C1 = 420 − 1,1 ⋅ C 0 Optimo de Consumo 1 1 Función de Utilidad: U (C 0 , C1 ) =C 0 2 C1 2 . El óptimo de consumo se da
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C1 = 420 − 1,1 ⋅ C 0 Optimo de Consumo 1
1
Función de Utilidad: U (C 0 , C1 ) =C 0 2 C1 2 . El óptimo de consumo se da: TMgS = m RECTA MDO CAP
C1 = 1,1 ⇒ C0
∂U 1 ⋅ C 0 − 1 2 ⋅ C1 1 2 ∂C 0 ⇒ − = −(1 + r ) ⇒ 2 = 1,1 ∂U 1 ⋅ C 12 ⋅ C − 12 1 2 0 ∂ C1
C1 = 1,1 ⋅ C 0 . Reemplazando en la recta del mercado de capitales:
1,1 ⋅ C 0 = 420 − 1,1 ⋅ C 0 2,2 ⋅ C 0 = 420 ⇒ C 0 = 190,91 ⇒ C1 = 210 b) Se llevan a cabo los proyectos que tengan VAN > 0. Proyecto A I 0A = 5 , F1A = I 0A ⋅ (1 + TIR A ) ⇒ F1A = 5 ⋅ 1,15 ⇒ F1A = 5,75 VAN A = − I 0A +
F1A 5,75 = −5 + ⇒ VAN A = 0,23 (1 + r ) 1,1
Proyecto B I 0B = 10 , F1B = I 0B ⋅ (1 + TIRB ) ⇒ F1B = 10 ⋅ 1,20 ⇒ F1B = 12 VAN B = − I 0B +
F1B 12 = −10 + ⇒ VAN B = 0,91 (1 + r ) 1,1
Proyecto C I 0C = 15 , F1C = I 0C ⋅ (1 + TIRC ) ⇒ F1C = 15 ⋅ 1,18 ⇒ F1C = 17,7 F1C 17,7 = −15 + ⇒ VAN C = 1,09 (1 + r ) 1,1 Se llevan a cabo los tres proyectos. Luego, el VAN total es: VAN = VAN A + VAN B + VAN C = 0,23 + 0,91 + 1,09 ⇒ VAN = 2,23 VAN C = − I 0C +
W0 = Y0 +
Y1 200 = 200 + = 381,82 (1 + r ) 1,1
W0* = W0 + VAN = 381,82 + 2,23 = 384,05
Aumenta el VP Riqueza por Invertir en proyectos con VAN>0.
Nueva Recta Mercado Capitales C1 = W0∗ ⋅ (1 + r ) − (1 + r ) ⋅ C 0 ⇒ C1 = 384,05 ⋅ 1,1 − 1,1 ⋅ C 0
C1 = 422,45 − 1,1 ⋅ C 0
⇒
Recta del Mercado de Capitales desplazada.
Reemplazando C1 = 1,1 ⋅ C 0 en la nueva recta desplazada:
Aumentan los consumos óptimos.
2
1,1 ⋅ C0 = 422,45 − 1,1 ⋅ C0 ⇒ 2,2 ⋅ C 0 = 422,45 ⇒ C 0 = 192,02 ⇒ C1 = 211,22 c) Si ahora la tasa del mercado de capitales sube a r = 15%. Se evalúan nuevamente los proyectos. Proyecto A I 0A = 5 , F1A = I 0A ⋅ (1 + TIR A ) ⇒ F1A = 5 ⋅ 1,15 ⇒ F1A = 5,75 F1A 5,75 VAN A = − I + = −5 + ⇒ VAN A = 0 (1 + r ) 1,15 A 0
Proyecto B I 0B = 10 , F1B = I 0B ⋅ (1 + TIRB ) ⇒ F1B = 10 ⋅ 1,20 ⇒ F1B = 12 VAN B = − I 0B +
F1B 12 = −10 + ⇒ VAN B = 0,43 (1 + r ) 1,15
Proyecto C I 0C = 15 , F1C = I 0C ⋅ (1 + TIRC ) ⇒ F1C = 15 ⋅ 1,18 ⇒ F1C = 17,7 F1C 17,7 VAN C = − I + = −15 + ⇒ VAN C = 0,39 (1 + r ) 1,15 C 0
Se llevan a cabo los proyectos B y C, porque el proyecto A no me aumenta el valor presente de la riqueza. Luego: VAN = VAN B + VAN C = 0,43 + 0,39 ⇒ VAN = 0,82 W0 = Y0 +
Y1 200 = 200 + = 373,91 (1 + r ) 1,15
W0* = W0 + VAN = 373,91 + 0,82 = 374,73
Disminuye el VP Riqueza producto del aumento de la tasa de un 10% a un 15%.
Nueva Recta Mercado Capitales C1 = W0∗ ⋅ (1 + r ) − (1 + r ) ⋅ C 0 ⇒ C1 = 374,73 ⋅ 1,15 − 1,15 ⋅ C 0
C1 = 430,94 − 1,15 ⋅ C 0
⇒
Recta del Mercado de Capitales desplazada.
Reemplazando C1 = 1,15 ⋅ C 0 en la nueva recta desplazada:
1,15 ⋅ C 0 = 430,94 − 1,15 ⋅ C 0 ⇒ 2,3 ⋅ C 0 = 430,94 ⇒ C 0 = 187,37 ⇒ C1 = 215,47 Disminuye el consumo presente, pero aumenta el consumo futuro, porque la persona es ahorrante (Ahorro=Y0-C0 =200-187,37=12,63) y ahorra la plata a una tasa mayor lo que le permite consumir más en el futuro.
3
MODELO DE 2 PERIODOS Aplicación a Empresas
1) Suponga que el aporte de los accionistas es de UF 1.000 a través de 500 acciones para un conjunto de proyectos que requieren de una inversión de UF 1.500, cuya rentabilidad media es de 15%. Además suponga que la tasa del mercado es de 8%. Por otro lado, esta empresa no paga dividendos en 0. Determine: a) N° de acciones a emitir y precio de cada acción emitida b) Rentabilidad que obtendrán los nuevos accionistas c) ¿Qué sucedería si la empresa en vez de emitir acciones pide prestado los recursos que le faltan para los proyectos? Solución: Xo = UF 1.000 TIR = 15%
no = 500 acciones r = 8%
I0 = UF 1.500 Div0 = 0
a) La empresa posee un patrimonio inicial de UF1.000, a través de 500 acciones. Hoy no se reparten dividendos. X 1.000 = UF 2 El precio inicial de cada acción hoy antes de invertir es de p 0 = 0 = 500 n0 Se invierte UF1.500 en proyectos que generan una rentabilidad media de 15%.
F1 = I 0 ⋅ (1 + TIR) = 1.500 ⋅ 1,15 = UF1.725 F1 1.725 VAN = − I 0 + = −1.500 + = −.1500 + 1.597,22 = UF 97,22 (1 + r ) 1,08 El VAN de la inversión en proyectos lo ganan los accionistas, y eso se ve reflejado en un aumento en el precio de las acciones que ellos poseen. El nuevo precio será de p 0∗ . Existe además un Déficit = (X0 – I0) = 1.000-1.500 = UF500. Este déficit se financia con emisión de nuevas acciones. Luego el monto a emitir es E 0 = UF 500 = m0 ⋅ p 0∗ . Sea m0: Número de acciones nuevas a emitir. El patrimonio final después de invertir en proyectos, financiando el déficit con emisión de nuevas acciones es:
X 0∗ = X 0 + VAN + E 0 = (n0 + m0 ) ⋅ p 0∗
X 0∗ = 1.000 + 97,22 + 500 = 1.597,22 = (500 + m0 ) ⋅ p 0∗ 1.597,22 = 500 ⋅ p 0∗ + m 0 ⋅ p 0∗ ⇒ 1.597,22 = 500 ⋅ p 0∗ + E 0 ⇒ 1.597,22 = 500 ⋅ p 0∗ + 500 (1.597,22 − 500) 1.097,22 ∗ ⇒ p 0∗ = = ⇒ p 0 = UF 2,194 500 500
E 0 = UF 500 = m0 ⋅ p 0∗ ⇒ m 0 =
500 = 227,894 . Emitir 227,894 acciones nuevas. 2,194
4
Balance Económico Empresa en t = 0 (emitiendo acciones) ACTIVOS (UF)
PASIVOS (UF)
Activos de Inversión (I0)
1.500
Deuda
0,0
VAN
97,22
Patrimonio (X0*): Aporte Inicial VAN Emisión Nuevas acciones
1.000 97,22 500
TOTAL
1.597,22
TOTAL
1.597,22
Valor Empresa: Ve =
F1 1.725 = = UF 1.597,22 (1 + r ) 1,08
b) Sabemos a priori, bajo los supuestos del modelo de 2 períodos, que la rentabilidad del nuevo accionista será la rentabilidad del mercado de capitales, es decir, 8%. X 0∗ ⋅ (1 + r ) 1.597,22 ⋅ 1,08 Precio de las acciones en el futuro: p = ⇒ p1∗ = UF 2,37 = (n 0 + m0 ) (500 + 227,894) ∗ 1
Luego: Re ntabilidad
(p accionista =
∗ 1
)
− p 0∗ (2,37 − 2,194) 0,176 = = = 0,08 = 8% ∗ 2,194 2,194 p0
c) Si la empresa financia el déficit emitiendo deuda, entonces el balance económico de la empresa será: Balance Económico en t = 0 (Emitiendo Deuda) ACTIVOS (UF)
PASIVOS (UF)
Activos de Inversión (I0)
1.500
Deuda (B)
500
VAN
97,22
Patrimonio (X0*): Aporte Inicial VAN
1.000 97,22
TOTAL
1.597,22
TOTAL X 0∗ = p 0∗ =
1.597,22
(F1 − B0 ⋅ (1 + r ) ) (1 + r )
=
(1.725 − 500 ⋅ 1,08) (1.725 − 540) 1.185 = = = UF1.097,22 1,08 1,08 1,08
∗ 0
X 1.097,22 = = UF 2,194 n0 500
5
p1∗ =
X 1∗ ( F1 − B0 ⋅ (1 + r )) (1725 − 500 ⋅ 1,08) = = = UF 2,37 n0 n0 500
Luego se puede concluir que la rentabilidad que obtiene el accionista, cuando la empresa emite deuda es 8%. Además la riqueza final o valor final de la empresa es la misma (UF 1.597), emitiendo acciones nuevas o emitiendo deuda.
2) El valor de una empresa 100% patrimonio (sin deuda) es de 6000 UF, constituida por 6000 acciones. Esta empresa cuenta con el siguiente set de oportunidades de inversión: F1= 198 I00.5. La tasa de interés de mercado es de 10% real anual. a) Determinar el nivel optimo de inversión, el VAN del proyecto marginal y el valor de la empresa. b) Si hay déficit financiero, este se financiara con emisión de acciones. Se pide el precio de la acción y la riqueza de los accionistas. c) Suponga ahora que en t=0 se realiza un pago de dividendos de 1000 UF a los accionistas. Calcule el precio de la acción y la riqueza de los accionistas. d) Demuestre que la rentabilidad del nuevo accionista es la rentabilidad del mercado. Solución:
X 0 = UF 6.000 Valor de Mercado del Patrimonio Inicial n° = 6.000 Número de acciones antiguas 0.5 F1 = 198 ⋅ I 0 Set de oportunidades de Inversión r = 10% real anual a) Optimo de Inversión TMgT = m RECTA MDO CAP ⇒ −
dF1 198 99 = −(1 + r ) ⇒ = 1,1 ⇒ = I0 ⇒ dI 0 1,1 2 ⋅ I0
I 0 = 90 2 ⇒ I 0 = UF 8.100
⇒
B = Deuda = I0 – X0 = 8.100 – 6.000 = 2.100
Por lo tanto, F1 = 198 ⋅ 8.100 = 198 ⋅ 90 ⇒ F1 = UF 17.820 F1 − I 0 17.820 − 8.100 9.720 = = = 1,2 ⇒ TIR = 120% Retorno promedio de la inversión. I0 8.100 8.100 F1 17.820 VAN = − I 0 + = −8.100 + = −8.100 + 16.200 = 8.100 ⇒ VAN = UF 8.100 (1 + r ) 1,1 TIR =
El VAN lo ganan los accionistas Se va a patrimonio. ∗ X 0 = X 0 + VAN = 6.000 + 8.100 = UF14.100 Nuevo valor de mercado del patrimonio Valor de Mercado de la empresa, emitiendo deuda para financiar el déficit de 2.100 para completar el financiamiento de los proyectos.
6
Valor Empresa: Ve =
F1 17.810 = = UF 16.200 (1 + r ) 1,1
Balance Económico Empresa en t = 0 (emitiendo deuda) ACTIVOS (UF)
PASIVOS (UF)
Activo como Inversión (I0)
8.100
Deuda
2.100
VAN
8.100
Patrimonio (X0*): Aporte Inicial 6.000 VAN 8.100
14.100
TOTAL
16.200
TOTAL
16.200
b) La empresa posee un patrimonio inicial de UF6.000 y necesita invertir en proyectos UF8.100.
Déficit = ( X 0 − I 0 ) = 6.000 − 8.100 = −2.100 Déficit se financia con emisión de nuevas acciones. La empresa financia la inversión en proyectos con capital propio de UF6.000 y un monto de UF2.100 emitiendo nuevas acciones. E 0 = 2.100 = m0 ⋅ p 0∗ Monto a financiar con emisión de nuevas acciones a precio p 0∗
m0 : Número de acciones nuevas a emitir. Valor de la Empresa o Patrimonio Final ( X 0∗ : Riqueza de los Accionistas) una vez que se financian los proyectos: X 0∗ = X 0 + VAN + E 0 = (n0 + m0 ) ⋅ p 0∗
X 0∗ = 6.000 + 8.100 + 2.100 = 16.200 = (6.000 + m0 ) ⋅ p 0∗ 16.200 = 6.000 ⋅ p 0∗ + m 0 ⋅ p 0∗ ⇒ 16.200 = 6.000 ⋅ p 0∗ + E 0 ⇒ 16.200 = 6.000 ⋅ p 0∗ + 2.100
⇒ p 0∗ =
(16.200 − 2.100) 14.100 ∗ ⇒ p 0 = UF 2,35 = 6.000 6.000
E 0 = UF 2.100 = m0 ⋅ p 0∗ ⇒ m 0 =
2.100 = 893,617 ⇒ Emitir 893,617 acciones nuevas. 2,35
7
Balance Económico en t = 0 (emitiendo acciones) ACTIVOS (UF)
PASIVOS (UF)
Activos de Inversión (I0)
8.100
Deuda
0,0
VAN
8.100
Patrimonio (X0*): Aporte Inicial VAN Emisión Nuevas acciones
6.000 8.100 2.100
TOTAL
16.200
TOTAL
16.200
c) La empresa posee un patrimonio inicial de UF6.000. Reparte hoy un monto de UF1.000 en dividendos y necesita invertir en proyectos UF8.100.
Déficit = ( X 0 − ( Div0 + I 0 ) = 6.000 − (1.000 + 8.100) = −3.100 Déficit se financia con emisión de nuevas acciones. La empresa financia la inversión en proyectos con capital propio de UF6.000 y un monto de UF3.100 emitiendo nuevas acciones. E 0 = 3.100 = m0 ⋅ p 0∗ Monto a financiar con emisión de nuevas acciones a precio p 0∗ m0 : Número de acciones nuevas a emitir. Valor de la Empresa o Patrimonio Final ( X 0∗ : Riqueza de los Accionistas) una vez que se reparten los dividendos y se financian los proyectos: X 0∗ = ( X 0 − Div0 ) + VAN + E 0 = (n0 + m0 ) ⋅ p 0∗
X 0∗ = (6.000 − 1.000) + 8.100 + 3.100 = 16.200 = (6.000 + m0 ) ⋅ p 0∗ 16.200 = 6.000 ⋅ P0∗ + m 0 ⋅ p 0∗ ⇒ 16.200 = 6.000 ⋅ p 0∗ + E 0 ⇒ 16.200 = 6.000 ⋅ p 0∗ + 3.100 ⇒ p 0∗ =
(16.200 − 3.100) 13.100 ∗ = ⇒ p 0 = UF 2,183 6.000 6.000
E 0 = UF 2.100 = m0 ⋅ p 0∗ ⇒ m 0 =
3.100 = 1.420,06 ⇒ Emitir 1.420,06 acciones nuevas. 2,184
Balance Económico en t = 0 (se reparten dividendos y se emiten acciones) ACTIVOS (UF)
PASIVOS (UF)
Activos de Inversión (I0)
8.100
Deuda
0,0
VAN
8.100
Patrimonio (X0*): *Antiguos accionistas **Nuevos Accionistas
13.100 3.100
TOTAL
16.200
TOTAL
16.200
8
*Antiguos Accionistas = (X0-Div0) + VAN = (6.000 - 1.000) + 8.100 = 13.100 **Nuevos Accionistas = E0 = m0*p0 = 3.100 d) 1er Caso: Cuando la empresa no reparte dividendos en t=0. X 1∗ : Patrimonio de la Empresa en t = 1
X 1∗ = X 0∗ ⋅ (1 + r ) = 16.200 ⋅ 1,1 = UF17.820 X 1∗ 17.820 17.820 ∗ p = = = ⇒ p1 = UF 2,585 (n 0 + m0 ) (6.000 + 893,617) 6.893,617 ∗ 1
Re ntabilidad Nuevos Accionistas =
p1∗ − p 0∗ p
∗ 0
=
2,585 − 2,35 = 0,1 ⇒ 2,35
Re ntabilidad Nuevos Accionistas = 10% = r
2do Caso: La Empresa reparte dividendos en t = 0. X 1∗ : Patrimonio de la Empresa en t = 1
X 1∗ = X 0∗ ⋅ (1 + r ) = 16.200 ⋅ 1,1 = UF17.820 p1∗ =
X 1∗ 17.820 17.820 ∗ = = ⇒ p1 = UF 2,402 (n 0 + m0 ) (6.000 + 1.420,06) 7.420,06
Re ntabilidad Nuevos Accionistas =
p1∗ − p 0∗ 2,402 − 2,183 = = 0,1 ⇒ 2,183 p 0∗
Re ntabilidad Nuevos Accionistas = 10% = r
Irrelevancia de la política de dividendos 3) Suponga que una empresa enfrenta loas siguientes posibilidades de inversión (proyectos independientes): PROYECTO A B C D E F G H
INVERSION (t=0) 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
FLUJO (t=1) 1.150 1.300 1.100 1.400 1.000 1.050 900 600
VAN 45,45 181,82 0 273,73 -90,91 -45,45 -181,82 -454,55
9
Los accionistas que están formando esta empresa pueden hacer un aporte de $3.000 teniendo 10 acciones entre todos. Suponga que la tasa del mercado es de 10%. Se pide: Solución:
a) Los proyectos de inversión que deben ser realizados y el financiamiento de los mismos (si son requeridos recursos adicionales, se obtendrá a través de deuda). Prepare un balance económico para t=0. Suponga que la empresa no paga dividendos en t=0. Además determine la riqueza de los accionistas originales y el precio de cada acción. • Serán realizados todos aquellos proyectos que posean VAN mayor o igual que cero, por lo tanto se ejecutan los proyectos A, B, C y D. • Los proyectos requieren recursos por 4.000 para financiar las inversiones respectivas. • Financiamiento: Deuda = 1.000 Patrimonio = 3.000 • Riqueza de los accionistas: F1 = 4.950 Dividendos D1 = 4.950 – 1.000*(1,1) = 3.850 W0 = Div0 + Div1/(1+r) = 0 + 3.850/1,1 = 3.500 = riqueza de los accionistas. • Precio de la Acción: X0 = 3.000 X0* = X0 +VAN = 3.000 + 500 = 3.500 p0 = Patrimonio/n0 = 3.500/10 = 350 Balance Económico en t = 0 ACTIVOS
Activos de Inversión VAN
TOTAL
PASIVOS
4.000 500
4.500
Deuda
1.000
Patrimonio: Aporte Inicial VAN
3.000 500
TOTAL
4.500
b) Suponga que la empresa desea pagar dividendos por un total de $50 por acción en t=0 a los accionistas originales. En base a esto conteste las preguntas formuladas en a). • Asuma dividendos en t = 0, por $50 por acción. • Los flujos de caja no se alteran, por tanto se ejecutan los proyectos con VAN mayor o igual a cero, es decir, A, B, C y D. Div0 = 50*n0 = 50*10 = 500 Aporte accionistas = 3.000 – 500 = 2.500 Deuda = 1.500 VAN = 500 10
• Riqueza de los accionistas: F1 = 4.950 Dividendos D1 = 4.950 – 1.500*(1,1) = 3.300 W0 = Div0 + Div1/(1+r) = 500 + 3.300/1,1 = 3.500 = riqueza de los accionistas. • Precio de la Acción: X0 = 2.500 X0* = X0 +VAN = 2.500 + 500 = 3.000 p0 = Patrimonio/n0 = 3.000/10 = 300 Balance Económico en t = 0 ACTIVOS
Activos de Inversión VAN
TOTAL
PASIVOS
4.000 500
4.500
Deuda
1.000
Patrimonio: Aporte Inicial VAN
3.000 500
TOTAL
4.500
Constatación: Precio acción sin Dividendos = Dividendos por Acción + Precio acción sin dividendos 350 = 50 + 300
4) La Empresa “ECOBAL” esta analizando sus oportunidades de inversión, la política de financiamiento y de dividendos. Esta empresa se forma con un capital inicial de 1.250 UF sin deuda y con un total de 1.250 acciones comunes. Además el conjunto de oportunidades de inversión está determinado a través de la siguiente función (expresada en miles de UF): 1
Sea el siguiente conjunto de oportunidades de inversión: F1 = (20 − 16 ⋅ P0 ) 2 . Donde “P0” es la riqueza disponible después de invertir en proyectos. Considerando una tasa de interés de equilibrio del mercado de capitales de 7%. a) Determine el monto óptimo a invertir, el VAN de los proyectos y el valor de mercado de la empresa. Cifras expresadas en miles de UF Óptimo de inversión con mercado de capitales: TMT = -(1+r)
TMT = - dF1 = dF1 = (1/2*(-16))/(20-16P0)1/2 = -1,07 dI0 dP0 F1 = (20-16P0)1/2 = (20-16*-2,24375)1/2 Inversión Optima: I* = X0 – P0
Despejando
P0 = -2,24375
F1 = 7,47663 I* = 1,25 – (-2,24375) I* = 3,49375 11
C1
P
7,47663
-2,24375
C0
1,25
4,74375 VAN = 3,49375
Dotación Inicial: X0 = 1,25
Deuda = B = -P0 = 2,24375 X0* = X0 +VAN Riqueza Accionistas = X0* = F1 + P0 = 7,47663 - 2,24375 = 6,9875 - 2,24375 = 4,74375 (1+r) 1,07 VAN Proyectos = -I* + F1 = -3,49375 + 6,9875 = 3,49375 = VAN (1+r) o bien, VAN = X0* - X0 = 4,74375 – 1,25 = 3,49375 Valor de mercado de la Empresa = X0* + Deuda = 4,74375 + 2,24375 = 6,9875 Balance Económico en t = 0 ACTIVOS
PASIVOS
Activos de Inversión
3,49375
Deuda
2,24375
VAN
3,49375
Patrimonio: Aporte Inicial VAN
1,25 3,49375
TOTAL 6,98750 TOTAL 6,98750 b) Si existiera necesidad de fondos para alcanzar el nivel óptimo de inversión, la empresa emitirá nuevas acciones. Si se da esta situación determine el monto a emitir, la cantidad de acciones y el precio de emisión. Asumiendo que la empresa, es todo patrimonio, sin existencia de deuda:
12
Definiendo: n0 = Número de acciones iniciales. m0 = Número de acciones nuevas a emitir. p0 = Precio de emisión de cada acción. Requerimientos adicionales de recursos = m0*p0 = 2,24375 Patrimonio Final = X0* = 6,98750 = (n0 + m0)*p0; definiendo: 6,98750 = 1.250* p0 +2,24375 p0 = 0,003795 miles de UF = 3,795 UF Numero de acciones nuevas a emitir: m0*p0 = 2,24375, esto implica m0 = 2,24375/0,003795 = 591,24 acciones. Es decir, se deben emitir 591,24 acciones nuevas. Total acciones empresa = (n0 + m0) = 1.250 + 591,24 = 1.841,24 acciones. c) Considerando los resultados obtenidos, construya un balance económico para esta empresa tanto en t=0 como en t=1. Balance Económico en t = 0 ACTIVOS
PASIVOS
Activos de Inversión
3,49375
Deuda
0,0
VAN
3,49375
Patrimonio: Aporte Inicial VAN Emisión Nuevas acciones
1,25 3,49375 2,24375
TOTAL
6,98750
TOTAL
6,98750
Balance Económico en t = 1 ACTIVOS
Activos de Inversión
TOTAL
PASIVOS
7,47663
7,47663
Deuda
0,0
Patrimonio
7,47663
TOTAL
7,47663
13
Activos de Inversión = (I+ VAN)*(1+r) = (3,49375 + 3,49375)*1,07 = 7,47663 Deuda = 0 Patrimonio: X1 = F1 = 7,47664 = X0*(1+r) = 6,9875*1,07 d) Suponga ahora que la empresa decide en b) pagar adicionalmente dividendos por un total de 1.000 UF. Recomendaría usted la emisión de acciones para su financiamiento. Explique como altera la riqueza de los accionistas antiguos y nuevos. Suponga que sólo los antiguos accionistas tienen derecho a los dividendos. En t = 0 se reparten dividendos por 1.000 UF a los antiguos accionistas, esto implica un dividendo por acción de 0,8 UF, además simultáneamente se realiza una emisión de acciones. Balance Económico en t = 0 ACTIVOS
PASIVOS
Activos de Inversión
3,49375
Deuda
0,0
VAN
3,49375
Patrimonio: *Antiguos accionistas **Nuevos Accionistas
3,74375 3,24375
TOTAL
6,98750
TOTAL
6,98750
*Antiguos accionistas: Aporte Inic. – Dividendos +VAN = 1,25 – 1,0 + 3,49375 = 3,74375 **Nuevos accionistas: aporte capital + financ. pago de dividendos = 2,24375 + 1 = 3,24375 Requerimientos adicionales de recursos = m0*p0 = 3,24375 Patrimonio Final = X0* = 6,98750 = (n0 + m0)*p0; definiendo: 6,98750 = 1.250* p0 +3,24375 p0 = 0,002995 miles de UF = 2,995 UF Numero de acciones nuevas a emitir: m0*p0 = 3,24375, esto implica m0 = 3,24375/0,002995 = 1.083,06 acciones. Es decir, se deben emitir 1.083,055 acciones nuevas. Total acciones empresa = (n0 + m0) = 1.250 + 1.083,055 = 2.333,055 acciones. Constatación: Precio acción sin dividendos = Dividendo por acción + Precio acción sin dividendo 3.795 UF = 0,8 UF + 2,995 UF
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Riqueza Antiguos accionistas (con reparto de dividendos): X0* antiguos = n0*p0 +Dividendo por acción* n0 X0* antiguos = 1.250*0,002995 + 0,0008*1.250 = 4,74375 Riqueza Antiguos accionistas (sin reparto de dividendos): X0* antiguos = n0*p0 X0* antiguos = 1.250*0,003795 = 4,74375 La riqueza de los antiguos accionistas no se ve alterada por el pago de dividendos, implica irrelevancia de la política de dividendos, en un modelo de dos periodos, mercado de capitales perfecto e inexistencia de impuestos. En relación a la riqueza de los nuevos accionistas, tenemos: Riqueza Nuevos accionistas (con reparto de dividendos): X0* nuevos = m0*p0 X0* nuevos = 1.083,055*0,002995 = 3,24375 Riqueza Nuevos accionistas (sin reparto de dividendos): X0* antiguos = m0*p0 X0* antiguos = 591,24*0,003795 = 2,24375 La diferencia es 1.000 UF; que corresponde a la fracción del aporte que hicieron los nuevos accionistas para financiar el pago de dividendos a los antiguos.
5) La empresa "BARMAN FORBEBER" constituida inicialmente por un millón de acciones, sin deuda, tiene a su disposición el siguiente conjunto de oportunidades de inversión, expresado a través de la siguiente función (en millones de U.F.): F1 = 70 − 28 P0
Donde “P0” es la riqueza disponible después de invertir en proyectos. Considerando una tasa de interés de equilibrio del mercado de capitales de 6%. Determine: a) La inversión óptima, el VAN de los proyectos y el valor presente de la empresa. b) Si la empresa necesita recursos para llevar a cabo la inversión óptima, recurre a financiamiento externo vía deuda. En este contexto determine: Balance económico de la empresa a t = 0 y riqueza de los accionistas. c) Suponga ahora, que la empresa reparte el 100% de los recursos originales de los accionistas como dividendos (en t = 0), financiando todo los recursos necesarios, tanto para los dividendos como para la inversión óptima, con 50% de deuda y 50% con emisión de acciones. Determine lo solicitado en la parte b). Solución: (*) F1 = (70 − 28 ⋅ P0 )1 2 ;
r=6% 15
a) Óptimo de inversión con mercado de capitales: TMT = -(1+r) dF1 dF1 1 = = ⋅ (70 − 28P0 ) −1 2 ⋅ (−28) = −14 ⋅ (70 − 28P0 ) −1 2 ⇒ dI 0 dP0 2 − 14 = −1,06 ⇒ F1 = 13,2075 − 14 ⋅ (70 − 28P0 ) −1 2 = −1,06 ⇒ F1
TMT = −
En (*) F12 = 70 − 28P0 ⇒
(70 − F12 ) = P0 ⇒ P0 = −3,73 28
Dotación Inicial: (70 − 28P0 )1 2 = 0 ⇒ X 0 = 2,5 Inversión Optima: I * = X 0 − P0 ⇒ I * = 2,5 − (−3,73) ⇒ I * = 6,23
VAN Pr oyectos = − I 0 +
F1 13,2075 = −6,23 + = 6,23 (1 + r ) 1,06
⇒
VAN = 6,23
El VAN de los proyectos lo ganan los accionistas originales, porque ellos tomaron la decisión de invertir en los proyectos.
F1 13,2075 Valor Empresa = 12,46 = = 12,46 ⇒ (1 + r ) 1,06 b) Si la empresa necesita recursos para llevar a cabo la inversión óptima, recurre a financiamiento externo vía deuda. En este contexto determine: Balance económico de la empresa a t = 0 y riqueza de los accionistas. Valor Empresa =
Solución: Sea X0*: Patrimonio Total de la Empresa X accionistas originales: Patrimonio de los accionistas originales W accionistas originales: Riqueza de los accionistas originales
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X0*: Patrimonio Total de la Empresa
X 0* = X accionistas originales X 0* =
( X 0 + VAN ) = 2,5 + 6,23 = 8,73
X 0* = X antiguos
accionista s
= W antiguos
accionista s
= 8,73
El valor económico del patrimonio de la empresa en el presente pertenece a sus dueños. Dado que el patrimonio no se ha repartido vía dividendos, el patrimonio de los accionistas originales equivale al valor de su riqueza en t=0.
P0 = X 0 − I 0* = 2,5 − 6,23 = −3,73
⇒
P0 = −3,73
Dado que la inversión óptima en proyectos es mayor al patrimonio actual de la empresa, el déficit financiero de 3,73 se financia con deuda.
Deuda = 3,73
Balance Económico de la Empresa en t = 0 Déficit financiero se financia con emisión de deuda.
c) Suponga ahora, que la empresa reparte el 100% de los recursos originales de los accionistas como dividendos (en t = 0), financiando todo los recursos necesarios, tanto para los dividendos como para la inversión óptima, con 50% de deuda y 50% con emisión de acciones. Determine lo solicitado en la parte b). Sea
X0*: Patrimonio Total X accionistas originales: Patrimonio de los accionistas originales X nuevos accionistas: Patrimonio de los nuevos accionistas W accionistas originales: Riqueza de los accionistas originales W nuevos accionistas: Riqueza de los nuevos accionistas Si se reparten dividendos por el 100% de los recursos originales, quiere decir que se repartieron todo el patrimonio inicial de 2,5 millones de UF en dividendos para los accionistas originales. Div0 = 2,5
P0 = X 0 − Div0 − I 0 = 2,5 − 2,5 − 6,23 = −6,23
Déficit financiero de 6,23 se financia en
un 50% con deuda y 50% con emisión de acciones nuevas.
Deuda = 3,115
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E 0 = m ⋅ p 0* = 3,115 X 0* = X antiguos
accionista s
E0: Monto a emitir con “m” acciones nuevas a precio p0* + X nuevos accionista s
X 0* = ( X 0 − Div 0 + VAN ) +
E0
X 0* = (2,5 − 2,5 + 6,23) +
3,115
X0*: Patrimonio Total
X 0* = 9,345
X accionistas originales = 6,23 Patrimonio (en t = 0) de los accionistas originales. Wantiguos accionistas = X antiguos accionistas + Div0 = 6,23 + 2,5 = 8,73 Riqueza (en t = 0) de los accionistas originales. Equivale al patrimonio actual más el patrimonio que sale de la empresa en forma de dividendos repartidos.
X nuevos accionistas = Wnuevos accionistas = 3,73 El Patrimonio actual de los nuevos accionistas que ingresan a la propiedad equivale a su riqueza actual, ya que con su capital ayudaron a financiar el 50% del déficit financiero para llevar a cabo los proyectos. Los nuevos accionistas tienen derecho a recibir los futuros dividendos que se decidan repartir.
X 0∗ = (n0 + m) ⋅ p0* = n0 ⋅ p0* + m ⋅ p0* = n0 ⋅ p0* + E0 9,345 = 1.000.000 ⋅ p0*
p0*
+ 3,115
n0: N° de acciones originales m: N° de nuevas acciones a emitir
= 0,00000623 millones UF = 6,23 UF
p0*: Precio de cada acción emitida
Como E0 = 3,115 = m ⋅ p 0* = m ⋅ 0,00000623 ⇒ m = 500.000 acciones nuevas.
Déficit financiero se financia con 50% deuda y 50% emisión de acciones nuevas.
Conclusiones: Por lo tanto, el valor de la empresa no cambia independiente de como se financie la inversión en proyectos. La riqueza de los accionistas originales no cambia independiente de cómo se financien los proyectos y si se reparten o no dividendos (irrelevancia de la política de dividendos).
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