a n d o éstos, c a m b i a n d o los signos de a m b o s m i e m b r o s de u n a de las ecuaciones, r e s u l t a r á p' < 0 y la d i s t a n c i a s e g u i r á e x p r e s a d a p o r la f ó r m u l a p' — p, que en este caso es la suma de v a l o r e s absolutos de las d i s t a n c i a s desde O a las dos r e c t a s . R e s u m e n : Dadas dos rectas paralelas, y normalizadas sus ecuaciones de modo que sus primeros miembros sean iguales, la distancia entre ambas rectas es la diferencia de términos constantes. P o r no ser n e c e s a r i o p a r a u l t e r i o r e s capítulos, d e j a m o s de lado el estudio del s i g n o de la d i s t a n c i a , en relación con la o r d e n a c i ó n a d o p t a d a s o b r e la r e c t a , t e m a que e s t á m i n u c i o s a m e n t e t r a t a d o en la Geom e t r í a A n a l í t i c a de F a n o y T e r r a c i n i . NOTA.

5. Bisectrices de un ángulo. — D a d a s dos r e c t a s por sus ecuaciones n o r m a l e s P = 0 y Q = 0, las ecuaciones P = Q, P = — Q r e p r e s e n t a n el l u g a r de todos los p u n t o s equidistantes de a m b a s , es decir, las dos bisectrices del ángulo que f o r m a n . E s t a s f ó r m u l a s son aplicables al caso de dos r e c t a s p a -

60

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

§ 10

-G

ralelas p -b C = 0. p -f D = 0 {p expresión lineal y C, D const a n t e s ) , pues la recta p + C = — y , p - f U ) , es uecir, t 4- D = 0 es la mediatriz. La o t r a ecuación, obtenida igualando a m b a s , es la r e c t a i m p r o p i a . Ejemplos:

1. D a d a s las r e c t a s 3>:— 4 ? / = 10, 4.? 4 - 3 ? / = 1 5 , s u s ecuaciones n o r m a l i z a d a s son -f~ 0

x

10 ~ V — 2;

0

x -I- 04 - y — o.

S u m a n d o y r e s t a n d o r e s u l t a n l a s ecuaciones de las dos b i s e c t r i c e s : 7x — y = 25;

x + 7?/ = 5

b'í l a s dos r e c t a s son 3x — Ay = 10,

x + y = 0. s u s n o r m a l i z a d a s

son 3

4

r ' ~

¡r

a

=

2o :

X

J.

V 2

V

-

f|

§

10 -7

]PIP

(3 V 2 ± 5) x — (4 V~2 + 5) y = 10 V2~ 3. Obérvese que en el e j e m p l o 1, h a b r í a b a s t a d o s u m a r y r e s t a r las dos ecuaciones d a d a s , p a r a o b t e n e r d i r e c t a m e n t e las bisectrices, sin necesidad de n o r m a l i z a r las e c u a c i o n e s ; pero e s t a s i m p l i f i c a c i ó n se p r e s e n t a p o r t e n e r l a s dos ecuaciones el mismo v a l o r A 2 4- B 2 . I g u a l simplificación se p r e s e n t a si u n a de l a s ecuaciones del E j . 1 se s u s t i t u y e por y = C.

—

( $ , — 3O)-' -F-

C o m p r u é b e s e que esa re-

V 2 V2 pía de s u m a r y r e s t a r l a s dos ecuaciones p r o p u e s t a s , p a r a o b t e n e r l a s bisectrices, conduce a r e s u l t a d o s f a l s o s en los e j e m p l o s que no p r e s e n t a n esa coincidencia de v a l o r e s de A 2 + B 2 . E n t r e los casos que no e x i g e n n o r m a l i z a c i ó n , p o r c u m p l i r e s t a condición e s t á el de r e c t a s p a r a l e l a s P = C, P = D, siendo C y D constantes cualesquiera. 4. Si l a s r e c t a s p a r a l e l a s son 5x — ly = 8, 5x — ly = 10, la bisect r i z , es decir, la p a r a l e l a m e d i a , t i e n e la ecuación ox— ly = 9, sin necesidad de n o r m a l i z a c i ó n .

[5]

A (x0,2/0)__

h

" i Px

P i ( « i , i / i ) , P 2 (x2,

' Xo 2/0 Área = -s x i 2/1 I x2 2/2

1

=

1

Area =

1 — 2

tfi ¡ | x-

Vi 1I =s » •1- Xi x (/- y-i 2

9

2/2

i

2

\

x*

Fie. 32.

1 2

i

x->

X„ •r..

2/1 — y> —

2/0 2/0

XiVs

fh }\ = - 1- Xi x (,w — m ).v n 2 2 a

Xi >

2

Si l l a m a m o s Po al vértice de abscisa m í n i m a , son xi > 0 , x« > 0, y si es m z > ?Hi, es decir, positivo, el sentido de circulación Po Pi P2, result a A > 0, siendo en cambio n e g a t i v o el v a l o r obtenido p a r a el á r e a si el sentido de circulación Po Pi P= es n e g a t i v o . Así como la f ó r m u l a d=b—a a t r i b u y e al s e g m e n t o A B de u n a recta un s i g n o ± que es como ya vimos (§ 1) a c o r d e con el sentido del segmento, así la f ó r m u l a [Gj del á r e a da é s t a con signo ± s e g ú n sea el orden c i r c u l a r en que se considera el contorno. E s t a a s i g n a c i ó n al v a lor de cada á r e a de un s i g n o ± es debida a Móbius 1827. 7. Á r e a del p o l í g o n o . — G r a c i a s a l a i n t r o d u c c i ó n del s e n t i d o en el

á r e a , la descomposición de un polígono en s u m a de t r i á n g u l o s , a p a r t i r de un p u n t o O, a l c a n z a validez g e n e r a l . Si O es i n t e r i o r al polígono Ai Aa . . . A , ( f i g . 3 3 ) , el á r e a de éste es [7] S = OAi A 2 + O A ; A3 -4- . . . -f- OAn-l A n + OAn Ai Y* A

y 2)

(fig. 32), la ecuación de la rect a PiPo, según se d e m o s t r ó en (§ 8, [ 1 3 ] ) p a r a coordenadas c a r t e s i a n a s generales, es x y 1 A (x, y) = Xi 2/1 1 = 0 x2 y2 1 ó sea ( ? / i — y 2 ) x — — (x2 — Xi)y =• x2y 1

1

luego el n ú m e r o A(#o>2/o)» es decir, el d e t e r m i n a n t e de los t r e s vértices, vale |Pi P 2 j . h, es decir, el duplo del á r e a del triángulo. E n d e f i n i t i v a : E l á r e a del t r i á n g u l o de vértices (x0,yo), (XuVi), (x2,y2) es

6. Área del t r i á n g u l o . — Si sus vértices son los p u n t o s P o ( # o » y o),

(2/X — ?/J)~

Signo del úrea. — E s t a s e g u n d a f ó r m u l a es m u y ú t i l ; e x p r e s a el á r e a m e d i a n t e los dos vectores que f o r m a n dos lados del t r i á n g u l o . Si e s t a s c o m p o n e n t e s son (tfj,2/i) (xíf y¿), lo que equivale a t r a s l a d a r los ejes, a d o p t a n d o P 0 como o r i g e n , es

( '!- ± — Í = ) x — í 0í - :+: - 4 — ) 2/ = 2 ; \ 5 V2 ' \ V2 '

x

!

2

base del t r i á n g u l o ; y entonces la a l t u r a o distancia desde el vértice P 0 , según hemos visto en el n° 4, es

y l a s bisectrices

x — 2 V 6 y — C o por

fil

A h o r a , en coordenadas r e c t a n g u l a r e s , conviene n o r m a l i z a r la ecuación, dividiéndola por

[6]

V 2

PROBLEMAS MÉTRICOS. DISTANCIAS, ÁNGULOS, ÁREAS

f-'ic 33.

62

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y VECTORES

§ 10 - 8 § 1 0

como se ve, si no h a y superposición de t r i á n g u l o s . Todos ellos son positivos, si lo es el contorno, y el á r e a de la s u m a es la s u m a de l a s á r e a s parciales. Siendo el o r i g e n O i n t e r i o r , cabe que h a y a t r i á n g u l o s r a m p a n t e s ( d i b ú j e s e un caso) y f o r z o s a m e n t e s u c e d e r á ésto si O es e x t e r i o r . La f i g u r a d e m u e s t r a la validez de la f ó r m u l a [ 7 ] p a r a el caso del t r i á n g u l o A I A 2 A S , y s e r á ejercicio i n s t r u c t i v o la demostración de [ 7 ] p a r a todo caso, r e s u l t a n d o en d e f i n i t i v a p a r a el duplo del á r e a la f ó r m u l a [8] 2 S = (#i 2/s — Vi) + (x2y* — Xsy») + . . . + (xny0 — x0ytt) B a s t a , en efecto, descomponer el polígono en s u m a de t r i á n g u l o s no r a m p a n t e s p o r s e g m e n t o s i n t e r i o r e s (por e j e m p l o d i a g o n a l e s ) , cada uno de los cuales M N p e r t e n e c e a dos t r i á n g u l o s contiguos M N P + N M Q . Al e x p r e s a r cada uno de éstos p o r la descomposición [7], r e s u l t a : ( O M N + O N P + O P M ) + (ONM" + OMQ + O Q N ) d e s a p a r e c i e n d o el s e g m e n t o M N y a n á l o g a m e n t e todos los i n t e r i o r e s , qued a n p u e s , los del c o n t o r n o A I A 2 , A 2 A 3 , A« AI, es decir, la e x p r e sión [ 8 ] .

8. Método de los trapecios y método de los ángulos. — E n l u g a r de f o r m a r t r i á n g u l o s con el origen, es p r e f e r i b l e cons i d e r a r los t r a p e c i o s de los lados A r A , u con sus proyecciones s o b r e el e j e X A4 (fig. 34), y bast a m u l t i p l i c a r la a l t u r a xr — %r*i p o r la s u m a Vr + Vr*i p a r a t e n e r el d u p l o del á r e a . Suponiendo todas l a s o r d e n a d a s positivas, c o m o siempre 6 4 J " " " se l o g r a r á sufíe. 34. mándolesuna constante, es decir, t r a s l a d a n d o el e j e X, si es xr < z„i el t r a p e c i o correspondiente debe ser n e g a t i v o ; y positivo en caso c o n t r a r i o , l u e g o : [9] 2S = (a?! — x2) (yt +y2) + (x2 — x3) (ys + 2/3) + + . . . + (xn — x0) (y„ + y0) cuyo desarrollo coincide con [8] ; pero es p r e f e r i b l e calcular d i r e c t a m e n t e [9] que sólo exige n productos, m i e n t r a s [8] exige 2 n ; sin e m b a r g o , ni una ni o t r a son a d e c u a d a s p a r a los cálculos de a g r i m e n s u r a , p o r q u e los elementos que se miden sobre el t e r r e n o son longitudes de los lados de cada poligonal y ángulos de cada dos lados consecutivos. Calculadas, los v e c t o r e s A r Ar.i se deducen d i f e r e n c i a s que

p o r d i f e r e n c i a s sucesivas, los r u m b o s o inclinaciones de A r 4 i ( f i g . 35) sobre el e j e a d o p t a d o , l a s c o o r d e n a d a s de de l a s A r s u m á n d o l e s arcosar y a, sen a r , luego las componen [8] se reducen a s í :

-Ej. Xr

2/r.l

P R O B L E M A S M É T R I C O S . D I S T A N C I A S , Á N G U L O S , ÁREAS Xr-i

yr

=

=

Xr(yr+

fl,

Sen

Or)

(*r

ar ( a r s e n a , — yT c o s a , ) % %

+

C!r

63

cosa,)j/r =

N

\

Fifr. 35.

Los p r o d u c t o s y s u m a s n e c e s a r i o s p a r a c a l c u l a r el á r e a S se disponen en p l a n i l l a s especiales p a r a s i m p l i f i c a r el cálculo. EJERCICIOS

1. E n c o n t r a r la ecuación de la r e c t a que p a s a p o r el p u n t o (1, ¿>), y c u y a p e n d i e n t e es 2. 2. E n c o n t r a r la ecuación de la r e c t a que p a s a p o r el p u n t o ( 5 , — 1 ) , y cuya p e n d i e n t e sea la m i s m a que la de l a r e c t a d e t e r m i n a d a p o r los puntos (0,3) y (2,0). 3. E n c o n t r a r al ecuación de l a r e c t a que p a s a n d o por el p u n t o ( 1 / 3 , 2/3), tenga pendiente infinita. 4. U n p u n t o e s t á s i t u a d o a 8 u n i d a d e s del origen y el coeficiente a n g u l a r de la r e c t a que lo u n e al o r i g e n es — 1 / 4 . ¿ C u á l e s son l a s coord e n a d a s de este p u n t o ? 5. E n c o n t r a r la ecuación de la r e c t a que p a s a n d o p o r el p u n t o de intersección de Qx— 2y + 8 = 0, y de 4.x — 6y + 3 = 0, sea p e r p e n d i c u l a r a 5z + 2?/ + 6 = 0 . 6. ¿ C u á l es la ecuación de la r e c t a p e r p e n d i c u l a r a la r e c t a de e c u a ción: 2x — 3y + 7 = 0 en el p u n t o medio del s e g m e n t o c o m p r e n d i d o ent r e los e j e s c o o r d e n a d o s ? 7. E n c o n t r a r el á n g u l o a g u d o que f o r m a n l a s dos r e c t a s de ecuacion e s 2x — y + 8 = 0; 2x + 5y — 4 = 0. 8. E n c o n t r a r el á n g u l o a g u d o que f o r m a n l a s r e c t a s t r a z a d a s desde el o r i g e n a los p u n t o s de trisección de la p a r t e de la r e c t a de ecuación 2x + 3y — 1 2 = 0, c o m p r e n d i d a e n t r e los e j e s coordenados. 9. E n c o n t r a r la ecuación de las r e c t a s que p a s a n p o r el p u n t o ( 4 , — 3 ) , y f o r m a n u n á n g u l o de 45° con la r e c t a de ecuación 3o: -f- 4y = 0. 10. La b a s e de un t r i á n g u l o e s t á f o r m a d a p o r la r e c t a que u n e los p u n t o s ( — 3 , 1 ) , ( 5 , — 1 ) . ¿ C u á l es la d i s t a n c i a del t e r c e r v é r t i c e ( 6 , 5 ) a la base? 11 P o r el p u n t o de intersección de dos r e c t a s Li, L 2 se desea t r a z a r u n a r e c t a que f o r m e con los ejes un t r i á n g u l o de á r e a p r e f i j a d a . E j e m p l o : La = 2x — y + 2 = 0 ; L 2 = x — y + 1 = 0, á r e a = 3 / 2 .

(¿F.OMKTKÍA PKI. I-LA NO. TINTOS. KKlTAS \ VKfTORES

ÍU

§ 11 -C. 11

12. E n un t r i á n g u l o A B C , r e c t á n g u l o en A. se t r a z a u n a fie bisectrices B D . que e n c u e n t r a en D al lado AC y en E a la a l t u r a A H . Se t r a z a p o r K u n a p a r a l e l a F G a BC, l i m i t a d a en F sobre A B , y en G sobre AC. D e m u é s t r e s e que A D = GC, y que el á n g u l o D H F , es recto. 13. E n c o n t r a r la d i s t a n c i a e n t r e l a s dos p a r a l e l a s : 2.v -f 3 y — — 8 = 0 ; 2x + 3i/ — 10 = 0. 14. H á l l e s e la ecuación de u n a r e c t a que pase p o r el p u n t o común a las Li y L?. y diste del p u n t o P ( 0 , 1 ) , u n a l o n g i t u d i g u a l a 1 / V 5. Li = tf + 2 y - - l = 0 ; U = 2x — y + 3 = 0. 15. D a d o s dos e j e s p e r p e n d i c u l a r e s OX, O Y, y u n a r e c t a que los enc u e n t r a en A y B, se p r o y e c t a el p u n t o O en C, sobre A B , y luego se t r a z a n l a s p a r a l e l a s CD y A D , C E y B E a los ejes y se p r o y e c t a el p u n t o C, en P y Q sobre los e j e s . Demostrar: 1?) E l coeficiente a n g u l a r de D E , es el cubo del de A B 2V)

L a s r e c t a s PQ, A B , D E , son c o n c u r r e n t e s .

o

IP DA o -) Si l l a m a m o s I al p u n t o c o m ú n , t e n d r e m o s "yn" = ~ .7 OB~ 16. E n c o n t r a r la ecuación de la r e c t a d e t e r m i n a d a p o r los p u n t o s ( 1 , 1 ) 5 ( — 2 , — 3 ) y sobre ella los p u n t o s que e s t á n a 15 u n i d a d e s de los p u n t o s dados. 17. Desde el p u n t o ( 9 , 5 ) se b a j a n p e r p e n d i c u l a r e s a los lacios del t r i á n g u l o cuyos v é r t i c e s son ( 8 , 8 ) , ( 0 , 8 ) , ( 4 , 0 ) . P r o b a r aue los pies de e s t a s t r e s p e r p e n d i c u l a r e s e s t á n s o b r e u n a m i s m a r e c t a . (

11.

C O M P L E M E N T O S AL CAPÍTULO I I

L a s c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s g e n e r a l e s , e s t u d i a d a s en §§ 6, 7, 8, son el i n s t r u m e n t o a d e c u a d o p a r a el e s t u d i o de la? p r o p i e d a d e s l i n e a l e s o a f i n e s , intersecciones, proyecciones, p a r a l e l i s m o , . . . , m i e n t r a s que p a r a el e s t u d i o de los p r o b l e m a s métricos (distancias, á n g u l o s , perpendicularidad, á r e a s , . . . ) , hemos a d o p t a d o el s i s t e m a ortogonal. P e r o e s t a s e p a r a ción no puede m a n t e n e r s e a b s o l u t a m e n t e , p u e s a d o p t a d o s e j e s oblicuos —*P s u r g e n a veces c i e r t a s cuestiones mét r i c a s que es p r e c i s o r e s o l v e r d e n t r o de este s i s t e m a . V e a m o s la complicación que a c a r r e a este uso de s i s t e m a no a d e c u a d o al p r o b l e m a . 1. Cambio de eje Y por el ortogonal al X. Si el e j e Y oblicuo al X se c a m b i a p o r el Y' o r t o g o n a l ( f i g . 3 6 ) , c o n s e r v a n d o la m i s m a u n i d a d V el t r á n s i t o de las c o o r d e n a d a s oblicuas (x,y) a las o r t o g o n a l e s (.>;'.?/') es inFiar. S6. mediato:

[1] x = :c +

[2]

.

r x == y . eos 8 inversamente y' = y . sen 8 1 v = f ó r m u l a s de f r e c u e n t e uso c u a n d o se p r e s e n t e a l g ú n Veamos algunos.

x' .r' —y' c t g 5 y\ / s e n 6 problema métrico.

§ 11 -C. II

05

COMPLEMENTOS AL CAPITULO II

3 Perpendicularidad. La recta y = tnx t i e n e como n u e v a ecuación, en el s i s t e m a o r t o g o n a l (x\y'). , , , , vi . sen 6 y =m x s i e n d o m = r , — 1 1 -h ni eos o Como la p e r p e n d i c u l a r i d a d en c o o r d e n a d a s o r t o g o n a l e s e s t á expres a d a p o r la condición m\ . ?u'2 = — 1 su e x p r e s i ó n en oblicuas, s e r á : mi . W2Sen20 + ( l + M i c o s * ) ( l + viscoso) = 0 que s i m p l i f i c a d a se reduce a é s t a : [3] v h . vio + (mi -f m 2 ) c o s 0 = — 1 Si h u b i é r a m o s p a r t i d o de ella, se deduciría como caso p a r t i c u l a r p a r a 0 = 90° la f ó r m u l a mi . ?;?2 = — 1 . b) Coeficiente angular. P o r división de l a s expresiones y s i m p l i f i cación en el s i s t e m a o r t o g o n a l se llega a la f ó r m u l a s i g u i e n t e , que m á s b r e v e m e n t e r e s u l t a como i n m e d i a t o corolario del t e o r e m a de los s e n o s :

m =

-

V

~

=

sen a

x sen(0 — a) y en p a r t i c u l a r , p a r a 0 = 90°, es m = t g a , como ya s a b í a m o s . 2. Distancia entre dos puntos. t r i á n g u l o que f o r m a el r a d i o v e c t o r p r e s a el r a d i o v e c t o r en c o o r d e n a d a s [4] = x- + y2

La f ó r m u l a del coseno, a p l i c a d a al con los s e g m e n t o s coordenados, exoblicuas: + 2xy eos 0

f ó r m u l a de uso f r e c u e n t e , v á l i d a en todos los c u a d r a n t e s ( f i g . 3 7 ) . E n efecto, el t e r c e r t é r m i n o del t r i n o m i o , t i e n e el v a l o r s i g u i e n t e : cuadrante I — 2 x y cos(180° — 0) II — 2 ( — x ) y c o $ 0 tf I I I — 2 ( — x ) (—2/)cos(180° — 0) 1y

19

IV

—2x(—y¡cos 0

es decir, en todos los casos r e s u l t a la e x p r e s i ó n [ 4 j .

Fig.

37.

Fip. 38.

M á s g e n e r a l : dados los p u n t o s P i ( . r , f / / 0 y Pa(a?2, ys), el m i s m o teor e m a del coseno da la e x p r e s i ó n s i g u i e n t e p a r a la d i s t a n c i a e n t r e los dos puntos:

[5]

d- — (xx — x«)2 + (¡/i —y.,)2 + 2(arx — Xs) (2/1 — 2/s)cos 0

f ó r m u l a que es consecuencia i n m e d i a t a de la [ 4 ] . Obsérvese que los c u a t r o casos allí considerados se reducen a dos s e g ú n que la recta de unión de los dos p u n t o s t e n g a su dirección en los c u a d r a n t e s I - I I o bien II-IV, como s a l t a a la v i s t a en la f i c u r a 38.

(36

G E O M E T R Í A DEL P L A N O . P U N T O S , R E C T A S Y V E C T O R E S

§

11

-C. II

3. Cosenos directores en coordenadas oblicuas. P r o y e c t a n d o el vect o r O P = OA + A P sobre los e j e s OP, X é Y , r e s u l t a r e s p e c t i v a m e n t e : q = x . eos X P + y . c o s Y P q . eos P X = x + y eos Y X o . eos P Y = x . eos Y X + y relaciones lineales h o m o g é n e a s cuya c o m p a t i b i l i d a d exige la a n u l a c i ó n del determinante. j 1 cosXP eos Y P eos P X 1 eos Y X = 0 I eos P Y eos Y X 1 l u e g o r e s u l t a la e c u a c i ó n c o s 2 X P + c o s 2 Y P = sen 2 0 + 2 eos X P . c o s Y P . eos 0 que es la relación f u n d a m e n t a l que liga los cosenos d i r e c t o r e s en coord e n a d a s oblicuas.

EJERCICIOS

1. D a d a la r e c t a Sx — 2y + 1 = 0, h a l l a r las r e c t a s p a r a l e l a s a ella que d i s t a n del o r i g e n dos u n i d a d e s . 2. E c u a c i ó n de u n a r e c t a que p a s e p o r P ( 4 , 3) y corte a los e j e s coord e n a d o s en los p u n t o s A , B t a l e s que O A . O B = 54. 3. Dados los p u n t o s A ( 0 , 0 ) , B ( 0 , — 3 ) , C ( 5 , 4) h a l l a r las ecuaciones de l a s t r e s a l t u r a s y c o m p r o b a r que p a s a n p o r u n m i s m o p u n t o . Lo m i s m o con las t r e s m e d i a n a s .

CAPÍTULO I I I

CIRCUNFERENCIA Y FAMILIAS DE CIRCUNFERENCIAS §

12.

C I R C U N F E R E N C I A Y CÍRCULO

1. Definición y ecuación de la circunferencia.— DEF. 1. Se d e f i n e la c i r c u n f e r e n c i a como el l u g a r geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un p u n t o f i j o del mismo, denominado centro. A la distancia c o n s t a n t e de jy los p u n t o s de la circunf e r e n c i a al centro se den o m i n a radio. Vamos a estudiar a n a l í t i c a m e n t e la c i r c u n f e r e n c i a en un sistema de e j e s o r t o g o n a les 1 (fig. 3 9 ) . De la expresión a n a l í t i c a d e la d i s t a n c i a 10-1) se deduce que si p) son las c o o r d e n a del c e n t r o y r es el radio, la condición neceFie. 39. saria y s u f i c i e n t e para que la d i s t a n c i a de un p u n t o M(X, y) al centro sea igual a r, es [1]

(tf — a ) 2 +

( y — (3)2 = r2

luego ésta es la ecuación de la circunferencia. Recíprocamente, a t o d a ecuación de este tipo corresponde u n a c i r c u n f e r e n c i a de centro (a, (3) y r a d i o r. D e s a r r o l l a n d o [1] y poniendo 5 = a 2 -f (32 — r2 t e n d r e m o s la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a b a j o la f o r m a [2]

xz + y- — 2ax — 2(5?/ - ¡ - 5 = 0

y es claro que s i e m p r e que se cumpla la condición (ct2 + |32 — — 5 > 0 ) , t o d a ecuación del t i p o [2] r e p r e s e n t a r á una circunf e r e n c i a de c e n t r o (a, (3) y radio r , tal que r- = a 2 + |32 — 6. A

E l e s t u d i o e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s s e j u s t i f i c a p o r i n t e r v e n i r en la d e f i n i c i ó n de la c i r c u n f e r e n c i a e n f o r m a e s e n c i a l eí c o n c e p t o m é t r i c o de d i s t a n c i a .

68

C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S EJEMPLOS:

§ 12

1. La ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de c e n t r o

y radio 4 es + ( ? / _ i ) 2 — 16.

o sea,

x2 + y* + 6x — 2y

-3

(—3, 1)

— 6 =

0.

2. L a ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de centro el origen y r a d i o r es a"«5J +I y-« = O 3. La ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a de centro (—1, 0) y radio 1 es (.x + l ) 2 + y- = 1, o sea, íc2 + \f + 2x = 0.

La ecuación m á s g e n e r a l posible de segundo g r a d o es de ia f o r m a ax2 + by2 + 2 hxy -f 2 cjx + 2 f y + c = 0

[3]

P a r a que ella r e p r e s e n t e una c i r c u n f e r e n c i a es necesario que exista u n a ecuación del tipo [2] que t e n g a sus coeficientes proporcionales a los de la [3]. E s decir, que se tiene que cumplir a = b = — L

=

— a

„ — P

_£_

;

5

h

= o.

P o r consiguiente se h a n de c u m p l i r las condiciones siguient e s : a = b =£ 0 ( p a r a que la ecuación sea de segundo g r a d o ) , y además 9

a

'2

' '

f

~ a-

° a

a 2 +13 2 — 5 > 0

=

ó

g2 -1- /2 — cic> 0

E n r e s u m e n : Las condiciones necesarias y suficientes para que una ecuación cLe segundo grado [3] represente una circunferencia son: [4]

a = b ^

0,

h = 0,

g2 + f2 — ac > 0

Cuando a = & = 1 se dice que la ecuación es normal. S u p o n i e n d o la ecuación normal, o sea a = b = 1, l a s coordenadas del centro y el r a d í o de la c i r c u n f e r e n c i a [3] ( s u p u e s t o y a h = 0 ) , e s t á n dados por a = — g,

|3 =

— /,

r£ =

+ f

— c.

Si es g- 4 - f — e < 0, se dice que se t r a t a de u n a c i r c u n f e r e n c i a de radio imaginario. Si g" -f f- — c — 0, la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a se puede e s c r i b i r (x- -f g)s + {y + f ) - = 0, que sólo se s a t i s f a c e p a r a el punto real x = — g, y = — / , pero puede decirse que r e p r e s e n t a dos r e c t a s i m a g i n a r i a s , a s a b e r : y -}- / -f i (x -f g) = 0, y + f — i(x + g) =. 0, p u e s t o que el p r o d u c t o de e s t a s dos ecuaciones es la ecuación de la c i r c u n f e rencia. 1. E l c e n t r o y el radio de la c i r c u n f e r e n c i a ar + y' — y = = 0 son a = 0, (3 = 1 / 2 , r = 1 / 2 . EJEMPLOS:

2. E l c e n t r o y el r a d i o de la c i r c u n f e r e n c i a x2 + y- — 2x -f y — 1 = 0 son a = 1, 3 = — 1/2, r = 3 / 2 .

§ 12 -2

09

C I R C U N F E R E N C I A Y CÍRCULO

2. Intersección de una recta con una circunferencia. — El problema geométrico de d e t e r m i n a r la intersección de u n a recta con una c i r c u n f e r e n c i a es a n a l í t i c a m e n t e el de resolver el sistema [5]

(x — a)-+

(y — p ) 2 = r-

mx

ny + p — 0

f o r m a d o por las ecuaciones de la r e c t a y de la c i r c u n f e r e n c i a . El sistema, estando f o r m a d o por una ecuación de p r i m e r g r a do y una de segundo, se reduce a la resolución de una ecuación de segundo g r a d o ; luego puede t e n e r dos soluciones reales distintas, una solución real doble, o dos soluciones i m a g i n a r i a s c o n j u g a d a s . E n el p r i m e r caso la r e c t a es secante a la circunf e r e n c i a y h a y dos p u n t o s comunes. E n el segundo caso se dice que la recta es tangente a la circunferencia. La recta y la circunferencia tienen entonces comunes un sólo punto. E n el t e r c e r caso no h a y p u n t o s comunes a la recta y a la circunferencia. Dados en el plano una c i r c u n f e r e n c i a y una recta, t o m e m o s como origen de c o o r d e n a d a s el centro de la c i r c u n f e r e n c i a y como e j e OX la p e r p e n d i c u l a r a la recta. L a s ecuaciones de la c i r c u n f e r e n c i a y de la recta son x'- + y2 = rx — a y eliminado x llegamos a la ecuación ?/-' = r— a 2 que t i e n e dos soluciones, una o n i n g u n a , según que se t e n g a r > a, r — a ó r < a, luego (como a es la distancia del centro a la r e c t a ) , deducimos q u e : La recta tiene con la circunferencia dos puntos comunes, uno o ninguno, según que su distancia al centro sea menor, igual o mayor que el radio. 3. Ecuación de la tangente a la circunferencia en un punto. — Sea la circunf e r e n c i a de ecuación (x — a)2 + (y — P) 2 = = r 2 y M(x 0 ,2/o) un punto de l a m i s m a (fig. 40). C o n s i d e r e mos la e c u a c i ó n de la f a m i l i a de r e c t a s y — y o = m( x — x0), que pasan por el punto (xo, 2/o), con excepción de la x = x0.

P>. 40.

C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S

70

§ 12

-3 §

P a r a d e t e r m i n a r la t a n g e n t e a la c i r c u n f e r e n c i a en dicho p u n t o h a y que d e t e r m i n a r el valor de ra tal que el s i s t e m a de las ecuaciones de la c i r c u n f e r e n c i a y de la recta, t e n g a una sola solución doble. P a r a ello la ecuación en x

[6]

(x — a)2

+ [y0 + m(x — z0) —p]2

= r2

2(x — a) + 2[y0 - | - ra(x — x „ ) — P ] m = 0 x0 — a + (y o — (3) ra = 0

luego la ecuación de la t a n g e n t e es

[7j

(a: —

x0)

-0~ (x — xa)

yo — p

(x0 — a) + (y — y0)

o sea:

(2/o — P )

=

0.

Queda a h o r a el caso en que y0 = P; entonces debe ser Xi) = a + r y la recta x = x0 es a h o r a t a n g e n t e a la c i r c u n f e rencia. B a s t a ver, en efecto, que poniendo x = x0 en la ecuación [6] se reduce dicha ecuación a la (y — (3)2 = 0, que tiene la solución doble y = ¡3. Si en [7] hacemos y0 = |3, g 0 = a ± r la ecuación t o m a la f o r m a x = x{). Podemos, pues, e n u n c i a r el t e o r e m a s i g u i e n t e : La ecuación [7] es la ecuación general de la tangente a la circunferencia de centro (a, P) y radio r en el punto (x0, y o) de la misma. Cuando la c i r c u n f e r e n c i a tiene su centro en el origen, la ecuación toma la f o r m a xx(t — x r — r'

, „ , , a < r -+- r

que son la condición necesaria y suficiente p a r a que las circ u n f e r e n c i a s t e n g a n p u n to s comunes, correspondiendo el signo igual al caso en que t e n g a n un solo p u n t o común. P o r consiguiente : l9 Si la distancio, de los centros es mayor que la suma de los radios o menor que la diferencia, las dos circunferencias no tienen puntos comunes. 29 Si la distancia de los centros es menor que la suma de los radios y mayor que la diferencia, las dos circunferencias tienen dos puntos comunes, que (como se deduce fácilmente de los cálculos anteriores) son simétricos ortogonalmente respecto de la línea de los centros. 3 9 Si la distancia de los centros es igual a la suma o a la diferencia de los radios, las circunferencias tienen un solo punto común en la línea de los centros. La abscisa de ese p u n t o es _

(r ± r')2 4- r2 — r ' 3 2r- ± 2 rr' 2 {r~± r') ~ "" ~2(r±iJ)

r

y por t a n t o la r e c t a x — r = d — r' es t a n g e n t e en el punto c o m ú n a a m b a s c i r c u n f e r e n c i a s ; se dice entonces que las circunferencias son tangentes en dicho punto. Los resultados a n t e r i o r e s suponen que d =•= 0, es decir, que las c i r c u n f e r e n c i a s no son c o n c é n t r i c a s ; si lo f u e s e n y tuviesen distinto radio, no t e n d r í a n p u n t o s comunes y si el radio f u e s e el mismo, coincidirían. 5. Tangentes desde un punto a la circunferencia. — Dada una c i r c u n f e r e n c i a de ecuación (a? — a ) 2 + (!/ — p)2 = 7-2 y un p u n t o (x¡, ?/,) del plano, el problema de d e t e r m i n a n las t a n g e n t e s a la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a n por el p u n t o se resuelve si podemos d e t e r m i n a r las coordenadas de los p u n t o s de contacto. Si x(, é y o son las coordenadas de dicho p u n t o deDen s a t i s f a c e r al sistema de dos ecuaciones ( r x — x„) (Xr, — a) - r (y, — y») O/o— P) = 0 (x0 — a) - -+- C2/u — (3>- = r-

.§ 1 2

-6

T¿

C I R C U N F E R E N C I A V CÍRCULO

que e x p r e s a n , la p r i m e r a , según U ] , que la t a n g e n t e a la circ u n f e r e n c i a en (a'o, 2/0) pasa por el p u n t o { X \ , ü i ) , y la segunda que el p u n t o e s t á en la c i r c u n f e r e n c i a . S u m a n d o estas dos ecuaciones queda una ecuación de p r i m e r g r a d o en ,r0 é 2/0 y p o r consiguiente el sistema puede t e n e r dos soluciones reales, una o n i n g u n a . Dados en el plano una c i r c u n f e r e n c i a y un punto, tomemos un sistema de c o o r d e n a d a s con origen en el centro de la circ u n f e r e n c i a y cuyo e j e OX pasa por el punto, estando éste además situado en la p a r t e positiva. Siendo en este sistema de coordenadas a = 0, p = 0, 2/1 = 0 y poniendo xx = d, las ecuaciones del sistema a n t e r i o r se reducen a dx o = r-

,

Xo2 + 2/02 =

;

donde r es el radio de la c i r c u n f e r e n c i a y d la distancia del centro al p u n t o . E l i m i n a n d o x0 en el sistema, obtenemos la ecuación 2 r' ?/o2 = r 2 1 2 •»« •

«

d

que tiene dos soluciones reales, una o n i n g u n a , según que sea r < d, r = d ó r > d. Luego según que la distancia del p u n t o al centro sea m a y o r , igual o m e n o r que el radio, se pueden t r a z a r desde él dos t a n g e n t e s , una o n i n g u n a a la circunferencia. Si r e s t a m o s las dos ecuaciones del sistema que d e t e r m i n a x0 é 2/0 obtenemos Xa- + 2/0- — dx o = 0,

o sea:

2 / \ d * d' | x0 — l — + i/o2 = - £

lo que nos p r u e b a que los p u n t o s de contacto e s t á n en u n a circ u n f e r e n c i a que p a s a por el centro de la c i r c u n f e r e n c i a dada y por el p u n t o dado, y cuyo centro e s t á en el p u n t o medio del segmento que dichos punt os d e t e r m i n a n . Obtenemos así la propiedad que s i r v e de base p a r a el t r a z a d o clásico de las t a n g e n tes a una c i r c u n f e r e n c i a desde un p u n t o e x t e r i o r . 6. Determinación de las tangentes, paralelas a una recta. — S u p o n g a m o s la c i r c u n f e r e n c i a con centro en el o r i g e n ; vamos a d e t e r m i n a r las t a n g e n t e s p a r a l e l a s a u n a r e c t a de coeficiente a n g u l a r m. Sea ?/ = >n'x la recta p e r p e n d i c u l a r a la dada y que pasa por el centro, su coeficiente a n g u l a r es m'= — 1/m. P a r a hallar la intersección de esta recta con la c i r c u n f e r e n c i a dada, h a y que resolver el s i s t e m a : 2/ = m'x , x'2 + y- = rcuyas soluciones son

CIRCUNFERENCIA Y F A M I L I A S DE CIRCUNFERENCIAS

74

„

-!- r V ' T >

± m'r

^y — m'-

'

V I

+

W

8

12

-7

, 2

L a s t a n g e n t e s que p a s a n por dichos p u n t o s son p e r p e n d i culares a los r a d i o s que p a s a n por el p u n t o de c o n t a c t o ; por consiguiente son p a r a l e l a s a la r e c t a d a d a y son las soluciones del p r o b l e m a . Sus ecuaciones resultan, después de s u s t i t u i r n u e v a m e n t e ni' = — 1 / m y q u i t a r d e n o m i n a d o r e s y = mx ± r \ / " l + trique son las ecuaciones de las cia p a r a l e l a s a u n a dirección E n el caso general cuando ción 2 — a) + ( x

dos t a n g e n t e s a la c i r c u n f e r e n dada. la c i r c u n f e r e n c i a t i e n e por ecua(y — P)

2

y = mx — ma -4- (3 ± r V 1 +

m

'~

L a s t a n g e n t e s p a r a l e l a s a. eje OY t i e n e n como ecuaciones, como se deduce i m e d i a t a m e n t e , x = a ± r. 7. Determinación de circunferencias. — L a ecuación de u n a c i r c u n f e r e n c i a contiene t r e s p a r á m e t r o s a r b i t r a r i o s , luego p a r a d e t e r m i n a r una c i r c u n f e r e n c i a s u j e t a a c u m p l i r c i e r t a s condiciones h a b r á que e x p r e s a r estas condiciones en f o r m a a n a lítica, m e d i a n t e relaciones e n t r e los p a r á m e t r o s , lo que nos c o n d u c i r á a un sistema de ecuaciones e n t r e los p a r á m e t r o s , que h a b r á que r e s o l v e r ; r e e m p l a z a n d o las soluciones obtenidas en la ecuación general de la c i r c u n f e r e n c i a se o b t e n d r á la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a del problema pedido. El uso de p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s conocidas puede f a c i l i t a r mucho la solución del problema, como i g u a l m e n t e la elección o el cambio del sistema de ejes. Tomemos, como ejemplo, el problema de d e t e r m i n a r la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a por t r e s puntos, M¡(.?i,?/i), M 2 ( x 2 , y 2 ) y M 3 (XZ, y*). Sabemos d e t e r m i n a r la ecuación de la r e c t a que es p e r p e n d i c u l a r al segmento MI, M 2 en su p u n t o medio, la de la r e c t a que es p e r p e n d i c u l a r al segmento MI M 3 en su p u n t o medio. L a s c o o r d e n a d a s del p u n t o de intersección de e s t a s dos r e c t a s son las coordenadas del centro de la circ u n f e r e n c i a y dicho p u n t o existe s i e m p r e que las r e c t a s no sean paralelas, es decir, s i e m p r e que los t r e s p u n t o s M I , M 2 y M 3 no estén alineados. E l r a d i o es la distancia del centro a uno de los p u n t o s dados. O t r a f o r m a de resolver este problema sería escribir l a s condiciones

75

C I R C U N F E R E N C I A Y CÍRCULO

p a r a que la ecuación g e n e r a l de la c i r c u n f e r e n c i a pase por los t r e s puntos, es decir l a s ecuaciones ( X l

_ a )

a

3

+

(Vl — p)2 = 2

r*

(x2— a) + (l/2—P) = (xz — a)'J + (2/3— | ) ) - = r 3 y h a y que r e s o l v e r este s i s t e m a t o m a n d o como i n c ó g n i t a s a, p y r. Rest a n d o las dos ú l t i m a s de la p r i m e r a quedan dos ecuaciones de p r i m e r g r a d o en a y |5; resolviéndolas y r e e m p l a z a n d o los valores en una de las ecuaciones se t e n d r í a el valor de r.

Se logra una solución directa del problema escribiendo la ecuación en la f o r m a de un d e t e r m i n a n t e . Dicha ecuación es la s i g u i e n t e : x-

[12]

= r-

u n a simple t r a s l a c i ó n de e j e s nos p r o b a r í a que las t a n g e n t e s solución del p r o b l e m a t i e n e n como ecuaciones [11]

§ 12 -8

-1- y-

a1,- + yr + V-S ¿Y- H- 2/3-

a:

y

1

xL

yx

1

x-2

Vi

1

*3

2/3

1

= 0

E n e f e c t o : desarrollando el d e t e r m i n a n t e por los elementos de la p r i m e r a f i l a se tiene A ( z 2 + 2/2) + B.r + Cy + D = 0 en donde A, B , C y D son los m e n o r e s c o m p l e m e n t a r i o s de los elementos de la p r i m e r a fila. Si los elementos no e s t á n alineados es A t¡=0 (§ 8 - 3 ) , luego la ecuación a n t e r i o r es la de u n a c i r c u n f e r e n c i a que pasa por los t r e s p u n t o s ya que al r e e m p l a z a r las variables x é y por uno cualquiera de esos valores se obtiene un d e t e r m i n a n t e igual a cero por t e n e r dos f i las iguales. L a ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que p a s a por los t r e s p u n t o s (0, 0 ) , (0, 1 ) , (1, — 2 ) es l ar + y 2 x y 1 ¡ EJEMPLO:

0 1 5

o 0

o i

1

—2

i i l

= 0

que d e s a r r o l l a n d o , da ar + + y- — 1x — y — U.

8. Ecuaciones p a r a m é t r i c a s de la circunferencia. — C o n s i d e r e mos la c i r c u n f e r e n c i a con centro en el origen, su ecuación es entonces x- - f y2 = r-. Sea M un p u n t o cualquiera y t el ángulo que f o r m a el sem i e j e positivo OX con la s e m i r r e c t a OM. Se tiene (fig. 41)

Fie. 41,

7li

r l l « l'XKKKKNVIA

V

OP = x

PM — y

,

FAMILIAS

x = r eos t

[13]

,

DE

,

§

C H U T N'FEREXl I AS

12 -9

y por tanto

Recíprocamente, dado un valor de t cualquiera e n t r e 0 y 2-x, los p u n t o s de coordenadas r eos t, r sen t e s t á n en la circunf e r e n c i a , luego las ecuaciones [13] son las ecuaciones p a r a m é t r i c a s de la c i r c u n f e r e n c i a . El p a r á m e t r o t puede t a m b i é n v a r i a r e n t r e — a y n: p a r a obtener todos los p u n t o s de la c i r c u n f e r e n c i a . Si t o m a m o s a h o r a u = t g t/2 y r e c o r d a n d o las f ó r m u l a s i -- w

sen t =

;

eos t =

l+tg=-2-

1

u — x = r — ;' 1 + u-

'

y — r "

x = a -f r eos t

;

2u

1 + ii-

y = b + r sen t

9. Ecuación de la circunferencia en coordenadas polares. — D a d a u n a c i r c u n f e r e n c i a por su ecuación general [2], si tom a m o s un sistema de c o o r d e n a d a s polares con el polo en el origen y el e j e OX como eje polar, y aplicamos las f ó r m u l a s (§ 9 - [ 1 2 ] ) de cambio de coordenadas, la ecuación [2] t o m a la f o r m a , llamando a h o r a co al ángulo polar, [16]

o- — 2o (a eos co ~\- ¡3 sen co) + f) = O

que es la ecuación general de la circunferencia en coordenadas polares. Si Q0 y coo son las coordenadas polares del centro de la circ u n f e r e n c i a y r su radio, se tiene o n - = ex- -¡- (5- ; 5 = Qo2 — r2 ; a = o„ eos co0 ; ¡3 = o„ sen co0 y la ecuación [16] t o m a la f o r m a [17]

Q-

—2o o 0 eos (co — coo) +

QO2

e = 2-7'senco. Ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e en el polo a la perpendicular al e j e polar (o 0 = ?', con = 0 ) , q = 2 r eos co. Ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a cuyo centro es el polo (yo = 0), q

— l + V - g -

que nos dan las coordenadas de los puntos de la circunferencia como funciones racionales de un parámetro u. E s claro que a u h a y que darle todos los valores reales p a r a obtener todos los p u n t o s de la c i r c u n f e r e n c i a . El caso en que el centro es un p u n t o cualquiera, se reduce al a n t e r i o r m e d i a n t e una t r a s l a c i ó n de e j e s y se t i e n e n las ecuaciones [15]

— r- = O

Como casos p a r t i c u l a r e s i m p o r t a n t e s se t i e n e :

77

Ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a t a n g e n t e en el polo al eje p o l a r (o 0 = r , co0 = ;rc/2),

|

se tiene, r e e m p l a z a n d o sen t y eos t en f u n c i ó n de u, las sig u i e n t e s ecuaciones p a r a m é t r i c a s r-tAi [14]

E J E S R A D I C A L E S . H A C E S DE C I R C U N F E R E N C I A S

Ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a que pasa por el polo (o„ = r), q — a cosco + (5 sen co, o bien, o = 2 r eos (co — co„) .

y — v sen t

ate-*-

§ 13 - l

§ 13.

E J E S RADICALES.

— r. H A C E S DE CIRCUNFERENCIAS

1. Potencia de un punto respecto a una circunferencia. — T E O R E M A 1. El producto de los segmentos MA y MB, que tienen como origen un punto fijo M del plano y ¡ íxr como extremos los puntos A y B de intersección de una circunferencia fija con una secante variable que pasa por M, es constante. Sea la ecuación de la c i r c u n f e r e n c i a (x — — o ) 2 + (y —13)- - r- y x0 e y o las c o o r d e n a d a s del p u n t o M. L a s r e c t a s que p a s a n por M (fig. 42) tienen c o m o ecuaciones p a r a Fig. *2. métricas x = x0 + e eos t , y = yo + q sen t en donde t es el ángulo que f o r m a el s e m i e j e positivo OX con la recta MA, y el p a r á m e t r o o es la distancia de un p u n t o cualq u i e r a de la r e c t a a M. Los valores de o c o r r e s p o n d i e n t e s a los p u n t o s A y B de intersección de la recta con la c i r c u n f e r e n cia, es decir, las longitudes MA y MB son las raíces de la ecuación [1]

(®0-re cosí — a)2 +

(2/0 -h Q sen t — (3)2 = r-

que puede p o n e r s e en la f o r m a q- - f 2 [ ( a r „ — a ) e o s t +

+

(;/„ — ( 3 ) s e n í ] o

(i/o — (i) 2 — ?'2] - 0 .

[ (xu

— ex) 2 - f

i C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S

78

§

DEF. 1. E s t e producto c o n s t a n t e se llama la potencia del punto respecto de la circunferencia. Dicho producto es, según a c a b a m o s de ver, igual a (%o — « ) 2 +

(lio — P ) 2 — r 2

es d e c i r : se obtiene la potencia circunferencia reemplazando las primer miembro de la ecuación La distancia de M al centro

de un punto respecto a una coordenadas del punto en el normal de la circunferencia. de la c i r c u n f e r e n c i a es

d- = (Xo— a ) 2 + (2/„ —13) 2 luego se t i e n e : potencia del punto respecto de la circunferencia ts igual al cuadrado de su distancia al centro menos el cuadrado del radio. De aquí se deduce que la potencia es positiva, nula o n e g a t i v a , según que el p u n t o sea e x t e r i o r , esté en la c i r c u n f e r e n c i a , o sea i n t e r i o r a la m i s m a . Como los resultados a n t e r i o r e s valen cuando la ecuación [1] tiene una r a í z doble se d e d u c e : La potencia de un punto respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la longitud del segmento de la tangente trazada por el punto a la circunferencia y limitada por dicho punto y el de contacto. 2. Ejes y centros radicales. — TEOREMA 2 . El lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia con respecto a dos circunferencias no concéntricas es una línea recta. S e a n en efecto las ecuaciones de las dos c i r c u n f e r e n c i a s (.T — a ) 2 + (a; — a ' ) 2 +

(y — (3 ) 2 = r(2/ — P ' ) 2 = r * .

P a r a que un p u n t o M (x,y) t e n g a igual potencia respecto de a m b a s c i r c u n f e r e n c i a s es condición necesaria y s u f i c i e n t e que sus coordenadas s a t i s f a g a n a la relación (x — a)n-+

(y — P ) 2 — r2 =

(a;_a')2 +

(2/ — P') 2 — r"-

o a la equivalente [3]

2 (a' — a)x + 2 ( p ' — $)y + - f a- — a' 2 + P2 — p' 2 — r- + r''1 = 0

y como h e m o s supuesto que las c i r c u n f e r e n c i a s no son concént r i c a s no pueden a n u l a r s e a la vez a' — a ; P' — p y por t a n t o la ecuación a n t e r i o r es la de una r e c t a . DEF. 2. E s t a línea r e c t a es el efe radical

y su ecuación

-2

E J E S R A D I C A L E S . H A C E S DE C I R C U N F E R E N C I A S

79

13-2

El producto de las dos raíces de la ecuación a n t e r i o r , es decir, el p r o d u c t o de las longitudes de MA y MB es independiente de t, lo que p r u e b a el t e o r e m a .

[2]

13

se

obtiene restando miembro a miembro las ecuaciones normales de ambas circunferencias. Si es a = a'; P = p'; r =¡= r'> es decir, si las c i r c u n f e r e n c i a s son concéntricas y distintas, la ecuación [3] no se s a t i s f a c e p a r a n i n g ú n s i s t e m a de valores, es decir, no h a y n i n g ú n p u n t a que t e n g a la m i s m a potencia con respecto a a m b a s c i r c u n f e rencias. L a r e c t a que une los centros de las c i r c u n f e r e n c i a s y la del e j e radical, tienen como coeficientes a n g u l a r e s p — p' a — a'

a

"

a' — a p — ¡V

luego r e s u l t a : a ) El eje radical es perpendicular a la línea de los centros, puesto que el producto de los coeficientes a n g u l a r e s de dichas r e c t a s es igual a —1. Si las dos c i r c u n f e r e n c i a s tienen p u n t o s comunes, estos puntos, por t e n e r potencia nula respecto de las dos circunferencias, pertenecen al e j e radical, luego t e n e m o s : b ) El eje radical de dos circunferencias secantes es la recta de su cuerda común. Si las c i r c u n f e r e n c i a s son t a n g e n t e s el eje radical pasa por el p u n t o de t a n g e n c i a y es p e r p e n d i c u l a r a línea de los centros, luego se t i e n e : c) Si dos circunferencias son tangentes, su eje radical es la recta tangente común. S u p o n g a m o s a h o r a t r e s c i r c u n f e r e n c i a s Ci, C j y C 3 y sean : R l f R 2 y Ra los e j e s radicales de C 2 y C 3 , C 3 y Ci, y Ci y C 2 , r e s p e c t i v a m e n t e . Si dos de estas r e c t a s se c o n f u n d e n los puntos de a m b a s tienen la misma potencia respecto de las t r e s circ u n f e r e n c i a s que tienen, por consiguiente, el mismo e j e radical. Si dos de los e j e s radicales son paralelos no existe n i n g ú n p u n t o que t e n g a la m i s m a potencia respecto de las t r e s circunf e r e n c i a s y entonces los t r e s e j e s son paralelos y como son perpendiculares a las líneas de los centros, las t r e s c i r c u n f e r e n cias tienen sus t r e s centros en línea r e c t a . F i n a l m e n t e , si dos de los e j e s se cortan en un punto, sin c o n f u n d i r s e , dicho p u n t o es el único que tiene la m i s m a potencia respecto de las t r e s c i r c u n f e r e n c i a s , p o r él p a s a n los t r e s e j e s radicales. DEF. 3. Dicho p u n t o se llama el centro circunferencias.

radical

de las tres

SO

C I R C U N F E R E N C I A Y F A M I L I A S DE C I R C U N F E R E N C I A S

§ 1 3 - 3

3. H a c e s lineales de c i r c u n f e r e n c i a s . — Consideremos dos c i r c u n f e r e n c i a s Ci y C* de ecuaciones n o r m a l e s f , (x, y) ==' x- + y- — 2a a- — 2p y + 5 = 0 = •»" + !/" — 2u'.r — 2(3'// + b' = 0 DEF. 4. Se denomina haz lineal de circunferencias junto de las circunferencias de ecuaciones [4] y) - f uf-Ax.y) = o

al con-

en donde ). y ¡.i toman todos los valores reales posibles. E s evidente que la ecuación [4] r e p r e s e n t a una circunfer e n c i a p a r a todos los valores de /. y u salvo en el caso /. = — u e n que r e p r e s e n t a el e j e radical, al que c o n s i d e r a r e m o s como un caso limite de los círculos del haz. Se tiene el t e o r e m a siguiente : Todas las circunferencias de un mismo haz lineal tienen el mismo eje radical. Sea en efecto C una circunf e r e n c i a del haz de ecuación f ( x , y ) £2 l f i ( x , y ) + \if.¿(x,y). TEOREMA 3.

E l e j e r a d i c a l de C y C, t i e n e como ecuación J j í » L _

f,(*,„>

= o

A -f H

(en donde hemos dividido por ). + [.i en la ecuación de C p a r a que la ecuación tomase la f o r m a n o r m a l ) . E s t a ecuación puede t a m b i é n e s c r i b i r s e e n la f o r m a f (x,y) — ( ? > + n ) f i O » M / ) = 0 Ifi(x,y) + y) — (?. + n ) f \ ( x , y ) = 0 ó f i (x,y) — fo{x, y) = 0 que no es o t r a que la ecuación del eje r a d i c a l de Ci y C 2 lo que d e m u e s t r a el t e o r e m a . R e c í p r o c a m e n t e : si H es la familia de las circunferencias que tiene el mismo eje radical, H es un haz lineal de circunferencias. P a r a d e m o s t r a r este t e o r e m a b a s t a r á p r o b a r que cualquier c i r c u n f e r e n c i a C de H tiene como ecuación >.fi (a-, y) -i- uf»(ar, y) = 0 en donde •£x(x,y) = 0 y U(x,y)=0 son las ecuaciones de dos c i r c u n f e r e n c i a s f i j a s cualesquiera C j y C 2 de H . E n e f e c t o : la ecuación del e j e r a d i c a l de Ci y C 2 es, sup u e s t a s las e c u a c i o n e s e s c r i t a s en f o r m a n o r m a l , e{x,vSiT~ — U(x, y) — f , (x,y) = 0, p e r o como C y Ci t i e n e n t a m b i é n el m i s m o e j e radical, si ponemos g ( x , y) — f (.r, y)— f i (x, y) siendo f (x,y) la ecuación n o r m a l de C, se h a de cumplir, puesto que e(x. y) = 0 y g ( x , y ) = 0 son ecuaciones de la m i s m a r e c t a

§

13

-4

E J E S R A D I C A L E S . HACICS DE C I R C U N F E R E N C I A S

f i ( * , y) — f s ( x , y) = e ( x , y) = yg(x, siendo y 4= 0, es decir

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y) = yf (x, y) — y f i U \ y)

f (x, y) = ( ~ + 1 ) f , ( x , y) \ y / como q u e r í a m o s d e m o s t r a r .

—f-Ax, y) y

4. Clasificación de los haces lineales. — Los h a c e s lineales se clasifican en t i p o s distintos que vamos a e s t u d i a r . E l i j a mos como e j e de o r d e n a d a s el e j e radical de las c i r c u n f e r e n cias del haz y como e j e de abscisas la p e r p e n d i c u l a r b a j a d a desde el centro de una de las c i r c u n f e r e n c i a s del haz al e j e r a dical. Los c e n t r o s de las c i r c u n f e r e n c i a s del haz e s t á n todos en el e j e OX, luego las c i r c u n f e r e n c i a s del haz tienen t o d a s ecuaciones del tipo ÍC2 + y- — 2ax + d = 0 La potencia del origen con respecto a cualquier c i r c u n f e rencia del haz es igual a d, luego este t é r m i n o independiente h a de ser el mismo p a r a todas las c i r c u n f e r e n c i a s del haz, est a s tienen, pues, t o d a s como ecuación [o] x- -f y- — 2Xx + d = 0 y r e c í p r o c a m e n t e t o d a s las ecuaciones del tipo a n t e r i o r , p a r a los valores de }. que h a g a n que dicha ecuación sea la cíe u n a c i r c u n f e r e n c i a , es decir, p a r a los valores de l tales que l2 > d r e p r e s e n t a n u n a c i r c u n f e r e n c i a del haz. L a ecuación [5] es pues, la ecuación general de t o d a s las c i r c u n f e r e n c i a s del haz. C o n s i d e r a r e m o s a h o r a t r e s casos distintos que nos d a n t r e s tipos distintos de haces lineales. d < 0. Todas las c i r c u n f e r e n c i a s c o r t a n al e j e OY en ios dos p u n t o s P y Q de o r d e n a d a ± y/— d y toda c i r c u n f e r e n c i a que p a s e por esos dos p u n t o s pertenece al haz. El haz e s t á f o r m a d o por t o d a s las c i r c u n f e r e n c i a s que p a s a n p o r dos p u n t o s f i j o s (fig. 4 3 ) .

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CIRCUNFERENCIA Y F A M I L I A S DE CIRCUNFERENCIAS

§ 13 -5

2