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• Keyla Yepez

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CÁLCULO DE UNA VARIABLE – APRENDIZAJE ACTIVO – PARALELO “1” CAPÍTULO 3: ANTIDERIVADAS Y TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN TUTORIAL # 3A – 05 DE AGOSTO DE 2020 Tema No. 1 (40 PUNTOS)

Un modelo utilizado en aplicaciones de osciladores armónicos - periódicos con retroalimentación negativa está definido por 𝑷 como la posición del oscilador, en donde:

𝒅𝑷 𝒅𝒙

=

𝑲 𝝉 𝒙

: velocidad de desplazamiento de la onda.

𝑲 : constante de osciladores amortiguados. 𝝉 𝒙 : operador lineal que define los factores de oscilaciones.

(a) (30 PUNTOS) Determine la ECUACIÓN GENERAL de la posición 𝑷 del oscilador, dado que:

𝒅𝑷 𝟏 = 𝒅𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟒



(b) (10 PUNTOS) En el caso de los osciladores amortiguados se sabe de su condición inicial 𝑷 𝟎 = 𝟎. Con base en ello, determine la ECUACIÓN PARTICULAR que define su posición 𝑷. Solución:

𝑑𝑃 =

1 − 4𝑥 4 + 6𝑥 + 4

𝑑𝑥 ⇒ 𝑃 𝑥 =

1

𝑑𝑃 =

− 4𝑥 4 + 6𝑥 + 4

𝑑𝑥

Por la expresión cuadrática que está presente en el radicando, se procede a completar cuadrados para lograr un trinomio cuadrado perfecto:

3 3 3 −4𝑥 + 6𝑥 + 4 = −4 𝑥 − 𝑥 − 1 = −4 𝑥 4 − 𝑥 + 2 2 4 4



−4

4

4

𝑥−

3 4

4

−1−

9 = −4 16

𝑥−

3 4

4

−

25 5 = 4 16 4

3 −1− 4

4

− 𝑥−

4



3 4 4

Entonces:

1 − 4𝑥 4 + 6𝑥 + 4

Elaborado por @illychd



𝑑𝑥

𝑑𝑥 = 4

5 4

4

− 𝑥−

= 3 4

4

1 2

𝑑𝑥 5 4

4

3 − 𝑥− 4

4



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Al aplicar el cambio de variable 𝑢 = 𝑥 − 3 4, se tiene que 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. Luego, se utiliza una integral conocida: 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑢 1 𝑢 = = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 + 𝐶 2 2 5 4 5 4 3 4 2 5 4 − 𝑥− − 𝑢4 4 4 4 1 𝑑𝑥 1 4 3 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥− + 𝐶 2 5 4 5 4 3 4 2 − 𝑥− 4 4 Por lo tanto, la ECUACIÓN GENERAL es: 1 4𝑥 − 3 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 + 𝐶 ; 𝐶 ∈ ℝ 2 5 Si se evalúa la condición inicial se tiene que: 1 4 0 −3 𝑃 0 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 + 𝐶 2 5 1 3 0 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 − + 𝐶 2 5 1 3 𝐶 = − 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 − 2 5 1 3 𝐶 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2 5 Por lo tanto, la ECUACIÓN PARTICULAR es: 1 4𝑥 − 3 1 3 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 + 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 2 5 2 5 Rúbrica: (a) Aplica la técnica adecuada de integración e incluye la constante 30 PUNTOS real en la ecuación general. (b) Calcula el valor de la constante y expresa correctamente la 10 PUNTOS ecuación particular. Elaborado por @illychd



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Tema No. 2 (60 PUNTOS) En pruebas de calidad se quiere medir la capacidad de aceleración de los motores de última gama de los autos que pertenecen a la marca Ford, por lo que se realizan simulaciones para verificarlas con el rendimiento real del kit de aceleración. Las condiciones que modelan las simulaciones computacionales están dadas por el cambio de la velocidad y el tiempo 𝒕 𝒔 , además de una función que caracteriza otros elementos 𝒆𝒕 . La ecuación de manera aproximada y las condiciones iniciales usadas para la prueba se escriben a continuación, donde 𝒚 𝒎 es la posición de referencia de las llantas en función del tiempo. 𝒅𝒚 𝒆𝒕 = 𝒕 𝒅𝒕 𝒆 + 𝟏 𝒆𝒕 + 𝟐 (a) (40 PUNTOS) Determine la expresión que determina la posición 𝒚 𝒕 de las llantas en cualquier instante de tiempo 𝒕 . (b) (20 PUNTOS) Determine el valor de la constante 𝑪, si se conoce que 𝒚 = 𝒍𝒏 𝟖 𝒎 cuando 𝒕 = 𝟎 𝒔 . Solución: 𝑒Q 𝑑𝑦 = Q 𝑑𝑡 𝑒 + 1 𝑒Q + 2 𝑒Q 𝑦 𝑡 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑡 𝑒Q + 1 𝑒Q + 2 Se realiza un cambio de variable: 𝑢 = 𝑒 Q ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑒 Q 𝑑𝑡 𝑒Q 1 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝑒Q + 1 𝑒Q + 2 (𝑢 + 1) 𝑢 + 2 Se obtienen las fracciones parciales correspondientes: 1 𝐴 𝐵 = + (𝑢 + 1) 𝑢 + 2 𝑢+1 𝑢+2 1=𝐴 𝑢+2 +𝐵 𝑢+1 𝑢 = −1 ⇒ 1 = 𝐴 1 + 𝐵 0 ⇒ 𝐴 = 1 𝑢 = −2 ⇒ 1 = 𝐴 0 + 𝐵 −1 ⇒ 𝐵 = −1 Elaborado por @illychd



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1 𝑑𝑢 = (𝑢 + 1) 𝑢 + 2

1 1 − 𝑑𝑢 𝑢+1 𝑢+2

Se aplica la propiedad de linealidad y se integra con las reglas elementales ya conocidas: 1 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = − = 𝑙𝑛 𝑢 + 1 − 𝑙𝑛 𝑢 + 2 + 𝐶 (𝑢 + 1) 𝑢 + 2 𝑢+1 𝑢+2 1 𝑢+1 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 + 𝐶 (𝑢 + 1) 𝑢 + 2 𝑢+2 𝑒Q + 1 ∴ 𝑦 𝑡 = 𝑙𝑛 Q + 𝐶 𝑚 ; 𝐶 ∈ ℝ 𝑒 +2 Con base en la condición inicial: 𝑒Z + 1 𝑦 0 = 𝑙𝑛 Z + 𝐶 = 𝑙𝑛 8 𝑒 +2 2 𝑙𝑛 + 𝐶 = 𝑙𝑛 8 3 2 3 3 𝐶 = 𝑙𝑛 8 − 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛 8 + 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛 8 3 2 2 𝐶 = 𝑙𝑛 12 𝑒Q + 1 𝑦 𝑡 = 𝑙𝑛 Q + 𝑙𝑛 12 𝑒 +2 𝑒Q + 1 ∴ 𝑦 𝑡 = 𝑙𝑛 12 Q 𝑚 𝑒 +2 Rúbrica: (a) Aplica la técnica adecuada de integración e incluye la constante real en la ecuación general. (b) Calcula el valor de la constante y expresa correctamente la ecuación particular.

Elaborado por @illychd



40 PUNTOS 20 PUNTOS

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