LMDE Algebra Ejercicios Logaritmos (2) Propiedades, Ecuaciones I. Previo: 1) ¿Qué significa la expresión log a ( M )
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Ejercicios Logaritmos (2) Propiedades, Ecuaciones
I. Previo: 1) ¿Qué significa la expresión log a ( M ) ? Es el exponente al cual se debe elevar a para obtener M . Se lee logaritmo de M en la base a . a log M = M log a ( M ) = x si y solo si a x = M , es decir: a
2) ¿Qué significa la expresión log(C ) ? Es el exponente al cual se debe elevar 10 para obtener C. Se lee logaritmo de C en la base 10.
log(C ) = y
si y solo si
10 y = C ,
es decir:
10 log C = C
3) ¿Para qué valores de C existe log a (C ) ? (en particular log(C ) ? ) log a (C ) está definida para C > 0 , es decir, solamente para números reales positivos. II. Propiedades de los logaritmos 1) Logaritmo de un producto:
log a ( M ⋅ C ) = log a ( M ) + log a (C )
Ejemplos: calcule cada lado por separado, y compare: a) log 2 (8 ⋅ 4) = log 2 32 = log 2 8 + log 2 4 = b) log(17 ⋅ 4) = log 68 =
2) Logaritmo de un cuociente:
log17 + log 4 =
log a ⎜
M
(use calculadora)
⎟ = log ( M ) − log (C )
⎛ ⎞ a a ⎝C⎠ Ejemplos: calcule cada lado por separado, y compare: 32 a) log 2 ⎜⎛ ⎟⎞ = log 2 32 − log 2 4 = ⎝ 4 ⎠
⎛ 17 ⎞ b) log⎜ ⎟ = ⎝ 4⎠ 3) Logaritmo de una potencia:
log17 − log 4 = E j e
(use calculadora)
mplos: 1
)=t
log a ( M
t
log a (
M)
( )
a) log 2 2 5 = log 2 32 =
5 log 2 2 =
b) log(35 ) =
5 log 3 =
c) Calcule
( )
log2 (8) =
log 2 8 9 =
4) Logaritmos de números particulares log a (a) = 1
Ejemplos: a) log5 (5) = 512 =
( )
e) log 5
b) log10 = f) log 10 7 =
( )
log a 1 = 0
c) log5 1 = g) log 3 3 =
d) log1 = 2⎜ 5 ⎟ = ⎛ 21 ⎞ h) log ⎝
⎠
2
5) Cambio de base log a ( M ) =
logb ( M ) log b (a)
log a ( M ) =
log(M ) log(a)
Nota: Para calcular el logaritmo de un número en la base a , en general, se hace cambio de base. Usualmente de utiliza como nueva base la base 10. (También se puede usar la base e ). Ejemplos: Use cambio de base para calcular cada logaritmo (nueva base: 10). a) log 2 (32 ) = b) log5 137 = III. Ecuaciones 1) Ecuaciones de la forma
log a ( M ) = C
donde C es una constante (número real).
En general, para resolver ecuaciones de esta forma, se aplica la definición de logaritmo. Ejemplo. Resolver la ecuación log 3 (2 x − 5) = 2 Solución.
log 3 (2 x − 5) = 2 32 = 2 x − 5
Luego
x = 7.
Se deja como ejercicio, comprobar que x = 7 es solución de la ecuación original.
2) Ecuaciones de la forma
log a ( M ) = log a (C )
En general, para resolver ecuaciones de esta forma, se aplica la propiedad: log a ( M ) = log a (C ) ==> M = C Ejemplo. Resolver la ecuación log5 (2 x − 23) = log5 ( x + 51) Solución.
log5 (2 x − 23) = log5 ( x + 51)
==>
Comprobación: log5 (2 ⋅ 74 − 23) = log5 (125) = 3
2 x − 23 = x + 51 , de donde
x = 74
log5 (74 + 51) = log5 (125) = 3
3) Otras ecuaciones que contienen logaritmo, requieren del uso de propiedades de los logaritmos. 4) Ecuaciones exponenciales simples. En general, se resuelven aplicando logaritmo (en la misma base) a ambos lados. 3
Ejemplos. x a) Resolver la ecuación 3 = 17 Solución.
3 x = 17 log(3 x ) = log(17) x log(3) = log(17) log(17) 1,230 x= = ≈ 2,579 log(3)
Aplicando log en base 10 a ambos lados Propiedad logaritmo de una potencia Usando la calculadora
0,477
b) Resolver la ecuación 5 x +3 = 4 x Solución.
5 x +3 = 4 x log(5 x +3 ) = log(4 x ) ( x + 3) log(5) = x log(4)
Aplicando log en base 10 a ambos lados Propiedades
Use calculadora para calcular log(5) , log(4) y luego despeje x .
4
IV. Ejercicios 1) Dados log 2 = 0,30 ; log 3 = 0,47 y log 5 = 0,69 , calcule usando propiedades:
a) log 15
b) log 16
⎛ 2⎞ e) log⎜ ⎟ ⎝ 5⎠
⎛ 15 ⎞ f) log⎜
c) log 5
d) log 12
g) log (3−5 )
h) log 30
⎟
⎜
⎝2⎠
⎛ 6⎞ i)
2) Dado
( )
log 2 3
j)
( )
log 6
⎟⎟ k) log⎜ ⎝ 8 ⎠
log 415
l)
log 8
log 45 = 1,653 calcule:
a) log 450 3) Calcule:
b) log(450000)
c) log(0,45)
d) log(0,0045)
5 −3 9 log a a − log a a + log a a
4) Escriba cada expresión usando logaritmos simples (expandir).
a) log a ( R ⋅ S )
b) log ( x 4 )
C⎞ c) log
a
1
d) log 4 C 3
D2
⎟
⎟ ⎝P⎠
⎛ P ⋅R ⎞
⎛ C ⎞ e) log b ⎜
⎜ 2⎛
f) log ⎜
⎟ M
g) log(10 R 2 )
⎝ ⎠ h) log(7 R ⋅ S )
i)
⎝ log C
⎠
5) Reduzca cada expresión a un solo logaritmo.
a) c) e) g)
log 7 + log 2 log x + log 34 log 2 M − log 2 C + log 2 3 3 log 7 − 2 log y
i)
log 5 + 2 log x + log 3
b) log 15 − log 3 d) log 2 C − log 2 D f) 3 log a x + 2 log a y 1 h) 7 log x − log y 2 j) 2 log a C + 3 log a P + 1 5
6) Calcule lo que señala, dados ciertos logaritmos. a) Dados log a ( B) = 30,14 , log a ( B ⋅ D) = −2,15 , calcular log a D
⎛P⎞ b) Dados log a ( B) = 30,14 , log a ⎜
2
⎟ = 1,03 , calcular log a P
⎝B⎠
7) Resuelva cada ecuación, y compruebe: b) log 3 x = 4 a) log 3 27 = x d) log 5 x =
1 2
g) log x = 4
j)
log 3 x = 2
c)
log x 15 = −1
f)
log0,1 100 = x
h) log 2 x = 0
i)
log0,02 x = −1
k) log 4 ( y + 3) = 2
l)
log(3 y − 1) = 2
e)
log 4 y = −2
6
m) log 2 ( x − 2) = −5
⎛ 3 −x ⎞ n) log 4 ⎜ ⎟=1 ⎝ 7 ⎠
o) log (2 x − 5) = 0 6
⎛x+ ⎞ p) log⎜
⎝
x − 3 = 4 log
q)
4
( 30)
r)
log 1 (5( x − 1)) = 3
1
2
⎟= 3 2 ⎠
8) Determine el valor de x en cada ecuación, y compruebe: a) log 3 x = log3 7 b) log 3 (3x − 1) = log 3 7 c)
log3 (2 x) = log3 ( x + 5)
d) log 3 ( x − 2) = 2 log 3 5
e)
log(3) = log(x + 1)
f)
2 +7 log⎜⎛ x ⎞⎟ = log x 4 ⎝ 3⎠ h) log3 (2 x) = log3 ( x − 5) j) log 2 ( x − 3) − log 2 6 = log 2 (2 x + 1)
g) log 2 (2 x) − log 2 (7 x − 15) = 0 i)
log(x) + log(10) = log(x − 2)
9) Resuelva cada ecuación: x a) 2 = 5 d) 3 x +5 = 100
x
b) 10 = 25 e) 2 2 x −1 = 3 x
10) Determine el valor de x en cada ecuación, y compruebe: a) log 3 x = − log3 7 b) log 3 (2 x − 1) = − log 3 7
d) log 3 ( x − 1) = −2 log 3 2
e)
log(3) = − log(x + 1)
f)
7 x = 0,5 3 x +5 = 1
c)
log 3 x = − log3 x
f)
2 ⎛x⎞ log⎜ ⎟ = − log 2x − 5 ⎝ 3⎠
c)
11) Determine el valor de x en cada ecuación, y compruebe: a)
⎛ x − 3⎞ = log(2 x + 1) log⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠
b) 2 log x = log(x + 6)
d)
log( x) =2 log(5)
e)
log(5 −x) = −1 log(2)
c) 1 + log x = log(2 x + 4)
f)
log3 (7 x −3) =1 log3 ( x)
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