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List No. 10 Problemas Propuestos en el Curso de Pensamiento L´ogico Matem´atico Medicina 1. Cirug´ıa. Suponga que a un paciente se le practic´o una cirug´ıa muy delicada y el m´edico le suministra vancomicina (antibi´otico) por v´ıa intravenosa, a raz´on de 85 mg por hora. El medicamento se elimina a una raz´on proporcional a la cantidad presente con una constante de proporcionalidad 0.1 si el tiempo se mide en horas. (a) Escriba una ecuaci´on diferencial para la cantidad Q en mg de vancomicina en el cuerpo despu´es de t horas. (b) Resuelva la ecuaci´on diferencial e interprete el resultados. 2. Poblaci´on. Una poblaci´on en un espacio confinado crece en forma proporcional al producto de la poblaci´on actual P , y a la diferencia entre la capacidad de carga, L, y la poblaci´on actual. (La capacidad de carga es la poblaci´on m´axima que el medio ambiente puede sostener). (a) Escribir la ecuaci´on diferencial para la poblaci´on P . (b) resuelva la ecuaci´on diferencial. (c) gr´afica la soluci´on de la ecuaci´on diferencial e interprete la gr´afica, seg´un el contexto del problema. 3. Toxinas. Las toxinas que se hallan en los pesticidas pueden ingresar en el torrente sangu´ıneo de una persona. Un persona que consume 10 microgramos al d´ıa de una toxina, que es ingerida a lo largo del d´ıa. La toxina se elimina del cuerpo a una raz´on continua de 3 % cada d´ıa. (a) Escribir una ecuaci´on diferencial de la cantidad de toxina, A, en microgramos, en el cuerpo de una persona como funci´on del n´umero de d´ıas t. (b) resolver la ecuaci´on diferencial e interprete sus resultado en el contexto del problema. ´ 4. Acido valproico. El a´ cido valproico es un medicamento que se usa para controlar la epilepsia; su vida media en el cuerpo humano es de unas 15 horas. (a) Utilice la vida media para determinar la constante k de la ecuaci´on diferencial dQ = −kQ dt donde Q representa la cantidad de la sustancia en el cuerpo t horas despu´es de que se administr´o el medicamento. (b) a qu´e hora quedar´a el 10 % de la dosis original?. 5. Medicamento. La warfarina es un medicamento que se usa como anticoagulante. Despu´es que se deja de aplicar el medicamento, la cantidad restante en el cuerpo de un paciente disminuye a una raz´on proporcional a la cantidad restante. La vida media de la warfarina en el cuerpo es de 37 horas. (a) Trace la gr´afica aproximada de la cantidad, Q, de warfarina en el cuerpo de un paciente como funci´on del tiempo t, desde que se daja de aplicar el medicamento. Marque las 37 horas en su gr´afica. (b) escriba la ecuaci´on diferencial que satisfaga Q. (c) Cu´antos d´ıas tarda el nivel de medicamento en reducirse al 25 % del nivel original? 6. Medicamento. El bitartrato de hidrocodona se utiliza como calmante para la tos. Despu´es que el medicamento ha sido absorbido por completo, la cantidad de e´ ste en el cuerpo decrece a una raz´on proporcional a la cantidad restante en el mismo. La vida media del bitartrato de hidrocodona en el cuerpo es de 3.8 horas y la dosis es de 10 mg. (a) Escriba la ecuaci´on diferencial para la cantidad L. Lara, D. Arteaga. J. Le´on

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Q, de bitartrato de hidrocodona en el cuerpo en el tiempo t en horas, desde que el medicamento haya sido absorbido por completo. (b) resuelva la ecuaci´on diferencial. (c) utilice la vida media para hallar la constante de proporcionalidad k. (d) cu´anto de la dosis de 10 mg est´a a´un en el cuerpo despu´es de 12 horas?. 7. Temperatura. Se encontr´o el cuerpo de una v´ıctima de crimen a mediod´ıa en una habitaci´on que tiene una temperatura de 20o C. A mediod´ıa la temperatura del cuerpo era de 35o C, dos horas despu´es la temperatura del cuerpo era de 33o C. (a) Encuentre la temperatura H del cuerpo como funci´on del tiempo t, el tiempo se mide en horas desde que el cuerpo fue encontrado. (b) trace la gr´afica de H respecto a t. Qu´e pasa con la temperatura cuando transcurre mucho tiempo?. (c) En el momento del crimen, el cuerpo de la v´ıctima ten´ıa la temperatura normal de 37o C. Cu´ando ocurri´o el asesinato? 8. Paciente. A un paciente se le aplica teofilina por v´ıa intravenosa a raz´on de 43.2 mgl/hora para aliviar un severo ataque de asma. La raz´on a la cual la sustancia sale del cuerpo del paciente es proporcional a la cantidad presente, con una constante de proporcionalidad de 0.082. Suponga que el cuerpo del paciente no contiene inicialmente nada de la medicina. (a) Describa de manera verbal c´omo espera que la cantidad de teofilina en el paciente var´ıa con el tiempo. (b) Escriba la ecuaci´on diferencial para la cantidad de teofilina en el cuerpo. (b) resuelva la ecuaci´on diferencial y trace la gr´afica de la soluci´on. Qu´e sucede con la concentraci´on a largo plazo? 9. Fumador. Un fumador empedernido fuma cinco cigarrillos por hora; de cada uno, el torrente sangu´ıneo de la persona absorbe 0.4 mg de nicotina. La nicotina se elimina del cuerpo a una raz´on proporcional a la cantidad presente, con constante de proporcionalidad de -0.346, si se mide en horas. (a) Escriba una ecuaci´on diferencial para el nivel de nicotina en el cuerpo N en mg como funci´on del tiempo t. (b) resuelva la ecuaci´on diferencial suponiendo que inicialmente no hay nicotina en la sangre. (c) la persona despierta a las 7.00 a.m y comienza a fumar. Cu´anta nicotina hay en la sangre cuando la persona se va a dormir a las 11:00 p.m (16 horas despu´es) ?. 10. Detective. Un detective descubre a las 9:00 a.m. el cuerpo de la v´ıctima de un crimen. La temperatura ◦ ◦ del cuerpo era 90.3 F . Una hora despu´es, la temperatura de e´ ste era 89 F . La temperatura de la ◦ habitaci´on se manten´ıa constante a 68 F . (a) Supongamos que la temperatua T del cuerpo obedece la Ley de Newton de enfriamiento, escriba una ecuaci´on diferencial para la temperatura T . (b) resuelva la ecuaci´on diferencial para estimar el momento en que ocurri´o el asesinato. 11. Poblaci´on. La raz´on a la que el n´umero de bacterias en un cultivo est´a cambiando desde la introducci´on de una bacteria est´a dada por dy = 50 − y dt donde y es el n´umero de bacterias (en miles) presentes en el tiempo t. Hallar el n´umero de bacterias presentes en cada uno de los siguientes tiempos, si hab´ıa 1000 miles de bacterias presentes en el tiempo t = 0. (a) t = 2, (b) t = 5, (c) t = 10. 12. Modelo. Un modelo matem´atico para el crecimiento de una determinada cepa de bacteria es dP = 0.0020P (800 − P ) dt donde P (t) indica el n´umero de bacterias presentes en el instante t. Inicialmente hay 100 bacterias. Hallar la poblaci´on P en el instante t. L. Lara, D. Arteaga. J. Le´on

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13. Ley de enfriamiento de Newton. De acuerdo con el enfriamiento de Newton, si un objeto a temperatura T se introduce en un medio con temperatura constante Tm entonces se cumple que la raz´on de cambio de la temperatura con respecto al tiempo es proporcional a la diferencia de temperatura del objeto y la temperatura del medio. Esto produce la ecuaci´on diferencial dT = k(T − Tm ), T (0) = T0 dt donde T0 es la temperatura inicial del objeto. Problema. Un term´ometro que marca 180o F se coloca en un medio con temperatura constante de 40o F y se sabe que despu´es de 4 minutos, el term´ometro marca 120o F . Hallar la lectura del term´ometro despu´es de 6 minutos. 14. Ley de enfriamiento de Newton. Un recipiente con agua hirviendo a 100o C se retira de una estufa en el instante inicial t = 0 y se deja enfriar en la cocina en una ambiente a 10o C. Despu´es de 5 minutos, la temperatura del agua ha descendido a 800 C y otros 5 minutos despu´es ha bajada a 65o C. Si se puede aplicar la ley de enfriamiento de Newton ¿ en cu´anto tiempo la temperatura habr´a descendido a 40o C? 15. Ley de enfriamiento de Newton. Una l´amina de metal se calienta a 1100o F y se expone al aire libre a una temperatura de 100o F . Si al cabo de una hora la temperatura es de 600o F . cu´anto tiempo adicional debe transcurrir para que se enfr´ıe a 300o F ? 16. Ley de enfriamiento de Newton. El cuerpo en estudio es un term´ometro de mercurio que mide entre −10 o C y 110 o C con una resoluci´on de 1 o C. Para el experimento calentamos agua hasta el punto de ebullici´on y la colocamos en un termo. Sumergimos el term´ometro en el agua y esperamos a que la lectura sea la m´axima posible; en nuestro caso 86 o C. Sacamos el term´ometro del agua, lo secamos y comenzamos la lectura y el registro de su temperatura. Notamos que en los primeros 3 segundos a descendido a 60 o C y ha continuado enfri´andose hasta que alcanz´o la temperatura del medio (aire) 16 o C. ¿Cu´anto tiempo le llevar´ıa al term´ometro descender a una temperatura de 40 o C?. Ilustre como ser´ıa la curva de temperatura. 17. Cooling of a cake. When a cake is removed from an oven, its temperature is measured at 300o F . Three minutes later its temperature is 200o F . How long will it take for the cake to cool off to a room temperature of 70o F ? 18. Thermometer. A thermometer is removed from a room where the temperature is 70o F and is taken outside, where the air temperature is 10o F . After one-half minute the thermometer reads 50o F . What is the reading of the thermometer at one min?. How long will take for the thermometer to reach 15o F ? 19. Thermometer. A thermometer is taken from an inside room to the outside, where the air temperature is 5o F . After one minute the thermometer reads 55o F , and after 5 minutes it reads 30o F . What is the initial temperature of the inside room? 20. A small metal bar. A small metal bar, whose initial temperature was 200 C, is dropped into a large container of boiling water. How long will it take the bar to reach 90o C if it is known that its temperature increases 2o C in one second?. How long will it take the bar to reach 98o C ?. 21. Thermometer. A thermometer reading 70o F is placed in an oven preheated to a constant temperature. Through a glass window in the oven door, an observer records that the thermometer reads 110o F after 1/2 minute and 145o F after 1 minute. How hot is the oven? L. Lara, D. Arteaga. J. Le´on

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22. Body. The rate at which a body cools also depends on its exposed surface area S. If S is a constant, then a modification of (4) is dT = kS(T − Tm ) (1) dt where k < 0 and Tm is a constant. Suppose that two cups A and B are filled with coffee at the same time. Initially, the temperature of the coffee is 150o F . The exposed surface area of the coffee in cup B is twice the surface area of the coffee in cup A. After 30 min the temperature of the coffee in cup A is 1000 F . If Tm = 70o F , then what os the temperature of the coffee in cup B after 30 min?. 23. Series Circuits. A 30-volt electromotive force is applied to an LR − series circuit in which the inductance is 0.1 henrys and the resistance is 50 ohms. Find the current i(t) if i(0) = 0. Determine the current as t → ∞. Use the differential equation L

di + R i = E(t) dt

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Solve the equation (2) under the assumption that E(t) = 200 sin(4t), i(0) = 50. 24. Series Circuits. A 100-volt electromotive force is applied to an RC − series circuit in which the resistance is 200 ohms and the capacitance is 10−4 farad. Find the charge q(t) on the capacitor if q(0) = 0. Find the current i(t). Use the differential equation R

dq 1 + q = E(t) dt C

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where i = dq/dt 25. Series Circuits. A 200-volt electromotive force is applied to an RC − series circuit in which the resistance is 200 ohms and capacitance is 10−4 farad. Find the charge q(t) on the capacitor if q(0) = 0. Find the current i(t) at t = 0.1 second. 26. Series Circuits. The path of a binary electrical signal between gates in an integrated circuit can be modelad as a RC circuit. The voltage source models the transmission gate and the capacitor models the receive gate. Generally, the resistance is 100 Ω and the capacitance is very small, say 0.01 farads and voltage source 40 sin(4t) volts. Find the charge q(t) of the capacitor, if it is initially unloaded. 27. Series Circuits. A RL circuit with a resistance of 5 Ω and an 0.05 H inductor has a current of 1 A in t = 0, when a voltage source is E(t) = 5 cos 120t V . Find the current and voltage in the inductor. Newton’s Law of Cooling - Warming. The equation dT = k(T − Tm ), T (0) = T0 dt

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we saw that the mathematical formulation of Newton’s empirical law of cooling-warming of object is given by the linear first-order differential equation, where k is a constant of proportionality, T (t) is the temperature of the object for t > 0, and Tm is the ambient temperature, that is, the temperature of the medium around the object. Series Circuits. For a series circuit containing only a resistor and an inductor, Kirchhoff’s second law di states that the sum of the voltage drop across the inductor L dt and the voltage drop across the resistor iR is the same as the impressed voltage E(t) on the circuit. L. Lara, D. Arteaga. J. Le´on

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Thus we obtain the linear differential equation for the current i(t), L

di Ri = E(t) dt

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where L and R are constants known as the inductance and the resistance, respectively. The current i(t) is also called the response of the system. The voltage drop across a capacitor with capacitance C is given by q(t)/C, where q is the charge on the capacitor. Kirchhoff’s second law gives 1 Ri + q = E(t) (6) C But current i and charge q are related by i = dq/dt, so (6) becomes the linear differential equation R

L. Lara, D. Arteaga. J. Le´on

dq 1 + q = E(t) dt C

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