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Preguntas propuestas
GEOMETRÍA
1
2 3 4
Geometría 4.
Triángulos I
A partir del gráfico, calcule x+y+z+w.
NIVEL BÁSICO
1.
y θ
Del gráfico, calcule x.
θ 2x – 100º
x
2.
B) 80º
C) 70º E) 53º
5.
Según el gráfico, calcule x.
En el gráfico, a+b=135º. Calcule x. a
x
b
β
α
x
20º α β
50º A) 50º D) 40º
3.
z
w
A) 100º B) 150º C) 180º D) 400º E) 200º
2x
A) 60º D) 75º
100º
x
B) 20º
α
θ
θ
A) 100º B) 110º C) 120º D) 135º E) 105º
C) 70º E) 110º
En el gráfico, calcule a – b.
6.
Del gráfico, calcule a.
140º θ b
...
A) 20º D) 80º
θ
θ
a
θ
B) 70º
C) 40º E) 90º
3α
α A) 10º D) 25º
B) 15º
2
5α C) 20º E) 30º
Geometría 7. Del gráfico, calcule x. α
β
10. En la figura, w+b=180º. Calcule a. ω
θ
θ β+α
70º x
ω α
ω
β
θ
4α
θ
5α
A) 75º B) 70º C) 80º D) 85º E) 90º
8. Según el gráfico, calcule x.
A) 9º B) 18º C) 16º D) 15º E) 14º
11. A partir del gráfico, calcule x.
β
110º
β
β α
40º
α
x
A) 70º B) 60º C) 55º D) 80º E) 65º
9. A partir del gráfico, calcule x+y+z. α α ω
2α
y
A) 90º B) 120º C) 150 D) 180º E) 360º 3
2θ
12. En el gráfico, calcule x. Si a+2b=140º.
x
α
z ω
θ
α
A) 40º B) 80º C) 100º D) 120º E) 110º
NIVEL INTERMEDIO
β
x
ω
θ
x
θ
β
β
A) 20º B) 30º C) 40º D) 50º E) 60º
Geometría A) 80º B) 120º C) 90º D) 160º E) 220º
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico, calcule q. ω
θ
α
15. En el gráfico, m ABC=m DBE – 30º y BF // AM.
150º
Calcule b. 80º α
ω
C
θ
5β A) 70º D) 75º
B) 35º
C) 40º E) 50º
B
D
θ
4β
14. A partir del gráfico, calcule x+y. 3β
40º α
θ
α
2β
β
y
x θ
α
A) 5º B) 6º C) 10º D) 8º E) 12º
...
4
F
6β
M
Geometría Triángulos II
4. En el gráfico, AB=BC, calcule m EBC. B
NIVEL BÁSICO
3θ θ
1. Del gráfico, calcule x.
28º
40º β 3β
50º A
C E
x
A) 20º B) 30º C) 5º D) 25º E) 35º
76º 65º
5. En el gráfico, AB=BC y BD=BE. Calcule x.
A) 100º B) 120º C) 101º D) 135º E) 102º
B
2. En el gráfico, AB=BC. Calcule x. A
30º E
x
x
20º
20º
C
40º
A
D
C
A) 30º B) 10º C) 12º D) 15º E) 20º
B
A) 5º B) 10º C) 12º D) 15º E) 20º
6. A partir del gráfico, calcule x. θ θ
3. En el gráfico, el triángulo ABC es isósceles (AB=BC) y el triángulo BDC es equilátero. Calcule x. B A) 5º B) 10º C) 15º D) 25º E) 35º 35º A
D 5
x
α 32º
5x
C
A) 64º B) 31º C) 16º D) 60º E) 34º
α
Geometría 7. Del gráfico, calcule x.
10. Según el gráfico, calcule x. β
β
β ω
2x
4x ω
α
A) 12º B) 15º C) 18º D) 16º E) 14º
A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º E) 40º
θ θ
2β
β
70º
β 70º
8. Del gráfico, calcule x.
x
β
α
x
11. A partir del gráfico, calcule x. n
mm A) 80º B) 40º C) 70º D) 60º E) 50º
40º
β
α
n
α β
NIVEL INTERMEDIO x
9. En el gráfico, AB=BC y PQ=QR. Calcule x.
A) 40º B) 80º C) 60º D) 45º E) 20º
B α
12. Según el gráfico, calcule x.
P Q
...
A
α x
R
α α 4α
C
θ
θ x
A) 40º B) 50º C) 55º D) 60º E) 65º
β
β
40º
A) 90º B) 80º C) 120º D) 100º E) 110º 6
Geometría A) 90º D) 120º
NIVEL AVANZADO
13. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AP. Si AC=AB+PC y 2(m BAP)=6(m PAC)=3(m PCA), calcule m ABC.
B) 100º
C) 110º E) 135º
15. En el gráfico, L 1 y L
2 son mediatrices de AB y BC, respectivamente. Calcule x.
B x
A) 18º D) 120º
B) 36º
C) 108º E) 72º
14. Según el gráfico, b+f=180º. Calcule x.
L1 A
θ θ φ
x α α β
A) 100º B) 70º C) 110º D) 105º E) 140º
x
7
α α
L2 55º θ
θ C
Geometría 4. En el gráfico, calcule x si AB=DE y BC=CD.
Congruencia de triángulos
E
NIVEL BÁSICO
1. En el gráfico, PS=SR. Calcule RM si NS=7. D
R
130º M
x
S
B
C
A) 130º B) 50º C) 65º D) 70º E) 80º
P
5. En el gráfico, ABC y CDE son triángulos isós-
N
A
celes de bases AB y DE, respectivamente. Si AD=BE, calcule x.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
C x
2. Calcule x, si AC=CD y BC=CE.
40º E
B A
5
B
D A
C
E
D
x–6
A) 10º B) 30º C) 40º D) 20º E) 15º
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
6. En el gráfico, AB=DE, BD // AC, AC=8 y CE=2, calcule BD.
3. En la figura, AP=8. Calcule CD.
...
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 11 α A
D
B θ
θ B 2α
C
2α P
A
C E
α D
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 8
Geometría 7. Según el gráfico, AB=BD=5 y CD=3. Calcule ED.
10. En la figura, calcule x si AB=BC,
AM=QC y AQ=NC.
B B
θ
70º
A
θ
N
M θ
E
C x
D A) 1 B) 2 C) 4 D) 2,5 E) 3
Q
A
C
A) 66º B) 55º C) 58º D) 70º E) 56º
8. Se tiene el triángulo ABC equilátero. Si BP=7 y CQ=5, calcule PQ.
11. A partir del gráfico, AB=PB y BQ=BC. Calcule x.
B
B
θ
Q
A
Q
x
θ
P
80º
80º
P
θ
C
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
C
A
A) 100º B) 105º C) 110º D) 115º E) 120º
NIVEL INTERMEDIO
12. Calcule x si AB=ED y AE=CD.
9. En el gráfico, AB=CE y AB+DE=15. Calcule AE. B
θ
A
C
D
θ
70º
θ
C
E
A) 12 B) 17,5 C) 15 D) 30 E) 7,5 9
x
B
A
70º E
A) 55º B) 58º C) 63º D) 65º E) 70º
D
Geometría B
NIVEL AVANZADO
N
13. En la figura, calcule x si BC// DF, BC=DF y AD=CE. A
B
C M
6 A
C
E
D x
A) 9 D) 13
B) 11
C) 10 E) 12
15. Según la figura, calcule x si BP=AQ. B
F
4x 5x
A) 8 B) 4 C) 3 D) 6 E) 5
P θ
14. En el gráfico, los triángulos ABC y BMN son
A
equiláteros. Si BM=6 y AB=5, calcule el perímetro de la región triangular AMC.
A) 9º D) 5º
13x
Q
θ
9x B) 8º
...
10
C) 4º E) 4,5º
Geometría
Aplicaciones de la congruencia
4. En el gráfico, L es mediatriz de AC. Si AB=3 y PC=5, calcule x.
NIVEL BÁSICO B
L P
1. En el gráfico, AB=5, BC=3 y AD=2. Calcule CD. B
x
A β β
A
C
C
A) 37º B) 53º C) 37º/2 D) 53º/2 E) 30º
D
5. En el gráfico siguiente, AM=MB, AD=DL y
A) 4 B) 5 C) 4 2 D) 3 2 E) 5 2
CE=EL. Si ED=2, calcule MN. B
2. En la figura, BC=3 y CD=5. Calcule x. B
M θ C
β
A
N
E
D
x
β
A
D
A) 37º B) 53º C) 37º/2 D) 53º/2 E) 30º
L
θ
C
A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 2,5
6. En la figura, AB=CD y AF=FE. Calcule x.
B
3. En el gráfico, L es mediatriz de AD y AB=CD. Calcule x.
D
B x
x
C
A
40º
L
D
A) 40º B) 60º C) 80º D) 100º E) 120º 11
A
F
E
A) 37º B) 45º C) 30º D) 53º E) 60º
C
Geometría 7. En el gráfico, BC=8 y AD=1. Calcule x.
10. En la figura, AB=CD. Calcule x.
B
D
A x 15º
A
D
8. En la figura, BP=PQ, ML=LQ y AC=2(AM)=12.
C
11. En la figura, BD=DC y AE=3(EC). Si ED=2, calcule EC.
Calcule PL. P
B A) 10º B) 15º C) 75º D) 30º E) 45º
A) 30º B) 60º C) 53º/2 D) 127º/2 E) 53º
Q
53/2º
x
C
B
B
D L
A
M
C
A
E
C
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
12. A partir del gráfico, AM=MC y AC=BF. Calcule x.
NIVEL INTERMEDIO
B
9. En la figura, calcule FP si MR – RQ=12. F
P
x
Q A
...
θ 90º – 2θ
M A) 10 B) 8 C) 12 D) 15 E) 16
R
M F
A) 45º B) 37º C) 53º D) 30º E) 60º 12
C
Geometría 14. Del gráfico, BD=8. Calcule AC.
NIVEL AVANZADO
B
13. Según la figura, calcule x si 3(AP)=5(PD).
θ
B α
α θ
C A) 24 D) 8
P
3θ
D
2θ
C
θ
x A
A
B) 12
C) 4 E) 16
D
15. En un triángulo ABC, las mediatrices de AB y
BC se intersecan en O, tal que 8(BO)=5(AC). Calcule m ABC.
A) 10º B) 20º C) 37º D) 53º E) 60º
A) 53º D) 30º
13
B) 37º
C) 60º E) 45º
Geometría 4. En el gráfico, ABCD es un romboide AM=MB y
Cuadriláteros
PN=ND. Si AD=16 y DC=4, calcule MN. NIVEL BÁSICO
P
B
C
1. Del gráfico, calcule x. A) 20º 2x B) 30º C) 36º D) 18º E) 15º
M
x
N
θ
θ
A
D
A) 10 B) 14 C) 13 D) 16 E) 12 4x
3x
5. En el gráfico, ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD). Si AP=2(BD), calcule m APD.
2. Si ABCD es un trapecio isósceles y PCD es un triángulo equilátero, calcule x. (BC // AD). B
B
θ
C
C
x 90 – θ A
A
D
P
P
A) 60º B) 80º C) 100º D) 120º E) 150º
D
A) 36º B) 37º C) 53º/2 D) 53º E) 30º
3. En el gráfico, BC // AD. Si AB=4, CD=6 y AD=8,
6. Del gráfico, calcule x.
calcule PQ. B β
β
θ
45º
C θ
...
x
A
Q
P
A) 3 B) 6 C) 2 D) 4 E) 5
D
A) 15º B) 30º C) 22,5º D) 18,5º E) 26,5º 14
Geometría 7. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y DAE es un triángulo isósceles. Si AD=AE, calcule m BED. B
C
A
D
AM=MD. Si AB=6 y BC=8, calcule x. B
C
P
E
10. En la figura, ABCD es un rectángulo, PC=3AP y
A) 37º B) 36º C) 45º D) 53º E) 60º
x
A
M
D
A) 37º B) 53º C) 60º D) 30º E) 45º
8. En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si PD=5 y PH=3, calcule x.
11. En el gráfico, ABCD y BEFC es un rombo y un cuadrado, respectivamente. Calcule x.
B
C
H
E
F
B
C
P
x A
x D
A
A) 30º B) 60º C) 53º D) 37º E) 53º/2
D
A) 30º B) 37º C) 45º D) 53º E) 60º
NIVEL INTERMEDIO
12. En el gráfico, ABCD es un cuadrado de centro O. Si EO=5, calcule CE.
9. En el gráfico, BC // AD y AM=MB. Si BC=1, CD=10 y m CMD=90º, calcule AD. B
E
B
C
C
O
M
53º
A
D
A) 9 B) 5,5 C) 8 D) 7 E) 11 15
A
F
D
A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5
Geometría A) 7
NIVEL AVANZADO
13. En un trapecio isósceles de diagonales perpendiculares, la altura mide 4 y la base menor 2. Calcule la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. A) 2 D) 5
B) 8
C) 9
D) 10
B) 3
E) 11
15. Si PBQC y ABCD son paralelogramos. En el gráfico, si PD=6, calcule BH. Q
C) 4 E) 6
B
C
H
14. Según el gráfico, ABCD es un romboide BC=10 y AB=6. Calcule PC. B
A
P
C
θ θ
2θ
A) 3 B) 2
P
C) 4 D) 1
A
D
E)
3
...
16
D
Geometría 4.
Circunferencia
En el gráfico T es punto de tangencia. Si AB=3, calcule BC.
NIVEL BÁSICO
1.
T
A B
Del gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule x. B A
5
x
C
3x 2x
A) 20º D) 40º
2.
A) 2 D) 5
C
D B) 30º
C) 36º E) 45º
5.
Según el gráfico, calcule x si A y B son puntos de tangencia.
B) 3
En el gráfico, a+b=180º, AB=6 y CD=8. Calcule R. A
A) 3 α
B) 4 C) 5
100º
B
D) 6 A
R
E) 8
B x
A) 35º D) 45º
3.
C) 50º E) 30º
6.
α
N
B
S 8
P C
A
12
N
M
M
A) 80º D) 90º
β
En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule la longitud de la base media del trapecio MNPQ (NP//MQ).
En el gráfico, RS//MN. Calcule b – a.
β
D
C
B) 55º
R
C) 4 E) 6
B) 100º
C) 60º E) 120º
D
A) 8 D) 9
B) 12
17
Q C) 10 E) 11
Geometría 7.
En el gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule x.
= 20º. Calcule x. 10. En el gráfico, m MN A
A
x x
130º C D
B A) 20º D) 36º
8.
B) 60º
C) 40º E) 37º
En el gráfico, A, B, C, E y F son puntos de tangencia. Calcule x.
M O
B
A) 20º D) 50º
B) 40º
C) 36º E) 35º
11. Según el gráfico, P, T y C son puntos de tangencia. Calcule x.
40º B
P
x
A
N
C T
F
E 40º
x C
A) 45º D) 30º
B) 55º
C) 60º E) 53º
A) 20º D) 30º
B) 25º
C) 40º E) 60º
12. Según el gráfico, P y Q son puntos de tangencia. Si AP=4(OM)=4 y R=3, calcule x.
NIVEL INTERMEDIO
9.
A
En el gráfico, EC=CB. Calcule m CB . m AB A
x B
Q
R B
E
P C
A) 1 D) 1/4
B) 1/2
C) 1/3 E) 3/4 18
A) 48º B) 58º C) 68º D) 78º E) 29º
O M
Geometría NIVEL AVANZADO
B
A) 100º
13. Del gráfico, T es punto de tangencia y 2(AB)= 2(TB). Calcule
. mCT
B) 80º C) 120º
F
A
D) 40º
D
E
E) 60º
C
x
T
15. Según el gráfico, HN=BN=AB, AM=MB y mHND=80º. Calcule mLMO.
45º A A) 20º D) 10º
B
A) 40º B
C B) 15º
M
A
B) 50º C) 25º E) 30º
14. Según el gráfico, m AB + 2( m DFC ) = 200º y F
L
C) 55º D) 60º
O N
E) 80º
D
es punto de tangencia. Calcule x.
H
19
Geometría Posiciones relativas entre dos circunferencias
4.
En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia. Calcule x.
NIVEL BÁSICO
1.
C
En el romboide ABCD, calcule el inradio del triángulo ABP si BP=3 y AP=4. B θ
B
C
θ
x 110º A
P α α
A A) 4 D) 1
2.
A) 35º
D B) 3
C) 45º
D) 70º
C) 2 E) 5
5.
E) 50º
En el gráfico, BC = 2 3 y AD = 7. Calcule AB.
En el gráfico mostrado, ABCD es un trapecio AB si B, isósceles de bases BC y AD. Calcule m D y T son puntos de tangencia. A) 90º B) 120º C) 75º D) 150º E) 135º
B) 60º
C B
B C A
30º A T
3.
D A) 1 D) 4
En el gráfico, AD+BC=28 y AB+CD=20. Calcule EF. Considere que H, I, J, K, M, N, P y Q son puntos de tangencia. E D
D
6.
B) 6
C) 3 E) 9
Según el gráfico, calcule x.
A
N
I
100º P
M
x
H 150º
J C A) 4 D) 6
K
F B) 7
Q C) 10 E) 8 20
B A) 45º D) 50º
B) 70º
C) 90º E) 60º
Geometría 7.
10. En el gráfico, calcule x.
En el gráfico, calcule q. 7θ
x
x
30º
20º
3θ
A) 18º D) 9º
8.
B) 10º
A) 25º D) 50º
C) 19º E) 5º
En el gráfico, calcule r si BC=2 AB=AE y CD=DE. Considere que M, N, P, Q, F, G y H son puntos de tangencia.
E
Calcule x.
R
R
H
G
A
11. En el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia.
B
P
M
C) 30º E) 70º
C
N
B
B) 10º
x
A
C
r
F
D
Q
A) 1 D) 4
B) 2
C) 3 E) 5
A) 60º D) 100º
B) 90º
C) 110º E) 120º
12. Si P es punto de tangencia y m AB = 100º, calcule x.
P NIVEL INTERMEDIO A
9.
x
En el gráfico, calcule x+y+z.
y
x
B
z A) 180º D) 270º
B) 300º
C) 360º E) 250º
A) 135º B) 125º C) 100º D) 130º E) 120º
21
Geometría A) 40º D) 35º
NIVEL AVANZADO
13. En el gráfico m ABC = 200º. Calcule m ABD.
B) 50º
C) 70º E) 65º
15. Según el gráfico, C y D son puntos de tangencia, 3r=2R y AH=HD. Calcule m AOH.
A
C
A) 120º D) 160º
R
B
B) 100º
D
H A
C) 140º E) 240º A)
53º 2
D)
127º 2
14. En un triángulo ABC se ubica R en su región interior. Si m RAB=m RCB, m RCA=m RBA y m RAC=40º, calcule m ACB.
22
O
D r B B) 45º
C C) 53º E)
143º 2
Geometría Proporcionalidad de segmentos y Semejanza de triángulos
4.
En el gráfico, CD=9 y AB=16. Calcule BC. D
C
NIVEL BÁSICO
1.
En el gráfico, L 1 // L 2 // L 3. Calcule b – a.
L1 a
3
A
12
B
L2 15
5
A) 10 D) 14
b
L3 5. A) 20 D) 15
2.
B) 9
C) 12 E) 11
B) 12
C) 13 E) 15
En el gráfico, MN//AC, AB=12, BC=16 y BN=7. Calcule MA. B
En el gráfico, L 1 // L 2 // L 3, AB=x+1, BC=3x+13, PQ=x y QR=12. Calcule AC. N
M P
A
Q
B
A) 5 D) 10
B) 4
C
A
L2 R
C
3.
L1
L3
C) 8 E) 20
En el gráfico, AB=8, BC=6 y AC=7. Calcule QR.
6.
A)
3 4
D)
21 4
B)
27 4
C)
17 4
E)
13 4
En el gráfico, BD=2 y CD=6. Calcule AB. B
β
B θ θ
D
β α
A A) 16 D) 21
R
C B) 12
α
Q C) 14 E) 24
A
C
A) 2 D) 5
B) 3
23
C) 4 E) 6
Geometría 7.
En el gráfico, BH=6, HE=8 y BD=16. Calcule AH.
10. Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si 2(DP)=3(PB) y AB = 5 2, calcule QD.
D
A) 21/2 B) 8
P
45º C
B
C) 13,5 D) 22 E) 16,5
A
Q
C
B
H
E D
A
8.
Si ABCD es un paralelogramo, AB=18 y AP=4(PQ), calcule PD. B
C
A) 6 D) 3 2
B) 3,5
C) 4 E) 4 2
11. Si CH=2 y HB=4, calcule AC. Q
P D
A A) 4,5 D) 8
B) 4
A
C) 6 E) 10
A) 2 2
C
H
B) 2 3
D) 3 2
NIVEL INTERMEDIO
B C) 3 3 E) 3
12. En el gráfico, T es punto de tangencia, OT // MR 9.
Del gráfico, se sabe que ABCD es un cuadrado y DF=2(ED)=4. Calcule BE. B
O
E θ
D
B) 2
M
T F
A) 5 D) 6
R
C θ
A
y (OT)(MR)=24. Calcule RT.
C) 3 E) 4
24
A) 4 D) 2 3
B) 3 6
C)
6
E) 2 6
Geometría NIVEL AVANZADO
13. En un trapecio ABCD (BC // AD), la bisectriz del ángulo ABC interseca a AD en F, además, se ubican los puntos M y N en AB y CD, respectivamente. Si MN // AD, FN // AC, BM=2 y FD=24, calcule AM. A) 4 B) 9 C) 6 D) 8 E) 5
14. En un rombo ABCD, de centro O, se ubica G en AD, m BOG+m BCO=180º y (AB)(GD)=36. Calcule BO. A) 4 D) 8
B) 6
C) 9 E) 12
15. En un triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BM, además, se ubica un punto P en su región interior, tal que m MPC=m PAC+m ACP. AB Si 2(AP)=5(PM), calcule . BC A) 3/2 D) 5/2
B) 2/3
25
C) 4/3 E) 2/5
Geometría 4.
Relaciones métricas I
Según el gráfico, AB=9, AD=8 y BC=7. Calcule ED.
NIVEL BÁSICO
1.
C
Según el gráfico, BC=24 y AC=25. Calcule BH.
B
B A
D E
A A) 4,67 D) 3,28
2.
A) 8 D) 7
C
H B) 5,18
C) 6,72 E) 6,12
5.
B) 9
C) 6 E) 10
Según el gráfico, AB=3, BC=5 y CD=12. Calcule CE.
Según el gráfico, T es punto de tangencia,
E
= 270º. Calcule r. AT=8, TB=2 y m MN
C B
r
M
3.
D
N
A A) 1 D) 4
A
B
T B) 2
C) 3 E) 5
A) 2 D) 5
6.
B) 3
C) 4 E) 6
En el gráfico, BH=4,5, HC=8 y CD=10. Calcule QH.
Según el gráfico, A es punto de tangencia, AB=10 y BC=CD. Calcule BC.
B
A
H
C
Q B
C
A) 4 2 D) 5 2
B) 10
D
A
D C) 8 E) 5 26
A) 9 D) 10
B) 4
C) 5 E) 6
Geometría 7.
Del gráfico se sabe que MH=2(BM), AH=4 y HC=9. Calcule x.
A) 9
B) 10
C) 12
D) 16
E) 13
B
A) 53º B) 37º C) 60º D) 30º E) 45º
10. Según el gráfico, AB=8, BC=2 y CD=4. Calcule
x
DE.
M E A
8.
H
B
C
A
D C
En el gráfico, AB=7, BC=5 y AD=29. Calcule CD. B
C A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
A
D
A) 30 D) 23
B) 21
11. En el gráfico, GM=2(AG) y MG=2. Calcule r.
C) 25 E) 24
M G
NIVEL INTERMEDIO
r
9.
En el gráfico, AQ=18 y PQ=16. Calcule BP.
A
B A) 2 6
Q
B) 2 3
P θ A
θ
C) 3 D) 2 2 C
E)
5
27
Geometría 12. En el gráfico, T es punto de tangencia TD=6, BC=5, ED=2 y CD=4(AB). Calcule EF. A) 16 B) 14 C) 18 D) 15 E) 20
F
A) 53º
C) 106º E) 90º
14. En un paralelogramo ABCD, se traza una
E D C B
circunferencia por A, B y D, la cual interseca a AC en un punto R. Si BD=6 y AC=8, calcule RC. A) 5/4
A
B) 82º
D) 74º
T
B) 9/4
D) 13/4
C) 2 E) 7/4
15. En la hipotenusa AC de un triángulo rectángulo
NIVEL AVANZADO
ABC, se ubica el punto N y en AB se ubica el punto medio M. Si m MNC=m BCA, AN=3 y
13. En un triángulo rectángulo ABC, recto en
NC=7. Calcule BC.
B, se ubica P en la prolongación de la altura BH. Si AP=6, AH=4 y CH=5, calcule
A) 2 5
m HBC+m APH.
D) 6
28
B) 5
C) 2 3 E) 8
Geometría 4.
Relaciones métricas II
En el gráfico, AB=8, BC=12 y AC=14. Si AM=MC, calcule BM.
NIVEL BÁSICO
1.
B
En el gráfico, AB=5, BC=7 y AC=10. Calcule AH. B
A
H
A) 3,8 D) 2,8
2.
C
B) 4
5.
A) 3 3
B) 5 5
C C) 55 E)
65
Según el gráfico, AN=4 y ND=7. Calcule (LC)2 – (LB)2.
En el gráfico, AB=12, BC=9 y AC=5. Calcule CH.
B
B
L
C
N
A
3.
M
D) 2 14
C) 5 E) 3
A) 4 B) 3,8 C) 4,2 D) 4,5 E) 5
A
A
H
C
D
A) 30 D) 36
En el gráfico, AB=10, BC=14 y AC=12. Calcule AH. B
6. H
B) 35
C) 32 E) 28
Según el gráfico, AB=5, BC=10 y AC=12. Calcule BD. B θ θ
A A)
25 6 7
D) 3 6
C B) 7 6
C)
53 6 14
E)
24 6 7
A
C
D
A) 5 D) 4 2
B) 6
C) 3 2 E) 4
29
Geometría 7.
En el paralelogramo ABCD, AB=8 y BC=10. Calcule (AC)2+(BD)2. B
A) 13 D) 8
B) 9
C) 12 E) 10
10. En el gráfico, AB=15, BC=13 y AC=14. Calcule
C
ED.
B
A) 15/4 B) 13/4 C) 7/4
A) 82 D) 246
8.
D) 5/4
D
A B) 164
E) 1
A
C
E
C) 328 E) 400
D
En el gráfico, a2+b2=12. Calcule (AD)(DC).
11. En el gráfico, AB=13, BC=9, BM=10 y AM=MC. Calcule MQ.
B
B
b A
C
A
a θ θ
C
Q
D A) 6 D) 3
M
B) 12
A) 2,5 D) 25/4
C) 24 E) 36
B) 5,2
C) 25/2 E) 4
12. En el gráfico, BC//AD. Si AB=7, BC=3 y
CD=AD=8, calcule la longitud de la altura del trapecio ABCD.
NIVEL INTERMEDIO
9.
B
Según el gráfico, AEBD es un rombo. Si AB=13, AC=14 y BC=15, calcule BH. E
C
B
D
A
H
A
D
30
C
A) 3 D) 6
B) 4 3
C) 5 3 E) 7
Geometría A) 8
NIVEL AVANZADO
C) 3 2
B) 7
D) 3 3
13. En un triángulo ABC, AB=6, BC=8 y AC=7. Calcule la longitud de la bisectriz interior relativa a AC. A) 5
B) 6
14. En
triángulo
ABC,
AB=2,
m BAC=2m BCA. Calcule BC.
y ED=4.
B) 7/4
E) 9 un
15. Según el gráfico, calcule AB si CD=15, CE=13
A) 5/4
C) 7
D) 8
E) 4 2
C
C) 15/4 AC=7
y
O
D) 13/4 B
E) 1
A
31
D
Geometría 4.
Áreas de regiones planas I
Según el gráfico, AB=5, BC=6 y AC=7. Calcule r. A
NIVEL BÁSICO
1.
Según el gráfico, ABCD es un cuadrado. Si M=3S y PC=1, calcule BC. B
r B
C
S
C
2 6 A) 3
P
B) 6 6
C) 2 6
D) 3 6
m A
5. D
6 4
E)
Según el gráfico, BQ=3(QP)=6 2. Calcule el área de la región sombreada. P
A) 2 3
B) 3 2
D) 2
2.
45 Q
C) 2 2 E) 3
En el gráfico, 7(AD)=3(CD) y el área de la región ABC es 120. Calcule el área de la región sombreada.
A A) 8
B
A A) 63 D) 98
B) 16
C
D B) 84
E) 24
B E
C) 91 E) 70
F
A 5 6 3 7 6 D) 9 A)
D) 4 21
C) 82 2
Según el gráfico, ABC es equilátero. Si FC=EB+1 y AC=5(EB)=10, calcule el área de la región sombreada.
Los lados de un triángulo ABC miden AB=5, BC=8 y AC=11. Calcule el área de la región ABC. A) 21
B
D) 42 6
6.
3.
C
B) 2 21
C) 3 21 E) 6 7
C B)
32
4 2 9
7 3 2 7 7 E) 2 C)
Geometría 7.
En el gráfico, BM=MC, AP=2(PB) y el área de la región ABC es 42. Calcule el área de la región sombreada.
10. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia,
AB=6 y BC=8. Calcule el área de la región triangular ABC.
B
B Q
P
P M
4 C
A A A) 28 D) 24
8.
C B) 35
A) 18 D) 36
C) 36 E) 21
B) 26
C) 28 E) 38
11. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia.
En el gráfico, T es punto de tangencia. Si AB=BD y AT=10, calcule el área de la región sombreada.
Si OP=4 y r=3, calcule el área de la región sombreada.
T B
A
C
O A) 16 D) 27
D A) 30 D) 75
B) 40
Q
r
C) 50 E) 100
P
B) 18
C) 24 E) 30
12. Según el gráfico, (AC)(BH)=30, calcule el área de la región triangular ABC.
NIVEL INTERMEDIO
9.
B
En el gráfico, AB=BC, AD=6 y CD=10. Calcule el área de la región sombreada.
β
B H
A A) 15 D) 24
D B) 20
A
C C) 18 E) 30 33
A) 9 D) 10
2β
B) 12
C C) 15 E) 30
Geometría Q
B
NIVEL AVANZADO
C
P
13. Según el gráfico, P es punto de tangencia. Calcule el área de la región sombreada.
S A
D
A) 36 D) 16 P 5
B) 18
C) 24 E) 12 3
= 37º. Calcule la razón de 15. En el gráfico, m BD áreas de la regiones sombreadas.
A) 20
B
B) 36 C) 40 D) 15 E) 18
D
14. En el gráfico, si ABCD es un rectángulo, P, Q y S son puntos de tangencia, además, AB=6 y
A) 1/2
BC=8, calcule el área de la región sombreada.
D) 3/5
B) 1/3
C) 2/3 E) 4/5
34
Geometría 3.
Áreas de regiones planas II
En el gráfico, la suma de áreas de las regiones sombreadas es 48. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD.
NIVEL BÁSICO
1.
B
C
Según el gráfico, AB=2 y BC=4. Calcule el área de la región paralelográmica ABCD. A
A
B
D
A) 86 D) 96
4. 60º
D
C
B) 84
C) 72 E) 124
En el gráfico, ABCD es un trapecio (BC // AD), BC=15 y AD=27. Si las regiones ABCP y PCD son equivalentes, calcule AP. B
C
A) 3 B) 2 3 C) 4 3 D) 3 3
A
E) 6 3
2.
A) 6 D) 7
En el gráfico, A y C son puntos de tangencia y AB = 2 + 2 2. Calcule el área de la región CDEF.
5.
D
P B) 5
C) 8 E) 9
Según el gráfico, ABCD es un paralelogramos. Si A+B=18, calcule x.
A E 45º
B
b
F C A) 4 D) 4 2
B) 4 3
A
x
D
C) 6 E) 8 3
35
A) 9 B) 12 C) 24 D) 36 E) 18
Geometría 6.
En el gráfico, AB=2 y BC=10. Calcule el área
A) 12
de la región paralelográmica ABCD.
B) 16 C) 20
C
D) 20 2 E) 25
D NIVEL INTERMEDIO
B
9.
A A) 24
la región sombreada. B) 12
C) 16
D) 3 6
7.
En el gráfico, AE=2 y CD=1. Calcule el área de
E
E) 10 B
A
Según el gráfico, BF=2 y FC=8. Calcule el área de la región rectangular ABCD. F
B
C
O A) 6
C B) 8
C) 10
D) 12 A
D
A) 30
B) 32
D) 60
8.
D
E) 15
10. Según el gráfico, ABCD es un trapecio, BC // AD,
C) 36
BC=10, AD=24, AB=13 y CD=15. Calcule el
E) 40
área de la región trapecial ABCD. B
En el gráfico, A y C son puntos de tangencia.
C
Si PQ=2 y QM=6, calcule el área de la región sombreada. C
B
D
A A) 654
D
A
B) 658 C) 204
P
Q
M
D) 656 E) 650
36
Geometría 11. En el gráfico, ABCD es un cuadrado, T es punto de tangencia y AB=5. Calcule el área de la
NIVEL AVANZADO
región BCAT.
13. Según el gráfico, calcule el área de la región B
trapecial ABFE, BF // AE, si AB = 4 2, CE=2 y ABCD es un cuadrado.
C
B
F
T 53º
D
A
A
C
E
A) 5 B) 10 C) 15
D
D) 20 E) 25
A) 21 D) 27
12. En el gráfico, AB=4 y BC=12. Calcule el área de la región sombreada. B
C θθ
A
D
B) 25
C) 26 E) 28
14. Se tiene el rectángulo ABCD, en el exterior y relativo a BC se ubica el punto P, mSBPD=90º, PD interseca a BC y AC en los puntos M y N, respectivamente. Si 3(AC)=5(BP), PM=6 y BP // AC, calcule el área de la región ABCD. A) 80 D) 160
B) 100
C) 120 E) 200
15. En un trapecio isósceles una diagonal mide
A) 40
20 cm y la base media mide 10 cm. Calcule el área de la región trapecial.
B) 30 C) 50 D) 60
A) 100 cm2
B) 100 6 cm 2 C) 100 3 cm 2
E) 80
D) 200 cm2
E) 200 3 cm 2
37
Geometría Áreas de regiones planas III y Geometría del espacio I
T
A
B
NIVEL BÁSICO
1.
Según el gráfico, AB=OC=6. Calcule el área de la región sombreada. A) 2p D) 4p
A
4.
Según el gráfico, AB=2 y BC=5. Calcule el área de la región sombreada.
B
A
C
2.
C) 3p/4 E) p
B
O
A) 3p D) 36p
B) 3p
B) 6p
C
C) 12p E) 24p
En el gráfico, AB=4. Calcule el área de la región sombreada.
A) 5p D) 3p
A
5.
B) 4p
C) 7p E) 10p
En el gráfico, AB=5 y BC=12. Calcule el área del círculo inscrito en la región ABC. B
2 2
B
A) 2p – 2 B) 2p – 3 C) 2p – 1 D) 2(p – 2) E) 2(p – 4)
3.
En el gráfico, T es punto de tangencia y AB=2. Calcule el área de la corona circular.
C
A A) p B) 4p C) 9p D) 16p E) 26p
38
Geometría 6.
En el gráfico, P, R y Q son puntos de tangencia. Si L 1 // L 2, calcule el área de la región sombreada. P
Q
7.
9 π 4
D)
π 9
L2
A) FFFF B) VFVF C) VVFF D) FFVV E) FVFV
R
3
A)
L1
III. La intersección de dos planos puede ser un punto. IV. Si una recta es paralela a un plano, entonces será paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.
B)
Según el gráfico,
3 π 2
P //
C)
5 π 4
E)
π 4
Q. Calcule x.
NIVEL INTERMEDIO
9.
Según el gráfico, calcule el área de la región AB = 37º. sombreada si m
B
3 30º
P A x
A) 9p
40º
D)
8.
37π 40
C)
37π 4
E) 18p
10. Indique la secuencia de verdad (V) o false-
q A) 70º D) 80º
B) 37p
B) 110º
C) 10º E) 60º
Indique la secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones: I. Una recta y un punto determinan un plano. II. Las rectas que no se intersecan son paralelas.
39
dad (F) respecto a las siguientes proposiciones: I. Dos rectas paralelas siempre determinan planos paralelos. II. Dos rectas alabeadas se intersecan. III. Tres puntos determinan un plano. IV. Dos rectas alabeadas determinan un plano. A) VVFF D) FFFF
B) VVVF
C) VVVV E) VFVF
Geometría 11. En el gráfico, P y Q son puntos de tangencia, AB=8 y BC=9. Si el área de la región triangular ABC es 51, calcule el área de la región sombreada.
A
A) 3,5p B) 6p C) 7p D) 14p
B
Q
P
C
B
E) 7 2π
T Q
P
14. En el gráfico, OB=6. Calcule el área de la región sombreada.
A
A
C
A) 34p D) 14p
B) 16p
C) 18p E) 20p
12. En el gráfico, OA=6. Calcule el área de la región sombreada si T es punto de tangencia.
O
B
A A) 6 π −
9 3 2
B) 9 π − 9 3
T
C) 12π − 9 3 D) 6 π − 9 3
O π A) 2 D) p
E) 5π − 3 3
30º B 3π B) 2
15. Según el gráfico, P es un punto de tangencia. C) 2p E) 3p
NIVEL AVANZADO
Si AB=2 y CD=4, calcule el área de la región sombreada. C A) 2p P B) 4p
B
C) 6p
13. Según el gráfico, P, Q y T son puntos de tangencia. Si (AP)(CT)=7, calcule el área de la región sombreada.
D) 3p E) 3p/2
A
40
D
Geometría 4.
Geometría del espacio II NIVEL BÁSICO
En el gráfico, PQ es perpendicular al plano R, QA y AB están contenidos en el plano R. Halle PB si AQ=9, PQ=12 y AB=8. P
1.
Según el gráfico, A y B están en el plano P y BH ⊥ P. Si AH=50 y BH=48, calcule la longitud de la proyección de AH sobre el plano P. H
A) 7
B Q
B) 18 C) 14
A
D) 16
A) 15 D) 17
B
P
E) 24
2.
Según el gráfico, OP es perpendicular al plano = 120º, de la circunferencia. Si OP = R 2 y m BD calcule x. P
5.
C
D
D) 6
O
E) 53º
En el gráfico, ABCD y ABEF son cuadrados ubicados en planos perpendiculares, cuyos centros son P y Q, respectivamente. Si AB=6, calcule PQ.
C) 6 2
B
C) 60º R
C) 10 E) 20
B) 3 2
B) 45º
D) 37º
B) 16
A) 3
x
A) 30º
3.
A
R
B
P
Q
E) 4 2 D
A
Según el gráfico, ABCD es romboide, ABEF es rectángulo, CD=8 y AF=6. Calcule la medida del ángulo entre AE y CD. E
6.
E
F
Según el gráfico, los cuadrados ABCD y CDEF están en planos perpendiculares. Si O es centro de ABCD y AB=4, calcule la medida del diedro EF. B
B
A
C
O
F
D A
A) 30º D) 53º
D
B) 60º
C F
E C) 37º E) 45º 41
A) 30º D) 15º
B) 60º
C) 53º/2 E) 37º
Geometría 7.
Según el gráfico, PC es perpendicular al plano del rectángulo ABCD, AB=4 y AD=6. Calcule la medida del ángulo entre DP y el plano de ABCD. A) 30º
P
A) 30º B) 60º C) 45º D) 37º E) 53º
10. En el gráfico, se tiene un rectángulo ABCD y un
B) 60º C) 53º
B
D) 37º
53º
C
triángulo equilátero ABE ubicados en planos perpendiculares. Si AD=3 y DC=4, calcule el área de la región triangular AED.
E) 127º/2
E A
8.
D
Según el gráfico, AP es perpendicular al plano = 60º y AP=3. de la semicircunferencia, m BD Calcule el área de la región triangular PBD.
B
A
P C B A
A) 6 D) 16 2 D
A) 4 D) 21
B) 2
C) 5 E) 7
D B) 10
11. En el gráfico, los triángulos isósceles ABC y ABD, ambos de base AB, están contenidos en planos perpendiculares. Si 2(AH)=3(DL), calcule la medida del diedro determinado por las regiones ABC y BDC. D
NIVEL INTERMEDIO
9.
C) 12 E) 18
En el gráfico, AC=2 y CD = 3. Calcule la medida del diedro determinado por las regiones triangulares equiláteras ABC y ABD. A
D
B
L H C
A C B
135º 2 D) 75º
B)
A)
127º 2
C) 60º E) 53º
42
Geometría 12. Según el gráfico, L 1 y L 2 son alabeadas, AB=4, AD=6 y CD=5. Calcule la medida del ángulo determinado por L 1 y L 2. D
A
A) 30º
B) 37º
D) 45º
C) 60º E) 15º
14. Se tiene una semicircunferencia de diáme-
L1
tro AB(AB=2R), se ubica en P en AB, siendo
= 60º. Luego se traza AL perpendicular al m PB plano que contiene a la semicircunferencia. Si AL=PB, calcule el área de la región triangular BLP.
B C A) 15º
B) 16º
D) 45º
L2 C) 30º E) 60º
R2 2 3 2 D) R 2 A)
B) 2R2
C) R2 E) 4R2
15. Se tiene una región cuadrada ABCD, se traza
NIVEL AVANZADO
CP perpendicular al plano que lo contiene, CP=4; se ubican en AP y CD, los puntos me-
13. Dado un cuadrante AOB, de centro O, por el
dios N y M, respectivamente, siendo la medida
punto medio N de OA se traza NQ perpendi-
del ángulo entre MN y el plano ABCD de 30º.
cular al plano del cuadrante en AB se ubica el
Calcule el área de la región ABCD.
la medida de ángulo entre MQ y el plano que
A) 24 3
contiene al cuadrante.
D) 65
= 60º y AN=NQ. Calcule punto M, tal que m AM
43
B) 24
C) 48 E) 96
Geometría Prisma regular y Cilindro de revolución 4.
NIVEL BÁSICO
1.
Calcule el volumen del cilindro de revolución si r=2 y mS AOB=37º. A
En el cilindro circular recto, OP=5. Calcule el área de la superficie lateral. A) 24p
3
P
B) 20p C) 12p
B
D) 18p E) 30p O
A) 18p D) 26p
2.
5.
O
r B) 24p
C) 16p E) 22p
T
En el cilindro circular recto, calcule x si el área de la superficie lateral es igual al área de una de sus bases.
2
A) 100º B) 90º C) 127º D) 120º E) 135º
B) 4 3
A) 4 D) 6
x
6. 3.
Calcule el volumen del prisma regular si T es punto de tangencia.
Calcule el área de la superficie lateral del cilindro de revolución si AB=BC= 5 .
C) 8 3 E) 9
Según el gráfico, AB=2 y FC=4. Calcule el volumen del prisma regular ABC-EFG. F
A E
G
B B
C A) 6p D) 5p
B) 3p
A C) 4p E) 2p
C
A) 4 D) 8
B) 2
44
C) 6 E) 4 2
Geometría 7.
En el gráfico, ABCDEF-GHIJKL es un prisma regular y el área de la región cuadrada AEJH es 12. Calcule AG. A) 2 B) 4 C) 3 2 D) 2 2 E) 5
B C
F
lución, BM=2(AM)=4. Calcule el área de la superficie lateral del cilindro.
E
B
G
H I
M
L J
8.
K
En el cilindro de revolución mostrado, el área de la región cuadrada ABCD es 4 u2. Calcule el volumen del cilindro. A) 2 u3 B) 4 u3 C) 2p u3 D) 4p u3 E) 3p u3
C) 6 3 E) 9 3
B) 8 3
10. Según el gráfico, se tiene un cilindro de revo-
A
D
A) 4 3 D) 2 3
A
B
A A) 8 2π D) 14 2π
B) 10 2π
C) 12 2π E) 16 2π
11. Según el gráfico, calcule el área de la superficie
lateral del cilindro de revolución si AQ=2 y AB=BC= 5. A
D
Q
C
B
NIVEL INTERMEDIO
9.
En el gráfico se tiene un prisma regular ABC-DEF cuya arista básica mide 4. Calcule el volumen de dicho prisma. D
E 53º
A) 6 5π D) 8 5π
A) 2 2 D)
45
C) 20p E) 18p
lateral y básica de un prisma regular hexagonal si el área de la superficie lateral es el doble del área de la base.
B
C
B) 25p
12. Calcule la razón de longitudes de las aristas
F
A
C
3 3
B)
3 2
C)
3 4
E)
2
Geometría 14. En un prisma cuadrangular regular ABCD-
NIVEL AVANZADO
EFGH y AE=2(AB). Si BH= 6 , calcule el área de la superficie lateral de dicho prisma.
13. En un cilindro de revolución, O es el centro de una de sus bases, en la cual se ubica el punto A y se traza la generatriz AB. Si la superficie lateral del cilindro es equivalente a la base del cilindro, calcule mS AOB. A)
37º 2
D) 15º
B)
53º 2
C) 30º E) 14º
A) 6 D) 10 2
B) 10
C) 12 E) 8
15. Calcule la razón de volúmenes de los cilindros que genera una región rectangular de lados 2 y 3, cuando gira alrededor de cada uno de dichos lados. A) 3/4 D) 2/5
B) 1/2
46
C) 3/5 E) 2/3
Geometría Pirámide regular y Cono de revolución 4.
NIVEL BÁSICO
1.
En el gráfico, P-ABCD es pirámide regular y PA=CD=2. Calcule el área de la superficie total.
Calcule el área de la superficie lateral del cilindro de revolución si el cono es equilátero y AB=2. A) 8p B) 4 3π
P
C) 12p D) 6 3π
A
E) 2 2π B
C
A
2.
A)
3
D)
3 −4
B
5.
D B)
3 +1
C) 4 3 + 4 3 −1
E)
En el gráfico se muestra un cono circular recto y un cilindro de revolución que es equivalente al cono parcial. Calcule la altura del cono parcial si la altura del cono total es 4. A) 2,5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 3,5
Calcule el área de la superficie lateral del cono de revolución si AP=PV. V A) 81p B) 30p P
C) 36p D) 24p
6.
E) 32p A
C 4
3.
En la pirámide regular V-ABCD, BH=12 y VD=13. Calcule el área de la región triangular AVH.
En el gráfico, se muestra un cono circular recto y el rombo ABOC, tal que AB=R=2. Calcule el área de la superficie lateral del cono.
V
A
A) 4p
B
C
B) 6p C) 5p D) 8p
B
H
C
E) 9p
A
R
O
47
A) 20 D) 40
D B) 60
C) 30 E) 25
Geometría 7.
Según el gráfico, V-ABCDEF es una pirámide regular cuyo volumen es 6 3 y AB=2. Calcule la longitud del apotema de dicha pirámide.
L
M V B
C O
B
A
C
A
D F
A) 3 D) 2 3
8.
B)
E 2
D
A) 160 D) 200
B) 180
C) 192 E) 176
10. En el gráfico se muestra un cilindro de revoluC) 3 E) 3 3
ción. Si mS ABC=53º, calcule la razón de volúmenes del cilindro y del cono de generatriz PC. A
Según el gráfico, V-ABC es una pirámide regular, VB=5 y BC=6. Calcule el área de la superficie lateral de dicha pirámide.
B
P
V C
A
B
A)
75 8
D)
35 16
D
B)
75 16
de revolución mostrados.
B) 24
C) 12 E) 48
NIVEL INTERMEDIO
9.
35 8
E)
35 4
11. Calcule la razón de volúmenes de los sólidos
C A) 36 D) 90
C)
A) 16 B) 12 C) 20 D) 13 E) 18
En la pirámide regular L-ABCD, BM=ML, OM=5 y AB= 6 2 . Calcule el volumen de dicha pirámide si O es centro de ABCD.
48
Geometría 12. En un cono de revolución, la generatriz mide
10 y la distancia del centro de la base a la generatriz es igual a 3. Calcule la razón entre el volumen y el radio de dicho cono. A) 20p D) 20 2π
B) 15p
C) 10p E) 15 3π
14. En una pirámide regular V-ABCDEF, el área de la región triangular equilátera AVC es 3 3 . Calcule el volumen de la pirámide. A) 6 D) 4 3
13. Calcule el volumen de la pirámide regular
M-ABCDEF si AB=2 y la distancia entre los puntos medios de BC y DM es 2 2 .
C) 3 2 E) 4 6
O-ABCD. Si la altura de la pirámide es 3 11 y el triángulo BMD es equilátero, siendo M el punto medio de OC, calcule el volumen de dicha pirámide. A) 17 11
B) 6
3
15. Se tiene la pirámide cuadrangular regular
NIVEL AVANZADO
A) 2 5 D) 4 3
B)
C) 8 3 E) 4
49
D) 18 11
B) 15 11
C) 36 11 E) 9 11
Geometría Esfera y teoremas de Pappus-Guldin A) 386p B) 288p C) 188p D) 278p E) 268p
NIVEL BÁSICO
1.
Calcule el área de una superficie esférica cuyo diámetro mide 4. A) 64p B) 24p C) 32p D) 16p E) 48p
2.
5.
Calcule la longitud del radio de una esfera si se sabe que el área de su superficie es numéricamente igual a su volumen.
r
A) 1 B) 2 C) 2 D) 3 E) 3
3.
En el gráfico, el volumen del cono es 18p. Calcule el volumen de la semiesfera.
En el gráfico, la esfera está inscrita en el cilindro de revolución de volumen 54p. Calcule el volumen de la esfera.
r
A) 36p B) 42p C) 72p D) 120p E) 144p
6.
Calcule el área de la superficie generada por la circunferencia al girar 360º en torno a L . (T es punto de tangencia).
L 2 2
A) p R B) 4p2R2 C) 3p2R2 D) 5p2R2 E) 6p2R2
A) 45p B) 48p C) 54p D) 60p E) 36p
4.
El círculo máximo de una esfera tiene como área 36p. Halle el volumen de la esfera.
7.
360º T R
Halle el volumen de la esfera inscrita a un cono de revolución que tiene 6 u de radio y 8 u de altura. A) 12p B) 24p C) 36p D) 18p E) 20p 50
Geometría 8.
Calcule el volumen del sólido generado por la región triangular equilátera al girar 360º
alrededor de L .
A) 108p B) 72p C) 60p D) 27p E) 24p
11. Según el gráfico, el cono es equilátero y su
6
volumen es V. Calcule el volumen de la esfera inscrita en dicho cono.
360º
L A) 36p B) 72p C) 54p D) 27p E) 108p NIVEL INTERMEDIO
9.
La altura y el diámetro de un cono de revolución son de igual longitud que el radio de una esfera de 4 u3 de volumen. Calcule el volumen del cono. A) 1/3 B) 1/4 C) 2/5 D) 1/5 E) 2/3
A)
4V 9
D)
3V 5
B)
3V 7
C)
2V 5
E)
3V 8
12. Según el gráfico, calcule el volumen del sólido
generado por la región cuadrada al girar 360º alrededor de L , si AB=2. C
10. En el gráfico, AB=PC=6. Calcule el volumen
B
del sólido generado por la región ABC cuando gira 360º alrededor de L .
D
A A
L
15º
B C)
3π 6 2
E)
5π 6 2
A) 2π 6
P
B) 3
C 360º
D) 4
51
Geometría NIVEL AVANZADO
13. Los lados de una región triangular miden 13, 14 y 15. Calcule el volumen del sólido generado por dicha región triangular al girar 360º alrededor del lado intermedio. A) 564p D) 620p
B) 672p
C) 720p E) 648p
14. Calcule el área de la superficie generada por la circunferencia inscrita en una región triangular equilátera, cuya área es 9 3 , al girar 360º en torno a uno de sus lados.
A) 6p2 B) 9p2 C) 10p2 D) 12p2 E) 15p2
15. Una esfera se encuentra inscrita en un cilindro de revolución. Si el área de la superficie de la esfera más el área total del cilindro es 90p, calcule el volumen de la esfera. A) 18p B) 36p C) 54p D) 27p E) 10p
52
Geometría Poliedros regulares
1.
Calcule el volumen de un hexaedro regular si el área de su superficie total y su volumen son numéricamente iguales.
D)
4.
A) 196 B) 206 C) 336 D) 366 E) 216
2.
B) a2 3
A) a2
NIVEL BÁSICO
a2 3 2
C) 2a2 3 E)
a2 3 4
Calcule el área de la superficie total de un hexaedro regular cuya diagonal mide 2 3 . A) 64 B) 18 C) 36 D) 24 E) 8
Calcule el volumen del tetraedro regular inscrito en el hexaedro regular cuya arista es a.
5.
Calcule el volumen del tetraedro regular si se sabe que el área de su superficie es 18 3 . A) 3 B) 9 C) 12 D) 9 2 E) 1
A) a3 D)
3.
B)
a3 2
C)
a3 3 3
6.
a3 3
Calcule el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide 6. A) 18
E) a3 2
B) 18 2 C) 18 3
Según el gráfico, ABCD-EFGH es un hexaedro regular. Calcule el área de la región triangular BEG. B D
A
a
C
F
E
G H
53
D) 9 3 E) 4 2
7.
Calcule el área de un tetraedro regular cuya arista mide 6 . A) B) C) D) E)
3 6 2 4 3
3 3 3 2
Geometría 8.
Si la arista de un tetraedro regular mide 3, calcule su altura.
A
D C
B
A) 3
N
B) 3 6 E C) D) E)
F
G
A) 290 B) 216 C) 254 D) 206 E) 256
6 3
NIVEL INTERMEDIO
9.
H
6
La distancia de un vértice a la diagonal de un hexaedro regular es 2. Calcule el volumen de dicho hexaedro.
12. En el gráfico, P y Q son puntos medios de AB y CD, respectivamente. Si PQ= 2 , calcule el volumen del tetraedro regular. A
A) 8 B) 3 3 C) 2 2 D) 4 E) 2 6
P
10. En el gráfico, ABCD-EFGH es un hexaedro re-
B
C
gular y O es centro de CDHG. Si AO=2 3, calcule el área de la superficie total del hexaedro. A) 48 B) 45 C) 64 D) 16 E) 20
B
A) 2 B)
O F
E
G H
11. En el cubo ABCD-EFGH, NH= 2 3 . Calcule el volumen de dicho cubo.
D
C D
A
Q
2
C) 4 3 D)
2 2 3
E)
2 3 3
54
Geometría 14. En un cubo ABCD-EFGH de arista a, con centro
NIVEL AVANZADO
en E, se traza un arco de circunferencia BQ (Q en CH), situado en el plano BCHE. Calcule el
13. Se tiene un cubo de arista a, calcule el área
área de la región triangular EBQ.
de la región triangular PQR, si P es centro del cubo. (Q y P son puntos medios de las aristas). Q
A)
2 2 a 2
B)
5 2
C)
2 2 a 3
P R
D) E)
a2 3 6 a2 3 B) 14
2 4 3 2 a 2
15. Se tiene el tetraedro regular PABC en el cual se
A)
traza la altura PH y cuya longitud es 2 6. Si M y N son puntos medios de PB y AH, respectivamente, calcule MN.
a2 3 C) 8
A) 19
a2 3 D) 4
B) 15 C) 3 6 D) 2 10
a2 3 E) 16
E)
55
21
Geometría Geometría analítica A) 2x – y – 4=0 B) 2x+y – 6=0 C) 2x – y+4=0 D) x – 2y – 6=0 E) x – 2y+6=0
NIVEL BÁSICO
1.
Según el gráfico, halle la pendiente de L . (G es baricentro de la región ABC)
4.
B(5; 7) A) 1/7 B) 2/7 C) 7/2 D) 7 E) 5/4
En el gráfico, A(0; 5) y B(4; 0). Si AB=BC, halle las coordenadas de C. Y
L P(– 2; 4)
A
G
C
B(6; 6) A(4; 2)
2.
Según el gráfico, halle la pendiente de la recta L.
L
B
Y
A) (4; 3)
B) (4; 9)
D) (9; 4)
30º
5.
X C) (4; 8) E) (7; 5)
Dados los puntos A(1; 5), B(k; 3k) y C(5; 13) colineales, halle 4k. A) 9
X
A)
3 3
B)
3
D) − 3
3.
C) −
3 3
E) – 1
Según el gráfico, L //AB. Halle la ecuación de la recta L.
B) 12
D) 10
6.
C) 16 E) 20
Según el gráfico, Q, T y P son puntos de tan-
gencia. Calcule la pendiente de L . Y A
L
L C(1; 6)
T P B(2; 5)
A(– 2; – 3)
Q
A) – 1
B) 1
X C) – 2 E) −
D) – 3
56
2 3
Geometría 7.
Halle la medida del ángulo que determinan las rectas L1 y L2.
Y
L
A
(0; 4)
L 2:4x – 3y+156=0 L 1:7x – 24y – 156=0
X A) 30º D) 45º
8.
B) 37º
C) 53º E) 60º
Según el gráfico, AB=6 y BC=8. Halle las coordenadas de Q.
A) (6; 8) D) (4; 6)
B) (8; 6)
C) (4; 8) E) (4; 5)
10. Según el gráfico, OABC es un cuadrado y AB=8. Calcule la abscisa del punto medio de PO. Y
B
B
A
75º
θθ
A(– 2; – 3)
Q
O
C(4; 3) A) 1 D) 4
4 3 A) − ; 7 7
C B) 2
X C) 3 E) 5
11. Según el gráfico, BM es mediana y la pendiente
4 3 B) − ; − 7 7
de BM es –1/3. Determine la ecuación de L . B
4 3 C) ; 7 7
L C(11; 7)
4 3 D) ; − 7 7 M
3 4 E) ; − 7 7 A(1; 3) NIVEL INTERMEDIO
9.
P
Según el gráfico, la pendiente de L es 1/4 y el área de la región sombreada es 18. Determine las coordenadas de A.
57
A) x – 3y – 13=0 B) x – 3y+13=0 C) 3x – y – 13=0 D) 3x – y+13=0 E) 3x+y – 13=0
Geometría 12. En el gráfico, se tiene A(8; 6n) y B(4n; 8). Si M es punto medio de AB, halle la pendiente de
L .
A) 2 x − y − 4 = 0 2 x – y – 3=0
B)
C) 3 x – y – 4=0 D) x – y – 3=0
Y
E) x – y – 4=0 A
14. Halle la ecuación de la recta que dista 6 u del
M
origen, pasa por (10; 0) y que interseca a la B
L
53º
parte positiva del eje de ordenadas. A) 3x+4y – 25=0
X
B) x+2y – 5=0 A) 1/2 D) – 1
B) –1/2
C) 4x+3y – 40=0
C) 1 E) – 2
D) 4x+3y – 30=0 E) 3x+4y – 30=0
NIVEL AVANZADO
15. Siendo A(3; 5), B(– 1; – 3), la mediatriz de AB 13. Del gráfico, las regiones sombreadas son equi-
valentes. Si R=4, halle la ecuación L . Y
L
interseca al eje y en N. Halle la ecuación de la recta que contiene a N y es paralela a AB. A) 3x – 2y+4=0 B) 2x – 4y+3=0 C) 2x+4y – 3=0 D) 4x – 2y+3=0
R
E) 3x+2y – 4=0 X
58