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PÉNDULO DE TORSIÓN Luis Anillo, Yasser Chadid, Jorge De Moya, Enulfo Galindo, Mary Solano, Ubaldo Villegas Universidad del Atlántico Departamento de Física Fecha de entrega: octubre 13 de 2015 RESUMEN En la experiencia se logró determinar estáticamente la constante de torsión de un alambre con cierta longitud y una precisión del 10%. Se hizo girar el disco a un ángulo alrededor del alambre, se liberó con el fin de medir su periodo de oscilación. Como segundo objetivo se determinó el momento de inercia del disco a partir de su periodo de oscilación. Se colocó dos pesas de masas m y se puso en movimiento el disco lo cual permitió determinar su periodo de oscilación . Palabras claves: Pendulo, momento de inercia, periodo. INTRODUCCIÓN El péndulo de torsión consiste en un alambre sujeto a un extremo por un soporte y por el otro unido rígidamente a un disco cuyo centro de masa se encuentra vertical al eje del alambre; al girar el disco con un ángulo se da paso a un momento de inercia que depende de una constante de torsión y el ángulo de giro; se busca encontrar cual es esta constante para posteriormente hallar cual es el momento de inercia del disco unido al alambre.

sujeto a un soporte fijo. Cuando el cuerpo se aparta de su posición de equilibrio, haciéndolo girar en torno a eje, el alambre se tuerce y ejerce un torque de restitución τ sobre el cuerpo y éste tenderá a volver a la posición de equilibrio, ejecutando una serie de oscilaciones. Para ángulos de torsión pequeños el torque resulta proporcional al desplazamiento angular θ, es decir; τ =−κ θ

DISCUSIÓN TEÓRICA Un péndulo de torsión consiste en un cuerpo rígido suspendido por medio de un alambre (hilo de torsión) el cual está

Donde κ se denomina constante de torsión y es propia de cada material.[1]

I ´ =2 M L

2

(4)

El periodo ( T¿ se mide experimentalmente y está dado por la fórmula: T=

Figura 1. Péndulo de torsión.[1]

Si el sistema se hace oscilar su periodo de oscilación está dado por la siguiente ecuación: I T =2 π c (1) K

√

k=

( I c + I ´ ) 4 π2

1 I c = mr 2 (2) 2

(6)

k=

( I c ) 4 π2 T2

(7)

MÉTODOS EXPERIMENTALES

r es el radio del disco. Mientras que si colocamos dos cuerpos de masa m simétricamente L en el disco a una distancia fija medida desde el centro, el periodo de oscilación viene dado por:

√

T2

Y de la ecuación (1):

es el momento de inercia del disco unido al alambre y esta dador por :

I c+ I ´ κ

(5)

Siendo t el tiempo que tarda en realizar n oscilaciones. En caso que se quiera hallar k se debe despejar la ecuación (1) o (3) dependiendo de las condiciones en las que se haya realizado el experimento y tomado las medidas. Si se despeja k de la ecuación (3):

I

T =2 π

t n

(3)

Para esta experiencia se preparó el montaje de un sistema que consistía de un alambre metálico unido a un disco. En la primera parte se midió la masa, radio del disco y ángulo de torsión, luego se tomó el tiempo en el que ocurrían 10 oscilaciones (este procedimiento se realizó 3 veces). En la segunda parte se colocaron dos pesas idénticas a una distancia L

medida desde el centro del disco y se midió el periodo de oscilación. La distancia L se varió 4 veces y para cada una se tomó 3 medidas del tiempo en que ocurrían 10 oscilaciones. Todos los datos se registraron para su posterior análisis. ANÁLSIS DE RESULTADOS Y DISCUSIÓN A continuación se presentaran los datos obtenidos durante la experiencia. m= masa del disco M = masa de la pesa n = 10 oscilaciones Periodo del disco sin pesas

Tabla 1. m = 4.75 ± 0.005 Kg

T promedio =¿

r = 0.13 m

θ = 10°

0.872 s

I disco=

( 4.75 Kg )∗(0.13 m)2 2 = 0.0401

Kg∗m2

Reemplazando este resultado con el valor del periodo en la tabla 1.0 se obtuvo el valor de K: K=

( 4)( π 2 )(0.0401 Kg∗m 2) ( 0.872 s)2

¿ 2.082

N m

Y para la segunda parte del experimento se hizo el siguiente análisis para obtener el valor del momento de inercia del disco. Valores momentos de inercia para las masas

Tabla 3. L (m) 0.11 0.09 0.07 0.05

Periodo del disco con pesas y variando la distancia (L).

Tabla 2. m = 4.75

L (m) 0.11 0.09 0.07 0.05

r = 0.13 m

θ = 10°

T (s) 1.036 1.001 0.967 0.940

Se utilizaron dos pesas en cada lado del disco de 0.5 Kg. Para la primera parte del experimento se realizaron los siguientes cálculos para hallar la constante de torsión del alambre:

2 I ´ ( Kg∗m ¿

0.0121 0.0081 0.0049 0.0025

En la siguiente tabla se obtienen los valores de K: T ( s) 1.03 6 1.00 1 0.96 7 0.94

Tabla 4. T ( s ) L(m) L2 ( m2 ) 2

2

K (N∗m)

1.073

0.11

0.012

1.921

1.002

0.09

0.008

1.899

0.935

0.07

0.005

1.900

0.884

0.05

0.002

1.902

0

De la ecuación (3):

( √

I +2 M L T = 2π c K

2

(

2

2

2

)

0.005

0.935

0.0047

0.002

0.884

0.0018

∑ L2i

∑ T 2i

∑ T 2i L2i ∑ L22i

0.027

3.894

0.0274

SL =

0.027 =0.00675 4

8 π 2 M L2 4 π I c + K K

ST =

3.894 = 0.9735 4

SL T =

0.0274 =0.00685 4

T =4 π

2

I c +2 M L K

2

2

2

Para relacionar linealmente en una gráfica los datos obtenidos experimentalmente se utiliza el método de los mínimos cuadrados, con el fin de obtener una ecuación satisfactoria de la forma:

2

SL L = 2

2

2

0.000237 = 0.00005925 4

Entonces la mejor línea

T 2 =a L2+b

tiene por pendiente

a=

T 2 =a L2+ b

2

n

SL = 2

0.00023 7

)

2

T2=

0.00002 5 0.00000 4

n

1 ∑ L2 S ´ = 1 ∑ T´ 2 n i=1 i T n i=1 i 2

n

b=

y por intercepto

4 π2 I c K

8π M K así:

n

1 1 2 2 22 S L T´ = ∑ T´ i Li S L L = ∑ Li n i=1 n i=1 2

2

2

2

a= Datos para corroborar los valores dela pendiente e intersección: L2i

Tabla 5. 2 Ti T 2i L2i

0.012

1.073

0.0129

0.008

1.002

0.0080

0.00014 4 0.00006 4

2

2

2

2

2

S L L −( S L ) 2

a= L22 i

S L T −S L ST 2

2

0.00685−(0.00675∗0.9735) 0.00005925−0.0000455625 a=20.374

s2 m2

2

K= b=

S L L S T −S L T S L 2

2

2

2

2

2

2

S L L −( S L ) 2

2

2

K=1.938

( 0.00005925∗0.9735 )−(0.00685∗0.00675) ¿ 0.00005925−0.0000455625 b=0.836 s 2

2

,

2

T =20.4 L +0.84

pasos: b=

lo

corroborarse con computarizada:

N m

Por otra parte, también se puede hallar I c realizando los siguientes

La ecuación de la recta ajustada a los datos experimentales sería aproximadamente

8 π (0.5 Kg) s2 20.374 2 m

que una

4 π2 I c K

puede gráfica

(1.938 I c=

T^2 vs L^2

N )( 0.836 s 2) m 4∗π 2

I c =0.041 Kg∗m2

T^2

CONCLUSIÓN . 5.0000000000000001E-3 2E-3 8.0000000000000002E-3 1.2E-2

L^2 Linear ()

Relación

2

T vs L

2

. Grafica 1.

Para calcular la constante de torsión:

Con los resultados obtenidos en la práctica, se puede concluir que cuando mayor sea la distancia del eje a las masas, mayor será el momento de inercia (ver tabla 1.2), lo que conduce a que este dependa en mayor parte a como se distribuyan las masas en el disco y que la distancia del eje a las masas es proporcional al periodo de oscilación del péndulo. REFERENCIAS:

2

a=

8π M K

[1] Fisica para ciencias e ingeniería ;vol 1; 7° edición, Cencage learnig Editores S.A,MEXICO D.F 2009; Cap 15. Pag 435.