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ANALISIS DIMENSIONAL DIMENSIONES Y UNIDADES: Una dimensión es una medida de una cantidad física (sin valores numéricos),

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ANALISIS DIMENSIONAL DIMENSIONES Y UNIDADES: Una dimensión es una medida de una cantidad física (sin valores numéricos), mientras que una unidad es una manera de asignar un número a dicha dimensión. Por ejemplo, la longitud es una dimensión que se mide en unidades como micrones (mm), pie (ft), centímetros (cm), metros (m), kilómetros (km), etcétera. DIMENSIONES PRIMARIAS (también llamadas dimensiones fundamentales): Son aquellas cuyas unidades se eligen arbitrariamente tomándose como base de los sistemas de unidades y no tienen una ecuación que las defina Son siete: masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica, cantidad de luz y cantidad de materia. Sistema Internacional de Unidades (S.I) Dimensiones Primarias Símbolo Unidad Masa M Kilogramo Longitud L Metro Tiempo T Segundo Temperatura ϴ Kelvin Intensidad de corriente I Amper Cantidad de sustancia N Mol Intensidad luminosa J Candela

Símbolo kg m s K A mol cd

DIMENSIONES NO-PRIMARIAS (dimensiones derivadas): Son aquellas que se pueden formar por cierta combinación de las siete dimensiones primarias. Ejemplo la densidad, la velocidad, la viscosidad, etc. SISTEMAS ABSOLUPTOS Y GRAVITACIONALES Dependiendo que como se definan las unidades se pueden diferenciar dos sistemas que son: los “sistemas absolutos” y los “sistemas gravitacionales” SISTEMAS ABSOLUTOS: En estos sistemas se toman como unidades fundamentales (dimensiones) a la Masa (M), la Longitud (L), y el Tiempo (T). Por esto se lo conoce también como sistema MLT. Por ejemplo, el Sistema Internacional (SI). SISTEMAS GRAVITACIONALES: Los sistemas gravitacionales utilizan como una de sus unidades fundamentales una magnitud que depende de la gravedad terrestre por ejemplo el peso. Entonces las unidades fundamentales son la Fuerza (F), la Longitud (L) y el Tiempo (T). Por eso se lo conoce como sistema FLT. Ejemplo de este tipo de sistema es el Sistema Técnico y el Sistema Inglés.

En Mecánica de Fluidos, las cuatro dimensiones básicas que se toman son la masa M, la longitud L, el tiempo T y la temperatura Θ, en resumen, un sistema MLTΘ. Algunas veces se utiliza el sistema FLTΘ, con la fuerza F reemplazando a la masa. MAGNITUD Area Volumen Velocidad Velocidad del sonido Aceleracion Aceleracion de la gravedad Velocidad angular frecuencia Aceleracion angular Fuerza Masa Peso especifico Densidad Presion Viscocidad absoluta Viscocidad cinematica Modulo de elasticidad Potencia Momento de una fuerza Caudal Tension cortante Tension superficial Peso Caudal masico Angulo Trabajo y energia Temperatura Calor especifico Coeficiente de conduct. termica Coeficiente convectivo Momento de inercia Carga electrica Momento doble de inercia

SIMBOLO

MLT

FLT

A V v a dv/dt g ω f  F m 𝛾  p   𝐸𝑣 P M Q   w ṁ ϴ WoE T 𝑐𝑝 k h I q 𝑰𝒙𝒙

L2 L3 LT-1 LT-1 LT-2 LT-2 T-1 T-1 T-2 MLT-2 M ML-2T-2 ML-3 ML-1T-2 ML-1T-1 L2T-1 ML-1T-2 ML2T-3 ML2T-2 L3T-1 ML-1T-2 MT-2 MLT-2 MLT-3 ML2T-2 ϴ L2T-2ϴ-1 MLT-3ϴ-1 𝐌𝑻−𝟑 𝜽−𝟏 𝑴𝑳𝟐 IT 𝑳𝟒

L2 L3 LT-1 LT-1 LT-2 LT-2 T-1 T-1 T-2 F FL-1T2 FL-3 FL-4T2 FL-2 FL-2T L2T-1 FL-2 FLT-1 FL L3T-1 FL-2 FL-1 F FT-1 FL ϴ L2T-2ϴ-1 FT-1ϴ-1 𝑭𝑳−𝟏 𝑻−𝟏 𝜽−𝟏 FLT2 IT 𝑳𝟒

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL Establece que “si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables, debe ser dimensionalmente homogénea, es decir, sus sumandos deben tener las mismas dimensiones”. Una variable es dimensional si su valor numérico depende de la escala usada en su medida; esto es, depende del sistema de unidades elegido. Una variable es adimensional cuando no tiene dimensiones y su valor numérico es independiente del sistema de unidades de medida. OBJETIVO DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL El Objetivo de hacer un Análisis Dimensional es el de reducir el número y la complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado, agrupándola en grupos adimensionales. Con el análisis dimensional también podemos: - Comprobar la veracidad de las formulas física mediante el principio de homogeneidad dimensional. - Determinar formulas físicas empíricas a partir de datos experimentales en el laboratorio. Para encontrar estos grupos adimensionales se utilizan dos métodos: - Método de PI DE BUCKINGHAM. - Método de RAYLEIGH. TEOREMA DE PI DE BUCKINGHAM Si un fenómeno físico depende de n variables dimensionales, es posible reducir el problema a sólo k variables adimensionales o números pi. Para determinar k de números adimensionales se aplica la siguiente ecuación: k= n – j k: números pi n= número de variables dimensionales del problema. j: número de dimensiones básicas del fenómeno. MLT (k=3) 0 MLT (k=4). Este proceso se puede sistematizar en los pasos siguientes: 1)Se hace una lista de las n variables relacionadas con el problema 2) Escribir las dimensiones de cada variable de acuerdo al sistema que se elija, MLT o FLT.

3) Se determina la reducción j. Para ello, se elige inicialmente igual al número de dimensiones diferentes que aparecen en el problema. 4) Se selecciona un grupo de j variables que NO puedan formar un grupo adimensional, que tengan bastante generalidad (que incluyan todas las dimensiones implicadas). Se comprueba que su determinante sea distinto de cero. Si no se encuentran, se reduce j en una unidad y se buscan de nuevo. 5) Se añade una variable diferente de las j variables elegidas y se forma un producto de potencias; a continuación, se determinan los exponentes que hacen que el grupo sea adimensional. Se repite este paso con el resto de variables. RELACIONES UTILES: • Si una magnitud es adimensional constituye un grupo pi sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior. • Si dos magnitudes físicas cualesquiera tienen las mismas dimensiones su cociente será un número adimensional pi. • Cualquier número puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluida pi-1 • Cualquier número puede expresarse como función de otros números pi.

DETERMINACION DE LAS VARIABLES REPETITIVAS: Se debe tener en cuenta lo siguiente:  No deben formar entre si un grupo adimensional.  Deben contener en conjunto las dimensiones del problema.  No se debe incluir a la variable que está buscando.  Generalmente se selecciona una longitud característica, un variable cinemática (por ejemplo, la velocidad) y una propiedad del fluido.  Como el número de dimensiones del problema será el rango de la matriz. El determinante de las variables elegidas debe ser distinto de cero. Para esto se arma la matriz dimensional y se eligen tres variables (si el sistema es MLT) o dos si el sistema es (LT). EJERCICIO DE APLICACIÓN: La caída de presión por unidad de longitud a lo largo de una cañería horizontal de pared lisa depende del diámetro de la cañería, de la velocidad del fluido, de la densidad y de la viscosidad. Hallar una expresión para la caída de presión por unidad de longitud.

Solución: ∆𝑷 = 𝒇(𝑫, 𝒗, 𝝆, 𝝁) 𝑳 5 Variables- 3 Dimensiones (MLT)= 2 Números π La reducción j= 3. Elegimos 3 variables del total de variables. Una variable de longitud: El diámetro D. Una variable cinemática: La velocidad v. Una propiedad de fluido: La densidad . Armamos la matriz y calculamos el determinante: M

L

T

0

1

0

D

0

1

0

0

1

-1

v

0

1

-1

1

-3

0



1

-3

0

= - 1 0

Armemos ahora los grupos adimensionales o números π: 𝐷 𝛼 𝑣 𝛽 𝜌 𝛾 𝜇 = 𝜋2

∆𝑃 𝐷 𝑣 𝜌 = 𝜋1 𝐿 𝛼 𝛽 𝛾

𝐿𝛼 (𝐿𝑇 −1 )𝛽 (𝑀𝐿−3 )𝛾 𝑀𝐿−1 𝑇 −1 = 𝑀 0 𝐿0 𝑇 0

𝐿𝛼 (𝐿𝑇 −1 )𝛽 (𝑀𝐿−3 )𝛾 𝑀𝐿−2 𝑇 −2 = 𝑀 0 𝐿0 𝑇 0

𝐿) 𝛼 + 𝛽 − 3𝛾 − 1 = 0 𝐿) 𝛼 + 𝛽 − 3𝛾 − 2 = 0 𝑀) 𝛾 + 1 = 0 𝑇) − 𝛽 − 2 = 0 𝐷 𝑣 −2 𝜌 −1

∴ ∴





𝛼 = −1

𝛼=1 𝑀) 𝛾 + 1 = 0



𝛾 = −1

𝑇) − 𝛽 − 1 = 0



𝛽 = −1

𝛾 = −1 𝛽 = −2 𝐷 −1 𝑣 −1 𝜌 −1 𝜇 = 𝜋1 ∴

∆𝑃 𝐷 ∆𝑃/𝐿 = 𝜋1 ∴ = 𝜋1 𝐿 𝑣2𝜌

𝜇 = 𝜋2 = 𝑅𝑒 −1 𝐷𝑣𝜌

El segundo grupo adimensional encontrado es el número de Reynolds. Por el teorema de Pi de Buckingham, podemos expresar un numero pi en función de los otros números pi, entonces: 𝜋1 = 𝑓(𝜋2 )



𝐷 ∆𝑃/𝐿 = 𝑓 (𝑅𝑒 ) 𝑣2𝜌

∆𝑷 𝒗𝟐 𝝆 = 𝒇(𝑹𝒆) 𝑳 𝑫 Donde 𝑓 es un coeficiente que depende del número de Reynolds.

MÉTODO DE RAYLEIGH Es un método que expresa la relación entre una variable y las restantes en forma de una ecuación potencial. Este método luego fue mejorado por Pi de Buckingham. Supongamos que la fuerza de arrastre sobre un cuerpo sumergido en una corriente fluida es función de: 𝐹 = 𝑓(𝑣, 𝜇, 𝜌, 𝐷) Los pasos a seguir son: 1°. Expresar la variable de interés como una función potencial de las restantes. 𝐹 = 𝐾 𝑣 𝑎 𝜇𝑏 𝜌 𝑐 𝐷𝑑 2°. Sustituir las variables en la función potencial por sus dimensiones. 𝑀𝐿𝑇 −2 = (𝐿𝑇 −1 )𝑎 (𝑀𝐿−1 𝑇 −1 )𝑏 (𝑀𝐿−3 )𝑐 𝐿𝑑 3°. Plantear ecuación de condición de homogeneidad para cada una de las magnitudes fundamentales. 𝐿:

1 = 𝑎 − 𝑏 − 3𝑐 + 𝑑

𝑀:

1=𝑏+𝑐

𝑇: − 2 = −𝑎 − 𝑏 4. Para “n” variables y “p” magnitudes fundamentales, se fijan n-p variables libres para resolver el sistema. n=4 y p=3 entonces “n-p=1” entonces, se debe elegir una variable libre. Elijamos “b” que es la que repite en las 3 ecuaciones. 𝑐 =1−𝑏



𝑎 = 2−𝑏



𝑑 = 2−𝑏

5. Se sustituyen los exponentes calculados en la función potencia y agrupar las variables elevadas a los mismos exponentes. 𝐹 = 𝐾𝑣 2−𝑏 𝜇𝑏 𝜌1−𝑏 𝐷2−𝑏 𝐹 = 𝐾𝑣 2 𝜌𝐷2 (𝑣 −1 𝜌−1 𝐷−1 𝜇)𝑏 𝐹 = 𝐾𝑣 2 𝜌𝐷2 𝑅𝑒 −𝑏 𝐹 = (𝐾𝑅𝑒 −𝑏 )𝑣 2 𝜌𝐷2

𝑭 = 𝑪𝒅 𝒗𝟐 𝝆𝑨

Donde D2 es el área (A) y Cd es un coeficiente que depende del número de Reynolds.

TIPOS DE FUERZAS Los distintos tipos de fuerzas que aparecen en un fluido interaccionando con un sólido son: FUERZAS DE INERCIA: Determinadas por la variación temporal de la cantidad de movimiento. 𝑑(𝑚𝑣) 𝑑𝑣 𝜌𝐿3 𝐿/𝑇 𝐹𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 = = 𝜌𝑉 = = 𝜌𝐿2 (𝐿/𝑇 )2 = 𝜌𝐿2 𝑣 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑇 n 𝑭𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝝆𝑳𝟐 𝒗𝟐 FUERZAS VISCOSAS: Determinadas por el campo de tensiones que a su vez viene determinado por la viscosidad y el campo de velocidades. 𝑣 11111111111111111 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠 = 𝜇 𝐿2 = 𝜇𝑣𝐿 𝑭 𝒗𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔𝒂𝒔 = 𝝁𝒗𝑳 𝐿 FUERZAS GRAVITATORIAS: Determinadas por la posición en el campo gravitatorio. 𝐹𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠 = 𝑚𝑔 = 𝜌𝑔𝐿3 𝑭𝒈𝒓𝒂𝒗𝒊𝒕𝒂𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒔 = 𝝆𝒈𝑳𝟑

FUERZAS DE PRESIÓN Determinadas por el campo de presiones: 𝐹𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 = 𝑝 𝐴 = 𝑝𝐿2

𝑭𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒐𝒏 = 𝒑𝑳𝟐

FUERZAS DE ELASTICIDAD Determinadas por la compresibilidad del fluido, o bien por la velocidad de pequeñas perturbaciones en el seno del fluido: 𝐹𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝐸𝑉 𝐴 = 𝐸𝑽 𝐿2 = 𝜌𝑎2 𝐿2 E: Modulo volumétrico de elasticidad o modulo volumétrico. ∆𝑝 𝐸𝑉 = − ∆𝑉/𝑉 La compresibilidad se refiere al cambio de volumen de un fluido debido a un cambio de presión que se ejerce sobre el mismo. a= Velocidad del sonido. 𝑭𝒄𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 = 𝝆𝒂𝟐 𝑳𝟐 FUERZAS DE TENSIÓN SUPERFICIAL Determinadas por: 𝑭𝒕𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒑𝒆𝒓𝒇𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = 𝝈 𝑳

SIGNIFICADO FÍSICO DE GRUPOS ADIMENSIONALES IMPORTANTES EN MECANICA DE FLUIDOS 1. NÚMERO DE REYNOLDS: Es una relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de fricción. Cuando estos dos tipos de fuerza están presentes el número de Reynolds desempeña un papel importante. Por ejemplo, nos permite clasificar el tipo de flujo entre laminar y turbulento. 𝑹𝒆 ==

𝝆𝑳𝒗 𝝆𝑳𝟐 𝒗𝟐 𝑭. 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍𝒆𝒔 = = 𝝁 𝝁𝑳𝒗 𝑭. 𝒗𝒊𝒔𝒄𝒐𝒔𝒂𝒔

𝑹𝒆 =

𝝆𝑳𝒗 𝝁

2. NÚMERO DE MACH: Relación entre la raíz cuadrada de las fuerzas inerciales y la raíz cuadrada de las fuerzas originadas por la compresibilidad del fluido. Éste se vuelve muy importante en flujos de alta velocidad, donde las variaciones en la densidad debidas a la presión se vuelven importantes. Para Mach mayor que 0,3 los efectos de compresibilidad son importantes. 𝐹. 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝜌𝐿2 𝑣 2 𝑣 2 = = = 𝑀𝑎2 𝐹. 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝜌𝑎2 𝐿2 𝑎2 𝑴𝒂 =

𝒗 𝒂

La velocidad del sonido en el vacío a 20°C es de 343 m/s. 3. NÚMERO DE FROUDE: Relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de gravedad. Si existe una superficie libre, como es el caso de un río, el aspecto de esta superficie al formarse ondas se verá directamente afectado por la fuerza de gravedad, de manera que en este tipo de problemas el número de Froude es importante. 𝐹. 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝜌𝐿2 𝑣 2 𝑣 2 𝐹𝑟 = = = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑠 𝜌𝐿3 𝑔 𝑔𝐿

𝒗𝟐 𝑭𝒓 = 𝒈𝑳

4. NÚMERO DE WEBER: Relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas de tensión superficial. Este número también requiere la presencia de una superficie libre, pero si están involucrados objetos grandes, como botes en un fluido como el agua, este efecto es muy pequeño. 𝐹. 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝜌𝐿2 𝑣 2 𝜌𝑣 2 𝐿 𝑊𝑒 = = = 𝐹. 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝜎𝐿 𝜎 𝑾𝒆 =

𝝆𝒗𝟐 𝑳 𝝈

5. Número de Euler: Relación de las fuerzas de presión y las fuerzas inerciales. Es importante en problemas en que la presión o la diferencia de presión entre dos puntos del fluido es una variable importante. 𝐹. 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑃𝐿2 𝑃 𝐸𝑢 = = 2 2= 2 𝐹. 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝜌𝐿 𝑣 𝜌𝑣 𝑬𝒖 = PARAMETRO Numero de REYNOLDS Numero de MACH Numero de FROUDE Numero de WEBER Numero de EULER Numero de STROUHAL Numero de PRANDTL Numero de BRINKHAM Numero de GRASHOF

DEFINICION 𝜌𝑣𝐿 𝜇 𝑣 𝑀𝑎 = 𝑎 𝑣2 𝐹𝑟 = 𝑔𝐿

𝑅𝑒 =

𝜌𝑣 2 𝐿 𝑊𝑒 = 𝜎 𝑃 𝐸𝑢 = ½𝜌𝑣 2 𝑓𝐿 𝐿/𝑣 𝑆𝑡 = = 𝑣 𝑇 𝜇 𝑐𝑝 𝑃𝑟 = 𝑘 𝜇𝑣 2 𝐵𝑟 = 𝑘𝑇 𝜌 2 𝛽𝑔𝛿𝑇𝐿3 𝐺𝑟 = 𝜇2

𝑷 𝝆𝒗𝟐

RELACION CUALITATIVA DE FEECTOS 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑

IMPORTANCIA Siempre Flujo compresible Flujo con superficie libre

𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠

Flujo con interface L-L, G-L

𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟

La P o la ΔP son importantes Flujo oscilatorio transitorio

𝑑𝑖𝑠𝑖𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟

Transmisión de calor

𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑜𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠

Convección natural

(propiedad del fluido)

(propiedad de flujo)

Transmisión de calor

TEORÍA DE MODELOS En ciertos casos no es posible ensayar experimentalmente el flujo en un determinado prototipo, por su tamaño o por la dificultad de reproducir las condiciones reales de flujo, con lo que se realizan los ensayos con modelos a escala (geométricamente semejantes) en lugar de en un prototipo de tamaño real. La teoría de modelos permite obtener las condiciones de ensayo del modelo a partir de las condiciones de flujo del prototipo y las magnitudes del prototipo a partir de las medidas experimentales del modelo. Existen tres tipos de similitud entre un modelo y un prototipo. SIMILITUD MODELO Y PROTOTIPO Similitud GEOMETRICA dimensiones Similitud CINEMATICA velocidades Similitud DINAMICA fuerzas  La primera condición es la similitud geométrica: El modelo debe tener la misma forma que el prototipo, solo difieren en el tamaño. Las razones entre las longitudes correspondientes deben ser iguales en ambos sistemas.  La segunda condición es la similitud cinemática, las razones entre las velocidades en puntos equivalentes deben ser iguales en ambos sistemas.  La similitud dinámica se logra cuando las razones entre las fuerzas en puntos equivalentes deben ser iguales en el modelo y el prototipo. La similitud geométrica es un requisito para la similitud cinemática. La similitud cinemática es un requisito para la similitud dinámica. La similitud dinámica implica la existencia de similitud geométrica y similitud cinemática. Por lo tanto, como los grupos adimensionales o números π se expresan como una relación entre fuerzas que actúan en el fluido, entonces podemos igualar los números π del modelo a escala con los números pi del prototipo.

𝝅𝒎𝒐𝒅𝒆𝒍𝒐 = 𝝅𝒑𝒓𝒐𝒕𝒐𝒕𝒊𝒑𝒐 En un campo de flujo general, la similitud completa entre un modelo y un prototipo se logra sólo cuando existen similitudes geométrica, cinemática y dinámica.

ADIMENSIONALIZACION DE ECUACIONES El objetivo de adimensionalizar una ecuación diferencial es de obtener grupos adimensionales que gobiernan los flujos que intervienen en dicha ecuación. Aunque en general estas ecuaciones no pueden resolverse, revelan los parámetros adimensionales básicos, dando pistas de cuándo son despreciables los términos donde aparecen. Las condiciones de contorno e iniciales también deben ser adimensionalizadas. Considere un flujo de un fluido newtoniano e incompresible bidimensional. La ecuación de la continuidad es: 𝝏𝒖 𝝏𝒗 + =𝟎 𝝏𝒙 𝝏𝒚 Y las ecuaciones de Navier Stokes: En la dirección x: 𝝆(

𝝏𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒖 𝝏𝒑 𝝏𝟐 𝒖 𝝏𝟐 𝒖 ) ( ) +𝒖 +𝒗 =− +𝝁 + 𝝏𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙𝟐 𝝏𝒚𝟐

En la dirección y: 𝝏𝒗 𝝏𝒗 𝝏𝒗 𝝏𝒑 𝝏𝟐 𝒗 𝝏𝟐 𝒗 𝝆( + 𝒖 +𝒗 ) =− − 𝝆𝒈 + 𝝁 ( 𝟐 + 𝟐 ) 𝝏𝒕 𝝏𝒙 𝝏𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 Las variables del problema son 𝑢, 𝑣, 𝑝, 𝑥, 𝑦 y 𝑡, de modo que se requieren una velocidad de referencia V, una presión de referencia 𝑝0 , una longitud de referencia L y un tiempo de referencia, 𝑡𝑐 . La velocidad V puede ser la velocidad de corriente libre o a la entrada y la longitud L una longitud de un cuerpo inmerso en un fluido o el ancho de un canal por el que circula fluido. Entonces: 𝑢 𝑣 𝑝 𝑢∗ = 𝑣∗ = 𝑝∗ = 𝑉 𝑈 𝑝0 𝑥 𝑦 𝑡 𝑦∗ = 𝑡∗ = 𝐿 𝐿 𝑡𝑐 Despejando 𝑢, 𝑣, 𝑝, 𝑥, 𝑦 y 𝑡 y reemplazando en la ecuación de la continuidad: 𝑥∗ =

𝜕(𝑉𝑢∗ ) 𝜕(𝑉𝑣 ∗ ) + =0 𝜕(𝐿𝑥 ∗ ) 𝜕(𝐿𝑦 ∗ ) 𝑉 𝜕𝑢∗ 𝜕𝑣 ∗ ( )=0 + 𝐿 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑦 ∗

𝝏𝒖∗ 𝝏𝒗∗ + =𝟎 𝝏𝒙∗ 𝝏𝒚∗ “La ecuación de la continuidad no tiene números controlantes”. Ahora analicemos la dirección “x” de la ecuación de la cantidad de movimiento. 𝑉𝜕𝑢∗ 𝜕(𝑉𝑢∗ ) 𝜕(𝑉𝑢∗ ) 𝜕(𝑝0 𝑝∗ ) 𝜕 2 (𝑉𝑢∗ ) 𝜕 2 (𝑉𝑢∗ ) ∗ ∗ )=− ) 𝜌( + 𝑉𝑢 + 𝑉𝑣 +𝜇( + 𝑡𝑐 𝜕(𝑡 ∗ ) 𝜕(𝐿𝑥 ∗ ) 𝜕(𝐿𝑦 ∗ ) 𝜕(𝐿𝑥 ∗ ) 𝜕(𝐿𝑥 ∗ )2 𝜕(𝐿𝑦 ∗ )2 𝑉 𝜕𝑢∗ 𝑉 2 ∗ 𝜕𝑢∗ 𝑉 2 ∗ 𝜕𝑢∗ 𝑝0 𝜕𝑝∗ 𝑉𝜇 𝜕 2 𝑢∗ 𝜕 2 𝑢∗ )=− 𝜌( + 𝑢 + 𝑣 + 2 ( ∗2 + ∗2) 𝑡𝑐 𝜕𝑡 ∗ 𝐿 𝜕𝑥 ∗ 𝐿 𝜕𝑦 ∗ 𝐿 𝜕𝑥 ∗ 𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜌𝑉 𝜕𝑢∗ 𝜌𝑉 2 ∗ 𝜕𝑢∗ 𝜌𝑉 2 ∗ 𝜕𝑢∗ 𝑝0 𝜕𝑝∗ 𝑉𝜇 𝜕 2 𝑢∗ 𝜕 2 𝑢∗ + 𝑢 + 𝑣 =− + 2 ( ∗2 + ∗2) 𝑡𝑐 𝜕𝑡 ∗ 𝐿 𝜕𝑥 ∗ 𝐿 𝜕𝑦 ∗ 𝐿 𝜕𝑥 ∗ 𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Dividiendo la ecuación por

𝜌𝑉 2 𝐿

nos queda:

𝑳 𝝏𝒖∗ 𝝏𝒖∗ 𝝏𝒖∗ 𝒑𝟎 𝝏𝒑∗ 𝝁 𝝏𝟐 𝒖∗ 𝝏𝟐 𝒖∗ ∗ ∗ ( ) +𝒖 +𝒗 =− 𝟐 ∗+ + 𝒕𝒄 𝑽 𝝏𝒕∗ 𝝏𝒙∗ 𝝏𝒚∗ 𝝆𝑽 𝝏𝒙 𝝆𝑽𝑳 𝝏𝒙∗ 𝟐 𝝏𝒚∗ 𝟐

La dirección “y” de la ecuación de la cantidad de movimiento nos queda: 𝐿 𝜕𝑣 ∗ 𝜕𝑣 ∗ 𝜕𝑣 ∗ 𝑝0 𝜕𝑝∗ 𝑔𝐿 𝜇 𝜕2𝑣∗ 𝜕2𝑣∗ ∗ ∗ ( ) +𝑢 +𝑣 =− 2 ∗− 2+ + 𝑡𝑐 𝑉 𝜕𝑡 ∗ 𝜕𝑥 ∗ 𝜕𝑦 ∗ 𝜌𝑉 𝜕𝑦 𝑉 𝜌𝑉𝐿 𝜕𝑥 ∗ 2 𝜕𝑦 ∗ 2 𝐿 𝑝0 𝑉2 𝜌𝑉𝐿 𝑆𝑡 = ∴ 𝐸𝑢 = ∴ 𝐹𝑟 = ∴ 𝑅𝑒 = 𝑡𝑐 𝑉 𝜌𝑉 2 𝑔𝐿 𝜇 El primer número es el de STROUHAL y es importante en flujos oscilatorios, por lo tanto, si el régimen es estable este número desaparecería tomando como tiempo 𝐿 característico a 𝑡𝑐 = 𝑉 . El número de EULER es importante si estamos frente a la cavitación , caso contrario la presión característica se toma 𝑝0 = 𝜌𝑉 2 y el número de Euler desaparece. El número de FROUDE es importante en problemas en los que hay superficie libre. Ahora si no hay superficie libre el efecto de la gravedad se puede eliminar definiendo una nueva presión, 𝑝, = 𝑝 − 𝜌𝑔𝑦 y con este cambio el número de froude no aparece. En base a este análisis podemos concluir que, para flujo estable de un fluido incompresible sin superficie libre, para sistemas geométricamente semejantes, las semejanzas dinámica y cinemáticas se logran si existe semejanza en el número de REYNOLDS.