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• Mauricio Paloma

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ESTÁTICA Y DINÁMICA LEYES DE NEWTON

Profesor: Miguel Iban Delgado Rosero Física I

Universidad del Tolima Facultad de Ciencias Departamento de Física

PRIMERA LEY DE NEWTON Todo cuerpo en reposo sigue en reposo a menos que sobre el actué una fuerza externa. Un cuerpo en movimiento continua en movimiento con velocidad constante a menos que sobre le actué una fuerza externa.

 F  i 0

(1)

i   F1  F2  F3  ...  0

(2)

    Fi  Fneta  ma

(3)

Segunda ley de Newton

i

Tercera ley de Newton

   FAB   FBA  ma

(4)

Las unidades de fuerza pueden obtenerse de la segunda ley de Newton

  Fneta  ma

 m kg. s 2   N

La unidad de fuerza en el SI es el newton (N) Otras unidades de fuerza son Dina (din), kilogramo fuerza (kg-f), gramo fuerza (g-f), Libra-fuerza (lb-f).

din  g .

cm s2

Puede encontrarse que la equivalencia entre dina y newton es: 1N  1X 105 din

1 kg  f  9.8 N

1 lb-f  4.448 N

1 lb  f  0.453 kg-f

LAS FUERZAS DE LA NATURALEZA

Todas las distintas fuerzas que se observan en la naturaleza pueden explicarse en función de cuatro interacciones básicas que ocurren entre partículas elementales. Estas son • Fuerza gravitatoria • Fuerza electromagnética • Fuerza nuclear fuerte • Fuerza nuclear débil

Las fuerzas cotidianas que observamos entre cuerpos macroscópicos se deben a la fuerza gravitatoria o a la fuerza electromagnética.

Entre las fuerzas cotidianas que observamos encontramos Tensión Fuerza de rozamiento o de fricción Fuerza normal Peso

Diagramas de fuerza o diagrama de cuerpo libre

La dirección de la suma vectorial de la fuerzas coincide con la dirección del vector aceleración Figura 1

Ejemplo 1. Un cuadro de masa m = 5kg se sostiene mediante dos cables como se muestra en la figura 2. Los cables forman los ángulos  = 60° y  = 30° con el techo 



T2 T1 



m = 5kg

Figura 2

mg

 Fx  0

T1 cos   T2 cos   0

F

T1sen  T2 sen  mg  0 (b)

y

0

(a)

Remplazando (a*) en (b) y despejando T2 T2 

mg tan  cos   sen

T2  42.43 N

De (a)

T1  T1 

T2 cos  cos 

(a*)

 42.43 N  cos  60  cos  30 

T1  14.14 N

Ejemplo 2. Encontrar las masas m1 y m2 que se requieren para mantener la masa M = 3 kg, como se muestra en la figura 3. La poleas no presentan fricción y los ángulos 1 y 2 son de 115 y 80 grados respectivamente (1+2-180) T2 T1 2

1-90

m1

1

m2

Mg

M

Figura 3

 Fx  0

T1 cos 1  90   T2 sen  2  1  180   0

 Fy  0

T1sen1  90   T2 cos 2  1  180   Mg  0 (b)

De (a) T2 

T1 

T2 sen  2  1  180  (b*) Remplazado en (b) y despejando T 2 cos 1  90 

Mg tan 1  90  sen  2  1  180   cos  2  1  180 

T2  27.05 N

(a)

remplazando en (b*)

T1  8.5 N

Ejemplo 4. Un hombre de 80 kg está de pie sobre una balanza de resorte en un ascensor. (a) Si la balanza está calibrada en newtons, ¿cuánto marcara la balanza si el ascensor se mueve hacia arriba con aceleración a = 2 m/s2 ?. (b) el ascensor se mueve hacia abajo con aceleración a’ = 2 m/s2 , (c) El ascensor se mueve hacia arriba a 20 m/s mientras su velocidad decrece a 8 m/s2 N

Figura 4

a

mg

La balanza registrará la fuerza norma N la que por tercera ley de Newton será igual al peso aparente del hombre Cuando acelera hacia arriba

N  mg  ma

N  ma  g 

N  944 N

Cuando acelera hacia abajo

N  mg  ma

N  m g  a

N  624 N

Ejercicio 1. ¿Cuánta tensión debe resistir una cuerda, si se utiliza para acelerar un vehículo de 1200 kg verticalmente hacia arriba a 0.70 m/s2?. (problema 4-12 Giancoli 4ed) Ejercicio 2. Una cubeta de 14.0 kg se baja verticalmente por una cuerda, en la que hay una tensión de 163 N en un instante dado. ¿Cuál es entonces la aceleración de la cubeta? ¿Es hacia arriba o hacia abajo? (pr 4-13 Gia 4ed) Ejercicio 3. Debe diseñarse un elevador (masa de 4850 kg) de manera que su aceleración máxima sea de 0.0680g. ¿Cuáles son las fuerzas máxima y mínima que el motor debe ejercer en el cable de soporte? (pr 4-16 Gian 4 ed) Ejercicio 4 Una persona salta desde el techo de una casa de 3.9 m de altura. Cuando toca el suelo, dobla las rodillas de manera que su torso desacelera durante una distancia aproximada de 0.70 m. Si la masa del torso (sin incluir las piernas) es de 42 kg, encuentre a) su velocidad justo antes de que los pies toquen el suelo, y b) la fuerza promedio ejercida por las piernas sobre el torso durante la desaceleración. (pr 4-25 Gi 4ed). Ejercicio 5 Una fuerza de 650 N actúa en dirección noroeste. ¿En qué dirección debe ejercerse una segunda fuerza de 650 N para que la resultante de las dos fuerzas apunte hacia el oeste? Ilustre su respuesta con un diagrama de vectores. (G pr 4-30 4 ed)

Ejercicio 6. Dos tractores remolcan una casa móvil a una nueva ubicación, como se muestra en la figura 5. La suma de las  fuerzas FA y FB ejercidas por los cables horizontales sobre la  casa es paralela a la línea L y FA  4500 N determine la magnitud   de FA  FB

Figura 5

Figura 6

Ejercicio 7. La figura 6 muestra un bloque de masa mA sobre una superficie horizontal lisa, que está conectado mediante una cuerda delgada, que pasa alrededor de una polea, a un segundo bloque mB, que cuelga verticalmente. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque. b) determine expresiones para la aceleración del sistema y para la tensión en la cuerda. Desprecie la fricción y las masas de la polea y de la cuerda. Ejercicio 8. a) Si mA = 13.0 kg y mB = 5.0 kg en la figura 6, determine la aceleración de cada bloque. b) Si inicialmente mA está en reposo a 1.250 m desde el borde de la mesa, ¿cuánto tiempo le tomará alcanzar el borde de la mesa si el sistema se deja en libertad? c) Si mB = 1.0 kg, ¿qué tan grande debe ser mA para que la aceleración del sistema se mantenga en g/100?.

Fuerza de rozamiento La fuerza de rozamiento es consecuencia de la atracción eléctrica que existe entre las moléculas de dos superficies en contacto. Aunque las superficies parezcan pulidas a nivel atómico son rugosas y solo entran en contacto en algunos puntos (fuerza normal N)

f e  e N f c  c N

e coeficiente de fricción estático, c coeficiente de fricción dinámico

Ejemplo 5. Un bloque reposa en un plano inclinado cuyo ángulo de inclinación se incrementa hasta que alcanza un ángulo crítico c, después del cual el bloque comienza a deslizar. Hallar el coeficiente de fricción estático.

 mg

 F  0 FN  mg cos   0  F  0 mgsen  f s  0

(a)

y

x

f s   s FN

(c)

(b)

Ejemplo 6. Los policías de transito examinan el sitio de un choque entre automóviles miden huellas de derrape de 72 m para uno de los automóviles, el cual casi se detuvo antes de chocar. El coeficiente de fricción cinética entre el hule y el pavimento es aproximadamente de 0.80. Estime la rapidez inicial del automóvil suponiendo que el camino es horizontal . Diagrama de fuerzas 72 m

N o FN

fk a

mg



Fx  ma x

Porque está en movimiento acelerado

 f k  ma x (1)



Fy  0

N  mg  0 (3)

Por otro lado

f k  k N

(2)

Porque está en reposo en esta dirección

Ejemplo 7. Dos masas mA = 2.0 kg y mB = 5.0 kg están sobre planos inclinados y se conectan entre si mediante una cuerda (ver figura). El coeficiente de fricción cinética entre cada masa y su plano es µ k = 0.35. Si mA se mueve hacia arriba y mB hacia abajo, determine la aceleración Cuerpo de masa mA Fx Fy FN1 fK1

Fy

Cuerpo de masa mB Fx

FN2 fK2

mB gsen  21

mB g cos  21 21

mB g

mA gsen  51

mA g cos  51 51

mBAg

Cuerpo de masa mA Fx Fy F



T

mA sen  f k 1  FT  mA ax

FN1 fK1

mA gsen  51

mA g cos  51 51

mBAg

Fy

Cuerpo de masa mB Fx

FN2 FT

fK2

mB gsen  21

mB g cos  21

Fx  mA ax

21

mB g



(1)

Fy  0

mA cos   FN 1  0

(2)

f k1  k FN 1

(3)



Fx  mA ax

mA sen  f k 2  FT  mA ax



(4)

Fy  0

mA cos   FN 2  0

f k 2  k FN 2

(5) (6)

Ejemplo 8. Un surfista de nieve de m = 75 kg tiene una velocidad uncial de v0 = 5.0 m/s en la parte superior de una colina inclinada  = 28°. Después de deslizarse hacia abajo l = 110 m sobre la colina inclinada (cuyo coeficiente de ficción cinético es µk = 0.18), el surfista alcanza una velocidad v. Después el surfista se desliza sobre sobre una superficie horizontal (donde µk = 0.15) y llega al reposo después de recorrer una distancia x. Utilizar la segunda ley de Newton para encontrar la aceleración del surfista, mientras nos recorre tanto el plano inclinado como la superficie horizontal. Luego use la aceleración para determinar x.

Ejercicio 9. Un bloque de masa m1 = 3.0 kg está encima de otro bloque de masa m2 = 5 kg, que permanece sobre una superficie horizontal. El bloque m2 es jalado hacia la derecha con una fuerza F como se muestra en la figura. El coeficiente de fricción estático entre todas las superficies es µs = 0.60 y el coeficiente de fricción cinético µk = 0.40. (a) ¿Cuál es el valor mínimo de F necesario para mover los dos bloques?. (b) Si la fuerza es 10% mayor que su respuesta para (a). (c) ¿cuál es la aceleración de cada bloque?.

DINÁMICA DE ROTACIÓN (Fuerza centrípeta)

  v dv  a  lim  t 0 t dt

 v

  v1

El triangulo CAB es semejante con el triangulo

v2  v1 v

y las relaciones

(divisiones de dos de sus lados de estos triángulos son iguales

l v  r v

l v  v r

l av rdt

v2 a r

Aceleración centrípeta

La aceleración centrípeta multiplicada por la masa genera una fuerza centrípeta

Fc  mac v2 Fc  m r Dirigida hacia el centro de la curva o círculo Se requiere cambiar el sistema de referencia x

v2  Fr  m r

iˆ e y  ˆj  por un sistema r rˆ, y  ˆ

 F  0

Para el caso de movimiento circular uniforme

Es común considerar el sentido positivo de la dirección radial (r hacia afuera del circulo O curva y el sentido negativo hacia adentro Es común considerar el sentido positivo de la dirección angular (r en sentido opuesto a las manecillas del reloj y el sentido negativo a favor En un movimiento circular uniforme se conoce el tiempo en dar una vuelta como el periodo T y al numero de vueltas en una unidad de tiempo como frecuencia

Ejemplo 9 Estime la fuerza que una persona debe hacer sobre una cuerda unida a una pelota de 150 g para que esta gire en un círculo horizontal de 60 cm de radio. La pelota gira a 2,00 revoluciones por segundo. Ignore la masa de la cuerda.

Ejemplo 10 Una pelota de 150 gramos unida al extremo de una cuerda de 110 cm de longitud se hace girar en un círculo vertical. (a) Determine la rapidez mínima que la pelota debe tener en la parte superior del arco para moverse continuamente en un círculo. (b) Calcule la tensión de la cuerda en el fondo del arco suponiendo que la pelota se está moviendo al doble de la rapidez del inciso a.

ejercicio 10. Una pelota de masa m, suspendida de una cuerda de longitud l, gira en un círculo de radio y formando un ángulo  con la vertical ver figura. (a) ¿Qué dirección tiene la aceleración de la pelota y qué causa esa aceleración?. (b) calcule la rapidez y el periodo de la pelota en términos de l, y g.

Ejemplo 12 Un automóvil de 1000 kg toma una curva plana de 50 m de

N

radio a una rapidez de 54 km/h. ¿El auto seguirá por la carretera o se derrapará?. Suponga que: (a) el pavimento está

fe

seco y el coeficiente de fricción estático es e = 0.60; (b) el pavimento está cubierto de hielo con e = 0.25

mg

Ejemplo 13. (a) Para un automóvil que viaja con una rapidez v alrededor de una curva de radio r, determine una fórmula para el ángulo al que debe inclinarse transversalmente (peraltarse) el camino de manera que no requiera fricción. (b) ¿Cuál es el ángulo para una curva de la salida de una autopista con radio de 50 m y una rapidez de diseño de 50 km/h?

MOVIMIENTO CIRCULAR NO UNIFORME. Cuando el cuerpo se mueve en una trayectoria circular con una rapidez variable, además de la componente centrípeta de la aceleración (y de la fuerza) existe una aceleración tangencial (y fuerza tangencial) la cual es tangente a la curva de la trayectoria

 v0

 v

 v

 v

  v0

 a  ac rˆ  atˆ v2 dv ˆ  a   rˆ   r dt Ejemplo 14. Una partícula que parte del reposo gira con rapidez uniformemente creciente en sentido horario en un círculo contenido en el plano xy. El centro del círculo está en el origen de un sistema coordenado xy. En t = 0, la partícula está en x = 0.0, y = 2.0 m. En t 2.0 s, la partícula ha efectuado un cuarto de revolución y está en x 2.0 m, y 0.0. Determine a) su rapidez en t 2.0 s, b) el vector velocidad promedio, y c) el vector aceleración promedio durante este intervalo.

Ejemplo 15. Una pequeña esfera de masa m se une al extremo de una cuerda de longitud R y se pone en movimiento en un círculo vertical en torno a un punto fijo O, como se ilustra en la figura. Determine la tensión en la cuerda en cualquier instante cuando la rapidez de la esfera sea v y la cuerda forme un ángulo  con la vertical.



Ft  mat mgsen  mat gsen  at



Fr  mac

v2 T  mg cos   m R  v2  T  mg   cos   R  2  vsup  Tsup  mg   1  R    2  vinf  Tinf  mg   1  R 

Ejercicio 11. Una piedra de masa m = 95 g se hace girar en un círculo horizontal en el extremo de una cuerda de 5cm de longitud, la que está suspendida de un eje vertical. El tiempo necesario para que la piedra de una revolución completa es de 1.22 s. ¿´Cuál es el ángulo que la cuerda forma con la horizontal?.

Ejercicio 12. Un piloto de masa 50 kg sale de un rizo vertical según un arco circular tal que su aceleración hacia arriba es de 8.5 g. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el asiento del piloto en la parte más baja del arco?. (b) si la velocidad del avión es de 345 km/h, ¿cuál es el radio del arco circular.

Ejercicio 13. Un bloque de masa m1 está sujeto a una cuerda de longitud L1 fija a un extremo. El bloque se mueve en un círculo horizontal sobre una mesa sin rozamiento. Un segundo bloque se masa m2 se une al primero mediante una cuerda de longitud L2 y se mueve también en círculo como se muestra en la figura. Determinar la tensión en cada una de las cuerdas si el periodo es T

Ejemplo 16. Una carretera está peraltada de modo que un coche de 950 kg que se desplace a 40 km/h pueda tomar una curva de 30 m de radio incluso cuando la carretera esté helada que el coeficiente de fricción sea aproximadamente cero. Determinar la velocidad a la que un coche puede tomar esta curva sin patinar, si el coeficiente de rozamiento estático entre la carretera y las ruedas es de 0.3 Ejercicio 14. Un halcón vuela en un arco horizontal de 12.0 m de radio con una rapidez constante de 4.00 m/s. (a) encuentre su aceleración centrípeta. (b) el halcón continúa volando a lo largo del mismo arco horizontal pero aumenta su rapidez en una proporción de 1.20 m/s2. Encuentre la aceleración (magnitud y dirección) bajo estas condiciones

Ejercicio 15. A un sistema de dos objetos suspendidos sobre una polea mediante un cable flexible, según se muestra en la figura, se le llama a veces maquina de Atwood. Considere la aplicación de la vida real de un elevador (mE) y su contrapeso (mC). Para minimizar el trabajo hecho por el motor para levantar y bajar el elevador con seguridad, se toman valores similares de las masas mE y mC. Dejamos el motor fuera del sistema para este cálculo y suponemos que la masa del cable es despreciable y que la masa de la polea, así como cualquier fricción, es pequeña y despreciable. Estas suposiciones garantizan que la tensión FT en el cable tiene la misma magnitud en ambos lados de la polea. Sea la masa del contrapeso mC = 1000 kg. Supongamos que la masa del elevador vacío es de 850 kg y que su masa al llevar cuatro pasajeros es mE = 1150 kg. Para este último caso (mE = 1150 kg), calcule (a) la aceleración del elevador y (b) la tensión en el cable.

Ejercicio 17. La figura, muestra un bloque (masa mA) sobre una superficie horizontal lisa, que está conectado mediante una cuerda delgada, que pasa alrededor de una polea, a un segundo bloque (mB), que cuelga verticalmente. a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque, que incluya la fuerza de gravedad sobre cada uno, la fuerza (de tensión) ejercida por la cuerda y cualquier fuerza normal. b) Aplique la segunda ley de Newton para determinar expresiones para la aceleración del sistema y para la tensión en la cuerda. Desprecie la fricción y las masas de la polea y de la cuerda.

Ejercicio 18. Un bloque (masa mA) que se encuentra sobre un plano inclinado sin fricción está conectado a una masa mB mediante una cuerda que pasa alrededor de una polea, como se muestra en la figura. (a) Obtenga una fórmula para la aceleración del sistema en términos de mA, mB,  y g. (b) ¿Qué condiciones son aplicables a las masas mA y mB para que la aceleración se dé en un sentido (digamos, mA hacia abajo del plano), o en el sentido opuesto? Desprecie la masa de la cuerda y de la polea.

Bibliografía. Giancoli Douglas, Física para las Ciencias y la Ingeniería. Serway A, Raimond, Física para las Ciencias y la Ingeniería. Tipler Paul Allen, Mosca Genen, Física para la ciencia y la tecnología, Vol. 1: Mecánica, oscilaciones y ondas, termodinámica.