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Un modelo de acero de refuerzo simplificado adecuado para cargas cíclicas incluyendo efectos de fatiga de ciclo ultra bajo Luís Mendes AM a, , Luís MSS Castro a, b Instituto de Engenharia de Estruturas, Território e Construção, Av. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, Av. Rovisco Pais 1, 1049-001 Lisboa, Portugal

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Resumen Este artículo presenta un nuevo modelo constitutivo para la simulación de barras de acero de refuerzo utilizadas en estructuras comunes de hormigón armado y está diseñado para ser utilizado para casos de carga general. El modelo incluye la conocida rama ablandada Guiffrè-Menegotto-Pinto, aunque nueva Se proponen expresiones para las evoluciones del parámetro relacionado con la curvatura y del rendimiento superficie. La relación constitutiva se potencia con una propuesta innovadora y simplificada de considerando los efectos de fatiga de ciclo ultra bajo. Este fenómeno es particularmente importante para las estructuras que sufren un pequeño número de ciclos de desplazamiento muy grandes, por ejemplo, cuando se someten a eventos sísmicos intensos. Se sabe que en esas situaciones los refuerzos de acero experimentan un continuo y una disminución significativa de la fuerza que finalmente conduce a una falla prematura inducida por la fatiga. La descripción matemática del modelo y algunos problemas de implementación relevantes se escrito. Su precisión se evalúa mediante una serie de pruebas de validación utilizando datos disponibles en la bibliografía. Palabras clave: Acero de refuerzo de hormigón, Modelo constitutivo, Respuesta cíclica, Fatiga de ciclo ultrabajo, método de elementos finitos 1. Introducción Generalmente se acepta que los refuerzos de acero tienen un efecto predominante sobre la histerética. respuesta de miembros de hormigón armado (RC) correctamente diseñados. Naturalmente, esto implica que Dirección de correo electrónico: [email protected]  (Luís AM Mendes) Preimpresión enviada a estructuras de ingeniería 5 de marzo de 2014

Página 2 La precisión de la simulación de refuerzo de acero dentro de modelos numéricos es determinante para la calidad de los resultados. La respuesta monótona del acero de refuerzo es razonablemente fácil de simular con precisión cuando la respuesta elástica inicial, la meseta de fluencia, cuando está presente, y el endurecimiento por deformación rama se simulan correctamente (consulte la Figura 1una). Por otro lado, la respuesta bajo cíclico y La carga alterna es más desafiante debido a la complejidad asociada con varios efectos neosos. Los ramales de descarga y recarga se caracterizan por una rigidez similar a el que ocurre en la primera carga. Además, la respuesta está influenciada por dos fenómenos adicionales nomena: Después de experimentar la deformación plástica, la respuesta tensión-deformación después de la inversión se presenta el llamado efecto Bauschinger, que está asociado con la anticipación de la salida de la rigidez elástica después de la inversión (ver Figura 1segundo). En segundo lugar, la respuesta experimenta una combinación

nación de endurecimiento cinemático (traslación de rango elástico) y endurecimiento isotrópico (rango elástico expansión / contracción). Otro fenómeno material importante es la denominada fatiga de ciclo ultrabajo. Este efecto ocurre cuando los refuerzos de acero experimentan grandes deformaciones cíclicas inelásticas, que pueden ser causada por fuerzas inducidas por terremotos y da como resultado una degradación significativa de la resistencia del acero que puede conducir al colapso por fractura a niveles de tensión mucho más bajos que para el material virgen. Aunque este efecto a menudo se ignora en situaciones de modelado y diseño, un número significativo de estudios se realizaron recientemente, por ejemplo, estudios con diferentes clases de acero [28 , 13] y en la interacción con otros efectos como la corrosión [2]. Además, varios modelos de resistencia a la fatiga propuesto a lo largo de los años, por ejemplo, el modelo Coffin-Mason [6 , 23], el modelo de KohStephens [17] y el modelo Mander-Panthaki [ 22]. Después de la calibración, estos modelos pueden predecir con suficiente precisión el efecto de ciclo bajo. fatiga en los refuerzos. No obstante, estos modelos de vida a fatiga se suelen definir en términos de deformación total o plástica con el número de ciclos hasta la falla, por lo que la implementación directa sobre modelos constitutivos para ser incorporados en modelos de elementos finitos no es sencillo. Este artículo intenta mitigar este problema proponiendo un modelo simplificado que puede simular los principales aspectos de los fenómenos descritos anteriormente, con especial atención a los efecto de fatiga del ciclo, definido en este caso por menos de 50 ciclos completos con deformación plástica. 2

Página 3 No se incluyen otros efectos debido al impacto limitado que tendrían en la precisión de la simulación o para simplificar la formulación y mejorar la eficiencia computacional de la modelo. Estos son los casos de la meseta clara de rendimiento observada en barras de acero dulce, de pandeo en barras comprimidas y de respuesta asimétrica bajo fuerzas alternas de tensión y compresión. Además, los efectos de la tasa de deformación para la carga dinámica tampoco se consideran y todo el material Los parámetros deben obtenerse de pruebas cuasiestáticas. Sin embargo, los parámetros pueden ser ajustado para mejorar la precisión de la simulación para análisis dinámicos, por ejemplo, ajustando el rendimiento valor de estrés. 2. Fatiga de ciclo bajo La fatiga se puede ver como el proceso que conduce a daños o fallas en un miembro estructural. debido a la carga repetida. En particular, la fatiga de ciclo bajo se desarrolla cuando ocurre este fenómeno. con un número relativamente pequeño de ciclos. Por el contrario, se produce fatiga de ciclo medio y ciclo alto. para un mayor número de ciclos, generalmente entre 10 3 y 10 8 ciclos. Este último tipo es principalmente asociado con la carga del servicio y se está estudiando durante varias décadas, por ejemplo, consulte la revisión de Tilly sobre la fatiga del refuerzo de acero [32]. Algunos ejemplos de estructuras de ingeniería civil que requieren estudios específicos sobre el efecto de la fatiga son puentes sometidos al tráfico o a cargas térmicas intensas

[30 , 29] y edificios de gran altura o turbinas eólicas, y sus componentes, cuando son excitados por el viento. cargas [14 , 15]. La curva de vida a fatiga de un material se puede definir como el número de ciclos N c necesarios para producir una falla por fatiga para una tensión determinada o una amplitud de deformación. Según Brown y Kunnath [4], para una aleación de ingeniería (por ejemplo, acero) esta curva toma la forma representada en la Figura 2. Cuando La amplitud de carga es grande, pero por debajo de la resistencia máxima para una aplicación de carga única, será una deformación inelástica y la falla se producirá después de un número reducido de ciclos, generalmente bajo 1000 (fatiga de ciclo bajo). Por otro lado, se producirá una deformación elástica cuando la carga la amplitud es pequeña y el número de ciclos necesarios para producir una falla por fatiga es muy grande, a menudo en el orden de millones (fatiga de ciclo alto). Para amplitudes de carga muy pequeñas, fatiga no ocurrirá o el número de ciclos para inducir la falla es tan grande que este fenómeno es descuidado. 3

Página 4 La fatiga se desarrolla por el daño generado y por la creación y propagación de la fatiga. grietas debidas al efecto de cargas repetidas. En última instancia, esto conducirá a fallas cuando el los hombres no tienen suficiente resistencia para soportar la carga prescrita. Durante este proceso, La resistencia cíclica y la degradación de la rigidez se pueden observar en la respuesta del acero de refuerzo. barras. Surge una pregunta sobre cuál sería el número de ciclos que se espera que ocurran durante un evento sísmico. Según Panthaki [26], una carga sísmica puede resultar en una gran tensión y deformaciones de compresión en los refuerzos y entre 2 a 10 ciclos completos para estructuras comunes turas y hasta 30 ciclos para estructuras con altas frecuencias naturales (fatiga de ciclo ultrabajo). Teniendo en cuenta esta información, es posible concluir que es probable que este fenómeno resulte en degradación cíclica, o incluso en falla anticipada del refuerzo. 3. Modelado Se han propuesto varios modelos para simular la respuesta de las barras de acero utilizadas en estructuras de hormigón. Los modelos más extendidos van desde el más simple bilineal o multirelaciones constitutivas lineales, por ejemplo, el modelo propuesto por Aktan y Karlsson [1] y aquellos con transición suave elástica-plástica, como el modelo Ramberg-Osgood [27], el Guiffrè-MenegottoModelo Pinto [11 , 24] y los modelos propuestos por Mander y colaboradores [ 21 , 20 , 5], nombrar unos pocos. Además, se han realizado avances significativos para capturar el pandeo de longitudibarras finales. Esta investigación dio lugar a varias propuestas, por ejemplo, los modelos sugeridos por Monti y Nuti [25], por Gomes y Appleton [ 12], y más recientemente por Dhakal y Maekawa [ 8], todo basado sobre el modelo Guiffrè-Menegotto-Pinto. Otra innovación significativa fue realizada por Dodd y Restrepo-Posada [9] en la simulación del comportamiento asimétrico bajo tensión y compresión observada en los experimentos, mediante el llamado sistema de coordenadas naturales. Este artículo presenta un nuevo modelo para la simulación de barras de acero de refuerzo utilizadas en Estructuras de hormigón armado. El modelo está designado como acero de refuerzo refinado (RSteel) y consta de un modelo base y un submodelo. El modelo base adopta inicialmente un modelo bilineal relación hasta que se alcanza la primera inversión de carga, seguida de una rama ablandada para simular la

Efecto Bauschinger. La ecuación de la rama ablandada es la conocida Guiffrè-Menego4

Página 5 tto-Pinto [24] ecuación mejorada por Filippou et al. [ 10]. Sin embargo, una nueva expresión es propuesto para la evolución de un parámetro relacionado con la curvatura. Además, el modelo base adopta una nueva formulación para la regla de endurecimiento cíclico y se complementa con un submodelo específico para Simular el fenómeno de fatiga de ciclo ultrabajo. 3.1. Modelo base La ecuación general del modelo RSteel es la siguiente: σ s = E s (ε s - ε sp ), (1) donde ε sp es la deformación plástica que se puede calcular restando la deformación elástica de la tensión total, usando: ε sp = ε s σ s E s . (2) El rendimiento y la resistencia última se calculan a partir de: σ sy = E s ε sy , (3) σ su = σ sy + β 0 E s (ε su - ε sy ), (4) donde β 0 representa el módulo de endurecimiento por deformación inicial (consulte la Figura 3una). En el modelo propuesto, el módulo de endurecimiento por deformación cambia a lo largo del análisis como sigue1: β ± (ε máx. ) =    β 0 , si ε max ≤ ε sy β 0 ( 1ε max −ε sy ε su −ε sy

) , si ε sy  ε sy , (12) con: α = 1 - c R   1  exp ( −ε ac sp / ε sy ) exp (−1)   nR 100

  , (13) donde R 0 , c R , n R son parámetros de material a identificar y ε ac sp representa el acumulado deformación plástica hasta la inversión de carga anterior. Al final de n s pasos de carga, esta variable puede ser calculado usando: ε ac sp = n s

∑

j=1

∣∣∣∆ε sp, j ∣∣∣, (14) donde ∆ε sp, j representa el incremento de la deformación plástica en el paso de carga j, que se puede calcular fácilmente utilizando los valores devueltos por la ecuación (2). El parámetro c R representa un factor de reducción para R y el parámetro n R puede usarse para cambiar la evolución de esta reducción. Figura 4b presenta el efecto de estos parámetros en el progreso de R normalizado por su valor inicial. 3.2. Submodelo de fatiga de ciclo ultrabajo Los parámetros más obvios que pueden alimentar el modelo con información sobre la fatiga inducida en el material están el número y la amplitud de los ciclos a los que se somete la barra. Sin embargo, 7

Página 8 en casos de carga general, el historial de tensión-deformación no es repetitivo como en las pruebas de fatiga. Como un Como resultado, se deben usar variables de estado alternativas para este propósito. La tensión plástica acumulada experimentado por la barra a lo largo del historial de carga (ε ac sp

) definido en la ecuación (14) es un natural elección. Pueden usarse otros parámetros, por ejemplo, Suidan et al. [31] propuso el llamado Rainflow Método de conteo de ciclos para calcular una amplitud de deformación equivalente a partir de historias de deformaciones aleatorias, como los resultantes de eventos sísmicos. Para investigar la viabilidad de utilizar la deformación plástica acumulada, los datos experimentales obtenido por Brown et al. [3 , 4] se utiliza. El trabajo desarrollado por estos autores consistió en 34 Ensayos de fatiga de ciclo bajo con amplitud constante. Los refuerzos probados fueron # 6, # 7 y # 8 barras, que corresponden a diámetros de 19,1 mm, 22,2 mm y 25,4 mm, respectivamente. El acero se utilizó el Grado 60 con las siguientes propiedades mecánicas: σ sy = 420MPa; σ su = 620MPa; ε su = 8% - 9%. Más información sobre estas pruebas está disponible en las referencias [3 , 4]. Los datos reportados en estas publicaciones para el número de ciclos al fallar están asociados con el número de medios ciclos, en lugar del número de ciclos completos necesarios para el Fallo de la muestra. Este dato fue corregido para adoptar la cantidad N F c como

el número de ciclos completos. La Tabla 2 en el Apéndice presenta un resumen de los resultados reportados por Brown et al. [4], donde ε a y ε ap representan la deformación y las amplitudes de la deformación plástica, y N cr c y norte F c el

número de ciclos en los que se identifica la primera grieta por fatiga y cuando la muestra falla, respectivamente. La Figura 5 presenta los valores de ε ac sp para las pruebas realizadas por Brown et al. [4]. En este caso, la deformación plástica acumulada se puede calcular utilizando la siguiente expresión: ε ac sp (N c ) = 4ε ap N c , (15) donde N c es el número de ciclos cuando se identifica la primera grieta o en el momento de la falla. Esta figura muestra que esta cantidad presenta alguna varianza y que es posible identificar lo que parece ser una dependencia lineal entre ε ac

sp y

la amplitud plástica de los ciclos. Esta El efecto está relacionado con la intensidad de la deformación plástica para cada ciclo. Para el mismo nivel de La deformación plástica acumulada, las amplitudes plásticas más grandes inducen un mayor daño de tipo fatiga que amplitudes plásticas más pequeñas. Este efecto representa una respuesta relacionada con la carga que no es un material 8

Página 9 propiedad, y por lo tanto, debe ser eliminado. Para lograr esto, el siguiente factor de severidad lineal es presentado: s f = ∆ε ∗ sp

ε sy , (dieciséis) donde ∆ε ∗ sp representa la amplitud de la deformación plástica entre las inversiones de carga y ε  sy el límite elástico monótono. Introduciendo el factor de severidad en la ecuación (14), es posible obtener la definición del deformación plástica acumulada corregida, en este caso definida después de n r inversiones de carga: ˜ε ac sp = n r

∑ r=1

(ε ac sp s f ) r

= n r

∑ r=1

(ε ac sp ∆ε ∗ sp

ε sy ) r

. (17) Está implícito en la última ecuación que ˜ε ac sp solo se actualiza cuando se identifica una inversión de carga. Además, debe tenerse en cuenta la posibilidad de una descarga parcial y una efectiva La inversión solo debe considerarse cuando la tensión cambia de tensión a compresión o viceversa. versa (ver Figura 8). La Figura 6 presenta los mismos datos utilizados para la Figura 5 después de corregir el plástico acumulado deformar usando la ecuación (17). En este caso, esta expresión se puede simplificar en: ˜ε ac sp (N c ) = 8ε 2 ap N c ε sy . (18) De la Figura 6 es posible observar que la introducción del factor de severidad significativamente

reduce la dependencia de la amplitud del ciclo observada anteriormente. Esto se puede ver al señalar la línea de regresión lineal casi constante, tanto después de la identificación de la primera grieta como en falla de la barra. No obstante, se sigue observando el mismo nivel de dispersión en los resultados porque esta se origina principalmente en la dispersión que ya se encuentra en los resultados de la prueba original. El procedimiento adoptado para eliminar la dependencia de la amplitud de carga se basa en observar lo que parece ser una tendencia lineal en la Figura 5. No existe un marco físico bien establecido para apoyar esta opción, aparte de que es intuitivo que las deformaciones plásticas de mayor amplitud tienden a ser más penalizando el refuerzo que las deformaciones de menor amplitud. Este enfoque fue adoptado debido 9

Página 10 por su simplicidad y porque los resultados obtenidos mostraron que la dependencia de la carga es significativamente reducido para los casos considerados. Los resultados obtenidos por Mander et al. [22 , 26] se utilizan para una mayor validación de la propuesta submodelo de fatiga de ciclo ultrabajo. En este caso, las pruebas se realizaron con 5 / 8in. (15,9 mm) barras de acero de grado 40, que bajo pruebas de tensión monótona arrojaron los siguientes resultados: σ sy = 331MPa; σ su = 565MPa; ε su = 17%. De manera similar a lo que se hizo antes, la Tabla 3 del Apéndice presenta un resumen de resultados experimentales obtenidos. El criterio de falla adoptado por Mander et al. incluyó una combinación nación de dos condiciones [22]. Para ciclos de pequeña amplitud ε a  ε f ∧ σ s > 0, (20) en el que la última ecuación impone que la ruptura del refuerzo de acero solo puede ocurrir bajo tensión cargando. Si el parámetro c f se establece en cero, esto implica que no se produce degradación antes del refuerzo. ruptura del ment. Además, al adoptar valores muy grandes para ε f, la falla del refuerzo de acero no ocurrirá y el efecto de fatiga de ciclo ultrabajo no se considera en la simulación. La figura 10 presenta una comparación entre los resultados de las pruebas de fatiga realizadas por Brown et al. [4] con barras de φ19mm y los resultados obtenidos con el modelo RSteel. Figura 10a para Figura 10Presentamos los resultados obtenidos para ciclos con amplitudes de deformación de 1,50%, 1,75%, 2,50% y 3,00%, respectivamente. Todos los resultados se obtuvieron con los siguientes parámetros del modelo: E s = 215 GPa; β 1 = 0,5%; σ sy = 540MPa; ε su = 8,5%; y R 0 = 3,0; c R = 0,5; n R = 0.5 para el evolución de la curvatura de la curva suavizada; y ε f = 21,0; c f = 0,25; n f = 1,00 para la fatiga submodelo. Estos parámetros fueron elegidos a través de un proceso de optimización manual realizado para ajustarse a los resultados experimentales. Para el caso del ensayo con amplitud de deformación del 2,50%, la curva tensión-deformación está disponible en el trabajo publicado por Brown et al. [4]. Este resultado se compara lado a lado con los resultados. obtenido usando el modelo RSteel en la Figura 10c y figura 10d, respectivamente. Un buen partido puede ser observado entre ambos conjuntos de datos. Los resultados podrían haber sido aún más similares, pero el objetivo de usar los mismos parámetros para todas las pruebas limitaba el rango de ajuste de los parámetros. Más lejosAdemás, los resultados experimentales bajo fuerzas de compresión y tensión mostraron cierta asimetría y este efecto no se pudo simular con el modelo propuesto. Usando la definición expresada en la ecuación20) significa que la ruptura de la barra puede ocurrir en cualquier lugar bajo carga de tracción. Esto es visible en las simulaciones presentadas en la Figura 10.. Figura 10f presenta la tensión normalizada en la reversión obtenida para todas las pruebas consideradas.

Estos datos se comparan con los resultados experimentales publicados por Brown et al. [4]. los 11

Pagina 12 Los resultados muestran que el modelo RSteel y, en particular, el submodelo de fatiga de ciclo ultrabajo es capaz de para simular todos los resultados de la prueba con muy buena precisión y siempre usando el mismo conjunto de modelo parámetros. Esto demuestra que el submodelo está reproduciendo bien la evolución de la fatiga y el fracaso inducido. 4. Implementación El modelo RSteel se puede utilizar en una variedad de aplicaciones que quedan abiertas en esta etapa. PosLos usos posibles van desde la implementación en fibras para análisis de secciones transversales o estructurales, y también, en el marco del método de los elementos finitos. Estas aplicaciones a menudo requieren la definición inición de dos procedimientos principales: determinación del estado y cálculo de la matriz de rigidez, ya sea en sección transversal oa nivel de elemento. El procedimiento de determinación del estado se describe en el algoritmo 1 para análisis incrementales y la Tabla 1 recopila la información pertinente sobre el modelo parámetros. Calcular la matriz de rigidez tangente requiere conocer ∂σ s / ∂ε s que se puede obtener mediante aplicando la regla de la cadena, como sigue: ∂σ s ∂ε s = ∂σ s ∂σ ∗ s

∂σ ∗ s

∂ε ∗ s

∂ε ∗ s

∂ε s . (21) Recordando las relaciones presentadas en la ecuación (8), es posible obtener: ∂σ s ∂σ ∗ s

= σ s0 - σ sa , (22) ∂ε ∗ s

∂ε s = 1 ε s0 - ε sa , (23) y el término restante resulta de la ecuación (7): ∂σ ∗ s

∂ε ∗ s

= β ± -

β ± - 1 { 1 + (ε ∗ s ) R } 1 + 1 / R . (24) Cabe señalar que los parámetros β ± y R no dependen de ε ∗ s porque son solo actualizado después de la reversión. El conjunto completo de valores posibles para ∂σ s / ∂ε s se enumeran a continuación para cada rama representada en la Figura 11una: 12

Página 13 k= ∂σ s ∂ε s =    E s , caso 1 β 0 E s , caso 2 σ s0 −σ sa ε s0 −ε sa

{ β ± β ± −1 [1+ ( ε ∗

) } , caso 3 0, caso 4 . (25) Figura 11b presenta el efecto del parámetro R sobre la pendiente de la rama suavizada. Se puede observar que El aumento de los valores de este parámetro conduce a transiciones de pendiente más pronunciadas. Una implementación de elementos finitos es sencilla (por ejemplo, ver Crisfield [7]). No obstante, si implementado como un elemento de viga se necesitan más simplificaciones o modelos adicionales deben incluirse para los otros grados de libertad. Se debe prestar especial atención a la elección de las variables de estado apropiadas, para comprobar las situaciones de carga y descarga e identificar la carga reversiones. Además, el uso de la matriz de rigidez tangente puede mejorar enormemente el cálculo eficiencia cional del modelo numérico aumentando la tasa de convergencia. 5. Validación El modelo propuesto se valida contra resultados experimentales de barras de refuerzo comunes probadas bajo carga cíclica y alterna. Experimentos con ciclos asimétricos de tensión-compresión se adoptaron porque después del agrietamiento del hormigón, los refuerzos de acero están más carga de tracción porque el hormigón deja de tener un aporte predominante. La Figura 12 presenta los datos de múltiples pruebas cíclicas de armaduras en comparación con el resultados obtenidos al introducir el historial de deformaciones en el modelo RSteel. Los parámetros del modelo utilizados s   R ] 1 + 1 / R

en cada caso se presentan en la Tabla 4 del Apéndice. Figura 12a ilustra los resultados experimentales obtenidos por Kent y Park [ 16] con leve barras de refuerzo de acero (grado 275) fabricadas en Nueva Zelanda. Esta prueba fue elegida porque representa una prueba cíclica no alternante y en este caso la respuesta inelástica es menos intensa, por tanto, el efecto de fatiga es menos importante, como se demuestra al obtener γ f = 0,99 al final de la simulación. Al comparar los resultados experimentales con los numéricos, se hacen evidentes dos cuestiones: Similar a otras obras (por ejemplo, Mander [21]), la simulación se realizó con un módulo de elasticidad ulus menor de 200GPa para hacer frente a los resultados experimentales que muestran claramente un 13

Página 14 respuesta flexible en la primera carga y en las posteriores descargas y recargas de las ramas. En anunciodición, el espécimen 19 experimentó una transición suave entre el elástico y el elastoplástico rama en la primera carga, a diferencia de muestras similares probadas en la misma campaña de prueba. El siguiente caso se refiere a las pruebas realizadas por Leslie [18] con acero de alta resistencia (Grado 380) también de Nueva Zelanda y con un ejemplar que fue sometido a 8 ciclos intensos con deformación plástica. Al final de la predicción numérica, el parámetro γ f alcanzó el valor de 0.90 que revela que el submodelo de fatiga está agregando una degradación significativa de la resistencia en la simulación. Apagar este submodelo estableciendo c f = 0 muestra que los valores de tensión máxima se sobreestima, en particular al final de la prueba. Además, la Figura 12b muestra algunos asimetrías en las ramas ablandadas para posteriores ciclos de carga de tensión y compresión, que no puede predecirse con el modelo RSteel. Las tensiones máximas logradas en cada ciclo son bien reproducido por el modelo. Las pruebas realizadas por Aktan et al. [1] se consideran en los dos ejemplos siguientes. Alto Se utiliza acero resistente fabricado en EE. UU. y se eligen barras de tamaño # 9 y # 6. En ambos casos el los resultados están razonablemente bien predichos por el modelo. Sin embargo, la meseta de rendimiento no se captura como consecuencia de las simplificaciones introducidas en el modelo por los motivos antes mencionados. En Estas dos pruebas, la degradación de la resistencia relacionada con la fatiga es muy significativa, como lo demuestra recuperando γ f = 0,75 y γ f = 0,84 al final de la Prueba 5 y la Prueba 8, respectivamente. En el otro Por otro lado, las asimetrías en la respuesta bajo tensión y las fuerzas de compresión se pueden encontrar en el datos experimentales, lo que reduce la precisión de la predicción numérica. El último grupo de experimentos utilizó barras de refuerzo de acero de grado 60 de EE. UU. Y fueron publicado por Ma et al. [19]. En estos casos la fatiga es baja (γ f > 0.95) y el RSteel fue capaz de predecir los resultados experimentales con buena precisión. En estas pruebas de validación, los parámetros adoptados para la curvatura suavizada de la rama variaron entre: R 0 = 1.8−4.0; c R = 0.2−0.6; n R = 0.8−5.0. Se puede decir de la experiencia obtenida utilizando el modelo de que el parámetro R 0 es típico alrededor de 2.5 y una reducción de c R = 30% -40% es se espera que ocurra en caso de falla. Esta reducción es más intensa en los primeros ciclos como se demuestra mediante el uso de valores superiores a 1,0 para n R y normalmente alrededor de 4,0.

En lo que se refiere a los parámetros de fatiga de ciclo ultrabajo, estos variaron en las pruebas de validación 14

Página 15 entre: c f = 0,30 - 0,40; n f = 0,38 - 0,75 y ε f se estableció en 24,5. Como se discutió antes, ε f representa el valor de ˜ε ac sp al fallar la barra. Este parámetro se estableció en 24,5 como resultado de la procesamiento realizado con los datos obtenidos por Brown et al. [4] e ilustrado en la Figura 6. Desde el En la experiencia obtenida por los autores, valores entre 20,0 y 25,0 parecen adecuados para este parámetro. Establecer la reducción de resistencia en c f = 30% -40% en la falla de la barra representa una situación común y valores inferiores a 1,00 se adoptan comúnmente para n f , lo que implica que la mayor parte de esta degradación ocurre en los primeros ciclos. Teniendo en cuenta los resultados presentados, se puede afirmar que muy buenas predicciones para los resultados experimentales se obtienen utilizando el modelo RSteel. Esto demuestra la flexibilidad del modelo propuesto y el ajuste al comportamiento efectivo de las armaduras de acero. Sin embargo, es posible observar diferencias menores en algunos casos para el estrés en la reversión y para suavizar la curvatura de las ramas. Además, se pueden identificar algunas asimetrías en las pruebas realizado con fuerzas de tracción y compresión alternas. Este tipo de comportamiento no es demasiado significativo y no puede ser simulado con el modelo propuesto, o de hecho, con la gran mayoría de los modelos disponibles para armaduras de acero. 6. Conclusiones Este artículo presenta un modelo constitutivo simplificado y fácil de implementar para simular la mayoría de los fenómenos que caracterizan la respuesta del refuerzo de acero en casos de carga general. Se llama especial atención al efecto de fatiga de ciclo ultrabajo que se produce cuando el acero Las fuerzas experimentan grandes deformaciones cíclicas inelásticas y pueden resultar en una resistencia significativa del acero. degradación de la dureza y la rigidez que puede provocar un colapso prematuro por fractura. El llamado modelo RSteel está completamente definido por 10 parámetros y se caracteriza por una respuesta bilineal en la primera carga, que es seguida por una rama ablandada definida por el conocida ecuación de Guiffrè-Menegotto-Pinto [11 , 24], posteriormente mejorado por Filippou et al. [ 10]. Se presenta una nueva propuesta para la evolución de la superficie de rendimiento que permite considerar endurecimiento cíclico tanto cinemático como isotrópico observado en los experimentos. Además, un nuevo La definición se presenta para la evolución del parámetro R, que se asocia con la curvatura de la rama ablandada. El modelo RSteel incluye una fórmula innovadora y simplificada para 15

Página 16 considerando el fenómeno de la fatiga para situaciones en las que la falla se logra con menos de 50 ciclos completos con deformación plástica (ciclo ultrabajo). Este submodelo fue diseñado para ser fácilmente implementado en una formulación de elementos finitos. La comparación realizada con los resultados experimentales mostró que el modelo RSteel puede reproducir las rutas de carga y descarga para múltiples ciclos de carga y recarga con una muy buena precisión. Además, fue posible definir la matriz de rigidez tangente, que siempre introduce un ventaja significativa con respecto a la eficiencia computacional.

Los principales problemas identificados para la investigación futura son la búsqueda de la validación del modelo con resultados experimentales tradicionales, en particular para los casos en que la falla se logra con un número mayor de ciclos, y evaluación de la sensibilidad de los parámetros del modelo mediante pruebas paramétricas. Además, la introducción del pandeo de las barras de acero, los efectos de la tasa de deformación y la posibilidad de simular Los ciclos asimétricos de tensión-compresión también se identifican como trabajos futuros pertinentes. 7. Agradecimientos Los autores desean reconocer y enfatizar la importancia del apoyo financiero dado a esta investigación por la Fundação para a Ciência ea Tecnologia a través del doctorado y beca postdoctoral con referencias SFRH / BD / 21491/2005 y SFRH / BPD / 75878/2011, respectivamente. 8. Apéndice Nota: Las tablas 2 , 3 y 4 deben incluirse en el Apéndice. Referencias [1] Aktan, A., Karlsson, B., Sozen, MA, 1973. Relaciones tensión-deformación de barras de refuerzo sometido a grandes inversiones de deformación. Tech. rep., Universidad de Illinois. [2] Apostolopoulos, CA, Papadopoulos, MP, 2007. Comportamiento a tracción y fatiga de ciclo bajo de barras de acero de refuerzo corroídas S400. Construcción y materiales de construcción 21 (4), 855– 864. dieciséis

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Página 20 su

σ s

ε s

mi sh

ε s

σ sy

σ sy

ε su

ε sh

mi (a) monotónico (acero laminado en caliente) s

σ s

ε endurecimiento cíclico Bauschinger efecto endurecimiento s

mi sy

σ - sy σ (b) cíclico

Figura 1: Respuesta típica de las barras de acero de refuerzo en las pruebas de tensión.

Página 21 , s s

σε C

norte 3

10 ≈ 8

10 , su su

σε Figura 2: Curva típica de vida a fatiga para una aleación de ingeniería, según Brown et al. [4].

Página 22 s

σ s

ε sy

σ su

sr

ε ε = sy

ε su

σ s

mi 0 s

mi

β

ϕ + *

(a) monótono 0 s

mi

β s

σ s

ε ϕ + *

ϕ * s

mi s

mi 1 su sr

ε ε = su sr

ε ε -=0 s

mi

β 1 s

mi

β s

mi

β + 1

UNA +

UNA -

( ) , sa sa

εσ

( ) 0 0

, s s

εσ (b) cíclico

Figura 3: Representación esquemática del modelo RSteel.

Página 23 0 1 0 0,2

0.4 0,6 0,8 1 1.2 β ±

/ β 0

ε max ε sy ε su (a) Evolución del parámetro β ±

0 50 100 150 200 0 0,2 0.4 0,6 0,8 1 1.2 ε ac sp / ε sy R / R 0

C R

= 0,8; norte R

= 0,5 C R

= 0,8; norte R

= 1.0 C R

= 0,8; norte R

= 4.0

(b) Evolución del parámetro R con c R y n R

Figura 4: Parámetros del modelo.

Página 24 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2.5 0 0,5 1 1,5 2 2.5 3

ε ap [%] ε una C sp

Fracaso Primer crack

Figura 5: Deformación plástica acumulada en la identificación de la primera grieta o en la falla de la barra para las pruebas realizado por Brown et al. [4].

Página 25 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2.5 0 5 10 15 20 25 30 35 ε ap [%] ˜ε a C sp

Fracaso Primer crack

Figura 6: Valores corregidos de la deformación plástica acumulada para las pruebas realizadas por Brown et al. [4].

Página 26 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2.5 2,75 3 0 5 10 15 20 25 30 35 ε ap [%] ˜ε a C sp

Rechazado Primer crack

Figura 7: Valores corregidos de la deformación plástica acumulada para las pruebas realizadas por Mander et al. [22 , 26].

Página 27 s

σ s

ε s

mi

() 

2

sp

ε * ∆

() 

3

sp

ε * ∆

() 

1

sp

ε * ∆ Figura 8: Definición de la deformación plástica acumulada.

Página 28 0 0,2 0.4 0,6 0,8 1 1.2 0 0,2 0.4 0,6 0,8 1 1.2 1.4 ˜ε ac sp / ε f γ F

norte F

= 0,5 norte F

= 1.0 norte F

= 2,0

Figura 9: Evolución del factor de fatiga con n f ( c f = 0,25).

Página 29 −0,03 −0,02 −0,01 0 0,01 0,02 0,03 −800 −600 −400 −200 0

200 400 600 800 σ s

[METRO PAG una] ε s [-] (a) ε a = 1,50% (modelo RSteel)

−0,03 −0,02 −0,01 0 0,01 0,02 0,03 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 σ s

[METRO PAG una] ε s [-] (b) ε a = 1,75% (modelo RSteel)

[MPa] s

σ [] s

ε (c) ε a = 2.50% (Experimental [4])

−0,03 −0,02 −0,01 0 0,01 0,02 0,03 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 σ s

[METRO PAG una] ε s [-] (d) ε a = 2,50% (modelo RSteel)

−0,03 −0,02 −0,01 0 0,01 0,02 0,03 −800 −600 −400 −200

0 200 400 600 800 σ s

[METRO PAG una] ε s [-] (e) ε a = 3,00% (modelo RSteel)

0 10 20 30 40 50 0 0,2 0.4 0,6 0,8 1 1.2 N c σ cs

/σ 0s

ε a = 3,0% ε a = 2,5% ε a = 1,75% ε a = 1,5% RSteel Experim.

(f) picos de tensión en la inversión (Experimental [4])

Figura 10: Comparación de las pruebas de fatiga de ciclo bajo realizadas por Brown et al. [4] con los resultados obtenido utilizando el modelo RSteel.

Página 30 s

σ s

ε ϕ + *

ϕ * s

mi s

mi su sr

ε ε = su sr

ε ε -=1 s

mi

β s

mi

β s

mi

β +

(a) ramas tensión-deformación

0 1 2 3 0 0,2 0.4 0,6 0,8 1 1.2 ε ∗ s

k /MI s

β = 0,05 R = 2,0 R = 4.0 R = 8.0

(b) influencia del parámetro R

Figura 11: Implementación del modelo RSteel.

Página 31 0 0,5 1 1,5 2 2.5 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 ε s [%] σ s

[METRO PAG una] Experimental RSteel

(a) Pruebas de Kent y Park [dieciséis], Especificaciones. 17, después de [ 21]

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 ε s [%] σ s

[METRO PAG una] Experimental RSteel

(b) Pruebas de Leslie [18], Especificaciones. A, después de [ 21]

−4−3−2−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 ε s [%] σ s

[METRO PAG una] Experimental RSteel

(c) Pruebas de Aktan et al. [1], Prueba 5, barra n.º 9

−1 0 1 2 3 4 5 6 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000 ε s [%] σ s

[METRO PAG una] Experimental RSteel

(d) Pruebas de Aktan et al. [1], Prueba 8, barra n.º 6

−1 0 1 2 3 4 5 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600

800 ε s [%] σ s

[METRO PAG una] Experimental RSteel

(e) Pruebas de Ma et al. [19], Muestra 3

0 1 2 3 4 −600 −400 −200 0 200 400 600 ε s [%] σ s

[METRO PAG una] Experimental RSteel

(f) Pruebas de Ma et al. [19], Muestra 2

Figura 12: Modelo RSteel - Comparación con resultados experimentales.

Página 32 Tabla 1: Parámetros del modelo RSteel.

Unidad de parámetro Dominio Definición E s Pensilvania [0, ∞] rigidez elástica σ sy Pensilvania [0, ∞] estrés de fluencia β 0 [0, ∞] factor de endurecimiento inicial ε su m / m [σ sy / E s , ∞] deformación en tensión máxima R 0 [0, ∞] valor inicial de R c R [0,1] factor de reducción de R n R

[0, ∞] exponente utilizado para controlar la evolución de R ε f [0, ∞] valor de ˜ε ac sp al fallar c f [0,1] factor de reducción de γ f n f [0, ∞] exponente utilizado para controlar la evolución de γ f

Página 33 Tabla 2: Resultados de las pruebas de fatiga realizadas por Brown et al. [4]

Muestra φ (mm) ε a (%) ε ap (%) N cr C

norte F C

# 21 19 ± 1,50 1,10 28,0 43,5 # 22 ± 1,75 1,35 15,5 30,5 # 23 ± 2,00 1,55 15,5 24,5 # 26 ± 2,25 1,80 12,5 22,0 # 24 ± 2,50 1,98 8.5 15.0 # 25 ± 3,00 2.30 4,5 11,0 # 33 22 ± 1,25 0,94 43,5 77,0 # 32 ± 1,50 1,10

21,5 46,0 # 28 ± 1,75 1,35 16,5 30,5 # 34 ± 1,75 1,35 17,5 47,5 # 27 ± 2,00 1,55 11,5 23,0 # 29 ± 2,25 1,80 10,5 21,0 # 30 ± 2,50 1,98 10,5 19,0 # 35 ± 2,50 1,98 11,0 19,0 # 31 ± 2,75 2,29 7.5 11.0 # 36 ± 3,00 2.30 5,0 12,0 # 43 25 ± 1,50 1,10 22,5 55,5 # 46 ± 1,75 1,35 10,5 39,0 # 44 ± 2,00 1,55 16,5 30,5 # 47 ± 2,25 1,80 7.5 22.0 # 45 ± 2,50 1,98 10,5 14,0

Página 34 Tabla 3: Resultados de las pruebas de fatiga realizadas por Mander et al. [22 , 26]

Muestra ε a (%) ε ap (%) N c Criterios de falla R8 ± 0,80 0,65 148,0 R4 ± 1,00 0,83 49,0 normalizado R10 ± 1,25 1,10 23,0 esfuerzo de tracción R21 ± 1,34 1,17 25,0 comienza a caer R7 ± 1,50 1,30 21,0 R11 ± 1,75 1,60 13,0 R5 ± 2,00 1,80 9.2 tensión R9 ± 2,50 2,20 5.6 grieta R1 ± 3,00 2,70 4.1 inicialización

Página 35 Tabla 4: Parámetros del modelo utilizados para calcular las curvas tensión-deformación presentadas en la Figura 12.

Parámetro 12a 12b 12c 12d 12e 12f E s (GPa) 180

210 210 190 200 200 σ sy (MPa) 325 380 480 500 460 450 ε su (%) 18.0 12,0 14.0 8.0 12,0 12,0 β 0 (%) 0,60 1,90 2,80 5,00 1,70 2.10 R 0 4,00 2,50 2,50 1,80 2,50 2,80 c R 0,60 0,60 0,20 0,20 0,25 0,35 n R 0,80 0,80 4,00 3,00 4,00 5,00 ε f 24,50 24,50 24,50 24,50 24,50 24,50 c f 0.40 0.40

0,30 0,45 0,30 0,35 n f 0,60 0,60 0.40 0,38 0,75 0,75

Página 36 Algoritmo 1: Determinación del estado del modelo RSteel.

Inicializar: Variables de estado: ε sa = ε s0 = σ sa = σ s0 = 0; β ± = β 0 ; R ± = R 0 ; γ f = 1. Para cada nuevo incremento de carga (j): 1. Actualización: Incremento de deformación: ∆ε s = ε s - (ε s ) j − 1 . 2. Actualización: Deformación absoluta máxima: ε max = max {(ε max ) j − 1 , ε s ) } . 3. Calcule: β ± usando la ecuación (5). 4. Si ∆ε s (∆ε s ) j − 1  ε sy (def. Inversión de incremento): Actualización: ε sa = (ε s ) j − 1 ; Actualización: σ sa = (σ s ) j − 1 ; Calcule: γ f usando la ecuación (19). 5. Si ε sa = σ sa = 0 (primera carga - rama bilineal): Calcule: Φ ± usando la ecuación (6); Calcule: σ t usando la Ecuación (1); Si σ t - Φ + > 0: Calcule: ε p = ε - Φ + / E s . Si σ t - Φ -  ε f (ruptura): Actualización: σ s = 0.