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• Gabriela Morales

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Ejercicios de interferencia de la luz

Problema 1. En una doble rendija, la distancia entre las rendijas es de 5mm y se encuentran separadas 1m de una pantalla sobre la que se observan dos patrones de interferencia, uno debido a la luz de 480nm y otro debido a la luz de 600nm. ¿Cuál es la separación lineal, medida en la pantalla, entre las franjas de interferencia de tercer orden de los dos patrones?

Datos:

d = 5mm = 5∙10-3 m D = 1m nm=480∙109 m  nm = 600∙10-9 m m=3 Solución: Los puntos P1 y P2 son las posiciones de los máximos de tercer orden sobre la pantalla de las líneas λ1 y λ2 , respectivamente. De la fórmula de los máximos de interferencia tenemos

De aquí se deduce que para el mismo orden m = 3 θ 2 es mayor que θ1 ya que 2 es mayor que 1. Esto significa que la línea de 600nm es más alejada del máximo central que la línea de 480nm. Si y1 e y2 son las distancias lineales sobre la pantalla que corresponden a las líneas espectrales 1 y 2, respectivamente, con respecto al máximo central, entonces Δy = y2 - y1 (1) De la figura se ve claramente que y1 = Dtgθ1; y2 = Dtgθ2. Por consiguiente Δy = Dtgθ2 - Dtgθ1. Para los ángulos muy pequeños senθ ≈ tgθ . Δy = D( senθ2 - senθ1) . (2) Utilizando la fórmula de los máximos de interferencia para m = 3, se obtiene para 1 y 2 respectivamente (3) (4) Sustituyendo senθ1 y senθ2 en la expresión (2) por sus valores según las fórmulas (3) y (4), se tiene

Problema 2. En el experimento de Young se interpuso una lámina delgada de vidrio en la trayectoria de uno de los rayos interferentes. Esto hizo que la franja brillante central se desplazara hasta la posición que al principio tenía la quinta franja brillante (sin contar la central). El rayo incidía sobre la lámina perpendicularmente. El índice de refracción de la lámina era 1,5. La longitud de onda 6·10 -7 m. ¿Qué espesor tenía la lámina? Datos: m=5 n = 1,5 λ = 6·10-7 m Solución. La introducción de la lámina de vidrio hizo variar la diferencia de camino entre los rayos interferentes en la magnitud Δ = n h - h = h (n - 1), donde h es el espesor de la lámina y n es su índice de refracción. Además, debido a la interposición de la lámina se produjo un desplazamiento en m = 5 franjas. De esta forma, h(n - 1) = m λ, de donde

Problema 4. Una red de difracción de 3cm de ancho produce una desviación de 30° en el segundo orden cuando la luz tiene una longitud de onda de 600nm. ¿Cuál es el número total de surcos de la red? Datos: l = 3cm = 3·10-2m θ = 30° λ = 600nm = 600.10-9m m=2 Solución: El número total de surcos es igual a

La constante de la red se calcula utilizando la fórmula de los máximos de interferencia d senθ = mλ,

Por consiguiente,

Problema 3. Una doble rendija produce franjas de interferencia de la luz de sodio (589nm) separadas 0,200.¿Cuál es la separación angular entre las franjas si el dispositivo completo se sumerge en agua? Datos:  = 0,20°  = 589nm = 589·10-9m n = 1,33 (agua) Solución: 1) El dispositivo se encuentra en el aire. Si 1 y θ2 son las distancias angulares de los máximos adyacentes de orden m y (m + 1), respectivamente, entonces  = 2 -1. (1) De la condición de los máximos de interferencia tenemos para el orden m dsenθ1 = mλ y para el orden (m +1) dsenθ2 = (m + 1) Restando la ecuación (2) de la (3), se obtiene d(senθ2 - senθ1) = λ. Para los ángulos suficientemente pequeños senθ ≈ θ. Sustituyendo en la expresión (4) senθ por , se obtiene: d(θ2 – θ1) = λ; d∆θ = λ.

(2) (3) (4)

(5)

2) El dispositivo se sumerge en el agua. Según la expresión (5) d´ = ´, donde  ´ es la distancia angular entre dos máximos adyacentes y ´, es la longitud de onda en agua. Como

entonces, (6) Resolviendo las ecuaciones (5) y (6), se obtiene

Después de sumergir el dispositivo en agua la distancia entre las franjas de interferencia disminuye.

Problema 5.

Una red de difracción de 2,0cm de ancho tiene 6000 surcos. ¿A qué ángulos ocurrirán los máximos de intensidad en los haces si la radiación incidente tiene una longitud de onda de 589nm? Datos: l = 2,0cm = 2,0∙10-2 m N = 6000  = 589nm = 589∙10-9m. Solución: La condición para los máximos principales: dsenθ = mλ,

m = 0, 1, 2, 3,… (1)

La constante de la red se calcula utilizando la fórmula

(2) Sustituyendo  y d en la fórmula (1) por sus valores numéricos correspondientes según los datos del problema y el resultado (2), se tiene: m = 0 (máximo central) s θ = 0. El ángulo es igual a cero para todas las longitudes de onda. Por esta razón el máximo central se observa blanco. m = 1 (primer máximo principal)

m = 2 (segundo máximo principal)

m = 3 (tercer máximo principal)

m = 4 (cuarto máximo principal)

m = 5 (quinto máximo principal)

1.

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1 Dos fuentes coherentes de rejilla doble (Rendijas de Young) se encuentran separadas entre sí 0,004 mm y distan de una pantalla 1 m. Si la franja brillante de segundo orden (K=2) se encuentra separada del máximo central 3 cm. y la luz que se emplea es monocromática, determinar: 1. La longitud de onda empleada 2. La distancia entre dos franjas brillantes consecutivas. SOLUCIÓN 1) Siendo la condición de máximo:

2)

PROBLEMA 2 Iluminamos, con un foco que emite luz compuesta de 400 y 600 nm de longitud de onda, una rendija muy delgada practicada en una superficie opaca, transformándose por difracción en foco emisor de luz en todas direcciones. Los rayos emitidos iluminan dos rendijas muy estrechas separadas entre sí 0,04 mm y que funcionan como focos coherentes productores de interferencias en una pantalla que se encuentra a 1m. de ellas. Encontrar la separación entre las franjas brillantes de cuarto orden (K=4) correspondientes a estas longitudes de onda. SOLUCIÓN la condición de máximo aplicada a ambas luces nos conduce a:

PROBLEMA 3 Determinar el espesor de una pompa de jabón de índice de refracción 4/3 para que se produzca interferencia constructiva por reflexión, si está iluminada con luz monocromática de 650 nm, medida ésta en el vacío. SOLUCIÓN La condición de máximo por reflexión en láminas delgadas es:

con lo que para K=0, obtenemos:

PROBLEMA 4 Se introduce, entre los bordes de dos láminas de vidrio superpuestas, otra lámina, de manera que quede formada una cuña de aire. Suponiendo la separación máxima de las láminas h=5x10-3cm y la longitud l=4cm. Calcular el número de franjas de interferencia que se producirán por refracción en cada cm iluminando el sistema normalmente con luz de 6250 A. SOLUCIÓN Los máximos por refracción se producirán en los lugares en que el espesor de la cuña de aire sea:

El primer máximo se formará a una distancia d del vértice de la cuña, que podremos calcular por la proporción

expresando todas las longitudes en cm:

el número de líneas por centímetro será:

PROBLEMA 5 Desplazamos el espejo movible de un interferómetro de Michelson, dispuesto para que nos produzca franjas de interferencia circulares, una distancia de 10 4 m; si brotan 400 círculos brillantes y suponemos que la iluminación se hace con la luz monocromática, determinar la longitud de onda de la luz utilizada. SOLUCIÓN Como sabemos, para un máximo central corresponde un espesor de la lámina planoparalela de aire producida por el interferómetro de Michelson:

para producir un máximo más (un nuevo brote), tendremos que aumentar el espesor en

De las dos ecuaciones anteriores se obtiene:

luego para N brotes( o desapariciones) de círculos máximos por el centro de la figura de interferencia tendremos que desplazar el espejo móvil del interferómetro de Michelson:

PROBLEMA 6 Una lámina delgada de una sustancia transparente de índice de refracción , se inserta perpendicular al eje de un haz de luz de longitud de onda en uno de sus brazos del interferómetro de Michelson; si se producen N brotes al intercalar dicha lámina, calcúlese su espesor. SOLUCIÓN La lámina insertada produce un cambio en el camino óptico de la luz desde L (espesor de la lámina) para el vacío, hasta nL; entonces la diferencia de

caminos ópticos en los dos pasos de la luz por la lámina es: 2(n-1)L. Para compensar este desplazamiento, el espejo tendría que moverse un incremento de d, introduciendo una diferencia en el espesor de la lámina de aire cuyo valor sería el doble, en consecuencia:

PROBLEMA 7 El radiotelescopio más grande del mundo está en Arecibo (Puerto Rico); ¿cuál es el poder separador para la detección de ondas de radio de 5,2 cm de longitud de onda, sabiendo que su diámetro son 1000 pies? (1 pie= 0,3048 m) SOLUCIÓN Teniendo en cuenta que D=304,8 m. tendremos:

y el poder separador:

PROBLEMA 8 Sobre una rendija de 0,2 mm de anchura incide luz monocromática colimada de 600 nm de longitud de onda. Si la pantala de observación de la figura de difracción se encuentra en el plano focal de una lente convergente de 0,5 dioptrias, a la que llega la luz después de atravesar la rendija, determinar: 1. La posición de las dos primeras franjas oscuras respecto al punto medio de la franja brillante central. 2. La anchura de la franja brillante central. SOLUCIÓN 1) En la figura se ha dibujado la posición del primer mínimo de intensidad en P, a la distancia x1 de O; cuyo valor es:

siendo f'= 2 m, el ángulo es muy pequeño, confundiendo la tangente con el ángulo de esta fórmula, y el seno con el ángulo en la condición de mínimo obtenemos:

por la misma razón el segundo minimo (K=2) se encontrará de O:

2) La anchura de la franja central será:

PROBLEMA 9 Una lente se encuentra diafragmada y presenta una abertura de 1 cm de diámetro; su distancia focal es de 50 cm y está iluminada con luz monocromática de 600 nm de longitud de onda. Hallar el radio del disco central del patrón de difracción observado en una pantalla situada en el plano focal de la lente. SOLUCIÓN Una lente es una abertura circular, por lo que la imagen de un punto será un diagrama de difracción; sin embargo y como vamos a ver en este problema, el radio de la lente, es en general tan grande respecto a la longitud de onda de la luz, que podemos prescindir de este fenómeno en la mayoría de los casos. En efecto: el primer mínimo de intensidad se produce para:

en consecuencia, para tan pequeño ángulo:

para fines prácticos, este radio es tan pequeño que podemos prescindir de él y decir que la imagen es un punto.

PROBLEMA 10

Determinar el ángulo límite de resolución y el poder separador del telescopio Hale de Monte Palomar para una longitud de onda de 555 nm, sabiendo que su diámetro es de 5,08 m. SOLUCIÓN El valor del ángulo límite de resolución para tal círculo:

por lo que cualquier par de estrellas que subtiendan un ángulo mayor o igual que éste, tendrán resolución en el telescopio. El poder separador será: