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Ecuaciones generales

P.1 Cuando un chorro incide sobre una placa inclinada como la que se muestra en la figura se divide en dos chorros 2 y 3 de igual velocidad V = Vch pero con caudales diferentes: αQ en 2 y (1 − α)Q en 3, siendo α la fracci´ on correspondiente. El motivo es que, en un flujo sin fricci´on, el fluido no puede ejercer fuerza tangencial Ft sobre la placa. La condici´ on Ft = 0 nos permite obtener α. Realice este an´alisis y obtenga α como funci´ on del ´ angulo de la placa θ. ¿Por qu´e la respuesta no depende de las propiedades del chorro? α Q, V 2

ρ , Q, A, V

θ

1 Fn Ft = 0 (1- α) Q, V

3

PROBLEMA 8.9 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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P.2 Cuando el flujo en un conducto se expande s´ ubitamente de A1 a A2 , como se indica en la figura, aparecen torbellinos de baja velocidad y baja fricci´ on en las esquinas y el flujo se expande de forma gradual hasta A2 aguas abajo. Empleando el volumen de control sugerido para flujo estacionario y suponiendo que p ≈ p1 en la esquina anular, como se muestra en la figura, demuestre que la presi´on aguas abajo est´a dada por   A1 A1 1− . p2 = p1 + ρV12 A2 A2 Desprecie la fricci´ on en la pared. Volumen de control

Presión |p1

p2 , V2 , A 2 p1 , V1 , A1

2

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P.3 La compuerta de la figura permite controlar y medir el flujo en un canal abierto. En las secciones 1 y 2 el flujo es uniforme y la presi´ on es la hidrost´ atica. La anchura del canal es b perpendicular al papel. Despreciando la fricci´ on con el fondo, obtenga una expresi´on para la fuerza F necesaria para sostener la compuerta. ¿Para que valor de h2 /h1 la fuerza es m´ axima? En el caso de velocidad muy baja V12  gh1 , ¿para qu´e valor de h2 /h1 la fuerza ser´ a la mitad de la m´ axima?

Compuerta anchura b

A

F h1

V1 h2 V2

PROBLEMA 8.8 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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P.4 Al igual que se observa en el fregadero de una cocina cuando cae sobre ´el el agua del grifo, figura (a), un canal de agua a gran velocidad (V1 , h1 ) puede “saltar” a una condici´on de baja velocidad y baja energ´ıa (V2 , h2 ) como se observa en la figura (b). La presi´on en las secciones 1 y 2 es aproximadamente la hidrost´atica y la fricci´ on en la pared es despreciable. Use las relaciones de continuidad y cantidad de movimiento para obtener h2 y V2 en funci´ on de h1 y V1 . Resalto hidráulico V2 < V1 h1

h2 > h1

V1

(a) (b) PROBLEMA 8.7 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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P.5 La bomba horizontal de la figura descarga agua a 20 o C con 57 m3 /h. Despreciando las p´erdidas, ¿qu´e potencia en kilovatios proporciona la bomba al agua? 120 kPa 400 kPa

D2 = 3 cm

Bomba

7

D1 = 9 cm

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P.6 El sif´ on de la figura funciona continuamente mientras haya fluido en el dep´osito, una vez se le ha proporcionado la succi´ on suficiente. Empleando la ecuaci´on de Bernoulli sin p´erdidas, demuestre que (a) la velocidad de salida V2 solo depende de la gravedad y la altura H y (b) la presi´on m´ınima (de vac´ıo) se produce en el punto 3 y depende de la distancia L + H. 3 L

1 h

H 2 V2

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P.7 El tubo acodado de la figura tiene D1 = 27 cm y D2 = 13 cm. Por ´el circulan 10000 l/min de agua a 20o C con p1 = 194 kPa (manom´etrica). Calcule el momento requerido en el punto B para mantener el tubo quieto. 50 cm C 50 cm

V2 , p2 = pa 2

B

1

V1, p1

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P.8 En la figura se representa agua movi´endose a trav´es de un conducto de 50 cm de alto y 1 m de acho. La compuerta BC cierra completamente el conducto cuando β = 90o . Suponiendo flujo unidimensional, ¿cu´ al es el angulo β que har´ ´ a que la fuerza del chorro de salida sobre la placa sea de 3 kN? Articulación B ␤

1.2 m/s 50 cm

C F = 3 kN

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P.9 Una turbom´ aquina simple est´ a construida mediante un disco con dos conductos internos que salen tangencialmente a trav´es de dos orificios cuadrados, como se muestra en la figura. Un flujo de agua a 20o C entra perpendicularmente por el centro del disco, tal y como se indica. El disco se debe mover a 250 rpm un peque˜ no dispositivo mediante un par de 1,5 N · m. ¿Cu´al es el gasto m´asico de agua necesario en kilos por segundo? 2 cm 2 cm

32 cm

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Q

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P.10 [EX 08-09-05] Un chorro de agua de di´ametro Dj y velocidad Vj incide perpendicularmente sobre una pared en la que se ha practicado un orificio de di´ametro Ds < Dj . Parte del agua escapa a trav´es del orificio y el resto se desv´ıa radialmente 90o respecto del chorro en la configuraci´on axisim´etrica que se muestra en la figura. Considere que la velocidad del chorro es suficientemente alta para poder despreciar los efectos de fricci´ on y gravitatorios.

Vr h(r) Dj

Ds

Vs

Vj

ps

pa

Suponiendo que la presi´ on a la derecha de la pared, ps , es igual a la presi´on atmosf´erica, ps = pa : 1. Determine la velocidad Vs del chorro que escapa a trav´es del orificio. ¿Que fracci´on del caudal del chorro atraviesa el orificio? 2. Determine la velocidad Vr del fluido que se desv´ıa radialmente. 3. Determine el espesor h de la pel´ıcula de l´ıquido sobre la pared en funci´on de la distancia r al eje de simetr´ıa. 4. Determine la fuerza que el chorro ejerce sobre la pared, dejando la expresi´on en funci´on u ´nicamente de los siguientes par´ ametros: ρ, Vj , Dj y Ds . Suponiendo que la presi´ on a la derecha de la pared, ps , es menor que la presi´on atmosf´erica, ps < pa : 5.

Determine cu´ anto vale entonces la velocidad Vs del chorro y la fracci´on del caudal del chorro que atraviesa el orificio. ¿Que condici´ on debe cumplir ps para que todo el caudal del chorro pase a trav´es del orificio?

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P.11 [EX 11-09-06] Se considera la boquilla esquematizada en la figura adjunta. Dos corrientes de un fluido de densidad ρ penetran en la misma por la secci´on de entrada e a trav´es de dos tubos conc´entricos de di´ametros D1 y D2 a velocidades U1 y U2 , respectivamente. En el interior de la boquilla las dos corrientes se mezclan y giran 90 grados en el codo antes de salir a la atm´osfera a trav´es del conducto de salida, de di´ametro Ds . Conocida la presi´ on en la secci´ on de entrada, pe , y la presi´on atmosf´erica, pa , se pide: 1. Detemine la velocidad en la secci´ on de salida, Us . 2. Calcule la fuerza total que se ejerce sobre la boquilla, F = Fx ex + Fy ey . 3. Calcule el momento que se ejerce sobre la boquilla respecto al punto 0 indicado en la figura, situado en la intersecci´ on de los ejes de los conductos de entrada y salida. Nota: Ignore el efecto de las fuerzas m´ asicas.

D2 e D1 U1

-

U2

?

?

-

0

pe -

6

U2 6

y

-

6 -



pa

s

x ???

Us

23

Ds

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P.12 Se considera el movimiento de un l´ıquido de densidad ρ que circula por el interior de un conducto que presenta una contracci´ on, tal y como se indica en la figura adjunta. Las secciones de entrada y salida tienen ´ areas A1 y A2 respectivamente. Se conocen tambi´en las presiones p1 y p2 en dichas secciones, as´ı como la velocidad del fluido en la secci´ on de entrada, U1 , que supondremos uniforme. Sabiendo que el fluido que rodea la contracci´ on es aire en reposo a presi´ on atmosf´erica, pa , se pide: 1. Detemine la velocidad en la secci´ on de salida, U2 . 2. Calcule la fuerza total que se ejerce sobre la boquilla. Nota: Utilice el volumen de control indicado en la figura; ignore el efecto de las fuerzas m´asicas.

U1

Σl n

U2

r

p1

z

A1

n

n A2

Σ1 n

Σl

p2 n

Σ2

n

EJEMPLO 6.1 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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P.13 Los ensayos de un ´ alabe bidimensional en un t´ unel aerodin´amico muestran que el perfil de velocidad aguas arriba permanece uniforme, mientras que aguas abajo se identifica claramente una estela de espesor creciente donde existe un d´eficit de velocidad, tal y como se indica en la figura adjunta. En particular, las medidas realizadas en una cierta posici´ on x = x0 aguas abajo revelan que el perfil de velocidad en la estela var´ıa de forma lineal desde el valor u = U/2 en y = 0 hasta alcanzar el valor u = U en el borde de la estela, situado en y = ±y0 . Para analizar el problema, considere el volumen de control limitado lateralmente por las dos l´ıneas de corriente que se extienden desde x → −∞, y = ±y−∞ (y−∞ < y0 ) hasta x = x0 , y = ±y0 , y limitado interiormente por la superficie del ´ alabe. Suponiendo que el aire se comporta como un fluido incompresible con densidad constante ρ y que los esfuerzos viscosos son despreciables en la estela y a lo largo de las l´ıneas de corriente, se pide: 1. Obtenga el valor de y−∞ en funci´ on de y0 . 2. Determine el valor de la fuerza de resistencia sobre el ´alabe como funci´on de ρ, y0 y U . Para el an´ alisis asuma que la presi´ on en todo el contorno exterior del volumen de control considerado es constante e igual a p∞ y desprecie el efecto de las fuerzas m´asicas.

PROBLEMA 8.2 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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P.14 Considere el flujo bidimensional del canal que se muestra en la figura. Debido a la presencia de un obst´ aculo en el fondo del canal, el nivel de agua del canal aguas arriba del obst´aculo, h1 , desciende hasta alcanzar un valor constante e igual a h2 aguas abajo de este, con la consiguiente aceleraci´on del flujo. Suponiendo que la velocidad aguas arriba, u1 , y aguas abajo, u2 , del obst´aculo es uniforme, y despreciando los efectos viscosos en el seno del fluido, se pide:

1. Determine la distribuci´ on de presiones aguas arriba, p1 (y), y aguas abajo, p2 (y), del obst´aculo. 2. Calcule la velocidad aguas arriba, u1 , y aguas abajo, u2 , del obst´aculo. 3. Calcule la fuerza horizontal, F , que el fluido ejerce sobre el obst´aculo.

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P.15 Una m´ aquina toma aire en r´egimen estacionario por la secci´on 1 y lo descarga por las secciones 2 y 3. Las propiedades en cada secci´ on son las siguientes: Q=?

W=110 W

Secci´ on 1 2 3

A, m2 0.04 0.1 0.02

Q, m3 /2 3 1 1.5

T, o C 294 310 366

p, atm 1.35 2 ??

(2)

z, m 1 3 1

(1)

(3)

VC

˙ = 110 kW. Calcule la presi´on p3 en atm y el calor transferido La m´ aquina comunica al aire una potencia de W al sistema Q˙ en kW. Suponga que el aire es un gas perfecto con R = 287 y cp = 1004 J/Kg·K.

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P.16 Se desea construir un cohete propulsado por agua. El cohete consiste en un cuerpo r´ıgido en cuyo interior se encuentra un globo de volumen V (t), dependiente del tiempo, que contiene agua. La boquilla del globo, de area A0  V 2/3 , se encuentra pegada a la base del ingenio (v´ease figura adjunta). Para calcular la velocidad ´ vertical que alcanzar´ a el cohete, se propone seguir los siguientes pasos: 1. Aplique la ecuaci´ on de conservaci´ on de la masa al volumen de control definido por la superficie interior del globo y la secci´ on de salida (boquilla) para obtener una relaci´on entre la variaci´on temporal de volumen del globlo, dV (t)/dt, y la velocidad de salida del l´ıquido relativa al cuerpo del cohete, vS . Tenga en cuenta (en especial en el siguiente apartado) que, en un sistema de referencia inercial fijo a tierra, dicho volumen de control se mueve a la velocidad del cohete, vc (t). (3 puntos) 2. Haciendo uso de la ecuaci´ on de conservaci´on de la cantidad de movimiento, calcule la fuerza total ejercida sobre el cohete en un instante dado, t, en funci´on del volumen instant´aneo de agua, V (t), su derivada temporal, dV (t)/dt, la velocidad instant´ anea del cohete, vc (t), y su derivada temporal, dvc /dt. Para simplificar el problema se sugiere lo siguiente: Suponga que la pr´ actica totalidad del volumen de agua se mueve a la misma velocidad que el cuerpo del cohete, vc (t). El fluido exterior no ejerce fuerza de resistencia aerodin´amica sobre el cohete, tan s´olo la fuerza debida a una presi´ on atmosf´erica uniforme, pa . No se debe despreciar el peso del volumen de agua. 3. Si el cuerpo del cohete tiene una masa m, escriba la ecuaci´on (segunda ley de Newton) que proporciona la variaci´ on temporal de su velocidad, vc (t), haciendo uso de la fuerza calculada en el apartado anterior. Compruebe que el resultado es el siguiente: (m + ρV (t))

dvc ρ = dt A0



dV (t) dt

2

− (m + ρV (t)) g,

siendo ρ la densidad del agua y g la aceleraci´on de la gravedad. (3 puntos) 4. Suponga que el volumen de agua viene dado por la ley V (t) = V0 (1 − kt), siendo V0 el volumen inicial y k una constante. Demuestre que en el instante en el que el globo se vac´ıa, tf = 1/k, la velocidad viene dada por: (2 puntos extra)   kV0 ρV0 g vc = ln 1 + − A0 m k NOTA: A pesar de las simplificaciones realizadas, las ecuaciones obtenidas son las mismas que se utilizan en los veh´ıculos lanzadores reales.

vc(t) g

V(t) pa vS

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Ecuaciones generales

P.17 A trav´es del sistema de conductos que se muestra en la figura circula un flujo de agua con velocidad media V y presi´ on pe en la secci´ on de entrada. El sistema de conductos presenta una bifurcaci´on, de modo que el flujo principal se divide en dos y descarga a la atm´osfera a trav´es de las ramas 1 y 2, con velocidades V1 y V2 , respectivamente. Suponiendo conocidas las velocidades V , V1 y V2 , as´ı como los di´ametros D, D1 y D2 , de los conductos, se pide: 1. Calcule la fuerza total que ejercen el fluido y la atm´osfera sobre el conjunto de conductos. 2. Determine el momento, respecto del punto 0 de la figura, que se ejerce sobre el conjunto de conductos. 3. Razone brevemente qu´e lugar elegir´ıa para colocar una sujeci´on para el sistema de conductos. 4. Haga aplicaci´ on num´erica de los apartados 1 y 2 en el caso V = 4 m/s, V1 = 3,79 m/s, V2 = 1,91 m/s, D = D1 = 15 cm, D2 = 5 cm, L1 = 5 m, L2 = 8 m, pe − pa = 5000 N/m2 , α = 30o Nota: Ignore los efectos de las fuerzas m´asicas.



V

L

L1

-

-

? -

pe

?

V1

-

0 D1

D 6

pa

6 I

α

L2

R

D2 

V2 pa R

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áreas de las secciones de la turbomáquina axial de la figura son, respectivamente 𝑨1 emás de la carcasa fija exterior, la turbomáquina contiene partes móviles en su interior Ecuaciones generales és de las que se extrae del fluido un trabajo 𝑾 por unidad de tiempo. La reacción quím ámara de combustión y la transmisión de calor a través de las paredes dan lugar a una ortación conjunta calor al fluido por unidad tiempo Se conoce P.18 Las ´ ade reas de las secciones de la turbom´ aquina axialde de la figura son,𝑸. respectivamente A1 y el A2 . valor Adem´ as de de la fue la carcasa fija exterior, la turbom´ aquina contiene partes m´oviles en su interior a trav´es de las que se extrae del al 𝑭 que ejerce el gas sobre la turbomáquina. Suponiendo que en la entrada y ola salida fluido un trabajo W por unidad de tiempo. La reacci´on qu´ımica en la c´amara de combusti´on y la transmisi´ n calordirección a trav´es de lasaxial paredes con dan lugar a una aportaci´onuniformes, conjunta de calorse al fluido unidad de tiempo Q. vimiento esde en propiedades pideporobtener el valor de la Se conoce el valor de la fuerza axial F que ejerce el gas sobre la turbom´aquina. Suponiendo que en la entrada y nsidad 𝝆2 , lalasalida presión 𝒑2 yeslaenvelocidad 𝒖2propiedades a la salida en se función deellas 𝝆1 , el movimiento direcci´ on axial con uniformes, pide obtener valorcondiciones de la densidad ρ2 , la y presi´ p2 y valores la velocidad 𝑾 u2 a,la𝑸 salida en la entrada deon los y 𝑭en.funci´on de las condiciones ρ1 , p1 y u1 en la entrada y de los valores W , Q y F .

Q

W

ρ2

ρ1

p2 u2

p1 u1

F PROBLEMA 8.4 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012 Área de Mecánica de Fluidos, UC3M

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P.19 La figura adjunta representa una bomba centr´ıfuga de geometr´ıa conocida por la que circula agua con velocidad y presi´ on a la entrada Vo y po uniformes. Sabiendo que, debido a la geometr´ıa interna, la velocidad a la salida, donde las condiciones tambi´en son uniformes con p 6= pa , forma un ´angulo α con la direcci´on tangencial local, se pide determinar: 1 La velocidad radial a la salida de la bomba 2 La fuerza axial a la que est´ a sometida la bomba 3 El par que se comunica al agua en este proceso 4 Potencia que debe tener el motor que arrastra a la bomba en el supuesto de que el rendimiento sea la unidad

PROBLEMA 8.5 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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Ecuaciones generales

P.20 Un resalto hidr´ aulico se mueve por efecto de la gravedad con velocidad constante U sobre una capa l´ıquida horizontal de espesor h0 , dej´ andola en movimiento con una velocidad U1 y espesor h1 . Suponiendo despreciables los esfuerzos viscosos y las variaciones de presi´on asociadas al movimiento en el aire, as´ı como las fuerzas de fricci´ on en la superficie s´ olida, se pide obtener los valores de U1 y h1 en funci´on de U , h0 y g. Compruebe que las distribuciones de presi´ on aguas arriba y aguas abajo del salto hidr´aulico son de la forma p = pa + ρ(h0 − z) y p = pa + ρg(h1 − z) , donde pa , y z representan la presi´on en el aire y la distancia vertical a la superficie s´ olida.

pa

g U

h1

h0

U1

PROBLEMA 8.7 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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Problema: cascada de álabes Ecuaciones generales

Una corriente bidimensional, gaseosa y uniforme de presión 𝒑1 , densidad 𝝆1 y velocidad P.21 Una bidimensional, gaseosa y de uniforme presi´ on p1 ,entre densidad ρ1 ydistancia velocidad𝑳, v¯1 ejerciendo = u1 e¯x incide 𝒗 ¯1 = 𝒖1corriente 𝒆 ¯𝒙 incide sobre una cascada álabesdeque distan sí una ¯ sobre una cascada de a ´ labes que distan entre s´ ı una distancia L, ejerciendo sobre cada uno de ellos una fuerza sobre cada uno de ellos una fuerza 𝑭 = 𝑭𝒙 𝒆 ¯𝒙 + 𝑭𝒚 𝒆 ¯𝒚 . Sabiendo que el gas es caloríficamente F¯perfecto, = Fx e¯x +que Fy e¯ylos . Sabiendo que el gas es calor´ ıficamente perfecto, que los a ´ labes est´ a n aislados t´ e rmicamente álabes están aislados térmicamente y que las fuerzas másicas no influyen en el y que las fuerzas m´ a sicas influyen el movimiento, pide escribir las ecuaciones que permiten calcular movimiento, se pide no escribir lasenecuaciones quesepermiten calcular las condiciones uniformes de las condiciones uniformes de presi´ o n p , densidad ρ y velocidad v ¯ = u e ¯ + v e ¯ que se alcanzan aguas abajo 2 2 x se alcanzan 2 y presión 𝒑2 , densidad 𝝆2 y velocidad 𝒗 ¯2 =2 𝒖2 𝒆 ¯𝒙 + 𝒗22𝒆 ¯𝒚 que aguas abajo de la de la cascada.

cascada.

ρ1

p1 v1

ρ2

p2 v2

Fy

Fx

L

PROBLEMA 8.3 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012 Área de Mecánica de Fluidos, UC3M

Ingeniería Fluidomecánica

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Ecuaciones generales

P.22 Por el tubo de ´ area A en forma de doble codo circula un gasto volum´etrico Q, constante, de un l´ıquido de densidad ρ. Sabiendo que la presi´ on en las secciones de entrada y salida es pe y ps respectivamente, se pide calcular la fuerza que se ejerce sobre el tubo y la l´ınea de acci´on de dicha fuerza. Suponga que pueden despreciarse las fuerzas m´ asicas, que las velocidades a la entrada y la salida son uniformes y que en el exterior del tubo la presi´ on es pa .

A pe

Q

L

pa

Q

ps

EJEMPLO 6.3 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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Ecuaciones generales

P.23 (11-02-1998) El secador de pelo con simetr´ıa axilsim´etrica de la figura debe proporcionar de manera estacionaria un gasto m´ asico de aire G a una temperatura Ts y a presi´on atmosf´erica pa a traves de una secci´ on circular de salida de radio R. El aire entra radialmente en el dispositivo a presi´on pa y temperatura Ta a traves de una entrada lateral de ´ area A. Se sabe que en el interior del secador existe una resistencia el´ectrica que proporciona una cantidad de calor Q por unidad de tiempo y un ventilador que transmite una potencia al fluido W . Debido a la presencia del ventilador, la velocidad del fluido a la salida tiene tanto componente axial como azimutal, con cociente uθ /uz = β conocido. Suponiendo para simplificar el c´alculo que las paredes interiores fijas del dispositivo y las paredes del ventilador son adiab´aticas, que el aire se comporta como un gas ideal de constante Rg y calor espec´ıfico a presi´on constante cp , que el efecto de la gravedad es despreciable en el movimiento y que las propiedades del fluido son uniformes en las secciones de entrada y salida, se pide determinar en funci´ on de G, Ts , Ta , pa , A, R, Rg , cp y β: La velocidad en la secci´ on de entrada ur , asi como las componentes uθ y uz de la velocidad en la secci´ on de salida. La fuerza que se ejerce sobre el secador, F , indicando claramente su direcci´on y sentido. La potencia total que el secador transmite al fluido Q + W . El par que el fluido ejerce sobre el secador.

A

ur uz 2R

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uθ

Ecuaciones generales

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Ecuaciones generales

P.24 (28-01-2002) Considere el aspersor de riego que se muestra en la figura. A trav´es del conducto de entrada, de secci´ on de paso A, se suministra un caudal de agua conocido, Q, a una presi´on de suministro pe . Dicho caudal descarga al exterior donde la presi´on es la presi´on atmosf´erica, pa , a trav´es de dos brazos, de ´ area de paso As , y longitud R, sim´etricamente situados. Debido al par que el fluido ejerce sobre el aspersor, ´este gira a una velocidad angular constante, ω. Considerando un sistema de referencia fijo (inercial), se pide,

Se pide: 1. - Calcule la velocidad del fluido, relativa al aspersor, a la salida de cada uno de los brazos, Us . 2. - Obtenga la fuerza total que se realiza sobre el aspersor indicando su direcci´on y sentido. Considere que los esfuerzos de fricci´ on del aire son despreciables y que la presi´on en la superficie exterior del aspersor es pa . 3. - Suponiendo conocido el valor de la velocidad angular ω, calcule el par que el fluido ejerce sobre el aspersor. En el movimiento estacionario del aspersor, dicho par es igual al par de resistencia, debido a la fricci´ on, que se ejerce sobre el eje de giro. 4. - Si se considera que el par de resistencia es nulo, calcule el valor de la velocidad angular a la cual gira el aspersor. PROBLEMA 8.6 de M. Vera Coello, I. Iglesias Estrad´e, A.L. S´anchez P´erez, C. Mart´ınez Baz´an, “Ingenier´ıa Fluidomec´ anica”, Paraninfo 2012

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Ecuaciones generales

P.25 [26-03-2010] Por el interior del tubo de la figura circula un gasto m´asico m ˙ de un l´ıquido perfecto de densidad ρ y calor espec´ıfico c, que descarga a la atm´osfera. En las secciones de entrada y de salida, de secciones Ae y As respectivamente, el flujo es uniforme y, a trav´es de las paredes del conducto, hay un flujo total de calor por unidad de tiempo Q˙ hacia el l´ıquido. Sabiendo que en la secci´on de entrada la presi´on es pe y la temperatura Te , y que el conjunto se encuentra en una atm´osfera a presi´on pa , determine: 1. Velocidades de entrada y salida en el conducto (2 puntos). 2. Componentes horizontal y vertical de la fuerza que ejercen, conjuntamente, el l´ıquido y la atm´osfera sobre el conducto (4 puntos). 3. Temperatura del l´ıquido en la secci´ on de salida (4 puntos).

Q˙ pa ue pe

Ae

˙ m

Te

pa

As

vs Ts

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46

Ecuaciones generales

P.26 [07-02-2005] Considere el movimiento de un barco que navega a velocidad de crucero U∞ constante. El barco est´ a dotado de un sistema de propulsi´on como el que se muestra en la figura. Dicho sistema ingiere un ˙ caudal Q de agua por la secci´ on de entrada, de ´area Ae . Una h´elice carenada comunica al fluido un trabajo W por unidad de tiempo y el agua sale en forma de chorro por la secci´on de salida, de ´area As . Las cotas ze y zs de las secciones de entrada y salida son conocidas. Utilizaremos un sistema de coordenadas (x, y, z) ligado al barco y con origen en la superficie del agua. La presi´ on atmosf´erica es pa , la densidad ρ y la gravedad −g~ez . En este sistema de referencia el fluido se ve venir con velocidad U∞~ex desde x = −∞. Supondremos adem´as que las velocidades Ue~ez y Us~ex en las secciones de entrada y salida son uniformes. Suponiendo conocidos U∞ , Q, ρ, Ae , As , ze , zs , pa y g: 1. Aplique la ecuaci´ on de continuidad en forma integral para obtener una relaci´on entre las velocidades de entrada y salida, Ue y Us . A continuaci´on exprese estas velocidades en funci´on de los datos conocidos, en particular del caudal Q que circula por el sistema. 2. Aplique la ecuaci´ on de Bernoulli a la l´ınea de corriente gen´erica indicada en la figura para obtener el valor de la presi´ on pe en la secci´ on de entrada. Tenga en cuenta que lejos del barco la distribuci´on de presiones p∞ (z) es la hidrost´ atica. 3. Aplique la ecuaci´ on integral de cantidad de movimiento para obtener la componente x de la fuerza que se ejerce sobre el sistema propulsivo (incluya la contribuci´on de la presi´on atmosf´erica que act´ ua sobre la pared exterior del mismo). Recuerde que la presi´on de salida de un chorro es igual a la presi´on ambiente en la secci´ on de salida, que en este caso corresponde a la presi´on hidrost´atica en z = zs 4. Aplique la ecuaci´ on de Bernoulli con trabajo entre las secciones de entrada y salida para obtener el trabajo ˙ que realiza la h´elice sobre el fluido. W

g 

z  

pa

x 

U∞



p∞ (z)



l´ınea de corriente

As , Us , ps ˙ W

Q



ze

Ae , Ue , pe

47

  

zs

Ecuaciones generales

´ ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR ´ INGENIER´IA FLUIDOMECANICA

11-09-06

P.27 [11-09-2006]

Se desea realizar el dise˜ no preliminar de un veh´ıculo sustentado por colch´on de aire (hovercraft) como el mostrado en la figura. El veh´ıculo, de masa total M , est´a dotado de un compresor que toma aire de la atm´osfera para mantener la presi´on en el interior del colch´on de aire, p0 , por encima de la presi´ on atmosf´erica, pa . Esta sobrepresi´on genera una fuerza vertical que soporta el peso del veh´ıculo. El aire a presi´on descarga a la atm´osfera a trav´es de la ranura, de altura h, que queda entre el borde inferior de las faldillas y el suelo. El colch´on de aire tiene planta cuadrada de lado L y es lo suficientemente grande para poder considerar que el aire en su interior est´a en reposo, excepto quiz´as cerca de la ranura de descarga. Se pide: 1. Obtenga la presi´on, p0 , que se necesita en el interior del colch´on de aire para soportar el peso total del veh´ıculo. 2. Utilizando la ecuaci´on del Bernoulli sin p´erdidas entre un punto gen´erico del dep´osito y la secci´on de salida, determine la velocidad con que el aire contenido en el interior del colch´ on descarga a la atm´osfera, Vs , as´ı como el gasto m´asico total m. ˙ 3. Escriba la ecuaci´on que permite relacionar la presi´on existente en el interior del colch´ on, p0 , ˙ . El di´ametro, D, y las longitudes, y la potencia suministrada por el compresor al fluido, W l1 y l2 , del conducto de aire se indican en la figura adjunta. 4. Determine la potencia que el compresor debe suministrar al fluido en el siguiente caso de aplicaci´on pr´actica: M = 200 Kg, L = 2 m, D = 20 cm, l1 = 50 cm, l2 = 1 m, h = 1 cm. Considere que las paredes del conducto de alimentaci´on son lisas ( = 0), que la entrada tiene un coeficiente de p´erdidas Ke = 0,8, que el codo es acoplado y de curvatura normal, y que el fluido de trabajo es aire con densidad ρ = 1,2 kg/m3 y viscosidad µ = 1,5 × 10−5 kg/(m·s). Nota: Ignore el efecto de las fuerzas m´asicas.

˙ W

-

l2

  



l1

pa ?

p0 Vs



-

-

D



6 ?h



-

L

48

m ˙

Ecuaciones generales

P.27 Soluci´ on

49

Ecuaciones generales

P.28 [24-03-2010] Se tiene un conducto circular de di´ametro D por el que fluye un l´ıquido de densidad ρ, viscosidad µ y calor espec´ıfico c constantes. Como medidor de caudal, en un punto del conducto hay una placa delgada con un orificio de di´ ametro d por el que el fluido es guiado, descargando en la secci´on 2 en forma de un chorro de di´ ametro igual al del orificio. El l´ıquido en el espacio que rodea al chorro en la secci´on 2 puede considerarse en reposo a una presi´ on igual a la del chorro. Aguas abajo, el chorro se va abriendo hasta que en 3 ocupa toda la secci´ on del conducto con velocidad uniforme. Entre las secciones 1, aguas arriba de la placa, y 2 se conecta un man´ometro diferencial de tubo en U con un fluido manom´etrico de densidad ρm . La lectura del man´ometro es h, seg´ un se muestra en la figura. 1

2

3 V ≃0 d V2 , p2

V1 , p1

V3 , p3

D

V ≃0 h

Los datos conocidos en este problema son: los di´ametros D y d (definimos el cociente β = d/D), las propiedades del l´ıquido ρ, µ y c, la densidad del fluido manom´etrico ρm y la lectura del man´ometro h. Se pide: 1. Obtener la expresi´ on para la diferencia de presiones p1 − p2 a partir de la lectura del man´ometro. 2. Relacionar las velocidades V1 del l´ıquido en el conducto y V2 del chorro. 3. Mediante aplicaci´ on de la ecuaci´ on de Bernoulli a la l´ınea de corriente central entre las secciones 1 y 2, relacionar la diferencia de presiones p1 − p2 con las velocidades. 4. Escribir la expresi´ on para el caudal Q en t´erminos de los datos conocidos del problema. 5. Calcular la fuerza horizontal F que ejerce el fluido sobre la placa de orificio. Simplificar convenientemente la expresi´ on. 6. Mediante aplicaci´ on de la ecuaci´ on de conservaci´on de la cantidad de movimiento a un volumen de control adecuado, calcular la ca´ıda de presi´ on p1 − p3 . Suponer que no hay rozamiento en la pared del tubo.

50

Ecuaciones generales

P.28 Soluci´ on

51

Ecuaciones generales

P.29 [17-05-2010] La figura muestra esquem´aticamente el ensayo en banco hidrodin´amico de un sistema de propulsi´ on de un submarino. En esencia, consta de un conducto de secciones de entrada y salida Ae y As , respectivamente, que absorbe agua del exterior por la entrada y la expulsa por la salida. En el interior del ˙ al fluido que circula por conducto hay partes m´ oviles a trav´es de las cuales se aporta una potencia mec´anica W el conducto, haciendo posible la obtenci´ on de una fuerza neta de empuje E para la propulsi´on del submarino. Suponiendo que el submarino se encuentra en reposo, se pide: 1. Relacione, utilizando la ecuaci´ on de conservaci´on de la masa, las velocidades Ue y Us en la secciones de entrada y salida, respectivamente. 2. Obtenga, mediante el uso de la ecuaci´on de la cantidad de movimiento, la fuerza de empuje E que genera la planta propulsiva especificada, en funci´on de las condiciones en la entrada y en la salida. 3. Suponiendo flujo ideal, relacione las condiciones en la secci´on de entrada y las condiciones aguas arriba a gran distancia de la misma. Para ello haga uso de la ecuaci´on de Bernoulli entre los puntos 1 y e de la figura. ˙ con el resto de 4. Aplicando la ecuaci´ on de la energ´ıa en forma integral, relacione la potencia aportada W variables fluidodin´ amicas que aparecen en el problema. Considere que la variaci´on de energ´ıa interna entre la entrada y la salida es despreciable, y que las superficies fijas y m´oviles est´an aisladas t´ermicamente. 5. Utilizando las relaciones anteriores, demuestre que el resultado final tiene la forma ˙ 2/3 A1/3 E/(ρ1/3 W s ) = f (Ae /As ) NOTA: Considere que los efectos de la gravedad son despreciables y, en consecuencia, la presi´on exterior al submarino es una constante p∞ . Suponga adem´as condiciones uniformes en la entrada y en la salida.

p∞ Ae

Ue

1

ρ

As

˙ W

pe

p∞

E

e

µ

52

ps s

Us

Ecuaciones generales

P.29 Soluci´ on

53

Ecuaciones generales

P.30 [28-06-2010] Un sistema de extracci´ on de humos industrial, como el mostrado en la figura, toma aire a trav´es de una campana circular de di´ ametro De y lo expulsa a la atm´osfera a trav´es de un tubo de di´ ametro ˙ por unidad de tiempo Ds < De . Para hacer circular el aire se utiliza un ventilador que realiza un trabajo W sobre el fluido. En el r´egimen t´ıpico de operaci´on, la densidad ρ y la viscosidad µ del aire pueden suponerse constantes. Conocido el valor de la presi´ on atmosf´erica, pa , y sabiendo que, por tratarse del flujo de un gas, el efecto de la gravedad resulta despreciable, se pide: 1. Utilizando la ecuaci´ on de continuidad en forma integral, obtenga una ecuaci´on que ligue las velocidades en las secciones de entrada y salida, Ue y Us , con los datos del problema. Suponga que la velocidad es uniforme en las secciones de entrada y salida (1.5 puntos). 2. Aplique la ecuaci´ on de Bernoulli a lo largo de la l´ınea de corriente indicada en la figura (entre los puntos (0), lejos de la entrada, y (e), en la secci´on de entrada) y obtenga una ecuaci´on que ligue la presi´ on y la velocidad en la entrada, pe y Ue , con los datos del problema (1.5 puntos). 3. Obtenga las dos componentes, Fx e Fy , de la fuerza ejercida por el fluido sobre el sistema extractor, incluyendo la fuerza realizada por el aire ambiente en reposo (4 puntos). 4. Utilizando la ecuaci´ on de la energ´ıa en forma integral obtenga la velocidad de salida de los gases Us en ˙ y los datos del ploblema, para ello suponga que la temperatura funci´ on de la potencia del ventilador W de los gases es la misma a la entrada y a la salida (2 puntos). 5. Calcule los valores num´ericos de Us , Ue , pe , Fx y Fy para el siguiente caso de aplicaci´on pr´actica: De = 2 ˙ = 1000 W, pa = 101300 Pa (1 punto). m, Ds = 0,1 m, ρ = 1,2 kg/m3 , µ = 1,8 × 10−5 kg/(m·s), W ˙ , pa . Nota: datos del problema: De , Ds , ρ,µ, W

Ds Us



pa

 



˙ W



De



(e)

Ue

U 0

y

 

     

pa

pa

pe

(0) L´ınea de corriente

54

x

Ecuaciones generales

55

´ ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR Ecuaciones generales

´ INGENIER´IA FLUIDOMECANICA. PROBLEMA 2 (10 PUNTOS).

19-05-2011 Tiempo: 45 minutos

P.31 [19-05-2011]

NOMBRE:................................................................

GRUPO:.......

El dep´ osito de secci´ on transversal A que se muestra en la figura contiene un l´ıquido de densidad ρ on p0 que consideraremos constante durante el hasta una altura h (h(t = 0) = h0 ) y aire a una presi´ proceso de descarga. El l´ıquido descarga a la atm´osfera a trav´es de una tobera inclinada un ´angulo α con la horizontal y de longitud despreciable. Se pide: 1. Suponiendo flujo ideal, determine la velocidad con que el chorro de l´ıquido descarga a la atm´ osfera. 2. Escriba la ecuaci´ on que permite determinar la evoluci´on de la altura de l´ıquido dentro del dep´osito h(t), junto con sus condiciones iniciales. 3. Determine la fuerza neta que ejerce el fluido sobre el dep´osito. ascula, sobre la que est´ a co4. Obtenga el valor que debe tener la presi´on del gas p0 para que la b´ locado el conjunto, marque un peso nulo. Nota: Considere despreciables la masa del aire presurizado en el dep´osito y la masa del dep´ osito. Considere tambi´en que el proceso es casi-estacionario.

Atmósfera

pa

Aire p0 A

Líquido ρ h

α vs As

56

Ecuaciones generales

P.31 Soluci´ on

57

´ ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR Ecuaciones generales

´ INGENIER´IA FLUIDOMECANICA. PROBLEMA 2 (10 PUNTOS).

28-06-2011 Tiempo: 45 minutos

P.32 [28-06-2011]

NOMBRE:................................................................

GRUPO:.......

Por la uni´ on en forma de T de la figura adjunta circula un l´ıquido de densidad ρ y viscosidad µ. En las secciones de entrada 1 y 2, de di´ ametros D y D/2 respectivamente, los valores de la presi´ on son p1 y p2 , mientras que los valores de las velocidades son U1 y U2 . El conducto descarga a la atm´osfera, donde la presi´on es pa , a trav´es de la secci´on s. Suponiendo flujo uniforme en las entradas y salidas, se pide: 1. Determinar el valor de la velocidad en la secci´on de salida del conducto, Us . 2. Obtener la fuerza neta que se ejerce sobre el conducto F~ = (Fx , Fy ), en funci´on del ´angulo α. 3. Calcular el momento neto (respecto al punto O de la figura) que el fluido ejerce sobre la uni´ on en T, expresando tambi´en el resultado en funci´on del ´angulo α.

D

p1

Us

O

U1

pa L D/2

α U2 p2

58

Ecuaciones generales

P.32 Soluci´ on

59

Ecuaciones generales

P.33 [21-03-2012]

El grifo de la figura consta de los siguientes elementos:  Una tubería cilíndrica de entrada de agua caliente de diámetro D1 y longitud L1.  Una tubería cilíndrica de entrada de agua fría de diámetro D2 y longitud L2.  Un cuerpo central donde desembocan la tubería 1 y 2 de forma prismática de base cuadrada de lado L y anchura W.  Una tubería cilíndrica de salida de diámetro D3 y longitud L3 (despreciar el volumen de la boquilla de salida). D1 L1

V1 T1 p1

V2 T2 p2

D2

L L2 Z

L Y

X

g

W D3

L3

pa

V3 T3

V3 D3

H V4

H

D4 V4

h

r

D4 r

El grifo funciona con un líquido de densidad y calor específico constante ( y c) y está rodeado de aire en reposo a pa. Suponiendo condiciones uniformes y unidimensionales en las entradas y salidas de las tuberías 1, 2 y 3, que no se despreciar las fuerzas gravitatorias y que los datos del problema son (V1, p1, T2, p2, V3, T3, , c, g, pa, D1, L1, D2, L2, D3, L3, L, W) se pide: 1) Determinar el caudal y la velocidad de entrada en la tubería 2 (Q2 y V2). 2) Calcular la fuerza total F que debe soportar el grifo. 3) Suponiendo despreciable la diferencia de cotas en el grifo y la conducción de calor con el grifo, determinar la temperatura de entrada en la tubería 1 (T1). El chorro de salida de la tubería 3 cae de forma vertical hasta el fondo de una bañera situada a una distancia H por debajo del grifo, formando en la superficie de la bañera a una distancia suficientemente grande de la región de impacto del chorro una lámina líquida circunferencial de altura h(r) donde r es la distancia al eje del chorro. Suponiendo flujo estacionario, líquido ideal (viscosidad despreciable) y velocidad uniforme en la lámina líquida, se pide calcular: 4) Velocidad y diámetro del chorro en la región 4 próxima al fondo de la bañera (V4 y D4). 5) Despreciando las fuerzas gravitatorias en este apartado, obtener la relación entre h y r.

60

Ecuaciones generales

P.33 Soluci´ on (1 de 4)

1) Determinar el caudal y la velocidad de salida en la tubería 2 (Q2 y V2): Se va a aplicar la ecuación de conservación de la masa al volumen de control fijo que incluye todo el volumen de agua en el grifo y está formado por la superficie del mismo y las superficies de entrada y salida: n1 n2

ng

𝑑 [∫ 𝜌 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌(𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc n3

Como el flujo es estacionario y el volumen de control es fijo, la ecuación queda: ∫

𝜌 𝑣⃗ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0

Σg +Σ1 +Σ2 +Σ3

En la superficie del grifo g la velocidad es nula en virtud de la condición de adherencia y en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, la ecuación queda: 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑉1 ∙ 𝐴1 + 𝑉2 ∙ 𝐴2 = 𝑉3 ∙ 𝐴3 = 𝑄3 Por tanto, el caudal y la velocidad a la entrada del grifo 2 serán:

𝑄2 = 𝑉3 ∙ 𝜋

𝐷32 4

− 𝑉1 ∙ 𝜋

𝐷12 4



𝐷

2

𝐷

𝑉2 = 𝑉3 ( 3 ) − 𝑉1 ( 1 ) 𝐷2

2

(2 PUNTOS)

𝐷2

2) Calcular la fuerza total F que debe soportar el grifo: La fuerza total que se ejerce sobre el grifo incluye tanto la fuerza que el agua ejerce sobre la superficie interna del mismo como la fuerza externa que realiza el aire en reposo sobre la superficie externa de grifo: 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝐹⃗𝑒𝑥𝑡

Para determinar la fuerza del agua sobre el grifo haremos uso de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento al mismo volumen de control utilizado anteriormente: 𝑑 [∫ 𝜌𝑣⃗ 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ − 𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑐 )𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜌 𝑓⃗𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc Σc Σc Vc

Teniendo en cuenta que el flujo es estacionario, el volumen de control fijo, el peso es la única fuerza másica en el problema y que las variables son uniformes en las superficies de entrada y salida, la ecuación queda en los ejes inerciales de la figura: ∫ Σg +Σ1 +Σ2 +Σ3

𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ 𝑛 ⃗⃗) 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 − ∫ Σg

Σ1 +Σ2 +Σ3

Σg

61

𝑝𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ Σ1 +Σ2 +Σ3

⃗⃗ )𝑑𝑉 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜌 (−𝑔𝑘 Vc

Ecuaciones generales

P.33 Soluci´ on (2 de 4) Como en la superficie del grifo g el flujo convectivo es nulo por ser la velocidad nula en virtud de la condición de adherencia, en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, el tensor de esfuerzos viscosos es nulo y que la fuerza sobre el grifo es: − ∫ 𝑝 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = 𝐹⃗𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜→𝑎𝑔𝑢𝑎 = −𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 Σg

Σg

la ecuación queda (nótese que p3=pa por descargar la tubería 3 al ambiente): ⃗⃗ = −𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝑝1 𝐴1 𝑖⃗ + 𝑝2 𝐴2 𝑖⃗ + 𝑝𝑎 𝐴3 𝑘 ⃗⃗ − 𝜌𝑔(𝐿1 𝐴1 + 𝐿2 𝐴2 + 𝐿3 𝐴3 + 𝐿2 𝑊)𝑘 ⃗⃗ −𝜌𝑉12 𝐴1 𝑖⃗ − 𝜌𝑉22 𝐴2 𝑖⃗ − 𝜌𝑉32 𝐴3 𝑘 Para determinar la fuerza que ejerce el aire situado en el exterior, consideremos ahora la superficie EXT que cubre el exterior del grifo con el vector normal dirigido hacia el aire exterior. Si el aire está en reposo, los esfuerzos viscosos resultan ser nulos, por lo que el valor de la fuerza se reduce a la acción del campo de presiones uniforme p a: 𝐹⃗𝐸𝑋𝑇 = − ∫

ΣEXT

𝑝𝑎 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎

Para evaluar la integral anterior, conviene descomponer la superficie del grifo como toda la superficie total incluyendo entradas y salidas y restando estas según el siguiente esquema: n

n

n

n EXT

C

=

n

n

n

n

De esa forma, el cálculo de la fuerza externa se puede realizar considerando la resultante de p a que actúa en la superficie cerrada C y sustrayendo al resultado las integrales a las caras de entrada y salida. Como la resultante de un campo de presión uniforme sobre una superficie cerrada es idénticamente nula, por lo que la fuerza exterior queda: 𝐹⃗𝐸𝑋𝑇 = − (− ∫

Σ1 +Σ2 +Σ3

⃗⃗ 𝑝𝑎 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎) = −𝑝𝑎 𝐴1 𝑖⃗ − 𝑝𝑎 𝐴2 𝑖⃗ − 𝑝𝑎 𝐴3 𝑘

Por tanto, la fuerza total sobre el grifo será:

𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝐹⃗𝑒𝑥𝑡 = [[𝜌𝑉12 𝐴1 + (𝑝1 − 𝑝𝑎 )𝐴1 ] + [𝜌𝑉22 𝐴2 + (𝑝2 − 𝑝𝑎 )𝐴2 ]]𝑖⃗ ⃗⃗ + [𝜌𝑉32 𝐴3 − 𝜌𝑔(𝐿1 𝐴1 + 𝐿2 𝐴2 + 𝐿3 𝐴3 + 𝐿2 𝑊)]𝑘 (2 PUNTOS) Nótese que para tener en cuenta el efecto de la atmósfera en el cálculo de la fuerza sobre el grifo basta sustituir el valor absoluto de la presión en las entradas y salidas por sus valores manométricos, es decir, la presión con respecto al ambiente.

62

Ecuaciones generales

P.33 Soluci´ on (3 de 4)

3) Suponiendo despreciable la diferencia de cotas en el grifo y la conducción de calor con el grifo, determinar la temperatura de salida en la tubería 1 (T1): Para determinar la temperatura del agua de salida del grifo haremos uso de la ecuación de conservación de la energía al mismo volumen de control que hemos estado utilizando hasta ahora y teniendo en cuenta que la única fuerza másica que aparece es la gravitatoria: 𝑑 𝑣2 𝑣2 [∫ 𝜌 (𝑒 + + 𝑔𝑧) 𝑑𝑉] + ∫ 𝜌 (𝑒 + + 𝑔𝑧) (𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑣⃗ 𝜏̿ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑘(∇𝑇⃗⃗𝑛⃗) 𝑑𝜎 𝑑𝑡 𝑉𝑐 2 2 Σc Σc Σc Σc

Teniendo en cuenta que el flujo es estacionario, el volumen de control fijo y la conducción de calor despreciable, la ecuación queda: 𝑣2 ∫ 𝜌 (𝑒 + + 𝑔𝑧) 𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑣⃗ 𝜏̿ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 2 Σc Σc Σc Como en la superficie del grifo g la velocidad es nula en virtud de la condición de adherencia y en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, el tensor de esfuerzos viscosos es nulo se tiene: 𝑉12 𝑉22 𝑉32 −𝜌𝑉1 𝐴1 (𝑒1 + + 𝑔𝑧1 ) − 𝜌𝑉2 𝐴2 (𝑒2 + + 𝑔𝑧2 ) + 𝜌𝑉3 𝐴3 (𝑒3 + + 𝑔𝑧3 ) = 𝑝1 𝑉1 𝐴1 + 𝑝2 𝑉2 𝐴2 − 𝑝𝑎 𝑉3 𝐴3 2 2 2

Teniendo en cuenta las relaciones termodinámicas para un líquido caloríficamente perfecto (e = e 0 +cT), que se puede despreciar la diferencia de cotas en el grifo (z1 = z2 = z3 = z0) y reordenando la ecuación se tiene: 𝜌𝑉3 𝐴3 (𝑐𝑇3 +

𝑝𝑎 𝑉32 𝑝1 𝑉12 𝑝2 𝑉22 + ) = 𝜌𝑉1 𝐴1 (𝑐𝑇1 + + ) + 𝜌𝑉2 𝐴2 (𝑐𝑇2 + + ) + 𝜌(𝑒0 + 𝑔𝑧0 )(𝑉1 𝐴1 + 𝑉2 𝐴2 − 𝑉3𝐴3) 𝜌 2 𝜌 2 𝜌 2

El último término se anula al hacer uso de la ecuación de continuidad. Por lo tanto, se puede despejar la temperatura a la entrada del grifo 1: 𝐷 2

1

𝑉

𝑐

𝑉1 𝐷1

𝑇1 = [[ 3 ( 3) (𝑐𝑇3 +

𝑝𝑎 𝜌

𝐷 2

𝑉2

𝑉

2

𝑉1 𝐷1

𝑝

𝑉2

𝑝

𝑉2

𝜌

2

𝜌

2

+ 3 ) − 2 ( 2) (𝑐𝑇2 + 2 + 2 )] − ( 1 + 1 )]

63

(2 PUNTOS)

Ecuaciones generales

P.33 Soluci´ on (4 de 4)

4) Velocidad y diámetro del chorro en la región 4 próxima al fondo de la bañera (V4 y D4): Considerando el volumen de control formado por el chorro vertical con una superficie de entrada en 3 y salida en 4, las velocidades de entrada y salida del chorro estarán relacionadas entre sí por la condición de conservación del caudal que para el tubo de corriente considerado queda: 𝑄3 = 𝑉3 ∙ 𝜋

𝐷32 4

= 𝑉4 ∙ 𝜋

𝐷42 4

= 𝑄4



𝐷

𝑉4 = 𝑉3 (𝐷3 )

2

4

(1 PUNTO)

Además, al tratarse de un problema estacionario, incompresible e ideal con efectos viscosos despreciables, podemos utilizar la ecuación de Bernoulli para relacionar la caída de presión con la variación de presión dinámica.

Aplicando la ecuación de Bernoulli a la línea de corriente central entre la entrada y salida: 𝑝3 +

1 1 𝜌𝑉32 + 𝜌𝑔𝑧3 = 𝐶𝑙 = 𝑝4 + 𝜌𝑉42 + 𝜌𝑔𝑧4 2 2

Teniendo en cuenta la diferencia de cotas y que el chorro descarga al ambiente, por tanto, la presión del chorro es p a en todos sus puntos:

𝑉4 = √𝑉32 + 2𝑔𝐻

(1 PUNTO)

Así se obtienen las dos ecuaciones necesarias para determinar V4 y D4.

5) Despreciando las fuerzas gravitatorias en este apartado, obtener la relación entre h y r: Aplicando la ecuación de Bernoulli a cualquiera de las líneas de corriente libre entre 4 y un punto a distancia “r” del centro del eje del chorro y teniendo en cuenta en este caso que se desprecian las fuerzas gravitatorias: 𝑝𝑎 +

1 1 𝜌𝑉 2 = 𝐶𝑙 = 𝑝𝑎 + 𝜌𝑉𝑟2 2 4 2

Por tanto, se obtiene que ambas velocidades son iguales:

𝑉𝑟 = 𝑉4

(1 PUNTO)

Considerando el volumen de control formado por la lámina circunferencial como muestra la figura y aplicando la ecuación de conservación de la masa: n4 h

nr

nl

D4

nl

𝑑 [∫ 𝜌 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌(𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc

nr r

np

Como el flujo es estacionario y el volumen de control es fijo, la ecuación queda: 𝑄4 = 𝑉4 ∙ 𝜋

𝐷42 4

= 𝑉𝑟 ∙ 2𝜋𝑟ℎ = 𝑄𝑟



64

𝑟ℎ =

𝐷42 8

(1 PUNTO)

Ecuaciones generales

P.34 [16-03-2012]

El grifo de la figura consta de los siguientes elementos:  Una tubería cilíndrica de entrada de agua caliente de diámetro D1 y longitud L1.  Una tubería cilíndrica de entrada de agua fría de diámetro D2 y longitud L2.  Un cuerpo central donde desembocan la tubería 1 y 2 de forma prismática de base cuadrada de lado L y anchura W.  Una tubería cilíndrica de salida de diámetro D3 y longitud L3 (despreciar el volumen de la boquilla de salida). D1

V1 T1 p1

L1

V2 T2 p2

L Z

L2 D2

L Y

X

g

W D3

L3

pa

V3 T3

V3 D3

H V4 H

D4 V4 h

r

D4 r

El grifo funciona con un líquido de densidad y calor específico constante ( y c) y está rodeado de aire en reposo a pa. Suponiendo condiciones uniformes y unidimensionales en las entradas y salidas de las tuberías 1, 2 y 3, que no se despreciar las fuerzas gravitatorias y que los datos del problema son (V1, T1, p1, V2, T2, p2, , c, g, pa, D1, L1, D2, L2, D3, L3, L, W) se pide: 1) Determinar el caudal y la velocidad de salida en la tubería 3 (Q3 y V3). 2) Calcular la fuerza total F que debe soportar el grifo. 3) Suponiendo despreciable la diferencia de cotas en el grifo y la conducción de calor con el grifo, determinar la temperatura de salida en la tubería 3 (T3). El chorro de salida de la tubería 3 cae de forma vertical hasta el fondo de una bañera situada a una distancia H por debajo del grifo, formando en la superficie de la bañera a una distancia suficientemente grande de la región de impacto del chorro una lámina líquida circunferencial de altura h(r) donde r es la distancia al eje del chorro. Suponiendo flujo estacionario, líquido ideal (viscosidad despreciable) y velocidad uniforme en la lámina líquida, se pide calcular: 4) Velocidad y diámetro del chorro en la región 4 próxima al fondo de la bañera (V4 y D4). 5) Despreciando las fuerzas gravitatorias en este apartado, obtener la relación entre h y r.

65

Ecuaciones generales

P.34 Soluci´ on (1 de 4)

1) Determinar el caudal y la velocidad de salida en la tubería 3 (Q3 y V3): Se va a aplicar la ecuación de conservación de la masa al volumen de control fijo que incluye todo el volumen de agua en el grifo y está formado por la superficie del mismo y las superficies de entrada y salida: n1

n2

𝑑 [∫ 𝜌 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌(𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc

ng

n3

Como el flujo es estacionario y el volumen de control es fijo, la ecuación queda: ∫

𝜌 𝑣⃗ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0

Σg +Σ1 +Σ2 +Σ3

En la superficie del grifo g la velocidad es nula en virtud de la condición de adherencia y en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, la ecuación queda: 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑉1 ∙ 𝐴1 + 𝑉2 ∙ 𝐴2 = 𝑉3 ∙ 𝐴3 = 𝑄3 Por tanto, el caudal y la velocidad a la salida del grifo 3 serán:

𝑄3 = 𝑉1 ∙ 𝜋

𝐷12 4

+ 𝑉2 ∙ 𝜋

𝐷22 4



𝐷

2

2

𝐷

𝑉3 = 𝑉1 ( 1 ) + 𝑉2 ( 2 ) 𝐷3

(2 PUNTOS)

𝐷3

2) Calcular la fuerza total F que debe soportar el grifo: La fuerza total que se ejerce sobre el grifo incluye tanto la fuerza que el agua ejerce sobre la superficie interna del mismo como la fuerza externa que realiza el aire en reposo sobre la superficie externa de grifo: 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝐹⃗𝑒𝑥𝑡

Para determinar la fuerza del agua sobre el grifo haremos uso de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento al mismo volumen de control utilizado anteriormente: 𝑑 [∫ 𝜌𝑣⃗ 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ − 𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑐 )𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜌 𝑓⃗𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc Σc Σc Vc

Teniendo en cuenta que el flujo es estacionario, el volumen de control fijo, el peso es la única fuerza másica en el problema y que las variables son uniformes en las superficies de entrada y salida, la ecuación queda en los ejes inerciales de la figura: ∫ Σg +Σ1 +Σ2 +Σ3

𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ 𝑛 ⃗⃗) 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 − ∫ Σg

Σg

Σ1 +Σ2 +Σ3

66

𝑝𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ Σ1 +Σ2 +Σ3

⃗⃗ )𝑑𝑉 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜌 (−𝑔𝑘 Vc

Ecuaciones generales

P.34 Soluci´ on (2 de 4) Como en la superficie del grifo g el flujo convectivo es nulo por ser la velocidad nula en virtud de la condición de adherencia, en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, el tensor de esfuerzos viscosos es nulo y que la fuerza sobre el grifo es: − ∫ 𝑝 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = 𝐹⃗𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜→𝑎𝑔𝑢𝑎 = −𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 Σg

Σg

la ecuación queda (nótese que p3=pa por descargar la tubería 3 al ambiente): ⃗⃗ − 𝜌𝑉32 𝐴3 𝑘 ⃗⃗ = −𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝑝1 𝐴1 𝑖⃗ − 𝑝2 𝐴2 𝑘 ⃗⃗ + 𝑝𝑎 𝐴3 𝑘 ⃗⃗ − 𝜌𝑔(𝐿1 𝐴1 + 𝐿2 𝐴2 + 𝐿3 𝐴3 + 𝐿2 𝑊)𝑘 ⃗⃗ −𝜌𝑉12 𝐴1 𝑖⃗ + 𝜌𝑉22 𝐴2 𝑘 Para determinar la fuerza que ejerce el aire situado en el exterior, consideremos ahora la superficie EXT que cubre el exterior del grifo con el vector normal dirigido hacia el aire exterior. Si el aire está en reposo, los esfuerzos viscosos resultan ser nulos, por lo que el valor de la fuerza se reduce a la acción del campo de presiones uniforme p a: 𝐹⃗𝐸𝑋𝑇 = − ∫

ΣEXT

𝑝𝑎 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎

Para evaluar la integral anterior, conviene descomponer la superficie del grifo como toda la superficie total incluyendo entradas y salidas y restando estas según el siguiente esquema: n

n

n

n

n

=

n

-

EXT

C n

n

De esa forma, el cálculo de la fuerza externa se puede realizar considerando la resultante de p a que actúa en la superficie cerrada C y sustrayendo al resultado las integrales a las caras de entrada y salida. Como la resultante de un campo de presión uniforme sobre una superficie cerrada es idénticamente nula, por lo que la fuerza exterior queda: 𝐹⃗𝐸𝑋𝑇 = − (− ∫

Σ1 +Σ2 +Σ3

⃗⃗ − 𝑝𝑎 𝐴3 𝑘 ⃗⃗ 𝑝𝑎 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎) = −𝑝𝑎 𝐴1 𝑖⃗ + 𝑝𝑎 𝐴2 𝑘

Por tanto, la fuerza total sobre el grifo será:

𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝐹⃗𝑒𝑥𝑡

= [𝜌𝑉12 𝐴1 + (𝑝1 − 𝑝𝑎 )𝐴1 ]𝑖⃗ ⃗⃗ + [𝜌𝑉32 𝐴3 − [𝜌𝑉22 𝐴2 + (𝑝2 − 𝑝𝑎 )𝐴2 ] − 𝜌𝑔(𝐿1 𝐴1 + 𝐿2 𝐴2 + 𝐿3 𝐴3 + 𝐿2 𝑊)]𝑘 (2 PUNTOS) Nótese que para tener en cuenta el efecto de la atmósfera en el cálculo de la fuerza sobre el grifo basta sustituir el valor absoluto de la presión en las entradas y salidas por sus valores manométricos, es decir, la presión con respecto al ambiente.

67

Ecuaciones generales

P.34 Soluci´ on (3 de 4)

3) Suponiendo despreciable la diferencia de cotas en el grifo y la conducción de calor con el grifo, determinar la temperatura de salida en la tubería 3(T3): Para determinar la temperatura del agua de salida del grifo haremos uso de la ecuación de conservación de la energía al mismo volumen de control que hemos estado utilizando hasta ahora y teniendo en cuenta que la única fuerza másica que aparece es la gravitatoria: 𝑑 𝑣2 𝑣2 [∫ 𝜌 (𝑒 + + 𝑔𝑧) 𝑑𝑉] + ∫ 𝜌 (𝑒 + + 𝑔𝑧) (𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑣⃗ 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑘(∇𝑇⃗⃗⃗⃗) 𝑛 𝑑𝜎 𝑑𝑡 𝑉𝑐 2 2 Σc Σc Σc Σc

Teniendo en cuenta que el flujo es estacionario, el volumen de control fijo y la conducción de calor despreciable, la ecuación queda: ∫ 𝜌 (𝑒 + Σc

𝑣2 + 𝑔𝑧) 𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑣⃗ 𝜏̿ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 2 Σc Σc

Como en la superficie del grifo g la velocidad es nula en virtud de la condición de adherencia y en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, el tensor de esfuerzos viscosos es nulo se tiene: −𝜌𝑉1 𝐴1 (𝑒1 +

𝑉12 𝑉22 𝑉32 + 𝑔𝑧1 ) − 𝜌𝑉2 𝐴2 (𝑒2 + + 𝑔𝑧2 ) + 𝜌𝑉3 𝐴3 (𝑒3 + + 𝑔𝑧3 ) = 𝑝1 𝑉1 𝐴1 + 𝑝2 𝑉2 𝐴2 − 𝑝𝑎 𝑉3 𝐴3 2 2 2

Teniendo en cuenta las relaciones termodinámicas para un líquido caloríficamente perfecto (e = e 0 +cT), que se puede despreciar la diferencia de cotas en el grifo (z1 = z2 = z3 = z0) y reordenando la ecuación se tiene: 𝜌𝑉3 𝐴3 (𝑐𝑇3 +

𝑝𝑎 𝑉32 𝑝1 𝑉12 𝑝2 𝑉22 + ) = 𝜌𝑉1 𝐴1 (𝑐𝑇1 + + ) + 𝜌𝑉2 𝐴2 (𝑐𝑇2 + + ) + 𝜌(𝑒0 + 𝑔𝑧0 )(𝑉1 𝐴1 + 𝑉2 𝐴2 − 𝑉3 𝐴3 ) 𝜌 2 𝜌 2 𝜌 2

El último término se anula al hacer uso de la ecuación de continuidad. Por lo tanto, se puede despejar la temperatura a la salida del grifo 3:

1

𝑉

𝐷

2

𝑇3 = 𝑐 [[𝑉1 (𝐷1) (𝑐𝑇1 + 3

3

𝑝1 𝜌

+

𝑉12

𝑉

𝐷

2

) + 𝑉2 (𝐷2 ) (𝑐𝑇2 + 2 3

3

68

𝑝2 𝜌

+

𝑉22

𝑝

)] − ( 𝜌𝑎 + 2

𝑉32 2

)]

(2 PUNTOS)

Ecuaciones generales

P.34 Soluci´ on (4 de 4)

4) Velocidad y diámetro del chorro en la región 4 próxima al fondo de la bañera (V4 y D4): Considerando el volumen de control formado por el chorro vertical con una superficie de entrada en 3 y salida en 4, las velocidades de entrada y salida del chorro estarán relacionadas entre sí por la condición de conservación del caudal que para el tubo de corriente considerado queda: 𝑄3 = 𝑉3 ∙ 𝜋

𝐷32 4

= 𝑉4 ∙ 𝜋

𝐷42 4

= 𝑄4



𝐷

𝑉4 = 𝑉3 ( 3 )

2

𝐷4

(1 PUNTO)

Además, al tratarse de un problema estacionario, incompresible e ideal con efectos viscosos despreciables, podemos utilizar la ecuación de Bernoulli para relacionar la caída de presión con la variación de presión dinámica.

Aplicando la ecuación de Bernoulli a la línea de corriente central entre la entrada y salida: 𝑝3 +

1 1 𝜌𝑉32 + 𝜌𝑔𝑧3 = 𝐶𝑙 = 𝑝4 + 𝜌𝑉42 + 𝜌𝑔𝑧4 2 2

Teniendo en cuenta la diferencia de cotas y que el chorro descarga al ambiente, por tanto, la presión del chorro es p a en todos sus puntos:

𝑉4 = √𝑉32 + 2𝑔𝐻

(1 PUNTO)

Así se obtienen las dos ecuaciones necesarias para determinar V4 y D4.

5) Despreciando las fuerzas gravitatorias en este apartado, obtener la relación entre h y r: Aplicando la ecuación de Bernoulli a cualquiera de las líneas de corriente libre entre 4 y un punto a distancia “r” del centro del eje del chorro y teniendo en cuenta en este caso que se desprecian las fuerzas gravitatorias: 𝑝𝑎 +

1 1 𝜌𝑉 2 = 𝐶𝑙 = 𝑝𝑎 + 𝜌𝑉𝑟2 2 4 2

Por tanto, se obtiene que ambas velocidades son iguales:

𝑉𝑟 = 𝑉4

(1 PUNTO)

Considerando el volumen de control formado por la lámina circunferencial como muestra la figura y aplicando la ecuación de conservación de la masa: n4 h

nr

nl

D4

nl

𝑑 [∫ 𝜌 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌(𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc

nr r

np

Como el flujo es estacionario y el volumen de control es fijo, la ecuación queda: 𝑄4 = 𝑉4 ∙ 𝜋

𝐷42 4



= 𝑉𝑟 ∙ 2𝜋𝑟ℎ = 𝑄𝑟

69

𝑟ℎ =

𝐷42 8

(1 PUNTO)

Ecuaciones generales

P.35 [16-03-2012]

El grifo de la figura consta de los siguientes elementos:  Una tubería cilíndrica de entrada de agua caliente de diámetro D1 y longitud L1.  Una tubería cilíndrica de entrada de agua fría de diámetro D2 y longitud L2.  Un cuerpo central donde desembocan la tubería 1 y 2 de forma prismática de base cuadrada de lado L y anchura W.  Una tubería cilíndrica de salida de diámetro D3 y longitud L3 (despreciar el volumen de la boquilla de salida).

El grifo funciona con un líquido de densidad y calor específico constante ( y c) y está rodeado de aire en reposo a pa. Suponiendo condiciones uniformes y unidimensionales en las entradas y salidas de las tuberías 1, 2 y 3, que no se despreciar las fuerzas gravitatorias y que los datos del problema son (T1, p1, V2, p2, V3, T3, , c, g, pa, D1, L1, D2, L2, D3, L3, L, W) se pide: 1) Determinar el caudal y la velocidad de entrada en la tubería 1 (Q1 y V1). 2) Calcular la fuerza total F que debe soportar el grifo. 3) Suponiendo despreciable la diferencia de cotas en el grifo y la conducción de calor con el grifo, determinar la temperatura de entrada en la tubería 2 (T2). El chorro de salida de la tubería 3 cae de forma vertical hasta el fondo de una bañera situada a una distancia H por debajo del grifo, formando en la superficie de la bañera a una distancia suficientemente grande de la región de impacto del chorro una lámina líquida circunferencial de altura h(r) donde r es la distancia al eje del chorro. Suponiendo flujo estacionario, líquido ideal (viscosidad despreciable) y velocidad uniforme en la lámina líquida, se pide calcular: 4) Velocidad y diámetro del chorro en la región 4 próxima al fondo de la bañera (V4 y D4). 5) Despreciando las fuerzas gravitatorias en este apartado, obtener la relación entre h y r.

70

Ecuaciones generales

P.35 Soluci´ on (1 de 4)

1) Determinar el caudal y la velocidad de salida en la tubería 1 (Q1 y V1): Se va a aplicar la ecuación de conservación de la masa al volumen de control fijo que incluye todo el volumen de agua en el grifo y está formado por la superficie del mismo y las superficies de entrada y salida:

n1

𝑑 [∫ 𝜌 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌(𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc

ng

n2 n3

Como el flujo es estacionario y el volumen de control es fijo, la ecuación queda: ∫

𝜌 𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0

Σg +Σ1 +Σ2 +Σ3

En la superficie del grifo g la velocidad es nula en virtud de la condición de adherencia y en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, la ecuación queda: 𝑄1 + 𝑄2 = 𝑉1 ∙ 𝐴1 + 𝑉2 ∙ 𝐴2 = 𝑉3 ∙ 𝐴3 = 𝑄3 Por tanto, el caudal y la velocidad a la entrada del grifo 1 serán:

𝑄1 = 𝑉3 ∙ 𝜋

𝐷32 4

− 𝑉2 ∙ 𝜋

𝐷22 4



𝐷

2

𝐷

𝑉1 = 𝑉3 (𝐷3 ) − 𝑉2 (𝐷2 ) 1

2

1

(2 PUNTOS)

2) Calcular la fuerza total F que debe soportar el grifo: La fuerza total que se ejerce sobre el grifo incluye tanto la fuerza que el agua ejerce sobre la superficie interna del mismo como la fuerza externa que realiza el aire en reposo sobre la superficie externa de grifo: 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝐹⃗𝑒𝑥𝑡

Para determinar la fuerza del agua sobre el grifo haremos uso de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento al mismo volumen de control utilizado anteriormente: 𝑑 [∫ 𝜌𝑣⃗ 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ − 𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑐 )𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜌 𝑓⃗𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc Σc Σc Vc

71

Ecuaciones generales

P.35 Soluci´ on (2 de 4) Teniendo en cuenta que el flujo es estacionario, el volumen de control fijo, el peso es la única fuerza másica en el problema y que las variables son uniformes en las superficies de entrada y salida, la ecuación queda en los ejes inerciales de la figura: ∫

𝜌𝑣⃗(𝑣⃗ 𝑛 ⃗⃗) 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 − ∫

Σg +Σ1 +Σ2 +Σ3

Σg

⃗⃗ )𝑑𝑉 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜌 (−𝑔𝑘

𝑝𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫

Σ1 +Σ2 +Σ3

Σg

Σ1 +Σ2 +Σ3

Vc

Como en la superficie del grifo g el flujo convectivo es nulo por ser la velocidad nula en virtud de la condición de adherencia, en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, el tensor de esfuerzos viscosos es nulo y que la fuerza sobre el grifo es: −∫ 𝑝 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝜏̿ 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = 𝐹⃗𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜→𝑎𝑔𝑢𝑎 = −𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 Σg

Σg

la ecuación queda (nótese que p3=pa por descargar la tubería 3 al ambiente): ⃗⃗ = −𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝑝1 𝐴1 𝑖⃗ − 𝑝2 𝐴2 𝑗⃗ + 𝑝𝑎 𝐴3 𝑘 ⃗⃗ − 𝜌𝑔(𝐿1 𝐴1 + 𝐿2 𝐴2 + 𝐿3 𝐴3 + 𝐿2 𝑊)𝑘 ⃗⃗ −𝜌𝑉12 𝐴1 𝑖⃗ + 𝜌𝑉22 𝐴2 𝑗⃗ − 𝜌𝑉32 𝐴3 𝑘 Para determinar la fuerza que ejerce el aire situado en el exterior, consideremos ahora la superficie EXT que cubre el exterior del grifo con el vector normal dirigido hacia el aire exterior. Si el aire está en reposo, los esfuerzos viscosos resultan ser nulos, por lo que el valor de la fuerza se reduce a la acción del campo de presiones uniforme p a: 𝐹⃗𝐸𝑋𝑇 = − ∫

ΣEXT

𝑝𝑎 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎

Para evaluar la integral anterior, conviene descomponer la superficie del grifo como toda la superficie total incluyendo entradas y salidas y restando estas según el siguiente esquema: n

n n

n

=

-

EXT

C

n

n n

n

De esa forma, el cálculo de la fuerza externa se puede realizar considerando la resultante de p a que actúa en la superficie cerrada C y sustrayendo al resultado las integrales a las caras de entrada y salida. Como la resultante de un campo de presión uniforme sobre una superficie cerrada es idénticamente nula, por lo que la fuerza exterior queda: 𝐹⃗𝐸𝑋𝑇 = − (− ∫

Σ1 +Σ2 +Σ3

⃗⃗ 𝑝𝑎 𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎) = −𝑝𝑎 𝐴1 𝑖⃗ + 𝑝𝑎 𝐴2 𝑗⃗ − 𝑝𝑎 𝐴3 𝑘

Por tanto, la fuerza total sobre el grifo será:

𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑎𝑔𝑢𝑎→𝑔𝑟𝑖𝑓𝑜 + 𝐹⃗𝑒𝑥𝑡 = [𝜌𝑉12 𝐴1 + (𝑝1 − 𝑝𝑎 )𝐴1 ]𝑖⃗ − [𝜌𝑉22 𝐴2 + (𝑝2 − 𝑝𝑎 )𝐴2 ]𝑗⃗ ⃗⃗ + [𝜌𝑉32 𝐴3 − 𝜌𝑔(𝐿1 𝐴1 + 𝐿2 𝐴2 + 𝐿3 𝐴3 + 𝐿2 𝑊)]𝑘 (2 PUNTOS) Nótese que para tener en cuenta el efecto de la atmósfera en el cálculo de la fuerza sobre el grifo basta sustituir el valor absoluto de la presión en las entradas y salidas por sus valores manométricos, es decir, la presión con respecto al ambiente.

72

Ecuaciones generales

P.35 Soluci´ on (3 de 4)

3) Suponiendo despreciable la diferencia de cotas en el grifo y la conducción de calor con el grifo, determinar la temperatura de salida en la tubería 2 (T2): Para determinar la temperatura del agua de salida del grifo haremos uso de la ecuación de conservación de la energía al mismo volumen de control que hemos estado utilizando hasta ahora y teniendo en cuenta que la única fuerza másica que aparece es la gravitatoria: 𝑑 𝑣2 𝑣2 [∫ 𝜌 (𝑒 + + 𝑔𝑧) 𝑑𝑉] + ∫ 𝜌 (𝑒 + + 𝑔𝑧) (𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑣⃗ 𝜏̿ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑘(∇𝑇⃗⃗𝑛⃗) 𝑑𝜎 𝑑𝑡 𝑉𝑐 2 2 Σc Σc Σc Σc

Teniendo en cuenta que el flujo es estacionario, el volumen de control fijo y la conducción de calor despreciable, la ecuación queda: 𝑣2 ∫ 𝜌 (𝑒 + + 𝑔𝑧) 𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 = − ∫ 𝑝𝑣⃗ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 + ∫ 𝑣⃗ 𝜏̿ 𝑛⃗⃗ 𝑑𝜎 2 Σc Σc Σc Como en la superficie del grifo g la velocidad es nula en virtud de la condición de adherencia y en las superficies de entrada y salida las variables son uniformes, por lo tanto, el tensor de esfuerzos viscosos es nulo se tiene: −𝜌𝑉1 𝐴1 (𝑒1 +

𝑉12 𝑉22 𝑉32 + 𝑔𝑧1 ) − 𝜌𝑉2 𝐴2 (𝑒2 + + 𝑔𝑧2 ) + 𝜌𝑉3 𝐴3 (𝑒3 + + 𝑔𝑧3 ) = 𝑝1 𝑉1 𝐴1 + 𝑝2 𝑉2 𝐴2 − 𝑝𝑎 𝑉3 𝐴3 2 2 2

Teniendo en cuenta las relaciones termodinámicas para un líquido caloríficamente perfecto (e = e 0 +cT), que se puede despreciar la diferencia de cotas en el grifo (z1 = z2 = z3 = z0) y reordenando la ecuación se tiene: 𝜌𝑉3 𝐴3 (𝑐𝑇3 +

𝑝𝑎 𝑉32 𝑝1 𝑉12 𝑝2 𝑉22 + ) = 𝜌𝑉1 𝐴1 (𝑐𝑇1 + + ) + 𝜌𝑉2 𝐴2 (𝑐𝑇2 + + ) + 𝜌(𝑒0 + 𝑔𝑧0 )(𝑉1 𝐴1 + 𝑉2 𝐴2 − 𝑉3𝐴3) 𝜌 2 𝜌 2 𝜌 2

El último término se anula haciendo uso de la ecuación de continuidad. Por lo tanto, se puede despejar la temperatura a la entrada del grifo 2: 1 𝑉3 𝐷3 2

𝑝𝑎

𝑉32

𝑉1 𝐷1 2

𝑝1

𝑉12

𝑝2

𝑉22

𝑇2 = 𝑐 [[𝑉 (𝐷 ) (𝑐𝑇2 + 𝜌 + 2 ) − 𝑉 (𝐷 ) (𝑐𝑇1 + 𝜌 + 2 )] − ( 𝜌 + 2 )] 2

2

2

2

73

(2 PUNTOS)

Ecuaciones generales

P.35 Soluci´ on (4 de 4)

4) Velocidad y diámetro del chorro en la región 4 próxima al fondo de la bañera (V4 y D4): Considerando el volumen de control formado por el chorro vertical con una superficie de entrada en 3 y salida en 4, las velocidades de entrada y salida del chorro estarán relacionadas entre sí por la condición de conservación del caudal que para el tubo de corriente considerado queda: 𝑄3 = 𝑉3 ∙ 𝜋

𝐷32 4

= 𝑉4 ∙ 𝜋

𝐷42 4

= 𝑄4



𝐷

𝑉4 = 𝑉3 ( 3 )

2

𝐷4

(1 PUNTO)

Además, al tratarse de un problema estacionario, incompresible e ideal con efectos viscosos despreciables, podemos utilizar la ecuación de Bernoulli para relacionar la caída de presión con la variación de presión dinámica.

Aplicando la ecuación de Bernoulli a la línea de corriente central entre la entrada y salida: 1 1 𝜌𝑉 2 + 𝜌𝑔𝑧3 = 𝐶𝑙 = 𝑝4 + 𝜌𝑉42 + 𝜌𝑔𝑧4 2 3 2 Teniendo en cuenta la diferencia de cotas y que el chorro descarga al ambiente, por tanto, la presión del chorro es p a 𝑝3 +

en todos sus puntos:

𝑉4 = √𝑉32 + 2𝑔𝐻

(1 PUNTO)

Así se obtienen las dos ecuaciones necesarias para determinar V4 y D4.

5) Despreciando las fuerzas gravitatorias en este apartado, obtener la relación entre h y r: Aplicando la ecuación de Bernoulli a cualquiera de las líneas de corriente libre entre 4 y un punto a distancia “r” del centro del eje del chorro y teniendo en cuenta en este caso que se desprecian las fuerzas gravitatorias: 𝑝𝑎 +

1 1 𝜌𝑉 2 = 𝐶𝑙 = 𝑝𝑎 + 𝜌𝑉𝑟2 2 4 2

Por tanto, se obtiene que ambas velocidades son iguales:

𝑉𝑟 = 𝑉4

(1 PUNTO)

Considerando el volumen de control formado por la lámina circunferencial como muestra la figura y aplicando la ecuación de conservación de la masa: n4 h

nr

nl

D4

nl

𝑑 [∫ 𝜌 𝑑𝑉 ] + ∫ 𝜌(𝑣⃗ − ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑐 )𝑛 ⃗⃗ 𝑑𝜎 = 0 𝑑𝑡 𝑉𝑐 Σc

nr r

np

Como el flujo es estacionario y el volumen de control es fijo, la ecuación queda: 𝑄4 = 𝑉4 ∙ 𝜋

𝐷42 4

= 𝑉𝑟 ∙ 2𝜋𝑟ℎ = 𝑄𝑟



74

𝑟ℎ =

𝐷42 8

(1 PUNTO)

Ecuaciones generales

P.36 [28-05-2012] Un chorro de agua (densidad ρ) vertical, ascendente, sale de una tobera de di´ametro d0 ; su velocidad a la salida de la tobera es V0 . 1. Suponiendo que el movimiento es ideal, estacionario y unidimensional, determine: a) la velocidad del agua v(z) y el di´ametro del chorro d(z) en funci´on de la distancia z a la salida de la tobera, b) la altura m´ axima hmax que puede alcanzar el chorro y c) el volumen de agua en el chorro hasta una altura h < hmax .

pa

g¯

v(z) d(z) z V0 d0

liq, densidad ρ 2. Considere ahora que el chorro impacta contra un disco de di´ametro D situado a una altura h. El chorro se deflecta y sale radialmente mojando toda la superficie inferior del disco, como se esquematiza en la figura. D disco, masa M

Vs δs

g h d(z) z

V0 d0

liq, densidad ρ Suponiendo que el movimiento es ideal y estacionario, a) Determine la velocidad radial Vs con la que el chorro abandona la superficie del disco en su extremo y el espesor δs de la capa de l´ıquido all´ı, suponiendo δs  h. b) Escriba la expresi´ on para la fuerza F¯ que el chorro ejerce sobre el disco, identificando adecuadamente la notaci´ on. c) Determine la fuerza F¯ a trav´es del an´alisis de un volumen de control adecuado. Para calcular el volumen del chorro, puede despreciar el volumen de la zona donde el movimiento tiene componente radial y utilizar la expresi´ on obtenida en el apartado 1c. d ) Determine la altura de equilibrio heq a la que el chorro podr´ıa sostener un disco de masa M . e) Determine el valor m´ aximo Mmax de la masa del disco que el chorro puede levantar.

75

Ecuaciones generales

76

Ecuaciones generales

77

Ecuaciones generales

P.37 [22-02-2013] En la figura representamos un chorro de l´ıquido que apunta verticalmente sobre una placa caliente de secci´ on circular de masa M y radio R que est´a situada a una distancia H de la salida del chorro. Queremos calcular la velocidad del chorro Uj para que la placa se mantenga estacionaria a esa distancia. Para ello, sabiendo que las fuerzas de viscosidad son despreciables, que la gravedad ~g = −g~ez act´ ua verticalmente, que el flujo de calor por conducci´ on de la superficie de la placa al fluido es Q y que la densidad del l’ıquido es constante con la temperatura: Haga uso de la ecuaci´ on de Bernoulli y de la ecuaci´on de continuidad para obtener la velocidad radial Ur y la anchura de la l´ amina de agua bajo la placa h  H en el borde de salida de la placa en funci´ on de la velocidad Uj . Obtenga la fuerza vertical neta que el fluido ejerce sobre la placa, en funci´on de la velocidad Uj , considerando que el volumen de control tiene un volumen conocido V0 . La presi´on atmosf´erica es Pa . Imponga equilibrio de fuerzas para despejar la velocidad vertical Uj del chorro necesaria para soportar la placa. Calcule el incremento de temperatura ∆T del fluido en la secci´on de salida. Considere despreciable la transferencia de calor a trav´es de la superficie libre.

78

Ecuaciones generales

P.37 Soluci´ on

79

Ecuaciones generales

P.38 [20-05-2013] La figura muestra un modelo de inyector formado por una carcasa fija y un ´embolo de di´ ametro D que se desplaza a una velocidad V respecto de la carcasa fija. Se pretende operar el inyector ancl´ andolo en un u ´nico punto O y mover el ´embolo aplicando sobre ´el una fuerza F , mediante un actuador axial. pa

F

Émbolo

111 000 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 V 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111 000 111

pa

d Vs

D

O

Carcasa

Aplicando el An´ alisis Dimensional, se pide: 1. Determine las magnitudes f´ısicas de als que depende la potencia W que debe suministrar el actuador. 2. Utilice el Teorema Π para reducir el n´ umero de par´ametros de los que depende W 3. Simplifique la expresi´ on anterior para el caso en que los efectos de la viscosidad son despreciables. A continuaci´ on se realizar´ a un an´ alisis detallado del sistema, para lo cual, utilizando las Ecuaciones de Conservaci´ on: 4. Determine la velocidad de descarga del chorro Vs en la atm´osfera, en funci´on de los datos del problema. 5. Determine la fuerza ejercida conjuntamente por el fluido sobre el ´embolo y sobre la carcasa, F¯E + F¯C . ¯ O,E + M ¯ O,C , 6. Determine el momento ejercido por el fluido conjuntamente sobre el ´embolo y la carcasa M respecto del punto O. Para realizar los apartados 5 y 6, considere que el t´ermino no estacionario es despreciable en las ecuaciones correspondientes. 7. Aplicando la ecuaci´ on de Bernoulli, obtenga la presi´on sobre la superficie del ´embolo, pE , suponiendo que ´esta es uniforme. Indique en qu´e casos es aplicable este resultado. 8. Con el resultado del apartado anterior, desglose las fuerzas y momentos ejercidos por el fluido sobre el ´embolo y la carcasa. Indique los valores de la fuerza F¯ ejercida por el actuador y de la reacci´on (fuerza y momento) en el punto O. 9. A la vista del an´ alisis realizado, comente los resultados obtenidos mediante an´alisis dimensional.

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Ecuaciones generales

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Ecuaciones generales

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Ecuaciones generales

P.39 [14-01-2014] La figura muestra un dep´osito de masa M con base cuadrada de lado L que, inicialmente, contiene agua hasta un nivel H0 < L. El dep´osito est´a montado sobre una b´ascula que mide la fuerza vertical ejercida por el dep´ osito sobre la misma. En estas condiciones se pide: 1. Determine la fuerza medida por la b´ ascula FB0 en estas condiciones. 2. Determine la fuerza neta Fc realizada por el fluido (agua + aire) sobre la compuerta triangular indicada en la figura. En el instante t = 0, se comienza a llenar el dep´osito mediante dos chorros conc´entricos que inciden en el centro del dep´ osito, con caudales Q1 y Q2 y temperaturas T1 y T2 . Estos chorros caen desde una altura H medida desde el fondo del dep´ osito y con secciones iniciales A10 y A20 respectivamente, como se indica en la figura y van llenando el dep´ osito que, en un instante gen´erico, alcanza un nivel h(t). Si consideramos despreciables los efectos viscosos en el trayecto de los chorros hasta la superficie libre del dep´osito,(Nota: Especifique claramente los vol´ umenes de control utilizados y las velocidades de sus contornos v¯c ) 3. Determine las velocidades (v1 , v2 ) y las secciones de los mismos (A1 , A2 ) al incidir sobre la superficie libre del agua contenida en el dep´ osito. 4. Determine la ley de variaci´ on de h con el tiempo. 5. Considerando el proceso como quasi-estacionario, determine la fuerza FB medida por la b´ascula en estas condiciones. En el instante t = t1 la temperatura del agua contenida en el dep´osito es T0 . En este instante se abren los dos conductos de salida indicados en la figura, de dimensiones despreciables frente a L y frente a h. Si se puede considerar que los esfuerzos viscosos son despreciables, que la secci´on transversal de los conductos es As (iguales), y que el proceso de descarga es quasi-estacionario, 6. Determine el caudal de salida Qs que sale por cada uno de los conductos de salida, como funci´ on de h(t). 7. Escriba la ecuaci´ on y condiciones iniciales que determinan la altura h como funci´on del tiempo en las nuevas condiciones. Obtenga el valor asint´ otico de h para t → ∞. 8. Escriba la ecuaci´ on (con las condiciones iniciales adecuadas) que determina la temperatura del agua en el dep´ osito. Considere para ello que los dos chorros se mezclan muy r´ apido con el agua existente en el dep´osito y que, en consecuencia, el agua que sale por las toberas de salida lo hace a la temperatura instant´ anea del agua en el dep´ osito T (t). Desprecie los t´erminos de trabajo producido por disipaci´ on viscosa y por la gravedad, la energ´ıa cin´etica y considere todo el proceso adiab´ atico. Considere que la energ´ıa interna del l´ıquido viene data por e(T ) = cv T . Obtenga el valor asint´ otico de la temperatura T para t → ∞. 9. Indique la fuerza medida por la b´ ascula en las nuevas condiciones. Determine el ´area de salida As para que, en tiempos grandes, las toberas compensen exactamente el efecto de los chorros de entrada y la b´ ascula mida exactamente el peso del dep´ osito y el peso del agua. 10. Cuesti´ on opcional. Punto adicional Determine el momento neto, respecto el origen de coordenadas, ejercido por el agua sobre el dep´ osito.

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Ecuaciones generales

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Ecuaciones generales

P.40 [21-05-2014]El Flyboard es una tabla de propulsi´on a chorro que, conectada a una moto de agua, permite al usuario elevarse sobre la superficie y vivir la sensaci´on de volar sobre el mar (v´ease figura). La tabla dispone de un orificio de entrada de di´ ametro De que se conecta a trav´es de una bifurcaci´on en “Y” con dos toberas de salida id´enticas orientadas en direcci´ on opuesta, ambas con di´ametro Ds . Conocido el caudal Q que circula por el sistema, se pide: 1. Determine la velocidad ve y vs en las secciones de entrada y salida y los gastos m´asicos Ge y Gs que circulan por ellas en funci´ on de magnitudes conocidas (ρ, Q, De y Ds ). 2. Suponiendo que el flujo en la bifurcaci´on es no viscoso, utilice la ecuaci´on de Bernoulli entre las secciones de entrada y salida para determinar la presi´on manom´etrica en la secci´on de entrada, p0e = pe − pa , en funci´ on de magnitudes conocidas (ρ, Q, De , Ds , ve , vs , Ge y Gs ). Suponga para el an´alisis que entrada y salida se encuentran a la misma cota, ze ' zs . 3. Obtenga la fuerza total F¯Flyboard que el agua y el aire exterior, a presi´on pa , ejercen sobre la tabla. Exprese el resultado en funci´ on de magnitudes conocidas (ρ, Q, De , Ds , ve , vs , Ge , Gs , pe y ps ≡ pa ). 4. Determine los valores num´ericos de ve , vs , Ge , Gs , pe y F¯Flyboard en el caso particular Q = 3800 litros/min, De = 10 cm y Ds = 5 cm. Suponga que el sistema opera con agua de mar, cuya densidad es ρag-sal = 1025 kg/m3 , y que el volumen de fluido contenido entre las secciones de entrada y salida de la bifurcaci´ on en “Y” es de Vfluido = 2 litros. 5. Sabiendo que la manguera de conexi´ on a la moto de agua tiene un peso de 1,25 kg/m y que el peso del usuario m´ as la tabla es de Wusuario+tabla = 120 kg, se pide estimar la altura m´axima que se podr´ıa alcanzar en “vuelo” vertical estacionario.

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FMF - Colección de problemas

Leyes de conservación en forma generales integral Ecuaciones

Solución: Para el flujo estacionario de un líquido (ρ = cte) la ecuación de conservación de la masa se reduce a   Gs − Ge = 0 s

e

Escribiendo Gi = ρQi y teniendo en cuenta que hay dos salidas idénticas, cada una con un gasto másico Gs y un caudal Qs , y una única única entrada, con gasto másico Ge y caudal Qe , resulta 2Gs − Ge = 0

→

2Qs − Qe = 0

→

2Qs = Qe ≡ Q

→

Qe ≡ Q,

Qs ≡

Q 2

un resultado trivial que ya estaba indicado en la figura que acompaña al enunciado. Las definiciones de caudal y gasto másico permiten calcular las velocidades ve y vs en las secciones de entrada y salida y los gastos másicos correspondientes Ge y Gs ve =

Qe 4Q = Ae πDe2

vs =

Qs 2Q = As πDs2

Ge = ρQ

Gs = ρ

Q 2

(1)

La presión manométrica en la sección de entrada se puede despejar directamente de la ecuación de Bernoulli en función de ve y vs pe + ρ

ve2 v2 + ρgze = ps + ρ s + ρgzs 2 2

de donde pe = ps +ρ  pa

vs2 − ve2 + ρg (zs − ze )    2

→

pe = pe − pa = ρ

vs2 − ve2 2

0

Para el flujo estacionario de un líquido (ρ = cte) con entradas y salidas 1D, la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento se reduce a      Gs v¯s − Ge v¯e = − p¯ n dσ + ρ¯ g dV f¯v dσ + Σ Σ V c c c s e    ¯ fluido ≡ ρ¯ W g Vfluido

Particularizando esta ecuación al caso de una entrada y dos salidas idénticas, cada una con velocidad vs , y recordando que en las secciones de entrada y salida unidimensionales los esfuerzos viscosos son nulos, la ecuación anterior se puede reescribir en la forma   ¯ e − 2ps As n ¯s − p¯ n dσ + g Vfluido f¯v dσ +ρ¯ 2Gs v¯s − Ge v¯e = −pe Ae n 

Σp

Σp





F¯Flyboard→agua =−F¯agua→Flyboard

donde la integral de las fuerzas de presión y de viscosidad extendida a la pared sólida de la bifurcación en Y del Flyboard representa la fuerza que ésta realiza sobre el líquido que circula por su interior. Teniendo en cuenta que esta fuerza es igual, pero de signo contrario, a la fuerza que el agua realiza sobre el Flyboard, y despejando esta última, tenemos F¯agua→Flyboard = Ge v¯e − 2Gs v¯s − pe Ae n ¯ e − 2ps As n ¯ s + ρ¯ g Vfluido Expresión en la que podemos incluir la fuerza que la atmósfera exterior a presión pa realiza sobre la carcasa del Flyboard sin más que trabajar con presiones manométricas (pi = pi − pa ) ¯ e − 2 ps As n ¯ s + ρ¯ g Vfluido F¯agua+atm→Flyboard = Ge v¯e − 2Gs v¯s − pe Ae n  0

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FMF - Colección de problemas

Leyes de conservación en forma generales integral Ecuaciones

Nótese que la presión manométrica en la sección de salida es cero por tratarse de un chorro libre que descarga a la atmósfera. Por otro lado, en este problema v¯e = ve e¯z , n ¯ e = −¯ ez ,

v¯s = −vs e¯z ,

n ¯ s = −¯ ez ,

lo que sustituido en la ecuación anterior proporciona la siguiente expresión para la fuerza total que los fluidos (agua + aire atmosférico) ejercen sobre el Flyboard F¯agua+atm→Flyboard = (Ge ve + 2Gs vs + pe Ae − ρgVfluido ) e¯z Haciendo aplicación numérica para los datos que se indican en el enunciado se obtienen los siguientes valores ve = 8,064 m/s

vs = 16,13 m/s pe = pe − pa = ρ

Ge = 64,92 kg/s

Gs = 32,46 kg/s

vs2 − ve2 = 99977 Pa  0,9867 atm 2

F¯agua+atm→Flyboard = (523,5 + 1047 + 785,2 − 20,1 ) e¯z N = 2336 e¯z N  238 e¯z kgf          Ge ve

2Gs vs

pe Ae

ρgVfluido

Como puede comprobarse, la contribución más importante a la fuerza que los fluidos ejercen sobre el Flyboard es la fuerza de propulsión a chorro asociada al flujo convectivo de cantidad de movimiento en las toberas de salida. No obstante, los términos de presión y flujo convectivo de cantidad de movimiento en la sección de entrada también son muy importante, tanto que la combinación de ambos da una contribución incluso mayor a la de los chorros de salida. Finalmente, se puede observar que el peso del fluido contenido en el volumen de control resulta totalmente despreciable frente al resto de términos que aparecen en el balance de cantidad de movimiento. En condiciones de vuelo estacionario, la fuerza vertical hacia arriba que el agua y la atmósfera ejercen sobre el Flyboard debe ser igual a la fuerza vertical hacia abajo que debe soportar el sistema. Esta fuerza es debida al peso del usuario, la tabla, la parte emergida de la manguera y la correspondiente columna de agua. De este modo, para obtener la altura H igualamos la fuerza vertical total que se ejerce sobre el Flyboard (238 kg) con la suma de los pesos del usuario más la tabla (120 kg), la parte emergida de la manguera (1,25H) y la correspondiente columna de agua (ρAe H), de donde podemos despejar H para obtener 238 − 120 = 12,7 m H= 238 = 120 + (1,25H + 8,05 H) →  1,25 + 8,05 ρAe

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Ecuaciones generales

P.41 [23-6-2014]El doctor Claw, cansado de que el inspector Gadget le gane todas las batallas, decide hacer un modelo que le permita comprender el funcionamiento del gadgeto-helic´optero. El modelo est´a compuesto por tres ´ alabes por los que se deja salir un l´ıquido, de densidad ρ0 y viscosidad µ0 , inyectado desde una botella de masa m + ρ0 V0 , siendo V0 el volumen de la botella. El volumen de la botella coincide con el volumen inicial de l´ıquido dentro de la botella. En el cuello de la botella existe un regulador de caudal que permite controlar el caudal que sale de la botella y mantenerlo constante. El l´ıquido circula por el interior de cada ´alabe y sale por el extremo de los mismos, por una secci´ on de ´area A0 , con componente circunferencial y formando un ´angulo α con la horizontal. Se genera una fuerza vertical Fy , que se pide calcular. La velocidad de giro de las aspas es ω. 1. Calcule el tiempo m´ aximo de vuelo si el caudal de salida del l´ıquido por cada ´alabe se mantiene constante e igual a Q. Tenga en cuenta que el volumen de fluido en el interior de la botella cambia a pesar de que el volumen de la botella permanece constante. 2. Obtenga la fuerza vertical Fy generada por el l´ıquido en funci´on del caudal Q de l´ıquido que sale por cada alabe y del ´ ´ angulo α. Considere que el tiempo de vaciado de la botella es mucho mayor que el tiempo de residencia del l´ıquido en los ´ alabes, de modo que el proceso es casi estacionario. El efecto de la gravedad es despreciable en el movimiento del l´ıquido. Especifique claramente el volumen de control elegido. 3. Calcule la fuerza vertical total en funci´on de la velocidad de giro ω si la fuerza de sustentaci´on ejercida por el aire sobre cada ´ alabe es L = ρaire (ωR)2 SCL /2, siendo la densidad del aire ρaire , el ´area de cada alabe S y el coeficiente de sustentaci´ ´ on CL datos conocidos. 4. Aplicando equilibrio de momentos, obtenga la velocidad de giro ω. Para ello, calcule el par generado por el fluido al salir respecto del eje de giro y tenga en cuenta que la fuerza de resistencia del aire sobre cada alabe D = ρaire (ωR)2 SCD /2 se aplica a una distancia 3R/4 del eje de giro. El coeficiente de resistencia ´ CD es conocido. Calcule, adem´ as, la potencia desarrollada por el artilugio. 5. Usando la segunda ley de Newton, escriba la ecuaci´on que permite calcular la velocidad vertical de ascenso del conjunto U (t) si el modelo est´ a pensado para elevar una masa M . Tenga en cuenta que la masa de l´ıquido almacenada en la botella cambia con el tiempo y que el caudal de l´ıquido que sale por los ´ alabes se mantiene constante Q modificando la apertura del regulador de caudal que se encuentra en la botella. 6. Resuelva la ecuaci´ on anterior para obtener la velocidad de ascenso U (t) en el caso ρ0 V0 ∼ ρ0 Qt  M + m si U (t = 0) = 0.

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Ecuaciones generales

P.41 Soluci´ on (1 de 2)

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Ecuaciones generales

P.41 Soluci´ on (2 de 2)

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Ecuaciones generales

P.42 El sistema de propulsi´ on de ciertos aviones permite mantenerlos suspendidos en el aire en posici´on est´ atica. En esta situaci´ on, la fuerza que el motor produce tiene componente Fx nula y componente de sustentaci´ on Fz que debe igualar al peso del avi´ on, Fz = M g, conocido. El motor de estos aviones, esquematizado en la figura, incluye una toma horizontal de aire de ´ area Ae y una tobera de salida de los gases que puede formar un ´ angulo regulable α y de secci´ on normal de ´ area As . La potencia que el motor comunica a la corriente de aire a trav´es ˙ , conocida, y el calor total transferido al aire (incluyendo la p´erdidas de calor por de ´ alabes giratorios es W ˙ conocido. conducci´ on a trav´es de las paredes) por unidad de tiempo es Q, Ae

Q˙

aire, pa , ρa

˙ W

As α

ve pe ρa

aire, pa

z x

vs ρs pa Escriba las ecuaciones necesarias para determinar los valores de ve , pe , vs , ρs y α en funci´on de los par´ ametros ˙ , Q˙ y las propiedades termodin´amicas del gas. conocidos pa , ρa , M g, Ae , As , W En el an´ alisis del sistema pueden despreciarse los efectos gravitatorios en la corriente de aire, y las propiedades del gas en las secciones de entrada y salida pueden considerarse uniformes. La aceleraci´on del aire desde el reposo (aire ambiente a ρa , pa y v = 0) hasta las condiciones en la secci´on de entrada (ρa , pe , ve ) puede considerarse un proceso ideal, incompresible y estacionario.

93

Ecuaciones generales

P.42 Soluci´ on

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Ecuaciones generales

P.43 Un l´ıquido de densidad ρ y calor espec´ıfico c constantes forma un chorro bidimensional plano de espesor h y velocidad uniforme v que incide sobre una cu˜ na asim´etrica de forma y dimensiones mostradas en la figura. La cu˜ na divide el chorro en dos capas de flujo desigual de modo que una fracci´on α del flujo volum´etrico Q (Q es flujo volum´etrico por unidad de longitud en la direcci´on z) se desv´ıa hacia el lado que forma un ´angulo θ y el resto se desv´ıa hacia el otro lado formando un ´angulo 2θ.

T1 αQ

h1 pa h

q

y

Q

x

θ

x ¯0

v, T0

2θ

pa

L

pa h2

q

T2 (1 − α)Q El proceso es estacionario. Suponga que los efectos de la viscosidad y gravitatorios son despreciables. 1. Determine la velocidad uniforme del fluido en cada una de las dos capas de fluido que se forman sobre la cu˜ na. 2. Determine los espesores h1 y h2 de las capas de fluido. 3. Determine la fuerza F¯ (por unidad de longitud en la direcci´on z) que el l´ıquido del chorro y el aire ambiente ejercen sobre la cu˜ na. ¯ 0 de la fuerza F¯ con respecto a la esquina de la cu˜ 4. Determine el momento M na en x ¯0 . Indique el valor de ¯ 0 nulo. la fracci´ on α que producir´ıa un momento M 5. Conocidas la temperatura T0 del chorro incidente y las temperaturas T1 y T2 de las capas de l´ıquido cuando pierden el contacto con la cu˜ na, determine el flujo de calor por unidad de superficie q que se transfiere desde el l´ıquido a la cu˜ na. Suponga que el flujo de calor es uniforme sobre la cu˜ na y que no hay calor transferido por conducci´ on entre el l´ıquido y el aire ambiente. 6. Calcule num´ericamente los resultados anteriores usando los siguientes datos: v = 0,4 m/s; T0 = 20◦ C; ρ = 1000 kg/m3 ; L = 30 cm;

h = 10 cm; T1 = 18◦ C; c = 4216 J/(kg K); θ = 20◦ ;

T2 = 15◦ C; α = 0,8.

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Ecuaciones generales

P.43 Soluci´ on (1 de 3)

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Ecuaciones generales

P.43 Soluci´ on (2 de 3)

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Ecuaciones generales

P.43 Soluci´ on (3 de 3)

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Ecuaciones generales

P.44 [13-1-2015] El dep´ osito cil´ındrico de la figura, de di´ametro D y altura H, se llena de un fluido de densidad ρ. Para ello se utiliza una tuber´ıa, de secci´on circular y di´ametro d  D, situada en el fondo del dep´ osito y por la que entra un caudal Q constante y conocido. La tuber´ıa de alimentaci´on se cierra cuando la v´alvula de flotador A alcanza una posici´ on horizontal. El flotador, que tiene un volumen V y una densidad ρv > ρ/2, se une mediante una varilla sin masa de longitud l a una r´otula en el punto O que permite a la varilla girar libremente. Utilizando el volumen de control Vc especificado en la figura 1. Calcule el tiempo necesario para que la v´alvula alcance una posici´on horizontal si la v´alvula estaba inicialmente en z = 0. 2. Obtenga la fuerza vertical Fz y el par M (momento de la fuerza Fz ) respecto al punto O ejercida por la varilla sobre la v´ alvula A. Para ello aplique la segunda ley de Newton a la v´alvula A y tenga en cuenta que la velocidad de ascensi´ on de la superficie de agua es dh/dt y que el flotador tiene un volumen V /2 sumergido en el fluido. 3. Calcule la variaci´ on de la presi´ on en el fondo del dep´osito z = 0 con la altura de agua h. Tenga en cuenta que la velocidad del fluido en el dep´ osito es vertical en todo el dep´osito, excepto en una regi´on peque˜ na alrededor de la secci´ on de entrada del dep´osito de tama˜ no d  D. 4. Obtenga la fuerza horizontal que el fluido ejerce sobre el dep´osito cil´ındrico sabiendo que la presi´ on del fluido que entra por la tuber´ıa de alimentaci´on es igual a la presi´on en el fondo del dep´osito. NOTA: La presi´ on del aire en el exterior es pa .

O z

b

l

Fz

h

g

A

H Q

x

Vc D

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Ecuaciones generales

P.45 [20-5-2015] Considere un chorro de agua vertical, descendente, que emerge a presi´on atmosf´erica pa y temperatura ambiente Ta de una tobera circular de di´ametro D0 con velocidad inicial U0 . La salida de la tobera se encuentra a una altura z = H0 . Una vez que el chorro fluye en la atm´osfera, se acelera por efecto de la gravedad y su di´ ametro D(z) disminuye progresivamente. El flujo es estacionario, axisim´etrico y las propiedades f´ısicas del agua (densidad ρ, viscosidad µ, calor espec´ıfico c y conductividad t´ermica k) son constantes. 1. (1 pt) Indique la condici´ on que debe satisfacer la velocidad U0 para que los efectos viscosos sean despreciables en el chorro y este pueda analizarse como un chorro ideal. En el resto del problema, suponga que se cumple esta condici´ on. 2. (1 pt) Determine la velocidad del chorro U (z) en funci´on de la altura z. 3. (1 pt) Determine el di´ ametro del chorro D(z) en funci´on de la altura z. 4. (1 pt) En la expresi´ on para la velocidad del chorro, haga aparecer expl´ıcitamente el n´ umero de Froude U2 F r = gH00 y considere el l´ımite F r  1, correspondiente a efectos gravitatorios despreciables. Determine la velocidad y el di´ ametro del chorro en este caso y suponga aplicable este l´ımite en el resto del problema.

El chorro (considerado ideal y con efectos gravitatorios despreciables) incide sobre una placa circular de radio R > D0 /2, que lo deflecta en un pel´ıcula en la que el agua fluye radialmente. 5. (2 pt) Determine la velocidad radial del agua en la pel´ıcula Ur al abandonar el borde de la placa y el espesor h de la pel´ıcula en este punto. 6. (2 pt) Calcule la fuerza neta F¯p que el chorro y el aire ambiente ejercen sobre la placa. 7. (2 pt) Si la placa se encuentra a temperatura constante Tp > Ta , calcule la temperatura Tr de la pel´ıcula en el borde de la placa. Considere que el chorro solamente intercambia calor con la placa (no intercambia calor con el aire ambiente) y utilice la siguiente estimaci´on para el gradiente de temperatura sobre la Tr − Tp placa: ∇T = e¯z . h

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Ecuaciones generales

P.45 Soluci´ on (1 de 2)

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Ecuaciones generales

P.45 Soluci´ on (2 de 2)

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aspira aire ambiente y lo hace pasar a trav´es de un calentador que lo calienta hasta la temperatura deseada Tc . El aire entra en el conducto de suministro a trav´es de una Ecuaciones generales entrada de secci´on Ae y escapa de la c´amara incubadora a trav´es de una ranura de secci´on As . Podemos considerar en esta aplicaci´on que el aire es incompresible y sus propiedades P.46 [30-6-2015] La incubadora esquematizada en la figura consiste en una c´amara donde el aire se remansa f´ısicas anola dependen Enonlas de entrada salida,y la velocidad temperatura Tcde > la Ta ytemperatura. una ligera sobrepresi´ pc >secciones pa . Un ventilador aspira aireyambiente lo hace pasar a trav´esdel de un calentador que lo calienta hasta temperaturadel deseada Tc . El aire entra y temperatura aire son uniformes. Laslaparedes dispositivo est´aenn elt´conducto ermicamente de suministro a trav´es de una entrada de secci´on Ae y escapa de la c´amara incubadora a trav´es de una ranura aisladas. El ontama˜ no de considerar la c´amara, volumen esincompresible muy grande comparado c , es de secci´ As . Podemos en estade aplicaci´ on que el V aire y sus propiedades f´ısicascon las 3/2 3/2 no dependen de la temperatura. secciones entrada y salida, velocidad y la temperatura del aireon sonde que secciones de entrada y salida,EnVlas As de, A cuallajustifica aproximaci´ e , lo c  uniformes. Las paredes del dispositivo est´ an t´ermicamente aisladas. El tama˜ no de la c´amara, de volumen Vc , es el aire muy est´agrande en comparado remansoconenlasla c´amara. El flujo es estacionario y podemos despreciar los 3/2 3/2 secciones de entrada y salida, Vc  As , Ae , lo cual justifica la aproximaci´ on que el aire est´ a en remanso en la c´ amara. El flujo es estacionario y podemos despreciar los efectos gravitatorios. efectosdegravitatorios.

Q˙

aire, Ta , pa

aire, Tc , pc v∼0 z

˙ W

a´rea Ae x

a´rea As

aire, Ta , pa

1. Si el aire de la c´ amara, aproximadamente en reposo en la mayor parte de su volumen, se acelera de manera ideal por efecto de la sobrepresi´ on para salir con velocidad uniforme a trav´es de la ranura, determine la velocidad uniforme vs con la que el aire escapa de la incubadora a trav´es de la ranura de ´area As . 2. Determine el gasto m´ asico G de aire que circula por el sistema.

1. (1 pt) Si el aire de la c´amara, aproximadamente en reposo en la mayor parte de 3. Determine la velocidad v y presi´ on pe del aire en la secci´on de aspiraci´on de la bomba, de ´area Ae . su volumen, se acelerae de manera ideal por efecto de la sobrepresi´on para salir con 4. Suponiendo despreciables los efectos de la disipaci´on viscosa de energ´ıa, y puesto que las paredes del velocidad uniforme a trav´es de la ranura, determine la velocidad uniforme vs con la dispositivo est´ an t´ermicamente aisladas, el aumento de temperatura del aire se consigue por el u ´nico efecto la potencia calor´ıfica transferida por la resistencia calentador. Determine potencia que elde aire escapa de la incubadora a trav´edel s de la ranura de laa´rea As .calor´ıfica Q˙ que se transfiere al aire.

˙ que elm´ 2. (1 5. pt)Determine Determine el gasto asico Gcomunica de aire queen circula por eldesistema. la potencia W ventilador al aire estas condiciones operaci´on.

3. (2 la

6. Determine la fuerza F¯ que el aire del interior y el aire ambiente, en reposo, ejercen sobre el dispositivo. pt) Determine la velocidad ve y presi´on −3 pe del aire en la secci´on de aspiraci´on ˙ con los datos Ae = 5 10 m2 , As = 4 10−3 m2 , Ta = 15 ◦ C, Tc = 60 ◦ C, 7. Calcule num´ericamente Q˙ y W bomba, ´Pa, reaρ =A1,2 e . kg/m3 , µ = 1,8 10−5 kg/(m s), cv = 717 J/(kg K). pc − pa =de 0,6a

de

4. (1 pt) Suponiendo despreciables los efectos de la disipaci´on viscosa de energ´ıa, y puesto que las paredes del dispositivo est´an t´ermicamente aisladas, el aumento de temperatura del aire se consigue por el u ´nico efecto de la potencia calor´ıfica transferida por la resistencia del calentador. Determine la potencia calor´ıfica Q˙ que se transfiere al aire. ˙ que el ventilador comunica al aire en estas condi5. (1 pt) Determine la potencia W ciones de operaci´on. 6. (2 pt) Determine la fuerza F¯ que el aire del interior y el aire ambiente, en reposo, ejercen sobre el dispositivo. ˙ con los datos Ae = tantos m2 , As = tantos m2 , 7. (2 pt) Calcule num´ericamente Q˙ y W 103 Ta = 15 ◦ C, Tc = 50 ◦ C, pc −pa = tantos mbar, ρ = 1,2 kg/m3 , µ = 1,8 10−5 kg/(m s), cv = 717 J/(kg K).

Ecuaciones generales

P.46 Soluci´ on (1 de 3)

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Ecuaciones generales

P.46 Soluci´ on (2 de 3)

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Ecuaciones generales

P.46 Soluci´ on (3 de 3)

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Ecuaciones generales

P.47 [27-3-2015] El dispositivo mezclador de la figura est´a compuesto por dos tuber´ıas, una horizontal recta de di´ ametro D y otra vertical de di´ ametro d que finaliza en un codo de 180o . El sistema admite dos corrientes de un mismo gas, de propiedades Rg y γ conocidas, por los extremos de la tuber´ıa horizontal. El gas entra por un lado con presi´ on p1 y densidad ρ1 y, por el otro, con presi´on p2 y densidad ρ2 , todas ellas conocidas. Ambas corrientes se mezclan y salen por la tuber´ıa vertical formando un chorro descendente que descarga a la atm´ osfera a presi´ on ambiente pa .

aire, pa g¯

d v 1 , p1 , ρ 1 v2 , p2 , ρ2 vs , ρ s D

z

x

y

Por tratarse de un gas, el efecto de las fuerzas m´asicas es despreciable. Sabiendo adem´as que el proceso de mezclado es estacionario y que no se produce intercambio significativo de calor con el exterior, se pide: 1. Determine el gasto m´ asico Gs que sale por la secci´on de salida. 2. Aplicando la ecuaci´ on de la energ´ıa al sistema mezclador, estime la densidad del gas ρs en la secci´ on de salida; suponga para ello que la energ´ıa cin´etica de los gases es despreciable frente a su energ´ıa t´ermica: v2  h con 2

h=e+

p γ p = cp T = ρ γ−1 ρ

Nota: esta aproximaci´ on s´ olo es v´ alida cuando la velocidad del gas es mucho menor que la velocidad del sonido. 3. Combinando los dos resultados anteriores, determine la velocidad del gas vs en la secci´on de salida. 4. Calcule la fuerza neta F¯ = Fx e¯x + Fz e¯z que el gas y el aire exterior en reposo ejercen sobre el dispositivo. 5. Determine la temperatura del gas Ts en la secci´on de salida. Aplicaci´ on num´erica: 6. Calcule el valor del gasto Gs , la densidad ρs , la velocidad vs , la fuerza F¯ , y la temperatura Ts a partir de los siguientes datos: D = 4 cm, d = 3 cm v1 = 20 m/s, p1 = 1,4 atm, ρ1 = 1,7 kg/m3 v2 = 10 m/s, p2 = 1,5 atm, ρ2 = 1,5 kg/m3 γ = 1,4, Rg = 287 J/(kg · K), pa = 1 atm ≡ 101325 Pa

107

Ecuaciones generales

P.47 Soluci´ on 1. Determine el gasto m´ asico Gs que sale por la secci´on de salida. − ρ1 v1 A1 − ρ2 v2 A2 + ρs vs As = 0 | {z } | {z } | {z } G1

G2

→

Gs = G1 + G2 = (ρ1 v1 + ρ2 v2 )π

D2 4

Gs

2. Aplicando la ecuaci´ on de la energ´ıa al sistema mezclador, estime la densidad del gas ρs en la secci´ on de salida; suponga para ello que la energ´ıa cin´etica de los gases es despreciable frente a su energ´ıa t´ermica: p γ p v2  h con h = e + = cp T = 2 ρ γ−1 ρ       p v2 p v2 p v2 ˙ MAQ + Q˙ Gs e + + + gz − G1 e + + + gz − G2 e + + + gz =W ρ 2 ρ 2 ρ 2 s 1 2 | {z } | {z } | {z } h

h

h

2

Despreciando la energ´ıa potencial (gz) y la energ´ıa cin´etica (v /2) frente a la energ´ıa t´ermica (h) y teniendo ˙ MAQ = 0) ni intercambio en cuenta que no hay superficies m´ oviles que realicen trabajo sobre el fluido (W significativo de calor con el exterior (Q˙ = 0), la ecuaci´on anterior se reduce a Gs hs − G1 h1 − G2 h2 = 0 o bien

γ ps γ p1 γ p2 − ρ 1 v 1 A1 − ρ 2 v 2 A2 =0 ρ s v s As γ−1ρ γ−1ρ γ−1ρ | {z } | {z s} | {z } | {z 1} | {z } | {z 2} Gs

G1

hs

G2

h1

h2

Simplificando esta expresi´ on y escribiendo las ´areas en funci´on de los di´ametros se obtiene finalmente la velocidad en la secci´ on de salida    2 v1 p 1 + v2 p 2 D 2 2 vs pa d − (v1 p1 + v2 p2 )D = 0 → vs = pa d donde se ha tenido en cuenta que ps = pa . 3. Combinando los dos resultados anteriores, determine la velocidad del gas vs en la secci´on de salida. 2

(ρ1 v1 + ρ2 v2 ) π D4 Gs ρ1 v1 + ρ2 v2 (ρ1 v1 + ρ2 v2 )D2 ρs = = = =   2 2 d v s As (v vs π 4 1 p1 + v2 p2 )/pa v1 p1 + v2 p2 D d2 pa d {z } | vs

4. Determine la temperatura del gas Ts en la secci´on de salida. p = Rg T ρ

→

Ts =

1 pa 1 = Rg ρs Rg



v1 p1 + v2 p2 ρ 1 v1 + ρ 2 v2



5. Calcule la fuerza neta que el gas y el aire exterior en reposo ejercen sobre el sistema, F¯ = Fx e¯x + Fz e¯z . Gs v¯s − G1 v¯1 − G2 v¯2 = −p1 n ¯ 1 A1 − p2 n ¯ 2 A2 − ps n ¯ s As − F¯gas→mezclador Para incluir el efecto del aire exterior a presi´on atmosf´erica pa solo hay que sustituir las presiones absolutas por presiones manom´etricas F¯ = F¯gas→mezclador + F¯ext = −Gs v¯s + G1 v¯1 + G2 v¯2 − p01 n ¯ 1 A1 − p02 n ¯ 2 A2 − p0s n ¯ s As Sustituyendo v¯s = −vs e¯z , v¯1 = v1 e¯y , v¯2 = −v2 e¯y , n ¯ 1 = −¯ ey y n ¯ 2 = e¯y y teniendo en cuenta que la presi´ on en la secci´ on de salida es igual a la presi´on atmosf´erica, p0s = ps − pa = 0, tenemos F¯ = Gs vs e¯z + G1 v1 e¯y − G2 v2 e¯y + p01 e¯y A1 − p02 e¯y A2 = Gs vs e¯z + (G1 v1 + p01 A1 − G2 v2 − p02 A2 ) e¯y 108

Ecuaciones generales

6. Calcule el valor del gasto Gs , la densidad ρs , la velocidad vs , la fuerza F¯ , y la temperatura Ts a partir de los siguientes datos: D = 4 cm, d = 3 cm v1 = 20 m/s, p1 = 1,4 atm, ρ1 = 1,7 kg/m3 v2 = 10 m/s, p2 = 1,5 atm, ρ2 = 1,5 kg/m3 γ = 1,4, Rg = 287 J/(kg · K), pa = 1 atm ≡ 101325 Pa Resultados num´ericos: Gs = 0,0616 kg/s vs = 76,4 m/s ρs = 1,14 kg/m3 Ts = 310 K = 37o C F¯ = 4,7¯ ez − 12,1¯ ey N

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Ecuaciones generales

P.48 [27-3-2015] La pieza de la figura muestra un conducto de di´ametro d0 (´area transversal A0 = πd20 /4) que se ramifica en 4 brazos iguales, tambi´en de di´ametro d0 , para producir sendos chorros libres verticales separados diametralmente una distancia L. Los chorros descargan al ambiente a presi´on atmosf´erica pa . Una bomba suministra un caudal Q0 de agua a presi´on absoluta p0 en el punto de entrada a la pieza, x ¯0 , situado a una altura vertical L/2 por debajo del punto en que emergen los chorros.

g¯ L

aire, pa z y x Q0 , p0

L/2

Puede suponer que el flujo es incompresible y estacionario. No desprecie el peso del agua dentro de la pieza; para calcularlo, considere que el volumen interior de la pieza es V = αA0 L, siendo α un factor num´erico conocido de orden unidad, funci´ on de la geometr´ıa y el tama˜ no de la pieza. Suponga tambi´en que la posici´on del centro de masas es x ¯cg − x ¯0 = −βL/2 e¯x + γL/2 e¯z , siendo β y γ factores conocidos de orden unidad. 1. Determine la velocidad del agua en el conducto de entrada, v0 , y en las secciones de salida de los cuatro chorros, vj . 2. Determine la fuerza neta del agua y el aire ambiente, F¯ , sobre la pieza. ¯ 0 de la fuerza F¯ respecto del punto de entrada a la pieza. 3. Determine el momento M Considere ahora el chorro libre vertical que sale por una de las ramas del surtidor y suponga despreciables los efectos viscosos en el mismo. 4. Determine c´ omo var´ıa el di´ ametro del chorro con la altura, dj (z). 5. Determine la altura m´ axima te´ orica, hmax , que podr´ıa alcanzar el chorro. ¯ 0 y la altura hmax con los siguientes datos: 6. Calcule num´ericamente el valor de la fuerza F¯ , el momento M 3 ρ = 1000 kg/m , d0 = 2 cm, L = 30 cm, α = 3, β = 0,92, γ = 0,75, Q0 = 1,5 10−3 m3 /s, p0 −pa = 2 105 Pa.

110

Ecuaciones generales

P.48 Soluci´ on (1 de 2)

111

Ecuaciones generales

P.48 Soluci´ on (2 de 2)

112

Ecuaciones generales

P.49 [26-3-2015] La figura representa un grifo mezclador. A la toma de agua fr´ıa llega un caudal de agua Qf a temperatura Tf y presi´ on pf , mientras que a la toma de agua caliente llega un caudal de agua Qc a temperatura Tc y presi´ on pc . Las corrientes fr´ıa y caliente se mezclan en el dispositivo y descargan al ambiente como un chorro libre vertical a presi´ on atmosf´erica pa y de caudal Qs y temperatura Ts , ambos a determinar. Considere que el dispositivo est´ a t´ermicamente aislado. El flujo es incompresible, estacionario y viscoso. Puede despreciar el peso del agua dentro de la pieza. El di´ ametro de los conductos, tanto de las tomas de agua como del conducto curvo de salida, es d0 (´ area A0 = πd20 /4).

L aire, pa Qs , T s z y Qf , T f , pf

L

0 L

x

Qc , T c , pc 1. Determine la velocidad del agua en las tomas de agua, vf y vc , y en el chorro de salida, vs . Determine el caudal de agua, Qs , que suministra el grifo. 2. Escriba la ecuaci´ on que permite determinar la temperatura Ts del agua en el chorro de salida. 3. Escriba la ecuaci´ on que permite determinar la fuerza neta F¯ del agua y el aire ambiente sobre el dispositivo. ¯ 0 de la fuerza F¯ respecto del punto 0 indicado 4. Escriba la ecuaci´ on que permite determinar el momento M en la figura. ¯ 0 con los siguientes 5. Calcule num´ericamente el valor de la temperatura Ts , la fuerza F¯ y el momento M 3 datos: ρ = 1000 kg/m , c = 4180 J/(kg K), d0 = 2 cm, L = 7,5 cm, Qf = 9 L/min, pf = 3 105 Pa, Tf = 15 ◦ C, Qc = 10 L/min, pc = 2,5 105 Pa, Tc = 60 ◦ C, pa = 101 325 Pa.

113

Ecuaciones generales

P.49 Soluci´ on (1 de 2)

114

Ecuaciones generales

P.49 Soluci´ on (2 de 2)

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