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Abril de 2011 Primer examen ´ Calculo I

Universidad Industrial de Santander

Grupo

´ Prof. Doris Gonzalez

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1.

´ ´ ´ ´ de la longitud de uno de los lados. a) Exprese el area de un triangulo equilatero como funcion √ ´ H (x) = sec4 ( x) como la composicion ´ de tres funciones f ◦ g ◦ h. b) Exprese la funcion

2.

´ ´ f (x). a) En la figura se proporciona la grafica de la funcion ´ ´ f (x) para dibujar la grafica ´ 1) Utilice la grafica de la funcion de f −1 (x). ´ ´ f (x) para dibujar la grafica ´ 2) Utilice la grafica de la funcion de y = − 21 f (x) + 3.

´ ´ ´ b) ¿Como se relaciona la grafica de y = f (|x|) con la grafica de f (x)? Utilice este hecho para graficar y = sen |x| . ´ debe contestar dos de los items. 3. Recuerde que en este punto solo ´ ´ y usela a) Trace la grafica de la siguiente funcion ´ para determinar los valores de a para los cuales NO existe l´ım f (x) si: x→a

f (x) =

(

2−x x (x − 1)2

si x < −1, si −1 ≤ x < 1, si x ≥ 1.

´ ´ f que cumpla con la siguiente condiciones: b) Trace la grafica de un ejemplo de una funcion dom { f } = [−4, 5], l´ım+ f (x) = 4, l´ım− f (x) = 2, l´ım f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) = 1.

x→3

c) Evalue ´ el l´ımite, si existe.

x→3

1 l´ım h→0 h



x→−2

 1 √ −1 . 1+h

´ de bacterias se duplica cada hora. Supon4. Se sabe que en condiciones ideales cierta poblacion ga que al principio hay 500 bacterias. ´ para la poblacion ´ de bacterias despues ´ de t horas. a) Establezca una expresion ´ ´ alcanzara´ 80000 bacterias? b) ¿Cuando la poblacion

´ del primer examen de Calculo ´ Solucion I PS2011 — UIS-Bucaramanga 1.

´ ´ ´ ´ de la longitud de uno de los lados. a) Exprese el area de un triangulo equilatero como funcion Denote el lado con una variable, por ejemplo x. ´ ´ Ahora, el area de un triangulo se calcula como (base) × (altura) x·h = . 2 2 ´ Por el teorema de Pitagoras se tiene que  x 2 x2 = h2 + 2  x 2 2 x − = h2 2 3 2 =⇒ x = h2 4√ 3 =⇒ x=h 2 ´ se considera la solucion ´ positiva). (dado que x es una distancia, solo Reemplazando el valor de h, se tiene que √ √ x · 23 x 3 2 A (x) = = x. 2 4 √ ´ de tres funciones f ◦ g ◦ h. ´ H (x) = sec4 ( x) como la composicion b) Exprese la funcion Observe que √
√

4 H (x) = sec4 x = sec x . √ ´ h (x) = x. Por tanto, se ve que la funcion √ ´ g (h (x)) = sec ( x) =, es decir, g (x) = sec x. La funcion √ 4 ´ f (g (h (x))) = (g (h (x)))4 = (sec ( x)) , es decir, f (x) = x4 . La funcion A=

2.

´ ´ f (x). a) En la figura se proporciona la grafica de la funcion ´ ´ f (x) para dibujar la grafica ´ 1) Utilice la grafica de la funcion de f −1 (x). −1 ´ ´ f (x) se puede dibujar haciendo que los puntos (a, b) de la La grafica de la funcion ´ grafica y = f (x), se reflejen con respecto a la recta y = x, quedando convertidos en ´ ´ los puntos de la forma (b, a), como se muestra a continuacion. ´ ´ f (x) para dibujar la grafica ´ 2) Utilice la grafica de la funcion de y = − 12 f (x) + 3. ´ ´ que se solicita, se obtiene siguiendo los siguiente pasos: La grafica de la funcion * 21 f (x) reduce todas las coordenadas en y a la midad; ´ * − 12 f (x) hace que la grafica obtenida se refleje con respecto al eje x; 1 ´ que tenemos hasta el momento se traslade 3 unidades * − 2 f (x)+3 hace que la grafica hacia arriba. ´ ´ ´ b) ¿Como se relaciona la grafica de y = f (|x|) con la grafica de f (x)? Utilice este hecho para graficar y = sen |x| . n x, x ≥ 0, Dado que |x| = −x, x < 0 , entonces  f (x) , x ≥ 0, y = f (|x|) = f (−x) , x < 0.

Por tanto, y = f (|x|), refleja la grafica de y = f (x) , x ≥ 0 con respecto al eje y. (Observe ´ valor absolutos es que la funcion ´ resultante es que el efecto de componer con la funcion par). Por ejemplo:  n sen (x) , x ≥ 0 sen x, x ≥ 0, ´ y = sen |x| = En consecuencia, para el caso de la funcion = − sen x, x < 0 sen (−x) , x < 0 ´ Ver grafica.

´ debe contestar dos de los items. 3. Recuerde que en este punto solo ´ ´ y usela a) Trace la grafica de la siguiente funcion ´ para determinar los valores de a para los cuales NO existe l´ım f (x) si: x→a

f (x) =

(

2−x x (x − 1)2

si x < −1, si −1 ≤ x < 1, si x ≥ 1.

f (−3) = 2 − (−3) = 5; l´ımx→−1− f (x) = 2 − (−1) = 3; 2 f (−1) = −1; l´ımx→1− f (x) = 1; f (1) = (1 − 1)2 = 0. ´ La grafica quedar´ıa: * para x < −1 como la semirecta que tiene pendiente −1 y se acerca por izquierda al punto (−3, 5) * para −1 ≤ x < 1 es el segmento de recta con pendiente 1, inicia en el punto (−1, −1) y se acerca por izquierda al punto (1, 1). * para x ≥ 1 es el parte derecha de la parabola (x − 1)2 . ´ ´ f que cumpla con la siguiente condiciones: b) Trace la grafica de un ejemplo de una funcion dom { f } = [−4, 5], l´ım+ f (x) = 4, l´ım− f (x) = 2, l´ım f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) = x→3

x→−2

x→3

1. ´ Hay var´ıas opciones para una grafica con estas caracter´ısticas, por ejemplo:   1 1 √ c) Evalue ´ el l´ımite, si existe. l´ım −1 . h→0 h 1+h √     1 1 1− 1+h 1 √ √ −1 = l´ım l´ım h→0 h h→0 h 1+h 1+h √ √ 1− 1+h 1+ 1+h 0 √ = l´ım √ · (dado que tiene la forma ) h→0 h 1 + h 0 1+ 1+h 1 − (1 + h) √
= l´ım √ h→0 h 1 + h 1 + 1+h −h √
= l´ım √ h→0 h 1 + h 1 + 1+h −1 −1 −1
= √ √
=√ = l´ım √ . h→0 2 1+0 1+ 1+0 1+h 1+ 1+h

´ de bacterias se duplica cada hora. Supon4. Se sabe que en condiciones ideales cierta poblacion ga que al principio hay 500 bacterias. ´ para la poblacion ´ de bacterias despues ´ de t horas. a) Establezca una expresion ´ ´ alcanzara´ 80000 bacterias? b) ¿Cuando la poblacion Observe que P P P P P

(0) (1) (2) (3) (4)

= = = = =

500 500 · 2 = 1000 500 · 22 = 2000 500 · 23 = 4000 500 · 24 = 8000

´ para la poblacion ´ en cualquier tiempo t es En general, se tiene que una expresion P (t) = 500 · 2t . Ahora, para encontra el tiempo necesario para alcanzar 80000 debemos resolver la sigu´ iente ecuacion 80000 80000 ln 160 80000 = 500 · 2t =⇒ 2t = =⇒ 2t = = 160 =⇒ t = log2 160 = ≈ 7,3219 500 500 ln 2

´ se 80000, es de aproximadamente ´ Es decir que el tiempo necesario para que la poblacion 7. 321 9 horas.

Abril de 2011 Primer examen ´ Calculo I

Universidad Industrial de Santander

Grupo

´ Prof. Doris Gonzalez

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Encuentre el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: a) f (x) = b) g (x) =

x2 + 1 . 3x + 2 √

25 − x2 .

c) h (x) = ln (2x − 3) .  si − 3 < x ≤ 2,  5, cos x, si 3 < x < 5, d) F (x) =  2x + 1, si 7 < x ≤ 12.

2. En la teor´ıa de la relatividad, la masa de una part´ıcula con rapidez v es m = f (v) = r

m0 1−

v2 c2

donde m0 es la masa en reposo de la part´ıcula y c es a rapidez de la luz en el vac´ıo. Encuentre ´ inversa de f y explique su significado. la funcion ˜ cada media hora. 3. Un cultivo de bacterias inicia con 500 bacterias y duplica su tamano a) b) c) d)

´ ´ de 3 horas? ¿Cuantas bacterias existen despues ´ ´ de t horas? ¿Cuantas bacterias existen despues ´ ´ de 40 minutos? ¿Cuantas bacterias existen despues ´ alcance 100000 bacterias. Estime el tiempo para que la poblacion

´ es verdadera o falsa. Si es verdadera, expl´ıque por que. ´ Si es falsa, 4. Determine si la proposicion ´ expl´ıque por que´ o de´ un ejemplo que refute la proposicion. ´ entonces f (s + t) = f (s) + f (t) . a) Si f es una funcion, b) Si f y g son funciones, entonces (g ◦ f ) (x) = (f ◦ g) (x) . sen−1 x c) tan−1 x = . cos−1 x 1 ´ uno a uno, entonces f −1 (x) = d) Si f es una funcion . f (x) ´ par. e) f (x) = x3 − x7 es una funcion

Septiembre de 2011 Supletorio 1er examen ´ Calculo I

Universidad Industrial de Santander

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1.

a) Encuentre el dominio de las siguientes funciones: (i)

x2 + 1 . f (x) = 3x + 2

b) Evalue ´ el l´ımite, si existe.   1 1 (i) l´ım + x→1 x − 1 x2 − 3x + 2

√

25 − x2 . ln (2x − 3)

(ii)

g (x) =

(ii)

(3 + h)−1 − 3−1 h→0 h l´ım

2. En la teor´ıa de la relatividad, la masa de una part´ıcula con rapidez v es m = f (v) = r

m0 1−

v2 c2

donde m0 es la masa en reposo de la part´ıcula y c es a rapidez de la luz en el vac´ıo. Encuentre ´ inversa de f , evalue ´ inversa y del la funcion ´ l´ım f −1 (m) y explique el significado de la funcion m→m+ 0

l´ımite encontrado. ˜ cada tres horas. 3. Un cultivo de bacterias inicia con 1000 bacterias y duplica su tamano ´ ´ de t horas? a) ¿Cuantas bacterias existen despues ´ alcance 100000 bacterias. b) Estime el tiempo para que la poblacion ´ es verdadera o falsa. Si es verdadera, expl´ıque por que. ´ Si es falsa, 4. Determine si la proposicion ´ expl´ıque por que´ o de´ un ejemplo que refute la proposicion. ´ creciente, entonces f (s + t) = f (s) + f (t) . a) Si f es una funcion b) Si f y g son funciones, entonces (g ◦ f ) (x) = (f ◦ g) (x) . sen−1 x c) tan−1 x = . cos−1 x ´ uno a uno, entonces f −1 (x + h) = f −1 (x) − h. d) Si f es una funcion x3 − x7 ´ impar. e) f (x) = 2 es una funcion x +1

´ Calculo I Taller: Continuidad y Derivadas

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Mayo 20 de 2011

´ o una fuerza amortiguadora 1. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de friccion ´ (como un amortiguador en un automovil) se modela a menudo mediante el producto de una ´ exponencial y una funcion ´ seno o coseno. Suponga que la ecuacion ´ del movimiento de funcion un punto sobre tal resorte es s (t) = 2e−1,5t sen 2πt donde s se mide en cent´ımetros y t en segundos ´ que transcurren t segundos. a) Halle la velocidad despues ´ ´ inicial y la velocidad inicial de dicho punto del resorte? b) ¿Cuales son la posicion 2.

´ ´ f . Enuncie, con razones, los numeros a) En la Figura A se muestra la grafica de la funcion ´ en que f no es diferenciable. ´ b) Considere la funcion  2 x −1   , x < 0, x 6= −1,    x+1 −2, x = −1, f (x) =      sen x , x ≥ 0. x ´ f (x) cuando x = 0 y x = −1. Analice la continuidad de la funcion y

x

Figura A. 3.

4.

Figura B.

  x2 a) Determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva y = ln xe , en el punto (1, 1). ´ ´ y = ax2 +by+c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente b) Hallar una parabola con ecuacion ´ del punto (2, 15) . −8 en x = −1 y pasa a traves ´ x2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos a) La ecuacion ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. p ´ y = cos 1 + sen (arctan πx). b) Halle la derivada de la funcion

Primer examen ´ Calculo I Marzo 18 de 2011

Universidad Industrial de Santander

Grupo S

Sede Socorro ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Un barco se mueve con una rapidez de 30 Km/h paralelo al borde recto de la playa. El barco esta´ a 6 Km de la playa y pasa frente a un faro al medio d´ıa. ´ de d, la distancia que el a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una funcion barco recorre desde el medio d´ıa; es decir, hallar f de modo que s = f (d). ´ de t, el tiempo transcurrido desde el medio d´ıa; es decir, b) Exprese a d como una funcion hallar g de tal manera que d = g(t). ´ c) Hallar f ◦ g. ¿Que´ representa esta funcion?

2. Resuelva para x

b) e2x+3 − 7 = 0.

a) 2 ln(x) = 1. 3.

´ a) Determine el dominio y el recorrido de la funcion g(x) = sen−1 (3x + 1). ´ ´ b) Encuentre una formula para la inversa de la funcion f (x) =

4x − 1 . 2x + 3

´ c) Determine las as´ıntotas verticales de la funcion y=

x . 3x − 2x2

4. Evalue ´ cada uno de los siguientes l´ımites, s´ı existen. 2 − |x| . x→−2 2 + x

a) l´ım

(3 + h)−1 − 3−1 h→0 h

b) l´ım

´ ˜ Calvete, Manuel Gomez ´ ˜ Gilberto Arenas D´ıaz Profesores: Sandra C. Florez Rodr´ıguez, Adriana A. Albarrac´ın Mantilla, Alvaro Patino Carreno,

Segundo examen ´ Calculo I Mayo 4 de 2011

Universidad Industrial de Santander

Grupo S

Sede Socorro ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre:

Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

´ o una fuerza amortiguadora 1. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de friccion ´ (como un amortiguador en un automovil) se modela a menudo mediante el producto de una ´ exponencial y una funcion ´ seno o coseno. Suponga que la ecuacion ´ del movimiento de funcion un punto sobre tal resorte es s (t) = 2e−1,5t sen 2πt donde s se mide en cent´ımetros y t en segundos ´ que transcurren t segundos. a) Halle la velocidad despues ´ ´ inicial y la velocidad inicial de dicho punto del resorte? b) ¿Cuales son la posicion 2.

´ ´ f . Enuncie, con razones, los numeros a) En la Figura A se muestra la grafica de la funcion ´ en que f no es diferenciable. ´ b) Considere la funcion  2 x −1   , x < 0, x 6= −1,    x+1 −2, x = −1, f (x) =      sen x , x ≥ 0. x ´ f (x) cuando x = 0 y x = −1. Analice la continuidad de la funcion y

x

Figura B.   2 ´ de la tangente a la curva y = ln xex , en el punto (1, 1). a) Determine una ecuacion Figura A.

3.

´ x2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos b) La ecuacion ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. 4.

´ ´ y = ax2 +by+c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente a) Hallar una parabola con ecuacion ´ del punto (2, 15) . −8 en x = −1 y pasa a traves p ´ y = cos sen (tan πx). b) Halle la derivada de la funcion

´ ˜ Calvete, Manuel Gomez ´ ˜ Gilberto Arenas D´ıaz Profesores: Sandra C. Florez Rodr´ıguez, Adriana A. Albarrac´ın Mantilla, Alvaro Patino Carreno,

´ del segundo examen de Calculo ´ Solucion I — Sede Socorro ´ o una fuerza amortiguadora 1. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de friccion ´ (como un amortiguador en un automovil) se modela a menudo mediante el producto de una ´ exponencial y una funcion ´ seno o coseno. Suponga que la ecuacion ´ del movimiento de funcion un punto sobre tal resorte es s (t) = 2e−1,5t sen 2πt donde s se mide en cent´ımetros y t en segundos ´ que transcurren t segundos. a) Halle la velocidad despues ´ ´ inicial y la velocidad inicial de dicho punto del resorte? b) ¿Cuales son la posicion ´ Solucion.
ds d = 2e−1,5t sen 2πt dt dt = 2 (−1,5) e−1,5t sen 2πt + 2 (2π) e−1,5t cos 2πt = −3e−1,5t sen 2πt + 4πe−1,5t cos 2πt

v (t) =

´ inicial: Posicion Velocidad inicial:

s (0) = 2e−1,5(0) sen [2π (0)] = 2 ∗ 1 ∗ 0 = 0. v (0) = −3e−1,5(0) sen [2π (0)] + 4πe−1,5(0) cos [2π (0)] = −3 ∗ 1 ∗ 0 + 4π ∗ 1 ∗ 1 = 4π.

2.

´ ´ f . Enuncie, con razones, los numeros a) En la Figura A se muestra la grafica de la funcion ´ en que f no es diferenciable. ´ Solucion. ´ en dicho valor es discontinua. x = −4: no es diferenciable dado que la funcion x = −1: no es diferenciable dado que la derivada por derecha es distinta a la derivada por izquierda (en el punto (−1, f (−1)) hay un pico). x = 2: no es diferenciable dado que en dicho valor hay una discontinuidad al infinito. x = 5: no es diferenciable dado que en el punto (5, f (5)) hay una pendiente vertical. ´ b) Considere la funcion  2 x −1   , x < 0, x 6= −1,    x+1 −2, x = −1, f (x) =      sen x , x ≥ 0. x ´ f (x) cuando x = 0 y x = −1. Analice la continuidad de la funcion ´ Solucion. x2 − 1 (x − 1) (x + 1) l´ım f (x) = l´ım = l´ım = l´ım (x − 1) = −2 = f (−1) ; luego la x→−1 x→−1 x + 1 x→−1 x→−1 x+1 ´ f (x) es continua en x = −1. funcion sen x x2 − 1 l´ım+ f (x) = l´ım+ = 1 y l´ım− f (x) = l´ım− = −1; por tanto el l´ım f (x) no x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x + 1 x existe y en consecuencia f (x) no es continua en x = 0.

3.

  2 ´ de la tangente a la curva y = ln xex , en el punto (1, 1). a) Determine una ecuacion ´ Solucion. La derivada se obtiene como sigue:

 2  ex2 + 2x2 ex2 1  dy 1 + 2x2 x2 = x2 (1) e + x ex 2x = = . 2 dx x xe xex

La pendiente de la recta tangente es: 1 + 2x2 1 + 2 (1)2 dy = = = 3. dx (1,1) x (1,1) (1) ´ de la recta tangente es: La ecuacion

y − 1 = 3 (x − 1)

=⇒

y = 3x − 2.

´ x2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos b) La ecuacion ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. ´ Solucion. Para encontrar los puntos debemos hacer que√y = 0, implicando que x2 − x (0) + (0)2 = 3, √ entonces x2 = √3, y
por tanto √ x=
3 o´ x = − 3. Luego los puntos donde la elipse cruza el eje x son 3, 0 y − 3, 0 . Por otra parte, derivando impl´ıcitamente tenemos que   dy dy dy y − 2x dy 2x − y + x + 2y = 0 =⇒ (2x − y) + (2y − x) = 0 =⇒ = . dx dx dx dx 2y − x Luego la pendiente en cada punto es: √
√
(0) − 2 3 −2 3 dy y − 2x √ = √ = = =2 dx (√3,0) 2y − x (√3,0) 2 (0) − 3 − 3 y

√
√
(0) − 2 − 3 2 3 dy y − 2x √
= √ = = = 2. dx (−√3,0) 2y − x (−√3,0) 2 (0) − − 3 3

Por tanto la pendiente de las rectas tangentes en los dos casos es 2, y en consecuencia son paralelas. 4.

´ ´ y = ax2 +by+c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente a) Hallar una parabola con ecuacion ´ del punto (2, 15) . −8 en x = −1 y pasa a traves ´ Solucion. ´ La derivada de la parabola es y ′ = 2ax + b. Ahora: y ′ (1) = 4 = 2a (1) + b =⇒ 2a + b = 4. y ′ (−1) = −8 = 2a (−1) + b =⇒ −2a + b = −8. y (2) = 15 = a (2)2 + b (2) + c =⇒ 4a + 2b + c = 15.

En consecuencia se debe resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales ( 2a + b = 4 (1) −2a + b = −8 (2) 4a + 2b + c = 15 (3) ´ (3) es equivalente a 2 (2a + b) + c = 15, pero de la (1) se obtiene Observe que la ecuacion que 2 (4) + c = 15, y en consecuencia c = 15 − 8 = 7.  2a + b = 4 (1) =⇒ 2b = −4 =⇒ b = −2. −2a + b = −8 (2) Reemplazando en (1) se obtiene que 2a + (−2) = 4 ´ de la parabola ´ Por tanto la ecuacion es

=⇒

2a = 6

=⇒

a = 3.

y = 3x2 − 2x + 7. p ´ y = cos sen (tan πx). b) Halle la derivada de la funcion ´ Solucion. p dy 1 = − sen sen (tan πx) · p · cos (tan πx) · sec2 (πx) · π dx 2 sen (tan πx) p π · sen sen (tan πx) · cos (tan πx) · sec2 πx p = − . 2 sen (tan πx)

Universidad Industrial de Santander

Taller ´ Calculo I Agosto de 2011

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre:

´ parte al medio d´ıa en direccion ´ Norte con una velocidad de 1. Una embarcacion ´ tarde una segunda nave sale del mismo sitio en di30 km/hr. Una hora mas ´ Este con rapidez de 40 km/hr. ¿Con que´ rapidez se separan a la 1:30 reccion pm? 2. Evaluar los siguientes l´ımites: cos(ax) − cos(bx) x→0 x2

a) l´ım

b) l´ım+ (tan(2x))x x→0

3. Encuentre los intervalos sobre los cuales f (x) = 2x3 + 3x2 − 36x es: a) b) c) d)

creciente, decreciente, ´ concava hacia abajo, ´ concava hacia arriba.

4. Si se cuenta con 12000cm2 de material para hacer una caja con base cuadrada ´ y la parte superior abierta, encuentre el volumen maximo posible de la caja. 5. Un modelo aplicado para el rendimiento R de un cultivo agr´ıcola como una ´ del nivel de nitrogeno ´ funcion N en el suelo (que se mide en las unidades apropiadas) es α2 N R= , 1 + N + N2 ´ donde α es una constante. ¿Que´ nivel de nitrogeno proporciona el mejor rendimien´ to? ¿Que´ pasa con el rendimiento cuando el nivel de nitrogeno es muy grande? ´ de crecimiento se obtiene cuando N = 1/2? ¿Es cierto que la mayor razon

´ Calculo I Taller: L´ımite, Continuidad ´ y Reglas de derivacion

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Junio de 2011

´ ´ f (x) responda justificando claramente su afirmacion. ´ 1. De acuerdo con la grafica de la funcion l´ım f (x), a) l´ım f (x), x→−3

l´ım f (x),

x→2

4

x→0−

l´ım f (x).

y = f (x)

3

x→4

´ b) Indique los puntos donde la funcion es discontinua y que clase de discontinuidad presenta.

2

c) Escriba las ecuaciones de las as´ıntotas verticales y horizontales (si las hay).

−6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

d ) ¿Se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo [−4, −3]?

−3

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

−2

−4

´ ´ f (x) responda justificando claramente su afirmacion. ´ 2. De acuerdo con la grafica de la funcion y = f (x) 4 a) l´ım f (x), l´ım f (x), l´ım f (x). x→−2

x→2

x→3

3

´ es b) Indique los puntos donde la funcion discontinua y que clase de discontinuidad presenta.

2 1

c) Escriba las ecuaciones de las as´ıntotas verticales y horizontales (si las hay).

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

d ) ¿Se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo [−2, 2]?

2

3

4

5

−2 −3

´ ´ f (x) responda justificando claramente su afirmacion. ´ 3. De acuerdo con la grafica de la funcion a) l´ım f (x), x→−2

l´ım f (x),

x→0

l´ım f (x).

y

y = f (x)

x→2

3

´ es b) Indique los puntos donde la funcion discontinua.

2

´ tiene c) En que punto o puntos la funcion discontinuidad removible. d ) Escriba las ecuaciones de las as´ıntotas verticales y horizontales (si las hay). e) Se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo [1, 2].

1

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

• 1

2

3

4

5

6

7

8

x

−1 −2 −3

4. Para cada una de las siguientes funciones, determine el valor o los valores de la constante k, que hacen ´ sea continua en para el valor de x dado. que la funcion  kx2 + 2x, x ≤ 1 a) g (x) = x = 1. 8x − k2 , x > 1  (kx)2 − kx + 1, x < 1 b) g (x) = x = 1. 3x − 2, x≥1  k cos x, x < 1 c) g (x) = x2 − k, 1 ≤ x < 2 x = 1 y x = 2.  5 − kx, x ≥ 2

5. Evalue ´ los siguientes l´ımites: a)

1−x . |1 − x| sec 2θ tan 2θ h) l´ım . θ→0 θ x25 + x . i) l´ım 10 x→−∞ x (2x15 + π)

x2 + 3x − 10 . x+5 x→2+ 2θ e) l´ım . θ→0 θ − sen θ x+1 . f ) l´ım 2 x→1 x − x − 2

|x| . x→−∞ |x| + 1 l´ım

g) l´ım

d ) l´ım

sen(2θ) . θ→0 θ + sen θ x2 + 2x − 3 . c) l´ım 2 x→1 x − 3x + 2

b) l´ım

x→1+

f (x + h) − f (x) , para cada una de la siguientes funciones h→0 h a) f (x) = sen x. b) f (x) = cos x. c) f (x) = 3x2 + 2x + 1.

6. Determine l´ım

´ en [−1, 1]. 7. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x5 + x = 1 tiene una solucion ´ dada es falsa o verdadera. Si es verdadera, explique por que. ´ Si es falso, 8. Determine si la afirmacion explique por que´ o de un contraejemplo de lo establecido. a) Si f (1) = −1 y f (2) > 0, entonces existe un numero ´ c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0. b) Si f (x) es continua en 3 y f (3) = 4 y f (4) = 2 entonces l´ım 2f (2x − 6) = 4. x→5

´ discontinua c) Si f (x) y g (x) son dos funciones discontinuas en x = a, entonces f (x)·g (x) es tambien en x = a. d ) Si l´ım f (x) = 0 y l´ım g (x) = 0, entonces l´ım [f (x) · g (x)] es cero. x→a

x→a

x→a

e) Si l´ım f (x) = 0 y l´ım g (x) = 0, entonces l´ım [f (x)/g (x)] no existe. x→a

x→a

x→a

x+1 ´ de la derivada. , encuentre f ′ (x) utilizando la definicion x−1 √ ´ de derivada encuentre f ′ (x), siendo f (x) = 2x + 1 b) Utilizando la definicion   dy 10. Halle la derivada de las siguientes ecuaciones dx d ) x3 − x2 y + xy 2 − y 3 = 6, a) y = 2arctan(sen x) , r √  b) y = 1 + sen 3x , e) y = cot(sec 7x)). r i2/3 h x −3/2 , c) y = . f ) y = 1 + (2 + 3x) 2 x +1 9.

11.

a) Si f (x) =

a) Si f (x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′ (2) = −1 y g(−1) = 7, determine f ′ (−1). dy b) Si y = (1 + u3 )2 y u = (1 − x2 )1/2 , calcule . dx

12. Sea g(x) =

(

−1 − 2x si x < −1 x2 si −1 ≤ x < 1 x si x≥1

´ g es diferenciable. Proporcione una formula ´ determine en que puntos del dominio la funcion para g′ y ′ ´ trace las graficas de g y g . ´ de la recta tangente a la curva x = sen 2y en el punto (1, π/4). 13. Halle una ecuacion dy ´ escriba una ecuacion ´ para la recta tangente a la grafica ´ ´ , despues de la ecuacion dx 3 5 2 xy − x y = 4 en el punto (1, 2).
2 ´ x2 + y 2 = x2 − y 2 representa una lemniscata. Determine los puntos de la lemniscata 15. La ecuacion donde la tangente es horizontal y los puntos donde la tangente es vertical.

14. Encuentre

Universidad Industrial de Santander

Examen Opcional ´ Calculo I Junio 10 de 2011

Grupo S

Sede Socorro ´ Escuela de Matematicas

Nombre:

´ Codigo:

Instrucciones: ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. a) Determine l´ım g (x), si para todo x > 1/9 se cumple que x→∞ √ x 7e − 21x 7 x < g (x) < √ . 3ex 9x − 1 x (x − 1) (1 − ex ) . b) Evaluar el siguiente l´ımite l´ım x→0 cos x sen2 x ´ ´ 2. a) Encuentre todos los puntos en [0, 2π], en la grafica de la funcion 2 f (x) = 2 sen x + sen x en los cuales la recta tangente es horizontal. ¿Existen puntos donde la recta tangente sea vertical? q b) Si h(x) = 4+3 [f (x)]2, donde f (1) = 4 y f ′ (1) = 7, hallar h′(1).

´ ´ que cumpla las condiciones dadas. 3. Trace la grafica de una funcion f (2) = 2, f ′ (−2) = 3, f ′ (x) > 0 si |x| < 2, f ′ (x) < 0 si |x| > 2, l´ım |f (x)| = ∞ y f ′′ (x) > 0 para todo x 6= 2. x→2

4. Un modelo aplicado para el rendimiento R de un cultivo agr´ıcola ´ del nivel de nitrogeno ´ como una funcion N en el suelo (que se mide en las unidades apropiadas) es α2 N R= , 1 + N + N2 ´ donde α es una constante. ¿Que´ nivel de nitrogeno proporciona el mejor rendimiento? ¿Que´ pasa con el rendimiento cuando el nivel ´ ´ de de nitrogeno es muy grande? ¿Es cierto que la mayor razon crecimiento se obtiene cuando N = 1/2? ´ ˜ Calvete, Manuel Gomez ´ ˜ Gilberto Arenas D´ıaz Profesores: Sandra C. Florez Rodr´ıguez, Adriana A. Albarrac´ın Mantilla, Alvaro Patino Carreno,

Segundo examen ´ Calculo I 29 de julio de 2011

Universidad Industrial de Santander

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre:

Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. Resuelva cuatro de los siguientes cinco puntos, uno en cada p´ agina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

´ 1. Considere la funcion g (x) = a) Evalue ´ cada l´ımite, si existe. (i) l´ım+ g(x). x→0

(iv) l´ım+ g(x). x→2

    

√

4 − x2

(x − 4)

(ii) l´ım− g(x). x→0

(v) l´ım− g(x). x→2

−x

2

si

x < 0,

si

0 ≤ x < 2,

si

x > 2.

(iii) l´ım g(x). x→0

(vi) l´ım g(x). x→2

´ b) ¿Donde es discontinua g? ´ c) Trace la grafica de g. ´ o una fuerza amortiguadora 2. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de friccion ´ (como un amortiguador en un automovil) se modela a menudo mediante el producto de una ´ exponencial y una funcion ´ seno o coseno. Suponga que la ecuacion ´ del movimiento de funcion un punto sobre tal resorte es s (t) = 3e−t/2 cos(πt), donde s se mide en cent´ımetros y t en segundos. ´ ´ y la velocidad de dicho punto del resorte pasados cinco segundos? ¿Cuales son la posicion y 2 2 ´ x + xy + y = 5 representa una “elipse 3. La ecuacion girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a ´ los ejes de coordenadas, como se muestra en la grafica. Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y x demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. 4.

5.

q

4 + 3 [f (x)]4 , donde f (1) = 2 y f ′ (1) = 3, hallar h′ (1).   2 ´ f (x) = xcos x sen x. b) Halle la derivada de la funcion a) Si h (x) =

´ ln x = 3 − 2x tiene cuando menos una ra´ız real. a) (i) Pruebe que la ecuacion ´ (ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que contenga una ra´ız de dicha ecuacion. x ´ para la tangente a la curva y = e que pasa a traves ´ del origen. b) Encuentre una ecuacion

Soluci´ on del segundo examen de C´ alculo I ´ 1. Considere la funcion g (x) =

    

√

−x

4 − x2

si

x < 0,

si

0 ≤ x < 2,

(x − 4)2 si

x > 2.

a) Evalue ´ cada l´ımite, si existe. ´ Solucion. (i) l´ım+ g(x) = l´ım+ 4 − x2 = 4 − (0)2 = 4. x→0 x→0 √ √ (ii) l´ım− g(x) = l´ım− −x = −0 = 0. x→0

x→0

(iii) l´ım g(x) no existes porque los l´ımites laterales son distintos. x→0

(iv) l´ım+ g(x) = l´ım+ (x − 4)2 = (2 − 4)2 = 4. x→2

x→2

(v) l´ım− g(x) = l´ım− 4 − x2 = l´ım− 4 − (2)2 = 0. x→2

x→2

x→2

(vi) l´ım g(x) no existes porque los l´ımites laterales son distintos. x→2

´ b) ¿Donde es discontinua g? ´ g (x) es continua en el intervalo donde se ´ Cada una de las partes de la funcion Solucion. ´ en x = 0 y x = 2, en dicho puntos los l´ımites no existen, define, se tiene problemas solo ´ en x = 2 las funcion ´ no esta´ definida, por tanto en dichos puntos la funcion ´ es y ademas discontinua. y ´ c) Trace la grafica de g.

x ´ o una fuerza amortiguadora 2. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de friccion ´ (como un amortiguador en un automovil) se modela a menudo mediante el producto de una ´ exponencial y una funcion ´ seno o coseno. Suponga que la ecuacion ´ del movimiento de funcion un punto sobre tal resorte es s (t) = 3e−t/2 cos(πt), donde s se mide en cent´ımetros y t en segundos. ´ ´ y la velocidad de dicho punto del resorte pasados cinco segundos? ¿Cuales son la posicion ´ a los cinco segundos es ´ La posicion Solucion. s (5) = 3e−5/2 cos(5π) = −3e−5/2 ≈ −0,246 25 (cm). La velocidad es la derivada del desplazamiento, as´ı aplicando derivada del producto se tiene que 3 v (t) = s′ (t) = − e−t/2 cos(πt) − 3πe−t/2 sen(πt). 2 Luego la velocidad a los cinco segundos es 3 3 v (5) = − e−5/2 cos(5π) − 3πe−5/2 sen(5π) = − e−5/2 (−1) − 0 ≈ 0,123 13 (cm/s2 ). 2 2

´ x2 + xy + y 2 = 5 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no 3. La ecuacion ´ son paralelos a los ejes de coordenadas, como se muestra en la grafica. Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. ´ Los puntos donde la elipse cruza el eje x son aquellos donde y = 0. Solucion. √ √ x2 + x · (0) + (0)2 = 5 =⇒ x2 = 5 =⇒ x = 5 o´ x = − 5. √
√
Luego los puntos de corte son P1 5, 0 y P2 − 5, 0 . Para que las rectas tangentes a la elipse en esos puntos sean paralelas se necesita que la pendiente sean iguales. dy La pendiente de la recta tangente es mT se encuentra por medio de la derivada . dx Entonces tenemos: x2 + xy + y 2 = 5, derivando impl´ıcitamente se tiene   dy dy 2x + y + x + 2y = 0, dx dx

despejando a

dy se obtiene dx (x + 2y)

dy dy 2x + y = − (2x + y) =⇒ =− . dx dx x + 2y

La pendientes en los puntos son: mTP1 y mTP2

√ dy 2 5+0 = = −√ = −2 dx P1 5+2·0

√
2 − 5 +0 dy = =− √
= −2. dx P2 − 5 +2·0

Luego las pendientes en dichos puntos son iguales y por tanto las rectas son paralelas. q 4. a) Si h (x) = 4 + 3 [f (x)]4 , donde f (1) = 2 y f ′ (1) = 3, hallar h′ (1). ´ Aplicando regla de la cadena se tiene que Solucion. h′ (x) =


−1/2
1 4 + 3 [f (x)]4 12 [f (x)]3 [f ′ (x)] . 2

Reemplazando en x = 1 se obtiene 3
1 12 [f (1)] [f ′ (1)] 6 (2)3 (3) 9 (2)4 72 √ ′ q h (1) = =q = √ = 13 ≈ 19,969207. 2 13 4 4 2 13 4 + 3 [f (1)] 4 + 3 (2)

  2 ´ f (x) = xcos x sen x. b) Halle la derivada de la funcion

2

´ se puede escribir como f (x) = h (x) sen x, donde h (x) = xcos x . ´ Esta funcion Solucion. f ′ (x) = h′ (x) sen x + h (x) cos x h′ (x) 1 = 2 cos x (− sen x) ln x + cos2 x h (x) x  2  cos x =⇒ h′ (x) = h (x) − 2 cos x sen x x  2  cos2 x cos x =x − 2 cos x sen x . x

ln h (x) = cos2 x · ln x =⇒

Por tanto  cos2 x 2 f (x) = x − 2 cos x sen x sen x + xcos x cos x x  2   cos x cos2 x = x − 2 cos x sen x sen x + cos x . x ′

cos2 x



´ ln x = 3 − 2x tiene cuando menos una ra´ız real. a) (i) Pruebe que la ecuacion ´ f (x) = 3 − 2x − ln x, dado que ln x es continua para x > 0 ´ Considere la funcion Solucion. y que 3 − 2x es continua para todo x, se tiene que f (x) es continua para todo x > 0. Ahora, f (1) = 3 − 2 (1) − ln (1) = 1 > 0 y f (2) = 3 − 2 (2) − ln (2) = −1 − ln 2 ≈ −1. 693 1 < 0, y en particular f (x) es continua en [1, 2], entonces f satisface las condiciones del teorema de valor intermedio, en consecuencia existe c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0, es decir, existe una ´ ln x = 3 − 2x. ra´ız real c de la ecuacion ´ (ii) Halle un intervalo de longitud 0,01 que contenga una ra´ız de dicha ecuacion. ´ Observe que Solucion. f (1) = 3 − 2 (1) − ln (1) = 1 > 0 f (2) = 3 − 2 (2) − ln (2) = −1 − ln 2 ≈ −1. 693 1 < 0 f (1,5) = 3 − 2 (1,5) − ln (1,5) = − ln (1,5) ≈ −0,405 47 < 0 f (1,3) = 3 − 2 (1,3) − ln (1,3) = 0,137 64 > 0 f (1,4) = 3 − 2 (1,4) − ln (1,4) = −0,136 47 < 0 f (1,35) = 3 − 2 (1,35) − ln (1,35) = −1. 045 9 × 10−4 < 0 f (1,34) = 3 − 2 (1,34) − ln (1,34) = 0,027 33 > 0 ´ es [1,34; 1,35] . Luego, el intervalo de longitud 0,01 que contiene la ra´ız de dicha ecuacion x ´ para la tangente a la curva y = e que pasa a traves ´ del origen. b) Encuentre una ecuacion x ´ Sea (a, b) el punto de la curva y = e que pertenece a la tangente que pasa por Solucion. el origen. ´ de la recta tangente a la curva y = ex que pasa por el origen es La ecuacion y − 0 = m (x − 0) =⇒ y = mx.

(∗)

Por otra parte, dado que (a, b) pertenece a la curva y = ex , entonces b = ea . La derivada de y (x) = ex es y ′ (x) = ex , por tanto, y ′ (a) = ea , y en consecuencia, la ´ de la recta tangente en el punto (a, ea ) es ecuacion y − ea = ea (x − a) =⇒ y = ea x − aea + ea

´ (∗) se tiene que pero por la ecuacion

ea − aea = 0 =⇒ ea (1 − a) = 0 =⇒ a = 1.

´ de la recta tangen a la curva y = ex que pasa por Por tanto m = e1 , y entonces la ecuacion el origen es y = ex.

Supletorio 3er examen ´ Calculo I Agosto de 2011

Universidad Industrial de Santander

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre:

Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Sea

g(x) =

(

−1 − 2x si x < −1 2 x si −1 ≤ x < 1 x si x≥1

´ es discontinua. (b) Determine en que (a) Determine en que puntos la funcion ´ g es diferenciable. (c) Proporcione una formula ´ puntos del dominio la funcion ´ para g ′ y (d) trace las graficas de g y g ′ . dy ´ escriba una ecuacion ´ para la recta tangente a la grafica ´ , despues dx ´ xy 3 − x5y 2 = 4 en el punto (1, 2). ¿Existen puntos donde la recta de la ecuacion tangente sea horizontal? ¿Existen puntos donde la recta tangente sea vertical? Si existen, ¿cuales son dichos puntos? Explique.

2. Encuentre

3. a) Si f (x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′ (2) = −1 y g ′ (−1) = 7, determine f ′(−1). b) Encuentre y ′′ si x7 + y 7 = 1. 4. Encuentre

dy , si: dx

2 a) y = cot(sec 5x). 3 h i2/3 b) y = 1 + (2 + 7x)−3/2 .

c) x3 cos y + sen(2x2y) = x2y 2 .

Tercer examen ´ Calculo I 19 de agosto de 2011

Universidad Industrial de Santander

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: . Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva cada punto en una pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 4 millas ´ por hora y la otra camina hacia el noreste a 2 millas por hora. ¿Que´ tan rapido ´ de media hora? cambia la distancia entre las personas despues 2. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una bater´ıa de E volts con resistencia interna r, en tal caso la potencia (en watts) en el resistor externo es P =

E 2R . (R + r)2

´ es el valor maximo ´ Si E y r son constantes pero R var´ıa, ¿cual de la potencia? ´ ´ que cumpla con las condiciones dadas. 3. Trace la grafica de una funcion ′ ′ f (0) = 0, f (−2) = f (1) = f ′ (9) = 0, l´ım f (x) = 0, l´ım f (x) = ∞, ′

x→∞ ′

x→6

f (x) > 0 en (−∞, −2), (1, 6) y (9, ∞), f (x) < 0 en (−2, 1) y (6, 9), f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12, ∞) , y f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12) . Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los inter´ valos de concavidad, las as´ıntotas, y los maximos y m´ınimos. √ ´ lineal de la funcion ´ g (x) √ 4. a) Encuentre la aproximacion = 3 1 +√ x en a = 0 y 3 ´ a los numero apl´ıquela para hacer una aproximacion ´ 0,99 y 3 1,05. Ilustre dibujando g y la recta tangente. ´ f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x? b) ¿Existe una funcion (Explique claramente su respuesta).

Tercer examen ´ Calculo I 19 de agosto de 2011

Universidad Industrial de Santander

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: .. Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva cada punto en una pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 2 millas ´ por hora y la otra camina hacia el noreste a 4 millas por hora. ¿Que´ tan rapido ´ de media hora? cambia la distancia entre las personas despues 2. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una bater´ıa de E volts con resistencia interna r, en tal caso la potencia (en watts) en el resistor externo es P =

E 2R . (R + r)2

´ es el valor maximo ´ Si E y r son constantes pero R var´ıa, ¿cual de la potencia? ´ ´ que cumpla con las condiciones dadas. 3. Trace la grafica de una funcion ′ ′ f (0) = 0, f (−2) = f (1) = f ′ (9) = 0, l´ım f (x) = 0, l´ım f (x) = −∞, ′

x→∞ ′

x→6

f (x) < 0 en (−∞, −2), (1, 6) y (9, ∞), f (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9), f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12, ∞) , y f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12) . Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los inter´ valos de concavidad, las as´ıntotas, y los maximos y m´ınimos. √ ´ lineal de la funcion ´ g (x) √ 4. a) Encuentre la aproximacion = 3 1 +√ x en a = 0 y 3 ´ a los numero apl´ıquela para hacer una aproximacion ´ 0,95 y 3 1,01. Ilustre dibujando g y la recta tangente. ´ f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x? b) ¿Existe una funcion (Explique claramente su respuesta).

Soluci´ on del tercer examen de C´ alculo I 1. (Tema A) Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 4 millas por hora y la otra ´ camina hacia el noreste a 2 millas por hora. ¿Que´ tan rapido cambia la distancia entre las personas ´ de media hora? despues z 2 = x2 + y 2 − 2xy cos θ, √ Como θ = 135◦ , cos 135◦ = − 2/2, entonces √ (∗) z 2 = x2 + y 2 + 2xy. x(t) = 4t,

Soluci´ on. z y θ

x

dy = 2 millas/h dt

b

y(t) = 2t,

Ahora, x(0,5) = 2 e y(0,5) = 1, y por tanto, q √ √ [z(0,5)]2 = 22 +12 +2 2 =⇒ z(0,5) = 5 + 2 2 ≈ 2,7979.

dx = 4 millas/h dt

dz ´ (∗), Por otra parte, como en el problema se pide , entonces se deriva impl´ıcitamente la ecuacion dt obteniendo   dz dx dy √ dy dx 2z = 2x + 2y + 2 x +y , dt dt dt dt dt al despejar

dz , se tiene dt

√ √ dx dy + (2y + 2x) (2x + 2y) dz dt dt . = dt 2z Evaluando cuando t es media hora, se obtiene √ √ dz (2 ∗ 2 + 2 ∗ 1)(4) + (2 ∗ 1 + 2 ∗ 2)(2) p = √ dt t=0,5 2∗ 5+2 2 √ 10 + 4 2 = p √ ≈ 5,5959. 2 2+5

´ de media hora es de aproximadamente 5,5959 El cambio de la distancia entre las dos personas despues millas por hora.

1. (Tema B) Dos personas parten del mismo punto. Una camina hacia el oeste a 2 millas por hora y la otra ´ camina hacia el noreste a 4 millas por hora. ¿Que´ tan rapido cambia la distancia entre las personas ´ de media hora? despues z 2 = x2 + y 2 − 2xy cos θ, √ Como θ = 135◦ , cos 135◦ = − 2/2, entonces √ z 2 = x2 + y 2 + 2xy. (∗) x(t) = 2t,

Soluci´ on. z y x dx = 2 millas/h dt

θ b

dy = 4 millas/h dt

y(t) = 4t,

Ahora, x(0,5) = 1 e y(0,5) = 2, y por tanto, q √ √ 2 2 2 [z(0,5)] = 1 +2 +2 2 =⇒ z(0,5) = 5 + 2 2 ≈ 2,7979.

dz ´ (∗), , entonces se deriva impl´ıcitamente la ecuacion dt   dy dz dx dy √ dx 2z = 2x + 2y + 2 x +y , dt dt dt dt dt

Por otra parte, como en el problema se pide obteniendo

al despejar

dz , se tiene dt (2x +

√

2y)

√ dx dy + (2y + 2x) dt dt . 2z

dz = dt Evaluando cuando t es media hora, se obtiene √ √ dz (2 ∗ 1 + 2 ∗ 2)(2) + (2 ∗ 2 + 2 ∗ 1)(4) p = √ dt t=0,5 2∗ 5+2 2 √ 10 + 4 2 = p √ ≈ 5,5959. 2 2+5

´ de media hora es de aproximadamente 5,5959 El cambio de la distancia entre las dos personas despues millas por hora. 2. Si un resistor de R ohms se conecta a los bornes de una bater´ıa de E volts con resistencia interna r, en tal caso la potencia (en watts) en el resistor externo es P =

E2R (R + r)2

.

´ es el valor maximo ´ Si E y r son constantes pero R var´ıa, ¿cual de la potencia? Soluci´ on. ´ Para encontrar el valor maximo de la potencia se debe derivar P (R). Entonces, d P (R) = dR ′



E2R (R + r)2



=

E 2 (R + r)2 − E 2 R (2 (R + r)) E 2 (R + r) [(R + r) − 2R] E 2 (r − R) = = . (R + r)4 (R + r)4 (R + r)3

´ para ello se iguala la derivada a cero, dado Ahora se deben encontrar los puntos cr´ıticos de la funcion, que no hay puntos donde la derivada no exista, ya que las condiciones del problema indican que E y r 2 (r−R) son constantes positivas. Luego, P ′ (R) = 0, implica que E(R+r) 3 = 0, y en consecuencia, (r − R) = 0, de donde se obtiene que r = R. Ahora, al encontrar la segunda derivada se obtiene  2  d E (r − R) R − 2r P ′′ (R) = = 2E 2 . 3 dR (R + r) (R + r)4 Al evaluarla en R = r, se obtiene P ′′ (r) = 2E 2

r − 2r 1 2 4 = − 8r 3 E < 0. (r + r)

´ es concava ´ Como la segunda derivada es negativa, entonces la funcion hacia abajo; por el criterio de la ´ ´ P (R), y en segunda derivada se tiene que el punto cr´ıtico corresponde a un valor maximo de la funcion ´ consecuencia el valor maximo de la potencia es P (r) =

E2r E2 = . 4r (r + r)2

´ la ultima ´ se puede hacer aplicando el criterio de la primera derivada). (Observacion: ´ parte tambien

´ ´ que cumpla con las condiciones dadas. 3. (Tema A) Trace la grafica de una funcion ′ ′ ′ f (0) = 0, f (−2) = f (1) = f (9) = 0, l´ım f (x) = 0, l´ım f (x) = ∞, x→∞

x→6

f ′ (x) > 0 en (−∞, −2), (1, 6) y (9, ∞), f ′ (x) < 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) < 0 en (−∞, 0) y (12, ∞) , y f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12) . Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, las ´ as´ıntotas, y los maximos y m´ınimos. Soluci´ on. Las condiciones f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, implican que los numeros ´ x = −2, x = 1 y x = 9 son cr´ıticos. ´ l´ım f (x) = 0, implica que y = 0 es una as´ıntota horizontal. La condicion x→∞

´ l´ım f (x) = ∞, implica que x = 6 es una as´ıntota vertical. La condicion x→6

f ′ (x) f ′ (x) f ′′ (x)

´ es creciente. > 0 en (−∞, −2), (1, 6) y (9, ∞), implica que en dichos intervalos la funcion

´ es decreciente. < 0 en (−2, 1) y (6, 9), implica que en dicho intervalos la funcion ´ es concava ´ < 0 en (−∞, 0) y (12, ∞) , implica que en dichos intervalos la funcion hacia abajo, y

´ es concava ´ f ′′ (x) > 0 en (0, 6) y (6, 12), implica que en dichos intervalos la funcion hacia arriba.

El hecho que en x = −2 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f (−2) es un valor ´ maximo local. El hecho que en x = 1 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f (1) es un valor m´ınimo local. El hecho que en x = 9 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f (9) es un valor m´ınimo local. ´ ´ que cumple con las Relacionando todo lo anterior se obtiene que un esbozo de la grafica de la funcion condiciones es:

f′ f f ′′ f

+ ր

− ց

+

−

b

+ ր

− ց

+

+ ր

−

´ ´ que cumpla con las condiciones dadas. 3. (Tema B) Trace la grafica de una funcion ′ ′ ′ f (0) = 0, f (−2) = f (1) = f (9) = 0, l´ım f (x) = 0, l´ım f (x) = −∞, x→∞

x→6

f ′ (x) < 0 en (−∞, −2), (1, 6) y (9, ∞), f ′ (x) > 0 en (−2, 1) y (6, 9),

f ′′ (x) > 0 en (−∞, 0) y (12, ∞) , y f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12) . Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad, las ´ as´ıntotas, y los maximos y m´ınimos. Soluci´ on. Las condiciones f ′ (−2) = f ′ (1) = f ′ (9) = 0, implican que los numeros ´ x = −2, x = 1 y x = 9 son cr´ıticos. ´ l´ım f (x) = 0, implica que y = 0 es una as´ıntota horizontal. La condicion x→∞

´ l´ım f (x) = −∞, implica que x = 6 es una as´ıntota vertical. La condicion x→6

f ′ (x) f ′ (x) f ′′ (x)

´ es decreciente. < 0 en (−∞, −2), (1, 6) y (9, ∞), implica que en dichos intervalos la funcion

´ es creciente. > 0 en (−2, 1) y (6, 9), implica que en dicho intervalos la funcion ´ es concava ´ > 0 en (−∞, 0) y (12, ∞) , implica que en dichos intervalos la funcion hacia arriba, y

´ es concava ´ f ′′ (x) < 0 en (0, 6) y (6, 12), implica que en dichos intervalos la funcion hacia abajo.

El hecho que en x = −2 la derivada cambia de signo negativo a positivo, implica que f (−2) es un valor m´ınimo local. El hecho que en x = 1 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f (1) es un valor ´ maximo local. El hecho que en x = 9 la derivada cambia de signo positivo a negativo, implica que f (9) es un valor ´ maximo local. ´ ´ que cumple con las Relacionando todo lo anterior se obtiene que un esbozo de la grafica de la funcion condiciones es

f′ f f ′′ f

− ց

+ ր

−

+

b

− ց

+ ր

−

− ց

+

4.

√ ´ lineal ´ g (x) = 3 1 + x en a = 0 y apl´ıquela para a) (Tema A) Encuentre la aproximacion de la funcion √ √ 3 ´ a los numero hacer una aproximacion ´ 0,99 y 3 1,05. Ilustre dibujando g y la recta tangente. Soluci´ on.
d √ 1 1 1 3 ′ g (x) = 1+x = . g′ (0) = = . 2/3 2/3 dx 3 3 (x + 1) 3 (0 + 1) ´ lineal de la funcion ´ Ahora, g (0) = 1. Por tanto, la aproximacion y g (x) es 1 1 y − g (0) = (x − 0) =⇒ y = x + 1. 3 3 Luego,

y

p 3

0,99 =

p 3

1 − (0,01) ≈

1 (−0,01) + 1 ≈ 0,99667 3

x

1 (0,05) + 1 ≈ 1,0167 3 √ 3 ´ lineal ´ a) (Tema B) Encuentre la aproximacion de la funci on g (x) = 1 + x en a = 0 y apl´ıquela para √ √ 3 3 ´ a los numero 0,95 y 1,01. Ilustre dibujando g y la recta tangente. hacer una aproximacion ´ Soluci´ on. ´ ´ cambia en los valores a aproximar Analoga al Tema A, solo p 3

y

1,05 =

p 3

1 + (0,05) ≈

p 3

0,95 =

p 3

p 1 3 1 − (0,05) ≈ (−0,05) + 1 ≈ 0,98333 3

1,01 =

p 3

1 + (0,01) ≈

1 (0,01) + 1 ≈ 1,0033 3

´ f tal que f (0) = −1, f (2) = 4 y f ′ (x) ≤ 2 para toda x? (Explique claramente b) ¿Existe una funcion su respuesta). Soluci´ on. La pendiente determinada por los puntos es m=

f (2) − f (0) 4 − (−1) 5 = = . 2−0 2 2

Como la pregunta dice f ′ (x) ≤ 2 para toda x, entonces f debe ser continua en [0, 2] y diferenciable en (0, 2). Por tanto, por el TVM, existe c ∈ (0, 2) tal que f ′ (c) = 2,5, lo cual es contradictorio con la ´ dada: f ′ (x) ≤ 2, por esto una funcion ´ de este estilo no puede existir. condicion ´ ´ Se puede observar adicionalmente, que en el caso sencillo en el cual la grafica de la funcion esta´ por arriba del segmento que une los puntos (0, −1) y (2, 4) (ver Figura A), se tiene que cuando ´ los valores de x ∈ (0, c) la pendiente es mayor que 2,5. Analogamente, si se observa el caso en el ´ ´ este´ por debajo del segmento que uno los puntos (0, −1) y (2, 4) (ver cual la grafica de la funcion Figura B), se tiene que para valores de x ∈ (c, 2) la pendiente es mayor a 2,5. Por tanto, no puede ´ con las caracter´ısticas que se piden. existir una funcion y y

x Figura A.

x Figura B.

Criterios para la evaluaci´ on: ´ (0,2) Hacer el grafico; ´ y encontrar los valores de x, y y z a la media hora; (0,3) plantear la relacion (0,4) derivar impl´ıcitamente; (0,35) despejar correctamente y dar la respuesta a la pregunta.

1.

a) b) c) d)

2.

a) (0,6) Encontrar la derivada; b) (0,4) encontrar el numero ´ cr´ıtico; ´ c) (0,25) aplicar el criterio para determinar si es maximo o m´ınimo y responder la pregunta.

3.

a) b) c) d) e)

4.

a) 1) 2) b) 1) 2)

(0,2) Intervalos de crecimiento y decrecimiento; (0,2) intervalos de concavidad; ´ (0,2) maximos y m´ınimos; (0,2) as´ıntotas horizontal y vertical; ´ ´ (0,45) grafica de la funcion. ´ lineal; (0,325) Encontrar la aproximacion ´ (0,15) encontrar cada aproximacion. (0,3) Encontrar la pendiente dada por los puntos; ´ del Teorema del Valor Medio. (0,325) hace la interpretacion

Universidad Industrial de Santander

Supletorio 3er examen ´ Calculo I Agosto de 2011

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Nombre:

´ Codigo:

Instrucciones: ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor.

˜ va en bicicleta por 1. Un globo sube con rapidez constante de 5 pies/s. Un nino ´ un camino recto a una rapidez de 12 pies/s. Cuando pasa bajo el globo, este ´ ¿Que´ tan rapido ´ esta´ a 50 pies arriba de el. se incrementa la distancia entre el ˜ y el globo 6 segundo mas ´ tarde? nino ´ ´ que cumpla las condiciones dadas. 2. Trace la grafica de una funcion ′ f es impar, f (x) > 0 para 0 < x < 3, f ′ (x) < 0 para x > 3, l´ım f (x) = 2, x→∞

f ′′ (x) < 0 para 0 < x < 4 y f ′′ (x) > 0 para x > 4. Determine claramente los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los inter´ valos de concavidad, las as´ıntotas, y los maximos y m´ınimos. 3. Un modelo aplicado para el rendimiento R de un cultivo agr´ıcola como una ´ del nivel de nitrogeno ´ funcion N en el suelo (que se mide en las unidades apropiadas) es α2 N R= , 1 + N + N2 ´ donde α es una constante. ¿Que´ nivel de nitrogeno proporciona el mejor rendimien´ to? ¿Que´ pasa con el rendimiento cuando el nivel de nitrogeno es muy grande? ´ de crecimiento se obtiene cuando N = 1/2? ¿Es cierto que la mayor razon ´ 4. a) Una ventana tiene la forma de un cuadrado coronado por un triangulo ´ equilatero. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de ´ de 2 mm. Use diferenciales para 75 cm, con un error posible en la medicion ´ ´ estimar el error posible maximo al calcular el area de la ventana. ′ b) Suponga que f (0) = −3 y f (x) ≤ 5 para todos los valores de x. ¿Que´ tan grande es posible que sea f (2)?

Examen Opcional ´ Calculo I Agosto de 2011

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Grupo

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Nombre: . Instrucciones:

´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Sea f (x) =

√ 3

x.

´ de derivada para hallar f ′ (a). a) Si a 6= 0, use la definicion b) Demuestre que f ′ (0) no existe. √ c) Demuestre que y = 3 x tiene una tangente vertical en el punto (0, 0). ˜ fabricante de electrodomesticos ´ 2. Un pequeno encuentra que le cuesta por semana 120 millones de pesos producir 1500 hornos para tostar y 150 millones de pesos producir 2000 hornos para tostar. ´ del numero a) Exprese el costo como una funcion ´ de hornos para ´ es lineal. tostar que se producen, suponiendo que la relacion ´ Trace la grafica correspondiente. ´ es la pendiente de la grafica ´ b) ¿Cual y que´ representa? ´ es la interseccion ´ y de la grafica ´ c) ¿Cual y que representa? ´ de 3. Se entra grava por medio de una cinta transportadora a razon 45 metros cubicos ´ por minuto; las dimensiones de sus fragmentos ´ permiten formar una pila en forma de cono cuyo diametro y altura ´ son siempre iguales. ¿Que´ tan rapido se incrementa la altura de ´ la pila cuando esta mide 15 metros de alto? ´ ´ ´ grande ´ 4. Encuentre el area del rectangulo mas que puede inscribirse 2 2 x y en la elipse + = 1. 9 16

Examen Opcional ´ Calculo I Agosto de 2011

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Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: . Instrucciones:

´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Sea f (x) =

√ 3

x.

´ de derivada para hallar f ′ (a). a) Si a 6= 0, use la definicion b) Demuestre que f ′ (0) no existe. √ c) Demuestre que y = 3 x tiene una tangente vertical en el punto (0, 0). ˜ fabricante de electrodomesticos ´ 2. Un pequeno encuentra que le cuesta por semana 90 millones de pesos producir 1000 hornos para tostar y 120 millones de pesos producir 1500 hornos para tostar. ´ del numero a) Exprese el costo como una funcion ´ de hornos para ´ es lineal. tostar que se producen, suponiendo que la relacion ´ Trace la grafica correspondiente. ´ es la pendiente de la grafica ´ b) ¿Cual y que´ representa? ´ es la interseccion ´ y de la grafica ´ c) ¿Cual y que representa? ´ de 3. Se entra grava por medio de una cinta transportadora a razon 36 metros cubicos ´ por minuto; las dimensiones de sus fragmentos ´ permiten formar una pila en forma de cono cuyo diametro y altura ´ son siempre iguales. ¿Que´ tan rapido se incrementa la altura de ´ la pila cuando esta mide 12 metros de alto? ´ ´ ´ grande ´ 4. Encuentre el area del rectangulo mas que puede inscribirse 2 2 x y en la elipse + = 1. 25 16

Soluci´ on de examen opcional. 1.

a) Tenga en cuenta que el factor x − a es equivalente a tener una diferencia de cubos, esto es,    x − a = x1/3 − a1/3 x2/3 + x1/3 a1/3 + a2/3 . Ahora, si a 6= 0, se tiene

f (x) − f (a) x1/3 − a1/3

= l´ım 1/3 x→a x→a x x−a − a1/3 x2/3 + x1/3 a1/3 + a2/3 1 1 1
= = l´ım 2/3 = 2/3 . x→a x + x1/3 a1/3 + a2/3 3a2/3 a + a1/3 a1/3 + a2/3

f ′ (a) =

l´ım

Por tanto, f ′ (a) = 13 a−2/3 . b)

f (0 + h) − f (0) h1/3 − 0 1 = l´ım = l´ım 2/3 . h→0 h→0 h→0 h h h

f ′ (0) = l´ım

1 ´ g (h) = h2/3 La funcion crece indefinidamente cuando h → 0, por tanto el l´ımite no existe, y en ′ consecuencia f (0) no existe. √ ´ f (x) = 3 x es continua para todo numero c) Observe que la funcion ´ real, en particular para x = 0. Ahora 1 l´ım f ′ (x) = l´ım 2/3 = ∞, x→0 x→0 3x en consecuencia se tiene que f posee una tangente vertical en x = 0.

2. (Tema A) ´ a) Denotese por y el costo de producir x cantidad de hornos. Dado que el problema dice que el modelo es lineal, se tienen dos puntos de dicha l´ınea: (1500, 120) y (2000, 150). Por tanto, m=

150 − 120 3 = , 2000 − 1500 50

´ punto-pendiente de una recta, se obtiene y utilizando la ecuacion y − 120 =

3 3 3 (x − 1500) =⇒ y = x − 90 + 120 =⇒ y = x + 30. 50 50 50

3 ´ b) La pendiente de la grafica es 50 (millones / hornos) o equivalentemente $60 000 por horno, y repre´ de cada horno cuesta $60 000. senta que la producion ´ con el eje y es 30 (millones) y representa el costo de funcionamiento (independiente c) La interseccion de si hace hornos o no, el administrador tiene que gastar a la semana 30 millones de pesos en el funcionamiento de la industria).

(Tema B) ´ a) Denotese por y el costo de producir x cantidad de hornos. Dado que el problema dice que el modelo es lineal, se tienen dos puntos de dicha l´ınea: (1000, 90) y (1500, 120). Por tanto, m=

120 − 90 3 = , 1500 − 1000 50

´ punto-pendiente de una recta, se obtiene y utilizando la ecuacion y − 90 =

3 3 3 (x − 1000) =⇒ y = x − 60 + 90 =⇒ y = x + 30. 50 50 50

(Observe que la respuesta es equivalente a la del Tema A)

3. (Tema A) Las condiciones del problema dicen que

dV dt

1 1 V = πr 2 h = π 3 3

= 45 (m3 /min.).  2 h 1 dV 1 = πh2 . = πh3 =⇒ 2 12 dh 4

Ahora, dV dV dh = =⇒ 45 = dt dh dt Cuando h = 15 m,



1 2 πh 4



dh dh 180 =⇒ = . dt dt πh2

180 4 dh = = ≈ 0,254 65 m/min. 2 dt h=15 π (15) 5π

Por tanto, la rapidez de incremento de la altura cuando la pila mide 15 metros de alto es aproximadamente 0,254 65 m/min. (Tema B) Las condiciones del problema dicen que

dV dt

1 1 V = πr 2 h = π 3 3

= 36 (m3 /min.).  2 1 dV h 1 = πh3 =⇒ = πh2 . 2 12 dh 4

Ahora, dV dV dh = =⇒ 36 = dt dh dt Cuando h = 12 m,



1 2 πh 4



dh dh 144 =⇒ = . dt dt πh2

144 1 dh = = ≈ 0,318 31 m/min. dt h=12 π (12)2 π

Por tanto, la rapidez de incremento de la altura cuando la pila mide 12 metros de alto es aproximadamente 0,31831 m/min. 4. (Tema A) ´ ´ ´ de la elipse es El area del rectangulo inscrito es A = (2x) (2y) = 4xy. Ahora, como la ecuacion y2 x2 ´ de x que 9 + 16 = 1, se obtiene al despejar y en funcion y2 x2 =1− =⇒ y 2 = 16 16 9



9 − x2 9



=⇒ y =

4p 9 − x2 . 3

´ se considera le valor positivo de y dado que en este caso representa una longitud). (Observe que solo ´ ´ del lado x es De lo anterior se obtiene que el area en funcion  p  4 16 p 2 A (x) = 4x 9 − x = x 9 − x2 . 3 3 (Se debe considerar a x ∈ [0, 3]). Ahora

16 A (x) = 3 ′

p

9−

x2

x (−2x) + √ 2 9 − x2



16 = 3



9 − 2x2 √ 9 − x2



.

Los numeros ´ cr´ıticos se obtienen cuando cuando A′ (x) es cero o no existe. A′ (x) no existe cuando ´ x =q3, pero en dicho caso el area es cero. Ahora, A′ (x) = 0 si 9 − 2x2 = 0, y esto implica que √ 3 2 2

√

´ se considera el valor positivo de x). Es claro que 0 < 3 2 2 , (observe que nuevamente solo   √ √
16  9−2·8  16 √ 9−2·02 √ ´ es claro que 3 2 2 < 8 < 3, A′ A′ (0) = 16 = 16 > 0; tambi en 8 = 3 √9−8 = 3 (−7) < 0, 2 3 9−0 x=

9 2

=

√

´ ´ y por el criterio de la primera derivada se obtiene que en x = 3 2 2 hay un valor maximo del area √ ! √ !r 9 3 2 16 3 2 16 9 A = 9− = · = 24. 2 3 2 2 3 2

´ ´ ´ grande que se puede inscribir en la elipse es 24 (unidades2 ). Por tanto, el area del rectangulo mas (Tema B) ´ ´ ´ de la elipse es El area del rectangulo inscrito es A = (2x) (2y) = 4xy. Ahora, como la ecuacion y2 x2 ´ 25 + 16 = 1, se obtiene al despejar y en funcion de x que y2 x2 =1− =⇒ y 2 = 16 16 25



25 − x2 25



=⇒ y =

4p 25 − x2 . 5

´ se considera le valor positivo de y dado que en este caso representa una longitud). (Observe que solo ´ ´ del lado x es De lo anterior se obtiene que el area en funcion  p  4 16 p A (x) = 4x 25 − x2 = x 25 − x2 . 5 5 (Se debe considerar a x ∈ [0, 5]). Ahora     16 p x (−2x) 16 25 − 2x2 ′ 2 √ A (x) = 25 − x + √ = . 5 5 2 25 − x2 25 − x2

Los numeros ´ cr´ıticos se obtienen cuando cuando A′ (x) es cero o no existe. A′ (x) no existe cuando ´ x =q 5, pero en dicho caso el area es cero. Ahora, A′ (x) = 0 si 25 − 2x2 = 0, y esto implica que √ 5 2 2

√

´ se considera el valor positivo de x). Es claro que 0 < 5 2 2 , (observe que nuevamente solo     √ √ √
5 2 25−2·02 16 √ 25−2·24 ′ √ ´ = 16 > 0; tambi en es claro que < 24 < 5, A 24 = = A′ (0) = 16 5 2 5 25−24 25−02 x=

25 2

=

√

´ (−23) < 0, y por el criterio de la primera derivada se obtiene que en x = 5 2 2 hay un valor maximo del ´area √ ! √ !r 5 2 16 5 2 25 16 25 A = 25 − = · = 40. 2 5 2 2 5 2 16 5

´ ´ ´ grande que se puede inscribir en la elipse es 40 (unidades2 ). Por tanto, el area del rectangulo mas

Criterios para la evaluaci´ on: 1.

a) (0,55) Responder correctamente item (a); b) (0,35) Responder correctamente item (b); c) (0,35) Responder correctamente item (c);

2.

a) 1) (0,35) Encontrar la pendiente; ´ de la recta; 2) (0,4) Encontrar la ecuacion ´ de la pendiente; b) (0,25) Interpretacion ´ de la interseccion ´ con el eje y; c) (0,25) Interpretacion

3.

a) b) c) d) e)

´ (0,2) Grafica; ´ del volumen; (0,2) ecuacion (0,4) derivada impl´ıcita; (0,2) despejar dh/dt; (0,25) evaluar y responder la pregunta.

4.

a) b) c) d) e)

´ (0,2) Grafica; ´ del area ´ (0,2) ecuacion a maximizar; (0,2) despejar una de las variables en la elipse; ´ (0,4) reemplazar en el area y derivar correctamente; (0,25) aplicar criterio y responder la pregunta.

´ Validacion ´ Calculo I 30 de agosto de 2011

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Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

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Nombre: .

Instrucciones: ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. ´ sin importar si es inferior a la nota definitiva. La nota obtenida en este examen se computara, Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor.

´ f es un numero ´ no mueve a 1. Un punto fijo de una funcion ´ c en su dominio tal que f (c) = c. (La funcion ´ c; este permanece fijo). ´ ´ continua con dominio [0, 1] cuyo recorrido tambien ´ se encuentre en a) Dibuje la grafica de una funcion [0, 1]. Localice un punto fijo de f . ´ continua con dominio [0, 1] y recorrido [0, 1] que no tenga un punto fijo. b) Intente graficar una funcion ´ es el obstaculo? ´ ¿Cual ´ continua con dominio c) Use el teorema del valor intermedio para comprobar que cualquier funcion [0, 1] y recorrido en [0, 1] tiene que tener un punto fijo.

´ ´ 2. Un semic´ırculo con diametro P Q descansa sobre un triangulo ´ ´ en forma de cono, como isoscels P QR para formar una region ´ la que se ilustra en la figura. Si A (θ) es el area del semic´ırculo ´ ´ y B (θ) es el area del triangulo, halle l´ım

θ→0+

A (θ) . B (θ)

3. Un cono de radio r cent´ımetros y altura h cent´ımetros se introduce por la punta con una rapidez de 1 ´ cm/s en un cilindro alto de radio R cent´ımetros que contiene una parte de agua (R > r). ¿Que´ tan rapido sube el nivel del agua en el instante en que el cono esta´ totalmente sumergido?

4. Dos postes verticales, P Q y ST , se aseguran por medio de un cable P RS extendido desde el extremo superior del primer ´ hasta el poste hasta un punto R sobre el piso y, a continuacion, extremo superior del segundo poste, como se ve en la figura. ´ corta de ese cable Demuestre que se tiene la longitud mas cuando θ1 = θ2 .

´ f , determine claramente los intervalos de crecimiento 5. A partir de las condiciones dadas para una funcion ´ y los maximos ´ y decrecimiento, los intervalos de concavidad, las as´ıntotas, los puntos de inflexion y ´ ´ que cumpla con dichas condiciones. m´ınimos. Por ultimo, ´ trace la grafica de una funcion ´ impar, l´ım f (x) = 1, l´ım f (x) = −∞, f es una funcion x→∞

f ′ (x) f ′′ (x)

f ′ (x)

x→5

> 0 en (0, 3) y (5, 8), < 0 en (3, 5) y (8, ∞), ′′ < 0 en (0, 5) y (5, 10) , y f (x) > 0 en (10, ∞).

Taller ´ Calculo I Funciones y L´ımites

Universidad Industrial de Santander

Prof. Gilberto Arenas D´ıaz

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

1. Encuentre el dominio de las siguientes funciones. √ x−1 a) f (x) = 2 . x +1 √ 1 b) h (x) = (f ◦ g) (x), donde f (x) = 2 y g (x) = x + 1 . x +1 2.

´ ´ f (x) definida como sigue: a) Evalue ´ f (−π/2), f (0), f (1) y trace el grafico de la funcion ( cos x si x < 0, 3/2 si x = 0, f (x) = x2 + 2 si x > 0. ´ dada es invertible y si lo es encuentre su inversa: b) Verifique si la funcion

f (x) =

−x . 1+x

3. Se debe construir un corral rectangular para animales, se usara´ una pared como uno de los cuatro lados. El pie de cerca para los otros tres lados cuesta $ 5 000 y debe gastar $ 1 000 por cada pie de pintura para la parte de la pared que forma el cuarto lado del corral. Se tienen ´ ´ $ 180 000 para dicho trabajo. ¿Cuales dimensiones maximizan el area del corral que se debe construir? ´ entre la temperatura en grados Celsius y la temperatura en grados a) Se sabe que la relacion Fahrenheit es lineal y que al nivel del mar, el agua se congela a 32 o F (0 o C) y hierve a ´ lineal que relacione dichas temperaturas y usela 212 o F (100 o C). Determine una ecuacion ´ para determinar que temperatura Fahrenheit corresponde a 30 o C. b) Se corta un borde de ancho uniforme de un pedazo de tela rectangular. El pedazo de tela ´ resultante es de 20 por 30 cm. Si el area original era el doble de la actual, halle el ancho ´ del borde que se corto.  π ´ ´ seno, grafique detalladamente f (x) = 3 sen x − 5. A partir de la grafica de la funcion + 1. 2 4.

b

b

−2π

b

b

−π

b

b

b

b

π

2π

6. Evalue ´ los siguientes l´ımites: 1 − θ−1 . θ→0 θ − θ −1

a) l´ım

x+1 . 2 x→−1 x − x − 2

b) l´ım

f (x + h) − f (x) , donde f (x) = x2 + x. h→0 h

d) l´ım

c)

l´ım +

x→−5

x2 + 3x − 10 . x+5

Universidad Industrial de Santander

Primer examen ´ Calculo I Septiembre de 2011

Grupo S

Sede Socorro ´ Escuela de Matematicas

Nombre:

´ Codigo:

Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

´ depende del numero ´ 1. El costo mensual de conducir un automovil ´ de kilometros ´ que se recorren. Manuel encontro´ que en el mes de julio recorrer 800 kilometros le costo 160 000 pesos y en el mes de agosto le costo´ 135 000 pesos recorrer ´ 600 kilometros. ´ de la distancia recorrida, suponiena) Exprese el costo mensual como funcion ´ do que la correspondencia es lineal. Trace la grafica correspondiente. ´ es la pendiente de la grafica ´ b) ¿Cual y que´ representa? ´ es la interseccion ´ y de la grafica ´ c) ¿Cual y que representa? y ´ ´ 2. Se da la grafica de f . Usela para trazar ´ la grafica de las funciones: x a) y = f − 1. 2 b) y = f −1(x − 2).

1

f (x)

0 1

x

´ del tiempo t, en d´ıas, 3. El crecimiento de una colonia de abejas en funcion ´ esta´ determinado por la ecuacion 150 000 P (t) = . 1 + 49e−t/10 ´ a) ¿Cuantas abejas hab´ıa inicialmente? ´ P (t) y explique su significado. b) Encuentre la inversa de la funcion ´ c) ¿En cuanto tiempo habra´ una colonia de 100 000 abejas? 4. Evalue ´ cada uno de los siguientes l´ımites, s´ı existen.   2 − |x| 1 1 a) l´ım . b) l´ım + 2 x→−2 2 + x x→1 x − 1 x − 3x + 2

´ ´ ˜ Gilberto Arenas D´ıaz. Profesores: Adriana A. Albarrac´ın Mantilla, Sandra C. Florez Rodr´ıguez, Ernesto Ben´ıtes Rodr´ıguez, Manuel Gomez Carreno,

Taller Complementario Tema: Funciones - Modelos ´ Calculo I Octubre de 2011

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

1. Una refiner´ıa se localiza al norte de la orilla de un r´ıo recto que es de 2 km de ancho. Se debe construir una tuber´ıa desde la refiner´ıa hasta un tanque de almacenamiento que se localiza al sur de la orilla del r´ıo 6 km al este de la refiner´ıa. ´ de la tuber´ıa es 400.000 El costo de instalacion ´ dolares/km en tierra hasta el punto P al norte de ´ la orilla y 800.000 dolares/km bajo el r´ıo hasta el ´ para el costo tanque. Encuentre una expresion ´ de la distancia entre la de la tuber´ıa en funcion refiner´ıa y el punto P .

´ nacidas tienen apro6. Las ballenas azules recien ximadamente 24 pies de longitud y pesan 3 ´ maman durante toneladas. Las ballenas bebes 7 meses, y para cuando son destetadas, con frecuencia tienen 53 pies de largo y pesan 23 ton.Sean L y W la longitud (en pies) y el peso (en toneladas), respectivamente, de una ballena que tiene t meses de edad. ´ relacionadas linealmente, exa) Si L y t estan ´ de t. prese L en funcion ´ es el aumento diario de longitud de b) ¿Cual ´ (1 mes = 30 d´ıas). una ballena bebe? ´ linealmente relacionados, c) Si W y t estan ´ exprese W en terminos de t. ´ es el incremento diario en el peso, d ) ¿Cual ´ de una ballena bebe?

´ de 12 sema2. El crecimiento de un feto de mas ´ nas se puede aproximar mediante la formula L = 1,53t − 6,7, en la cual L es la longitud en cm, y t la edad en semanas. La longitud prenatal se puede determinar mediante ultrasonido. Calcule la edad aproximada de un feto cuya longitud es 28 cm. ´ para la funcion ´ cuadratica ´ 3. Halle la expresion ´ cuya grafica se muestra en la Figura A.

7.

a) Encuentre el dominio de |2 + 5x| . h(x) = √ x2 − 1

y (−2, 2) 1 0

(0, 1) 1

x (1, −2.5)

Figura A. 4. Se va a construir un canal para el agua de lluvia ´ a partir de una lamina de metal de 30 cm de ancho doblando hacia arriba una tercera parte de ´ ´ de un angulo ´ la lamina en cada lado a traves θ. ´ para el area ´ Encuentre una expresion frontal del ´ del angulo ´ canal en funcion θ. (Ver Figura B).

´ b) Considere la siguiente funcion  1 − 2x, x < −1; −1 < x < 3; g(x) = √ 3,  x + 1, x > 3. Encuentre dom g, g(−2), g(0), ´ trace su grafica. ´ c) Dada la funcion  (x + 2)2 + 2 si f (x) = |x| +1 si √ x−2+3 si

10 cm Figura B.

θ 10 cm

5. Una ventana normanda tiene la forma de un ´ rectangulo coronado por un semic´ırculo. Si el per´ımetro de la ventana es de 30 pies, exprese

x < −2 |x| ≤ 2 2 < x.

´ ´ f (x) y determine su doGrafique la funcion minio y su recorrido.

8. Resuelva la siguiente desigualdad: x+1 x < . 2−x 3+x

θ 10 cm

g(2), g(5) y

f (x + h) − f (x) , h x−1 a) f (x) = . x+2 b) f (x) = ax2 + bx + c.

9. Encuentre

si

Taller (funciones) ´ Calculo I Octubre de 2011 Gilberto ARENAS

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Grupo

´ Codigo:

Nombre:

´ ´ ´ con regla de 1. Dados los siguientes graficos, determine cual no es la grafica de una funcion ´ y = f (x). asignacion

a)

c)

e)

b)

d)

f)

´ f , determine el dominio y el recorrido 2. Dada la funcion a) f (x) = √

1 x2

−4

.

1 . b) f (x) = 2 x +1

c) f (x) =



x si x ≤ 0, x2 + x si 0 < x.

3. Conteste verdadero o falso justificando su respuesta r
2 − 3x ´ f (x) = a) El dominio de la funcion es el conjunto 23 , ∞ . 1+x √ 1+x b) El dominio de (f ◦ g) (x) , cuando f (x) = x y g (x) = es el conjunto (−∞, −1] ∪ x−1 [1, ∞) . √ ´ t (x) = x2 + 1 es el conjunto R+ . c) El recorrido de la funcion ´ ´ polinomica ´ 4. Con base en el grafico de la funcion f (x), determine:

a) dominio y recorrido, b) {x ∈ R : f (x) ≥ 0}. c) f (−2) , f (2) , f (0) . ´ 5. Dada la funcion

 (x − 2)2 + 2 f (x) = |√|x| − 4|  x−1+1

si x < −2 si |x| ≤ 2 si 2 < x.

´ ´ f (x) y determine su dominio y su rango. Grafique la funcion

Taller (funciones) ´ Calculo I Octubre de 2011 Gilberto ARENAS

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Grupo

´ Codigo:

Nombre:

´ ´ ´ con regla de 1. Dados los siguientes graficos, determine cual no es la grafica de una funcion ´ y = f (x). asignacion

a)

c)

e)

b)

d)

f)

´ f , determine el dominio y el recorrido 2. Dada la funcion a) f (x) = √

1 x2

−4

.

1 . b) f (x) = 2 x +1

c) f (x) =



x si x ≤ 0, x2 + x si 0 < x.

3. Conteste verdadero o falso justificando su respuesta r
2 − 3x ´ f (x) = a) El dominio de la funcion es el conjunto 23 , ∞ . 1+x √ 1+x b) El dominio de (f ◦ g) (x) , cuando f (x) = x y g (x) = es el conjunto (−∞, −1] ∪ x−1 [1, ∞) . √ ´ t (x) = x2 + 1 es el conjunto R+ . c) El recorrido de la funcion ´ ´ polinomica ´ 4. Con base en el grafico de la funcion f (x), determine:

a) dominio y recorrido, b) {x ∈ R : f (x) ≥ 0}. c) f (−2) , f (2) , f (0) . ´ 5. Dada la funcion

 (x − 2)2 + 2 f (x) = |√|x| − 4|  x−1+1

si x < −2 si |x| ≤ 2 si 2 < x.

´ ´ f (x) y determine su dominio y su recorrido. Grafique la funcion

Taller ´ Calculo I Noviembre de 2011 G. Arenas D´ıaz

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Grupo

´ Codigo:

Nombre:

´ ´ f (x) responda justificando clara1. De acuerdo con la grafica de la funcion ´ mente su afirmacion. 4 3 2 1 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−2 −3 −4

a) l´ım f (x), x→−3

l´ım f (x),

x→−0

l´ım f (x),

x→2

l´ım f (x).

x→4

´ es discontinua y que clase de disconb) Indique los puntos donde la funcion tinuidad presenta. c) Escriba las ecuaciones de las as´ıntotas verticales y horizontales (si las hay). d) ¿Se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo [−4, −3]? ´ dada es falsa o verdadera. Si es verdadera, explique 2. Determine si la afirmacion ´ por que. Si es falso, explique por que´ o de un contraejemplo de lo establecido. a) Si f (1) = 1 y f (2) < 0, entonces existe un numero ´ c ∈ (1, 2) tal que f (c) = 0. b) Si f (x) es continua en 3 y f (3) = 4 y f (4) = 2 entonces l´ım 2f (2x − 6) = 4. x→5

c) Si f (x) y g (x) son dos funciones discontinuas en x = a, entonces f (x)·g (x) ´ discontinua en x = a. es tambien d) Si l´ım f (x) = 0 y l´ım g (x) = 0, entonces l´ım [f (x)/g (x)] no existe. x→a

x→a

x→a

3. Determine el valor o los valores de la constante k (si existen), para que la fun´ cion  x 2, f ′ (2) = 0, l´ım f (x) = −2, f ′′ (x) > 0 si 0 < x < 3, f ′′ (x) < 0 si x > 3. x→∞

A = 2πr2

3. Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000 pulgadas cubicas ´ y la forma de un cilindro con fondo plano pero cubierto por una semiesfera. Desprecie el espesor del material de la lata y deter´ la cantidad mine las dimensiones que minimizaran de material necesario para fabricarla.

h

r

´ es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por 4. Determine si la proposicion ´ Si es falsa, explique por que´ o de´ un ejemplo que refute la proposicion. ´ que. ´ a) Si f ′ (c) = 0, entonces f tiene un maximo o un m´ınimo local en c. ´ b) Si f es continua sobre (a, b) entonces f alcanza un valor maximo absoluto f (c) y un valor m´ınimo absoluto f (d) en algunos numeros ´ c y d en (a, b) . ´ f tal que f (x) < 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x. c) Existe una funcion d) Si f ′ (x) existe y es diferente de cero para todo x, en tal caso f (1) 6= f (0) .

´ de Tercer Examen C1SS11SS Solucion ´ ´ a 4000 pies de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. 1. Se instala una camara de television ´ ´ de la camara ´ ´ correcta con el objeto de tener El angulo de elevacion tiene que cambiar con la proporcion ´ siempre a la vista al cohete. Asimismo, el mecanismo de enfoque de la camara tiene que tomar en ´ cuenta la distancia creciente de la camara al cohete que se eleva. Suponga que el cohete se eleva verticalmente y que su rapidez es 600 pies/s cuando se ha elevado 3000 pies. ´ ´ ´ al cohete en ese momento? a) ¿Que´ tan rapido cambia la distancia de la camara de television ´ ´ se mantiene dirigida hacia el cohete, ¿que´ tan rapido ´ ´ b) Si la camara de television cambia el angulo ´ de la camara ´ de elevacion en ese momento? ´ Solucion. z 2 = x2 + y 2 =⇒ z 2 = 40002 + y 2 =⇒ 2zz ′ = 2yy ′ =⇒ z ′ =

a) .

y ′ y z

z 2 = x2 + y 2 =⇒ z 2 = 40002 + 30002 =⇒ z = 5000 3000 600 = 360pies/seg 5000 y y′ y′ tan θ = =⇒ sec2 θ · θ ′ = =⇒ θ ′ = 4000 4000 4000 sec2 θ y 3000 3 3 tan θ = =⇒ tan θ = = =⇒ θ = arctan 4000 4000 4 4  2 3 25 5 tan2 θ + 1 = sec2 θ =⇒ sec2 θ = +1 = =⇒ sec θ = 4 16 4 z′ =

b) .

=⇒ θ ′ =

y′ 600 12 =⇒ θ ′ = = ≈ 0,096 rad/seg 25 2 4000 sec θ 125 4000 16

´ ´ continua que cumple las siguientes condiciones: 2. Trace la grafica de una funcion ′ f (−x) = −f (x), f (x) < 0 si 0 < x < 2, f ′ (x) > 0 si x > 2, f ′ (2) = 0, l´ım f (x) = −2, f ′′ (x) > 0 si x→∞

0 < x < 3, f ′′ (x) < 0 si x > 3. ´ Solucion. f (−x) = −f (x) =⇒que f es impar y por tanto f (0) = 0.

´ en (−2, 0) . f ′ (x) < 0 si 0 < x < 2 =⇒ que f es decreciente en (0, 2) y por ser impar tambien

´ en (−∞, −2) . f ′ (x) > 0 si x > 2 =⇒ que f es creciente en (2, ∞) y por ser impar tambien f ′ (2) = 0, l´ım f (x) = −2 =⇒ por ser impar entonces l´ım f (x) = 2. x→∞

x→−∞

f ′′ (x)

> 0 si 0 < x < 3 =⇒ que f es concava hacia arriba en (0, 3) y por ser impar es concava hacia abajo en (−3, 0) .

f ′′ (x) < 0 si x > 3 =⇒ que f es concava hacia abajo en (3, ∞) y por ser impar es concava hacia arriba en (−∞, −3). ´ de x = 2, entonces f (2) < −2, y por ser impar f (−2) > 2. Por ser creciente despues

´ Un esbozo de la grafica es como el que sigue. y

x

3. Una lata de aceite debe tener un volumen de 1000 pulgadas cubicas ´ y la forma de un cilindro con fondo plano pero cubierto por una semiesfera. Desprecie el espesor del material de la lata y determine las ´ la cantidad de material necesario para fabricarla. dimensiones que minimizaran ´ Solucion. Sean r el radio del cilindro recto circular y de la semiesfera y h la altura del cilindro. (r y h en mts). El volumen V del silo es constante e igual a
V = πr 2 h + 12 43 πr 3 = πr 2 h + 23 πr 3 . (1) ´ Si A es el area del silo.

A = πr 2 + 2πrh + 12 (4πr 2 ) = 3πr 2 + 2πrh

(2)

Debemos hallar r y h para que la cantidad del material sea m´ınimo para un volumen constante V = 1000. ´ de r y h, podemos despejar h en (1) y reemplazarla en (2) para que A quede Como A esta´ en funcion ´ de una sola variable. en funcion   V 2r 2 3 1 h = V − πr = 2− 3 πr 2 πr 3      V 2 5 2 2V 2 A(r) = 3πr + 2πr − r = πr + , r > 0. πr 2 3 3 r

Hallemos los puntos cr´ıticos de A y determinemos su naturaleza. A′ (r) = A′ (r) = 0

=⇒

10 2V 10πr 3 − 6V πr − 2 = . 3 r 3r 2 10πr 3 − 6V = 0

=⇒

(A′ (0) no existe, pero 0 6∈ Dc y por lo tanto no es punto cr´ıtico).  1/3 ! 3V 0, A′ (r) < 0 en , A′ (r) > 0 en 5π Luego, A tiene en r =



3V 5π

1/3

r=





3V 5π

3V 5π

1/3

1/3

, +∞

!

un m´ınimo. La altura h es

h=

V (5π)2/3 2 − (3V )2/3 π 3



3V 5π

1/3

=



3V 5π

1/3

.

Reemplazando el valor de V = 1000 se tiene que r   3 · 1000 1/3 3 600 r=h= = ≈ 5,758 8pies. 5π π ´ es verdadera o falsa. Si es verdadera, explique por que. ´ Si es falsa, explique 4. Determine si la proposicion ´ por que´ o de´ un ejemplo que refute la proposicion. ´ a) Si f ′ (c) = 0, entonces f tiene un maximo o un m´ınimo local en c. FALSO ´ b) Si f es continua sobre (a, b) entonces f alcanza un valor maximo absoluto f (c) y un valor m´ınimo absoluto f (d) en algunos numeros ´ c y d en (a, b) . FALSO ´ f tal que f (x) < 0, f ′ (x) < 0 y f ′′ (x) > 0 para todo x. FALSO c) Existe una funcion d ) Si f ′ (x) existe y es diferente de cero para todo x, en tal caso f (1) 6= f (0). VERDADERO ´ Solucion. a) b) c) d)

FALSO FALSO FALSO VERDADERO

Abril de 2011 Primer examen ´ Calculo I

Universidad Industrial de Santander

Grupo

´ Prof. Doris Gonzalez

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1. Encuentre el dominio y el recorrido de las siguientes funciones: a) f (x) = b) g (x) =

x2 + 1 . 3x + 2 √

25 − x2 .

c) h (x) = ln (2x − 3) .  si − 3 < x ≤ 2,  5, cos x, si 3 < x < 5, d) F (x) =  2x + 1, si 7 < x ≤ 12.

2. En la teor´ıa de la relatividad, la masa de una part´ıcula con rapidez v es m = f (v) = r

m0 1−

v2 c2

donde m0 es la masa en reposo de la part´ıcula y c es a rapidez de la luz en el vac´ıo. Encuentre ´ inversa de f y explique su significado. la funcion ˜ cada media hora. 3. Un cultivo de bacterias inicia con 500 bacterias y duplica su tamano a) b) c) d)

´ ´ de 3 horas? ¿Cuantas bacterias existen despues ´ ´ de t horas? ¿Cuantas bacterias existen despues ´ ´ de 40 minutos? ¿Cuantas bacterias existen despues ´ alcance 100000 bacterias. Estime el tiempo para que la poblacion

´ es verdadera o falsa. Si es verdadera, expl´ıque por que. ´ Si es falsa, 4. Determine si la proposicion ´ expl´ıque por que´ o de´ un ejemplo que refute la proposicion. ´ entonces f (s + t) = f (s) + f (t) . a) Si f es una funcion, b) Si f y g son funciones, entonces (g ◦ f ) (x) = (f ◦ g) (x) . sen−1 x c) tan−1 x = . cos−1 x 1 ´ uno a uno, entonces f −1 (x) = d) Si f es una funcion . f (x) ´ par. e) f (x) = x3 − x7 es una funcion

´ Calculo I Taller: Continuidad y Derivadas

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Mayo 20 de 2011

´ o una fuerza amortiguadora 1. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de friccion ´ (como un amortiguador en un automovil) se modela a menudo mediante el producto de una ´ exponencial y una funcion ´ seno o coseno. Suponga que la ecuacion ´ del movimiento de funcion un punto sobre tal resorte es s (t) = 2e−1,5t sen 2πt donde s se mide en cent´ımetros y t en segundos ´ que transcurren t segundos. a) Halle la velocidad despues ´ ´ inicial y la velocidad inicial de dicho punto del resorte? b) ¿Cuales son la posicion 2.

´ ´ f . Enuncie, con razones, los numeros a) En la Figura A se muestra la grafica de la funcion ´ en que f no es diferenciable. ´ b) Considere la funcion  2 x −1   , x < 0, x 6= −1,    x+1 −2, x = −1, f (x) =      sen x , x ≥ 0. x ´ f (x) cuando x = 0 y x = −1. Analice la continuidad de la funcion y

x

Figura A. 3.

4.

Figura B.

  x2 a) Determine las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva y = ln xe , en el punto (1, 1). ´ ´ y = ax2 +by+c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente b) Hallar una parabola con ecuacion ´ del punto (2, 15) . −8 en x = −1 y pasa a traves ´ x2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos a) La ecuacion ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. p ´ y = cos 1 + sen (arctan πx). b) Halle la derivada de la funcion

´ Calculo I Taller: L´ımite, Continuidad ´ y Reglas de derivacion

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Junio de 2011

´ ´ f (x) responda justificando claramente su afirmacion. ´ 1. De acuerdo con la grafica de la funcion a) l´ım f (x), l´ım− f (x), x→−3

l´ım f (x),

x→2

x→0

4

l´ım f (x).

x→4

3

b) Indique los puntos donde la fun´ es discontinua y que clase cion de discontinuidad presenta.

2

c) Escriba las ecuaciones de las as´ıntotas verticales y horizontales (si las hay).

−6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

d) ¿Se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo [−4, −3]?

−3

y = f (x)

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

−2

−4

´ ´ f (x) responda justificando claramente su afirmacion. ´ 2. De acuerdo con la grafica de la funcion a) l´ım f (x), l´ım f (x), l´ım f (x). y = f (x) 4 x→−2

x→2

x→3

3

´ b) Indique los puntos donde la funcion es discontinua y que clase de discontinuidad presenta.

2 1

c) Escriba las ecuaciones de las as´ıntotas verticales y horizontales (si las hay).

1

−5 −4 −3 −2 −1 −1

2

3

4

5

−2

d) ¿Se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo [−2, 2]?

−3

´ ´ f (x) responda justificando claramente su afirmacion. ´ 3. De acuerdo con la grafica de la funcion a) l´ım f (x), l´ım f (x), l´ım f (x). x→−2

x→0

x→2

y

´ b) Indique los puntos donde la funcion es discontinua.

2

´ c) En que punto o puntos la funcion tiene discontinuidad removible. d) Escriba las ecuaciones de las as´ıntotas verticales y horizontales (si las hay). e) Se puede aplicar el teorema del valor intermedio en el intervalo [1, 2].

y = f (x)

3

1

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

• 1

2

3

4

5

6

7

8

x

−1 −2 −3

4. Para cada una de las siguientes funciones, determine el valor o los valores de la constante k, ´ sea continua en para el valor de x dado. que hacen que la funcion  kx2 + 2x, x ≤ 1 a) g (x) = x = 1. 8x − k 2 , x > 1  (kx)2 − kx + 1, x < 1 b) g (x) = x = 1. 3x − 2, x≥1

 k cos x, c) g (x) = x2 − k, 5 − kx,

x 5

Junio de 2011 Taller

Universidad Industrial de Santander

Grupo

´ Calculo I Prof. Gilberto Arenas

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Este taller debe ser realizado en grupos de maximo tres integrantes.

´ de la derivada para encontrar f ′(2) 1. Utilice la definicion 1 si f (x) = . 2x + 3 ´ para la recta 2. Escriba una ecuacion √ tangente y otra para la recta normal a la curva y = 1 + 4 sen x en el punto (0, 1). ´ 3. Encuentre la quinta y la n-esima derivada de y = A(Bx+C). p 4. Si h(x)= 4+3[f(x)]2, donde f(1) = 2 yf ′(1) = 7, hallar h′(1). 5. Encuentre la derivada de las siguientes funciones. (Para ´ determine donde es discontinua y haga cada funcion los mismo para la derivada). x2+3

a) y = e

2

−log5(x +2x) b) y = (tan x)

1/x3

a2 t3 c) y = x arctan(1 + x) 2 d ) y = a 1 − t2 ( a2 2x + 3 si x < 0 a 4 si 0 ≤ x < 5 e) x2 cos y + sen 2y = xy a f ) y = a 5x2 − 9 si x > 5 √

Taller ´ Calculo I Junio de 2011

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ o una fuerza amortiguadora 1. El movimiento de un resorte que se somete a una fuerza de friccion ´ (como un amortiguador en un automovil) se modela a menudo mediante el producto de una ´ exponencial y una funcion ´ seno o coseno. Suponga que la ecuacion ´ del movimiento de funcion un punto sobre tal resorte es s (t) = 2e−1,5t sen 2πt donde s se mide en cent´ımetros y t en segundos ´ que transcurren t segundos. a) Halle la velocidad despues ´ ´ inicial y la velocidad inicial de dicho punto del resorte? b) ¿Cuales son la posicion 2.

´ ´ f . Enuncie, con razones, los numeros a) En la Figura A se muestra la grafica de la funcion ´ en que f no es diferenciable. ´ b) Considere la funcion  2 x −1   , x < 0, x 6= −1,    x+1 −2, x = −1, f (x) =      sen x , x ≥ 0. x ´ f (x) cuando x = 0 y x = −1. Analice la continuidad de la funcion y

x

Figura A. 3.

Figura B.

  x2 ´ a) Determine una ecuacion de la tangente a la curva y = ln xe , en el punto (1, 1).

´ x2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos b) La ecuacion ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. 4.

´ ´ y = ax2 +by+c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente a) Hallar una parabola con ecuacion ´ del punto (2, 15) . −8 en x = −1 y pasa a traves p ´ y = cos sen (tan πx). b) Halle la derivada de la funcion

Segundo Examen ´ Calculo I Octubre de 2010 ´ Doris Gonzalez

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Grupo

´ Codigo:

Nombre:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ es verdadera o falsa. Justifique claramente su re1. Determine si la proposicion spuesta. f (x) no existe. x→5 x→5 x→5 g(x) b) Si f tiene un dominio [0, ∞] y no tiene as´ıntota horizontal entonces l´ım f (x) = ∞ o l´ım f (x) = −∞. a) Si l´ım f (x) = 0 y l´ım g(x) = 0, entonces el l´ım

x→∞

x→∞

c) Si f es continua en [−1, 1] y f (−1) = 4 y f (1) = 3, entonces existe un numero ´ r tal que r ∈ (−1, 1) y f (r) = π. d) Si 2x − 1 ≤ f (x) ≤ x2 para 0 < x < 3, l´ım f (x) = 1. x→1

´ ´ f que cumpla todas las siguientes condiciones: 2. Trace la grafica de una funcion a) l´ım f (x) = −2 x→−∞

b) l´ım− f (x) = 0 x→0

c) l´ım + f (x) = ∞ x→−3

d) l´ım− f (x) = −∞ x→3

e) l´ım+ f (x) = 2 x→3

f ) f es continua desde la derecha en 3. 3. Encuentre los siguientes l´ımites: x2 − 9 x→−3 x2 + 2x − 3 √ x2 − 9 b) l´ım x→∞ 2x − 6 sen 6x c) l´ım x→0 2x a) l´ım

d) l´ım f (x) x→5

si f (x) =



2x + 1, si x > 5 11, si x < 5

Examen Final ´ Calculo I Abril 23 de 2012

Universidad Industrial de Santander

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre:

´ las siguientes instrucciones: Lea con atencion ´ No se permite el uso de calculadoras ni de telefonos celulares durante el examen. Resuelva cuatro de los siguientes cinco puntos, indique claramente cuales se deben considerar para calificar, de no hacerlo, se calificaran los cuatro primeros items. Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, reglas, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor.

1. Un vaso tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y de radio 3 cm, en ´ de 2 cm3/s, ¿que´ tan la parte superior. Si el agua se vierte en el vaso a razon ´ ´ rapido sube el nivel del agua cuando esta tiene 5 cm de profundidad? 2. Se esta´ transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Al ´ ´ ´ angosto final de este existe una vuelta en angulo recto hacia otro pasillo mas ´ es la longitud del tubo mas ´ largo de 6 pies de ancho (vea la Figura A). ¿Cual que se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina? ´ 3. En la Figura B se muestra un circunferencia con radio 1 inscrita en la parabola 2 y = x . Encuentre las coordenadas del centro de la circunferencia.

1 b

Figura A.

b

y = x2

1 b

Figura B.

´ ´ que cumpla con las siguientes condiciones: 4. Trace la grafica de una funcion ′ ′ f es impar, f (1) = f (3) = f ′ (5) = 0, f ′ (x) < 0 en (0, 1), (2, 3), (5, 8), f ′ (x) > 0 en (1, 2), (3, 5), f ′′ (x) < 0 en (4, 6), f ′′ (x) > 0 en (0, 2), (2, 4), (6, ∞), l´ım f (x) = ∞ y l´ım f (x) = −1. x→2

x→∞

´ 2x − 1 − sen x = 0 tiene exactamente una ra´ız 5. a) Demuestre que la ecuacion real.

b) Encuentre dy/dx si y sen x2 = x cos y 2 . c) Halle el l´ımite

l´ım+ (1 + sen x)ln x .

x→0

´ del examen final de Calculo ´ Solucion I 1. Un vaso tiene la forma de un cono de altura igual a 10 cm y de radio 3 cm, en ´ de 2 cm3/s, ¿que´ tan la parte superior. Si el agua se vierte en el vaso a razon ´ ´ rapido sube el nivel del agua cuando esta tiene 5 cm de profundidad? ´ Solucion. dV dh = 2 cm3/s, ¿ ? dt dt h=5cm h 10 3 = =⇒ r = h r 3 10  2 !
1 3 3π 3 1 V = πr2 h =⇒ V = π h h= h 3 3 10 100 dV dV dh dV 9π 2 dh = · =⇒ = h · dt dh dt dt 100 dt dh dV /dt dV /dt dh 2 8 = = = =⇒ = cm/s. dt dV /dh 9πh2 /100 dt h=5cm 9π (5)2 /100 9π

2. Se esta´ transportando un tubo de acero por un pasillo de 9 pies de ancho. Al ´ ´ ´ angosto final de este existe una vuelta en angulo recto hacia otro pasillo mas ´ es la longitud del tubo mas ´ largo que de 6 pies de ancho (ver la figura A). ¿Cual se puede hacer pasar horizontalmente por la esquina? ´ ´ Del grafico Solucion. se tiene que la longitud del tubo es dada por (se consi´ sencillo el proceso algederara´ el cuadrado de la longitud, ya que hace mas braico) L = (9 + x)2 + (6 + y)2 . ´ entre x y y, Observe que se tiene la siguiente relacion 6+y 6 6 54 = =⇒ 6 + y = (9 + x) =⇒ y = , 9+x x x x luego  2 54 2 L (x) = (9 + x) + 6 + , x > 0. x ´ (Observe que cuando el valor de x es muy grande entonces la longitud tambien es muy grande, lo mismo pasa si el valor de x se aproxima a cero, por tanto se debe busca el valor que hace que la longitud sea m´ınima, es decir, el m´ınimo ´ de dicha funcion). ´ es La derivada de esta funcion    54 54 L′ (x) = 2 (9 + x) + 2 6 + − 2 x x
2 = 3 x4 + 9x3 − 324x − 2916 x 2  = 3 x3 (x + 9) − 324 (x + 9) x
2 = 3 (x + 9) x3 − 324 . x

Dado que x > 0, entonces se debe revisar cuando L′ (x) = 0, esto implica
que √ (x + 9) x3 − 324 = 0, de donde x = −9 (no tiene sentido en el ejercicio) o x = 3 324. Ahora
2 L′′ (x) = 4 x4 + 648x + 8748 , x √
de donde claramente se tiene que L′′ 3 324 > 0, por tanto, por el criterio de la segunda derivada, se tiene que el valor encontrado hace que la longitud sea m´ınima. Luego 2 √   2  √ 54 3 3 L 324 = 9 + 324 + 6 + √ 3 324 ´ largo que pasa por la esquina es y la longitud del tubo mas s 2  2  √ 54 3 ℓ= 9 + 324 + 6 + √ ft. 3 324 ´ 3. En la figura B se muestra una circunferencia con radio 1 inscrita en la parabola 2 y = x . Encuentre las coordenadas del centro de la circunferencia. ´ De la figura se tiene que el centro es de la forma (0, h), por tanto la Solucion. ´ x2 + (y − h)2 = 1, derivando impl´ıcitamente se circunferencia tiene la ecuacion tiene x 2x + 2 (y − h) y ′ = 0 =⇒ y ′ = − . y−h Por otra parte, y = x2, entonces y ′ = 2x, como en el punto las pendientes son iguales, entonces se tiene que x 1 − = 2x =⇒ y = h − . y−h 2 ´ se tiene que x2 = h − 12 o h = 12 + x2 ). (Dado que y = x2, entonces tambien ´ de la circunferencia, Reemplazando y = h − 12 en la ecuacion √   2 1 1 3 3 x2 + h− − h = 1 =⇒ x2 + = 1 =⇒ x2 = =⇒ x = ± 2 4 4 2 y 1 3 5 h= + = . 2 4 4
Es decir, el centro de la circunferencia es 0, 54 .

´ ´ que cumpla con las siguientes condiciones: 4. Trace la grafica de una funcion ′ ′ f es impar, f (1) = f (3) = f ′ (5) = 0, f ′ (x) < 0 en (0, 1), (2, 3), (5, ∞), f ′ (x) > 0 en (1, 2), (3, 5), f ′′ (x) < 0 en (4, 6), f ′′ (x) > 0 en (0, 2), (2, 4), (6, ∞), l´ım f (x) = ∞ y l´ım f (x) = −1. x→2

x→∞

´ El signo de la derivada dice donde f es creciente y donde decreSolucion. ciente (0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 5) (5, ∞) ′ f − + − + − f ց ր ց ր ց

´ El signo de la segunda derivada dice donde f es concava hacia abajo y donde ´ concava hacia arriba (0, 2) (2, 4) (4, 6) (6, ∞) ′′ f + + − + f ∪ ∪ ∩ ∪ Como f es impar, entonces se tiene que

(−∞, −5) (−5, −3) (−3, −2) (−2, −1) (−1, 0) f − + − + − f ց ր ց ր ց ′

y

′′

f f

(−∞, −6) (−6, −4) (−4, −2) (−2, 0) − + − − ∩ ∪ ∩ ∩

´ f impar y f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, implican que f ′ (−1) = La condicion f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0; ahora, si agregamos las caracter´ısticas encontradas con la primera y segunda derivada, se obtiene que en x = −5, 1, 3 hay valores ´ m´ınimos locales, y en x = −3, −1, 5 hay maximos locales. ´ f impar junto con el hecho que l´ım f (x) = ∞, implican que x = −2 La condicion x→2

´ f impar, junto con el hecho que y x = 2 son as´ıntotas verticales. La condicion l´ım f (x) = −1 implican que y = −1 y y = 1 son as´ıntotas horizontales.

x→∞

´ ´ que cumple todas las condiEn la grafica se hace un esbozo de una funcion ciones encontradas.

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

´ 2x − 1 − sen x = 0 tiene exactamente una ra´ız 5. a) Demuestre que la ecuacion real. ´ Una funcion ´ tiene una unica ´ Solucion. ´ ra´ız real si ella es continua, monotona y tiene algun ´ punto donde es positiva y otro donde es negativa. Considere ´ f (x) = 2x − 1 − sen x, la cual claramente es continua en todo R. la funcion Ahora, si se deriva se obtiene que f ′ (x) = 2 − cos x ≥ 1, ∀x ∈ R, dado que cos x ∈ [−1, 1], en consecuencia f (x) es estrictamente creciente ∀x ∈ R. Ahora f (0) = −1 < 0 y f (π) = 2π − 1 ≈ 5,2832 > 0, entonces se verifica ´ que f (x) satisface las hipotesis mencionadas, y en consecuencia existe un valor c ∈ [0, π] tal que f (c) = 2c − 1 − sen c = 0.



b) Encuentre dy/dx si y sen x2 = x cos y 2 . ´ Al derivar impl´ıcitamente y aplicar la regla de la cadena, se obSolucion. tiene  



dy dy 2 2 2 2 sen x + y cos x · 2x = cos y + x − sen y · 2y dx dx despejando se obtiene




dy · sen x2 + 2xy sen y 2 = cos y 2 − 2xy cos x2 dx de donde se obtiene

cos y 2 − 2xy cos x2 dy = . dx sen (x2 ) + 2xy sen (y 2 )

c) Halle el l´ımite

l´ım+ (1 + sen x)ln x .

x→0

´ Observe que en el l´ımite se tiene una de las formas de indeterSolucion. ´ (1∞ ), pero utilizando el hecho de la siguiente igualdad minacion ln x (1 + sen x)ln x = eln{(1+sen x) } = eln x·ln(1+sen x)

se tiene que l´ım ln x·ln(1+sen x)

l´ım+ (1 + sen x)ln x = l´ım+ eln x·ln(1+sen x) = ex→0+

x→0

x→0

.

´ tiene una indeterminacion ´ de la forma Ahora, l´ım+ ln x·ln (1 + sen x) tambien x→0

(0 · ∞), entonces

ln (1 + sen x) x→0 1/ ln x cos x − cos x = l´ım+ sen x + 1 = l´ım+ · x ln2 x 1 x→0 x→0 sen x + 1 − 2 x ln x − cos x = l´ım+ · l´ım+ x ln2 x x→0 sen x + 1 x→0 = −1 · l´ım+ x ln2 x = − l´ım+ x ln2 x.

l´ım+ ln x · ln (1 + sen x) = l´ım+

x→0

x→0

x→0

´ tiene la forma de la indeterminacion ´ (0·∞), entonces El ultimo ´ l´ımite tambien 2 ln2 x x ln x l´ım x ln x = l´ım+ = l´ım+ = l´ım+ −2x ln x. x→0+ x→0 1/x x→0 − 12 x→0 x 2

´ entonces Este l´ımite tiene de nuevo la misma forma de indeterminacion, ln x 1/x l´ım+ −2x ln x = −2 l´ım+ = −2 l´ım+ = 2 l´ım+ x = 2 · 0 = 0. x→0 x→0 1/x x→0 −1/x2 x→0

Por tanto,

l´ım ln x·ln(1+sen x)

l´ım+ (1 + sen x)ln x = ex→0+

x→0

= e0 = 1.

´ Habilitacion ´ Calculo I Abril 30 de 2012

Universidad Industrial de Santander

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre:

´ las siguientes instrucciones: Lea con atencion ´ No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen. ´ sin importar si es inferior a la nota definitiva. La nota obtenida en este examen se computara, Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, reglas, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor.


´ 1. Si P a, a2 es cualquier punto en la parabola y = x2, excepto el origen y sea ´ ´ Determine Q el punto donde la l´ınea normal cruza la parabola una vez mas. ´ corta la longitud del segmento de l´ınea P Q. (Ver el valor de a que hace mas Figura A). ´ x2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una 2. La ecuacion elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. y y

Q

b

b

x

P x

Figura A.

Figura B.

3. Un cono de radio r cent´ımetros y altura h cent´ımetros se introduce por la punta con una rapidez de 1 cm/s en un cilindro alto de radio R cent´ımetros que con´ tiene una parte de agua (R > r). ¿Que´ tan rapido sube el nivel del agua en el ´ instante en que el cono esta totalmente sumergido? ´ ´ que cumpla con las siguientes condiciones: 4. Trace la grafica de una funcion f es par, f (0) = 1, f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0, f ′ (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5, ∞), f ′ (x) < 0 en (1, 2), (3, 5), f ′′ (x) > 0 en (4, 6), f ′′ (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6, ∞), l´ım f (x) = −∞ y l´ım f (x) = 2. x→2

x→∞

´ de la Habilitacion ´ de Calculo ´ Solucion I ´ 1. Si P (a, a2 ) es cualquier punto en la parabola y = x2 , excepto el origen y sea Q el punto donde ´ ´ Determine el valor de a que hace mas ´ corta la la l´ınea normal cruza la parabola una vez mas. longitud del segmento de l´ınea P Q. ´ Solucion. Como y = x2 , entonces y ′ = 2x, as´ı la pendiente de la recta tangente en el punto (a, a2 ) es 2a y 1 ´ para la recta normal es la pendiente de la recta normal es − 2a , para a 6= 0. Una ecuacion y − a2 = −

1 (x − a) . 2a

´ de la recta Reemplazando x2 por y se encuentra la coordenada x del punto de interseccion ´ normal con la parabola 1 x2 − a2 = − (x − a) =⇒ 2ax2 + x − 2a3 − a = 0 p2a √ −1 ± 1 − 4 (2a) (−2a3 − a) −1 ± 1 + 16a4 + 8a2 =⇒ x = = 2 (2a) 4a q −1 ± (4a2 + 1)2 −1 ± (4a2 + 1) = = . 4a 4a  1 1 Luego x = a o x = −a − 2a . Por tanto las coordenadas del punto Q son −a − 2a , −a − El cuadrado de la distancia entre P y Q es dado por #2  2 " 2 1 1 L = −a − −a + −a − − a2 2a 2a  2   2 1 1 2 2 = −2a − + a +1+ 2 −a 2a 4a    2 1 1 2 = 4a + 2 + 2 + 1 + 2 4a 4a   1 1 1 = 4a2 + 2 + 2 + 1 + 2 + 4a 2a 16a4 3 1 = 4a3 + 3 + 2 + . 4a 16a4


1 2 2a

Derivando L con respecto a a se obtiene L′ = 8a −

6 4 32a6 − 6a2 − 1 − = 4a3 16a5 4a5

Dado que a 6= 0, entonces se debe encontrar cuando L′ = 0, pero

2 32a6 − 6a2 − 1 = 2a2 − 1 4a2 + 1 ,

entonces L′ = 0 si 2a2 − 1 = 0, de donde a = ± √12 . Ahora L′′ = 8 +

9 5 + 6 > 0, 4 2a 4a

´ corta posible. por tanto, a = ± √12 hace que la longitud del segmento de recta P Q se la mas



.

´ x2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse girada”; es decir, una elipse cuyos ejes 2. La ecuacion no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura B). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas. ´ Solucion. Para encontrar los puntos debemos hacer que y = 0, implicando que x2 − x (0) + (0)2 = 3, √ √ 2 entonces √ x
= 3, y por √ tanto
x = 3 o´ x = − 3. Luego los puntos donde la elipse cruza el eje x son 3, 0 y − 3, 0 . Por otra parte, derivando impl´ıcitamente tenemos que   dy dy dy 2x − y + x + 2y = 0 =⇒ (2x − y) + (2y − x) =0 dx dx dx

dy y − 2x = . dx 2y − x

=⇒

Luego la pendiente en cada punto es: √
√
(0) − 2 3 −2 3 dy y − 2x √ = √ = = =2 dx (√3,0) 2y − x (√3,0) 2 (0) − 3 − 3 y

√
√
2 3 (0) − 2 − 3 dy y − 2x √
= √ = 2. = = dx (−√3,0) 2y − x (−√3,0) 2 (0) − − 3 3

Por tanto la pendiente de las rectas tangentes en los dos casos es 2, y en consecuencia las rectas tangentes son paralelas.

3. Un cono de radio r cent´ımetros y altura h cent´ımetros se introduce por la punta con una rapidez de 1 cm/s en un cilindro alto de radio R cent´ımetros que contiene una parte de agua (R > r). ´ ¿Que´ tan rapido sube el nivel del agua en el instante en que el cono esta´ totalmente sumergido? ´ ´ Considere la siguiente notacion: Solucion. y : altura sumergida en el cono. x : radio correspondiente a la altura sumergida. r H : altura inicial del cilindro. H +s : altura del liquido que queda en el cilindro ´ de empezar a sumergir el cono. despues h ´ Observese que el volumen de agua se puede x encontrar de dos formas: s ´ (a) Multiplicando el area de la base (πR2 ) por y la altura (H + s): V = πR2 (H + s)

H

(b) Sumando el volumen inicial (πR2 H) con el volumen del cono en cada momento ( 31 πx2 y):

R

1 V = πR2 H + πx2 y 3 Como las dos ecuaciones son iguales, se tiene que ´ De la figura se tiene la siguiente relacion

r x = h y

1 x2 y πR2 s = πx2 y =⇒ s = . 3 3R2 r la cual implica que x = y. h

´ para s se obtiene que la altura del cilindro esta´ dada por Reemplazando esto en la ecuacion
2 r y y r2 y 3 x2 y h s= =⇒ s = =⇒ s = . 3R2 3R2 3R2 h2 dy ´ h; = 1cm/s, entonces cuando la altura es h el tiempo transcurrido es tambien dt ds y como el problema pide encontrar , entonces dt t=h ds dy ds 3y 2r 2 dy ds (h)2 r 2 r2 ds = · =⇒ = · =⇒ = · (1) = . dt dy dt dt 3R2 h2 dt dt t=h R2 h2 R2 Ahora, como

Es decir, con que sube el nivel del agua cuando el cono esta´ totalmente sumergido la rapidez ds r2 es = . dt t=h R2

´ ´ que cumpla con las siguientes condiciones: 4. Trace la grafica de una funcion ′ f es par, f (0) = 1, f (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0, f ′ (x) > 0 en (0, 1), (2, 3), (5, ∞), f ′ (x) < 0 en (1, 2), (3, 5), f ′′ (x) > 0 en (4, 6), f ′′ (x) < 0 en (0, 2), (2, 4), (6, ∞), l´ım f (x) = −∞ y l´ım f (x) = 2. x→2

x→∞

´ El signo de la derivada dice donde f es creciente y donde decreciente Solucion. f′ f

(0, 1) (1, 2) (2, 3) (3, 5) (5, ∞) + − + − + ր ց ր ց ր

´ ´ El signo de la segunda derivada dice donde f es concava hacia abajo y donde concava hacia arriba (0, 2) (2, 4) (4, 6) (6, ∞) f ′′ − − + − f ∩ ∩ ∪ ∩ Como f es par, entonces se tiene que f′ f

(−∞, −5) (−5, −3) (−3, −2) (−2, −1) (−1, 0) − + − + − ց ր ց ր ց

y f ′′ f

(−∞, −6) (−6, −4) (−4, −2) (−2, 0) − + − − ∩ ∪ ∩ ∩

´ f par y f ′ (1) = f ′ (3) = f ′ (5) = 0, implican que f ′ (−1) = f ′ (−3) = f ′ (−5) = 0; La condicion ahora, si agregamos las caracter´ısticas encontradas con la primera y segunda derivada, se ´ obtiene que en x = −5, 5 hay valores m´ınimos locales, y en x = −3, −1, 1, 3 hay maximos locales.

´ f par junto con el hecho que l´ım f (x) = −∞, implican que x = −2 y x = 2 son La condicion x→2

´ f par, junto con el hecho que l´ım f (x) = 2 implican que as´ıntotas verticales. La condicion x→∞

y = 2 es as´ıntota horizontal. ´ ´ que cumple todas las condiciones encontradas. En la grafica se hace un esbozo de una funcion y

b

y = f (x) b

b

b

b

b

b

b

b

b

´ del puntaje Distribucion ´ 1. 0,2: derivar la ec. de la parabola ´ normal 0,2: encontrar la ecuacion 0,2: encontrar las coordenadas del punto Q ´ para la distancia entre P y Q 0,3: encontrar la ecuacion ´ de la distancia 0,2: derivar la ecuacion 0,15: el resto 2. 0,3: Encontrar los puntos de corte con los ejes 0,4: derivar implicitamente y despejar dy/dx 0,3: reemplazar en los puntos de corte 0,25: determinar que las rectas tangentes son paralelas ´ del problema 3. 0,2: Interpretacion ´ de y 0,4: encontrar s en funcion ´ entre h y t 0,2: analizar relacion 0,2: aplicar regla de la cadena 0,25: encontrar ds/dt cuando t = h 4. 0,2: Intervalos de crecimiento y decrecimiento; 0,2: intervalos de concavidad; ´ 0,2: maximos y m´ınimos; 0,2: as´ıntotas horizontal y vertical; ´ ´ 0,45: grafica de la funcion.

b

b

b

b

b

b

x

´ Habilitacion ´ Calculo II Abril 30 de 2012

Universidad Industrial de Santander

Grupo

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

´ Codigo:

Nombre: Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de calculadoras ni de telefonos celulares durante el examen.

Z

x

Z

xp

et ´ g(x) = √ dt 1. Encuentre la derivada de la funcion x t 2

´ f tal que x = 1 + 2. Determine una funcion toda x > 1.

1 + [f (t)]2dt, para

1

´ 3. Determine el area de la superficie obtenida al hacer girar la curva y = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1, respecto al eje x. ´ 4. Determine el volumen del solido cuya base es un cuadrado con ´ vertices ubicados en (1, 0), (0, 1), (−1, 0), (0, −1) y todas las secciones transversales perpendiculares al eje x son semic´ırculos. 5. El tanque de la figura esta´ lleno de agua, calcule el trabajo necesario para bombear todo el agua por el orificio indicado. 6m 20 m 5m

15 m

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Nombre:

´ Habilitacion Ec. Diferenciales Abril 30 de 2012

Grupo

´ Doris E. Gonzalez R. ´ Codigo:

Instrucciones: Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas. ´ Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen. ´ ´ No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc. ´ es la comprension ´ de los enunciados. El profesor no respondera´ preguntas, porque parte de la evaluacion Todos los puntos tienen el mismo valor. ´ No se permite el uso de calculadoras ni de telefonos celulares durante el examen.

´ diferencial (x − 3)2 y ′′ + (x − 3) y ′ + y = 0. 1. Resuelva la ecuacion ´ Establezca un intervalo donde este´ definida la solucion. 2. Un tanque en forma de cono cil´ındrico recto y lleno al tope, con ´ el vertice hacia arriba, esta´ goteando agua por un orificio circular situado en la parte inferior. Suponga que el tanque tiene 20pies de altura y radio de 8pies, y el orificio circular tiene radio de 2pulgadas, localizado en el centro de la base circular . Asuma que el coefi´ ´ es de c = 0,6 y g = 32f t/seg 2 . Si el ciente de friccion/contracci on ´ tanque esta´ lleno cuanto tardara´ en vaciarse? 3. Un proyectil disparado desde un arma tiene un peso de w = mg y velocidad v tangente a su trayectoria de movimiento. Ignore la ´ fuerzas que actuan resistencia del aire y todas las demas ´ sobre el proyectil, salvo su peso, y determine un sistema de ecuaciones diferenciales que describan la trayectoria del movimiento. Resuelva el sistema. ´ 4. Cuando una viga uniforme esta´ soportada por una base elastica, 4 dy w(x) ´ diferencial para su deflexion ´ y(x) es 4 +4a4y = la ecuacion , dx EI ´ y(x) de una viga donde a es una constante. Encuentre la deflexion ´ de longitud π soportada elasticamente y que esta´ empotrada en concreto por ambos extremos cuando se aplica una carga concentrada wo en x = π/2.

Taller sobre derivadas ´ Calculo I Marzo de 2013 ´ Prof. Doris Gonzalez

Universidad Industrial de Santander

Facultad de Ciencias ´ Escuela de Matematicas

Grupo

´ Codigo:

Nombre:

1. Sea g(x) =

(

−1 − 2x si x < −1 si −1 ≤ x < 1 x2 x si x≥1

´ es discontinua. (a) Determine en que puntos la funcion ´ g es diferenciable. (b) Determine en que puntos del dominio la funcion ´ (c) Proporcione una formula para g′ y ´ (d) trace las graficas de g y g′ . dy ´ escriba una ecuacion ´ para la recta tangente a la grafica ´ ´ , despues de la ecuacion dx xy 3 − x5 y 2 = 4 en el punto (1, 2). ¿Existen puntos donde la recta tangente sea horizontal? ¿Existen puntos donde la recta tangente sea vertical? Si existen, ¿cuales son dichos puntos? Explique.

2. Encuentre

3.

a) Si f (x) = h(g(x)) y h(2) = 55, g(−1) = 2, h′ (2) = −1 y g′ (−1) = 7, determine f ′ (−1).

b) Encuentre y ′′ si x7 + y 7 = 1. 4. Encuentre

dy , si: dx

2 a) y = cot(sec 5x). 3 h i2/3 b) y = 1 + (2 + 7x)−3/2 . 5.

c) x3 cos y + sen(2x2 y) = x2 y 2 . d ) y = cos

p

sen (tan πx).

 2 ´ de la tangente a la curva y = ln xex , en el punto (1, 1). a) Determine una ecuacion

´ ´ y = ax2 + by + c, que tiene pendiente 4 en x = 1, pendiente −8 b) Hallar una parabola con ecuacion ´ del punto (2, 15) . en x = −1 y pasa a traves y

´ x2 − xy + y 2 = 3 representa una “elipse 6. La ecuacion girada”; es decir, una elipse cuyos ejes no son paralelos a los ejes de coordenadas (ver Figura A). Encuentre los puntos en que esta elipse cruza el eje x y demuestre que las rectas tangentes en estos puntos son paralelas.

x

Figura A.