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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA U. ZAC. Departamento Académico de ICE Academia de física

PROBLEMARIO DE MECÁNICA CUÁNTICA Y ESTADÍSTICA. Profs.: Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena

El Efecto Compton Mientras que el fenómeno de interferencia ocurre de manera típica entre ondas, colisionar es propio que ocurra solo entre partículas. En 1923 Artur H. Compton, hizo colisionar radiación electromagnética de alta frecuencia (rayos X, gama, etc.) con electrones libres; la radiación tratada como partícula, colisionó obedeciendo rigurosamente las leyes de una colisión elástica –conservación de la energía y conservación del momento lineal- El Efecto Compton (1923) es la prueba experimental concluyente de la naturaleza corpuscular de la radiación. De la Relatividad especial sabemos que para electrones que si tienen masa en reposo 𝑚𝑚0 ; la relación entre la energía total y el momento lineal es de la forma: ∴ 𝑝𝑝𝑒𝑒2 𝑐𝑐 2 = 𝐾𝐾𝑒𝑒2 + 2𝐾𝐾𝑒𝑒 𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2

𝐸𝐸𝑒𝑒 = �𝑝𝑝𝑒𝑒2 𝑐𝑐 2 + (𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2 )2 = 𝐾𝐾𝑒𝑒 + 𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2

(1)

Para la radiación tratada como corpúsculo, sin masa en reposo, la relación energía momento es de la forma: 𝐸𝐸 = 𝑝𝑝𝑝𝑝; y también sabemos que 𝐸𝐸 = ℎ𝜈𝜈, entonces: 𝒑𝒑 = 𝒉𝒉𝒉𝒉/𝒄𝒄 Problemas sobre el Efecto Compton.

1. Tomando en consideración la figura:

𝜆𝜆

𝜆𝜆′

La relación de conservación de la energía es: ℎ𝜈𝜈 + 𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2 = ℎ𝜈𝜈 ′ + 𝐸𝐸𝑒𝑒

(2)

Las relaciones de conservación del momento lineal son: En el eje X: En el eje Y:

𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑒𝑒 cos 𝜙𝜙 + 𝑝𝑝′ cos 𝜃𝜃

0 = 𝑝𝑝𝑒𝑒 sen 𝜙𝜙 − 𝑝𝑝′ sen 𝜃𝜃

∴ 𝑝𝑝 =

ℎ 𝜆𝜆

ℎ

𝑦𝑦 𝑝𝑝′ = 𝜆𝜆′

(3)

Profs. Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena

Usando las relaciones de conservación de la energía y del momento lineal, demostrar que el corrimiento Compton viene dado por la expresión: ℎ

RESPUESTA:

𝜆𝜆′ − 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆𝑐𝑐 (1 − cos 𝜃𝜃); 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜆𝜆𝑐𝑐 = 𝑚𝑚

0 𝑐𝑐

= 0.024 Å

(4)

La relación de energía, también se puede reescribir en la forma: 𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2 = 𝑝𝑝′ 𝑐𝑐 + 𝐸𝐸𝑒𝑒 2

∴ 𝐸𝐸𝑒𝑒 = �𝑝𝑝𝑒𝑒2 𝑐𝑐 2 + (𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2 )2 ; operando se obtiene:

𝑝𝑝𝑒𝑒2 𝑐𝑐 2 = 𝑝𝑝2 𝑐𝑐 2 + 𝑝𝑝′ 𝑐𝑐 2 − 2𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑐𝑐 2 + 2(𝑝𝑝 − 𝑝𝑝′ )𝑚𝑚0 𝑐𝑐 3 (i)

De las relaciones de conservación del momento: 2

𝑝𝑝𝑒𝑒2 𝑐𝑐 2 = 𝑝𝑝2 𝑐𝑐 2 + 𝑝𝑝′ 𝑐𝑐 2 − 2𝑝𝑝𝑝𝑝′ 𝑐𝑐 2 cos 𝜃𝜃

(ii)

Combinando las relaciones (i) y (ii) obtenemos la relación (4) del corrimiento de Compton: ℎ = 0.024 Å 𝜆𝜆′ − 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆𝑐𝑐 (1 − cos 𝜃𝜃); 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜆𝜆𝑐𝑐 = 𝑚𝑚0 𝑐𝑐

2. Dispersión de Rayos X por electrones libres. Rayos X dispersados a 45° respecto de la dirección de incidencia, tienen una longitud de onda de 0.022 Å. ¿Cuál es la longitud de onda del rayo incidente? RESPUESTA: Dato: 𝜆𝜆′ = 0.022 Å . Por Compton: 𝜆𝜆 = 𝜆𝜆′ − 𝜆𝜆𝑐𝑐 (1 − cos 𝜃𝜃) = 0.015Å

3. Un fotón de Rayos X, con longitud de onda inicial de 0.020 nm, después de colisionar con un electrón libre, sale dispersado con una longitud de onda de 0.0214 nm. ¿Con que energía cinética (en keV) emergen los electrones en retroceso? RESPUESTA: En la colisión, la radiación incidente pierde energía; energía que por conservación de la energía, necesariamente gana el electrón como energía cinética. Datos: 𝜆𝜆 = 0.020 Å; 𝜆𝜆′ = 0.0214 Å ; ℎ𝑐𝑐 ℎ𝑐𝑐 𝐾𝐾𝑒𝑒 = − ′ = 40.56 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝜆𝜆 𝜆𝜆 4. Un haz de Rayos X es dispersado por electrones libres 90.0° respecto de la dirección original. Los Rayos X dispersados tienen una longitud de onda de 0.034 Å . Calcular la energía cinética (en MeV) de los electrones en retroceso (rebotados). RESPUESTA: 𝐾𝐾𝑒𝑒 = 0.875 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 Profs. Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena

5. Un fotón de Rayos X con frecuencia inicial de 3.00 x 1019 s-1; es dispersado a 45° respecto a la dirección e incidencia. Calcule la nueva frecuencia. RESPUESTA: Dato: 𝜈𝜈 = 3.00 × 1019 𝑠𝑠 −1 . Por tanto: 𝜈𝜈 ′ = 2.98 × 1018 𝑠𝑠 −1

6. Calcular la energía de un fotón, que puede impartir una energía máxima de 50 Kev a un electrón libre. RESPUESTA: Cuando la radiación colisiona con un electrón en reposo, la relación de Compton para ∆𝜆𝜆 = 𝜆𝜆′ − 𝜆𝜆; en cierto modo mide la pérdida de energía de la radiación incidente; Cuanto mayor es ∆𝜆𝜆 mayor es la pérdida. Cuando 𝜃𝜃 = 180° , ∆𝜆𝜆 = 2𝜆𝜆𝑐𝑐 es su mayor valor. Así de las ecuaciones: ℎ𝑐𝑐 ℎ𝑐𝑐 𝜆𝜆′ − 𝜆𝜆 = 2𝜆𝜆𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝐾𝐾 = − ′ 𝜆𝜆 𝜆𝜆 ′ Podemos eliminar 𝜆𝜆 , y resolver para 𝜆𝜆. 𝜆𝜆 = 0.088Å

7. Un haz de Rayos X de 0.0500 nm de longitud de onda inicial, sufren dispersión de Compton por electrones libres de una muestra. (a) ¿A qué ángulo, con respecto al haz incidente, hay que buscar rayos X de 0.054 nm? (b) Calcule la velocidad (en m/s) de los electrones en retroceso. RESPUESTA: (𝑎𝑎) 𝜃𝜃 = 132° ; (𝑏𝑏) 𝑣𝑣𝑒𝑒 = 2.54 × 107 𝑚𝑚/𝑠𝑠

8. Un fotón de Rayos X con frecuencia de 1.50 × 1019 𝐻𝐻𝐻𝐻, al colisionar con un electrón libre sale dispersado a un ángulo de 64.92° y con una frecuencia de 1.40 × 1019 𝐻𝐻𝐻𝐻. Así mismo, el electrón en retroceso se mueve con una velocidad de 3.837 × 107

𝑚𝑚 𝑠𝑠

;

con los datos propuestos confirme: (a) que la ley para el corrimiento Compton se satisface y (b) que la energía (en keV) se conserva. RESPUESTA: (a) ∆𝜆𝜆 = 𝜆𝜆′ − 𝜆𝜆 = 0.014Å y también: ∆𝜆𝜆 = 𝜆𝜆𝑐𝑐 (1 − cos 𝜃𝜃) = 0.014Å 1

(b) 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 ′ + 𝐸𝐸𝑒𝑒 ó ℎ𝜈𝜈 = ℎ𝜈𝜈 ′ + 2 𝑚𝑚𝑣𝑣 2 ; ℎ𝜈𝜈 = 61950 𝑒𝑒𝑒𝑒 ≈ 62.0 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 y 1

ℎ𝜈𝜈 ′ + 2 𝑚𝑚0 𝑣𝑣 2 = 57820 𝑒𝑒𝑒𝑒 + 4179.57 𝑒𝑒𝑒𝑒 = 61999.57 ≈ 62.0 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘

9. Con los datos del problema 8 anterior: (a) calcular el ángulo de dispersión del electrón en retroceso, y (b) verificar que durante el Efecto Compton el momento lineal (en keV/C) se conserva. RESPUESTA: De las relaciones de conservación del momento lineal: 𝜈𝜈 ′ sin 𝜃𝜃

(a) 𝜙𝜙 = tan−1 �𝜈𝜈−𝜈𝜈′

(b) 𝑝𝑝 =

ℎ𝜈𝜈 𝐶𝐶

cos 𝜃𝜃 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘

= 61.950

𝐶𝐶

� = 54.44° ; 𝑝𝑝′ =

ℎ𝜈𝜈 ′ 𝐶𝐶

= 57.820

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐶𝐶

¸ 𝑝𝑝𝑒𝑒 = 𝑚𝑚𝑚𝑚 = 65.357

El momento se conserva con un error menor a 1 keV/c.

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝐶𝐶

Profs. Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena

10. Considere rayos X de longitud de onda λ=0.120 nm dispersados por un bloque de carbono. ¿Cuál es el desplazamiento de longitud de onda Compton para fotones detectados a un ángulo de 90o respecto al haz incidente? RESPUESTA: ∆𝜆𝜆 = 0.024 Å; El desplazamiento depende solo del ángulo de dispersión.

11. Un fotón de rayos X de 2.00 MeV se dispersa por un electrón libre en reposo hacía un ángulo de 53.0o. ¿Cuál es la longitud de onda del fotón dispersado? RESPUESTA: 𝜆𝜆′ = 0.016 Å = 1.57 × 10−12 𝑚𝑚 12. Un fotón con longitud de onda de 0.30 nm choca con un electrón que inicialmente está en reposo. Si el fotón rebota a un ángulo de 160o, (a) ¿Cuánta energía perdió en la colisión? (b) ¿Quién gana la energía que pierde el fotón? RESPUESTA: (a) ∆𝐸𝐸 = 63 𝑒𝑒𝑒𝑒 (b) La gana el electrón, en forma de energía cinética.

13. Rayos X que tienen una energía de 400.0 keV experimentan dispersión de Compton desde un objetivo. Los rayos dispersados se detectan a 25o respecto a los rayos incidentes. Determine (a) la energía cinética de los rayos X dispersados, y (b) la energía cinética del electrón rechazado. RESPUESTA: (a) 𝐸𝐸 ′ = 372.9 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 (b) 𝐾𝐾𝑒𝑒 = 27.1 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 14. Considere el equivalente de la dispersión de Compton, para el caso en el que un fotón es dispersado por un protón libre. Si rayos X de 140 keV rebotan de un protón a 90o, ¿Cuál es su cambio fraccionario de energía (𝐸𝐸 − 𝐸𝐸 ′ )/𝐸𝐸 RESPUESTA: �𝐸𝐸−𝐸𝐸 ′ �

= 1.49 × 10−4 Cuanto más pesado es el dispersor, menor es la pérdida de energía. 𝐸𝐸

15. Considérese una haz de rayos X con λ=1.00 Å y también un haz de rayos γ provenientes de una muestra Cs¹³⁷ con λ=1.88x10⁻² Å. Si la radiación dispersada por electrones libres se observa a 90.0o del haz incidente: (a) ¿Cuál es el corrimiento en longitud de onda Compton en cada caso? (b) ¿Qué energía cinética se le comunica al electrón de retroceso en cada caso? (c) ¿Qué porcentaje de la energía del fotón incidente se pierde en cada caso? RESPUESTA: (a) ∆𝜆𝜆 = 0.0243Å ; El corrimiento depende solo de la masa del dispersor y del ángulo del fotón dispersado.

(b) (c)

K = 378keV

Para el rayo X; E = 12.4keV con 2.4 % de pérdida. La energía del rayo γ incidente es: E=660

keV con 75% Profs. Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena

16. Calcule la energía en eV y el momento lineal (en eV/C) de un fotón con una longitud de onda de 700 nm. RESPUESTA: 𝐸𝐸 = 1.77 𝑒𝑒𝑒𝑒; 𝑝𝑝 = 9.47𝑥𝑥10−28 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠 = 1.77 𝑒𝑒𝑒𝑒/𝐶𝐶

17. Un fotón de 0.00160 nm es dispersado por un electrón libre. ¿Para qué ángulo de dispersión del electrón en retroceso, éste tiene una energía cinética igual a la energía del fotón dispersado? RESPUESTA Por el principio de conservación de la energía, es posible conocer la energía del fotón dispersado y de aquí su longitud de onda. Por la relación (4) del corrimiento de Compton, es posible conocer el ángulo 𝜃𝜃 de dispersión del fotón; y por las relaciones de conservación del momento lineal (ver problema 22) es posible obtener la 𝜆𝜆 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃

relación: tan 𝜙𝜙 = 𝜆𝜆′ −𝜆𝜆 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃; de donde:

𝜙𝜙 = 29.5°

18. Un fotón de 0.880 MeV es dispersado por un electrón libre inicialmente en reposo, de manera que los ángulos de dispersión del electrón y del fotón son iguales. Determine (a) los ángulos θ y 𝜑𝜑, (b) La energía y cantidad de movimiento del fotón dispersado y (c) la energía cinética y la cantidad de movimiento del electrón dispersado. RESPUESTA A partir de las relaciones de conservación del momento lineal y por el dato de que los ángulos de dispersión del fotón y electrón son iguales es posible obtener; 𝜆𝜆′ = (2 cos 𝜃𝜃)𝜆𝜆. Ahora con el apoyo de la relación Compton es posible obtener: 𝜆𝜆 +𝜆𝜆

cos 𝜃𝜃 = 𝜆𝜆 𝑐𝑐+2𝜆𝜆 ; por tanto: 𝑐𝑐

(a) 𝜃𝜃 = ϕ = 43.1𝑜𝑜

(𝑏𝑏) 𝐸𝐸 ′ = 606.5 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑝𝑝′ = 606.5

(𝑐𝑐) 𝐾𝐾𝑒𝑒 = 273.5 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘, 𝑝𝑝𝑒𝑒 = 606.5

𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘

𝑐𝑐 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑐𝑐

= 3.23𝑥𝑥10−22 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠

= 3.23𝑥𝑥10−22 𝑘𝑘𝑘𝑘 ∙ 𝑚𝑚⁄𝑠𝑠

19. (a) ¿Cuál es el rayo X más energético emitido cuando un blanco de metal es bombardeado por electrones de 40 KeV ? (b) ¿Cuál es la máxima frecuencia de los rayos x producidos por electrones acelerados a través de una diferencia de potencial de 20.0 kV? RESPUESTA (a) Por conservación de la energía, el más energético es de 40 KeV. (b) 𝜈𝜈 = 4.84 × 1018 𝐻𝐻𝐻𝐻 Profs. Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena

20. Una reflexión de Bragg de primer orden ocurre cuando un rayo x monocromático incidente, a un ángulo de 30o, es reflejado por un terrón de sal (NaCl). Determine la longitud de onda del rayo x incidente. RESPUESTA Como en general: 2𝑑𝑑 sin 𝜃𝜃 = 𝑛𝑛𝑛𝑛; para el caso: 𝑑𝑑𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 = 2.82 Å; 𝜃𝜃 = 30.0° y 𝑛𝑛 = 1; entonces: 𝜆𝜆 = 2.82 Å

21. Rayos x de longitud de onda 0.040 Å son dispersados por un bloque de carbón. Determine (a) el momento de un fotón dispersado a un ángulo de 30o; y (b) la energía cinética del electrón en retroceso. RESPUESTA (a) 𝑝𝑝′ = 287 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑐𝑐 (b) 𝑘𝑘𝑒𝑒 = 23.1 𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘𝑘 22. Cuando fotones de longitud de onda 0.024 Å inciden sobre un blanco que contiene electrones libres, los fotones dispersados por estos, son detectados a un ángulo de 60o: Calcular (a) la longitud de onda de los fotones dispersados, y (b) el ángulo a que es dispersado el electrón. RESPUESTA: (a) λ = 3.60 x 10-12 m = 0.036 Å; (b) A partir de las relaciones de conservación del momento lineal en el Efecto Compton: 𝑝𝑝𝑒𝑒 cos 𝜙𝜙 = 𝑝𝑝 − 𝑝𝑝′ cos 𝜃𝜃 𝑝𝑝𝑒𝑒 sen 𝜙𝜙 = 𝑝𝑝′ sen 𝜃𝜃 𝑝𝑝′ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃

𝜆𝜆 sin 𝜃𝜃

tan 𝜙𝜙 = 𝑝𝑝−𝑝𝑝′ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 = 𝜆𝜆′ −𝜆𝜆 cos 𝜃𝜃 = 0.8860

∴ 𝜙𝜙 = tan−1 0.8860 = 40.9°

23. En un experimento de dispersión, fotones incidentes de 0.200 MeV producen fotones dispersados a un ángulo de 60o con respecto al haz incidente. (a) ¿Cuál es la energía en MeV de los fotones dispersados y (b) de los electrones en retroceso? (c) Muestre si la energía se ha conservado. RESPUESTA 𝐸𝐸 ′ = 0.168 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 2.68 × 10−14 𝐽𝐽

24. (a) ¿Cuál es la diferencia entre los fotones dispersados por electrones y los dispersados por protones? (b) ¿Cuál sería el corrimiento en longitud de onda de un rayo de 0.00200 Å dispersado por un protón a un ángulo de 90o? (c) ¿Qué dificultades experimentales implicaría la medición de la longitud de onda del fotón dispersado. RESPUESTA (a) Para un mismo haz de rayos X incidentes, y para un mismo ángulo de dispersión; los fotones dispersados por electrones son menos energéticos que los dispersados por protones. (b) Δλ = 1.323 x 10-15 m (c) Es muy pequeña para ser detectada y medida

Profs. Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena

25. Rayos X con λ= 0.71 Å extraen fotoelectrones de una hoja de oro. Los electrones describen trayectorias circulares de radio r en una región de inducción magnética B. Los experimentos muestran que rB= 1.88 x 10-4 Tesla-m. Encontrar (a) la energía cinética máxima de los fotoelectrones y (b) el trabajo hecho en remover un electrón de la hoja de oro. RESPUESTA: (a) K máx = 1.030 MeV (b) φ o = 17.5 keV 26. Para el Efecto Compton, derivar la relación: 𝜃𝜃 ℎ𝜈𝜈 cot = �1 + � tan 𝜙𝜙 2 𝑚𝑚𝑐𝑐 2

entre la dirección de movimiento del fotón dispersado y la del electrón en retroceso. RESPUESTA: A partir de las relaciones de conservación del momento lineal, es posible obtener: tan 𝜙𝜙 =

𝑝𝑝 𝑝𝑝′

=

𝑝𝑝′ 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 𝑝𝑝−𝑝𝑝′ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃

ℎ𝜈𝜈 (1 − 𝑚𝑚𝑐𝑐 2

. Por otra parte, a partir de la relación de Compton es posible obtener:

cos 𝜃𝜃) + 1. Combinando estos resultados y haciendo uso de la identidad 𝜃𝜃

trigonométrica: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 2 = csc 𝜃𝜃 − cot 𝜃𝜃; es posible llegar al resultado.

27. Sobre electrones libres inciden fotones de longitud de onda 0.024 Å. (a) Encontrar la longitud de onda de un fotón que es dispersado a 30o de la dirección incidente y la energía cinética suministrada al electrón en retroceso. (b) Repetir el cálculo si el ángulo de dispersión es 120o. RESPUESTA: (a) 𝜆𝜆′ = .027 Å (b) 𝜆𝜆′ = .060 Å 28. Determinar el corrimiento máximo en longitud de onda en la dispersión Comptón de fotones por protones. RESPUESTA: Δλ = 2.64x10-5 Å

29. Pruebe que es imposible para un fotón ceder toda su energía y momento lineal a un electrón libre; por lo que el efecto fotoeléctrico ocurre solo cuando el fotón colisiona con electrones ligados. RESPUESTA: Iniciamos suponiendo que si es posible; entonces al analizar la relación (1) energía momento:

�𝑝𝑝𝑒𝑒2 𝑐𝑐 2 + (𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2 )2 = 𝑚𝑚0 𝑐𝑐 2 + 𝑘𝑘𝑒𝑒

Llegamos a un absurdo que contradice la posibilidad.

Profs. Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena

30. Un fotón de rayos X de energía inicial 1.0x105 eV que viaja en la dirección positiva del eje x, incide sobre un electrón libre y en reposo. El fotón es dispersado a ángulo recto en la dirección positiva del je y. Encontrar las componentes del impulso del electrón en retroceso. RESPUESTA: 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 = 1.0 × 10−5 𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0.84 × 10−5 𝑒𝑒𝑒𝑒/𝑐𝑐

31. Un haz de neutrones producidos por una reacción nuclear incide sobre un cristal con un espaciamiento de 1.50 Å entre planos. Determine la velocidad de estos neutrones si una reflexión de Bragg de primer orden tiene lugar a un ángulo de 30°. RESPUESTA: Considerando que es una reflexión de Bragg, es posible calcular la longitud de onda asociada a los neutrones. 𝑣𝑣 = 4.85 × 106 𝑚𝑚/𝑠𝑠

32. Rayos gamma, con una energía igual a 1.02 MeV; son dispersados por electrones

inicialmente en reposo. Si la dispersión es simétrica, es decir, si 𝜃𝜃 = 𝜙𝜙 ; encuentre (a) el ángulo de dispersión 𝜃𝜃 y (b) la energía de los fotones dispersados. RESPUESTA (a) Por las relaciones (3) de conservación del momento lineal y bajo la condición de que los ángulos de dispersión del electrón y fotón son iguales: 𝑝𝑝 = 2𝑝𝑝′ cos 𝜃𝜃 Por la relación de Compton: ℎ ℎ 𝜆𝜆′ = 𝜆𝜆 + 𝜆𝜆𝑐𝑐 (1 − cos 𝜃𝜃) ∴ 𝑝𝑝′ = ′ = 𝜆𝜆 𝜆𝜆 + 𝜆𝜆𝑐𝑐 (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃) Por tanto: 2ℎ cos 𝜃𝜃 ℎ 𝜆𝜆𝑐𝑐 + 𝜆𝜆 𝑝𝑝 = = ∴ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 = 𝜆𝜆 + 𝜆𝜆𝑐𝑐 (1 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃) 𝜆𝜆 𝜆𝜆𝑐𝑐 + 2𝜆𝜆 Como conocemos la energía del fotón incidente, entonces: 𝜆𝜆 = 0.01216 Å; por tanto: 𝜃𝜃 = 41.5° (b) 𝐸𝐸 ′ =

ℎ𝑐𝑐 𝜆𝜆′

= 0.681𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀

Profs. Ricardo Pintle Monroy, Zeferino Martínez Elena