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• AnaPaulaLujánGarcía

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PRÁCTICA CALIFICADA 01 1. Una tienda de venta al menudeo en Des Moines, Iowa, recibe embarques de un producto particular de Kansas City y Minneapolis. Sea x = unidades de producto recibidas de Kansas City y = unidades de producto recibidas de Minneapolis a. Formule una expresión para las unidades totales de producto recibidas por la tienda de venta al menudeo en Des Moines. b. Los envíos de Kansas City cuestan $0.20 por unidad y los envíos de Minneapolis cuestan $0.25 por unidad. Elabore una función objetivo que represente el costo total de los envíos a Des Moines. c. Suponiendo que la demanda mensual en la tienda de venta al menudeo es de 5000 unidades, elabore una restricción que requiera que se envíen 5000 unidades a Des Moines. d. No pueden enviarse mensualmente más de 4000 unidades de Kansas City, ni más de 3000 unidades de Minneapolis. Elabore restricciones para modelar esta situación. e. Por supuesto, no pueden enviarse cantidades negativas. Combine la función objetivo y las restricciones elaboradas para plantear un modelo matemático para satisfacer la demanda en la tienda de venta al menudeo de Des Moines con un costo mínimo. 2. Para la mayoría de los productos, precios más altos producen una disminución en la demanda, mientras que precios más bajos producen un aumento en la demanda. Sea: d = demanda anual para un producto en unidades p = precio por unidad Suponga que una firma acepta la siguiente relación precio-demanda como realista: d = 800 – 10p Donde p debe estar entre $20 y $70. a. ¿Cuántas unidades puede vender la firma a un precio de $20 por unidad? ¿A un precio de $70 por unidad? b. Muestre el modelo matemático para el ingreso total (IT), el cual es la demanda anual multiplicada por el precio unitario. c. Con base en otras consideraciones, la administración de la empresa sólo considerará alternativas de precio de $30, $40 y $50. Use su modelo del inciso b para determinar la alternativa de precio que maximizará el ingreso total. d. ¿Cuáles son la demanda anual y el ingreso total esperados de acuerdo con su precio recomendado?

3. Financial Analysts es una empresa de inversión que maneja portafolios de acciones para varios clientes. Un cliente nuevo solicitó que la firma manejara un portafolio de $80 000. Como una estrategia de inversión inicial, al cliente le gustaría restringir el portafolios a una mezcla de las siguientes dos acciones: Acción

Precio / acción

Oil Alaska Southwest Petroleum

$50 $30

Rendimiento anual estimado / acción $6 $4

Inversión máxima posible $50 000 $45 000

Sea x = cantidad de acciones de Oil Alaska y = cantidad de acciones de Southwest Petroleum a. Defina la función objetivo suponiendo que el cliente desea maximizar el rendimiento anual total. b. Muestre una expresión matemática para cada una de las siguientes tres restricciones: 1. Los fondos de inversión totales disponibles son $80 000 2. La inversión máxima en Oil Alaska es $50 000 3. La inversión máxima en Southwest Petroleum es $45 000. Nota: Agregar las restricciones x >= 0 y y >= 0 proporciona un modelo de programación lineal para el problema de inversión. 4. Una encuesta de estudiantes de licenciatura en administración de empresas obtuvo los siguientes datos sobre “la primera razón de los estudiantes para solicitar ingresar a la escuela en la que estaban inscritos”. Razón para la solicitud Calidad de la escuela Estado de la Inscripción

Tiempo completo Tiempo parcial

421 400 821

Costo o conveniencia de la escuela 393 593 986

Otra

Totales

76 46 122

890 1039 1929

a. Elabore una tabla de probabilidad conjunta usando estos datos. b. Use las probabilidades marginales de calidad de la escuela, costo o conveniencia de la escuela y otras para comentar sobre la razón más importante para elegir escuela. c. Si un estudiante asiste tiempo completo, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela será la primera razón de su elección?

d. Si un estudiante asiste tiempo parcial, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela será la primera razón de su elección? e. Sea A el evento de que un estudiante asiste tiempo completo y B el evento de que el estudiante indique la calidad de la escuela como la primera razón para su solicitud. ¿Son independientes los eventos A y B? justifique su respuesta. 5. La siguiente tabla muestra la distribución de tipos sanguíneos en la población general (Hoxworth Blood Center, Cincinnati, Ohio)

Rh+ Rh-

A 34% 6%

B 9% 2%

AB 4% 1%

O 38% 6%

a. b. c. d.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga sangre tipo O? ¿Cuál es la probabilidad de que la sangre de una persona sea Rh-? ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio ambos sean Rh-? ¿Cuál es la probabilidad de que una pareja de casados tengan ambos tipo de sangre AB? e. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea Rh- dado que tiene tipo de sangre O? f. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga tipo de sangre B dado que es Rh+? 6. Se realizó un estudio de satisfacción en el trabajo para cuatro ocupaciones: ebanista, abogado, terapeuta físico y analista de sistemas. La satisfacción en el trabajo se midió en una escala de 0 a 100. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente tabulación cruzada. Ocupación Ebanista Abogado Terapeuta físico Analista de sistemas

Menos de 50 0 6 0 2

50 - 59 2 2 5 1

60 - 69 4 1 2 4

70 - 79 3 1 1 3

80 - 89 1 0 2 0

a. Elabore una tabla de probabilidad conjunta b. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los participantes estudiados tenga una puntuación de satisfacción entre 80-89? c. ¿Cuál es la probabilidad de una puntuación de satisfacción entre 80-89 dado que el participante en el estudio era un terapeuta físico? d. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los participantes estudiados sea abogado? e. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los participantes sea abogado y tenga una puntuación menor de 50? f. ¿Cuál es la probabilidad de una puntuación de satisfacción menor de 50 dado que un participante sea abogado? g. ¿Cuál es la probabilidad de una puntuación de satisfacción de 70 o mayor?

7. M.D. Computing describe el uso del teorema de Bayes y la probabilidad condicional en el diagnóstico médico. Las probabilidades previas de las enfermedades se basan en la evaluación del médico de factores como ubicación geográfica, influencia estacional y ocurrencia de epidemias. Suponga que se cree que un paciente tiene una de dos enfermedades, denotada D1 y D2 con P(D1) = 0.60 y P(D2) = 040 y que la investigación médica muestra una probabilidad asociada con cada síntoma que puede acompañar a las enfermedades. Suponga que, dadas las enfermedades D1 y D2, las probabilidades de que un paciente tendrá los síntomas S1, S2 o S3 son como siguen:

Enfermedad D1 D2

S1 0.15 0.80

Síntomas S2 0.10 0.15

S3 0.15 0.03

P(S3|D1)

Después de encontrar que un paciente presenta un determinado síntoma, el diagnóstico médico puede auxiliarse encontrando las probabilidades revisadas de que dicho paciente tenga cada enfermedad particular. Calcule las probabilidades posteriores de cada enfermedad para los siguientes hallazgos médicos. a. b. c. d.

El paciente tiene el síntoma S1 El paciente tiene el síntoma S2 El paciente tiene el síntoma S3 Para el paciente con el síntoma S1 en el inciso a, suponga que el síntoma S2 también está presente. ¿Cuáles son las probabilidades revisadas de D1 y D2?

8. La demanda para un producto de Carolina Industries varía en gran medida de un mes a otro. Con base en los datos de dos años anteriores, la siguiente distribución de probabilidad muestra la demanda mensual de este producto de la compañía. Demanda de unidades 300 400 500 600

Probabilidad 0.20 0.30 0.35 0.15

a. Si la compañía coloca pedidos mensuales iguales al valor esperado de la demanda mensual, ¿cuál debería ser la cantidad del pedido mensual de la empresa para este producto? b. Suponga que cada unidad demandada genera $70 en ingresos y que cada unidad ordenada cuesta $50. ¿Cuánto ganaría o perdería la compañía en un mes si coloca un

pedido basado en su respuesta al inciso a y la demanda real para el artículo es 300 unidades? c. ¿Cuáles son la varianza y la desviación estándar para el número de unidades demandadas? 9. J.R. Ryland Computer Company está considerando una expansión de la planta que le permitirá comenzar la producción de un nuevo producto de cómputo. El presidente de la empresa debe determinar si hacer la expansión como un proyecto a mediana o a gran escala. Existe incertidumbre en la futura demanda para el nuevo producto, la cual para propósitos de planeación puede ser una demanda baja, una demanda media o una demanda alta. Las estimaciones de probabilidad para las demandas son 0.20, 0.50 y 0.30 respectivamente. Suponiendo que x indica la ganancia anual en miles de dólares, los planificadores de la firma han elaborado pronósticos de ganancia para los proyectos de expansión a mediana y a gran escala.

Baja Mediana Alta

Utilidad por expansión a mediana escala x f(x) 50 0.20 150 0.50 200 0.30

Utilidad por expansión a gran escala y f(y) 0 0.20 100 0.50 300 0.30

a. Calcule el valor esperado para la utilidad asociada con las dos alternativas de expansión. ¿Cuál es la decisión adecuada si el objetivo es maximizar la utilidad esperada? b. Calcule la varianza para la utilidad asociada con las dos alternativas de expansión. ¿Cuál es la decisión adecuada para el objetivo de minimizar el riesgo o incertidumbre? 10. Los radares militares y los sistemas de detección de misiles están diseñados para advertir a un país ataques enemigos. Una cuestión de confiabilidad tiene que ver con la capacidad del sistema de detección para identificar un ataque y emitir la advertencia. Suponga que un sistema de detección particular tiene una probabilidad de 0.90 de detectar un ataque con misiles. Responda las siguientes preguntas usando la distribución de probabilidad binomial. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un sistema de detección detecte un ataque? b. Si se instalan 2 sistemas de detección en la misma área y operan en forma independiente, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los sistemas detecte el ataque? c. Si se instalan 3 sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos uno de los sistemas detecte el ataque? d. ¿Recomendaría que se operen múltiples sistemas de detección? Explique.

11. El año pasado más de 50 millones de personas se hospedaron en hoteles que incluyen desayunos. El sitio web para los hoteles que incluyen desayunos en Canadá y Estados Unidos (www.bestnns.net) promedia aproximadamente siete visitantes por minuto y permite a muchos de estos hoteles atraer huéspedes sin esperar años para ser mencionados en las guías turísticas (Time, septiembre de 2001). a. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? b. ¿Cuál es la probabilidad de dos o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? c. ¿Cuál es la probabilidad de uno o más visitantes en el sitio web en un periodo de 30 segundos? d. ¿Cuál es la probabilidad de cinco o más visitantes en el sitio web en un periodo de 1 minuto? 12. El Webster National Bank está revisando sus políticas de cargos por servicios y pago de intereses en cuentas de cheques. El saldo diario promedio en cuentas de cheques personales es $550, con una desviación estándar de $150. Además, los saldos diarios promedio están distribuidos en forma normal. a. ¿Qué porcentaje de los clientes de cuentas de cheques personales tiene saldos diarios promedio mayores de $800? b. ¿Qué porcentaje tiene saldos diarios promedio menos que $200? c. ¿Qué porcentaje tiene saldos diarios promedio entre $300 y $700? d. El banco está considerando pagar intereses a los clientes que tengan saldos diarios promedio mayores de una cierta cantidad. Si el banco no desea pagar intereses a más de 5% de sus clientes, ¿cuál es el saldo diario promedio mínimo al que debería estar dispuesto a pagar intereses? 13. La siguiente tabla de resultados muestra las ganancias para un problema de análisis de decisiones con dos alternativas y tres estados de la naturaleza.

Alternativa de decisión d1 d2

Estado de la Naturaleza S1 S2 250 100 100 100

S3 25 75

a. Construya un árbol de decisión para este problema b. Si el tomador de decisiones no sabe nada sobre las probabilidades de los tres estados de la naturaleza, ¿cuál es la decisión recomendada usando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax?

14. Suponga que un tomador de decisiones que se enfrenta con cuatro alternativas de decisión y cuatro estados de la naturaleza elabora la siguiente tabla de resultados para las utilidades que puede esperar. Estado de la naturaleza Alternativa de S1 S2 S3 S4 decisión d1 14 9 10 5 d2 11 10 8 7 d3 9 10 10 11 d4 8 10 11 13 a. Si el tomador de decisiones no sabe nada acerca de las probabilidades de los cuatro estados de la naturaleza, ¿cuál es la decisión recomendada usando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax? b. ¿Cuál enfoque prefiere? Explique. ¿Es importante para el tomador de decisiones establecer el enfoque más apropiado antes de analizar el problema? Explique. c. Suponga que la tabla de resultados de costos en lugar de ganancias. ¿Cuál es la decisión recomendada usando los enfoques optimista, conservador o de arrepentimiento minimax? 15. La compañía aérea Myrtle Air Express ha decidido ofrecer servicio directo de Cleveland a Myrtle Beach. La administración debe decidir entre un servicio de precio completo usando la nueva flota de jets de la compañía y un servicio con descuento usando aviones de menor capacidad. Es claro que la mejor opción depende de la reacción del mercado al servicio que ofrece Myrtle Air. La administración ha desarrollado estimaciones de la contribución de la utilidad para cada tipo de servicio con base en dos niveles posibles de demanda para el servicio a Myrtle Beach: fuerte y débil. La siguiente tabla muestra las ganancias trimestrales estimadas (en miles de dólares).

Servicio Precio completo Descuento

Demanda para el servicio Fuerte 960 670

Débil 490 320

a. ¿Cuál es la decisión que se va a tomar, cuál es el evento fortuito y cuál es la consecuencia para este problema? ¿Cuántas alternativas de decisión hay? ¿Cuántos resultados hay para el evento fortuito? b. Si no sabe nada sobre las probabilidades de los resultados fortuitos, ¿cuál es la decisión recomendada usando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax? c. Suponga que la administración de Myrtle Air Express cree que la probabilidad de una demanda fuerte es 0.7 y la probabilidad de una demanda débil es 0.3. use el enfoque del valor esperado para determinar una decisión óptima.

d. Suponga que la probabilidad de una demanda fuerte es 0.8 y la probabilidad de una demanda débil es 0.2. ¿Cuál es la decisión óptima usando el enfoque del valor esperado? e. Use un análisis de sensibilidad gráfico para determinar el rango de probabilidades de demanda para la cual cada una de las alternativas de decisión tiene el mayor valor esperado. 16. Para ahorrar en gastos, Rona y Jerry acordaron compartir el automóvil para ir y regresar del trabajo. Rona prefiere usar la Avenida Queen City que es más larga pero más consistente. Jerry prefiere la autopista que es más rápida, pero acordó con Rona que tomarían la Avenida Queen City si la autopista tenía un embotellamiento de tránsito. La siguiente tabla de resultados proporciona la estimación de tiempo en minutos para el viaje de ida o de regreso.

Alternativa de decisión Avenida Queen City, d1 Autopista, d2

Estado de la naturaleza Autopista abierta S1 30 25

Autopista embotellada S2 30 45

Con base en su experiencia con problemas de tránsito, Rona y Jerry acordaron una probabilidad de 0.15 de que la autopista estuviera embotellada. Además, acordaron que el clima parecía afectar las condiciones del tránsito en la autopista. Sea C = despejado O = nublado R = lluvia Se aplican las siguientes probabilidades condicionales: P(C|S1) = 0.8 P(O|S1) = 0.2 P(R|S1) = 0.0 P(C|S2) = 0.1 P(O|S2) = 0.3 P(R|S2) = 0.6 a. Use el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de cada condición climática y la probabilidad condicional de la autopista abierta S1 o embotellada S2 dada cada condición climática. b. Muestre el árbol de decisión para este problema c. ¿Cuál es la estrategia de decisión óptima y cuál es el tiempo de viaje esperado? 17. Considere las 12 semanas de datos presentados en la siguiente tabla Semana Ventas (miles de galones) 1 17 2 21 3 19

4 5 6 7 8 9 10 11 12

23 18 16 20 18 22 20 15 22

a. Calcule los promedios móviles de cuatro y cinco semanas para la serie de tiempo. b. Calcule el ECM para los pronósticos de promedio móvil de cuatro y cinco semanas. c. ¿Cuál parece ser el mejor número de semanas para el cálculo de promedio móvil? Recuerde que el ECM para el promedio móvil de tres semanas es 10.22 18. La League of American Theatres and Producers, recopila una variedad de estadísticas para las obras de Broadway, tales como ingresos brutos, tiempo en cartelera y número de producciones nuevas. Los siguientes datos muestran la asistencia por temporada (en millones) para los espectáculos de Broadway de 1990 a 2001 (The World Almanac 2002). Temporada 1990 – 1991 1991 – 1992 1992 – 1993 1993 – 1994 1994 – 1995 1995 – 1996 1996 – 1997 1997 – 1998 1998 – 1999 1999 – 2000 2000 – 2001

Asistencia (en millones) 7.3 7.4 7.9 8.1 9.0 9.5 10.6 11.5 11.7 11.4 11.9

a. Trace una gráfica de la serie de tiempo y comente lo apropiado de una tendencia lineal. b. Elabore la ecuación para el componente de tendencia lineal para esta serie de tiempo. c. ¿Cuál es el aumento promedio en la asistencia por temporada? d. Use la ecuación de tendencia para pronosticar la asistencia para la temporada 2001 – 2002. 19. Los datos de ventas trimestrales (cantidad de ejemplares vendidos) para un libro de texto universitario durante los pasados tres años son los siguientes. Trimestre

Año 1

Año 2

Año 3

1 2 3 4

1690 940 2625 2500

1800 900 2900 2360

1850 1100 2930 2615

a. Muestre los valores de promedio móvil de cuatro trimestres para esta serie de tiempo. Haga una gráfica de la serie de tiempo original y trace los promedios móviles en la misma gráfica. b. Calcule índices estacionales para los cuatro trimestres. c. ¿Cuándo experimentó el editor el índice estacional más grande? ¿Parece razonable este resultado? Explique. 20. Los especialistas en control de la contaminación del aire en el sur de California vigilan la cantidad de ozono, dióxido de carbono y dióxido de nitrógeno en el aire cada hora. Los datos de la serie de tiempo por hora exhiben estacionalidad, con los niveles de contaminantes mostrando patrones similares a lo largo de las horas del día. El 15, 16 y 17 de julio los niveles observados de dióxido de nitrógeno en el área del centro de una ciudad para las 12 horas de las 6:00 a.m. a las 6:00 p.m. fueron los siguientes. 15 de julio 16 de julio 17 de julio

25 28 35

28 30 42

35 35 45

50 48 70

60 60 72

60 65 75

40 50 60

35 40 45

30 35 40

25 25 25

25 20 25

20 20 25

a. Identifique los índices estacionales por hora para las lecturas diarias de las 12 horas arriba mencionadas. b. La ecuación de tendencia elaborada con los datos desestacionalizados del inciso a es T1 = 32.983 + 0.3922t. Usando sólo esta ecuación de tendencia, elabore pronósticos para las 12 horas del 18 de julio. c. Use los índices estacionales del inciso (a) para ajustar los pronósticos de tendencia del inciso b.