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• Valentina Romero

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Curso ICIV-4403 Rigidez de elementos de concreto reforzado

CONCRETO Ensayos han indicado que la forma de la curva esfuerzo-deformación antes del esfuerzo máximo depende de la resistencia del concreto. Manifiesta comportamiento no lineal aún a niveles bajos de esfuerzo. Desde hace bastante tiempo se ha generalizado el uso de una parábola de segundo orden para describir la relación esfuerzo-deformación en este rango. fc esfuerzo (kg/cm²)

tangente inicial Etan tangente a 20% de la resistencia última

f c′

1 E 1 Ec 1

resistencia última secante por 45% de la resistencia última

0.45fc′

0.20fc′

0.0

0.001

0.002 0.003 0.004 , deformación unitaria

0.005

La relación mostrada se obtiene generalmente en ensayos de cilindros. L. E. García y J. Ramírez

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Curso ICIV-4403 Rigidez de elementos de concreto reforzado

La relación desarrollada por Hognestad es un ejemplo de aproximación usando una parábola de segundo grado para el caso de esfuerzos inducidos por flexión. Esta relación fue desarrollada utilizando el espécimen mostrado abajo. Eje neutro

Gato Hidráulico Deformación

Esfuerzo

El esfuerzo máximo a compresión, f c′ , que se alcanza en un elemento a flexión puede diferir de la resistencia obtenida de cilindros debido al tamaño y forma de la zona comprimida. fc

fc

⎡ 2ε ⎛ε c − ⎜⎜ c = f c′′ ⎢ ⎢ εo ⎝ εo ⎣

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎛ ε − ε ⎞⎤ fc = fc′′⎢1 − 0.15⎜⎜ c o ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ ε u − ε o ⎠ ⎥⎦

f c′′ = 0 .85 f c′

0 .85 f c′′

εo L. E. García y J. Ramírez

εu -13-

εc 9/2/2004

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Comentarios adicionales: (a) El trabajo de Hognestad sirvió para definir la deformación unitaria máxima útil del concreto empleada por el ACI como, εcu, de 0.003. (b) La forma de la rama descendente depende de la deformación unitaria máxima útil que se suponga. El trabajo de Hognestad abarca básicamente concreto no confinado. (c) El trabajo de Hognestad también sirvió como base a Whitney para proponer su bloque equivalente de esfuerzos, adoptado después por el ACI..

Aproximación de Whitney (aplicable solamente para ε cu = 0 .003 ) b

0 .85 f c′

ε cu = 0 .003

c

β1c

Eje neutro

Cc = 0.85β1f c′cb

d

εs

L. E. García y J. Ramírez

β1c / 2

fs

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Ts = A s f s

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El Eurocode-2, el cual cubre concreto reforzado define dos curvas esfuerzo deformación, una para análisis y otra para diseño de las secciones. Ambas son aplicables a concreto no confinado. En ambos casos se define una curva esfuerzo deformación parabólica-lineal y la deformación unitaria máxima, εcu, es variable (entre 0.0036 y 0.0028) dependiendo de la resistencia a compresión del concreto para el caso de análisis y es 0.0035 para el diseño de las secciones. fc

0.002

L. E. García y J. Ramírez

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0.0035

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Curva esfuerzo-deformación de Kent y Park Referencia: Kent, D.C., and R. Park, “Flexural Members with Confined Concrete,” ASCE Journal Vol. 97, St7, July 1971. Esta es la relación esfuerzo-deformación más usada actualmente para concreto confinado en elementos sometidos a flexión. A pesar de que los especimenes utilizados en el desarrollo de esta relación estaban confinados por estribos rectangulares de confinamiento, su aplicación en secciones confinadas con espirales es factible. fc f c′

B Concreto no confinado Concreto confinado

0 .50 f c′

ε 50h θ

0 .20 f c′

D

C

A

0 .002

L. E. García y J. Ramírez

ε 50u

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ε 50c

ε 20c

εc

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La relación de Kent y Park tiene tres regiones bien definidas que se marcan con: A-B, B-C y C-D.

Región A-B, ε c ≤ 0 .002 2⎤ ⎡ 2ε ⎛ εc ⎞ c f c = f c′ ⎢ −⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ 0.002 ⎝ 0.002 ⎠ ⎥⎦ fc f c′

B Concreto no confinado Concreto confinado

0 .50 f c′

ε 50h θ

0 .20 f c′

C

D

A

0 .002

ε 50u

ε 50c

ε 20c

εc

La parábola de segundo grado indica que el acero de confinamiento no tiene influencia en la forma de la curva en este rango. Solo empieza a afectar para deformaciones unitarias mayores de 0.002. Por lo tanto su forma es igual a la de concreto no confinado. El esfuerzo máximo alcanzado es igual al de un cilindro en este modelo. L. E. García y J. Ramírez

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Región B-C,

0 .002 < ε c ≤ ε 20 c

f c = f c′ [1 − Z(ε c − 0.002 )] fc B

f c′

Concreto no confinado Concrete confinado

0 .50 f c′

ε 50h θ

0 .20 f c′

D

C

A

0 .002

ε 50u

ε 50c

ε 20c

εc

Donde:

Z=

ε 50u

0.5 ε 50u + ε 50h

Tanθ = − 0.002 f c′

η + 0.002fc′ = fc′ − β

L. E. García y J. Ramírez

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ε 50h

3 b′′ = ρs 4 sh

ε 20c

0.8 = + 0.002 Z

Donde:

fc′ = resistencia a la compresión del concreto medida en cilindros de 15 por 30 cm.

ρ s = cuantía

b ′′

volumétrica de refuerzo transversal. Relación del volumen de refuerzo transversal al volumen de concreto confinado por este refuerzo transversal, midiendo el volumen de concreto hasta la parte exterior del estribo de confinamiento. (Véase la nota para el caso de estribos múltiples).

= ancho del núcleo confinado, medido fuera-fuera de los estribos.

s h = espaciamiento centro a centro de los estribos.

L. E. García y J. Ramírez

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Los parámetros α y β toman los siguientes valores dependiendo del sistema de unidades:

η β

MPa 0.021

kgf/cm2 0.21

psi 3

7

70

1000

Nota: Para el caso de estribos múltiples, Park y Paulay recomiendan que se tome uno solo de los estribos, con b” correspondiendo a solo uno de los estribos, como muestra la figura siguiente. Esto es más conservador que tomar el volumen total de acero de los diferentes estribos y la totalidad del núcleo confinado. b”

Zona confinada

Cuando se utilicen ganchos suplementarios debe utilizarse criterio en fijar la región confinada y la cantidad de refuerzo de confinamiento que entra en juego. L. E. García y J. Ramírez

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Región C-D, ε c

> ε 20 c f c = 0.20f c′

Para concreto no confinado en esta región:

fc = 0 La fuerza interna de compresión resultante, Cc, se calcula así:

C c = α f c′ bkd La resultante está localizada a una distancia γkd de la fibra extrema en compresión.

b

fc

εc

γ kd C c = α f c′ b kd

kd h

d

Ts = A s f s

εs deformación unitaria

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fs esfuerzos

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fuerzas

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El área bajo la curva esfuerzo-deformación para un nivel de deformación unitaria dada en la fibra extrema en compresión, εc, se puede calcular por medio de la siguiente ecuación, la cual se utiliza después para obtener α: εc

∫

Area = fc dε = αfc′ ε c 0

εc

∫ f dε c

α=

0

fc′ ε c

Usando la definición de primer momento de área: εc

εc

∫ f εdε = (1 − γ )ε ∫ f dε c

c

0

c

0

Se obtiene γ:

L. E. García y J. Ramírez

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εc

∫ f εdε

εc

c

0

γ =1−

εc

∫

ε c f c dε

∫ f εdε c

=1−

0

αfc′ ε c2

0

Por lo tanto, los valores de α y γ son una función de la deformación unitaria en la fibra extrema en compresión, εc. Resolviendo las integrales anteriores utilizando la definición ε0 = 0.002, se obtiene:

y

Para ε c ≤ 0.002 : εc ε c2 − α= ε 0 3 ⋅ ε 02 γ=

4 ⋅ ε0 − εc 12 ⋅ ε 0 − 4 ⋅ ε c

L. E. García y J. Ramírez

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Para 0.002 ≤ ε c ≤ ε 20c : ε 20c =

0.8 + 0.002 Z

2 ⎞ ⎛ ε0 ε ε 0 c α =1− + Z ⋅ ⎜ ε0 − − ⎟ ⎜ 3 ⋅ εc 2 ⋅ ε c 2 ⎟⎠ ⎝

3 ⎞⎤ ⎛ ε0 εc ε 02 ε 1 ⎡1 0 ⎟⎥ γ =1− ⋅⎢ − + Z⋅⎜ − − 2 2 ⎜ 2 3 6 ⋅ ε c ⎟⎠ ⎥⎦ α ⎢⎣ 2 12 ⋅ ε c ⎝

Para ε c ≥ ε 20c y concreto no confinado: α=

1 ⎛ 2 ⋅ ε 0 0.48 ⎞ + ⎜ ⎟ εc ⎝ 3 Z ⎠

⎡ 5 ⋅ ε 02 0.48 ⋅ ε 0 0.448 ⎤ γ =1− + + ⎥ 2 ⎢ 12 Z α ⋅ ε c ⎢⎣ 3 ⋅ Z 2 ⎥⎦ 1

L. E. García y J. Ramírez

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Para ε c ≥ ε 20c y concreto confinado: α=

1.4 ⋅ ε 0 0.32 + + 0 .2 3 ⋅ εc Z ⋅ εc

⎡ 3.8 ⋅ ε 02 0.32 ⋅ ε 0 0.256 ⎤ 2 γ =1− + + + 0.1 ⋅ ε c ⎥ 2 ⎢ 12 2 Z α ⋅ ε c ⎢⎣ 3⋅Z ⎥⎦ 1

Usando estas ecuaciones se obtienen valores de α y γ, para concreto confinado y no confinado, todos en función del valor de Z. Las tablas siguientes muestran estos valores.

L. E. García y J. Ramírez

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CONCRETO NO CONFINADO

εc 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0.0050 0.0055 0.0060 0.0065 0.0070 0.0075 0.0080 0.0085 0.0090 0.0095 0.0100 0.0105 0.0110 0.0115 0.0120

L. E. García y J. Ramírez

10

30

50

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.733 0.776 0.806 0.828 0.845 0.858 0.868 0.876 0.882 0.887 0.891 0.894 0.897 0.899 0.900 0.901 0.902 0.903 0.903 0.903

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.732 0.773 0.800 0.818 0.831 0.840 0.845 0.849 0.851 0.851 0.851 0.849 0.847 0.844 0.841 0.837 0.833 0.829 0.824 0.819

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.731 0.769 0.793 0.808 0.817 0.822 0.823 0.822 0.820 0.815 0.810 0.804 0.797 0.790 0.782 0.773 0.764 0.755 0.746 0.736

-26-

Valores de α Z 70 100 0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.730 0.766 0.787 0.798 0.803 0.804 0.801 0.796 0.788 0.780 0.770 0.759 0.748 0.735 0.723 0.709 0.696 0.682 0.667 0.653

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.728 0.761 0.777 0.783 0.782 0.777 0.767 0.756 0.742 0.726 0.709 0.692 0.673 0.654 0.634 0.613 0.584 0.558 0.533 0.511

140

200

300

400

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.726 0.754 0.765 0.763 0.755 0.741 0.723 0.702 0.679 0.655 0.629 0.595 0.560 0.529 0.501 0.476 0.454 0.433 0.414 0.397

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.723 0.744 0.745 0.733 0.713 0.687 0.656 0.622 0.574 0.533 0.498 0.467 0.439 0.415 0.393 0.373 0.356 0.339 0.325 0.311

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.718 0.728 0.713 0.683 0.644 0.587 0.533 0.489 0.451 0.419 0.391 0.367 0.345 0.326 0.309 0.293 0.279 0.267 0.255 0.244

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.713 0.711 0.681 0.633 0.563 0.507 0.461 0.422 0.390 0.362 0.338 0.317 0.298 0.281 0.267 0.253 0.241 0.230 0.220 0.211

9/2/2004

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CONCRETO NO CONFINADO

εc 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0.0050 0.0055 0.0060 0.0065 0.0070 0.0075 0.0080 0.0085 0.0090 0.0095 0.0100 0.0105 0.0110 0.0115 0.0120

L. E. García y J. Ramírez

10

30

50

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.391 0.405 0.417 0.427 0.434 0.441 0.447 0.451 0.456 0.459 0.463 0.466 0.468 0.471 0.473 0.475 0.477 0.479 0.480 0.482

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.392 0.407 0.419 0.430 0.439 0.446 0.453 0.459 0.464 0.469 0.473 0.477 0.481 0.484 0.488 0.491 0.494 0.497 0.500 0.503

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.392 0.408 0.421 0.433 0.443 0.452 0.459 0.466 0.473 0.479 0.484 0.490 0.495 0.500 0.505 0.509 0.514 0.519 0.524 0.528

-27-

Valores de γ Z 70 100 0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.392 0.409 0.424 0.436 0.447 0.457 0.466 0.474 0.482 0.490 0.497 0.504 0.511 0.518 0.524 0.531 0.538 0.546 0.553 0.560

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.393 0.411 0.427 0.441 0.454 0.466 0.477 0.488 0.498 0.508 0.518 0.529 0.539 0.550 0.561 0.573 0.593 0.612 0.629 0.644

140

200

300

400

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.394 0.414 0.432 0.449 0.464 0.479 0.493 0.508 0.523 0.538 0.553 0.576 0.601 0.623 0.643 0.661 0.677 0.692 0.705 0.718

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.395 0.418 0.440 0.460 0.481 0.501 0.522 0.545 0.580 0.610 0.636 0.658 0.679 0.696 0.712 0.727 0.740 0.752 0.762 0.772

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.398 0.425 0.453 0.482 0.512 0.555 0.596 0.629 0.658 0.682 0.703 0.722 0.738 0.753 0.766 0.778 0.788 0.798 0.807 0.815

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.400 0.432 0.468 0.507 0.561 0.605 0.641 0.671 0.696 0.718 0.737 0.753 0.768 0.781 0.792 0.803 0.812 0.821 0.828 0.836

9/2/2004

Curso ICIV-4403 Rigidez de elementos de concreto reforzado

CONCRETO CONFINADO

εc 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0.0050 0.0055 0.0060 0.0065 0.0070 0.0075 0.0080 0.0085 0.0090 0.0095 0.0100 0.0105 0.0110 0.0115 0.0120

L. E. García y J. Ramírez

10

30

50

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.733 0.776 0.806 0.828 0.845 0.858 0.868 0.876 0.882 0.887 0.891 0.894 0.897 0.899 0.900 0.901 0.902 0.903 0.903 0.903

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.732 0.773 0.800 0.818 0.831 0.840 0.845 0.849 0.851 0.851 0.851 0.849 0.847 0.844 0.841 0.837 0.833 0.829 0.824 0.819

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.731 0.769 0.793 0.808 0.817 0.822 0.823 0.822 0.820 0.815 0.810 0.804 0.797 0.790 0.782 0.773 0.764 0.755 0.746 0.736

-28-

Valores de α Z 70 100 0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.730 0.766 0.787 0.798 0.803 0.804 0.801 0.796 0.788 0.780 0.770 0.759 0.748 0.735 0.723 0.709 0.696 0.682 0.667 0.653

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.728 0.761 0.777 0.783 0.782 0.777 0.767 0.756 0.742 0.726 0.709 0.692 0.673 0.654 0.634 0.613 0.594 0.576 0.559 0.544

140

200

300

400

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.726 0.754 0.765 0.763 0.755 0.741 0.723 0.702 0.679 0.655 0.629 0.602 0.579 0.558 0.539 0.522 0.507 0.493 0.480 0.468

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.723 0.744 0.745 0.733 0.713 0.687 0.656 0.622 0.590 0.562 0.538 0.517 0.498 0.481 0.467 0.453 0.441 0.430 0.420 0.411

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.718 0.728 0.713 0.683 0.644 0.600 0.564 0.533 0.508 0.486 0.467 0.450 0.435 0.422 0.411 0.400 0.390 0.382 0.374 0.367

0.000 0.229 0.417 0.563 0.667 0.713 0.711 0.681 0.633 0.585 0.547 0.515 0.489 0.467 0.448 0.431 0.417 0.404 0.393 0.382 0.373 0.365 0.358 0.351 0.344

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Curso ICIV-4403 Rigidez de elementos de concreto reforzado

CONCRETO CONFINADO

εc 0.0000 0.0005 0.0010 0.0015 0.0020 0.0025 0.0030 0.0035 0.0040 0.0045 0.0050 0.0055 0.0060 0.0065 0.0070 0.0075 0.0080 0.0085 0.0090 0.0095 0.0100 0.0105 0.0110 0.0115 0.0120

L. E. García y J. Ramírez

10

30

50

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.391 0.405 0.417 0.427 0.434 0.441 0.447 0.451 0.456 0.459 0.463 0.466 0.468 0.471 0.473 0.475 0.477 0.479 0.480 0.482

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.392 0.407 0.419 0.430 0.439 0.446 0.453 0.459 0.464 0.469 0.473 0.477 0.481 0.484 0.488 0.491 0.494 0.497 0.500 0.503

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.392 0.408 0.421 0.433 0.443 0.452 0.459 0.466 0.473 0.479 0.484 0.490 0.495 0.500 0.505 0.509 0.514 0.519 0.524 0.528

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Valores de γ Z 70 100 0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.392 0.409 0.424 0.436 0.447 0.457 0.466 0.474 0.482 0.490 0.497 0.504 0.511 0.518 0.524 0.531 0.538 0.546 0.553 0.560

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.393 0.411 0.427 0.441 0.454 0.466 0.477 0.488 0.498 0.508 0.518 0.529 0.539 0.550 0.561 0.573 0.584 0.594 0.602 0.610

140

200

300

400

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.394 0.414 0.432 0.449 0.464 0.479 0.493 0.508 0.523 0.538 0.553 0.570 0.583 0.595 0.605 0.613 0.620 0.626 0.631 0.635

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.395 0.418 0.440 0.460 0.481 0.501 0.522 0.545 0.566 0.582 0.596 0.607 0.616 0.623 0.629 0.634 0.638 0.641 0.643 0.645

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.398 0.425 0.453 0.482 0.512 0.543 0.568 0.586 0.600 0.611 0.620 0.627 0.632 0.636 0.639 0.641 0.643 0.644 0.645 0.645

0.333 0.341 0.350 0.361 0.375 0.400 0.432 0.468 0.507 0.542 0.568 0.588 0.602 0.613 0.622 0.628 0.633 0.636 0.638 0.640 0.641 0.642 0.642 0.642 0.641

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Por ejemplo, para concreto con f c′ = 28 MPa y ρs = 0, entonces:

ε50u =

0.21 + 0.002fc′ 0.21 + 0.002 ⋅ 28 = = 0.00367 fc′ − 7 28 − 7

ε 50h = 0 porque ρs = 0 Z=

0 .5 ε 50u + ε 50h − 0.002

=

0 .5 = 300 0.00367 + 0 − 0.002

Para una deformación unitaria en el concreto de εc = 0.003, de las tablas para concreto no confinado se obtienen los siguientes valores de α = 0.728 y γ = 0.425 El Código ACI 318, usando la aproximación de Whitney establece la resultante interna de compresión como C c = 0.85f c′ β1cb con β 1 = 0 .85 . Entonces, C c = 0.723f c′cb , muy cerca del valor de α de 0.728. El valore de γ es equivalente a β 1 2 = 0 .85 2 = 0 .425 .

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Para calcular los esfuerzos dentro de la zona confinada de una viga de 40 por 50 cm de sección, la cual tiene estribos de barra Nº 3 (3/8”), colocados con una separación de 10 cm y con un recubrimiento de concreto de 3.8 cm. b = 40 cm Estribos Nº 3 cada 10 cm

h = 50 cm

b ′′ = 40 − 3.8 × 2 = 32.4 cm

h ′′ = 42.4 cm

Se procede de la siguiente manera: El volumen de acero del estribo es igual a su longitud por el área de la barra: vol s = ( 32.4 × 2 + 42.4 × 2) × 0 .71 = 106 .2 cm 3

El volumen de concreto confinado es igual al área confinada por el estribo, medida fuerafuera, por la separación de los estribos: vol c = ( 32.4 × 42.4 ) × 10 = 13738 cm 3

Por lo tanto la cuantía volumétrica es: ρs =

106 .2 = 0 .0077 13738

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y

ε 50 h =

3 b′′ 3 32.4 = × 0 .0077 × = 0 .010 ρs 4 sh 4 10

El valor de Z es ahora: 0 .5

Z=

ε 50 u + ε 50 h − 0 .002

y

ε 20c =

=

0 .5 = 42.8 0 .00367 + 0 .010 − 0 .002

0.8 0.8 + 0.002 = + 0.002 = 0.021 42.8 Z

Las curvas esfuerzo-deformación tienen la siguiente forma: CURVA ESFUERZO DEFORMACION (f'c =280 kg/cm²) 300

250

200

no-confinado E#3 c/10

fc 150

100

50

0 0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Deformación Unitaria

L. E. García y J. Ramírez

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Curso ICIV-4403 Rigidez de elementos de concreto reforzado

CURVA ESFUERZO DEFORMACION (f'c =280 kg/cm²) 300

250

200

no-confinado E#3 c/30 E#3 c/25

fc 150

E#3 c/20 E#3 c/15 E#3 c/10

100

50

0 0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

Deformación Unitaria

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0.025

Curso ICIV-4403 Rigidez de elementos de concreto reforzado

CURVA ESFUERZO DEFORMACION (f'c =280 kg/cm²) 300

250 E#3 c/10 200 E#3 c/15

fc 150 E#3 c/20 100 E#3 c/25 E#3 c/30

50 no-confinado 0 0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

Deformación Unitaria L. E. García y J. Ramírez

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9/2/2004

0.009

0.010