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ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

PROBLEMAS PROPUESTOS Para cada uno de los sistemas mostrados se pide: a) Calcular el número de grados de libertad. b) Dibujar una deformada lo más general posible. EJERCICIO Nº 01

A

A = A0 I = I0

A = A0 I = I0

B

C

A = A0 I = I0 D Solución

 Dibujamos la deformada del sistema:

B' A

B

C'

D

INFORME Nº 01

1

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

C

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 6 coordenadas generalizadas o independientes: q1, q2, q3, q4, q5, q6; por lo que existen 6 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T NGL  3(4)  1(3)  1(2)  1(1) NGL  6

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 02

∞ A=8 I = I0

B

C

A =∞ 8 I = I0

A = A0

∞ I=8 A

INFORME Nº 01

D

2

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Solución

 Dibujamos la deformada del sistema:

B' B

C

C'

A

D

Podemos ver que existen 2 coordenadas generalizadas: q1, q3 y una coordenada dependiente: q2; por lo que existen 2 grados de libertad. q 2  q1tg

 Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E * V  1 * A  2 * T NGL  3(4)  2(3)  1(2)  2(1) NGL  2

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden.

INFORME Nº 01

3

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 03

A = A0 I = I0

B

A = A0 I = I0

C

D

A = A0 I = I0

A = A0 I = I0

E A Solución

 Dibujamos la deformada del sistema:

B' B

C

D C'

E A

INFORME Nº 01

4

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

D'

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 9 coordenadas generalizadas o independientes, por lo que existen 9 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T NGL  3(5)  1(3)  1(2)  1(1) NGL  9

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 04

A = 8∞ I = I0

B

A=8 ∞ I = I0

C

A = A0 I = I0

A

D Solución

 Dibujamos la deformada del sistema:

B'

C

B C'

A

INFORME Nº 01

D

5

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 4 coordenadas generalizadas: q1, q3, q4, q5 y una coordenada dependiente: q2; por lo que existen 4 grados de libertad. q2  q1 / tg

 Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T NGL  3(4)  2(3)  1(2)  2(0) NGL  4

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 05

A

A = A0 I = I0

B

A = A0 I = I0

A = A0 I = I0

C

A = A0 I = I0

D

A = A0 I = I0

E

F

Solución

 Dibujamos la deformada del sistema:

B' A

A'

D

C

B

C'

E

INFORME Nº 01

F

6

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 15 coordenadas generalizadas: q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7, q8, q9, q10, q11, q12 ,q13, q14, q15; por lo que existen 15 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T  N ( D) NGL  3(6)  1(1)  3(2)  2(0)  2(2) NGL  15

Donde: N: número de articulaciones D: número de direcciones en que se puede desplazar dichas articulaciones  Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 06

A = A0 I = I0

B

C

A = 8∞ I = I0

A = A0 I = I0

A

D Solución

 Dibujamos la deformada del sistema:

B'

B

C C'

A

INFORME Nº 01

D

7

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 5 coordenadas generalizadas: q1, q2, q3, q4, q5; por lo que existen 5 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T NGL  3(4)  2(3)  1(1)  2(0) NGL  5

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 07

C B

A = A0 D I = I0

A = A0 I=

8 ∞

A = A0 I = I0 A Solución

 Dibujamos la deformada del sistema:

C' D B'

C B

A

INFORME Nº 01

8

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 4 coordenadas generalizadas: q1, q2, q3, q4 y una coordenada dependiente: q5; por lo que existen 4 grados de libertad.

q5  tg (  q3 )(q1  q4  4L / 5)  3L / 5  q2  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T NGL  3(4)  2(3)  1(0)  2(1) NGL  4

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 08

B A = A0 I = I0 A=8 ∞ I = I0

C A=8 ∞ I = I0

A

D Solución

 Dibujamos la deformada del sistema:

B' B

C

A

INFORME Nº 01

C'

D

9

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 4 coordenadas generalizadas: q1, q2, q3, q4; por lo que existen 4 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T NGL  3(4)  2(3)  1(0)  2(1) NGL  4

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 09

∞ A=8 I = I0

C

D A=8 ∞ I = I0

A = 8∞ I = I0

∞ A=8 I = I0

B

A = 8∞ I = I0

E

∞ A=8 I = I0

A

F

Solución

 Dibujamos la deformada del sistema: C'

C

B

B'

E'

E

A

INFORME Nº 01

D'

D

F

10

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 6 coordenadas generalizadas: q1, q2, q3, q4, q5, q6; por lo que existen 6 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T NGL  3(6)  2(3)  1(6)  2(0) NGL  6

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 10

C A = A0 I = I0 B A = A0 I = I0 A=∞ 8 I = I0 A

D Solución

 Dibujamos la deformada del sistema: C' C

B

B'

A

INFORME Nº 01

D

11

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 5 coordenadas generalizadas: q1, q2, q3, q4, q5; por lo que existen 5 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E *V  1* A  2 * T NGL  3(4)  2(3)  1(1)  2(0) NGL  5

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden. EJERCICIO Nº 11 C

A = 8∞ I = I0

A = A0 I = I0 B

D

A = 8∞ I = I0

A = 8∞ I = I0

A

INFORME Nº 01

E

12

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Solución

 Dibujamos la deformada del sistema: C'

C

B'

B

D

A

D'

E

Podemos ver que existen 6 coordenadas generalizadas: q1, q2, q3, q4, q5, q6; por lo que existen 6 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E * V  1 * A  2 * T NGL  3(5)  2(3)  1(3)  2(0) NGL  5

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden.

INFORME Nº 01

13

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

EJERCICIO Nº 11 A= ∞ I =∞

D

A= ∞ I = I0

E

A= ∞ I = I0 A= I=

C

F

A= ∞ I = I0

A= ∞ I = I0 A= ∞ I =∞

B

A= ∞ I = I0

G

A= ∞ I = I0

A

H

Solución

 Dibujamos la deformada del sistema: D

D'

C'

C

B

B'

A

INFORME Nº 01

E

F

E'

F'

G G'

H

14

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD

ANÁLISIS ESTRUCTURAL II (IC-444)

INGENIERÍA CIVIL

Podemos ver que existen 3 coordenadas generalizadas: q1, q2, q3,; por lo que existen 3 grados de libertad.  Comprobando con la fórmula general: NGL  3( NDJ )  ( NDJ ) E * V  1 * A  2 * T NGL  3(8)  2(3)  1(9)  2(3) NGL  3

 Podemos ver que tanto en la deformada como en la fórmula general el NGL coinciden.

INFORME Nº 01

15

COORDENADAS GENERALIZADAS Y GRADOS DE LIBERTAD