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• Yucelfi Vidal Garay Vega

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INTERVALOS DE CONFIANZA Primer bloque EJERCICIO 1. De 50000 válvulas fabricadas por una compañía, se retira una muestra aleatoria de 400 válvulas, y se obtiene una media de 800 horas y una desviación estándar de 100 horas. SOLUCIÓN 𝑛 = 400 𝑥 = 800 𝜎 = 100 a) ¿Cuál es intervalo de confianza de 99% para la media población. 1 + 99 𝑃(𝑍0 < 𝑍) = → 𝑍0 = 2.576 2 𝑧0 𝑆 𝑧0 𝑆 𝑥̅ − ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + √𝑛 √𝑛 800 −

2,576 ∗ 100 √400

≤ 𝜇 ≤ 800 +

2,576 ∗ 100 √400

∴ 787,12 ≤ 𝜇 ≤ 812,9 b) ¿con que coeficiente de confianza se diría que la vida media está en Rpta 16%. c) ¿Qué tamaño debe tener la muestra para que el intervalo de la media sea 95% de confianza? 𝑥̅ −

800 −

1,960 ∗ 100

𝑧0 𝑆 √𝑛

≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ +

≤ 𝜇 ≤ 800 +

𝑧0 𝑆 √𝑛

1,960 ∗ 100

√625 √625 ∴ 792,16 ≤ 𝜇 ≤ 807,84 EJERCICIO 2. Un investigador está estudiando la resistencia de un determinado material bajo determinadas condiciones. El sabe que esta variable tiene una distribución normal con una desviación estándar de 2 unidades 𝑥̅ −

𝑇0 𝑆

≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ +

𝑇0 𝑆

√𝑛 √𝑛 a) Utilizando los siguientes valores obtenidos de una muestra de tamaño 9. Determinar el intervalo de confianza para la resistencia media con un coeficiente de confianza de 90%: 4.9; 7.0; 8.1; 4.5; 5.6; 6.8; 7.2; 5.7; 6.2 unidades. 𝑛=9 ̂ 𝑥̅ = 6. 22

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

𝜎 = 1.161 𝑔𝑙 = 8 𝛾 = 0.90 1+𝛾 → 𝑇0 = 1.860 2 ∴ 5.501 ≤ 𝜇 ≤ 6.942 b) ¿Cuál es el tamaño necesario de la muestra si quisiéramos que el erro cometido. Al estimar la resistencia media, no sea superior a 0.1 unidades con probabilidad de 0.90? e=0.1 σ=2 γ=0.9 z=1.64485 𝑃(𝑇0 < 𝑇) =

𝑍0 𝜎 2 ) 𝑒

𝑛=(

n=1082.217 ∴ 𝑛 = 1083 EJERCICIO 3. Fueron retiradas 25 piezas de la producción diaria de una maquina; se encontró para una cierta medida una media de 5,2 mm.se sabe que las medidas tienen distribución normal con desviación estándar de 1,2 mm. Construir el intervalo de confianza para la media con coeficiente de confianza de 99%. SOLUCIÓN 𝑛 = 925 𝑥̅ = 5,2 𝑆 = 1,2

Formula:

𝑔𝑙 = 25 − 1 = 24 1 + 0.99 𝑃(𝑇0 < 𝑇) = → 2

𝑥̅ −

5,2 −

𝑇0 𝑆 √𝑛

2,797 ∗ 1,2 √25

≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ +

𝑇0 = 2.797

𝑇0 𝑆 √𝑛

≤ 𝜇 ≤ 5,2 −

2,797 ∗ 1,2 √25

∴ 4,529 ≤ 𝜇 ≤ 5,871

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 4. Suponga que las alturas de los alumnos de la facultad de economía tienen distribución normal con f=15cm.fue retirada una muestra de 100 alumnos obteniéndose x=175cm.construir el intervalo de confianza para la verdadera altura media de los alumnos con 95% de confianza? SOLUCIÓN 𝑛 = 100 𝑥̅ = 175 𝜎 = 15 𝑍0 𝛿 𝑍0 𝛿 𝑥̅ − ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + √𝑛 √𝑛 1,960 ∗ 15 1,960 ∗ 15 175 − ≤ 𝜇 ≤ 175 + √100 √100 ∴ 172,06 ≤ 𝜇 ≤ 177,94 EJERCICIO 5.Extraída una muestra de 30 piezas, dio los siguientes pesos: 250,265,267,269,271,277,281,283,284,287,289,291,293,293,293,298,301,303,306,307,307,309,31 1,315,319,322,324,328,335,339,275.Por medio de la construcción del intervalo de confianza, responder si esta muestra satisface la especificación por la cual el peso medio debe ser 300 kg.use α=5%. SOLUCIÓN n=30,

x

x

i

n

=296.633

s =22.2299632 Hallamos z0 : α=5% 𝛾 = 0.95 1 + 𝛾 1 + 0.95 𝑃(𝑧0 < 𝑧) = = = 0.975 2 2

→

𝑧0 = 1.96

El intervalo está determinado por: 𝑥̅ −

𝑧0 𝑆 √𝑛

≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ +

𝑧0 𝑆 √𝑛

1.96 ∗ 22.2299632 1.96 ∗ 22.2299632 < 296.63 − ≤ 𝜇 ≤ 296.63 + > √30 √30 ∴ 288.675 ≤ 𝜇 ≤ 304.585 Rpta: Si satisface por la cual el peso medio debe de ser 300kg

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 6. En una fabrica al seleccionar una muestra de cierta pieza, se obtuvo las siguientes medias para los diámetros: 10,11,11,11,12,12,12,12,13,15,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,13,14,14,14,14,14,15,15,15,16,16. a) Estimar la media y la varianza. SOLUCION:

x

x n

x

 ( x  x)

s2 

i

i

n 1

394  13.133 30

s  1.432

b) Construir el intervalo de confianza para la media. SOLUCIÓN: Hallamos z0 : 𝛾 = 0.95 1 + 𝛾 1 + 0.95 𝑃(𝑧0 < 𝑧) = = = 0.975 → 2 2 n=30 𝑧0 𝑆 𝑧0 𝑆 𝑥̅ − ≤ 𝜇 ≤ 𝑥̅ + √𝑛 √𝑛

13.133 − ∴

1.96 ∗ 1.432 √30

𝑧0 = 1.96

≤ 𝜇 ≤ 13.133 +

1.96 ∗ 1.432 √30

12.621;13.645

2 2 EJERCICIO 7. Sea X una tal que X~N (µ, σ ), donde µ y σ son desconocidas .Una muestra de tamaño 15, dio los valores

15

15

∑ 𝑋𝑖 = 8.7 𝑦

∑ 𝑋𝑖2 = 27.3

𝑖=1

𝑖=1

Determine un intervalo de confianza de 95% para σ 2 . 𝑛 = 15

S2 

𝛾 = 0.95 𝛼 = 0.05 =>

∝ 2

= 0.025

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X

2 i

𝑛 < 30

 ( X i ) 2 /n

n 1 27.3  (8.7) 2 / 15 S2  14 2 S 1.5896

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

𝐼 =
𝑋2 ∝ 𝑋∝2 1−

𝑋2

1−

∝ 2

2

2

2 = 𝑋0.975 = 26.1

2 𝑋∝2 = 𝑋0.025 = 5.63 2

(14)(1,5896) (14)(1,5896) ; > 26.1 5.63 𝐼 = < 0,853 ; 3,953 > 𝐼:


2,679 > 4,796

𝐼: < 16,22 ± 1,1594 > 𝑰: < 15,0606 ; 17,379 > 𝐸𝑛 𝑀𝑖𝑙𝑒𝑠

R: No, porque 20000 no está en el intervalo de confianza EJERCICIO 11. Los alumnos de la fac8ultad de Ingeniería Industrial puede escoger entre dos cursos de física, uno de 3 horas semanales sin laboratorio. El examen final es el mismo para ambos cursos. Si 12 estudiantes del curso con laboratorio obtienen una calificación promedio de 84 con una desviación estándar de 4 y 18 del curso sin laboratorio obtienen una calificación promedio de 77 con una desviación estándar de 6, encuentre un intervalo de confianza al 99% para la diferencia entre las calificaciones promedio para los 2 cursos. Suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales.

Lab

n 1 12

Sin Lab n 1  18 



X 1 77 S1 6

X 1 84 S1  4

𝛾 = 0.99 𝑃(𝑡 ≤ 𝑡0 ) =

1,95 2

𝑡0 = 2,074

gl 

(S12 /n 1 S 22 /n 2 ) 2 (S12 /n 1 ) 2 /(n 1  1)  (S 22 /n 2 ) 2 /(n 2  1)

(1,3333333  2) 2 (0,1616161)  (0,2352941) 11,11111 gl  0,3969102 gl 27,927

gl 

𝑆12 𝑆22 𝜇1− 𝜇2 = (𝑋̅1 − 𝑋̅2 ) ± 𝑡0 √ + 𝑛1 𝑛2 𝜇1− 𝜇2 = 7 ± (2,771)(1,8257418) [Escribir texto]

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1,49 ≤ 𝜇1− 𝜇2 ≤ 12,06 EJERCICIO 12. Un agente de compras de una compañía se vio confrontado con dos tipos de máquinas para realizar cierta operación. Se le permitió probar ambas máquinas a lo largo de cierto periodo de pruebas. Es deseo del agente comprar la máquina que tiene mayor rendimiento. Se le asignaron aleatoriamente 40 tareas, 20 a cada máquina con los siguientes resultados:

𝑋̅1 = 30ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, 𝑆12 = 135 n1=n2=20 ̅𝑋2 = 30ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠, 𝑆22 = 80 a) ¿Qué máquina decidirá comprar el agente? ∝= 0.2 ∝/2 = 0.01 𝜎12 𝜎22 𝐼: < ̅̅̅ 𝑋1 − ̅̅̅ 𝑋2 ± 𝑍∝/2 √ + > 𝑛1 𝑛2 135 80 𝐼: < 10 ± 2,32√ + > 20 20 𝐼: < 2,39 ; 17,6 >

Como ambos límites son positivos entonces 𝜇1> 𝜇2 R: El agente deberá comprar la máquina 1 EJERCICIO 13. Una compañía de automóviles de alquiler está tratando de decidir la compra de neumáticos, entre las marcas A y B, para su flota de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas, se efectúa un experimento, empleando 12 de cada marca. Los neumáticos se usan hasta que se desgastan. Los resultados para la marca A son: 𝐱̅ 𝟏 = 36300 km y 𝐬𝟏 = 5000 km. Y para la marca B; 𝐱̅𝟐 =38100 Km y 𝐬𝟐 = 6100 km. Calcule un intervalo de confianza del 95% para µ1-µ2 (suponga que las poblaciones tienen distribuciones aproximadamente normales) r. 6522 < µ1-µ2 < 2922 SOLUCIÓN: 1. n 𝐼 =< (−500) ± 1.721(5.369624307) > 𝐼 =< −509.2411; −490.7589 > Se observa que el intervalo no incluye al cero, luego del hecho de que ambos intervalos son negativos, concluimos que la vida media del esquema del primer tipo es menor que la del segundo tipo. EJERCICIO 20. En las ciudades de Arequipa y Ayacucho se llevo a cabo una encuesta sobre el costo de la vida para obtener el gasto promedio en alimentación en familias constituidas por 4 personas. De cada ciudad se selecciono aleatoriamente una muestra de 20 familias y se observaron sus gastos semanales en alimentación. Las medias y las desviaciones estándares muestrales fueron las siguientes: 𝐗𝟏 = 𝟏𝟑𝟓(𝐀𝐫𝐞𝐪𝐮𝐢𝐩𝐚) , 𝐒𝟏 = 𝟏𝟓 𝐗𝟐 = 𝟏𝟐𝟐(𝐀𝐲𝐚𝐜𝐮𝐜𝐡𝐨) , 𝐒𝟐 = 𝟏𝟎 Si se supone que las dos poblaciones son independientes con distribución normal cada uno, obtener el intervalo de confianza de 99% para 𝛍𝟏 − 𝛍𝟐 ¿se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia real entre 𝛍𝟏 − 𝛍𝟐 . Solución 𝑛1 = 20 , 𝑛2 = 20 Como las muestras son de tamaño pequeño, y las varianzas poblacionales son desconocidas, pero no nos dicen si son iguales o distintas, por eso primero construiremos el intervalo de confianza para 𝜎12 /𝜎22 . Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.99 𝑦

𝛼 2

= 0.005 , buscamos en la tabla de distribución F, y se encuentra:

𝐹∝/2 (𝑛2 − 1; 𝑛1 − 1) = 𝐹0.005 (19,19) = 3.4318 1 1 1 𝐹1−∝/2 (𝑛2 − 1; 𝑛1 − 1) = = = = 0.2914 𝐹∝/2 (𝑛1 − 1; 𝑛2 − 1) 𝐹0.005 (19,19) 3.4318 Luego el intervalo de confianza del 99% para 𝜎12 /𝜎22 es: 𝑆12 1 𝑆12 𝐼 =< 2 . ; 2 . 𝐹∝/2 (𝑛2 − 1; 𝑛1 − 1) > 𝑆2 𝐹∝/2 (𝑛1 − 1; 𝑛2 − 1) 𝑆2 225 225 𝐼 =< . (0.2914) ; . (3.4318) > 100 100 𝐼 =< 0.65565 ; 7.72155 > [Escribir texto]

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Como 1 ∈ 𝐼, concluimos que 𝜎12 = 𝜎22 . Entonces el intervalo de confianza a utilizar para el análisis de la diferencia de medias 𝜇1 − 𝜇2 es: 1 1 𝐼 =< (𝑋1 − 𝑋2 ) ± 𝑡∝/2 (𝑛1 + 𝑛2 − 2)√𝑆𝑃2 ( + ) > 𝑛1 𝑛2 Donde: (𝑛1 − 1)𝑆12 + (𝑛2 − 1)𝑆22 (20 − 1)152 + (20 − 1)102 𝑆𝑃2 = = 𝑛1 + 𝑛2 − 2 20 + 20 − 2 2 𝑆𝑃 = 𝟏𝟔𝟐. 𝟓 𝛼 Ahora para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.99 𝑦 2 = 0.005 , en la tabla de distribución T encontramos: 𝑡∝/2 (38) = 2.712 Por lo tanto, el intervalo de confianza del 99% para la diferencia de medias 𝜇1 − 𝜇2 es: 1 1 𝐼 =< (135 − 122) ± 2.712√𝟏𝟔𝟐. 𝟓( + ) > 20 20 𝐼 =< (13) ± 2.712√16.25 > 𝐼 =< (13) ± 2.712(4.031128874) > 𝐼 =< 2.0676; 23.9324 > Se observa que el intervalo no incluye al cero y con el hecho de que ambos límites de confianza sean positivos, se puede concluir que 𝝁𝟏 > 𝝁𝟐 . Por lo tanto existe una diferencia real entre 𝝁𝟏 𝒚 𝝁𝟐 EJERCICIO 21. Una agencia estatal tiene la responsabilidad de vigilar la cantidad del agua para la cría de peces con fines comerciales. Esta agencia se encuentra interesada en comprar la variación de cierta sustancia toxica en dos estuarios cuyas aguas se encuentran contaminadas por desperdicios industriales provenientes de una zona industrial cercana. En el primer estuario se seleccionaron 11 muestras y en el segundo 8, las cuales se enviaron a un laboratorio para su análisis. Las mediciones en ppm que se observaron en cada muestra se exponen en la siguiente tabla. Si se supone que el muestreo se hizo sobre dos poblaciones independientes con distribución normal. ¿se podría concluir que las dos varianzas son diferentes al 95% de confianza? Estuario 1

10

10

12

13

9

8

12

12

Estuario 2

11

8

9

7

10

8

8

10

0

14

8

Solución 𝑋1 = 9.8181(Estuario 1)

, 𝑆1 = 3.816233269 , 𝑛1 = 11

𝑋2 = 8.875(Estuario 2) , 𝑆2 = 1.356202682 , 𝑛2 = 8 Para saber si las varianzas son diferentes construimos el intervalo de confianza para 𝜎12 /𝜎22 . Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.95 𝑦

𝛼 2

= 0.025 , buscamos en la tabla de distribución F, y se encuentra:

𝐹∝/2 (𝑛2 − 1; 𝑛1 − 1) = 𝐹0.025 (7,10) = 3.9498 [Escribir texto]

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

𝐹1−∝/2 (𝑛2 − 1; 𝑛1 − 1) =

1 1 1 = = = 0.210 𝐹∝/2 (𝑛1 − 1; 𝑛2 − 1) 𝐹0.025 (10,7) 4.761

Luego el intervalo de confianza del 95% para 𝜎12 /𝜎22 es: 𝑆12 1 𝑆12 𝐼 =< 2 . ; . 𝐹∝/2 (𝑛2 − 1; 𝑛1 − 1) > 𝑆2 𝐹∝/2 (𝑛1 − 1; 𝑛2 − 1) 𝑆22 14.5636 14.5636 𝐼 =< . (0.210) ; . (3.9498) > 1.839285715 101.839285715 𝐼 =< 1.6628; 31.27489 > Como el intervalo no incluye a la unidad, entonces, las varianzas poblacionales son distintas, es decir 𝝈𝟐𝟏 ≠ 𝝈𝟐𝟐 , al 95% de confianza. EJERCICIO 22. La compañía A produce focos pequeños de 1.5 voltios y se desea analizar la variabilidad del proceso de producción, se tomo una m.a de 16 focos y se obtuvo una media de duración igual a 120 horas, y un coeficiente de variabilidad a 25%. Halle el intervalo de confianza del 98% para la desviación estándar poblacional. Solución 𝒏 = 𝟏𝟔 𝒇𝒐𝒄𝒐𝒔 , 𝑿 = 𝟏𝟐𝟎 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 , 𝑪𝑽 = 𝟐𝟓% , 𝜸 = 𝟗𝟖% 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒍𝒊𝒃𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅 = 𝒏 − 𝟏 Del coeficiente de variabilidad deducimos: 𝐶𝑉 = 25% 𝑆 𝐶𝑉 = = 25% 𝑋 𝑆 = 30 ∝ ∝ Para 𝛾 = 1−∝= 0.98 , = 0.01 𝑦 1 − 2 = 0.99 , buscamos en la tabla de distribución 2 CHI-CUADRADO y obtenemos: 2 𝑋∝2 (𝑛 − 1) = 𝑋0.01 (15) = 30.58 2

𝑦

𝑋2

1−

∝ (𝑛 2

2 − 1) = 𝑋0.99 (15) = 5.229

Habiendo deducido el valor de 𝑆 = 30, 𝑦 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎

∝ 2

∝

𝑦 1 − 2 , hallamos entonces el

intervalo de confianza al 98% para la desviación estándar: (𝑛 − 1)𝑆 2 (𝑛 − 1)𝑆 2 𝐼 =< √ ; > √ 2 2 𝑋∝/2 𝑋1−∝/2 (15)302 (15)302 𝐼 =< √ ;√ > 30.58 5.229 𝐼 =< 21.01176; 50.81098 > EJERCICIO 23. Se planea una encuesta para medir la cantidad de tiempo que los niños miran la televisión. Un chequeo preliminar indica que el tiempo promedio por semana es cerca de 15 horas con una desviación estándar de 5 horas. Se desea estimar el tiempo promedio por semana con una precisión de media hora, al nivel de confianza del 99%. a) Si el costo de administración de la encuesta es de S/50000, más S/100 por entrevista, ¿Cuál es el costo total que se debe presupuestar para la encuesta? [Escribir texto]

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

b) Después de completar la encuesta, se encuentra que la media es de 18 horas y la desviación estándar es de 6 horas. ¿Qué costo adicional (si es que hay alguno) debe presupuestarse, excluyendo la administración para conseguir una estimación revisada del tiempo promedio, a la luz de esta nueva información? EJERCICIO 24. Se sospecha que un laboratorio de medidas de viscosidad obtenidas en la mañana eran menores que en la tarde. Para confirmar esta sospecha se toman dos muestras una por la mañana y otra por la tarde. Viscosidad

mañana

tarde

n

10

9

𝑿

56.8

58

∑(𝑿𝒊 − 𝑿)𝟐

1273.6

284

𝒏

𝒊=𝟏

¿Existe evidencia estadística para afirmar que la variabilidad de la viscosidad difiere en ambos turnos? Solución 𝑆12 → 𝑚𝑎ñ𝑎𝑛𝑎

, 𝑆22 → 𝑡𝑎𝑟𝑑𝑒

∑𝒏𝒊=𝟏(𝑿𝒊 − 𝑿)𝟐 𝟏𝟐𝟕𝟑. 𝟔 = = 𝟏𝟒𝟏. 𝟓𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒏−𝟏 𝟗 ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑿𝒊 − 𝑿)𝟐 𝟐𝟖𝟒 𝑆22 = = = 𝟑𝟓. 𝟓 𝒏−𝟏 𝟖 Suponiendo que trabajamos con un nivel de confianza del 95% para hallar la variabilidad de la 𝑆12 =

viscosidad, para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.95 𝑦

𝛼 2

= 0.025 , buscamos en la tabla de distribución F, y se

encuentra: 𝐹∝/2 (𝑛2 − 1; 𝑛1 − 1) = 𝐹0.025 (8,9) = 4.1019 1 1 1 𝐹1−∝/2 (𝑛2 − 1; 𝑛1 − 1) = = = = 0.2295 𝐹∝/2 (𝑛1 − 1; 𝑛2 − 1) 𝐹0.025 (9,8) 4.3572 Luego el intervalo de confianza del 95% para 𝜎12 /𝜎22 es:

[Escribir texto]

Página 19

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

𝑆12 1 𝑆12 . ; . 𝐹 (𝑛 − 1; 𝑛1 − 1) > 𝑆22 𝐹∝/2 (𝑛1 − 1; 𝑛2 − 1) 𝑆22 ∝/2 2 141.51111 141.51111 𝐼 =< . (0.2295) ; . (4.1019) > 35.5 35.5 𝐼 =< 0.91484; 16.35111 > Como el intervalo incluye a la unidad, entonces, la variabilidad de las viscosidades son iguales ( 𝝈𝟐𝟏 ≠ 𝝈𝟐𝟐 ), al 95% de confianza. 𝐼 =


0.06 (Perú alcanzo el

promedio mínimo

de 0.06)

[Escribir texto]

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

H1:

 o < 0.06 (Perú no alcanzó el promedio mínimo de 0.06)

Datos calculados de la tabla: n = 30 Promedio = 3.61 Desv. Est. = 4.667 Asumiendo  = 95% Zo = 1.96 (se tomará -1.96 para comparar con Z) Calculando Z, tenemos que Z = 4.165, se tomara el negativo Z = -4.165 Observamos que Z < Zo (-4.165 < -1.96), Z se encuentra en la zona de rechazo, por lo tanto NO se puede afirmar que el Perú ha crecido como mínimo en promedio 6%

b) Tratando a nivel de lo observado en los dos últimos gobiernos democráticos (1980 1985) y (1986 - 1989), es posible aseverar que existe diferencias en las tasas promedio de crecimiento alcanzadas por uno y por otro, siendo esta diferencia favorable al régimen de (1986 – 1989), y se espera que la diferencia observada crezca cada vez más en el mismo sentido. SOLUCIÓN: Como en el caso anterior se hace una prueba de hipótesis y se usa las siguientes fórmulas y el siguiente gráfico:

t

xy s12 s22  m n

(c1  c2 ) 2 gl  2 c1 c22  m 1 n 1

s12 c1  m

s22 c2  n

Hipótesis:

 o (desfavorable al gobierno 1986 – 1989)

Ho:

1

H1:

1 >  o (favorable al gobierno 1986 – 1989)


2

(𝑛−1) √𝑛

𝐼 =< 1,6 − 2,262.

0,678

2

(𝑛−1) √𝑛

0,678

> √10 √10 ∴ 𝐼 =< 1,11486; 2,08514 > Se puede concluir que el antigripal reduce la fiebre, ya que ambos límites del intervalo son positivos

[Escribir texto]

; 1,6 + 2,262.

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 2.Veinte estudiantes de matemática I de la facultad de ingeniería industrial de la universidad de lima fueron divididos en 10 parejas, teniendo cada miembro de la pareja aproximadamente el mismo coeficiente de inteligencia. Uno de cada pareja se selecciona al azar y se asigna a una sección que utiliza videos. El otro miembro se asigna a una sección que cuenta con un profesor. Al finalizar el ciclo ambos grupos se presentan al mismo examen, obteniéndose los resultados. Pareja 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Con video 15 12 17 11 18 15 16 13 14 10

Con profesor 16 10 17 14 17 16 18 12 15 11

Suponiendo que la característica en estudio tiene, distribución normal, obtener el intervalo del 98%, para la diferencia real en el promedio de calificación de los productos de enseñanza con base en los resultados. ¿Se puede concluir que el procedimiento de enseñanza con profesor es mejor que con el de video? SOLUCIÓN: 𝑛 = 10 D =Con Video-con profesor ̅ =-0.5 𝐷 𝑆̅𝐷 =1.509 Para 𝛾 =1-α=0.98 y 𝛼/2 =0.01 t 𝛼/2 (n-1) t0.01( 9)=2.821 Luego el intervalo de confianza del 95% para µD= µV- µN ̅ − 𝑇∝ 𝐼 =< 𝐷 𝑥 (𝑛−1)

𝑆𝐷

̅ + 𝑇∝ ;𝐷 𝑥 (𝑛−1)

𝑆𝐷

> 2 √𝑛 √𝑛 ∴ 𝐼 =< −1.846; 0.846 > Como el intervalo incluye al cero, entonces 𝝁𝟐 = 𝝁𝟏 , y se concluye que la enseñanza con profesor no es mejor que con el de video. 2

[Escribir texto]

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 3.Se desea comparar dos nuevas líneas de trigo, para esto se toman 10 fincas al azar, plantando en cada una de ellas, y en dos parcelas distintas, ambas líneas. La producción en las 10 fincas fue (en fanegadas por hectárea)

línea A: 57 ; 49 ; 60 ; 55 ; 57 ; 48 ; 50 ; 61 ; 52 ; 56 línea B: 55 ; 48 ; 58 ; 56 ; 54 ; 48 ; 52 ; 56 ; 50 ; 58 Suponiendo que la característica en estudio tiene una distribución normal, ¿podemos aceptar que la producción en las fincas fue (en fanegadas por hectárea) 𝐷𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑌𝑖 : 2 ; 1 ; 2 ; -1 ; 3 ; 0 ; -2 ; 5 ; 2 ; -2 10

̅ = ∑𝑖=1 𝐷𝑖 = 𝐷 ̅ = 10 = 1 𝐷 10 10 𝑆𝐷 2 =

∑10 ̅) 𝑖=1(𝐷𝑖−𝐷 𝑛−1

=𝑆𝐷2 = 46=

𝑆𝐷 = 6,7823 ∝= 0.05 ∝/2 = 0.025

𝑡∝ = 𝑡0,025 = 0,5142 2

̅ ± ̅̅̅ 𝐼: < 𝐷 𝑋2 ± 𝑡∝ (𝑛 − 1) 2

𝑆𝐷 √𝑛

>

6,7823 > 3,1623 𝐼: < −8,93 ; 10,93 > 𝐼: < 1 ± (4,6278)

Como en el intervalo incluye el 0 => 𝝁𝟏 = 𝝁𝟐 , por lo tanto la producción es la misma EJERCICIO 4.Se dice que una nueva dieta reduce el peso de una persona un promedio de 4,5 Kg en un periodo de 2 semanas. Los pesos de 7 Mujeres que siguieron esa dieta, fueron anotados antes y después de un período de 2 semanas.

Mujer 1 Peso 58.5 anterior Peso 60 posterior

[Escribir texto]

2 60.3

3 61.7

4 69

5 64

6 62.6

7 56.7

54.9

58.1

62.1

58.5

59.9

54.4

Página 33

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿podemos concluir que la dieta es eficaz al 95% de confianza?

𝐷𝑖 = 𝑋𝑖 − 𝑌𝑖 : -1.5, 5.4, 3.6, 6.9, 5.5 2.7 2.3 ̅= 𝐷

∑10 𝑖=1 𝐷𝑖 10

̅ = 3.557 𝐷

7

SD 2   ( Di  D ) 2 i 1

SD  2.7768

  0.05  / 2  0.025 t / 2 (n  1)  (0.51)(3.0852) I  D  t / 2 (n  1)( SD / n )  I  3.557  3.2369  I  0.3201;6.7939  Como el intervalo, los límites son positivos, decimos que la dieta es eficaz. EJERCICIO 5.Un banco se especializa en préstamos a industrias pequeñas, para lo cual debe hacer una evaluación minuciosa de la situación financiera de cada una de ellas. Con este propósito, un agente de crédito analiza los estados financieros y las solicitudes e inclusive entrevista al solicitante si así lo desea; así se forma una opinión respecto a la tasa de crédito del mismo. El resultado de su análisis se evalúa mediante un número entero comprendido entre 0 y 9, usando el 9 para una tasa excelente y el 0 para una tasa mala. El agente del banco, deseaba estar seguro de que ambos agentes de crédito, el señor Alcalá y el señor Meza, estaban usando el mismo estándar al evaluar las tasas de crédito. Se escogieron 25 clientes al azar y ambos agentes fueron enviados por separado con cada uno de ellos, siendo los resultados de sus respectivas investigaciones lo siguiente:

[Escribir texto]

Página 34

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Número de Solicitud de crédito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2.1 24 25

Evaluación del

Evaluación del

Sr. Alcalá 8 5 6 9 1 4 5 8 7 5 2 2 1 6 5 3 6 6 4 3 6 5 4 5 4

Sr. Meza 7 3 7 9 2 2 5 6 4 6 1 2 0 7 4 3 6 5 5 1 6 4 4 5 3

La gerencia sabia que habría diferencias entre ambas evaluaciones, pero deseaba que los agentes de crédito diesen la misma evaluación en promedio. ¿Los resultados muestran una diferencia significativa?

[Escribir texto]

Página 35

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

SOLUCIÓN: 1. Con los datos anteriores hallamos di: Número de Solicitud de crédito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2.1 24 25

Evaluación del Sr. Alcalá Xi 8 5 6 9 1 4 5 8 7 5 2 2 1 6 5 3 6 6 4 3 6 5 4 5 4

Evaluación del Sr. Meza Yi 7 3 7 9 2 2 5 6 4 6 1 2 0 7 4 3 6 5 5 1 6 4 4 5 3 promedio Di Desv. Típica

[Escribir texto]

Di=Xi- Yi -1 -2 1 0 1 -2 0 -2 -3 1 -1 0 -1 1 -1 0 0 -1 1 -2 0 -1 0 0 -1 -0.52 1.1224

Página 36

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

2. n=120 , γ=0.99, D =-0.52, σ=1.124 Hallamos t0 para n-1= 24 grados de libertad, γ=0.95 (opcional) P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.064 3. el intervalo para datos pareados está determinado por :

[D 

t0 S n

Hallamos

   D

t0 S n

t0 S n

]

=2.064*1.1224/

25 =0.4633

Θ1= -0.52-0.4633 Θ2= -0.52+0.4633 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-0.983;-0.057] Como ambos límites son negativos, Los resultados no muestran una diferencia significativa EJERCICIO 6.Se selecciona al azar 5 secretarias de la Universidad de Lima y se procede a registrar la velocidad en mecanografiar un texto (palabras por minuto) para cada secretaria. Luego, se les envía a un curso de perfeccionamiento y se vuelve a realizar la misma prueba. Los resultados obtenidos en ambos casos son los siguientes: Secretaria

Antes

1 2 3 4 5

80 70 85 62 82

Después del curso de perf. 82 77 79 68 84

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿se puede afirmar con un 95% de confianza, que la velocidad de mecanografiado es superior luego de haber realizado el curso? SOLUCIÓN: 1. Con los datos anteriores hallamos di: Secretaria

Antes (Xi)

1 2 3 4 5

80 70 85 62 82

Después del curso de perfeccionam. (Yi) 82 77 79 68 84

Di=Xi-Yi 2 7 -6 6 2

promedio Di

2.2

Desv. Típica

4.57820926

1. n=5 , γ=0.99, D =2.2 , σ=4.5782 Hallamos t0 para n-1= 4 grados de libertad, γ=0.95 ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 37

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

P [T≤ t0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 t0=2.776 2. el intervalo para datos pareados está determinado por :

[D 

t0 S n

   D

Hallamos

t0 S n

]

t0 S =2.776*4.5782/ 4 =6.35 n

θ1= 2.2-6.35 θ 2=2.2+6.35 El intervalo de confianza para un nivel de confianza de 95% es: [-4.15; 8.55] El intervalo incluye el cero µ1=u2 no hay diferencias en la velocidad de mecanografiado después de haber realizado el curso.

EJERCICIO 7. Un equipo de investigación medica esta interesado en ver si una nueva droga reduce el colesterol en la sangre. Con tal fin toma una muestra de diez pacientes y determina el contenido del colesterol en la sangre ante y después del tratamiento. Los datos muestrales expresados en miligramos por 100 mililitros son los siguientes: Paciente Antes(xi)

1 217

2 252

3 229

4 200

5 209

6 213

7 215

8 260

9 232

10 216

Después(yi)

209

241

230

208

206

211

209

228

224

203

Di= yi- xi

-8

-11

1

8

-3

-2

-6

-32

-8

-13

Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal, ¿se puede afirmar con un 95%de confianza que la nueva droga reduce el colesterol en la sangre? Solución 𝜇1= 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑛𝑔𝑟𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝜇2= 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑜𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑎𝑛𝑔𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 Como el contenido del colesterol en la sangre, se determina en los dos casos (antes y después), y es en el mismo paciente, estamos frente a un caso de datos pareados. 𝑛 = 10 ∑𝑛𝑖=1 𝐷𝑖 ∑10 ∑10 −74 𝑖=1 𝐷𝑖 𝑖=1(𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 ) 𝐷= = = = = −𝟕. 𝟒 𝑛 10 10 10 ∑𝑛 (𝐷𝑖 − 𝐷)2 ∑10 (𝐷𝑖 − 𝐷)2 𝑆𝐷 = √ 𝑖=1 = √ 𝑖=1 = 𝟏𝟎. 𝟓𝟖𝟓𝟏𝟎𝟒𝟖𝟒 𝑛−1 9 Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.95 𝑦

𝛼 2

= 0.025 , buscamos en la tabla de distribución T, y se encuentra:

𝑡∝ (𝑛 − 1) = 𝑡0.025 (9) = 2.262 2

Luego el intervalo de confianza al 95% para 𝜇𝐷 = 𝜇2 − 𝜇1 es: ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 38

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

𝐼 =< 𝐷 − 𝑡∝ (𝑛 − 1)

√𝑛 10.58510484 2

𝐼 =< −7.4 − 2.262

𝑆𝐷

√10

; 𝐷 + 𝑡∝ (𝑛 − 1) 2

; −7.4 + 2.262

𝑆𝐷

> √𝑛 10.58510484 √10

>

𝐼 =< −7.4 − 7.571601776 ; −7.4 + 7.571601776 > 𝐼 =< −14.97160178; 0.171601776 > Como el intervalo incluye al cero, entonces 𝝁𝟐 = 𝝁𝟏 , y se concluye que la nueva droga no reduce el colesterol en la sangre. EJERCICIO 8. El año 1986 se vio caracterizado por el auge de la bolsa de valores producto de las medias de política económica aplicadas por el gobierno las cuales promovieron un incremento de rentabilidad relativa de los valores transados en bolsa respecto de otras alternativas de inversión. Este fenómeno observado llega a ser cúspide en el mes de abril de dicho año periodo en el cual se transan 576.4 millones de soles de acciones u obligaciones. A continuación se presenta un cuadro resumen del movimiento bursátil para 1986, en los meses de abril y diciembre, respectivamente. Suponiendo que la característica en estudio tiene distribución normal ¿será cierta la supremacía del mes de abril respecto del mes de diciembre en cuanto al movimiento bursátil promedio se refiere?

SECTORES Bancos Financieras Industriales Mobiliarias Mineras Seguros Servicios Públicos Diversas Industria laborales Mineras laborales

ABRIL(Xi) 10.8 2.4 267.8 0.0 10.7 2.6 0.1 4.1 113.6 14.0

DICIEMBRE(Yi) 35.0 9.5 31.1 0.0 6.9 14.8 0.1 27.6 196.2 11.6

Yi - Xi 24.2 7.1 -236.7 0 -3.8 12.2 0 23.5 82.6 -2.4

Solución Como el movimiento bursátil se dio en el mismo sector, tanto en el mes de abril como en el mes de diciembre, estamos frente a un caso de datos pareados: 𝜇1= 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑏𝑢𝑟𝑠𝑎𝑡𝑖𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑖𝑙 𝜇2= 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑏𝑢𝑟𝑠𝑎𝑡𝑖𝑙 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑛 = 10 ∑𝑛𝑖=1 𝐷𝑖 ∑10 ∑10 −93.3 𝑖=1 𝐷𝑖 𝑖=1(𝑌𝑖 − 𝑋𝑖 ) 𝐷= = = = = −𝟗. 𝟑𝟑 𝑛 10 10 10 2 ∑𝑛𝑖=1(𝐷𝑖 − 𝐷)2 ∑10 𝑖=1(𝐷𝑖 − 𝐷) √ √ 𝑆𝐷 = = = 𝟖𝟑. 𝟖𝟖𝟗𝟏𝟒𝟕𝟎𝟗 𝑛−1 9

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 39

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.95 𝑦

𝛼 2

= 0.025 , buscamos en la tabla de distribución T, y se encuentra:

𝑡∝ (𝑛 − 1) = 𝑡0.025 (9) = 2.262 2

Luego el intervalo de confianza al 95% para 𝜇𝐷 = 𝜇2 − 𝜇1 es: 𝑆𝐷 𝑆𝐷 𝐼 =< 𝐷 − 𝑡∝ (𝑛 − 1) ; 𝐷 + 𝑡∝ (𝑛 − 1) > 2 2 √𝑛 √𝑛 𝟖𝟑. 𝟖𝟖𝟗𝟏𝟒𝟕𝟎𝟗 𝟖𝟑. 𝟖𝟖𝟗𝟏𝟒𝟕𝟎𝟗 𝐼 =< −9.33 − 2.262 ; −9.33 + 2.262 > √10 √10 𝐼 =< −9.33 − 60.00651148 ; −9.33 + 60.00651148 > 𝐼 =< 69.3365 ; 50.6765 > Nótese que ambos límites de confianza del intervalo son positivos, en consecuencia 𝜇2 > 𝜇1 , es decir que el movimiento bursátil promedio del mes de abril es menor que del mes de diciembre, por lo tanto no es cierta la supremacía del mes de abril respecto del mes de diciembre. EJERCICIO 9.A fin de medir el efecto de una campaña de ventas sobre artículos “quedados”, el director de investigación tomó una m.a. de 13 pares de tiendas que se hicieron concordar según el volumen semanal promedio de ventas. Una tienda de cada par (el grupo experimenta) fue expuesta a la campaña de ventas, la otra tienda del par no lo fue. Los siguientes datos indican los resultados en un periodo semanal. VENTA (EN MILES) DE ARTICULOS QUEDADOS TIENDA 1

CON CAMPAÑA DE VENTA 67.2

SIN CAMPAÑA DE VENTA 65.3

2

59.4

54.7

3

80.1

81.3

4

47.6

39.8

5

97.8

92.5

6

38.4

37.9

7

57.3

52.4

8

75.2

69.9

9

94.7

89.0

10

54.3

58.4

11

31.7

33.0

12

49.3

41.7

13

54.0

53.6

¿Puede el director de investigaciones llegar a la conclusión de que la campaña de ventas ha aumentado la venta de los artículos? SOLUCIÓN: Promedio (Con campaña de venta) = 62.08 Promedio (Sin campaña de venta) = 59.19

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 40

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Sólo analizando los promedios se puede concluir que haciendo campaña de ventas la venta de artículos ha aumentado.

EJERCICIO 10.Un empresario desea invertir parte de las utilidades de su empresa en la compra de bonos tipo (C de COFIDE). Para lo cual contrata los servicios de una compañía consultora para que investigue si la rentabilidad promedio de las cotizaciones de los Bonos ha sufrido una variación significativa de un periodo a otro o no. La compañía consultora toma una muestra aleatoria de 12 meses de los años 87 y 88 respectivamente. En la siguiente tabla aparecen las rentabilidades promedio de las cotizaciones de los Bonos Tipo C de Cofide de los años 1987 y 1988.

1987

49%

51%

51.9% 48.5% 56% 44.9% 50.2% 50.2%

50.8%

49.7% 50.3%

53.1%

1988 53.9% 54.3% 69.3% 70.8% 66% 51.2% 90.2% 87.8% 124.5% 95.3% 65.4% 125.5%

La compañía consultora afirma que si las rentabilidades promedio de las cotizaciones de los Bonos tipo C de Cofide del periodo 1988 es mayor que la del periodo 1987 aconsejará invertir. En base a los datos, ¿qué le sugiere la empresa consultora al empresario? SOLUCIÓN: Promedio (1987) = 50.467% Promedio (1988) = 79.517% Sólo analizando los promedios se deduce que Promedio (1988) > Promedio (1987), por lo que la empresa consultora va a sugerir invertir al empresario.

EJERCICIO 11.Para planear una estrategia de política económica en el futuro, el gobierno realiza un estudio con el fin de determinar los niveles de producción industrial en el país. Durante el año 1998 el gobierno consideró prudente no intervenir en el sector de bienes de consumo. Resultando si de importancia el potenciar en el sector de bienes de capital por encima de la producción de consumos. Los resultados en estos últimos sectores fueron lo siguientes: Producción Industrial 1998 (en miles de nuevos soles) Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Producción de Consumos 0,14 0,15 0,18 0,20 0,17 0,18 0.19 0.20 0.26 0,26 0,33 0,32

Producción de Bienes de Capital 0,12 0,14 0,17 0,19 0,17 0,19 0.20 0,19 0,25 0,25 0,31 0,31

Página 41

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

¿Los resultados estadísticos evidencian que la política empleada por el gobierno fue efectiva? SOLUCIÓN

Meses

insumos

bienes

diferencia

enero

0.14

0.12

-0.02

febrero

0.15

0.14

-0.01

marzo

0.18

0.17

-0.01

abril

0.20

0.19

-0.01

mayo

0.17

0.17

0.00

junio

0.18

0.19

0.01

julio

0.19

0.20

0.01

agosto

0.20

0.19

-0.01

septiembre

0.26

0.25

-0.01

octubre

0.26

0.25

-0.01

noviembre

0.33

0.31

-0.02

diciembre

0.32

0.31

-0.01

n  12 De la tabla:

D  0.01 ; S D  0.01 Utilizaremos la siguiente formula

P ( Z , z 0) 

1  0.9 2

,

gl  n  1  11

Entonces

z

0

 1.796

0.01 0.01 ;0.01  1.769 12 12 l  0.013;0.002  l  0.01  1.769

El hecho que ambos límites de confianza sean negativos indica que la producción de los bienes de insumo es mayor que la producción de los bines de capital; por tanto la política no fue efectiva ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 42

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 12.Considere usted el siguiente caso. En el país Omega (el cual se ha distinguido por la estabilidad en materia de política económica y social) una empresa dedicada a la importación y comercialización de productos de consumo masivo SUPERMER, que además posee una cadena de tiendas a nivel nacional; con el propósito de incrementar sus ventas, aplicó dos diferentes mecanismos de promoción de ventas durante un periodo determinado (A: mecanismo conservador, B: mecanismo innovador). Estos mecanismos de promoción fueron adoptados e implementados con éxito en países con similares características socioeconómicas.Después de un tiempo, con la finalidad de medir el impacto de los mecanismos de promoción adoptados por SUPERMER, se registró el nivel de ventas de 34 de las tiendas de la empresa ubicadas en la capital y provincias durante un mes típico del año antes de que la empresa implementará algún mecanismo de promoción y durante un mes típico del año correspondiente al periodo de tiempo en el cual estuvo vigente cada uno de los mecanismos de promoción adoptados por la Cia. Los datos se presentan en las tablas siguientes VENTAS CIA. SUPERMER (en unidades monetarias u.m)

TIENDA

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. DE PROM.

DESPES DE LA APLICACIÓN MEC. CONSERVADOR

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. INNOVADOR

1

100

205

230

2

134

205

300

3

132

204

250

4

145

206

230

5

156

208

250

6

135

199

250

7

140

198

220

8

140

179

230

9

122

180

260

10

145

160

160

11

176

203

190

12

187

203

180

13

197

201

220

14

150

240

230

15

170

233

240

16

146

244

250

17

154

233

215

MEDIA

148.76

206.24

229.71

DESV. ESTANDAR

23.05

21.36

31.55

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 43

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

VENTAS CIA. SUPERMER (en unidades monetarias u.m)

TIENDA

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. DE PROM.

DESPES DE LA APLICACIÓN MEC .CONSERVADOR

ANTES DE LA APLICACIÓN MEC. INNOVADOR

1

111

120

180

2

124

130

150

3

126

140

240

4

204

144

250

5

210

155

220

6

240

166

230

7

230

170

215

8

180

150

218

9

190

160

260

10

199

153

250

11

187

123

250

12

179

165

260

13

167

174

235

14

164

180

302

15

150

164

307

16

170

165

170

17

150

180

189

MEDIA

175.35

155.24

230.94

DESV. ESTANDAR

35.03

18.00

41.21

TOTAL MEDIA

162.06

180.74

230.91

DESV. ESTANDAR

32.98

32.74

32.22

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 44

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Con la información presentida . verifique usted la verdad o falsedad de los siguientes enunciados empleando intervalos de confianza del 95% "A nivel de la totalidad de las tiendas de la empresa (capital y provincias) separadamente los mecanismos de promoción de ventas (conservador e innovador) dieron resultados positivos, en términos del nivel de ventas promedio, en comparación con la situación que se registraba antes de que la empresa decidiera implementar algún mecanismo de promoción de ventas; sin embargo, cabe señalar que el efecto positivo del mecanismo innovador fue mayor".

TIENDA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

ANTES DE LA APLICACIÓN

DESPUES DE LA APLICACIÓN ANTES DE LA DIFERENCIA MEC. DE APLICACIÓN CONSERV.

100

205

134

210

132

204

145

206

156

208

135

199

140

198

140

179

122

180

145

160

176

203

187

203

197

201

150

240

170

233

146

244

154

233

111

120

124

130

126

140

204

144

210

155

240

166

230

170

180

150

190

160

199

153

187

123

179

165

167

174

164

180

150

164

170

165

150

180

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

105 76 72 61 52 64 58 39 58 15 27 16 4 90 63 98 79 9 6 14 -60 -55 -74 -60 -30 -30 -46 -64 -14 7 16 14 -5 30

DESPUES DE LA APLICACIÓN MEC. INNOV

100

230

134

300

132

250

145

230

156

250

135

250

140

220

140

230

122

260

145

160

176

190

187

180

197

220

150

230

170

240

146

250

154

215

111

180

124

150

126

240

204

250

210

220

240

230

230

215

180

218

190

260

199

250

187

250

179

260

167

235

164

302

150

307

170

170

150

189

DIFERENCIA

130 166 118 85 94 115 80 90 138 15 14 -7 23 80 70 104 61 69 26 114 46 10 -10 -15 38 70 51 63 81 68 138 157 0 39

Página 45

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

MECANISMO DE CONSERVADOR

D s

PROM

D

 18.68

 50.36

50.36 50.36 ;18.68  1.64 34 34 l  4.51;32.84  l  18.68  1.64

MECANISMO INNOVADOR

D s

INNOV

D

 68.26

 49.20

49.20 49.20 ;68.26  1.64 34 34 l  54.43;82.10  l  68.26  1.64

Verdadero. Ambos mecanismos dieron efectos positivos. En temimos del nivel de ventas promedio, fue mayor en el caso del mecanismo innovador

TERCER BLOQUE EJERCICIO 1.Una m.a. de 400 domicilios mostro que 25% de ellos son casas de alquiler hallar un intervalo de confianza del 98% para la proporción p. SOLUCION: n=400, γ=0.98,

Hallamos Z0, γ=0.98 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.98+1)/2=0.99 Z0= 2.33

EJERCICIO 2.En 50 lanzamientos de una moneda, fueron obtenidas 30 caras. A partir de una intervalo de confianza del 95%, ¿Se puede decir que la moneda no esta cargada?

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 46

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 3.Una muestra de 300 habitantes de una ciudad mostro que 180 deseaban agua filtrada. Encontrar los límites de confianza de 90% y 95% para la proporción de la población favorable a la filtración. Solución Agua f 180 α 90% y 95%

Para

EJERCICIO 4.Una determinada comunidad esta compuesta de 1200 unidades habitacionales de una muestra elegida al azar de 200 unidades resulto que 50 necesitaban reparaciones urgentes, construir el intervalo de confianza del 90% para la proporción real de las unidades que necesitan reparación. SOLUCION: n=400, γ=0.98,

Hallamos Z0, γ=1-α=0.90 , α/2=0.05 e n la tabla I

=1.645

Por tanto , el intervalo de confianza del 90%. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 47

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 5.Supongamos que estamos interesados en estimar el porcentaje de consumidores de cierto producto. si una muestra de tamaño de 300 dio 100 individuos que consumían dicho producto, determine: Solución a) El intervalo de confianza par p, con coeficiente de confianza del 95%.

Para

y

/2

0.025

Z α/2=1,960

b) El tamaño de la muestra para que el error de estimación no exceda a 0.02 unidades con probabilidad de 95%. SOLUCION: Para y /2 0.025 Z α/2=1,960

n=(1.960)( 1.960)(0.333)(0.667)/(0.02)( 0.02)=2134

EJERCICIO 6.En una encuesta para verificar las actitudes de los empleados ante el boletín mensual, se les pidió a 500 empleados de una organización nacional que indicaran con que frecuencia leían el boletín de noticias.de los 500; 75 informaron que leían todas las ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

ediciones. construir el intervalo de confianza del 95% para la proporción real de los que leen todas las ediciones. Solución: n =500, x=75,

Hallamos Z0, γ=1-α=0.95 , α/2=0.025 e n la tabla I

=1.96

EJERCICIO 7.Se recibe un lote muy grande provenientes de un fabricante que asegura que el porcentaje de artículos defectuosos en la producción es de 1% .Al seleccionar una m.a de 200 artículos y después de inspeccionarlos, se descubre 8 defectuosos. Obtener un intervalo de confianza aproximando del 99% para la verdadera proporción de artículos defectuosos en el proceso de manufactura del fabricante. Con base a estos resultados. ¿Qué se puede concluir con respecto a la afirmación del fabricante?

n=200

  0.99 p  8 / 200  0.04 P ( Z  z 0 )  0.995 z 0  2.576

I  p  z 0

0.04(1  0.04)  200

0.04(1  0.04)  200 I  0.0043    0.0757  Existe razón para creer que existen artículos defectuosos. I  0.04  (2.276)

EJERCICIO 8.En una investigación de mercado para estudiar la preferencia de la población de una población de una cuidad en relación a un determinado producto , se selecciona una muestra de 300 individuos , de los cuales 180 prefieren ese producto.

a) Determine un intervalo de confianza para la proporción de la población que prefieren el producto en estudio.

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

n  300

  0.95

I  p  z 0

p  180 / 300  0.6

p (1  p )  n

0.6(1  0.6)  300 I  0.54456    0.655437 

P( Z  z 0 )  0.975

I  0.6  (1.96)

z 0  1.96

b) ¿es posible obtener un estimador puntual de esa proporción que no difiera del valor verdadero en mas de 0.0005 con probabilidad de 0.95? caso contrario , determine que es lo que debe hacerse? 𝑛 = 300 𝑥 = 180 𝑥 𝑝̅ = 𝑛 𝛾 = 0.95

=≫

𝑝̅ = 0.6

1+𝛾 2 ∴ 0.46 ≤ 𝑝 ≤ 0.735 𝑃(𝑍0 < 𝑍) =

→

𝑍0 = 1.96

EJERCICIO 9.Un medico investigador desea estimar la proporción de mujeres, en edad madura , que fuman en exceso y que desarrollaran cáncer pulmonar en los siguientes 5 años . El investigador desea seleccionar un acierta cantidad de mujeres que ayan fumado por lo menos dos cajetillas de cigarros al día durante 20 años y observarlos durante los próximos 5 años para saber cuantos desarrollaran cáncer pulmonar ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra que el investigador debe seleccionar de manera que con una probabilidad de 0.95 la proporción maestral se encuentre a no más de 0,02 unidades de la proporción verdadera. 𝛾 = 0.95 1,95 2 𝑧0 = 1.96

𝑃(𝑧 ≤ 𝑧0 ) =

(𝑍0 )2 4𝑒 2 2 (1.96) 3,8416 𝑛= = = 2401 2 4(0.02) 0,0016 𝑛=

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

Página 50

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 10.Una muestra de 10000 piezas de un lote de producción fue inspeccionada, y el número de defectuosos por cada pieza fue registrado en la siguiente tabla. No. 0 1 2 3 4 defectuosos Cantidad de 6000 3200 600 150 50 piezas Determine los límites de confianza para la proporción de piezas defectuosos en la población, con coeficientes de confianza del 98 %. Solución: Para productos con cero defectos: pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

n  6000 pˆ  600 / 10000  0.6   0.02 Z 0  2.33 0.4 x0.6 0.4 x0.4  p  0.6  2.33  10000 10000 I  0.59;0.61 

 0.6  2.33

Para productos con 1 defecto: pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

n  3200 pˆ  3200 / 10000  0.32   0.02 Z 0  2.33 0.32 x0.68 0.32 x0.68  p  0.32  2.33  10000 10000 I  0.30;0.33 

 0.32  2.33

Para productos con 2 defectos pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

pˆ  600 / 10000  0.06   0.02 Z 0  2.33 0.06 * 0.94 0.06 x0.94  p  0.06  2.33  10000 10000 I  0.054;0.066 

 0.06  2.33

Para productos con 3 defectos:

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

n  150 pˆ  150 / 10000  0.015   0.02 Z 0  2.33 0.015 x0.985 0.015 x0.985  p  0.015  2.33  10000 10000 I  0.012;0.017 

 0.015  2.33

Para productos con 4 defectos: pˆ 1  Z 0

pˆ 1 (1  pˆ 1 )  p  pˆ 1  Z 0 n1

pˆ 1 (1  pˆ 1 ) n1

n  50 pˆ  50 / 10000  0.005   0.02 Z 0  2.33 0.005 * 0.995 0.005 * 0.995  p  0.005  2.33  10000 10000 I  0.0033;0.0064 

 0.005  2.33

EJERCICIO 11. Antes de una elección en que existan 2 candidatos A y B se hizo una encuesta con 400 electores seleccionados al azar, y se verifico que 208 de ellos pretendían votar por el candidato A. Construya un intervalo de confianza del 95 %, para la proporción de electores favorables al candidato A en la época de las elecciones.

n  900 208  0,52 400 γ  95%

PA 

𝑃(𝑧 ≤ 𝑧0 ) =

1,95 2

𝑧0 = 1.96

 p  z0

P(1  P)  n

0,52(1  0,52)  400  0.47  π  0.569 

 0.52  (1,96)

EJERCICIO 12.Las compañías de auditoría generalmente seleccionan una muestra aleatoria de los clientes de un banco y verifican los balances contables reportados por el banco. Si una compañía de este tipo se encuentra interesada en estimar la proporción de cuentas para las cuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco, ¿cuántas cuentas deberán

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

seleccionarse de manera tal que con una confiabilidad del 99% la proporción muestral se encuentre a no más de 0,02 unidades de la proporción real? R. 4147 Solución: 1. γ=0.99 , E=0.02 Hallamos Z0, γ=0.99 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.99+1)/2=0.995 Z0= 2.576 El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por (si no se conoce la proporción):

n

Z 02 =2.5762/(4*0.022)=4147.36 4E 2

Respuesta: El total de cuentas seria 4147 EJERCICIO 13.Una compañía de TV quería estimar la proporción de sus suscriptores que comprarían su revista con la programación. La compañía quería tener 95% de confianza de que su estimación está correcta con aproximación de +0,05 de la proporción real. La experiencia previa en otras áreas indica que el 30% de los suscriptores comprarían la revista. ¿Qué tamaño de muestra se necesita? R. 323 Solución: 1. γ=0.99, E=0.05, pˆ =0.3 Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por:

Z 02 pˆ (1  pˆ ) =1.9602*0.3*(0.7)/(0.05)2=322.69 n E2 Respuesta: necesita un tamaño de muestra de 323 suscriptores. EJERCICIO 14.Se desea realizar una encuesta de mercado para estimar la proporción de amas de casa que prefieren una nueva pasta dental. Asimismo, se desea que el error al estimar la proporción no sea mayor que 2% con un coeficiente de confianza de 95.45%. El departamento de ventas hace la hipótesis preliminar de que cerca del 25% de las amas de casa podrían preferir el producto. Si cuesta S/. 500000 poner en marcha la encuesta y S/. 5000 por entrevista, ¿cuánto debería costar toda la encuesta? R. 9375000 Solución: 1. γ=0.9545 , E=0.02 , pˆ =0.25 Hallamos Z0, γ=0.9545 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2= (0. 9545+1)/2=0.97725 Z0= 2.00000244

2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por:

n

Z 02 pˆ (1  pˆ ) =2.000002442*0.25*(0.75)/(0.02)2=1875 2 E Respuesta: El total de amas de casa son 1875, y el gasto en encuestas es

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

1875* 5000=9375000 soles. EJERCICIO 15.se planea una encuesta para estimar la proporción de los profesores de la Universidad de San Marcos que desean tener seguro médico familiar. También, se desea que el error de estimación no sea mayor que 6%, con un coeficiente de confianza de 0,96844. El director de personal hace la hipótesis preliminar de que cerca del 70% de los profesores podrían preferir el seguro médico familiar. Si la Universidad debe pagar S/. 10000 por cada entrevista, ¿cuánto debería costar toda la encuesta? R. 2700000 Solución: 1. γ=0.96844 , E=0.06 , pˆ =0.70 Hallamos Z0, γ=0. 96844 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2= (0. 96844 +1)/2=0.98422 Z0= 2.14993951 2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por:

n

Z 02 pˆ (1  pˆ ) =2.149939512*0.70*(0.30)/(0.06)2=269.63 E2 Respuesta: El total de profesores son 270, y el gasto en encuestas es 270* 100000=2700000 soles.

EJERCICIO 16.Debe obtenerse una estimación de la proporción de artículos útiles en el inventario de excedentes almacenados en condiciones desfavorables. La estimación deberá ser correcta dentro de un margen de tolerancia de +0,05 y confiable al 95%. El inventario total consta de 10000 artículos y se cree que la proporción de artículos utilizables todavía es 0.30. ¿Qué tamaño de muestra es necesario para obtener un estimador con la exactitud requerida? R. 323 Solución: 1. γ=0.95 , E=0.05, pˆ =0.30 Hallamos Z0, γ=0.95 P [Z≤ z0]= (γ+1)/2=(0.95+1)/2=0.975 Z0= 1.960 2. El tamaño muestral para estimar una proporción esta dado por:

n

Z 02 pˆ (1  pˆ ) =1.9602*0.70*(0.30)/(0.05)2=322.69 E2 Respuesta: artículos útiles=223 de un total de 10000 artículos.

EJERCICIO 17. El director de la biblioteca de la universidad de Lima quiere calcular el porcentaje de libros de que dispone con fechas de publicación de 1980 o anteriores ¿De que tamaño debe tomar la m.a para que se tenga un 97% de seguridad de quedar dentro del 4% de la proporción real? Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.97 𝑦

𝛼 2

= 0.005 , se encuentra: 𝑍𝛼/2 = 2.17 (𝑍𝛼 )2 𝑛=

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

2

4𝑒 2 Página 54

INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

(2.17)2 4.7089 = = 735.765625 ≈ 736 2 4(0.04) 0.0064 𝒏 = 𝟕𝟑𝟔 La muestra debe de ser de 736 libros para tener un 97% de seguridad de quedar dentro del 4% de la proporción real. 𝑛=

EJERCICIO 18. Una librería recibe un embarque de cierta marca de bolígrafos baratos del fabricante. El propietario desea estimar la proporción de bolígrafos que están defectuosos. Se prueba con una m.a de 400 bolígrafos y se encuentra 40 defectuosos. Hallar el intervalo de confianza del 97% para la proporción de bolígrafos defectuosos en el embarque. Si el embarque se puede devolver en caso de que aparezcan más de 6% de defectuosos, entonces con base en los resultados de la muestra, ¿puede el dueño devolver el embarque? SOLUCIÓN Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.97 𝑦

𝛼 2

= 0.005 , se encuentra: 𝑍𝛼/2 = 2.17

𝑛 = 400 El estimador de p es: 𝑝̂ = 40 = 10% 𝑝̂ = 40 = 0.1 Luego, intervalo de confianza del 97% pedido es: 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝐼 =< 𝑝̂ − 𝑍𝛼/2 √ ; 𝑝̂ + 𝑍𝛼/2 √ > 𝑛 𝑛 0.1(0.9) 0.1(0.9) 𝐼 =< 0.1 − 2.17√ ; 0.1 + 2.17√ > 400 400 𝑰 =< 0.06745; 𝟎. 𝟏𝟑𝟐𝟓𝟓 > Como el intervalo no incluye 0.06, entonces, el dueño si puede devolver el embarque. EJERCICIO 19. Para determinar cuantas en un pueblo joven de 1000 familias califican para recibir canastas alimentarias del ministerio de agricultura, se tomo una muestra aleatoria de 360 familias. Se encontró que 98 de esas 360 familias calificaron. Calcular límites de confianza del 90% para el número total de familias de este pueblo joven que califican para las canastas alimentarias. SOLUCIÓN Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.90 𝑦

𝛼 2

= 0.05 , se encuentra: 𝑍𝛼/2 = 1.645

98

El estimador de p es: 𝑝̂ = 360 = 0.27222 Luego, intervalo de confianza del 90% pedido es: 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝐼 =< 𝑝̂ − 𝑍𝛼/2 √ ; 𝑝̂ + 𝑍𝛼/2 √ > 𝑛 𝑛

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

0.27222(0.72778) 0.27222(0.72778) 𝐼 =< 0.27222 − 1.645√ ; 0.27222 + 1.645√ > 360 360 𝑰 =< 0.23363; 𝟎. 𝟑𝟏𝟎𝟖𝟏 > EJERCICIO 20. Un departamento de mercadotecnia se interesa en determinar el tamaño de un mercado para un nuevo producto que tiene poco atractivo para el público, pero cuya utilidad unitaria es especialmente alta. Una encuesta de consumidores sobre 2000 familias indico que 30 de ellas comprarían el nuevo producto. El área de mercado considerado comprende 5000000 de familias. Estímese el numero de familias que comprarían el producto. Use los resultados de la encuesta para determinar el intervalo de confianza del 97% para el número de familias que comprarían el nuevo producto. SOLUCIÓN 𝑁 = 5000000 𝑛 = 2000 𝛼 Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.97 𝑦 2 = 0.015 , se encuentra: 𝑍𝛼 = 2.17 2

El estimador de p es: 30 = 0.015 2000 Luego, intervalo de confianza del 97% pedido es: 𝑝̂ =

𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝑁 − 𝑛 𝐼 =< 𝑝̂ ± 𝑍𝛼/2 √ . > 𝑛 𝑁−1 0.015(0.985) 5000000 − 2000 𝐼 =< 0.015 ± 2.17√ . > 2000 4999999 𝐼 =< 0.015 ± 0.00589686869 > 𝑰 =< 0.009103; 0.020897 > EJERCICIO 21. Se afirma que tan solo 700 de 2000 proyectos serán llevados a cabo por el gobierno, debido a un recorte presupuestal. Sin embargo, es muy importante que se prevea esto, en tal sentido. a) Construya un intervalo de confianza para la proporción de proyectos que se llevaran a cabo, con una probabilidad del 10% de que el verdadero valor del parámetro caiga fuera de los límites. b) Supóngase ahora, que de 4000 posibles proyectos, se extrae una muestra de 2300, determinándose que de tales solo podrían llevarse a cabo 600 (debido al recorte presupuestario). ¿Cuál seria el intervalo de confianza para la proporción de proyectos que no se podrán llevar a cabo? SOLUCIÓN a)

Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.90 𝑦 El estimador de p es: 𝑝̂ =

𝛼 = 0.05 , se 2 700 = 0.35 2000

encuentra: 𝑍𝛼 = 1.645 2

Luego, intervalo de confianza del 90% pedido es:

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

0.35(0.65) 0.35(0.65) 𝐼 =< 0.35 − 1.645√ ; 0.35 + 1.645√ > 2000 2000 0.35(0.65) 0.35(0.65) 𝐼 =< 0.35 − 1.645√ ; 0.35 + 1.645√ > 2000 2000

b)

𝐼 =< 0.35 − 0.01754452461; 0.35 + 0.01754452461 > 𝑰 =< 0.332461; 𝟎. 𝟑𝟔𝟕𝟓𝟑𝟗 > 𝑁 = 4000 𝑛 = 2300 𝛼 Para 𝛾 = 1 − 𝛼 = 0.10 𝑦 2 = 0.45 , se encuentra: 𝑍𝛼 = 0.125661347 2

El estimador de p es: 600 = 0.02608695652 2300 Luego, intervalo de confianza del 10%, es decir para la proporción de proyectos que no se podrán llevar a cabo es: 𝑝̂ =

𝑝̂ (1 − 𝑝̂ ) 𝑁 − 𝑛 𝐼 =< 𝑝̂ ± 𝑍𝛼/2 √ . > 𝑛 𝑁−1

0.02609(0.73913) 4000 − 2300 𝐼 =< 0.02608695652 ± 0.125661347√ . > 2300 2299 0.025406 1700 𝐼 =< 0.026087 ± 0.125661√ . > 2300 2299 𝐼 =< 0.026087 ± 0.125661(0.00285800279) 𝑰 =< 0.02608695652 ± 0.00035914048 > 𝑰 =< 0.02573; 0.02645 > EJERCICIO 23. Una empresa de estudios de mercado quiere estimar las proporciones de hombres y mujeres que conocen un producto promocionado a escala nacional. En una m.a. de 100 hombres y 200 mujeres se determina que 20 hombres y 60 mujeres están familiarizados con el artículo indicado. Construya el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto. Con base en los resultados, ¿Se estaría inclinando a concluir que existe una diferencia significativa entre las dos proporciones? Solución: P1 = 20/100 = 0.2 P2 = 60/200 = 0.3 Zo = 1.96 Para hallar el intervalo de confianza se hace el uso de la siguiente fórmula:

   p1  p2  z1 / 2 

pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2      1   2  p1  p2  z1 / 2 m n

pˆ 1qˆ1 pˆ 2 qˆ 2    m n 

Haciendo el cálculo respectivo IC = (-0.20089, 0.000897)

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Como el intervalo de confianza incluye al cero, no hay una diferencia significativa entre hombres y mujeres que conocen un producto.

EJERCICIO 24. Una compañía tabacalera afirma que sus cigarrillos marca A se venden un 9% más que sus cigarrillos marcan B. Si se encuentra que 45 de 200 fumadores prefieren los cigarrillos marca A, y 21 de 150 fumadores prefieren los cigarrillos marca B, calcule un intervalo de confianza del 97% para la diferencia entre las proporciones de ventas de las dos marcas de cigarrillos y decida si la diferencia del 9% es una afirmación valida Solución: P1 = 45/200 = 0.225 P2 = 21/150 = 0.14 Zo = 2.17 IC = (-0.00379; 0.17379) Como el intervalo de confianza incluye al cero, no hay una diferencia significativa entre ambas marcas

EJERCICIO 25. Una muestra de tamaño de 600 seleccionado entre los alumnos que habían consultado al Servicio Médico de la Universidad Mayor de San Marcos durante el año pasado indicó que 160 tenían una enfermedad de naturaleza psicosomática. ¿Con qué grado de confianza se puede afirmar que de 20% a 28% de todos los alumnos que consultaron el Servicio médico el año pasado tenían una enfermedad psicosomática? Solución: P1 = 160/600 = 0.26 Limite inferior = 0.20 Límite superior = 0.28 0.26 – Zo*S(0.26*0.74/600) = 0.20 0.26 + Zo*S(0.26*0.74/600) = 0.28 Haciendo los cálculos Zo = 2.233 F (z) = 0.98713 = (1+)/2 Grado de confianza () = 0.97426

EJERCICIO 26. De una m.a. de 150 universitarios, 105 dijeron que en alguna parte del universo tenía que haber vida. De otra m.a. de 200 jóvenes de la misma edad pero que no eran universitarios, 120 dijeron lo mismo. Construir el intervalo de confianza del 95% para la diferencia entre las dos proporciones poblacionales. Solución: P1 = 105/150 = 0.7 P2 = 120/200 = 0.6 Zo = 1.96 Haciendo uso de la fórmula del problema 23 para el intervalo de confianza para dos proporciones: IC = (0.00004; 0.19996)

EJERCICIO 27. La empresa de muebles Sancos S.A. ofrece a sus clientes dos opciones de pago: la opción A consiste en pagar a 30 días con un descuento de 5% y la opción B consiste en pagar a 60 días sin que se otorgue ningún tipo de descuento. La gerencia de la empresa desea recopilar información acerca de cada opción de pago y estudiar las diferencias entre ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

ellas. Le interesa el monto promedio de las facturas de los clientes y el porcentaje de facturas superiores a S/. 10000. Si se seleccionó una m.a. de 15 facturas de la opción A y de 14 facturas de la opinión B con los siguientes resultados. OPCION A

OPCION B n 2 =14 X 2 = S I . 12000

n1 =15 x1

= .S/. 9500

S1 = .S/.1500 5 facturas mayores a S/. 10000

S 2 =S7.1250 7 facturas mayores a S I . 10000

¿Cuáles son sus conclusiones acerca de: a) La proporción de facturas de la opción A mayores a S/. 10000? 

5  0.33 15   0.05 GL=14 T0=2.145 p

I=< 0.33  2.145

0.33(0.67) 0.33(0.67) > ;0.33  2.145 15 15

I= b) ¿Es la media de todas las facturas de la opción A igual a S/. 10500?









I  X  Z 0 ; X  Z 0  n n

I  X  Z 0 ; X  Z 0  n n I= R. Es diferente

c) ¡Es la proporción de facturas superior a S/. 10000 de la opción B igual a 0.45? 

p

7  0.5 14   0.05

GL=13

T0=2.16 I=< 0.5  2.16 I=

0.5(0.5) 0.5(0.5) > ;0.5  2.16 14 14 0.45 está dentro del intervalo

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

d) ¿Existe una diferencia en el monto promedio de las facturas entre las dos opciones de pago? Si

i  ( x  y)  t 0

2 2 S x2 S y S x2 S y   ( x  y)  ( x  y)  t 0   n m n m

i  (9500  12000)  2.048

1500 2 1250 2 1500 2 1250 2   (9500  12000)  2.048   15 14 15 14

I= si existe una diferencia

e) ¿Hay alguna diferencia entre la opción A y la B en la proporción de facturas con un monto mayor a S/. 10000? 



( p1  p2 )  t 0

 p1q1 p2 q2   ; ( p1  p2 )  t 0 n1 n2

(0.33  0.5)  2.048

p1q1 p2 q2  n1 n2

0.33(0.67) 0.5(0.5) 0.33(0.67) 0.5(0.5)  ; (0.33  0.5)  2.048  15 14 15 14

I= este intervalo incluye al valor cero (0) por tanto no existe ninguna diferencia

EJERCICIO 28. Una compañía tabacalera desea determinar la efectividad de su nuevo proceso de producción, entendida esta como la consecución de mayores clientes de su marca dentro de los hombres y no de las mujeres. De 600 mujeres encuestadas, 300 indicaron que fumaban dicha marca; de 400 hombres fumadores encuestados. 200 indicaron que estaban fumando esa marca. ¿A qué conclusiones podría llegar Ud.? Solución Utilizaremos: 



( p1  p2 )  t 0

 p1q1 p2 q2   ; ( p1  p2 )  t 0 n1 n2

(0.5  0.5)  1.96

p1q1 p2 q2  n1 n2

n

x

proporción

mujeres

600

300

0.5

hombres

400

200

0.5

0.5 x0.5 0.5 x0.5 0.5 x0.5 0.5 x0.5  ; (0.5  0.5)  1.96  600 400 600 400

I= I= este intervalo incluye el valor cero por tanto no se ha logrado los resultados esperados.

EJERCICIO 29. El sindicato de los empleados de la Universidad de Lima sospecha que hay más hombres que mujeres que trabajan horas extras en las distintas oficinas de la universidad. El sindicato plantea su queja a la Oficina de Personal sobre la discriminación de las mujeres al asignar el tiempo extra. El Sindicato y la Oficina de Personal acuerdan usar una muestra aleatoria de 175 mujeres y una muestra aleatoria de 250 hombres usando los registros del año anterior para decidir sobre el asunto. En las ¡nuestras aleatorias se encontraron que 23 mujeres y 32 hombres trabajaron tiempo extra. ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

Con un coeficiente de confianza de 97%. ¿se puede concluir que las mujeres están trabajando menos horas extras que los hombres? R. No

a)





n

x

proporción

mujeres

175

23

0.131

hombres

250

32

0.128

 p1q1 p2 q2   ; ( p1  p2 )  z 0 n1 n2

( p1  p2 )  z 0

p1q1 p2 q2  n1 n2

0.131(0.869) 0.128(0.872) 0.131(0.869) 0.128(0.872)  ; (0.131  0.128)  2.17  175 250 175 250 I=< > I= este intervalo incluye al cero entonces no existe diferencia entre las horas extras de hombres y mujeres (0.131  0.128)  2.17

b) Determine mediante un intervalo de confianza, el porcentaje total de empleados de la Universidad de Lima que trabajaron tiempo extra. ¿Puede afirmarse que el porcentaje total de empleados que trabajaron horas extras supera la tercera parte de los empleados n

x

proporción

mujeres

175

23

0.131

hombres

250

32

0.128

|

Total

55 425





p t0

p(1  p)  ; p t0 n

0.129  2.17

I=

0.129



p(1  p ) n

0.129(0.871) 0.129(0.871) ;0.129  2.17 425 425

; No supera la tercera parte

EJERCICIO 30. En un estudio para evaluar los efectos de incluir una modelo en los anuncios de automóviles, se mostró a 100 hombres las fotografías de dos automóviles de precio, color y tamaño similares, pero de distintas marcas. A 50 de los 100 hombres (grupo A) se les mostró uno de los autos con una modelo y el otro sin la modelo, mientras que a los restantes 50 hombres (grupo B) los dos autos se les presentaron sin la modelo. En el grupo A. el auto mostrado con la modelo fue considerado más caro por 37 personas, mientras que en el grupo B el misino auto fue considerado más caro por 23 personas. ¿Indican éstos resultados que incluir una modelo influye en la percepción del cosió por automóvil? Use y =98,172%

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS



n

x

proporción

Grupo A

50

37

0.74

Grupo B

50

23

0.46



i  ( p1  p2 )  z 0 i  0.74  0.46)  2.36

 p1q1 p2 q2   ; ( p1  p2 )  z 0 n1 n2

p1q1 p2 q2  n1 n2

0.74(0.26) 0.46(0.54) 0.74(0.26) 0.46(0.54)  ; (0.74  0.46)  2.36   50 50 50 50

i  0.05841;0.501887  Si influye

EJERCICIO 31. La empresa Cepsi S.A.. el año pasado inició una campaña intensiva de publicidad basada en el "reto Cepsi". donde cada consumidor decidía su preferencia entre esta bebida y la de la competencia. Al final de la promoción la empresa Cepsi S.A. en su publicidad afirmó lo siguiente: "Se ha demostrado con un error máximo de 1% y con 95% de con Habilidad, en una muestra de 5000 entrevistados, el 51% de las personas sometidas a la prueba de degustación prefirieron la bebida Cepsi, por lo tanto, se verificó la preferencia de más de la mitad de las personas en la población". Revisando los cálculos necesarios, el INDECOPI acusó a Cepsi S.A. de emplear una falsa publicidad que ocasiona competencia desleal entre ambas marcas. a) ¿Cuáles fueron los argumentos estadísticos que empleó el INDECOP1 para presentar la acusación contra la Cepsi S.A.?

Z 02 pˆ (1  pˆ ) n E2

Reemplazando datos: 1.96 2 x0.51(0.49) 5000  E2 E  0.0139 ; El error no fue de 1% sino del 1.39% b) Si la proporción muestral se mantiene, ¿con que tamaño de muestra como mínimo, la firma se hubiese librado de la acusación?

n n

Z 02 pˆ (1  pˆ ) E2

1.96 2 x0.51(0.49) 0.012

n  9601 se necesita una población mínima de 9601 personas

ESTADISTICA Y PROBABILIDADES II

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INTERVALOS DE CONFIANZA Y PRUEBA DE HIPOTESIS

EJERCICIO 32. En una encuesta de opinión pública se invita a 100 personas de 1000 a expresar su preferencia por los productos A y B. 30 personas prefieren A: de esto se concluyó que entre 210 y 390 personas de la población prefieren el producto A ¿Qué coeficiente de confianza se usó en este informe? El intervalo es despejando La proporción es 0.3 



p (1  p )  ; p t0 n



p z0

p(1  p) n

0.3(0.7) 100 0.21  0.3  z 0 0.046

0.21  0.3  z 0

z 0  1.960

De donde   0.95

CUARTO BLOQUE EJERCICIO 1. Sea x1…..x una m.a. extraída de una población Bernoulli B1;p),supongamos que se conoce que p