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• Karen L. Juarez

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1

LEYES DE KIRCHHOFF

UNIDAD 3 3.1 CONCEPTO DE CIRCUITO ELÉCTRICO Un circuito eléctrico es una agrupación de elementos conductores, elementos pasivos, semiconductores y fuentes de energía conectados entre si y dispuestos de manera tal que se logra producir, modificar o anular los efectos relacionados con las cargas eléctricas en movimiento. El circuito eléctrico puede estar formado por una fuente y un elemento o por una cantidad indefinida de ellos.

3.2 LEYES DE KIRCHHOFf. Las ecuaciones de las leyes de Kirchhoff pueden establecerse con toda precisión en un circuito, de tal manera que se obtengan las ecuaciones adicionales a las ecuaciones de los elementos. Es necesario sólo un grupo de nodos y de mallas llamados independientes, es decir que no pueden deducirse de otras.

• LEY DE LAS CORRIENTES DE KIRCHHOFF. “La suma algebraica de las corrientes que inciden en un nodo es igual a cero.” Representada en forma matemática. λ

∑ ( k.n )i

k

=0

K

Por ejemplo para el nodo n

RIVERA C T

2

LEYES DE KIRCHHOFF

2

4

1

3 n

Corrientes que entran se consideran negativas y las que salen positivas Figura No. 1 λ

∑ ( k.n )i

k

=0

K

(1,n)i1 + (2,n)i2 + (3,n)i3 + (4,n)i4 = 0 -1 +1 -1 +1 = 0 - i1 figura 1

+ i2

- i3

+ i4

= 0

Ecuación de nodo de la

Para una red o circuito donde haya n nodos en c componentes se puede establecer lo siguiente: a. En la red habrá n-c nodos independientes. b. En cada componente se elimina un nodo. A los nodos eliminados se les llama nodos de referencia, y se denotan con el número 0 y se les marca con una cruz. c. El resto de los nodos serán independientes y se le numera como 1, 2, 3,…..etc. d. Para cada nodo independiente se escribe una ecuación de la Ley de las corrientes de Kirchhoff. Ejemplo: De la red gráfica, encuentre las ecuaciones de los nodos. Solución: Red gráfica con dos componentes, 7 nodos y 8 elementos.

2 1

3

5

7

4

8

6 Figura No. 2

C = 2 n = 7 RIVERA C T

3

LEYES DE KIRCHHOFF

λ = 8 Se elijen los nodos que se van a eliminar y los nodos independientes. ni = n-c

1

ni = 7- 2 = 5 nodos independientes.

1 3

2 3

2 5

4

5 7

4 01 Figura No. 3

8

6

ECUACIONES DE LOS NODOS:

NODO 1 2

ECUACIÓN

5

=

-i2 + i3 – i5

=

0

3 4

-i1 + i2 0

i1 – i2 – i4

= 0

-i6 + i7

=

-i7 + i8

=

0 0

• LEY DE LOS VOLTAJES DE KIRCHHOFF. La Ley de los voltajes de Kirchhoff establece que: “La suma algebraica de las caídas de tensión a través de los elementos que forman una malla es igual a cero.” Matemáticamente: RIVERA C T

02

4

LEYES DE KIRCHHOFF λ

∑ [ k , m] E k =1

m = 1, 2, 3, ...... µ

=0

k

Donde µ es el número de mallas independientes de la red, las cuales se obtienen de la siguiente relación: µ = λ - ni Por ejemplo en la red gráfica de la figura No. 2B, el número de mallas está dado por:

2 1

µ = λ - ni µ = 8 – 5 = 3 mallas

3

5

4

7

Figura No. 2

8

6

PROBLEMA 1. Aplicando las Leyes de Kirchhoff obtenga las corrientes y las tensiones en cada elemento del circuito mostrado. R3

R5

3

5 4 R4

2

6 R2

E1

R6

1

Figura No. 4

SOLUCIÓN. Se marcan los elementos con un número, se le asigna una dirección a la corriente de cada elemento (puede ser en cualquier sentido) se seleccionan los nodos y se anotan los datos del problema. DATOS. RIVERA C T

5

LEYES DE KIRCHHOFF

R2 = 4Ω C = 1 R3 = 2Ω R4 = 8Ω

λ = 6,

R5 = 6Ω

n = 4,

R5 = 10Ω E1 = 24 V

1 Calculo de los nodos y mallas independientes. ni = n – C = 4 – 1 = 3 nodos Mallas independientes µ = λ - ni = 6 - 3 = 3 mallas. 2. Ecuaciones integrodiferenciales de los elementos. E1 E2 E3 E4 E5 E6

= = = = = =

- e1 = - 24 V R2i2 = 4i2 R3i3 = 2i3 R4i4 = 8i4 R5i5 = 6i5 R6i6 = 10i6

3.- La red gráfica se muestra en la figura número 5 con elementos, nodos independientes y mallas independientes. 3

2

5

1

3 m1 2

m2 4

6

m3 1

0 Figura No. 5

4.- Ecuaciones de nodo y malla. Ecuaciones de nodo. (Ley de las corrientes de Kirchhoff) Nodo

Ecuación. RIVERA C T

6

LEYES DE KIRCHHOFF

1 2 3

- i1 + i2 + i3 = 0 - i3 + i4 + i5 = 0 i1 – i5 – i6 = 0

Ecuaciones de malla (Ley de los voltajes de Kirchhoff). Malla de los elementos

Ecuación.

Cuando las corrientes Y la corriente en la malla

tienen la misma m1 - E2 + E3 +E4 = 0 positivo. Si tienen m2 - E4 + E5 – E6 = 0 voltajes es negativo m3 E1 + E2 + E6 = 0

dirección, el voltaje es direcciones opuestas el

5.- Sustituyendo las ecuaciones de los elementos en las ecuaciones de los voltajes de Kirchhoff.

m1 m2 m3

- 4i2 + 2i3 + 8i4 = 0 - 8i4 + 6i5 – 10i6 = 0 - 24 + 4i2 + 10i6 = 0 4i2 + 10i6 = 24

6.- De las ecuaciones de los nodos se tiene que: i2 = i1 – i3 i4 = i3 – i5 i6 = i1 – i5 7.- Sustituyendo estos valores en las ecuaciones de LVK (inciso 5) m1 m2 m3

- 4(i1 – i3) + 2i3 + 8(i3 – i5) = 0 - 8(i3 – i5) + 6i5 – 10(i1 – i5) = 0 4(i1 – i3) + 10(i1 – i5) = 24

8.- Simplificando las ecuaciones anteriores. RIVERA C T

7

LEYES DE KIRCHHOFF

m1 m2

- 4i1 + 14i3 – 8i5 = 0 ……. 1 - 10i1 – 8i3 + 24i5 ……. 2

m3 ……. 3

= 0

14i1 – 4i3 – 10i5 = 24

9.- Ecuaciones por resolver. - 4i1 + 14i3 – 8i5 = 0 ……. 1 - 10i1 – 8i3 + 24i5 = 0 ……. 2 14i1 – 4i3 – 10i5 = 24 ……. 3 Cálculo de las Corrientes. Empleando determinantes. 0 0 24

14 -8 -4

-8 24 -10

0 0 24

14 -8 -4

0 + 0) i1 = -4 14 384 + 1400) -10 -8 14 -4

-8

-4

24 -10 -10 14

14

(0 + 8064 +0) – (1536 + = (-320 + 4704 -320) – (896 +

-8 -4

i1 = 4.71 A

Resolviendo con el mismo procedimiento para i3 e i5 . i3 = 3.05 A. i5 = 2.98 A RIVERA C T

8

LEYES DE KIRCHHOFF

De las ecuaciones de nodo. i2 = i1 – i3 = 4.71 – 3.05 = 1.66 A i4 = i3 – i5 = 3.05 – 2.98 = 0.07 A i6 = i1 – i5 = 4.71 – 2.98 = 1.73 A

Calculo de las tensiones: E1 E2 E3 E4

= = = =

24 4i2 2i3 8i4

V = 4 x 1.66 = 6.69 V = 2 x 3.05 = 6.1 V = 8 x 0.07 = 0.56 V

E5 = 6i5 = 6 x 2.98 E6 = 10i6 = 10 x 1.73

= 17.88 V = 17.3 V

PROBLEMA 2. Aplicando las Leyes de Kirchhoff obtenga las corrientes y las tensiones en cada elemento del circuito mostrado en la figura número 6. RIVERA C T

9

LEYES DE KIRCHHOFF 20Ω

50 V

6 3Ω

2

4Ω

1

3 4

5

5Ω

2

3 10Ω

12Ω

1 25V

0

Figura No. 6

SOLUCIÓN El circuito es puramente resistivo. 1.

Datos adicionales:

Número de elementos. λ=6 Componentes C = 1 Número de nodos. n=4 2.

Nodos independientes. ni = n- C = 4 – 1 = 3 Mallas independientes mi = λ - ni = 6 – 3 = 3

La red gráfica del circuito es la siguiente. 6 4

1

2 m2

1

m1

5

m3 2

3

3

0 FiguraNo. 7

3.

Ecuaciones integrodiferenciales. E1 = R1i1 – e1

= 5i1 – 25 RIVERA C T

10

LEYES DE KIRCHHOFF

E2 E3 E4 E5 E6

= = = = =

R2i2 R3i3 R4i4 R5i5 R6i6

= 10i2 = 12i3 = 3i4 = 4i5 = 20i6 -50

4. Ecuaciones de nodo. (Ley de las corrientes de Kirchhoff) Corrientes que entran se consideran negativas y las que salen positivas. Nodo Ecuación 1 2 3

i1 – i4 + i6 = 0 - i2 + i4 – i5 = 0 i3 + i5 – i6 = 0

5. Ecuaciones de malla. (Ley de los voltajes de Kirchhoff) Si la corriente del elemento va en la misma dirección que la corriente de malla la tensión se considera positiva, si van en direcciones opuestas se consideran negativas. Malla 1 2 3

Ecuación. E4 + E5 + E6 = 0 - E1 – E2 – E4 = 0 E2 + E3 – E5 = 0

6.- Sustituyendo las ecuaciones integrodifernciales en las ecuaciones de malla. 1 ……….. A 2 ……….. B 3 ……….. C

3i4 + 4i5 + (20i6 – 50) -(5i1 – 25) – 10i2 – 3i4 10i2 + 12i3 – 4i5

=

0

=

0

=

0

7. Sustituyendo las corrientes de nodo en las ecuaciones A, B, C. i1 = i4 – i6 i2 = i4 – i5 i3 = -i5 + i6 3i4 + 4i5 + 20i6 ……….. A

=

50

RIVERA C T

11

LEYES DE KIRCHHOFF

- 5(i4 –i6) – 10(i4 – i5) – 3i4 = - 25 -5i4 + 5i6 – 10i4 + 10i5 – 3i4 = - 25 - 18i4 + 10i5 + 5i6 = - 25 …………. B

10(i4 – i5) + 12(-i5 + i6) – 4i5 = 0 10i4 – 26i5 + 12i6 ………… C

= 0

8. Ecuaciones del circuito para resolver. 3i4 + 4i5 + 20i6 ……….. A - 18i4 + 10i5 + 5i6 …………. B 10i4 – 26i5 + 12i6 ………… C

=

50

= - 25 =

0

9. Resolviendo con deteminantes. 50 -25 0 – 1200) i4 = = 3 390 – 864) -18 10

4 20 10 5 -26 12 26700

50 -25 0

4 10 -26

(6000 + 0 + 13000) - (0 - 6500 =

4 20 3 4 9174 10 5 - 18 10 -26 12 10 -26

(360 + 200 + 9360) – (2000 –

i4 = 2.910 A

RIVERA C T

12

LEYES DE KIRCHHOFF

Problema 3. Con Leyes de Kirchhoff determine las corrientes y las tensiones en el circuito de la figura 8. R1 = 2 ? I1

R3 = 4 ?

1

i2

i3 R2 = 8 ?

m1 E1 = 5V

E2 = 3V

m2 0 Figura No 8.

λ=3 c=1 n=2 ni = n-c = 1 mi = λ - ni = 3 -1 = 2 Ecuaciones integro-diferenciales. V1 = R1i1 – E1 = 2i1 – 5 V2 = R2i2 = 8i2 V3 = R3i3 – E2 = 4i3 – 3

RIVERA C T

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LEYES DE KIRCHHOFF

Ecuacion de nodo. (LCK) -i1 + i2 + i3 = 0 De donde: i1 = i2 + i3 Ecuaciones de malla. (LVK) V1 + V2 = 0 - V2 + V3 = 0

Sustituyendo valores de ecuaciones integro-diferenciales en LVK 2i1 – 5 + 8i2 = 0 -8i2 + 4i3 – 3 = 0 Sustituyendo el valor de LCK en las ecuaciones de malla. 2(i2 + i3) – 5 + 8i3 = 0 - 8i2 + 4i3 – 3 = 0 Ecuaciones para resolver: 10i2 + 2i3 = 5 - 8i2 + 4i3 = 3 Resolviendo con determinantes: 5 3 i2 = 10 2 -8 4

2 4

(20) – ( 6 ) = (40) – (-16)

14 =

= 0.25 A 56

Aplicando el mismo procedimiento para i3. RIVERA C T

LEYES DE KIRCHHOFF

14

i3 = 1.25 A i1 = i2 + i3 = 0.25 + 1.25 = 1. 5 A Cálculo de las tensiones: V1 = i1.R1 = 1.5 x 2 = 3 V. V2 = i2 R2 = 0.25 x 8 = 2 V V3 = i3 R3 = 1.25 x 4 = 5 V

RIVERA C T