tema 46 MATEMÁTICAS Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio. 24-13838-13 Ecuaciones de curvas y s
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MATEMÁTICAS Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio.
24-13838-13
Ecuaciones de curvas y superficies.
Temario 1993
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1. Sistemas de coordenadas en el plano 1.1. Sistema de coordenadas cartesianas 1.1.1. Cambio del sistema de coordenadas cartesianas
1.2. Sistema de coordenadas polares 1.2.1. Relación entre las coordenadas polares y cartesianas 1.2.2. Algunas curvas elementales en coordenadas polares
2. Distintas maneras de definir curvas en el plano 2.1. Ecuaciones paramétricas de curvas
3. Curvas de especial interés 3.1. Espiral de Arquímedes 3.2. La cicloide 3.3. La cardioide 3.4. Otras curvas
4. Sistemas de coordenadas en el espacio 4.1. Sistema de coordenadas cartesianas 4.2. Sistema de coordenadas cilíndricas 4.3. Sistema de coordenadas esféricas
5. Curvas en el espacio 5.1. La hélice
6. Superficies en el espacio 6.1. Cuádricas 6.2. Superficies de revolución
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INTRODUCCIÓN
Los sistemas de coordenadas son métodos para localizar puntos en un espacio dado: por medio de números se determina la posición de cada punto respecto a una figura de referencia. Estos números son las coordenadas del punto. De esta manera, cada conjunto de coordenadas determina un único punto, pero hay sistemas en los que un punto puede ser definido de varias maneras. La aparición de los sistemas de coordenadas supuso el nacimiento de la geometría analítica (sería más apropiado denominarla geometría de coordenadas), es decir, la aplicación del álgebra a la geometría. En este tema vamos a centrarnos en los sistemas de coordenadas del plano y del espacio. Dentro del plano no estudiaremos las funciones trigonométricas, ni las cónicas, que ya se ven en otros temas. Repasaremos algunas curvas de importancia histórica e indudable belleza estética. En el espacio se estudiará la hélice y las superficies se tratarán de un modo más general, ya que su interés es menor y su estudio se deduce lógicamente de las curvas. Por último, decir que en cualquier libro de análisis (si es un poco antiguo, mejor), aparecen multitud de curvas de variados tipos.
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1 Sistemas de coordenadas en el plano Para determinar puntos en el plano se usan principalmente dos sistemas de coordenadas: cartesianas y polares. En ambas, un punto queda perfectamente localizado mediante un par de números.
1.1. Sistema de coordenadas cartesianas El sistema de coordenadas cartesianas fue el primero que apareció, y fue Jean Bernouilli quien las llamó así en honor de Descartes. Este sistema se construye eligiendo dos rectas orientadas que se corten denominadas ejes, y el punto de intersección O recibe el nombre de origen. Un punto queda determinado por la intersección de dos rectas paralelas a cada uno de los ejes X e Y. Las coordenadas del punto son las distancias de esas rectas a sus ejes paralelos. Por último, hay que especificar cuál será la parte positiva o negativa de cada eje en relación al origen. Si los ejes son perpendiculares entre sí, el sistema se llama rectangular; si no, se llama oblicuo. Actualmente, el más empleado es el rectangular y a él dedicaremos nuestra atención, aunque históricamente fue el oblicuo el primero en emplearse. Coordenadas cartesianas oblicuas: (b1, b2) son las coordenadas de B en el sistema (O: X, Y).
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Coordenadas cartesianas rectangulares: (a1, a2) son las coordenadas de A en el sistema (O’: X’, Y’).
Normalmente, al referirse a las coordenadas cartesianas, se supone ya que son rectangulares. A veces es conveniente hacer un cambio de ejes para simplificar la ecuación de una curva. Veamos cómo se hace. 1.1.1. Cambio del sistema de coordenadas cartesianas
Recordemos primero que estamos trabajando con ejes perpendiculares entre sí. En el siguiente dibujo se presenta la gráfica de la ecuación de una elipse referida al sistema (O: X, Y), y es claro que si cambiamos al sistema (O’: X’, Y’), la ecuación quedará notablemente simplificada. Ahora vamos a estudiar cuáles son las ecuaciones de este cambio, es decir, cuáles son las coordenadas del punto (x, y) respecto al nuevo sistema. r El sistema (O’: X’, Y’) se obtiene al aplicar una traslación de vector v = (a, b) y un giro de amplitud α, al sistema (O: X, Y).
Por tanto, las coordenadas del punto P = (x, y) respecto al sistema nuevo (O’: X’, Y’) serán P = (x’, y’).
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El nuevo sistema se obtiene del primero mediante una traslación de vector (a, b), y un giro de ángulo α, que ya sabemos sus ecuaciones (Tema 41): x' = a + x cos α – y sen α y' = b + x sen α + y cos α
Ecuaciones del cambio de sistema.
1.2. Sistema de coordenadas polares Las ecuaciones de algunas curvas como espirales, son complicadísimas referidas a coordenadas cartesianas, pero hay otro sistema que las hace mucho más sencillas. Este sistema es el de coordenadas polares. Su invención se debe a Newton y su importancia es relevante, por ejemplo, a la hora de operar con números complejos, los cálculos se simplifican bastante si trabajamos con los números en forma polar. Las coordenadas polares describen un punto P como la intersección de una circunferencia con una semirrecta cuyo origen es el centro de la circunferencia. Este sistema se construye eligiendo en el plano un punto O llamado polo, y trazando por él una recta orientada llamada eje polar. De esta manera, un punto M del plano viene determinado por sus coordenadas polares (ρ, θ), que expresan lo siguiente: ρ es la distancia del punto M al polo. θ es el ángulo que debe girar al eje polar hasta llegar a OM.
O es el polo. OX es el eje polar. (O; OX) sistema de coordenadas polares. Si trabajamos con coordenadas polares, nos encontramos con un problema: un punto puede tener pares de coordenadas distintas. Por ( ρ, θ) = ( ρ, θ + 2π). Para establecer una correspondencia biunívoca coordenadas polares y el plano hay que hacer algunas restricciones, 0 ≤ θ < 2π y 0 < ρ.
pequeño ejemplo: entre las que son:
Obsérvese que si ρ = 0, el punto (0, θ) no está determinado. Para localizar los puntos del eje polar, se hace θ = 0. Ahora vamos a estudiar qué relaciones hay entre las coordenadas polares y las cartesianas rectangulares.
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1.2.1. Relación entre las coordenadas polares y cartesianas
Para estudiar estas relaciones que nos van a permitir pasar de unas coordenadas a otras, basta con observar el dibujo: El triángulo rectángulo OPM nos da las claves necesarias para efectuar el paso de coordenadas cartesianas a polares y viceversa.
cos θ = sen θ =
x ⇒ x = ρ ⋅ cos θ ρ
Paso de polares a cartesianas.
y ⇒ y = ρ ⋅ sen θ ρ
ρ2 = x 2 + y 2 ⇒ ρ = x 2 + y 2 Por Pitágoras ⇒ Paso de cartesianas a polares. y ⇒ θ = arctg y tg θ = x x 1.2.2. Algunas curvas elementales en coordenadas polares
XX Ecuaciones de rectas a) La recta pasa por el polo
Si la recta r pasa por el polo, la ecuación de la recta será:
θ = α ecuación de la recta. α es el ángulo que forma la recta con el eje polar.
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b) Caso general
Si la recta r no pasa por el polo, su ecuación la obtenemos así:
Sea d = dist. (O, r), calculemos las coordenadas del punto M = (ρ, θ)
cos ( α − θ) =
d d ⇒ ρ= ecuación de la recta. ρ cos ( α − θ)
α es el ángulo que forma la perpendicular a la recta con el eje polar.
XX Ecuaciones de circunferencias a) Si el centro coincide con el polo
ρ=r
b) Si el centro está en el eje polar
cos θ =
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ρ ρ = ⇒ ρ = 2r ⋅ cos θ OA 2r
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c) Si el centro está en la perpendicular por el polo al eje polar
sen θ =
ρ ρ = ⇒ ρ = 2r ⋅ sen θ OA 2r
d) Caso general
Utilizando el teorema del coseno en el triángulo OCM, obtenemos la ecuación: ρ2 + ρ02 – 2 ρρ0 cos (θ0 – θ) = r2
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2 Distintas maneras de definir curvas en el plano Antes de comenzar a desarrollar este apartado, hay que advertir que todo lo que aquí se va a exponer tiene absoluta validez para el espacio tridimensional, con las lógicas adaptaciones. Del mismo modo, aunque aquí nos refiramos a coordenadas cartesianas, también se puede aplicar a las coordenadas polares. Una primera manera de definir curvas es mediante lugares geométricos; y a continuación veremos otras formas de definirlas. XX Lugares geométricos Un lugar geométrico es un conjunto de puntos del plano (o del espacio), que cumplen una cierta propiedad. Así, se puede definir una circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo. Es evidente que no todos los lugares geométricos definen curvas. XX Mediante trayectorias Por ejemplo, se puede determinar una circunferencia como la trayectoria que sigue un punto fijado al extremo de un segmento, cuando éste gira alrededor de su otro extremo. Más adelante estudiaremos la cicloide, que también está definida como la trayectoria que sigue cierto punto. XX Mediante funciones La gráfica de toda función continua es una curva, pero el recíproco no es cierto. Esto se ve muy claro con f(x) = x , que no es una función (las x positivas tienen dos imágenes) y, sin embargo, su gráfica es una parábola. Así, dada una función continua f, se le puede asociar una curva que estará formada por los puntos (x, y), tales que y = f(x). Si una curva está definida mediante una función, se dice que está definida explícitamente por dicha función. XX Mediante ecuaciones Muchas ecuaciones con dos incógnitas, x e y, o lo que es lo mismo, ecuaciones del tipo f(x, y) = 0, también definen curvas. En efecto, dada una de estas ecuaciones, se puede definir una curva como los puntos del plano (x, y) que resuelven dicha ecuación, es decir, que hacen f(x, y) = 0. Por ejemplo, la circunferencia de centro el origen y radio 3, puede definirse como los puntos (x, y) del plano que son solución de la ecuación x + y – 9 = 0, y decimos que es la ecuación implícita de la circunferencia. Un teorema muy importante, que formaliza lo dicho pero que se sale de nuestro cometido, es el teorema de la función implícita, y a groso modo nos asegura que, bajo ciertas restricciones, si f(x, y) = 0, entonces se puede despejar la y en función de la x. Un estudio detallado de este teorema se puede encontrar en cualquier libro no elemental de análisis. Un capítulo aparte, por su importancia, merece el estudio de las curvas definidas mediante ecuaciones paramétricas.
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2.1. Ecuaciones paramétricas de curvas A menudo nos encontramos con curvas que no son la gráfica de ninguna función. Es decir, no se puede describir como el conjunto de puntos (x, f (x)), siendo f una función. Muchas veces habría que hablar de una «colección» de gráficas de funciones.
Esta curva no puede ser asociada a ninguna función. Para describir curvas en general, y evitar los inconvenientes antes citados, es conveniente recurrir al concepto físico de curva como la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Así, en cada instante t, la partícula se encuentra situada en un cierto punto del plano que viene determinado por sus dos coordenadas (x, y). Y para indicar que estas coordenadas dependen del tiempo t, las expresamos de esta manera:
x = u (t ) Ecuaciones paramétricas y = v(t )
u y v son funciones. t ∈ [t1, t2] Y decimos que:
x = u (t ) y = v(t ) son las ecuaciones paramétricas de la curva. O que u y v representan paramétricamente a la curva en función del parámetro t. La curva así expresada estará formada por todos los puntos (x, y) con x = u(t) e y = v(t), donde t recorre un cierto conjunto.
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Hay que observar que cualquier curva expresada explícitamente, es decir, y = f(x), puede describirse paramétricamente. En efecto, sólo hay que hacer x = t, y = f(t). Por ejemplo, la curva y = ex – x puede definirse como:
x = t t y = e −t Es evidente que todo lo que se ha dicho sobre las ecuaciones paramétricas de curvas, es válido también si se trabaja con coordenadas polares. He aquí un ejemplo de curva dada mediante ecuaciones paramétricas.
x = 2 cos t y = −5sen t Son las ecuaciones paramétricas de la elipse En efecto:
x2 y 2 + =1 2 2 52
x 2 y 2 (2 cos t ) 2 (−5sen t ) 2 22 52 2 + = + = cos + sen 2 t = cos 2 t + sen 2 t = 1 t 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 Otra manera de definir curvas, muy similar a las ecuaciones paramétricas, es mediante funciones vectoriales. Una función de la forma:
r r r(t) = f(t) · i + g(t) · j
se le llama vectorial, donde f y g son funciones r función r r reales de r parámetro t, y los vectores i y j son los vectores de la base canónica, i = (1, 0) y j = (0, 1). De esta manera, una curva queda descrita por el punto final del vector de posición de la función r(t).
Curva descrita mediante la función vectorial r(t). Por último, hay que señalar que en el próximo tema se estudiará otra bella manera de definir curvas: mediante envolventes. A continuación vamos a profundizar sobre algunas curvas notables que, aunque no aparecen normalmente en los libros de texto, su importancia y belleza las hacen dignas de estudio.
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3 Curvas de especial interés
3.1. Espiral de Arquímedes Esta curva, estudiada por Arquímedes, está generada por un punto que se mueve uniformemente a lo largo de una semirrecta, que a su vez gira uniformemente en torno a su extremo. Si v es la velocidad del punto al recorrer la semirrecta, y α es la velocidad angular del giro de la semirrecta, entonces las ecuaciones paramétricas de la espiral en función del tiempo t y de las velocidades v y α, expresadas en coordenadas polares, serán:
Movimiento lineal : ρ = v ⋅ t Ecuaciones paramétricas de la espiral Movimiento circular : θ = α ⋅ t Y si despejamos t en las dos ecuaciones, obtenemos:
ρ ρ θ v v ⇒ = ⇒ ρ = ⋅θ θ v α α t= α v Como v y α son constantes, llamamos a = , y así concluimos α t=
ρ = a · θ Ecuación polar de la espiral de Arquímedes.
Espiral de Arquímedes
Además de la indudable belleza de la espiral y de que aparece en multitud de formas naturales: conchas de caracoles, flores, galaxias, etc., la espiral de Arquímedes tiene una importante propiedad matemática. Esta propiedad es la de trisecar ángulos. Veamos cómo se procede:
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Trisección de un ángulo mediante la espiral
Sea α el ángulo que queremos trisecar. Situamos su vértice O sobre el extremo de la espiral y uno de sus lados sobre la semirrecta que gira. Sea A el punto de intersección del segundo lado de α con la espiral, y dividamos el segmento OA en tres partes iguales. Así obtenemos los puntos B y C tales que OB = BC = CA. Con centro en O y radios OB y OC , trazamos circunferencias que cortarán a la espiral en los puntos R y S. Las semirrectas OR y OS trisecan el ángulo. La justificación es evidente: como ρ = a · θ, esto quiere decir que la distancia al ρ origen ρ y el ángulo girado θ, son proporcionales: = a θ Y, por tanto: OB =OR
α ⋅ OB α ⋅ OB α OA OR ↑ a= = ⇒ β= = = α β 3 OA OB El inconveniente de este método es que la espiral no se puede construir empleando sólo regla y compás. No obstante, se puede aplicar para dividir un ángulo en cualquier número de partes.
3.2. La cicloide La cicloide es una curva plana que se define como la trayectoria que sigue un punto de una circunferencia al girar sin deslizarse sobre una recta.
La cicloide es una de las curvas más famosas de las matemáticas. Sus propiedades y relaciones son asombrosas. Por ejemplo, la longitud de un arco de cicloide es 8 veces el radio de la circunferencia giratoria; el área encerrada bajo un arco de cicloide es de tres veces el área del círculo que la engendra. Sus propiedades físicas son interesantísimas: sobre un arco de cicloide, un objeto abandonado a su propio
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peso llegará al punto más bajo exactamente en el mismo tiempo, independientemente del punto de partida; la curva de descenso más rápido entre dos puntos de un plano vertical es una cicloide. También se emplea la cicloide para construir relojes de péndulo. Acabamos este breve recorrido diciendo que el estudio de la cicloide y sus propiedades supuso el nacimiento del cálculo de variaciones a finales del siglo xvii. XX Propiedades de la cicloide
Las bolas A y B llegarán a V en el mismo tiempo.
Si unimos A y B con varios caminos, el de descenso de tiempo mínimo, será la cicloide. Vamos ahora a encontrar las ecuaciones paramétricas de la cicloide. Para esto, elegimos los ejes de coordenadas de esta manera: el eje X será la recta sobre la que gira la circunferencia, y el eje vertical Y va a ser la perpendicular a la recta base en el momento que el punto móvil toca a la recta. Sea P este punto inicial cuando el centro de la circunferencia está en C; y sea P’ el lugar que ocupa P cuando la circunferencia ha girado α grados y su centro está en C’. Vamos a obtener las ecuaciones paramétricas de la cicloide en función del radio r de la circunferencia, y del ángulo girado α. Así pues, hay que calcular las coordenadas (x, y) del punto P’. Como la circunferencia no resbala, entonces: arco P’A = OA.
P ′D sen α = r ⇒ P′D = r ⋅ sen α ⇒ cos α = C ′D ⇒ C ′D = r ⋅ cos α r
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y con una sencilla regla de tres:
J
1 radián —————— arco = r ⇒ P’A= r α α radianes ————— arco = P’A Y ya estamos en condiciones de obtener las ecuaciones paramétricas de la cicloide: x = OB = OA – BA = P’A – P’D = rα – r sen α y = DA = C’A – C’D = r – r cos α x = r α – r sen α y = r – r cos α
Ecuación de la cicloide
3.3. La cardioide Esta bella curva en forma de corazón se define como la trayectoria que sigue un punto de una circunferencia cuando ésta rueda sin deslizarse por el exterior de otra circunferencia de igual radio. Vamos a encontrar las ecuaciones de la cardioide en coordenadas polares. Sólo hay que poner cuidado al elegir el polo y el eje.
OP0 es el eje polar. O es el polo. r es el radio de las circunferencias de centro C (fijo) y C0, C1 (móviles). θ es el ángulo girado por el punto que define la cardioide, es decir, θ = P0OP1.
Sea P0 el punto de partida y sea C el centro de la circunferencia fija. El eje lo tomamos uniendo los puntos C, C0 y P0. De esta manera la distancia de O a P0 será de 4r. Vamos a calcular las coordenadas ( ρ, θ) del punto P1. Como la circunferencia fija y la móvil tienen el mismo radio r, entonces P OP = C CC . Así pues, θ es el
ángulo girado y ρ lo calculamos de este modo:
0
1
0
1
ρ = OP1 = OB + BP1
es recto, entonces cos θ = OB = OB ⇒ OB = 2r ⋅ cos θ Como OBA OA 2r
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Como CC1 y BP1 son paralelas, y BC = P1C1 = r, entonces se forma un paralelogramo, y BP1 = CC1 = CH + C1H = r + r = 2r y ya obtenemos ρ = OB + BP1 = 2r cos θ + 2r = 2r (1 + cos θ), es decir: ρ = 2r (1 + cos θ)
Ecuación de la cardioide.
La cardioide Una cardioide op-art
3.4. Otras curvas Otras curvas, también bellas, y muy empleadas en el campo del diseño, son la astroide y la nefroide. Veamos sus definiciones, ecuaciones y gráficas. XX Astroide Es el lugar geométrico descrito por un punto P de una circunferencia cuando ésta rueda sin deslizarse por el interior de otra circunferencia. Además, el radio de la circunferencia fija, debe ser 4 veces el de la móvil.
R = 4r
x = R cos3θ y = R sen3θ x2/3 + y2/3 = R2/3
Ecuaciones paramétricas.
Ecuación implícita cartesiana.
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Trazado de la astroide, como envolvente de un segmento móvil.
XX Nefroide Se define de manera análoga a la cardioide, pero imponiendo que el radio de la circunferencia fija sea el doble que el de la móvil. Debe su nombre a que tiene forma de riñón.
R = 2r
x = 3r cos θ – r cos 3θ y = 3r sen θ – r sen 3θ Ecuaciones paramétricas.
La nefroide.
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4 Sistemas de coordenadas en el espacio Para localizar puntos en el espacio vamos a emplear tres coordenadas y los sistemas que vamos a estudiar aquí van a ser tres: de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. Como en el plano, el uso de unas y otras depende de la curva o superficie a estudiar. El estudio de estos sistemas en el espacio nos va a resultar muy sencillo, una vez que ya hemos abordado el caso plano.
4.1. Sistema de coordenadas cartesianas Este sistema se construye eligiendo tres rectas que se corten en un punto O llamado origen. Estas tres rectas deben estar orientadas (positivo y negativo) y se suelen tomar perpendiculares entre sí. Un punto P queda determinado por tres coordenadas x, y, z. Es decir, P = (x, y, z). Veamos cuáles son estas coordenadas:
x = distancia de P al plano YOZ. y = distancia de P al plano XOZ. z = distancia de P al plano XOY.
= ZOX =π XOY = YOZ 2 OX, OY, OZ son los ejes coordenados.
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XX Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares Al igual que en el plano, a veces conviene cambiar de ejes. En el espacio las fórmulas del cambio se complican bastante y son el resultado de aplicar una traslación y un giro.
4.2. Sistema de coordenadas cilíndricas Las coordenadas cilíndricas combinan las coordenadas polares del plano con la coordenada z de las coordenadas rectangulares del espacio. Las coordenadas cilíndricas de un punto P del espacio, son P = (ρ, θ, z), donde (ρ, θ) son las coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano XY (puede elegirse otro plano, pero es éste el que normalmente se emplea), y z es la distancia de P a dicho plano. Veamos un dibujo que lo aclara todo:
(ρ, θ) son las coordenadas polares de Q en el plano XY. z es la distancia de P a Q. Obsérvese que, al igual que con las polares, un punto puede tener ternas distintas que lo definan. Para evitar esto se suele tomar θ variando entre 0 y 2π. Los puntos del espacio para los cuales ρ = a (a constante), equidistan del eje Z y, por tanto, pertenecen a un cilindro circular centrado en el eje Z, y de radio a. De aquí el nombre de cilíndricas.
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Ecuación del cilindro C de eje Z y radio a en coordenadas cilíndricas: ρ=a
{
C = ( ρ, θ, z ) ∈ 3 : ρ = a
}
La relación entre las coordenadas cartesianas rectangulares y las cilíndricas se obtiene de modo similar al caso plano entre cartesianas y polares. Fijémonos en el siguiente dibujo:
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La relación entre las coordenadas cilíndricas (ρ, θ, z) y las cartesianas (x, y, z) del punto P son: x = ρ cos θ y = ρ sen θ Paso de cilíndricas a cartesianas. z=z
x2 + y 2 y Paso de cartesianas a cilíndricas. θ = arctg x ρ=
z=z
Este sistema de coordenadas cilíndricas se emplea en problemas de flujo de fluidos y en otros de simetría axial.
4.3. Sistema de coordenadas esféricas Este tercer sistema de coordenadas espacial se denomina de coordenadas esféricas o polares. Se emplea en cálculos astronómicos, para localización de estrellas, estudio de ondas esféricas y en casi todo trabajo que tenga que ver con la esfera. Este sistema se construye eligiendo un plano (suele ser el XY), y fijando en él un sistema de coordenadas polares. Y a partir del polo O, se levanta un eje (suele ser el eje Z) perpendicular al plano fijado. De esta manera, un punto P queda determinado por sus tres coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) que indican: ρ es la distancia de P al polo O. θ es el ángulo que debe girar OX hasta llegar al plano ZOP. φ es el ángulo ZOP que forma el eje Z con OP.
(ρ, θ, φ) son las coordenadas esféricas de P. θ varía entre 0 y 2π. φ varía entre 0 y π.
θ se denomina longitud. φ se denomina colatitud.
1 2 φ2 se denomina latitud. π
Los puntos del espacio para los que ρ = a (a constante), equidistan del polo O, es decir, forman una esfera de centro O y radio a.
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Ecuación de la esfera E de centro O y radio a en coordenadas esféricas: ρ=a
{
E ( ρ, θ, φ) ∈ 3 : ρ = a
}
Vamos a establecer ahora las fórmulas que relacionan las coordenadas esféricas con las cartesianas rectangulares.
Como el triángulo OCP es rectángulo, tenemos:
CO z cos φ = PO = ρ ⇒ z = ρ ⋅ cos φ sen φ = CP = OQ ⇒ OQ = ρ ⋅ sen φ PO ρ
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En el plano XY tenemos el triángulo rectángulo OAQ.
OA x cos θ = OQ = ρ ⋅ sen φ ⇒ x = ρ cos θ ⋅ sen φ y sen θ = AQ = ⇒ y = ρ sen θ ⋅ sen nφ OQ ρ ⋅ sen φ
Es decir: x = ρ cos θ · sen φ y = ρ sen θ · sen φ z = ρ · cos φ
Paso de esféricas a cartesianas.
Y para realizar el paso inverso, operamos así:
AQ y y tg θ = OA = x ⇒ θ = arctg x 2 2 2 2 OQ = OA + AQ = x + y
2 2 2 2 2 0 P = ρ = OQ + PQ = x + y + z
CP OQ tg φ = = = CO z
x2 + y 2 ⇒ φ = arctg z
x2 + y 2 z
y así concluimos:
x2 + y 2 + z 2 y θ = arctg x 2 x + y2 φ = arctg z ρ=
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Paso de cartesianas a esféricas.
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5 Curvas en el espacio Dentro del espacio, las curvas planas tienen ecuaciones que se obtienen sin más que añadir la imposición de una coordenada fija. Con un ejemplo se ve bastante claro: las ecuaciones de una circunferencia de radio 2 contenida en un plano paralelo a XY a una distancia de 5, será:
Supongamos que (0, 0, 5) es el centro de la circunferencia. Ecuación de la circunferencia: x2 + y2 = 22 z=5 Es decir, la circunferencia está contenida en el plano z = 5. Así pues, en el espacio adquieren especial importancia las curvas que no están contenidas en ningún plano: curvas alabeadas. Dentro de estas curvas no planas destaca la hélice. A la hora de expresar curvas mediante ecuaciones, se hace de modo similar al plano: XX Ecuaciones paramétricas x = u (t) y = v (t) u, v, w funciones del parámetro t. z = w (t) XX Ecuaciones implícitas f1 (x, y, z) = 0 f2 (x, y, z) = 0 En este caso la curva aparece como la intersección de dos superficies.
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XX Ecuación vectorial r r r r r r rr (t) = f (t) · ir+ g (t) · j + hr (t) · k , siendo i , j , k los vectores de la base canónica: i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).
5.1. La hélice La hélice es la curva descrita por un punto móvil que gira alrededor de un eje, con velocidad de rotación constante, al mismo tiempo que se traslada paralelamente al eje con velocidad constante. Trazadas sobre una superficie cilíndrica tienen la importante propiedad de cortar con ángulo fijo a las generatrices del cilindro. Razonando de modo similar a la espiral, tenemos que: v velocidad de traslación. α velocidad angular del giro Y las ecuaciones paramétricas en función del tiempo t, serán: x = r cos α t y = r · sen α t z=v·t siendo r el radio de giro o del cilindro.
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Veamos cómo se obtienen dichas ecuaciones. En el plano XY se observa que el ángulo recorrido θ será:
θ = α · t (movimiento circular)
OA cos α t = r = PA sen α t = r =
x ⇒ x = r ⋅ cos α ⋅ t r y ⇒ y = r ⋅ sen α ⋅ t r
Y, como la velocidad lineal de traslación es v, la coordenada z indicará el espacio recorrido en función del tiempo, y así z = v · t.
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6 Superficies en el espacio Intuitivamente se dice que una figura del espacio es una superficie si, para cada punto de dicha figura, existe un entorno en dicha figura, que tenga forma de plano. Muchas de las superficies del espacio se definen mediante lugares geométricos y otras se obtienen mediante revoluciones de figuras planas alrededor de cierto eje. A continuación damos una serie de ejemplos de las superficies más comunes. Pero antes recordaremos cuál es la ecuación de la superficie más simple: el plano. La ecuación de un plano en el espacio viene dada por: P ≡ ax + by + cz + d = 0 y el plano P estará formado por todos los puntos (x, y, z) que satisfacen dicha ecuación.
6.1. Cuádricas Se dice que una superficie es una cuádrica si es la gráfica de una ecuación de segundo grado de la forma siguiente: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 He aquí algunas de las cuádricas más importantes: XX Esfera Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de otro fijo. O, también, como la figura de revolución engendrada al girar una circunferencia en torno a un diámetro suyo.
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 Ecuación de la esfera de radio R y centro C = (a, b, c).
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XX Superficie cilíndrica Es la superficie engendrada por las rectas que tienen una dirección fija y se apoyan sobre una curva que se llama directriz del cilindro. He aquí el caso de tomar como directriz una circunferencia. Ecuación de la directriz: x2 + y2 = r2 y como z toma todos los valores. x2 + y2 = r2
Ecuación del cilindro.
En coordenadas cilíndricas ya vimos que la ecuación es: ρ = r. De igual modo, la ecuación de un cilindro parabólico sería y = x2. Otras superficies importantes son el paraboloide, el elipsoide y el cono. XX Paraboloide hiperbólico
Corta a los planos paralelos a XY según hipérbolas. Corta a los planos paralelos a YZ y XZ según parábolas. Ecuación:
x2 y 2 = = 2 pz a 2 b2
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XX Elipsoide
x2 y 2 z 2 + − =1 a 2 b2 c2
Es la superficie de revolución engendrada por una elipse al girar sobre uno de sus ejes. XX Cono
x2 y 2 z 2 + − =1 a 2 b2 c2
Acabamos este apartado ofreciendo una lista completa de las ecuaciones reducidas de las cuádricas:
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1.
x2 y 2 z 2 + + −1 = 0 a 2 b2 c2
Elipsoide.
2.
x2 y 2 z 2 + + +1 = 0 a 2 b2 c2
Elipsoide imaginario.
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matemáticas
3.
x2 y 2 z 2 + − −1 = 0 a 2 b2 c2
Hiperboloide de una hoja.
4.
x2 y 2 z 2 + − +1 = 0 a 2 b2 c2
Hiperboloide de dos hojas.
5.
x2 y 2 z 2 + − = 0 a 2 b2 c2
Cono de segundo orden.
6.
x2 y 2 z 2 + + = 0 a 2 b2 c2
Cono de segundo orden imaginario.
7.
x2 y 2 + − 2 pz = 0 a 2 b2
Paraboloide elíptico.
x2 y 2 8. 2 − 2 − 2 pz = 0 a b
Paraboloide hiperbólico.
9.
x2 y 2 + − 1 = 0 a 2 b2
Cilindro elíptico.
10.
x2 y 2 + + 1 = 0 a 2 b2
Cilindro elíptico imaginario.
11.
x2 y 2 + = 0 a 2 b2
Par de planos imaginarios que se cortan.
12.
x2 y 2 − − 1 = 0 a 2 b2
Cilindro hiperbólico.
13.
x2 y 2 − = 0 a 2 b2
Par de planos que se cortan.
14. y2 – 2px = 0
Cilindro parabólico.
15. x2 – a2 = 0
Par de planos paralelos.
16. x2 + a2 = 0
Par de planos paralelos imaginarios.
17. x2 = 0
Par de planos coincidentes.
6.2. Superficies de revolución Si una curva, definida como la gráfica de cierta función, gira alrededor de uno de los ejes de coordenadas, entonces la ecuación resultante determina una superficie. A estas superficies así formadas se les llama superficies de revolución y a la función que gira se le suele llamar función radio. Las superficies de revolución tienen una de las formas siguientes: 1. Si gira en torno al eje X: y2 + z2 = [r(x)]2
r(x) es la función radio.
2. Si gira en torno al eje Y: x2 + z2 = [r(y)]2
r(y) es la función radio.
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3. Si gira en torno al eje Z: x2 + y2 = [r(z)]2
r(z) es la función radio.
Por ejemplo, la superficie de revolución engendrada al girar la gráfica de y = 1/x alrededor del eje X, tendrá la siguiente ecuación: 2
1 1 y2 + z2 = [r(x)]2 ⇒ y2 + z2 = ; y = es la función radio. x x
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matemáticas
BIBLIOGRAFÍA BOYER, C.: Historia de la matemática. Alianza Editorial. Madrid, 1986. FERNÁNDEZ VIÑA, J.A.: Ejercicios y complementos de Análisis Matemático II. Ed. Tecnos. Madrid, 1986. GARCÍA DEL VILLAR, J.: Curvas planas notables. Publicaciones Cetum. Sevilla, 1971. GARDNER, M.: Ruedas, Vidas y otras diversiones matemáticas. Ed. Labor. LARSON-HOSTETLER, R. y R.: Cálculo y Geometría Analítica. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1989. NEGRO, A.: Curso de Matemáticas. Orientación universitaria. Ed. Alhambra. Madrid, 1978. SPIVAK, M.: Calculus. Ed. Reverté. Barcelona, 1991.
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matemáticas
RESUMEN Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio. Ecuaciones de curvas y superficies. 1. 1 Sistemas de coordenadas en el plano
1.1. Sistemas de coordenadas cartesianas Invención: Benoulli (+Descartes)Formado por dos rectas secantes orientadas (ejes) y su punto de intersección (origen). P(x, y) donde x, y denotan la longitud de los lados del paralelogramo que forma el punto con los ejes. Puede ser oblicuo o rectangular. 1.1.1. Cambio del sistema de coordenadas cartesianas
1.2. Sistema de coordenadas polares Invención: Newton. Formado por un punto (polo) y una recta orientada que lo posea (eje polar). P(ρ,θ) donde ρ es la distancia del punto al polo y θ el ángulo que debe girar el eje polar hasta llegar al punto. 1.2.1. Relación entre las coordenadas polares y cartesianas ρ = x2 + y 2 x = ρ cos θ y y = ρ senθ θ = arctg x
1.2.2. Algunas curvas elementales en coordenadas polares Recta: ρ =
d (O, r ) 2 2 2 . Circunferencia: ρ + ρ0 − 2 ρρ0 cos(θ0 − θ ) = r cos(α − θ )
2. 2 Distintas maneras de definir curvas en el plano Lugares geométricos, trayectorias, funciones, ecuaciones...
2.1. Ecuaciones paramétricas de curvas r
r
Ecuaciones paramétricas y forma vectorial: r (t ) = xi + yj
3. 3 Curvas de especial interés
3.1. Espiral de Arquímedes Polares: ρ = aθ. Se empleó en problemas clásicos como la trisección del ángulo.
3.2. La cicloide x = rα − rsenα
Ecuaciones paramétricas: y = r − r cos α
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3.3. La cardioide Ecuación polar: ρ = 2r(1 + cos θ )
3.4. Otras curvas x = r cos3 θ x = 3r cos θ − r cos 3θ Paramétricas (Astroide) (Nefroide) 3 y = rsen θ
y = 3rsenθ − rsen3θ
4. 4 Sistemas de coordenadas en el espacio
4.1. Sistema de coordenadas cartesianas Análogo al plano, donde las coordenadas representan las longitudes de los lados del paralelepípedo que forma el punto con los ejes.
4.2. Sistema de coordenadas cilíndricas P(ρ, θ, z) con (ρ, θ) polares de la proyección del punto sobre un plano, z distancia del punto al plano. Cambios de coordenadas: x = ρ cos θ y = ρ senθ z = z
ρ = x2 + y 2 y θ = arctg x z = z
4.3. Sistema de coordenadas esféricas Se construye fijando un plano con coordenadas polares y levantando desde el polo un eje perpendicular al plano fijado. P(ρ, θ, Φ) donde ρ es la distancia del punto al polo, θes el ángulo que debe girar un eje del plano hasta la proyección del punto sobre el plano y Φ el ángulo que forma el eje levantado con el vector OP. Cambios de coordenadas: ρ = x2 + y 2 + z 2 x = ρ cos θ senΦ y y = ρ senθ cos Φ θ = arctg x z = ρ cos Φ x2 + y 2 Φ = arctg z
5. 5 Curvas en el espacio Ecuaciones paramétricas e implícitas.
5.1. La hélice En paramétricas: x = r cos α t y = rsenα t z = rt
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6. 6 Superficies en el espacio Definidas, por ejemplo, por lugares geométricos o por revolución de figuras planas (radio) alrededor de un eje.
6.1. Cuádricas Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 . Ejemplos.
6.2. Superficies de revolución Si llamamos r al radio, las ecuaciones según el eje de revolución son: OX : y 2 + z 2 = r ( x) 2 2 2 2 OY : x + z = r ( y ) 2 2 2 OZ : x + y = r ( z )
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