Bachillerato General Unificado oh ib id a su co m er ci al iz ac ió n MATEMÁTICA Pr 1.º BGU TEXTO DEL ESTUDIA
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Bachillerato General Unificado
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ac ió n
MATEMÁTICA
Pr
1.º BGU TEXTO DEL ESTUDIANTE
1 BGU
Matemática Texto del alumno
PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA Lenín Moreno Garcés MINISTRA DE EDUCACIÓN Monserrat Creamer Guillén Viceministra de Educación Susana Araujo Fiallos Viceministro de Gestión Educativa Vinicio Baquero Ordóñez Subsecretaria de Fundamentos Educativos María Fernanda Crespo Cordovez Subsecretario de Administración Escolar Mariano Eduardo López Directora Nacional de Currículo Graciela Mariana Rivera Bilbao la Vieja Director Nacional de Recursos Educativos Ángel Gonzalo Núñez López Directora Nacional de Operaciones y Logística Carmen Guagua Gaspar
Primera impresión Marzo 2020 Impreso por:
MAYA EDICIONES CÍA. LTDA. Dirección general Patricio Bustos Peñaherrera Edición general Juan Páez Salcedo Autoría Guillermo Benalcázar Gómez Coordinación editorial Soledad Martínez Rojas Dirección de arte Paulina Segovia Larrea Diseño y diagramación Equipo de diseño Maya Ediciones Investigación gráfica Flavio Muñoz Mejía Investigación TIC Fernando Bustos Cabrera Terminación y acabados Santiago Carvajal Sulca Ilustraciones Archivo editorial y sitios web debidamente referidos Fotografías Shutterstock, archivo editorial y sitios web debidamente referidos Nº de derecho de autor QUI-057203 de 13 de septiembre de 2019 ISBN: 978-9978-52-329-2 Este libro fue evaluado por la Universidad SEK, mediante ACUERDO Nro. MINEDUC-SFE-2017-00063-A, con fecha 18 de octubre de 2017. © MAYA EDICIONES CÍA. LTDA., 2020 Av. 6 de Diciembre N52-84 y José Barreiro Teléfono: 02 510 2447 [email protected] www.mayaeducacion.com Quito, Ecuador
© Ministerio de Educación del Ecuador Av. Amazonas N34-451 y Av. Atahualpa Quito-Ecuador www.educacion.gob.ec La reproducción parcial o total de esta publicación, en cualquier forma y por cualquier medio mecánico o electrónico, está permitida siempre y cuando sea por los editores y se cite correctamente la fuente autorizada. DISTRIBUCIÓN GRATUITA PROHIBIDA SU VENTA ADVERTENCIA Un objetivo manifiesto del Ministerio de Educación es combatir el sexismo y la discriminación de género en la sociedad ecuatoriana y promover, a través del sistema educativo, la equidad entre mujeres y hombres. Para alcanzar este objetivo, promovemos el uso de un lenguaje que no reproduzca esquemas sexistas, y de conformidad con esta práctica preferimos emplear en nuestros documentos oficiales palabras neutras, tales como las personas (en lugar de los hombres) o el profesorado (en lugar de los profesores), etc. Sólo en los casos en que tales expresiones no existan, se usará la forma masculina como genérica para hacer referencia tanto a las personas del sexo femenino como masculino. Esta práctica comunicativa, que es recomendada por la Real Academia Española en su Diccionario Panhispánico de Dudas, obedece a dos razones: (a) en español es posible , y (b) es preferible aplicar para así evitar el abultamiento gráfico y la consiguiente ilegibilidad que ocurriría en el caso de utilizar expresiones como las y los, os/as y otras fórmulas que buscan visibilizar la presencia de ambos sexos.
Índice BC 2
Unidad 5
BC 1
Función cuadrática y el espacio vectorial en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Análisis de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Intervalos de la función cuadrática donde es decreciente o creciente . . . . . . . . . . . . . . 124 Ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Ecuaciones que se reducen a una ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Intersección gráfica de dos parábolas . . . . . . . . . . . . . 139 Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en forma analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Modelos matemáticos con funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 El conjunto R2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Interpretación geométrica de las operaciones en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Vectores colineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 El espacio euclídeo R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Longitud o norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Ángulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 169 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . . 172 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
BC 1
BC 2
BC 3
Unidad 4
Rectas en R2 y derivada de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Ecuación vectorial de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Ecuación paramétrica de la recta . . . . . . . . . . . . . . . 180 Ecuación cartesiana de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Pendiente de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Rectas paralelas y perpendiculares. Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Distancia entre dos números reales . . . . . . . . . . . . . 192 Noción intuitiva de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Significados de: x → 0, x → x0+ y x → x0– . . . . . . . 194 Noción de límite de una función real . . . . . . . . . . 195 Cociente incremental. Noción de derivada . . . . . 198 Interpretación geométrica y física del cociente incremental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Derivada de la función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . 201 Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Velocidad instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 209 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . . 212 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Polinomios reales con coeficientes en R y distacia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . 216 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . . . . . . 218 Aplicaciones geométricas del producto escalar en R2. Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . 224 Ley del paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 El conjunto [R] de polinomios con coeficientes reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Operaciones con polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Multiplicación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Producto de números reales por polinomios . . 237 Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . . . . . . . . 240 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 241 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . 244 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Unidad 6
BC 1
BC 2
BC 1
Unidad 3
División de polinomios reales con coeficientes en R. Probabilidad . . . . . . . . . . . . 248 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 División de polinomios. Teorema del residuo . . . . . 250 Aplicaciones de polinomios en la Informática . . 256 Conversión de binario a decimal y viceversa . . 257 Modelos matemáticos con funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Experimentos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Operaciones con sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Operaciones con sucesos. Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Intersección. Conjuntos disjuntos . . . . . . . . . . . . . . 270 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Factorial de un número natural. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Solución de problemas cotidianos . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Desafíos científicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 La matemática y las profesiones . . . . . . . . . . . . 279 TIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Desafíos y proyectos matemáticos . . . . . . . . . . 282 En síntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Evaluación sumativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Respuestas a las evaluaciones sumativas . . . . . . . 286 Bibliografía y webgrafía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
BC 1
Bloque Curricular 1: Álgebra y funciones
BC 2
Bloque Curricular 2: Geometría y medida
BC 3
Bloque Curricular 3: Estadística y Probabilidad
Conoce tu libro Apertura de unidad Contiene: título de unidad, fotografía motivadora relacionada con los temas que se tratarán, texto introductorio, preguntas de comprensión y de lectura de imagen, objetivos de unidad.
Contenidos científicos y pedagógicos Inician con la destreza con criterio de desempeño. Incluyen: • Saberes previos. Pregunta que relaciona el nuevo conocimiento con las experiencias previas del estudiante: su experiencia, su entorno. • Desequilibrio cognitivo. Cuestiona los conocimientos que posee el estudiante y lo desestabiliza para que reconstruya la información que posee. Los contenidos se apoyan en fotos, organizadores gráficos, diagramas, esquemas e ilustraciones. La estructura de un tema o lección es: 2 páginas de contenidos + 2 páginas para desarrollo de destrezas.
Secciones variables • Recuerda que… Se hace mención a temas propios de la matemática; hace referencia a conocimientos anteriores o prerrequisitos que el estudiante necesita para el tema que se está desarrollando. • Conexiones con las TIC. Funciona como herramienta de investigación para que los estudiantes profundicen temas o aprendan de manera más ágil. • Interdisciplinariedad. Vincula la matemática con las demás ciencias matemática y arte, matemática e historia, etc. • Eje transversal. Comprende diferentes temáticas como: interculturalidad, formación de una ciudadanía democrática, protección del medioambiente, cuidado de la salud y los hábitos de recreación de los estudiantes y educación sexual en los jóvenes. • Simbología matemática. Sintetiza los símbolos matemáticos aprendidos en la lección.
Taller práctico
Dos páginas por tema (en la estructura de 2+2). El taller ha sido diseñado para desarrollar las destrezas del currículo. Incluye actividades en las dimensiones conceptual, procedimental o calculativa y de modelización. Estas invitan a la reflexión, comprensión profunda, dominio de procesos y algoritmos, desarrollo de valores, y aplicación a la realidad. Cada pregunta inicia detallando la destreza con criterio de desempeño. Siempre existe un Trabajo colaborativo acompañado de un recuadro con Diversidad funcional en el aula, con recomendaciones para trabajar con estudiantes con discapacidades.
Solución de problemas cotidianos
Esta sección promueve en los estudiantes la capacidad de resolver problemas, modelándolos con lenguaje matemático, resolviéndolos (utilizando el método adecuado) e interpretando su solución en su marco inicial. Aquí se pondrá un problema tipo, sus algoritmos, los procesos mentales para resolverlo, y algunas recomendaciones.
Desafíos científicos
Esta sección detalla con información que permite visualizar que los temas tratados en la unidad se relacionan con algo práctico o utilitario, que se aplica en la vida.
La matemática y las profesiones
Espacio para hablar sobre qué estudios universitarios o tecnologías se pueden estudiar y cómo es la carrera laboral.
TIC
Guía al estudiante, paso a paso, en la utilización de programas informáticos o en el uso de calculadoras para graficar funciones, vectores, realizar simetrías, homotecias, gráficos de rectas paralelas, perpendiculares, etc.
Desafíos y proyectos matemáticos
Permite reforzar el aprendizaje de la matemática, a través de su aplicación en la práctica.
Evaluación sumativa
Dos páginas al final de cada unidad con preguntas/actividades en función de los indicadores para la evaluación del criterio. Incluye Heteroevaluación, Coevaluación, Autoevaluación y una tabla de Metacognición, que orienta al estudiante a reflexionar sobre cómo aprende, y a verificar sus logros y debilidades para retroalimentar su aprendizaje.
Función cuadrática y el espacio vectorial en R2 La arquitectura y la parábola
E
l Ecuador es un país muy diverso y tiene muchos atractivos turísticos, tanto antiguos como modernos. Un ejemplo de ello es el centro histórico de Quito, el cual fue declarado Patrimonio Cultural de la Humanidad por la Unesco, el 8 de septiembre de1978. Así, el casco colonial tiene alrededor de ciento treinta edificaciones monumentales, donde se aloja una gran diversidad de arte pictórico y escultórico, principalmente de carácter religioso, inspirado en una multifacética gama de escuelas y estilos, además de cinco mil inmuebles registrados en el inventario municipal de bienes patrimoniales. Una de estas edificaciones es la catedral primada de Quito; sus arcos, su techo y altar barrocos, sus coros neoclásicos y su fachada la hacen única y deslumbrante. Tomado de: http://museosquitoecuador.blogspot. com/2015/05/ catedral-primada-de-quito.html
Observa y contesta • ¿Qué formas reconoces en las imágenes? • ¿Cómo asociarías la función cuadrática con estas imágenes? • ¿Dónde has observado parábolas en la vida cotidiana? • ¿Cómo crece el turismo en Quito?
120
Shutterstock, (2020). 353411243
3
unidad Bloques curriculares Álgebra y funciones Geometría y medida
Objetivos
Flavio Muñoz M., (2020) . Colección Quito Histórico
• O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social. • O.G.M.5. Valorar, sobre la base de un pensamiento crítico, creativo, reflexivo y lógico, la vinculación de los conocimientos matemáticos con los de otras disciplinas científicas y los saberes ancestrales, para así plantear soluciones a problemas de la realidad y contribuir al desarrollo del entorno social, natural y cultural. • O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación. Ministerio de Educación, (2016).
121
DCCD: M.5.1.20 Graficar y analizar el dominio, el recorrido, la monotonía, ceros, extremos y paridad de las diferentes funciones reales utilizando TIC. (Ref. DCCD: M.5.1.20)
Saberes previos En la notación de determinación de conjuntos, A = {xE | p(x)}, siendo p una función proposicional definida en el conjunto referencial E, ¿qué elementos intervienen en la definición de función? Desequilibrio cognitivo ¿Cómo determinas las raíces de las ecuaciones cuadráticas mediante la aplicación de las propiedades algebraicas de los números reales?
Análisis de la función cuadrática La función cuadrática es una función que aparece en muchas partes de la matemática y tiene numerosas aplicaciones. Sin embargo, por el momento centraremos nuestro estudio en obtener el recorrido de la función cuadrática, en los intervalos en los que es creciente o decreciente, en la determinación del máximo o mínimo y en el cociente incremental. Definición Sean a, b, c con a ≠ 0. La función f de en , definida como f ( x ) = ax 2 + bx + c , xx, ∈R , se llama función cuadrática. Los números reales a, b, y c se llaman coeficientes de la función cuadrática. A la función f la llamaremos polinomio de grado 2 con coeficientes reales. Definición Sean a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 con a1 ≠ 0, a2 ≠ 0, f, g las funciones 2 ∈R de en definidas como f ( x ) = a1x + b1x + c1 , xx, 2 g ( x ) = a2 x + b2 x + c2 , xx. ∈R Diremos que f = g si y solo si a1 = a2 , b1 = b2 , c1 = c2 . El dominio de f es todo . Esto es, Dom(f) = . Determinemos el recorrido de f. Para el efecto, sea y = f(x). Como a ≠ 0, existe a–1 , tal que aa–1 = 1. Consecuentemente b c ; sumamos y restamos el término y = ax 22 + bx + c = a x 22 + x + a a b b2 b2 c b2 2 , obtenemos y = a x + x + 2 − 2 + a 4a 4a a 4 a2
Conexiones con las TIC
== a
b x+ 2a
Visita el siguiente enlace: bit.ly/2J0FTzY El objetivo de esta actividad es que los estudiantes se familiaricen con el uso y el valor numérico de la función cuadrática y que también descubran la importancia de la aplicación de esta función en el contexto que los rodea.
2
ac −− bb22 44ac b ++ ,, = a x + 2 44aa 2a
22
de donde y −
4 ac − b2 b bb 4 ac − b2 , ,+xx ∈ =a x+ ==aa x ++ .2. 4a 2a 22aa 4a
2
+
2
+
4 ac − b2 , 4a
4 ac − b2 , 4a
Identificamos dos casos: a > 0 y a < 0. Comencemos con el caso a > 0. = a, x + Puesto que para todo x
b 2a
22
2
4 ac − b2 b =a x+ +≥ 0, entonces 2 4a 2a 2
2
+
4 ac − b2 , 4a
4 ac − b2 4 ac b − b2 4 ac − b2 bb 4 ac − b2 , +≥x 0,∈de = ay x≥+ , el ==aa x ++ + , con lo cual y− 2.donde 4a 2 a4 a 4a 22aa 4a
( f )= recorrido de f es el conjuntoRec Rec(f) 122
22
4 ac − b2 bb + ===a a xx ++ 2 4a 22aa
4 ac − b2 ,∞ . 4a
Ahora tratamos el caso a < 0.
Simbología matemática b 2 Nuevamente, para todo x , x + ≥≥ 0 y siendo a < 0, resulta 2a : subconjunto 2 22 2 2 b 2 b ≠: diferente de 4 ac − b b ≥≤ 00. Luego, y − ==a axx++ ≤≥≤0,00, de donde a x+ : conjunto de números reales 2a 4a 22aa Dom(f): dominio de f 4 ac − b2 y≤ . Rec(f): recorrido de f 4a 22 ac b 4 − 4ac b En este caso, el recorrido de f es el conjunto Rec ( f ) = −∞, , ., si. a0. 4a 2
En un capítulo posterior se estudiarán las cónicas. Allí se verá que la gráfica de la función cuadrática representa a una parábola que se abre b 4 ac − b2 hacia arriba, si a > 0, y hacia abajo, si a < 0. El punto − , 2a 4a se llama vértice de la parábola. Recuerda que…
Máximos y mínimos de las funciones cuadráticas Mínimo de la función cuadrática 4 ac − b2 , el número Sea a > 0. Puesto que para todo x , f ( x) ≥ 4a 2 4 ac − b real m = se llama mínimo global de la función cuadrática. 4a Escribiremos: 4 ac − b2 m= = mín mínxf∈(x),f ( x), 4a x que se lee "m es el mínimo de la función f en todo ".
• El mínimo global de la función cuadrática es el mínimo de la función que se representa como: m = mín mínfx∈(x) f ( x)
x
m ≤ f ( x), ∀x ∈ .
• Si a < 0, y la función cuadrática f no tiene mínimo global, escribiremos: mín f (x) = – ∞, o simplemente, x
mín f (x) no existe. x
Máximo de la función cuadrática 4 ac − b2 Sea a < 0. Como para todo x , f ( x) ≤ , el número real 4a 2 4 ac − b M= se llama máximo global de la función cuadrática. 4a Escribiremos: 4 ac − b2 M= máxx ∈f (x), = máx f ( x), 4a x que se lee “M es el máximo de la función f en todo ". m, ,si, sisiaa>>>0,0,0, m ac−−bb222 bb 44ac Nótese que:f ff −− == === M, ,si, sisiaa x2 + + , es decir que f ( x1 ) > f ( x 2 ) ≥ . 2 4 2 4 4 4 1 , , tal que x1 < x2, De modo similar, se muestra que si x1 , x 2 2 3 entonces < f ( x1 ) < f ( x 2 ). La prueba se propone como ejercicio. 4 En la gráfica siguiente se interpretan estos dos resultados (Figura 3.4.). 2. Consideremos la función g, definida como g ( x) = − x 2 + 4 x − 4, ∀x ∈ . Puesto que g ( x) = − x 2 + 4 x − 4 = −( x 2 − 4 x + 4 x) = −( x − 2)2 , ∀x ∈ , y 2 tomando en consideración que ( x − 2) ≥ 0, ∀x ∈ , resulta g ( x) ≤ 0, ∀x ∈ , es decir que el recorrido de g es el conjunto Rec( g) =] − ∞ , 0]. El dominio de g es obviamente el conjunto .
Calculemos algunos valores de la función g. g (2) = −(2 − 2)2 = 0, g (1) = −(1 − 2)2 = −1, g(3) = −(3 − 2)2 = −1.
decrece
crece x
0
1 2
p Figura 3.4.
Interdisciplinariedad Matemática con la vida cotidiana Las funciones cuadráticas son ampliamente usadas en la ciencia, los negocios y la ingeniería. La parábola, puede describir trayectorias de chorros de agua en una fuente y el botear de una pelota o definir la curvatura en estructuras como reflectores y antenas parabólicas que forman, respectivamente, los faros de los carros y la base de los platos satelitales. ¿Qué otro tipo de aplicaciones tienen las funciones cuadráticas?
En la Figura 3.5. se muestra la gráfica de la función g. Esta es una parábola que se abre hacia abajo, Shutterstock, (2020). 368766932
g ( x) = −( x − 2)2 , ∀x ∈ , y su vértice es el punto (2, 0). Se tiene 0 = g(2) = máx g(x). x
Esta función es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2] y estrictamente decreciente sobre el intervalo [2, ∞[ .
p Antena parabólica satelital.
Probemos que es estrictamente creciente en el intervalo ]–∞, 2]. Sean x1, x2 ]–∞, 2], tal que x1< x2 ≤ 2. Sumando –2 en la desigualdad, obtenemos x1 –2 < x2 –2 ≤ 0, de donde ( x1 − 2)2 >( x 2 − 2)2 , y multiplicando por –1, en esta última desigualdad, se deduce −( x1 − 2)2 < − ( x 2 − 2)2 , es decir que g ( x1 ) < g ( x 2 ). ∈]]−∞ −∞,2], ,2], xx11 0, f(x) > 0
p Figura 3.6.
La ecuación de segundo grado tiene una raíz doble. y – b 2a
0 y=a x+ b 2a
2
x
d son tales que su cuadrado es 4 a2 d d = 2. 2 4a 4a
a 0, |a| = a, entonces x = −
La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales y distintas. y
− b − d − b − b2 − 4 ac , x1 = = 2a 2a
y = ax2+bx+c x1
x2
0
x
− b + d −b + b2 − 4 ac = . 2a 2a Los números reales x1, x2 son soluciones de la ecuación de segundo grado, pues f ( x1 ) = f ( x 2 ) = 0. Además x1 ≠ x2. Por lo tanto, si d = b2 − 4 ac > 0, el conjunto solución S está definido como: S = x ∈ | ax 2 + bx + c = 0 = { x1 , x 2 } . x2 =
{
y
−b ± b2 − 4 ac , para pos2a teriormente determinar si la ecuación de segundo grado tiene o no solución en , según d ≥ 0 o d < 0. Para su representación gráfica, observa la Figura 3.8.
y = ax2+bx+c
x1
Por comodidad, se utiliza la fórmula x =
0
x2
x
a>0
Observa que, en el caso de que la ecuación de segundo grado no tenga raíces reales, la gráfica de f no corta al eje x (primer caso). En los casos en los que la ecuación de segundo grado tiene solución en , la gráfica de la función cuadrática f corta al eje x en un punto o en dos puntos distintos (segundo y tercer casos). p Figura 3.8.
130
}
Ejercicios resueltos 1. Considera la ecuación x2 + x + 1 = 0 en el conjunto . Puesto que 2 b d 1 1 2 2 2 = 2 x + x + 1= 0 ⇔ x + x = −1 ⇔ x + x + = −1 + ⇔ x + 2a 4a 4 4 El primer miembro de la última igualdad es no negativo, mientras que el segundo miembro es negativo. Por tanto, la ecuación no tiene solución en o, lo que es lo mismo, el conjunto solución S = 0, pues no existe un número real cuyo cuadrado sea − 3 . Nótese que ∀x, 2 4 1 3 2 x+ + >0 , con lo cual f ( x) = x + x + 1> 0 , ∀x. 2 2 En este caso, la gráfica de f no corta al eje x.
2. Si es posible, factoriza la función f definida por f ( x) = x 2 + 2 x + 2, ∀x ∈ .
Recuerda que… • Hemos visto que la función f se escribe como
En primer lugar, estudiemos la existencia de raíces reales de la ecuación x2 + 2x + 2 = 0. Para el efecto, calculamos el discriminante d de dicha ecuación. Tenemos a = 1, b = 2, c = 2, luego, d = b2 – 4ac = 4 – 8 = –4 < 0.
b c f (x) = a x 2 + x + , x a a Además, la ecuación en , f ( x) = 0 ⇔ ax 22 + bx + c = 0 , tiene solución en si y solo si el discriminante d = b2 − 4 ac ≥ 0, en cuyo caso sus raíces reales son:
La ecuación x2 + 2x + 2 = 0 no tiene raíces reales, por lo tanto, la función real f no puede factorizarse en la forma f ( x) = ( x − x1)( x − x 2 ), x ∈ , con x1, x2 .
Obsérvese que
f ( x) = x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1)2 + 1 ≥ 1, ∀x ∈ ,
con lo que mín f (x) = 1.
x1 =
x
Propiedades de la raíces. Factorización de funciones cuadráticas
b −b − b2 − 4 ac −b + b2 − 4 ac −b − b2 − 4 ac − b + b2 − 4 ac = =− . + 2a 2a 2a a
con a, b, c , a ≠ 0, las raíces reales x1, x2 de la ecuación ax2 + bx + c = 0 satisfacen las
b b2 − 4 ac −b + b2 − 4 ac − b − b2 − 4 ac − b + b2 − 4 ac + =− . = a 2a a 2a
− 4 ac −b + b2 − 4 ac ⋅ =− a 2a
2
relaciones x1 + x 2 = −
c x1 ⋅ x 2 = . a
Luego, la suma de las raíces x1, x2 de la ecuación de segundo grado b satisfacen la relación x1 + x 2 = − . a Calculemos x1 ∙ x2 : −b − b2 − 4 ac −b + b2 − 4 ac ⋅ =− 2a 2a
(
b2 − 4 ac + b
)(
4 a2
b2 − 4 ac − b
(
−b + b2 − 4 ac . 2a
• En conclusión, dada la función cuadrática f, definida como f ( x) = ax 2 + bx + c , ∀x ∈ ,
Calculemos x1 + x2. Tenemos:
x1 ⋅ x 2 =
−b − b2 − 4 ac , 2a
x2 =
Consideremos la función cuadrática f, dada por f ( x) = ax 2 + bx + c , x ∈ , donde a, b, c con a ≠ 0.
x1 + x 2 =
b − 4 ac + b 2
)(
4a
2
b − 4 ac − b 2
.
Además, la función f se factoriza en la forma
f ( x) = a( x − x1 )( x − x 2 ), x ∈ .
)= c.
Obsérvese la equivalencia
ff((xx))==00 aa((xx−−xx11)()(xx−−xx22))==00
a
)= c.
y siendo a ≠ 0, se deduce
a
Por lo tanto, el producto de las raíces x1, x2 de la ecuación de segundo c grado satisface la relación x1 ⋅ x 2 = . En consecuencia, la función f se a escribe como sigue:
Nótese que hemos utilizado la propiedad distributiva de los números reales y la identidad a(−b + c) = −a(b − c), ∀a , b , c ∈ . Así, la función cuadrática f o polinomio de grado 2 con coeficientes en se escribe en la forma f ( x) = a( x − x1 )( x + x 2 ), x ∈ . Es decir que la función f se ha factorizado.
x x1 = 0, o
x = x1, o
x x2 = 0
x = x2 .
Este último resultado muestra que la ecuación de segundo grado tiene, a lo más, dos raíces reales y distintas.
b c f (x) = a x 2 + x + = a x 2 (x1 + x 2 )x + x1x 2 = a x 2 x1x + x 2 x + x1x 2 a a = a [ x(x x1)+ x 2 ( x + x1)] = a [ x(x x1) x 2 (x + x1)] = a(x x1)(x + x 2 ).
b y a
131
Taller práctico 1
DCCD: M.5.1.26. Aplicar las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado en la factorización de la función cuadrática.
2 a) p( x) = 3 x − 2 x , ∀x ∈ .
Para cada función cuadrática P y para los números reales r que se dan a continuación, verifica si son o no raíces de P.
2 a) P (t ) = t − 4, ∀t ∈ , r = −2, r = 2.
2 b) p( x) = 2 x + 5 x , ∀x ∈ .
2 b) P ( x ) = 8 x − 80 x + 200, ∀x ∈ , r = 5, r = −2.
c) p( x) = 2 c) P (t ) = −70 − 4t + 2t , ∀t ∈ , r = 1, r = −8.
2
Para cada polinomio P y para la raíz r de P que se presenta a continuación, determina si es raíz simple o de multiplicidad 2.
2 a) P (t ) = 5t + t , ∀t ∈ , r = 0.
4
1 2 49 x − , ∀x ∈ . 16 81
Estudia si la función que se define en cada ítem es factorizable en . En caso de no serlo, justifica tu respuesta.
2 a) f ( x ) = − x + x , ∀x ∈ .
___________________________________________
2 b) P (t ) = −1+ t , ∀t ∈ , r = −1.
2 b) u ( x ) = x − 13 x + 40, ∀x ∈ .
___________________________________________ 2 c) v (t ) = 6 + 9t + 3t , ∀t ∈ .
c) P ( x ) = −6 − x + x , ∀x ∈ , r = 3.
___________________________________________
2
2 d) φ ( y ) = 6 + 8 y + 2 y , ∀y ∈ .
___________________________________________
e) θ ( z ) =128 + 32 z + 2 z 2 , ∀z ∈ .
3
132
Para cada función cuadrática P que se define en cada caso, calcula, si existen, las raíces reales de la ecuación p(x) = 0 y sea S = { x ∈ | p( x) = 0}. Si S ≠ 0, factoriza p(x), x.
___________________________________________
f)
(a) = a2 − a + 5,
∀a ∈ .
___________________________________________
5
Resuelve en las ecuaciones siguientes. Ten presente que el producto de números reales es cero si y solo si cada factor es cero.
Trabajo colaborativo Diversidad funcional en el aula Sin importar las diferencias o similitudes que podamos tener unos con otros, debemos integrarnos y trabajar en equipo..
a) x 2 − x − 2 = 0.
Archivo editorial, (2020).
Indaguen, analicen, trabajen en equipo en sus cuadernos. b)
5 8
11x (2x 2 45x 125) = 0.
7
Resuelvan en las ecuaciones que se dan, en las que a es fijo a ≠ 0. Estudien la existencia de raíces reales en función de a.
a) 5 x 2 − 5a2 = 0. c) (4 x 2 − 3 x)( x 2 − 60 x + 900) = 0. b) 2 x 2 − 2 ax − 12 a2 = 0.
(
)
(
)
c) 2 x 2 + 2 a2 + 5 x + 5a2 = 0. d) ( x 2 + 90 x + 2025)(5 x 2 + 5 x − 30) = 0.
2 2 2 d) 2 x + 4 a − 3 x − 6 a = 0.
8
6
Determina las condiciones que ha de verificar a con a ≠ 0 para que la función cuadrática que se da en cada caso sea factorable en .
2 a) p (t ) = a + t + t , ∀t ∈ .
2 b) q ( x ) = a − x , ∀x ∈ .
9
Consideren la ecuación hallar x solución de ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c , a ≠ 0. Supongan que b2 – 4ac > 0. Demuestren que esta ecuación tiene exactamente dos raíces reales y distintas. Para el efecto, asuman que la ecuación tiene tres raíces reales y distintas entre sí: x1, x2, x3. Obtengan una contradicción. Los números reales r1 , r2 que se dan en cada caso son raíces de un polinomio de la forma P(t) = t2 + at + b, ∀t, donde a, b son constantes elegidas apropiadamente. Hallen dicho polinomio. Tracen la gráfica de P e indiquen dónde es creciente y dónde decreciente.
a) r1 = –1, r2 = 0.
b) r1 = 1, r2 = –3. 133
DCCD: M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Saberes previos ¿Qué procesos conoces para resolver ecuaciones cuadráticas?
Ecuaciones que se reducen a una ecuación de segundo grado Ecuación de la forma at4 + bt2 + c
Desequilibrio cognitivo ¿Cómo encontrarías la solución de una ecuación de cuarto grado de la forma ax4 + bx2 + c = 0, con a, b, c , a ≠ 0?
Recuerda que… Toda solución de la ecuación at4 + bt2 + c = 0 es solución de las ecuaciones t2 = x1, o t2 = x2 y, recíprocamente, resulta S = S1, siendo x1, x2 soluciones de ax2 + bx + c = 0. Por consiguiente, la sustitución x = t2 permite transformar la ecuación at4 + bt2 + c = 0 a una ecuación de segundo grado y si d ≥ 0, el par de ecuaciones t2 = x1, t2 = x2 permiten determinar el conjunto solución S. Si d < 0, es S ≠ 0 y con mayor razón S1 ≠ 0. Además, si d > 0 y x1 < 0, x2 < 0, entonces S1 ≠ 0, en cuyo caso, para todo t, t2 – x1 > 0, t2 – x2 > 0, de donde
P(t) = at 4 + bt 2 + c > 0, ∀t ∈ , si a > 0, P(t) = at 4 + bt 2 + c < 0, ∀t ∈ , si a < 0.
Sean a, b, c con a ≠ 0. Consideremos la función definida por f (t) = at 4 + bt 2 + c , t ∈ . Esta función es un polinomio de grado 4. Determinemos si existe t , solución de la ecuación at4 + bt2 + c = 0. Denotamos con S su conjunto solución. Ponemos x = t2, entonces x2 = t4 y la ecuación se expresa en la forma ax2 + bx + c = 0. 2 2
b b b2 b−2 4−ac4 ac t 2 t+2 + = = 2 2 , , 2 a2 a 4 a4 a −b − b2 − 4 ac 2 se sigue que si d = b − 4 ac ≥ 0, entonces t 2 = 2a −b + b2 − 4 ac 2 ot = . 2a Por otro lado, las raíces de la ecuación ax2 + bx + c = 0 están dadas por 4 4 2 2 Puesto queat at + bt + bt + c+=c 0= 0
x1 =
−b − b2 − 4 ac , 2a
x2 =
− b + b2 − 4 ac , 2a
y como x = t2, se obtiene así el par de ecuaciones t2 = x1, t2 = x2. Sea S1 su conjunto solución, es decir, S1 = {t ∈ | t 2 = x1 ∨ t 2 = x 2 }. Ejercicios resueltos 1. Consideremos la ecuación: t tal que 4t4 – 37t2 + 9 = 0. Sea x = t2, entonces la ecuación propuesta se transforma en la 1 ecuación 4x2 – 37x + 9 = 0, cuyas raíces son x1 = 9, x 2 = . 4 1 Resolvamos el par de ecuaciones t2 = 9, t 2 = . 4 1 1 Resulta t1 = –3, t2 = 3, t3 = − , t 4 = . 2 2 El conjunto solución es: 1 1 S = {t | 4t 4 37t 2 + 9 = 0} = 3, , ,3 . 2 2 Nótese que 4t 4 37t 2 + 9 = 0
t2
37 8
2
=
1297 64
t2
37 8
35 8
t2
37 35 + =0 8 8
1 1 t = −3 v t = 3 v t = − v t = . 2 2
Además, P(t) = 4t 4 − 37t 2 + 9, t ∈ se factoriza en la forma P(t) = 4 (t +3) (t 3) t + 134
1 1 t , 2 2
t
.
Ecuación de la forma
ax + b = cx + d
Recuerda que…
Ejercicios resueltos 1. Hallar x , si existe solución de la ecuación 2 x − 3 = − x + 1. En primer lugar, la raíz cuadrada de números reales está bien definida para números reales no negativos. En consecuencia, 3 3 ∈ , ∞ .. Además, para 2x – 3 ≥ 0, de donde x ≥ , o bien x x 2 2 3 x ≥ , 2 x − 3 ≥ 0, con lo que la igualdad 2 x − 3 = − x + 1 tiene 2 33 , ∞ .. . ∈∈ , ∞ sentido si y solo si − x + 1 ≥ 0, xxx 22 3 3 Sea x x∈ , ∞ ,. entonces x ≥ . Multiplicando por –1 a esta 2 2 3 − última desigualdad, se obtiene x ≤ − , y sumando 1 en ambos 2 1 3 3 1 ∈ , ∞, ∞, ,. miembros, se tiene − x + 1 ≤ − . Así, − x + 1 ≤ − , x ∈ xx 2 2 2 2 3 ∈ , ∞ ,. lo que significa es decir que –x + 1 es negativo para xx 2 que la igualdad 2 x − 3 = − x + 1 es contradictoria. Por lo tanto, la ecuación propuesta 2 x − 3 = − x + 1 no tiene solución en . Sean u, v las funciones definidas por u( x) = 2 x − 3 , v( x) = − x + 1. 3 Se tiene Dom(ux) ∈ = , ∞ ,., Dom(v) = . En la Figura 3.9. se mues2 tran las gráficas de las funciones u y v, se ve que no se cortan. 2. Considérese la ecuación x y
Tenemos la ecuación
ax + b = cx + d , donde a, b, c, d con a ≠0, c ≠ 0. Sean u, v las funciones reales definidas por u( x) = ax + b , v( x) = cx + d , entonces
Dom(u) = { x ∈ | ax + b ≥ 0} , Dom(v) = .
Si v(x)≥0 para x Dom(u), la igualdad ax + b = cx + d es compatible para, al menos, un número real x Dom(u). En tal caso, procedemos a resolver la ecuación. Elevamos ambos miembros al cuadrado. Si el discriminante de esta ecuación de segundo grado es negativo, la ecuación ax + b = cx + d no tiene solución en .
2 x − 3 = x − 1.
Sean u, v las funciones reales definidas por u( x) = 2 x − 3 , v( x) = x − 1. 33 ∞ ,. Dom(v) = . En la Figura 3.10. se Entonces Dom(u)x =∈ ,,∞ 22 muestran las gráficas de las funciones u y v, las cuales se cortan en 3 ∈ , ∞ ,. un punto. Nótese que 2 x − 3 está bien definido, si xx 2 33 ∈ ∈ , ,∞ ∞ .. y 2 x − 3 ≥ 0, xx 22 1 3 Además, x − 1 ≥ para x x∈ , ∞ ,. por lo que la igualdad 2 2 3 x ∈ , ∞ .. 2 x − 3 = x − 1 es compatible en el conjunto 2 ¿Tiene solución esta ecuación? Para dar respuesta a esta pregunta, elevamos al cuadrado ambos miembros
(
)
y 3
1
–1
2
2x 3 = (x 1)2 ,
3 , pertenece al conjunto. 2 Se verifica inmediatamente que 2 xˆ 3 = xˆ 1 es la única solución del sistema.
0
1
3 2
2 3 y = –x+1
4
5
6
x
p Figura 3.9.
y 3
de donde 2x – 3 = x2 – 2x +1, con lo que (x – 2)2 = 0.
y =√2x –3
2
y = x+1 y =√2x –3
2 1
La solución xˆ = 2
–1
0
1
3 2
2
3
4
5
6
x
–1
p Figura 3.10.
135
Taller práctico 1
DCCD: M.5.1.27. Resolver ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Estudia la existencia de raíces reales y factoriza la función f, siempre que sea posible.
a) f ( x) =
a) f ( x) = x 8 + 11x 4 − 1, x ∈ .
b) f ( x) = ( x 4 + 3 x 2 + 2)( x 4 − 8 x 2 + 15), x ∈ .
1 4 x − 81, x ∈ . 16
4 b) f ( x) = −5 x 4 + 2 x 2 − 1, x ∈ .
Estudia y resuelve en las ecuaciones que se proponen en cada ítem, donde x denota la incógnita. 4
2
4
2
a) 2 x 3 − 3 x 3 − 20 = 0. c) f ( x) = 0,2 x 4 + x 2 + 10, x ∈ .
2
Estudia la existencia de raíces reales y factoriza, siempre que sea posible, la función f.
b) 4 x 3 + 2 x 3 − 1= 0.
a) f ( x) = 2 x 6 + x 3 − 10, x ∈ .
5 b) f ( x) = x 6 + 64, x ∈ .
Estudia y resuelve en + las ecuaciones que se proponen a continuación, siendo x la incógnita. 1
a) 0,36 x + 1,2 x 2 + 1= 0. c) f ( x) = 3 x 6 + x 3 − 10, x ∈ .
1
3
136
b) 25 x − 2 x 2 − En cada ítem, se define una función f. Estudia la existencia de raíces reales y factoriza la función f, siempre que sea posible.
1 = 0. 25
6
a)
Estudia y resuelve en las ecuaciones que se dan a continuación:
Trabajo colaborativo Diversidad funcional en el aula
x + 5 = −2 x + 1.
Al trabajar en equipo es importante que una persona lidere la actividad e integre a todos los miembros que conforman el grupo. Archivo editorial, (2020).
Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. b)
1 x + 2 = 3x + 2 . 2
8
a)
7
a)
x − 4 + x + 20 =10.
b) 2 x − 1 + 2 x + 1 = 4 x + 10 . Estudia y resuelve en las ecuaciones que se dan a continuación: x 2 + x + 1 = x − 1.
2 b) 1 − 2 x − x = 2 x + 3.
c)
Estudien y resuelvan en las ecuaciones siguientes:
x + 8 x = −3 x + 2. 2
c) 4 x + 5 x + 4 =17.
9
Sean a, b, c con a ≠ 0 y u la función real definida por u( x) = ax 4 + bx 2 + c , x ∈ . Con base en el discriminante d = b2 – 4 ac y la gráfica de la función v, dada por v( y) = ay 2 + by + c , indiquen las condi ciones bajo las cuales la ecuación ax 4 + bx 2 + c = 0 tiene solución en : dos raíces distintas, cuatro raíces distintas, una raíz de multiplicidad 2, una raíz de multiplicidad 4.
10 Sean a, b, c con a ≠ 0 y w la función real definida por 4
2
w( x) = ax 3 + bx 3 + c , x ∈ . Precisen las condiciones que se han de verificar para que la ecuación w(x) = 0 tenga solución en y calculen las soluciones.
137
DCCD: M.5.1.28. Identificar la intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrática y otra lineal. M.5.1.29. Identificar la intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas.
Saberes previos ¿Qué es para ti un sistema de ecuaciones? Desequilibrio cognitivo Si la recta L no interseca a la parábola, entonces, ¿el sistema tiene solución?
Intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones {
} | y = α x + β } , donde,
Consideremos la parábola P = ( x , y ) ∈ | y = ax 2 + bx + c , donde
{
a, b, c a ≠ 0 y la recta L = ( x , y ) ∈
2
α, β . Para fijar las ideas, se supone que a > 0, α > 0. Analicemos tres casos. 1. En la Figura 3.11. se muestran las gráficas de esta parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos distintos, de abscisas x1 y x2. Es decir que ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y2 ) ∈P ∩ L , más aún, P ∩ L = ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y2 ) .
{
}
y
Conexiones con las TIC
y = ax²+bx+c
Para ampliar tus conocimientos sobre la intersección de una recta y una parábola, visita el siguiente enlace:
y = αx + β
β c
bit.ly/2VEhuqx x1
0
x2
x
p Figura 3.11.
Este par de puntos son solución del par de ecuaciones
ab c
intersección. Lugar en que se cortan o se encuentran dos líneas, dos superficies o dos sólidos. parábola. Curva abierta formada por dos líneas o ramas simétricas respecto de un eje y en que todos sus puntos están a la misma distancia del foco (un punto) y de la directriz (recta perpendicular al eje).
138
y = ax 2 + bx + c ,
Glosario
y =αx + β . Al igualar miembro a miembro, se tiene:
x+
b −α 2a
2
−
c−β b −α =0 x+ a a 2 2 b −α b−α c−β x+ = − . 2a 2a a
ax 2 + ( b − α ) x + c − β = 0
α x + β = ax 2 + bx + c
b −α 2a
2
+
c−β =0 a
x2 +
De esta última igualdad, para que existan estos dos puntos de corte distintos, se debe verificar que b−α 2a
c − β ( b − α ) − 4 a( c − β ) = > 0. 4 a2 a 2
2
−
2. En la Figura 3.12. se muestran las gráficas de la parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas se cortan en un punto de abscisa x, es decir que ( x , y ) ∈P ∩ L , más aún, P ∩ L = {( x , y )} . Este punto es solución del sistema de ecuaciones
y
y = ax²+bx+c
y = ax 2 + bx + c ,
c
y =αx + β , del que, procediendo del mismo modo que el anterior, se obtiene: 2
x + = ax +bx + c
b x+ 2a
2
b = 2a
2
c a
.
y = αx + β
β
x
x
0
p Figura 3.12.
De esta última igualdad, y para que exista un punto de corte, se debe verificar que 2 2 b−α c − β ( b − α ) − 4 a( c − β ) − = = 0 , con lo que 2a a 4 a2 b , 2a b y= 2a
x=
y, en consecuencia, ( x , y ) ∈P ∩ L . + y
3. En la Figura 3.13. se muestran las gráficas de la parábola P y de la recta L. Se observa que estas dos gráficas no se cortan.
En este caso, procediendo de modo similar al precedente, se tiene:
b−α 2a
2
y = ax²+bx+c
c − β ( b − α ) − 4 a( c − β ) − = < 0, a 4 a2 2
con lo que el sistema de ecuaciones
y = ax 2 + bx + c ,
y =αx+β , no tiene solución en el conjunto de los números reales. Entonces, resulta P ∩ L = ∅.
x
0 y = αx + β
β
p Figura 3.13.
Intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones Ahora, consideremos la intersección de dos parábolas designadas con P1 y P2: P1 =
{( x , y ) ∈ {
2
| y = ax 2 + bx + c
},
P2 = ( x , y ) ∈ 2 | y = α x 2 + β x + λ
},
donde a, b, c, α, β, λ, a ≠ 0 y α ≠ 0 son constantes. Se supone que P1 ≠ P2.
Conexiones con las TIC Hay calculadoras, como la fx-9860, que te permiten resolver sistemas de ecuaciones cuadráticas.
Analizaremos dos casos (los restantes se dejan como ejercicio). 139
1. En la Figura3.14. se muestran las gráficas de las parábolas P1 y P2.
y
y= αx²+βx+λ
Nótese que se ha supuesto que a > 0, α > 0. Se observa que estas dos gráficas se cortan en dos puntos distintos, de abscisas x1 y x2. Es decir que ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y2 ) ∈P1 ∩ P2 , más aún, P1 ∩ P2 = ( x1 , y1 ) , ( x 2 , y2 ) .
{
λ
}
Este par de puntos son solución del par de ecuaciones y = ax 2 + bx + c , y = α x2 + β x + λ . Procediendo en forma similar al caso de intersección de una recta con una parábola, al igualar miembro a miembro, se tiene:
y = ax²+bx+c x1
0 x2
x
(a
x 2 + x + = ax 2 +bx + c
) x 2 + (b
)x+c
= 0.
Si a ≠ α, a – α ≠ 0, y podemos dividir la última ecuación para a – α, resulta:
p Figura 3.14.
b x + a 2
c x+ a
b x+ 2 (a
=0 2
)
2
b x+ 2 (a
b = 2 (a
2
)
) c a
b 2 (a
2
)
+
c a
=0
.
De esta última igualdad, para que existan dos puntos de corte distintos, se debe verificar que
y
2
)
c a
(b =
)
2
4 (a 4 (a
)
2
)(c
) >0.
En el caso a = α, a – α = 0, resulta: (b – β) x + c – λ = 0. Si b – β = 0, se tiene b = β, con lo que c = λ contradice el supuesto de que P1 ≠ P2. En consecuencia, b – β ≠ 0, en cuyo c−λ caso, la solución de la ecuación precedente es xˆ = , b−β 2 b ≠ β, de donde ˆy = axˆ + bxˆ + c , luego ( xˆ , ˆy ) ∈P1 ∩ P2 .
y = ax²+bx+c
y= αx²+βx+λ
0
x
p Figura 3.15.
140
b 2 (a
Se deja como ejercicio trazar las gráficas de las parábolas que satisfacen esta condición. En la Figura 3.15. se muestran las gráficas de las parábolas P1 y P2. Se observa que estas dos gráficas no se cortan. Se ha supuesto que a > 0, α < 0. El análisis matemático respectivo se deja como ejercicio.
Ejercicio resuelto En física se estudia el movimiento rectilíneo uniforme y variado de cuerpos. Se obtienen dos ecuaciones elementales que relacionan el desplazamiento (posición) x en términos de la velocidad inicial v0 , la aceleración a y el tiempo t. Así: x = vt , movimiento rectilíneo uniforme (velocidad constante), x = v ot + 21 at 2 , movimiento rectilíneo variado (aceleración constante).
En una avenida, el auto 1 se mueve con velocidad constante de veinte metros por segundo, lo cual se escribe 20 m/s (72 km/h). La persona que conduce observa en un panel una advertencia de entrada y salida de autos. El auto 2 ingresa a la avenida con una velocidad inicial v0 = 2 m/s, una aceleración de 1m/s2. Al instante en que el auto 2 ingresa a la avenida, el auto 1 se encuentra a 60 m a la izquierda del ingreso. ¿Existe o no accidente (choque por alcance)?
Conexiones con las TIC Visita el siguiente enlace para que puedas practicar este tema: bit.ly/2UMhsbP Toma en cuenta que: Si son parábolas secantes, el sistema tiene dos soluciones. y 18 16 y = –x2 - 14
14 12 10
(3, 9)
(–3, 9)
8 6 4
Auto 1
Carril derecho
–6
Instante inicial
y = x²
2
Auto 2 –4
–2
2
4
6
x
Instante inicial Entrada
Si son parábolas tangentes, el sistema tiene una solución. y
Para saber si existe o no choque, denotamos con x la posición de los autos t segundos más tarde. Con la información suministrada, obtenemos x = −60 + 20t , (auto 1), el par de ecuaciones: x = 2t + 0,5t 2 , (auto 2), donde x y t son las incógnitas.
5 4 3 2 1 0 –3
–2
–1
3
x
–3 –4
15
La solución de este problema nos muestra varias reflexiones. En un tiempo aproximado de 3,72 segundos, se produce el accidente por impericia y descuido de los dos conductores de los autos. El conductor del auto 1 no toma en consideración la advertencia y al observar el ingreso del auto 2, no reduce la velocidad. El conductor del auto 2 desestima la posición y velocidad del auto 1, y comete la imprudencia de ingresar a la avenida. En lo sucesivo, toma en consideración las advertencias en las vías, las velocidades, tiempos y distancias. Este ejemplo nos muestra cómo la matemática ayuda a comprender esta clase de riesgos y a tomar precauciones en las vías. Ten presente que en 3 s el auto 1 recorre 60 m.
2
–2
Conclusión: ¡Si se produce un accidente!
20
1 –1
Graficamos las dos ecuaciones.
y
–5
B = (3,72; 14,34)
10
Si son parábolas que no se cortan, el sistema no tiene solución.
5
c 0
–10
–5
0
5
10
y 5 4
x
3 2 1 0 –3
–2
–1
1
2
3
x
–1 –2 –3 –4
141
Taller práctico 1
DCCD: M.5.1.28. Identificar la intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones: una cuadrática y otra lineal. M.5.1.29. Identificar la intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas.
3
1 45
Considera en el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: x + 4 y + 1 = 0, 2
x 2 − 2 x − 4 y − 7 = 0,
donde x, y denotan las incógnitas. a) En el mismo sistema de referencia, representa gráficamente la recta y la parábola.
Resuelve en 2 el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: 1 9 u + v − 4 = 0, u2 + 254 u − v + 209 = 0,
donde u, v denotan las incógnitas. a) Confirma que las soluciones son (–5, 11/9) y (4, 20/9). b) En el mismo sistema de referencia, representa gráficamente las dos parábolas y marca los puntos de intersección.
b) Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales y obtén las soluciones (–2, ¼) y (3, –1). Comprueba que estas son efectivamente soluciones del sistema no lineal de ecuaciones.
4
2
Resuelve el siguiente sistema de ecua−3 a + b + 34 = 0, ciones no lineales: 4 (a − 1)2 + b2 = 25, donde a, b denotan las incógnitas. Comprueba que las soluciones son (–3, –3) y (5, 3). En el mismo sistema de referencia, representa gráficamente la recta y la circunferencia y precisa los puntos de intersección de estas dos gráficas.
Considera en 2 las representaciones gráficas de dos subconjuntos R, S de 2, de modo que R S . Observa y determina las soluciones en forma aproximada.
a)
5 A
4
c
B
3 2 1
–5
–4
–3
–2
–1
1
1
1
2
3
4
5
1 –2 –3 –4 –5
___________________________________________ ___________________________________________
142
Trabajo colaborativo
b) 7
Diversidad funcional en el aula
6 5
Cuando una persona tiene una discapacidad, lo mejor es preguntarle directamente si hay algo en lo que puedas ayudar. Por ejemplo para resolver las actividades de esta sección.
B
4
A
3
Archivo editorial, (2020).
2 1
Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. 0 0
1
2
3
4
5
5 ___________________________________________ ___________________________________________
c)
f
14
A
12
c
10 8 6
6
B
4 2 0 14 12 10 8
6
4
2 –2
2
4
6
8 10 12 14
–4 –8 –10 –12 –14
b) Determinen dos números cuya suma sea 90 y su cociente sea 9.
___________________________________________ ___________________________________________
6 a
2
A c
0 0
2
2
4
c) ¿Cuáles son los dos números positivos cuya suma es 10 y su producto 21? d) Se desea cercar un terreno rectangular, uno de cuyos lados linda con un río. Si el área del terreno es de 0,2 hectáreas y los tres lados por cercar miden 140 m, ¿cuáles son el largo y el ancho del terreno?
8
4
Planteen un sistema de ecuaciones no lineales y resuelvan los problemas en 2, donde x, y denotan las incógnitas.
a) El producto de dos números es 4 y la suma de sus cuadrados es 17. ¿Cuáles son los números?
–6
d)
Resuelvan en 2 los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales, donde x, y denotan las incógnitas. x − y = −1, xy = 20.
6
8
10
12
14
16
7
–2
___________________________________________ ___________________________________________
a)
Resuelvan en 2 los sistemas de ecuaciones no lineales donde x, y designa las incógnitas. y = x2 , y = x + 1.
b)
y = x 2 − 1, y = − x 2 + 1. 143
DCCD: M.5.1.30. Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: una de primer grado y una de segundo grado; y sistemas de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas, de forma analítica.
Saberes previos ¿Para qué sirve analizar el discriminante? Desequilibrio cognitivo ¿Crees que un sistema de ecuaciones cuadráticas puede tener infinitas soluciones? ¿Por qué?
Recuerda que… El estudio de rectas y parábolas nos lleva a resolver sistemas formados por:
y = mx + b , y = ax 2 + bx + c . El estudio de un sistema formado por dos parábolas nos lleva a resolver sistemas cuadráticos formados por:
y = ax + bx + c , 2
y = px 2 + qx + c , con x, y , las incógnitas.
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en forma analítica Específicamente, trataremos sistemas de ecuaciones no lineales de la la siguiente forma: a1 x 2 + b1 y 2 + c1 x + d1 y + f1 xy = e1 a2 x 2 + b2 y 2 + c2 x + d2 y + f2 xy = e2 , donde (x, y)2 denotan las incógnitas, ai, bi, ci, di, fi i = 1, 2 son los coeficientes y ei, e2 se llaman términos independientes. Resolver en el conjunto 2 el sistema de ecuaciones no lineales con coeficientes y términos independientes en significa hallar dos números reales x, y, que se escriben (x, y)2 y que satisfacen dichas ecuaciones. Si no es posible hallar (x, y)2 que satisfaga el sistema de ecuaciones dado, se dirá que dicho sistema no tiene solución en el conjunto 2. Si existe (x, y)2, que satisface el sistema de ecuaciones, el par (x, y) es la solución de dicho sistema. Ejercicios resueltos 1. Considera el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: x 2 + x + y =1, 2 (x, y) y 3 x − 2 y = −1. Para hallar la solución de este sistema de ecuaciones, si acaso existe, observamos que se facilita obtener la incógnita y de la segunda ecuación y luego reemplazarla en la primera. Así, tenemos 1 1 y = (3 x + 1), luego x 2 + x + (3 x + 1) =1 o bien 2 x 2 + 5 x − 1= 0. 2 2 2 El discriminante de esta ecuación es d = 5 − 4 × 2 × (−1) = 33, que muestra que la ecuación de segundo grado precedente tiene dos raíces reales y distintas x1, x2, dadas por
−5 − 33 −5 + 33 5 + 33 =− , x2 = . 4 4 4 1 Como y = (3 x + 1). Reemplazamos x por x1 y x2, y obtenemos 2 y1 y y2, definidos por: x1 =
144
1 1 y1 = (3x1 +1) = 3 2 2
5+ 33 1 +1 = 11+3 33 , 4 8
1 1 y1 = (3x1 +1) = 3 2 2
5+ 33 1 +1 = 11+3 33 , 4 8
(
(
)
)
Las soluciones del sistema de ecuaciones no lineal propuesto está constituido por el conjunto S = {( x1 , y1 ), ( x 2 , y2 )} .
Así, el conjunto solución S del sistema de ecuaciones no lineales es S = {( x1 , y1 ),( x 2 , y2 )} = {(1, −2),(−2,1)} ., 3. Considera el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: x 2 + 3 xy =18, 1 xy + y 2 = 2. 3
x Usamos una incógnita auxiliar v definida como v = con y ≠ 0. y Así, x = vy. Reemplaza en las dos ecuaciones del sistema dado y obtenemos (v 2 +3v)y 2 =18 (vy)2 +3(vy)y =18 v 2 y 2 +3vy 2 =18
1 (vy)y + y 2 = 2. 3
1 v +1 y 2 = 2. 3
1 2 2 vy + y = 2. 3 2
De la segunda ecuación, obtenemos y =
2
con v ≠ –3.
1 v +1 3 2 Reemplazando en la primera, resulta v 2 + 3v =18 . v +1 3 Simplificando, obtenemos la siguiente ecuación de segundo grado,
(
y2 =
2
=
2
1 1 (3) + 1 v2 + 1 3 3
Matemática y economía En economía se usan las ecuaciones cuadráticas para representar modelos económicos de oferta y demanda. Este tipo de modelos se asemeja más a la realidad, en comparación del modelo que usa las ecuaciones de primer grado. Las ecuaciones cuadráticas son realmente útiles porque nos ayudan en distintos objetivos, dependiendo de la profesión que una persona ejerza. Si una persona no sabe resolverlas, no estará en la posibilidad de aprender temas superiores debido a que son la base de las matemáticas. Además, las ecuaciones cuadráticas ayudan a los economistas a tener una orientación de la situación económica de un mercado.
=1, con lo cual y = ± 1 = ±1.
x Ponemos y1 = −1, y2 =1. Como v = , se sigue que x = vy. Entony ces, x1 = v2 y1 = 3 × (−1) = −3, x 2 = v2 y2 = 3 × 1= 3. Por otro lado, 2 como y 2 = con v ≠ –3, 1 v +1 3 la solución v1 = –3 queda descartada, pues para v1 = –3 la variable y no está definida. Así, la solución del sistema de ecuaciones no lineales propuesta está dada por el conjunto S, constituido por (x1, y1), (x2, y2), o sea, S = {(−3, − 1), (3, 1)} .
Interacción entre la Oferta y la Demanda
7000 6000 5000 4000 3000
Punto de equilibrio
2000 Exceso Demanda
1000 0 200
250
300
350
400
450
500
550
Cantidad demandada
)
2v2 = 18, de donde v = ± 9 = ±3. Ponemos v1 = –3, v2 = 3. Luego,
Interdisciplinariedad
Precio por unidad
2. Considera el sistema de ecuaciones no lineales caracterizado por x 2 + y 2 = 5, 2 (x, y) tal que x + y = −1. Obtenemos x de la segunda ecuación, esto es, x = –1 – y, y reemplazamos en la primera. Tenemos entonces: (–1 –y)2 + y2 = 5, de la que, luego de realizar simplificaciones, obtenemos y2 + y – 2 = 0. Las raíces de estas ecuaciones están definidas como −1 − 9 −1 − 3 −1 + 9 −1 + 3 y1 = = = −2, y2 = = =1, 2 2 2 2 puesto que x = –1 – y. Reemplazando y por y1 , y2, obtenemos x1 , x2, definidos por: x 2 = −1 − y2 = −1 − 1= −2. x1 = −1 − y1 = −1 − (−2) =1,
ab c
Glosario
modelo. Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una realidad compleja (como la evolución económica de un país) que se elabora para facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.
145
Taller práctico 1
a)
DCCD: M.5.1.30. Resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: una de primer grado y una de segundo grado; y sistemas de dos ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas, de forma analítica.
Resuelve en 2 los sistemas de ecuaciones que se indican en cada ítem y verifica que la o las soluciones halladas satisfagan el sistema de ecuaciones dado.
2
a)
Resuelve en 2 los sistemas de ecuaciones propuestos, siendo x, y las incógnitas. 1 1 + = −1, x y x + y = 4.
x y + = 3, y x x − y = 2.
b)
c)
d)
146
Una solución es: x = 1 + 5 , y = −1 + 5 .
1 x 2 + y = −1, b) 2 x + 3 y = 0.
x − y = 2, x 2 + 2 y 2 = 4. Una solución es: x = ±2 2 ; y = ± 3 .
c)
x + 0,01y =10, x 2 + y 2 = 9.
2 x − 3 y =1, x 2 + 2 y 2 = 8. Una solución es: y =
x 2 + 2 y 2 = 3, 3 x − 2 y = 5. 2
2
−4 ± 3 134 . 17
d)
e)
x + y = 5, xy = 6.
− x + y = −7, − xy = 8.
3
Resuelve en los siguientes sistemas de ecuaciones: 2
Trabajo colaborativo Diversidad funcional en el aula
x 2 + y 2 = 20, a)
Es importante recordar que una persona con discapacidad visual suele requerir tiempo extra en cuanto a la realización de actividades.
x+y x−y + = 5. x−y x+y
Archivo editorial, (2020).
Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos.
4 x 2 + y 2 = 8, b)
1 1 1 + = . x2 y2 2 a)
b)
c)
x y 5 + = , y x 2 1 1 45 + 2= 2 2. 2 x y x y
c)
Sea λ . Determinen, siempre que sea posible, todos los valores de λ, para los cuales los sistemas de ecuaciones no lineales propuestos no tienen solución en 2. x 2 + λ y = −1, x 2 + y 2 = 1. x 2 + λ y 2 = 2, 2 x 2 + 3 y 2 = 10. x 2 + 2 y = −1, 3λ x + y = 1.
1 λ + = 1, d) x y x + y = −1. e) 2
x + λ y = 5, x − y = 2 xy .
2
x−y x+y − − − =x−+1,yx ≠ = y,− x 1,≠x−≠y y , x ≠ − y x+y x− +y x−y d) x + y x x−+y y x − y + =+1. = 1. x − y x x+−y y x + y
1 x + y = 1, λ f) λ 3 + = 4. x y x + xy + y = 18, g)
x y + = λ. y x 147
DCCD: M.5.1.31. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones, reales o hipotéticas, que pueden ser modelizados con funciones cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos.
Saberes previos ¿Qué es un modelo matemático? Desequilibrio cognitivo ¿Qué factores intervienen en el crecimiento urbano de la ciudad?
Modelos matemáticos con funciones cuadráticas Crecimiento del área urbana de una ciudad Para la planificación de las ciudades, es muy importante encontrar o construir funciones a partir de datos históricos que permitan calcular, en forma aproximada, su crecimiento. En este ejemplo, se plantea el crecimiento que experimenta el área urbana de una pequeña ciudad del Ecuador. En la siguiente tabla se muestran los resultados: Año 1950 1970 1990 2007
Área urbana aproximada (km²) 15,0 23,0 39,8 61,0
t 0 20 40 57
Dr. H. Benalcázar, 2020
Nótese que al año 1950 se lo asocia con 0; a 1970, con 20; a 1990, con 40; y al año 2007, con 57. Estos datos se grafican en el sistema de coordenadas rectangulares (Figura 3.16.). A(t) km² 70 60
Conexiones con las TIC Visita el siguiente enlace: bit.ly/2Wg7WyY Esta actividad ampliará tu conocimiento sobre la aplicación de ecuaciones cuadráticas para resolver problemas en situaciones del mundo real.
50 40 30 A(t) = 15+0,18t+0,01t² 20 10 0 1950
10
20
30
40
50
60
1960
1970
1980
1990
2000
2010
t(años)
p Figura 3.16.
Se asume que el crecimiento es continuo, lo que permite trazar una curva continua que pasa por dichos puntos. El crecimiento que experimenta la ciudad se modela con una función cuadrática de la forma A (t ) = a + bt + ct 2 , t ≥ 0, donde a, b, c son constantes. Para esa información, se ha encontrado que a = 15, b = 0,18, c = 0,001, con lo que la función A se escribe como sigue:
A(t) =15 + 0,18t + 0,011t 2 =15 + t (0,18 + 0,011t), t ≥ 0.
148
Nótese que A( 0 ) =15, A( 20 ) = 23, A( 40 ) = 39,8, A(57 ) = 60,999 y A( 0 ) < A( 20 ) < A( 40 ) < A(57 ) . De manera general, si t1 , t2 ∈ + con t1 < t2, se tiene A(t1) < A(t2), es decir que la función A es estrictamente creciente.
Por otro lado, de mantenerse la misma tendencia de crecimiento urbano de esta ciudad, para los años 2015, 2020, 2030 y 2050, ¿qué áreas urbanas aproximadas experimentará esta ciudad?
Interdisciplinariedad Matemática e historia
En la siguiente tabla se muestran los resultados de A(t) en t = 65, 70, 80, 100: Año
t
A(t)
2015
65
73,175
2020
70
81,5
2030
80
99,8
2050
100
143,0
François Viète (Francia, 1540-1603) Fue un matemático francés que consideró las ecuaciones cuadráticas de la manera general, ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c son cantidades conocidas. Gracias a esto, es posible escribir la fórmula de resolución de la ecuación cuadrática para resolver ecuaciones de este tipo y convertir otras reducibles a cuadráticas.
Dr. H. Benalcázar, 2020
Nota. Los modelos matemáticos de crecimiento urbano son mucho más complejos que los que estamos proponiendo en esta parte.
François Viète, (2020) . www.biografiasyvidas.com
Sin embargo, nos interesa la información cuantitativa que obtenemos de este modelo simple para fines de planificación. Así, junto con este crecimiento del área urbana, crecen también las necesidades, algunas de las cuales se plantean como interrogantes: • ¿Cuánta agua potable se requerirá sucesivamente? • ¿Cuántos kilómetros de alcantarillado se deberán construir? • ¿Cuáles serán los nuevos consumos eléctricos? • ¿Cuántas escuelas y colegios deben construirse y cuántos docentes deben incorporarse sucesivamente? p François Viète
• ¿Cuánta basura se producirá? • ¿Cuántas rutas de transporte deberán generarse? • ¿Cuántos policías deberán incorporarse para la seguridad ciudadana? • ¿Cuántos recursos económicos deberán invertirse? Estas son solo unas pocas interrogantes de las muchas que podemos plantear. Entonces, te dejamos como ejercicio reflexionar acerca de ellas y proponer otras en torno al crecimiento de la ciudad.
Eje transversal Ciudadanía
p Desarrollo urbano de una ciudad.
Shutterstock, (2020). 426548836
Igualmente, te recomendamos investigar cómo obtener información y procesarla para responder cada una de las preguntas planteadas. Por último, te recomendamos también indagar sobre modelos mucho más complejos que conduzcan a soluciones mucho más precisas.
Al analizar los modelos de crecimiento urbano surgen, sin duda alguna, innumerables preguntas como las anotadas en esta página. Las soluciones a todas estas interrogantes y a otras conducen a establecer estrategias de planificación urbana y a implementar soluciones para mejorar la calidad de vida de la población.
149
Taller práctico 1
DCCD: M.5.1.31. Resolver (con o sin el uso de la tecnología) problemas o situaciones, reales o hipotéticas, que pueden ser modelizados con funciones cuadráticas, identificando las variables significativas presentes y las relaciones entre ellas; juzgar la pertinencia y validez de los resultados obtenidos.
El consumo promedio de agua en el sector comercial en la ciudad X, en 1970, es de 80 litros por habitante por día. En 1980, es aproximadamente 95 litros por habitante por día, y en el año 2000 es de 135 litros por habitante por día. Se busca una función C de la forma
2
En la gráfica siguiente, se muestran tres porciones de rectas que representan las gráficas de tres tipos de funciones, D1, D2, D3, definidas como D1 ( t ) = α 1β1t , D2 ( t ) = α 2 β 2 t , D3 ( t ) = α 3 β 3t , t ≥ 0, donde αi, βi son constantes reales i = 1, 2, 3.
D (km) D = D2(t)
C ( t ) = a + b( t − 1970 ) + c ( t − 1970 ) t ≥ 1970. 2
20 D = D1(t)
a) Calcula las constantes a, b y c.
10 D = D3(t)
1 4
b) Calcula C(2007) y compara, si es posible, con datos estimados actuales. ___________________________________________ ___________________________________________
c) Traza la gráfica de la función C.
0,5
3 4
1
1,5
t (horas)
a) Con los datos proporcionados en la gráfica, calcula las constantes αi βi i = 1, 2, 3, si D1 ( 0 ) = D2 ( 0 ) = D3 ( 0 ) y 3 = D3 (1) = 20 km, D1, D2, D3 4 representan la distancia recorrida por un auto en un día feriado, en un día laboral que no es hora pico, y en un día laboral en horas pico.
D1 ( 0,5) = D2
b) Calcula D1 (1,5 ) , D2 (1,5 ) y D3 (1,5 ) . Analiza los resultados. d) Si se conserva la tendencia, pronostica C(2020). c) Calcula D1 (1,5 ) , D2 (1,5 ) y D3 (1,5 ) . Analiza los resultados.
150
3
Se buscan dos funciones S y V de las formas siguientes:
Un equipo mecánico cuesta v dólares, v = 20 p + r > 500, p, r +, 0 ≤ r < 20. El comprador dispone solo billetes de veinte dólares. La cajera tiene únicamente billetes de cinco dólares y tres billetes de un dólar. ¿Es posible disponer de m billetes de veinte dólares para el pago y n billetes de cinco dólares para el vuelto que arregle la compra del equipo? Muestra las soluciones gráficamente. Comentario. Se debe resolver una ecuación de la forma 20m – 5n –3 = v, con m, n Z+, conocida como ecuación diofantina (en honor al matemático Diofante). En este problema se requieren conocimientos del espacio vectorial 2 y subespacios de 2, de la ecuación vectorial y cartesiana de una recta, la representación gráfica, así como de la divisibilidad en Z. Es obvio que se requieren propiedades algebraicas y de orden en el conjunto .
s(t ) =
α 1t 2 , si 0 ≤ t ≤ t 0 ,
vv( (t t) )==
β1 ( t − t 0 ) + β 2 ( t − t 0 ) + β 3 = s2 ( t ) t 0 < t ≤ t1 , 2
atat, , sisi 00≤≤t t≤≤t 0t 0, ,
aa1 (1 (t t−−t 0t 0) )++vv0 0, , sisit t>>t 0t 0, ,
m donde: v ( 0 ) = 0, v ( t 0 ) =10 y s s ( t 0 ) = 400 m , s ( t1 ) = 800 m , cuando v(t1) = 0. s (m) s = s2(t)
800
400 s = α1t²
t0
0
t1
m s
v
m s
Trabajo colaborativo
10
Diversidad funcional en el aula Es importante que haya tiempo suficiente para que realicen su trabajo personas que puedan tener dificultades en su motricidad, deben tener paciencia e incorporarlos al trabajo. Archivo editorial, (2020).
Trabajen en equipo, indaguen y resuelvan.
4
v1 = a1 (t–t0)–v0
v1 = at
Resuelvan. La distancia entre dos paradas de buses es 800 m. Una unidad de transporte público debe recorrer esta distancia siguiendo dos criterios: acelerar en una primera etapa y, luego, desacelerar.
0
t0
t1
t(s)
a) Calculen las constantes t0 , a, α1. b) Calculen las constantes a1, v0, β1, β2, β3 y t1. Para el efecto, asuman que s2 (t 0 ) = 400 m y v (t0 ) = v0 . c) Escriban en forma explícita las funciones S y V. d) Muestren que V es creciente en [0, t0] y decreciente en [t0, t1] 151
DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adición entre elementos de 2 y de producto por un número escalar de manera analítica aplicando propiedades de los números reales.
Saberes previos ¿Qué es el sistema de coordenadas cartesianas? Desequilibrio cognitivo El par ordenado (a, b) es igual al par ordenado (b, a). Explica.
El conjunto 2. Operaciones Adición en 2 Definición Sean U = ( a , b ) , V = ( c , d ) dos elementos de 2. Se define la suma de U con V, que se escribe U + V, como sigue: U + V = ( a , b) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) . La definición expresa que la suma de dos elementos de 2 se realiza sumando sus respectivos componentes. El resultado es otro elemento de 2. Ejercicios resueltos
Recuerda que… Se designa con 2 al producto cartesiano ×. Esto es, 2 = {( x , y)| x , y ∈} . Los elementos de 2 son pares ordenados. Si ( x , y) ∈ 2 , x ∈ se denomina primera componente o abscisa y se denomina segunda componente u ordenada. A los elementos de 2 los representamos con las letras mayúsculas del alfabeto, y a sus componentes, siempre con letras minúsculas del alfabeto o con subíndices. A es un par ordenado, esto es, existen a, b , tal que A = (a, b). Se tiene la siguiente equivalencia, A2 ∃a, b , tal que A = (a, b).
1. Sean U = (−5, 8 ) , V = (3,5; −6,3) . Entonces
U + V = (−5, 8 ) + (3,5; − 6,3) = (−5 + 3,5; 8 − 6,3) = (−1,5; 1,7 ) .
2. Dado a , se definen U = ( a , − a) , V = (−a , a) ∈ 2 .
Entonces U + V = ( a , − a) + (−a , a) = ( a − a , −a + a) = ( 0, 0 ) = O. 3. Dado a y U = ( a , − 5a) ∈ 2 , se tiene
U + O = ( a , − 5a) + ( 0, 0 ) = ( a + 0, − 5a + 0 ) = ( a , − 5a) = U.
De la definición precedente, se sigue que la suma de dos elementos de 2 es otro elemento de 2. Más aún, la operación adición en 2 es una ley de composición interna. Esto es, “+” es una función de 2 × 2 en 2, definida como sigue: + +: :
2 × 2 → 2 (U , V ) → U + V ,
donde U + V está arriba definido. Se tiene así la propiedad clausurativa, que se expresa del modo siguiente: ∀ U, V 2 U + V 2. Antes de describir otras propiedades de la adición en 2, es conveniente recordar las propiedades de la adición de números reales.
Propiedades de la adición en 2 La operación “+” en 2 satisface las propiedades siguientes: i. Conmutativa: para todo U, V 2, U + V = V + U. ii. Asociativa: para todo U, V, W 2, U + (V + W) = (U + V) + W. iii. Existencia del elemento neutro: existe O 2, tal que para todo U 2, U + O = O + U = U. iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada U existe V 2, tal que U + V = O. 152
Demostración Sean U = ( a , b) , V = ( c , d ) , W = ( p , q) tres elementos arbitrarios de 2. i. Conmutativa. De la definición de suma de elementos en 2, se tiene U + V = ( a , b) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) . Además V + U = ( c , d ) + ( a , b) = ( c + a , d + b) , y por la propiedad conmutativa de la operación “+” en , obtenemos V + U = ( a + c , b + d ). Por la definición de igualdad de elementos en 2, se tiene U + V = V + U = ( a + c , b + d ) .
Conclusión: U + V = V + U.
ii. Asociativa. Por la definición de la adición “+” en , se tiene V + W = ( c , d ) + ( p , q) = ( c + p , d + q) . 2
Luego, y debido a la propiedad asociativa de la adición en , resulta U + (V + W ) = ( a , b ) + ( c + p , d + q ) , a + ( c + p ) = a + c + p , b + ( d + q ) = b + d + q , con lo cual U + (V + W ) = ( a + c + p , b + d + q ) .
Por otro lado, U + V = ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) . Luego, (U + V ) + W = ( a + c , b + d ) + ( p , q ) = (( a + c ) + p , ( b + d ) + q ) .
Por la misma propiedad asociativa de la adición en , se obtiene (U + V ) + W = ( a + c + p , b + d + q ) .
De la definición de igualdad de elementos de 2, se concluye que U + (V + W ) = ( a , b ) + ( c + p , d + q ) = ( a + ( c + p ) , b + ( d + q )) ,
U + (V + W ) = (U + V ) + W = ( a + c + p , b + d + q ) .
Conclusión: U + (V + W ) = (U + V ) + W .
iii. Existencia del elemento neutro. El elemento O = (0, 0) pertenece a 2, donde 0 es el elemento neutro.
Recuerda que… Propiedades de la adición de números reales i. Conmutativa: para todo x, y , x + y = y + x. ii. Asociativa: para todo x, y, z , x + (y + z) = (x + y) + z. iii. Existencia del elemento neutro: existe 0 , tal que para todo x , x + 0 = 0 + x = x. iv. Existencia de opuestos aditivos: para cada x , existe –x , tal que x + (–x) = 0. Debido a la propiedad asociativa de la operación “+” en , se escribe x + y + z en vez de x + (y + z) o de (x + y) + z. El elemento neutro es único. Igualmente, dado que x , el opuesto aditivo –x es único. Sean A = (a, b), B = (x, y) 2. Diremos que A es igual a B, que se escribe A = B, si y solo si a = x y b = y, es decir, A = B ⇔ a = x ^ b = y.
Entonces, U + O = ( a , b) + ( 0, 0 ) = ( a + 0, b + 0 ) .
Como a + 0 = a, b + 0 = b se sigue que U + O = ( a + 0, b + 0 ) = ( a , b) = U.
onclusión: O ∈ 2 es tal que para todo U ∈ 2 , C U ∈ 2 , U + O = U.
De manera similar, se prueba que O + U = U.
iv. Existencia de opuestos aditivos. Dado U = ( a , b) ∈ 2 y como a, b, por la existencia de opuestos aditivos en , existen –a, –b , tal que a + ( − a) = 0, b + ( −b ) = 0. Definimos V = ( − a , −b ) ∈ 2 . Entonces U + V = ( a , b ) + ( − a , −b ) = ( a + ( − a) , b + ( −b )) = ( 0,0 ) = O.
Conclusión: dado U = (a , b) ∈ , existe V = ( − a , −b ) ∈ 2, tal que U + V = O.
Ejercicios resueltos 1. Sean U = (2, 3), V = (4, –1), W = (8, –10). Entonces, U+V+W = (2,–3) + (4,–1) + (8,–10) = (2 + 4 + 8, –3–1–10) = (14, –14). 153
Recuerda que… Notaciones 1. Por la propiedad asociativa de la adición “+” en 2, escribiremos U + V + W en vez de U + (V + W) o de (U + V) + W. Además, si U = (a, b), V = (c, d), W = (p, q), entonces U + V + W = (a + c + p, b + d + q). 2. Debido a la existencia de opuestos aditivos en 2, dado U = (a, b) 2, el opuesto aditivo de U es V = (–a, –b), que se nota con –U. Esto es, –U = (–a, –b), con lo que la citada propiedad se expresa del modo siguiente: para cada U 2 existe – U 2, tal que U + (–U) = 0. Grupo conmutativo (2, +) El conjunto 2 en el que se ha definido la igualdad de elementos de 2, junto con la operación adición “+”, tiene estructura algebraica de grupo abeliano o conmutativo. Esto es, la operación adición “+” es cerrada en 2 y satisface las propiedades desde el literal i. hasta el literal iv. de las propiedades en 2.
Resta en 2 Definición Sean U = (a , b), V = (c , d) ∈ 2 . Se define U – V como sigue: U − V = U + (−V ) = (a − c , b − d). 2 Obsérvese que el opuesto aditivo de V = (c , d) ∈ es −V = (− c , − d) ∈ 2 y que U – V se opera como la suma de U con el opuesto aditivo de V.
Teorema Sean U = (a , b), V = (c , d) dos elementos de 2. Entonces −(U + V ) = (−U) + (−V ). La demostración se propone como ejercicio para el estudiante. Teorema Ley cancelativa Para todo A , B , C ∈ 2 , A + B = A + C ⇔ B = C. Demostración Probemos la implicación AA++BB==AA++CC BB==CC. . Supongamos que se tiene A + B = A + C . Mostremos que B = C. En efecto, como A 2, existe – A 2 opuesto aditivo de A, tal que A + (− A) = O. Entonces, por la existencia de elemento neutro y por las propiedades conmutativa y asociativa, se tiene: B = B + O = B + A + (− A) = ( A + B) + (− A) = A + C + (− A) = C + A + (− A) = C + O = C . Así, AA++BB== AA++CC→ →BB==CC. . Supongamos que B = C. Mostremos que A + B = A + C . Puesto que la operación adición “+” en 2 es una función de 2 × 2 en 2, se sigue que al par (A, B) lo asocia el único elemento A + B de 2 y como B = C, en la suma A + B, se reemplaza C por B y se tiene A + B = A + C . Conclusión: AA++BB== AA++CC
BB== C. C.
Teorema i. El elemento O de 2 es único. ii. Dado U2, el opuesto aditivo –U2 es único. Demostración i. Supongamos que existe otro elemento nulo P de 2, tal que para todo U ∈ 2 , P + U = U , y en particular para U = O ∈ 2 , se tiene P + O = O. Como O2 es tal que O + U = U , realizando U = P ∈ 2 y reemplazando en la igualdad precedente, se tiene O + P = P . Así, O = P + O = O + P = P , que contradice la hipótesis. Por lo tanto, O2 es único. ii. Se propone como ejercicio. 154
Producto de escalares por elementos de 2 En lo sucesivo, a los elementos de los denominamos escalares. Definición Sean a y U = (x, y) 2. Se define el producto de a por U, que se escribe a . U, como sigue: a ∙ U = a ∙ (x, y) = (ax, ay). De la definición, se sigue que el producto de un número real por un elemento de 2 es otro elemento de 2, cuyos componentes son los productos del número real por los respectivos componentes del par ordenado. El producto de escalares (números reales) por pares ordenados de 2 es una operación a la que notamos “ ∙ ” y es una función de × 2 en 2 definida como sigue: × 2 → 2 ⋅: (a , U) → a ⋅ U , con a ∙ U arriba definido. Además, se asume que a . U = U. a = (ax , ay), 2 donde a ∈ , U = ( x , y) ∈ . Siempre que no haya peligro de confusión, se escribirá aU en lugar de a.U. Ejercicios resueltos
2 4 , , se tiene 5 9 2 4 2 4 4 8 , = ( 2) , ( 2) = , . 5 9 5 9 5 9
1. Para a = 2 y U =
aU = ( 2 )
2. Sea U = (a , b) ∈ 2 .. Como a , b ∈ y 0 ⋅ a = 0, 0 ⋅ b = 0, entonces 0 ⋅ U = 0 ⋅ (a , b) = (0 × a , 0 × b) = (0, 0) = O. Conclusión: para todo U ∈ 2 , 0 ⋅ U = O. 3. Sea a ∈ . Entonces a ⋅ O = a ⋅ (0, 0) = (a × 0, a × 0) = (0, 0) = O. Conclusión: para todo a ∈ , a ⋅ O = O.
Propiedades del producto de escalares por elementos de 2 Teorema Para todo a, b y para todo U, V 2, se verifican las siguientes propiedades: a(bU) = (ab)U = b(aU). i. ( ii. a + b)U = aU + bU. iii. a(U + V ) = aU + aV . iv. 1⋅ V = V .
Recuerda que… Antes de describir las propiedades del producto de escalares por elementos de 2, recordemos algunas propiedades del producto “∙” de números reales. i. Conmutativa: para todo x, y , x ∙ y = y ∙ x. ii. Asociativa: para todo x, y, z , x ∙ (y ∙ z) = (x ∙ y) ∙ z. iii. Existencia de elemento unidad: existe 1 tal, que para todo x , 1 ∙ x = x. iv. Existencia de opuestos multiplicativos: para cada x , x ≠ 0, existe
1 x −1 = ∈ , tal que xx–1 = 1. x La adición y el producto de números reales están ligados por la propiedad distributiva: para todo x, y, z , x (y + z) = xy + xz. El conjunto 2 en el que se ha definido la igualdad, la operación adición "+" con la que (2, +) es grupo conmutativo, y el producto de escalares por elemento de 2 que verifican las propiedades del i al iv del Teorema precedente, tiene estructura de espacio vectorial. El conjunto con la adición "+" y el producto "×" tiene también estructura de espacio vectorial, pues tiene propiedade similares a las del espacia 2.
Demostración de la propiedad 2 i. Por la definición del producto de números reales por pares ordenados de 2 y la propiedad distributiva en , se tiene: (a + b) U = (a + b) (p, q) = ((a + b) p; (a + b) q). Por otro lado, aU + bU = a(p, q) + b(p, q) = (ap, aq) + (bp, bq) = (ap + bp, ap + bq) = ((a + b) p, (a + b) q). Por la definición de igualdad de elementos de 2, se concluye que (a + b) U= aU + bU= ((a + b) p, (a + b) q). Conclusión: para todo a, b , U 2, (a+ b) U = aU + bU.
155
Taller práctico 1
DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adición entre elementos de 2 y de producto por un número escalar de manera analítica aplicando propiedades de los números reales.
3
Escribe el opuesto aditivo de cada elemento P de 2 que se da y verifica que P + (–P) = O.
(
Sean A = (2,3) , B =
1 1 ,1 , C = 4, . 2 3
Realiza las sumas que se proponen en cada caso. a) A + B + C.
)
a) P = 2, 2 . ___________________________________________
1 2 , . 3 5
b) P =
___________________________________________
1+ 5 ,
c) P =
b) A – B + C.
1 3 3 . 3
___________________________________________
2
Con los vectores A, B de 2 que en cada caso se proponen, halla A + B y A – B.
a) A = ( 3, 8), B =
c) –A + B – C.
1 , 2 . 5
___________________________________________ ___________________________________________
b) A = (0, 1), B = (1, 0).
4
Sea , U =
___________________________________________ ___________________________________________
(
)
c) A = 3 2 ,5 5 , B =
3 5 2, 5 . 2 3
W=
2 1 ,1 , V = , 2 5 2
3 1 , . 10 4
En tu cuaderno, verifica la igualdad que se propone en cada caso.
___________________________________________ ___________________________________________
d) A =
1 1 5 7 , ,B= , . 8 3 8 3
___________________________________________ ___________________________________________
e) A =
1 1 1 1 , ,B= , . 4 3 5 2
___________________________________________ ___________________________________________
156
a) U − (V + W ) = U − V − W . b) −(U + V ) = −U − V . c) −(U + V + W ) = −U − V − W . d) U − (V − W ) = U − V + W . e) −(U − (V − W )) = −U + V − W . f) −(−U − (V − W )) = U + V − W .
5
6
Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos. Sea U . Prueba que –(–U) = U, y, –(–(–U)) = –U. 2
8
Sean U, V, W2. Demuestra las siguientes igualdades:
Sean A1 = (a1 , b1 ), A2 = (a2 , b2 ), A3 = (a3 , b3 ), A4 = (a4 , b4 ) cuatro elementos de 2. Demuestren que se tienen las siguientes igualdades: A1 + [ A2 + ( A3 + A4 )] = [( A1 + A2 ) + A3 ] + A4 = (A1 +A2 )+(A3 +A4 ) (a1 + a2 + a3 + a4 , b1 + b2 + b3 + b4 ).
En vista de este resultado, se escribe simplemente A1 +A2 +A3 +A4 , y A1 + A2 + A3 + A4 = (a1 + a2 + a3 + a4 , b1 + b2 + b3 + b4 ). a) U − (V − W ) = U − V + W = U + W − V . A1 + A2 + A3 + A4 = (a1 + a2 + a3 + a4 , b1 + b2 + b3 + b4 ). b) −(U + V + W ) = −U − V − W . c) −(U − (V − W )) = −U + V − W = V − (U + W ).
9
7
Sea U 2. Prueba que el opuesto aditivo de U es único. Para el efecto, asume que existe otro opuesto distinto al opuesto de U y obtén una contradicción.
Resuelvan en el cuaderno. Sea N el conjunto de los números naturales. Se denota con N2 al producto cartesiano N × N. Esto es, N2 = {(m, n)| m, n N}. En N2, se define la igualdad y la operación adición “” como sigue: Igualdad. Sean (m, n), (p, q) N2. Entonces (m, n) = (p, q) m = p^n = q. Adición “”. Sean (m, n), (p, q) N2. Se define (m, n) + (p, q) = (m + p, n + q), donde + es la operación adición en N. Prueben que la operación adición “” en N2 satisface las siguientes propiedades: clausurativa, conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro. (N2, ) no es grupo. La operación “” en N2 es la operación “+” en 2, restringida al conjunto N2 2.
Trabajo colaborativo 10 Dados los vectores
Diversidad funcional en el aula Si una persona tiene discapacidad auditiva o dificultades para escuchar, es necesario encontrar otras formas de comunicación, por ejemplo escribir el mensaje, eso puede ayudar en las actividades de esta sección. Archivo editorial, (2020).
A = (−3,1); B = (2, −2); C = (0,3) , obten gan el vector v = λu = λ ( 3,1) = ( 3λ , λ ) que se define en cada caso.
1 a) u = 2 A + B + C . b) u = − A + 5B + C . 3 c) u = −3 A − 10B − 20C . d) u = 10 A − 8B + 4C . 157
DCCD: M.5.2.6. Reconocer los vectores como elementos geométricos de 2.
¿Qué es la norma de un
Interpretación geométrica de las operaciones en 2
Desequilibrio cognitivo
Consideremos el sistema de coordenadas rectangulares xy y denotemos con O el punto de intersección del eje x con el eje y.
Saberes previos vector?
¿Cómo se determina la adición de vectores en 2?
Recuerda que… El punto A = (a, b) 2 se representa en la forma habitual como punto del plano y luego se identifica con el vector A , que a su vez se identifica con el vector geométrico OA .
y A = (a, b)
b A 0
a
x
p Figura 3.17.
y b2 b1+ b2
B B+ A
Sea A = (a , b) ∈ 2. Representamos el punto A en este sistema de coordenadas y asociamos al punto A el vector geométrico OA , con lo que se establece una identificación entre los vectores geométricos OA y los puntos A de 2. Notación. Debido a la identificación entre los elementos de 2 y los vectores geométricos, escribimos A = (a , b) ∈ 2 al vector geométrico A OA . Esto justifica, en parte, la escritura de los elementos de 2 como u , v , A , etc., que arriba se ha mencionado. En la gráfica de la Figura 3.17. se muestra el vector.
Interpretación geométrica de la suma de vectores Sean A = (a1 , b1 ), B = (a2 , b2 ) dos elementos de 2. Representemos geométricamente los vectores A y B. Tracemos, por el extremo del vector B, el vector A . Luego, el vector geométrico que une el origen con el extremo del vector trasladado A al extremo de B es la suma B + A , que coincide con el punto B + A = (a1 + a2 , b1 + b2 ). De mane ra similar, por el extremo del vector A , tracemos el vector B. El vector resultante que une el origen con el extremo del vector trasladado B al extremo de A es la suma A + B, que coincide con la representación del par ordenado (a1 + a2 , b1 + b2 ) = A + B . En la Figura 3.18. se mues tra la representación geométrica de A + B. Interpretación geométrica del producto de un escalar por un vector Sean A = (a , b) ∈ 2 , λ. A continuación, se presenta la interpretación geométrica del producto λA. Para el efecto, trazamos el vector A y consideramos tres casos: λ>0, λ=0, λ0, el vector λ A tiene la misma dirección y sentido que el vector A . Si λ = 0, λ A = 0, del sistema de coordenadas rectangulares. Si λ 0, los vectores u y v tienen la misma dirección y sentido. También, si λ < 0, los vectores u y v tienen la misma dirección, pero son de sentidos opuestos. En la Figura 3.22. se muestran dos vectores colineales a u para los dos casos λ > 0 y λ < 0. Ejercicio resuelto 1. Sea u =( 3,1) y λ ∈ . Entonces v =λu = λ ( 3,1) = ( 3λ , λ ) es coli neal a u . Para λ = 2, se obtiene v1 = ( 6,2 ) y para λ = –1, se tiene v2 = ( −3, −1) . En la Figura 3.23. se muestran los vectores v1 y v2 colineales a u .
y 3 2 βv v –4
–3
–2
–1
u
1
0
αu
2
x
3
y v = λu λ>0 u
0
x
λ< 0 v = λu
v1 = (6, 2)
2
p Figura 3.22.
u = (3, 1)
1 –2
1 –1
p Figura 3.21.
y
–3
x
3
–1 0
1
2
3
4
5
6
x
–1 v2 = (–3, –1) p Figura 3.23.
2. Los vectores u =(1, 2), v (1, 3) no son colineales. Sin embargo, supongamos que lo son. Entonces, existe x tal que v = xu .
ab c
Glosario
absurdo. Contrario y opuesto a la razón, que no tiene sentido. Recuerda que…
1= x, Luego, v = xu (1, 3) = x (1, 2) = ( x , 2 x) 3 = 2x.
Puesto que 0u = 0 , el vector nulo es colineal a todo vector de 2.
De la primera igualdad, se obtiene x = 1. Al reemplazar x = 1 en la segunda igualdad, resulta 3 = 2, lo que es un absurdo. Este hecho se produce por haber supuesto que los vectores u , v son colineales. Lo correcto es que u , v no son colineales.
Dos vectores no nulos de 2 se dicen linealmente independientes si no son colineales.
Teorema Sean u = (a , b), v = (c , d) dos vectores de 2 con u ≠ 0 . Entonces, u y v son colineales si y solo si ac − bd = 0. La demostración se deja como investigación para el estudiante.
Los vectores colineales se dicen también linealmente dependientes. Tres vectores no nulos de 2 son linealmente dependientes. Investiga por qué. 159
Taller práctico 1
DCCD: M.5.2.5. Realizar las operaciones de adición entre elementos de 2 y de producto por un número escalar de manera geométrica aplicando propiedades de los números reales. M.5.2.6. Reconocer los vectores como elementos geométricos de 2.
4
Sean A = (4, 1), B = (−2, − 3). Representa, en el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores A, B , − B , A + B , A – B .
5 2
3
160
Sea u = (−1, 4). En el sistema de coordenadas rectangulares, representa los vec1 tores u , 2u y − u . 2
1 Sean A = (1, 2), B = (4, 3), λ = −2 y α = . 3 En el sistema de coordenadas rectangulares, representa los vectores A , − A , B , B+λ A , α B − A.
6
Dados 2 1 λ = , β = − , u = (3, − 4), v = (−2, 5), 3 4 representa, en el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores u , v , λu+ β v , λ ( − u)+( − β )v .
Considera los vectores u = (0, 2) y v = (−3, − 1). Representa, en el sistema de coordenadas rectangulares, los vectores u +v , u – v , 2u +v , u − 2v .
Considera los vectores u =(3,0), v =(0,2), w=( − 1,1). En el sistema de coordenadas rectangulares, representa los vectores u , v , w , u + v + w , u − v − w.
7
Dados los vectores A=(2,1), B =( − 2, − 1), C =(3, − 2). En el sistema de coordenadas rectan gulares, representa los vectores 1 1 2 1 A , B , C , 2A+2B − C , − A + B − C . 3 2 3 4
Trabajo colaborativo Diversidad funcional en el aula Es fundamental realizar comentarios positivos y resaltar el aporte de cada integrante cuando se trabaja en equipo, señalar también lo que se puede mejorar. Archivo editorial, (2020).
Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos.
10 Consideren los vectores 8
u = ( 4,5) , v ( 40,50 ) . Determinen x, y , tal que x + y > 0 y xu + yv = 0. ¿Este caso tiene una sola solución, dos soluciones o infinitas soluciones?
Sea u =(2, − 8).
a) Muestra que v =(1, − 2) no es colineal con u. b) Prueba que w=(–1,4) es colineal con u .
11
Sea u =(1, 2).
a) Determinen la condición que debe verifi car x para que v = (10, x) sea colineal con u. b) Determinen la condición que debe verifi car y para que w = ( y ,20) sea colineal con u .
9
Sea u = (−1,1), v = (0,1) y w = (a , b) ∈ 2 .
a) Halla a, b tal que u+10w=0. 1 b) Halla a, b tal que 10v − w = 0 5 c) Halla a, b tal que (b + 1)u + av = w .
c) Determinen la condición que debe verifi car a para que z =(3a + 2,2) no sea colineal con u .
12 Los vectores u = (1, 1), v = (−1, 1) no son colineales. a) Muestren que w = (4, − 12) es colineal con u + 2v .
11
b) Verifiquen que w w == 1,1,−− es colineal con 55 2u − 3v . c) Determinen x, si existe, para que w = (2, 1) sea colineal con 3u + xv .
161
DCCD: M.5.2.7. Calcular el producto escalar entre dos vectores y la norma de un vector para determinar la distancia entre dos puntos A y B en 2 como la norma del vector AB. M.5.2.8. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con operaciones y elementos en 2, apoyándose en el uso de las TIC (software como GeoGebra, calculadora gráfica, applets e Internet).
Saberes previos ¿Cuál es el enunciado del teorema de Pitágoras? Desequilibrio cognitivo ¿Cómo pruebas que dos vectores son ortogonales?
El espacio euclídeo 2 En esta sección, estudiaremos el espacio vectorial 2 que posee una estructura adicional conocida como espacio con producto escalar, producto interno o producto punto.
Producto escalar en 2 Definición Sean A , B ∈ 2 con A = (a1 , b1 ), B = (a2 , b2 ). Un producto escalar de A con B representado por A ⋅ B está definido como A ⋅ B = a1a2 + b1b2 . El número real A ⋅ B se llama producto escalar, producto punto o producto interior de A con B. Nótese que el producto escalar de dos vectores de 2 es un número real.
Recuerda que… El producto escalar en que hemos definido es el más utilizado. Cabe precisar que un producto escalar en 2 es una función 2
•:
2 × 2 → , ( A , B) → A ⋅ B ,
y satisface las propiedades similares desde el literal i. hasta el iv. del teorema precedente.
Teorema Sean A , B , C ∈ 2 , α ∈ . El producto escalar en 2 arriba definido satisface las propiedades siguientes: i. A ⋅ B =B ⋅ A. ii. ( A + B) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C . iii. (α A) ⋅ B =α (A ⋅ B). A ⋅ A=0 A=0, iv. A ⋅ A>0 A ≠ 0.
Ejercicios resueltos 1. Sean A = (3,5), B = (−1,4). Entonces, A ⋅ B = 3 × (−1) + 5 × 4 = 17. 2. Sean A = (2, − 1), B = (1,2). Entonces, A ⋅ B = 2 × 1 + (−1) × 2 = 0. Demostración Sean A = (a1 , b1), B = (a2 , b2 ), C = (a3 , b3 ) tres elementos de 2. i. De la definición de producto escalar, se tiene A ⋅ B = a1a2 + b1b2 = a2 a1 + b2b1 = B ⋅ A. ii. En primer lugar, A + B = (a1 , b1) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ). Luego, por la definición del producto escalar en 2, obtenemos A ⋅ C = a1a3 + b1b3 ; B ⋅ C = a2 a3 + b2b3 , entonces ( A + B) ⋅ C = (a1 + a2 )a3 + (b1 + b2 )b3 = a1a3 + a2 a3 + b 1 b3 + b2b3 = a1a3 + b1b3 + a2 a3 + b2b3 = A ⋅ C + B ⋅ C . Luego, (A+B) ⋅ C =A ⋅ C +B ⋅ C . Las otras propiedades se proponen como ejercicios para el estudiante.
Definición de Subespacio Vectorial Un subconjunto V de 2 es un subespacio vectorial de 2 si este con las mismas operaciones de adición "+" y producto de escalares por elementos de 2, satisface las mismas propiedades del espacio vectorial 2. Ejemplo V = {t(a, b)|t }, donde (a, b) 2 no nulo, es un subespacio vectorial de 2.
162
Longitud o norma de un vector Otro de los conceptos importantes en matemática, y muy particularmente en la geometría analítica plana, es el de norma de un vector. En el caso del producto escalar habitual, esta norma coincide con la longitud del vector. Definición Sea A = (a , b) ∈ 2 . La longitud o norma de A que se nota A se define como A = A ⋅ A = a 2 + b .2 . Nótese que para todo A = ( a , b ) ∈ 2 , por la propiedad iv. de la de finición de producto escalar, se tiene A ⋅ A ≥ 0 , con lo cual A está bien definido.
Recuerda que… En las figuras siguientes, se muestran el vector A y el triángulo rectángulo que se forma con el eje X. Obsérvese que en el punto de abscisa a, se tiene el ángulo recto.
y A
Ejercicios resueltos 2 2 1. Sea A = ( 4,3 ). Entonces, A ⋅ A = ( 4 ) + (3) = 25, luego A = A ⋅ A = 25 = 5. 2. Si A = ( 0,0 ), entonces A ⋅ A = 0 , y A = A ⋅ A = 0 = 0.
Propiedades de la norma de un vector Se verifican las siguientes propiedades:
i. A ≥ 0, ∀A ∈ 2 . ii. A = 0 ⇔ A = 0. iii. α A = α A , ∀α ∈ , ∀A ∈ 2 . iv. A ⋅ B ≤ A B , ∀A , B ∈ 2 . (desigualdad de Cauchy-Schwarz). v. A + B ≤ A + B , ∀A , B ∈ 2 . (desigualdad triangular). vi. A − B ≤ A − B , ∀A , B ∈ 2 . Demostración i. Sea A ∈ 2. Por la propiedad iv. de la definición del producto escalar, se tiene que A ⋅ A ≥ 0 , luego A = A ⋅ A ≥ 0.
b
0
a
x
y b A 0
a
x
a2 =| a | ∀a ∈ . Si u = (a ,0) con a ∈ , entonces u = a2 = a .
El resto de propiedades se deja al estudiante como investigación. Ejercicio resuelto 1. Sean A = (3,4), B = (−2, − 5). Verifiquemos las desigualdades de Cauchy-Schwarz. Tenemos: A ⋅ B = 3 × (−2) + 4 × (− 5) = −6 − 4 5 , A ⋅ B = −6 − 4 5 = 6 + 4 5 , A = 32 + 4 2 = 25 = 5, B = (−2)2 + (− 5)2 = 9 = 3. Entonces, A ⋅ B = 6 + 4 5 ≤ A B = 15. 163
Distancia entre dos puntos
y B
2 1
A
–2
–1
0
1
x
2
Definición Sean A = (a , b), B = (c , d) ∈ 2 . Se llama distancia de A a B, que se nota d ( A , B ) , al número real no negativo d ( A , B ) = A − B = (a − c)2 + (b − d)2 . Ejercicio resuelto
–1 –3 –5
C
p Figura 3.24.
Recuerda que… Teorema
Sean A , B , C ∈ 2 . La distancia entre dos puntos de 2 verifica las propiedades siguientes: i. d A , B ≥ 0.
( ) ii. d ( A , B ) = 0 ⇔ A = B. iii. d ( A , B ) = d ( B , A ) . iv. d ( A , B ) ≤ d ( A , C ) + d ( C , B ) (desigualdad triangular). El espacio 2, provisto de la métrica o distancia d, se llama espacio métrico y se escribe (( 22,,,dd)) .
Los vértices de un triángulo son los vértices A = ( −2,1) , B = (1,2 ) , C = ( 2, −3 ) . Primero, determinemos el perímetro del triángulo (Figura 3.24.). Para el efecto, calculemos las longitudes de cada uno de los lados del triángulo. Tenemos A − B = ( −2,1) − (1,2 ) = ( −3, −1) , A − C = ( −2,1) − ( 2, −3 ) = ( −4,4 ) , B − C = (1,2 ) − ( 2, −3 ) = ( −1,5 ) , y de la definición de distancia entre dos puntos, obtenemos d ( A , B ) = A − B = 9 + 1 = 10 , d ( A , C ) = A − C = 16 + 16 = 4 2 , d ( B , C ) = B − C = 1 + 25 = 26 . Consecuentemente, el perímetro p es p = d ( A , B ) + d ( A , C ) + d ( B , C ) = 10 + 4 2 + 26 . Ortogonalidad Definición
2 i. Sean A , B ∈ . Se dice que A es ortogonal o perpendicular a B, que se escribe A ⊥ B si y solo si A.B = 0 . ii. Sean A ∈ 2 y S2 con S ≠ ∅. Se dice que A es ortogonal al conjunto S, que se escribe A ⊥ S, si y solo si A ⋅ B = 0 ∀B ∈S.
iii. Sean R ∙ S dos subconjuntos no vacíos de 2. Se dice que R es orto gonal a S, que se escribe R ⊥ S, si y solo si A ⋅ B = 0 ∀A ∈R , ∀B ∈S. iv. Sea S 2 con S ≠ ∅. Se dice que S es un conjunto ortogonal si A ⋅ B = 0 ∀A , B ∈S con A ≠ B. v. Sea S 2 con S ≠ ∅. El complemento ortogonal de S se nota con S⊥ y se define como el conjunto S⊥ = A ∈ 2 | A ⋅ B = 0 ∀B ∈S .
{
y 2 A
–2
B
1
–1
0
1
2
x
p Figura 3.25.
164
}
Ejercicios resueltos 1. Sean A = ( −2, 1) , B = (1, 2 ) (Figura 3.25.). Entonces A ⊥ B, pues A ⋅ B = −2 + 2 = 0. 2. Sean A = ( −2, 1) y S = {t (1, 2 ) | t ∈}. Entonces, A ⊥ S. En efec to, sea BS, entonces B es de la forma B = t (1,2 ) = ( t ,2t ) t ∈ . Luego, A ⋅ B = ( −2 ) t + 2t = 0. Así, A ⋅ B = 0 ∀B ∈S. Nótese que el conjunto S es un subespacio de 2, que se identifica con una rec ta que pasa por el origen y es paralela al vector B = (1,2 ), llamado vector director de la recta.
En la Figura 3.26. se muestran el vector A , el vector B S y la recta S. Obsérvese que el símbolo ha sido dibujado para indicar que el vector A y el conjunto S forman un ángulo recto en el punto O.
y S 2
B
A
Ángulo entre dos vectores
1
Definición Sean A , B ∈ 2 no nulos. El ángulo θ ∈ 0, π entre los vectores yB A [ ] A⋅B se define como cos(θ ) = . A B De la definición del ángulo entre los vectores A y B, se sigue que π AA⊥⊥BB ⇔ AA⋅ ⋅BB==00, con lo cual cos(θ ) = 0, de donde θ = . 2 Por este motivo, dos vectores perpendiculares u ortogonales forman un ángulo recto. Ejercicio resuelto Los vértices de un triángulo son los puntos A = ( 0,0 ) , B = C=
( ,0) , 3 2
( , ). Calcular las medidas de los ángulos interiores del triángu3 1 2 2
lo. En la Figura 3.27. se muestran los ángulos interiores del triángulo T. Cálculo de α. Sean u , v los vectores que se definen a continuación: u =B A=
3 ,0 2
(0,0) =
3 ,0 , 2
3 1 3 1 v =C A= , (0,0) = , . 23 2 23 2 u =B A= ,0 , ,0 ( 0,0 ) = 2 2 3 3 Entonces, u ⋅ v = , u = , v =1. Luego, 3 41 3 2 3 1 v = C A = , (0,0) = , . 3 2 2 π u ⋅ v2 2 4 cos(α ) = 3= = α=1. u = A B =u v ,0 3, v =2C B = 0, 6 . 2 2 2
Cálculo de β. Para el efecto, se definen los vectores u , v , como sigue: u =A B=
1 3 ,0 , v = C B = 0, . 2 2
Calculamos sus longitudes y el producto, y obtenemos 3 u = , 2
1 v = , u ⋅ v = 0. 2 Por lo tanto, u , v son ortogonales y, en consecuencia, uu⋅⋅vv ππ ⇒ cos( cos(ββ))== ==00→ →ββ== . . uu vv 22 π π π Así, γ = π − α − β = π − − = ., 6 2 3
0
–1
x
1
p Figura 3.26
Recuerda que… El teorema de Pitágoras enuncia que, en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Este resultado es extendido al espacio euclídeo 2. Teorema de Pitágoras Sean A , B ∈ . Entonces, A ⊥ B si y solo si 2
2
2
2
A + B = A + B ..
y C γ v
A 0
β
α u
B=
√3 , 0 2
x
p Figura 3.27.
Recuerda que… Ley de cosenos 2 Sean A , B ∈ no nulos y θ ∈[ 0, π ] el ángulo for que man los vectores A y B . Como A ⋅ B = A B cos θ , resulta que
2 2 2 B − A = B + A − 2 A B cos θ.
165
Taller práctico 1
DCCD: M.5.2.7. Calcular el producto escalar entre dos vectores y la norma de un vector para determinar la distancia entre dos puntos A y B en 2 como la norma del vector AB. M.5.2.8. Reconocer que dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero y aplicar el teorema de Pitágoras para resolver y plantear aplicaciones geométricas con operaciones y elementos en 2, apoyándose en el uso de las TIC (software como GeoGebra, calculadora gráfica, applets e Internet).
3
Sean A , B ∈ 2, que se dan en cada ítem, calcula A ⋅ B.
a) A = ( 2,3 ) , B = ( −3,1) .
(
)
(
)
b) A = −2 + 5 ,1 + 2 3 , B = −2 − 5 ,1 − 5 2 . c) A = (1, a) , B = (b ,2 ) , a , b ∈ .
d) A = (1+ a , a − 1) , B = ( a2 − a + 1, a2 + a + 1) , a ∈ . e) A = (b ,1) , B = ( a − b , b2 − 2 a2 ) , a , b ∈ .
2
Con los vectores u = (2,4), v = (−1,3), w = (−3, −2), verifica las igualdades que se indican en cada ítem. Para el efecto, desarrolla el lado izquierdo de la igualdad, luego el derecho y comprueba.
a) u ⋅ v = v ⋅ u . b) (−u − 2v ) ⋅ w = −u ⋅ w − 2v ⋅ w . c) (−5u) ⋅ v = u ⋅ (−5v ) = −5(u ⋅ v ). d) u ⋅ (3v + w) = 3(u ⋅ v ) + u ⋅ w . e) (8u − 3v ) ⋅ w = 8(u ⋅ w) − 3(v ⋅ w). f) (u − v ) ⋅ (u + v ) = u ⋅ u − v ⋅ v . g) (u − v ) ⋅ (u + v ) = u ⋅ u − v ⋅ v .
166
Con los vectores A , B de 2 que se dan en cada ítem, representa gráficamente dichos vectores y calcula A , B , A+B , A−B .
a) A = ( 2,5 ) , B = ( 7,3 ) . b) A = ( 0,0 ) , B = ( 6, −4 ) . c) A = (5, −7 ) , B = ( −4, −2 ) . d) A = ( 3,0 ) , B = ( 0,4 ) . e) A = (1, −1) , B = ( −1,1) . f) A = ( −1, −1) , B = (1,1) .
4
Sean A , B ∈ 2 que se dan en cada ítem, verifica las desigualdades siguientes: A+B ≤ A + B , A − B ≤ A−B ,
(
1 2 A⋅B ≤ A B ≤ A + B 2 a) A = ( 4, −4 ) , B = (1,1) . b) A = ( 0,0 ) , B = (1, −4 ) . c) A = ( 3, −4 ) , B = ( 4,3 ) . d) A = ( 2,0 ) , B = ( 0,4 ) . e) A = ( 9, −9 ) , B = ( −4,4 ) . f) A = ( −3, −3 ) , B = ( −1,1) .
2
).
5
Con los vectores A , B de 2 que se dan en cada ítem, calcula d ( A , B ) = A − B .
a) A = ( 2,5 ) , B = ( 7,3 ) . b) A = ( 0,0 ) , B = ( 6, −4 ) . c) A = (5, −7 ) , B = ( −4, −2 ) . d) A = ( 3,0 ) , B = ( 0,4 ) .
b) A = (3, 2 ) , B =
1 3 , 2 4
3 1 , , B = 2, 2 2 7 d) A = ( 4,7 ) , B = ,2 2
(
c) A =
12
)
Trabajo colaborativo Diversidad funcional en el aula
6
Sean A , B , C ∈ 2 los vértices de un triángulo, que se proponen en cada literal, calcula el perímetro de cada triángulo e indica qué tipo de triángulo es. Calcula el área de la región triangular.
a) A = (0,0), B = (3,0), C = (3,4). b) A = (2,1), B = (−2,4), C = (0,5). c) A = (−3,2), B = (1,1), C = (−1, −2). d) A = (−2,0), B = (0,2), C = (3, −3).
En muchas ocasiones, al trabajar en equipo, existen compañeros que no les gusta hablar en público, es bueno darle confianza para que manifieste su opinión. Archivo editorial, (2020).
Trabajen en equipo y resuelvan.
8
a) A = (1, − 1) c) A = (−3,0)
9 7
Sean A , B ∈ los vectores que se proponen en cada literal. Indica si A ⊥ B .
a) A =
(
3,
2
)
5 ,B=
2 , 12 5
En cada ítem, se da un vector no nulo A ∈ 2 y sea L = {B = ( x , y) ∈ 2 | A ⋅ B = −2}, representen geométricamente el conjunto L y prueben que es una recta. b) A = (0, − 2) d) A = (−2, −1)
Sean a, b, c, d. Apliquen la desigualdad de Cauchy-Schwarz para probar lo siguiente:
a) Muestren que (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2 )(c 2 + d 2 ) , b) ¿Qué condiciones han de verificar a, b, c, d para que (ac + bd)2 = (a2 + b2 )(c 2 + d 2 )? 167
Solución de problemas cotidianos Modelo simple de crecimiento poblacional 1. Supón que, en 1950, la población urbana que habitaba una ciudad era aproximadamente de 10 000 habitantes. De conservar una tendencia de crecimiento poblacional como la del área urbana, para 1990 se registraría una población de 29 200 y en el año 2007 sería de 41 720. Se busca una función P de la forma P(t) = a + b(t − 1950) + c(t − 1950)2 t ≥1950 donde a, b, c son constantes por determinarse. Para este caso, disponemos de la siguiente información: P(1950) = 10 000, P(1990) = 29 200, P(2007) = 41 720. Estos datos y la definición de P dan lugar al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
En la Figura 3.28. se muestra la gráfica de esta función P. P 70 000 60 000 Población futura
50 000 40 000 30 000
y = P (t)
20 000 10 000
0 1950
20
40
60
1970
1990
2010
a + b(1950 − 1950) + c(1950 − 1950)2 = 10 000; a + b(1990 − 1950) + c(1990 − 1950)2 = 29200;
a + b(2007 − 1950) + c(2007 − 1950)2 = 41720; a = 10 000, a + 40b + 1600 c = 29200, a + 57b + 3249 c = 41720,
168
80
t
2030
p Figura 3.28.
Nótese que en el eje t se identifica 0 con 1950, 20 con 1970 y así sucesivamente. Practica en tu cuaderno
Relación general entre velocidad y consumo de combustible por hora 2. En un automóvil se registra la siguiente información: 0
55
70
Gasolina (galones/hora)
1,1
0,88
1,0
Se busca una función real de [0, ∞[ en [0, ∞[ del 2 tipo G(v) = α + β v + λv , v ∈ [0, ∞[ a) Con la información de la tabla, calcula las constantes α, β, λ. b) Traza la gráfica de la función G. c) Determina el punto en el que el consumo de combustible es mínimo. d) ¿Cómo es la gráfica de consumo de combustible del auto de tu familia?
Shutterstock, (2020). 385006324
Velocidad
Shutterstock, (2020). 536340250
Luego, al resolver este sistema, encontramos que a = 10 000, b = 300, c = 4,5, con lo que la función P está definida como P(t) = 10 000 + 300 (t–1950) + 4,5 (t–1950)2 t≥1950. Ahora, pronostiquemos las poblaciones que se tendrán en los años 2015, 2020, 2030. P(2015) = 10 000 + 300 (65) + 4,5 (65)2 ≈ 48 512. P(2020) = 10 000 + 300 (70) + 4,5 (70)2 ≈ 53 050. P(2030) = 10 000 + 300 (80) + 4,5 (80)2 ≈ 62 800. Nota. Los modelos matemáticos de dinámica de poblaciones son mucho más complejos que los que estamos proponiendo en esta sección.
70
p Multitud de personas caminando.
p Indicador de combustible de un auto.
Desafíos científicos
¿Qué tiene que ver la matemática con los problemas de movilidad y, como consecuencia, con el tránsito y el transporte? En realidad, mucho. En el desarrollo urbano, este tipo de problemas implica el uso de suelo, la asignación de rutas y frecuencias, la semaforización y la señalización, entre otros aspectos. Mediante una simulación, se puede predecir el comportamiento de las rutas de los buses y determinar los paraderos en los cuales las personas van a tomar el bus o donde llegan y se bajan de estos vehículos. De igual manera, estos procesos permiten establecer la sincronización de los semáforos de la ciudad y el tiempo que se toman los transportes de uso masivo para realizar su recorrido. La matemática, en este sentido, ayuda a planificar y a organizar el tránsito y un transporte masivo de calidad, sin dar lugar a la improvisación.
Flavio Muñoz M., (2020) . Colección Quito Histórico
La matemática y los problemas de desarrollo urbano
p Quito histórico y trolebus.
La matemática y las profesiones
Maestría en Ingeniería Vial Shutterstock, (2020). 170955158
Para optar por una Maestría en Ingeniería Vial, primero debes haber obtenido tu título de tercer nivel, de preferencia en Ingeniería Civil o Arquitectura, en una de las universidades legalmente reconocidas por el Senecyt. El profesional graduado de Ingeniería Vial fundamenta sus acciones en una sólida formación científica, en la que las ciencias básicas, matemática, física, química y materiales constituyen el pilar fundamental y el cimiento sobre el que descansa la ingeniería. El profesional graduado de la maestría en Ingeniería Vial está en condiciones de manejar las tecnologías modernas, realizar modelizaciones y simulaciones para la ubicación geográfica de las carreteras, desarrollar diseños geométricos y diseños estructurales de pavimentos, manejar políticas y planes viales públicos y privados, además de utilizar materiales y técnicas que eviten desperdicios y garanticen un buen nivel de servicio en las carreteras.
p Trabajos de vías en construcción.
El entorno de trabajo de un magíster en Ingeniería Vial son las instituciones públicas y privadas, como ministerios, municipios, consejos provinciales, Policía Nacional, concesionarias, constructoras privadas y, en general, instituciones relacionadas con el sector vial. Adaptado de http://www.puce.edu.ec/documentos/IngVial.pdf
169
TIC Uso de GeoGebra para determinar la solución gráfica de un sistema de ecuaciones cuadráticas Sean ( x , y) ∈ , determinar gráficamente la solución del sistema de ecuaciones: 2
3. Selecciona Intersección y aparecerán los puntos de corte de las dos gráficas que son la solución del sistema.
y = x 2 − 5, y = 3 x + 7.
4. La solución del sistema de ecuaciones es A = (4, 11) y B = (–3, 4)
2. Da doble click sobre la gráfica de la ecuación, selecciona Propiedades y cambia el color de la gráfica.
Archivo editorial, (2020). Geogebra.
1. Ingresa en Entrada una a una las ecuaciones del sistema.
2. Busca las intersecciones entre las dos curvas, estas son las soluciones del sistema de ecuaciones. 3. La solución del sistema de ecuaciones es A = (–3, 9) y B = (3, 9).
170
Archivo editorial, (2020). Geogebra.
1. Ingresa las ecuaciones como en el ejercicio anterior.
Uso de GeoGebra en aplicaciones geométricas con elementos de 2 En el triángulo de vértices A (1, 1), B (–3, 2), C (–1, –4), determinar el perímetro y sus ángulos interiores.
Cálculo del perímetro 1. Selecciona la opción polígono e ingresa uno a uno los puntos del polígono.
4. Aparece el perímetro del polígono en la Vista Algebráica, arrastra hasta la Vista Gráfica.
3. En Entrada escribe Perímetro = Perímetro, luego selecciona Polígono y punto a punto, escribes los vértices del polígono.
Archivo editorial, (2020). Geogebra.
2. Obtienes el triángulo de la figura.
Cálculo de los ángulos interiores
3. Aparecen en el gráfico los ángulos internos del triángulo.
2. Sigue el mismo proceso para determinar los ángulos B y C.
Archivo editorial, (2020). Geogebra.
1. Selecciona el ángulo, luego señala los vértices BAC, aparecerá el ángulo A.
171
Desafíos y proyectos matemáticos Tema: Construcción de fórmulas cuadráticas para contar colecciones Recursos • Una caja de palillos o paletas de helado por estudiante • Mesa o tablero para armar las figuras
Shutterstock, (2020). 342193166
• Lápices y cuaderno para realizar los cálculos respectivos
p Series con palillos.
Justificación Muchas situaciones de razonamiento lógico están ligadas al conteo de elementos de una figura cuyo tamaño varía. Para lograr el conteo es necesario construir o deducir una fórmula cuadrática que cuente la cantidad de elementos que hay en una determinada figura o colección de figuras. El momento en el que desafiamos a los estudiantes con actividades como la que planteamos en este proyecto es cuando cobra sentido la escritura de x2, pues el trabajo algebraico que deben desarrollar surge de la necesidad de dar soluciones a situaciones reales.
Objetivos • Deducir una fórmula cuadrática que cuente el número de palillos que se deben usar para formar una figura cuadrada con 3, 4, 5 palillos de base y luego determinar cuántos palillos se han de usar para formar una figura cuadrada con 56 palillos de base.
Actividades • Dividan el número de estudiantes del aula en grupos de 2 o 3 personas. • Con palillos, armen un cuadrado reticulado como el de la figura, de la siguiente forma: Este cuadrado tiene 3 palillos de lado. • En grupo, analicen y respondan las siguientes preguntas: – ¿Cuántos palillos se necesitan para armar esta figura? – ¿Cuántos palillos se necesitan para armar una figura cuadrada cuya base tiene 4 palillos? – ¿Cuántos palillos se necesitan para armar una figura cuadrada cuya base tiene 5 palillos? • Extiendan su razonamiento cuando deban armar un cuadrado cuya base tenga 56 palillos. • Determinen una fórmula que permita calcular la cantidad de palillos que necesitan para armar un cuadrado de n palillos de lado.
Conclusiones Solicíteles a los estudiantes que muestren los resultados que alcanzaron al realizar este proyecto. Pruebe con el método de ensayo-error. Proponga que realicen una exposición de sus resultados y que luego analicen los razonamientos que los llevaron a obtener la fórmula cuadrática solicitada. Extrapole este conocimiento con un nuevo desafío, por ejemplo: si n personas asisten a una reunión y todas se dan la mano, ¿cuántos apretones de mano hubo? 172
En síntesis Álgebra y funciones Shutterstock, (2020). 123432319
Shutterstock, (2020). 561906172
Geometría y medida
p Parapente volando cerca del
p Personas en el mundo.
volcán Tungurahua.
Función cuadrática
• Análisis de la función cuadrática: dominio, recorrido, vértice, máximo y mínimo, intervalos de la función donde es creciente o decreciente • Ecuaciones de segundo grado. Propiedades de las raíces. Factorización de las funciones cuadráticas
• Ecuaciones que se reducen a una ecuación de segundo grado
• Intersección gráfica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones • Intersección gráfica de dos parábolas como solución de un sistema de dos ecuaciones • Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en forma analítica
El espacio vectorial en 2 • El conjunto en 2. Operaciones: adición-propiedades, sustracción, producto de escalares por elementos de 2-propiedades • Espacio vectorial 2 • Interpretación geométrica de las operaciones en 2. Vectores colineales • Subespacios de 2 • El espacio euclídio 2 • Producto escalar en 2 • Norma de un vector-propiedades • Distancia entre dos puntos
• Ortogonalidad • Ángulo entre vectores • Teorema de Pitágoras • Ley del coseno
• Modelos matemáticos con funciones cuadráticas 173
Evaluación sumativa
1
M.5.3.2. Representa gráficamente funciones cuadráticas; halla las intersecciones con los ejes, el dominio, rango, vértice y monotonía; emplea sistemas de ecuaciones para calcular la intersección entre una recta y una parábola o dos parábolas; emplea modelos cuadráticos para resolver problemas, optimiza procesos empleando las TIC. (13, 14)
Sean a, b, c, d con a ≠ 0 y u la función real, definida por u( x) = ax 4 + bx 2 + c , x ∈ . Considera la ecuación u( x) = 0 . Analiza las siguientes proposiciones y señala si son verdaderas (V) o falsas (F).
a) La ecuación u( x) = 0, x ∈ puede tener una sola raíz real simple. _____ b) La ecuación u( x) = 0, x ∈ puede tener cuatro raíces reales simples. _____ c) La ecuación u( x) = 0, x ∈ puede tener una sola raíz real simple y una raíz de multiplicidad. _____ d) La ecuación u( x) = 0, x ∈ puede tener cinco raíces reales y distintas. _____
2
En la tabla siguiente se muestran los años y el número de autos matriculados en la región DDDD. Año 1950 1990 2000 Número 25 000 180 000 25 0000 de autos Con esta información, se busca una función P del tipo P(t) = a + b(t − 1950) + c(t − 1950) , t ≥ 1950. 2
3
Sean A = (a1 , b1), B = (a2 , b2 ) dos elementos de 2. Demuestra la propiedad conmu tativa del producto escalar: A ⋅ B = B ⋅ A .
4
Los vectores u = (1, 1), v = (−1, 1) no son colineales.
a) Muestra que w = (4, − 12) es colineal con u + 2v . 1 b) Verifica que w = (1, − ) es colineal con 5 2u − 3v. c) Determina x, si existe, para que w = (2,1) sea colineal con 3u + xv.
5
Dados los vectores A = (−3,1), B = (2, −2), C = (0,3), obtén el vector u , que se define en cada caso.
a) u = −5(3 A − 4B) − 8(−2 A + C ). b) u = 10 A − 8B + 4C . c) u = −5(− A − B) − 4(− A − C ).
6
Determina el perímetro del triángulo que se muestra en la figura.
a) Calcula las constantes a, b, c.
5
b) Prueba que la función es estrictamente creciente.
4
c) Calcula P(2007) y pronostica resultados para el año 2020. d) Según este modelo, determina el tiempo en el que se tienen 400 000 autos matriculados. 174
I.M.5.6.2. Realiza operaciones en el espacio vectorial en formato R2; calcula la distancia entre dos puntos, el módulo y la dirección de un vector; reconoce cuando dos vectores son ortogonales; y aplica este conocimiento en problemas físicos, apoyado en las TIC. (I.3.)
B = (6, 4)
3 A = (1, 2) 2 1 C = (6, 0) 1
2
3
4
5
6
7
Resuelve cada ejercicio y selecciona la respuesta correcta. Considera la función cuadrática f definida por f ( x) = x 2 + x + 1, x ∈ y dominio Dom(f)=. Determina los siguientes puntos:
7
El recorrido de f es:
a) 3 , 4
b)
4 c) , 3
d)
8 a) c)
3 , 4 4 , 3
9
La función es estrictamente decreciente sobre el intervalo: 3 3 , , 43 43 , , a) b) 4 4 1 , c) d) 21 , 2
, ,
1 21 2
10 Determina la condición que debe
verificar x para que v = (10, x) sea colineal con u.
Sea el vector u = (1, 2). El vértice de la parábola es: −1 3 , 2 4
b)
3 −3 , 2 4
d)
a) x = 10 1 3 , 2 4 1 5 , 2 4
b) x = –5
c) x = 5
d) x = 20
11 Determina la condición que debe
verificar x para que w = ( x ,20) sea colineal con u.
a) x = 15 b) x = –20 c) x = 50 d) x = 10
Autoevaluación Siempre
A veces
Nunca
Siempre
A veces
Nunca
Analizo correctamente las propiedades de la función cuadrática. Empleo la función cuadrática para resolver problemas reales, realizo modelos matemáticos y pronostico resultados. Realizo operaciones con vectores en 2 y aplico en la solución de problemas. Coevaluación
En los trabajos colaborativos aportamos todos para la construcción de proyectos matemáticos. La participación grupal fortalece los lazos de unión y compañerismo. Metacognición
a) ¿Para qué te sirve el tema de la función cuadrática en tu cotidianidad? ____________________________________________________________________________________________________ b) ¿Por qué es importante conocer el tema de vectores en la aeronáutica? ____________________________________________________________________________________________________ 175
Rectas en R2 y derivada de la función cuadrática Matemática y otras ciencias
T
odos los cálculos que se realizan en física, química y biología se basan en la matemática. El uso de funciones y sus derivadas son importantes para medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación determinada, como, por ejemplo, la velocidad instantánea en función del tiempo, la distancia o las temperaturas. Las aplicaciones matemáticas sirven para crear modelos teóricos y expresiones que pueden demostrarse mediante la práctica. En química, han sido fundamentales para expresar y calcular razones de cambio, reacciones químicas en función de las concentraciones de cada uno de los reactivos que intervienen o para encontrar la compresibilidad isotérmica de una sustancia, cuando su temperatura es constante y el volumen depende de la presión.
Observa y contesta • ¿Qué usos tienen los compuestos químicos que se producen en un laboratorio? • ¿Cómo puede ser útil la Matemática en un laboratorio bioquímico? • ¿De qué manera se relaciona la Matemática con otras ciencias como la Física, la Química y la Biología?
176
Shutterstock, (2020). 525746323
4
unidad Bloques curriculares Geometría y medida Álgebra y funciones
Objetivos • O.G.M.1. Proponer soluciones creativas a situaciones concretas de la realidad nacional y mundial mediante la aplicación de las operaciones básicas de los diferentes conjuntos numéricos, y el uso de modelos funcionales, algoritmos apropiados, estrategias y métodos formales y no formales de razonamiento matemático, que lleven a juzgar con responsabilidad la validez de procedimientos y los resultados en un contexto. • O.G.M.2. Producir, comunicar y generalizar información, de manera escrita, verbal, simbólica, gráfica y/o tecnológica, mediante la aplicación de conocimientos matemáticos y el manejo organizado, responsable y honesto de las fuentes de datos, para así comprender otras disciplinas, entender las necesidades y potencialidades de nuestro país, y tomar decisiones con responsabilidad social.
Shutterstock, (2020). 259725194
• O.G.M.4. Valorar el empleo de las TIC para realizar cálculos y resolver, de manera razonada y crítica, problemas de la realidad nacional, argumentando la pertinencia de los métodos utilizados y juzgando la validez de los resultados. • O.G.M.6. Desarrollar la curiosidad y la creatividad a través del uso de herramientas matemáticas al momento de enfrentar y solucionar problemas de la realidad nacional, demostrando actitudes de orden, perseverancia y capacidades de investigación. Ministerio de Educación, (2016).
177
(0, i , j ) DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir 2 0, i , j de dos puntos de la recta. u ,v
(0, i , j )
¿Qué es un sistema de referencia ortogonal del plano?
Desequilibrio cognitivo ¿Es posible determinar las características cinemáticas de una partícula en movimiento con el uso de las ecuaciones vectoriales y paramétricas de la recta? y
v 0
u
L
x
x
u
p Figura 4.1.
y y tv
L
y
j –2
j 0
L v
x(1) u +utj 0 –1 u x(–2)
u 0
u
x
j x
–1 a –2
x p Figura 4.2.
y
L
y u + tj W
7 A 0
0 u
6 5 x0 4 3 2 1
x1
jv
y
u [A, B] L=u+W
a
B xx
p Figura 4.3.
A [A, B] y Recuerda la definición y (x, y) W
Dados dos puntos v v distintos A, B cualesquiera en x 0 1L 2 b 3 4 5 v 0 el plano, existe una y solo una –1 u [A, B] recta L que y0los contiene. –2
178
–3 x0
L=u+W
x0 A0
aB x
) (0, i , j )
(0, i , j ) 2 v 0 u ,v 2 2 2 (0,ui,v, j ) v u 0,v (0,L =i ,{jx)(t ) = u +tv | t R} u ,v v 0 v 0 2 2 v 0 L u ,v ( 0,2 i , j ) L 2 u ,v = u +tv | t R L = x t u ( ) { } Definición. Sean ortogonal del )}uun+tvsistema | t Rde L =({|0,xt (i t, )jR= } referencia t L = { x2 (t ) = u +tv | t R} v L= 0 { x (t ) =2 u +tv 2 t plano,Lu ,v u fijos con 2v v 0 . El conjunto L definido L como u | xut ,v LR} se llama t t paralela L =u{ x (vt ) =0u +tv recta que pasax porL y es L x= { x (t ) = u +tv | t R} tu t v de la a v . El vector v se xv =llama u0+tvvector2 director o vector x = generador u +tv v u x L t x L t = u +tv | t R L = x t x t = u +tv L recta de L.{ 2(x ) u (}) 2 R}L 2 x L x LxL = 2 {L2x (t ) =tu +tv | t x L t x L L2 v xu= u +tv x vectorial = u +tv de la t, v t 2 La ecuación se llama ecuación x t = u +tv L ( ) L 22 t= u +tv x t x t = u +tv u x u +tv x u +tv 2 L L ( ) ( ) 2 recta Lx L.x L t tt Lt xx (tL) = u +tv t x2 x L t 0, i , j L) v t ( t t 2 x L t t vxv 2L t L v t t t tt x LsexLsigue L tquet L y 2. Además, tx (tla) =definición tx L De elemento xux +tv u +tv x u +tv de la =(ut )+tv 2 t xx = u +tv x L cada x L u ,v t t x = u +tv x = u +tv más aún, se tiene la recta tv LtL lax forma t t tvx u +tv uL + tv para algún t xx = uL,+tv = xt L Lvxxes de t xu=+tv tv x t tL t xx (equivalencia: t )L=xvu=+tv siguiente u0t+tv x L t x = u +tv x(1) x )L=, ux +tv t xx LL u ,v ,tv t ,x +tv xx==uu+tv x x xuLx,v(LtL,tv x = u +tv j t t t x tal jquet x = u +tv . ttv L tv x u +tv xL = {Lx (xt = u | t R} x L ut u+tv t +tv xt LuL+tv xt = u)( =+tv 0 ( 0,1)xx= uu+tv x t x t u 2,0 ux= ( t2,0 ) yv = j = ( 0,1) su negación se escribe: –2 –1 = j = ) x x u +tv u +tv x L u ,v ,tvt , x x = u +tv v yv x L+tv x = u +tv u ,v ,tv , x x u +tv . t t –1 x x u +tv vx uu+tv u vx L L +tv x v xvL =L { x (t )t= L =}{ xu(t=) = (2,02,0yv) +t t x u +tv (x 2,0L) +t (0,1 t vx) t u +tv x(–2) u = ( 2,0 yv = j = (tv 0,1 = (j0,1 = ()0,1 ) ) ( ) ) } v –2 x u +tv v tv Los vectores y con t R, t 0, son colineales. En la Figura 4.1. v tv xtv u +tv vv tv xtvj u +tv v muestran x , xu y+tv jL; recta yv el conjunto se u ,v ,tv tv Lu=,v{,tv x (los t, x) =vectores 2,0 +t 0,1 t L =que x (tpasa = ( por 2,0 ) +t ( 0,1) t ( } { ) v ,tv) , x ( ) 2 tv v u ,v tv tv u ,v ,tv , x L los u ,vvu,tv ,vy ,t,tv x .,x tv extremos de v)L+t ( 0,1) = (j tv 2,t ) x)(t ) = ( 2,0 ) +t ( 0,1) = ( 2,t ) u ,v ,tvx ,(tv x ) = (u 2,0 2= ( 2,0 ) yv = u ,vtv=,tv( 0,1 ,x juuu,v,v j L j =2,0 0,1 =,tv 2,0 x ()t )yv ( ( ) u==u=L(+tv yv = j = 0,1 x(1) ,tv , , x ) ( ) ( t2,0 u ,v ,tv , x resuelto u= 2,0 yv)t=yvtv j =j= j( 0,1 = ()0,1) uu j,v= ,tv tvu(t=2,0 , x ) yv = j = ( 0,1) ( ) Ejercicio yvL,=x==j{=x 2,t u =2,0 ( )2,0 (t0,1 ut,v()0,1 ,tv ))=u) ( u2,0=u),v(+t,tv (0,1 ) t =2x (jt=)}=(0,1 2,0 )2,0) +t (0,1) = ( 2,t ) xuL(== t ){=x2,0 +t (2,0 ))0,1 ((). L)El2,0 ( definido ,de x) yv t)= 2,0 +t 0,1 t yv = j = u yv = j = 0,1 y subconjunto L queda x t ( ( ) ( } L = x t = +t 0,1 t ( ) ( ( ( ) 0 { ( ) ( ) } x2,0j )=+t xSean –2 –1 ,v ,tv , x u = ( 2,0 ) yv =L =uj L= 0,1 L = x t = u ,v ,tv , x ( ) u 2,0 yv = { ( ) ( (u0,1 ( ) ( ) )t } = x t x = t = 2,0 2,0 +t +t 0,1 0,1 t t { ({ ) ( )( 2,0 ( )+t==u)0,1 ( () ) }, yxse }(0denomina 2,0 =0,1 ) =2,0 ( 2,0 )0,1 comotsigue, L = {yxx((ut0)x===(( L2,0 recta ( j =) (tL0,1 } j x =))uyv t+tv t =u{)–1 x t = +t = (( )2,0() yv =) j = ( ) t L } j L = x t = 2,0 +t 0,1 t L = x t = 2,0 +t 0,1 t { ( ) ( ) ( ) } { ( ) ( ) ( ) } j u =+t(Ay(2,0 0,1 (2,0 L = {pasa x (t ) por = ( (–2, 2,0 0,1 )x((12,0 que es vector es recta paralela )1))tyv= (=u =j2,1 }al=( x(–2) 0,) iyv, Lj =).=Esta t0,1 {j =xt(=1, ) =una (0,1 (+t j )7j0) t =1, x (paralela = () +t2,1 ) ) ) ))=tu } –2 x = u +tv x t = 2,0 +t 0,1 = 2,t L = x t = 2,0 0,1 t x 0 = 2,0 = u x 0 = 2,0 ( ) ( ) ( ) ( ) j { ( ) ( ) ( ) } ) ( ) ( x L t j al eje Yj x.j((t)) =(( 2,0 =2,t t ) = ( 2,0 ) +t ( 0,1) t 6x) +t {t2x)=(+t } =2,0 2,t+t )(2,0 )(t()0,1 +t 0,1 (t ) =t(2,0 (=2,0 (x0,1 )=,v==2,t (Ltx)j2,t 2,0 +t = ( 2,t ) )0,1 ) ) } L(()+t == 2,0 0,1 t 2( 0,1 ( ) ( ) { ( ) ( ) } j x (Ltx5= ={=t )x(x=(2, +t 0,1 = u ) ( ( ) ) ) ) ( ( t x 2 2,2 t = 2, x = 2,2 ( ) ( ) ( ) ( ) t+t Una ecuación 0,1 t =1, x (1xvectorial t =1, x (recta u t+tv (=t )(=t (2,1 )Lesta ) =es:( 2,t j 2,0 )de x ()tj ) = ( 2,0 ) +t (0,1x )(1=) (= (2,t2,1 )) tx(t()t )==( ()2,0 2,0 +t 0,1 = 2,t x 0,1 = 2,t 4) )+t ( ) ( ) ( ) ( ) t x (t ) = ( 2,0 ) +t = 2,t , tR. Por ejemplo, para t = 0, se v 0 ) ( ) x t = 2,0 +t 0,1 = t j(t0,1 j B] ) u(= (a,0) ) ( ) ( 2,t ) [A, u =x a,0ux)+tv 02,0 =)(+t2,0 =)=u (( 2,t ( ) ) v 3) =x(((t )2,2 t = 0,1 t = 2, x 2 2,0,1 x t( ==2 ) –2, =2,t ( ( ) 2,0)t,)=+t t ( ) ( )2,2) t u= 1,1, xx(1()t )==(–2,1 para tiene t tx ( 0 ) = ( 2,0x )( 0=)u=,( para 2,0 ) = ( ( ) ( x 0 = 2,0 = u ( ) ( ) t(=)0=)(v=(2,0 2,0 +t 0,1 = 2,t tx (–2) = (–2, –2). = u +tv | t R L = x t x (x0x2()En 2,0 = u = u ) ( ) ( ) x) (t )se = ( 2,0 ( )la(0,1 { )t+t ( t )tv a ( la2,0 a ) = (L. 2,t ) } Figura recta 2,1 =1, x (1) =muestra x)( 0 )1= = u4.2. ( ) ) t x 0 = 2,0 ) u==u ( a,0 ) ut ==1, a,0 ( ) ( ( t = 2,0 =uux) (1) = ( 2,1) t()=1, =2,1 ) ))=x=()(1t=)2,0 = t =1, x x ( 0 ) =xx(( (002,0 u t (v)2,1 x (R, 0 ) =a((1) 0, 2,0 ==u)j = 0,1 . u) a 2,1 2,1 =1, t a=1, x (1tvx)sea (=1yv)(t=2,1 (,v=tj2,,tv )(a, )(x0,1 =x3,0) De manera más general, con u= ( ) 0 (x1)0, x = 2 = 2,2 = t =1, x 1 2 4 5 0 = 2,0 = u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a = 2, x 2 = 2,2 a = 2,1 t =1, x 1 ( ) ( ) x 0 = 2,0 = u ( ) ( ) ( ) ( ) = 2,1 t =1, x 1 t = 2, x 2 = 2,2 = 2,1 t =1, x 1 7,tv A i ,(paralela j (u0() a= (v )2,0 ((2,1 )t)=x–1 es elt) =1, conjunto como La recta por = 2, =2,1 t =1, x (1que u0,1 (=)(2,2 ) t (0,1}) .t } = { x ) = (pasa )(t((L=02,=)x=u{2,((),v0,x(y)x(es xL(x= 1)= 2t(2,0 2,2 2,2 )({={xL2x(()definido )=)u===,2)x=))((x)==a,0 (2,0 )+t) yv )0,1 = j = a,0 t t a,t t = a,0 ( ( ) ( ) } ( ) ( ) 0, i , j 6 u t = 2, x 2 2,2 ( tautL=)==0,2,(2,a,0 0,1x))(1)( (=2 ( )2,1) t =t =1, 0,) v) =))+t j = ( 0,1) 2, xx ( 1)2=) =(a(2,12,2 v = –2j =t (=1, ( + t))((2,0 0,12,1 t) ∈= jx}==( 0,1 x)=(t )a,0 = ( a , t ) t ∈ } . 22,2 2,2 u()=a=x(,0 a,0 2,2 ) ) { ) ( ) u ,v u = yv = t2= =1, 1 5 ( ) u ( ) t = 2, x ( {2x)x(=x(ut)()(= = 2,1 t =1, x 1 ( ) ) ( ) ( ) t = 2, x 2 = 2,2 u(xa,0 = t( a,0 –3 )= ()aa,tL =) t{ x (t ). = ( 2,0B) +t (x0,1 2 .a,0 +t 0,1 t (t )=))de (xt()())t=ttL))(=a,t({(a,t )}}t()t. ,t) =t) ==((a,0 x ( recta 2t ) =está 2,2 u ,v ecuación ( ) La= { x (utvectorial a,0 +t2, 0,1 =dada xt (=como ta,0 =2,)(xa,t x . ) ( ) 4esta Una R. u = ) ( ) } { ) ( } 2 = 2,2 ( ) ( ) a v 0 u = a,0 x t = u +tv u = a,0 (+t (( )a)vectorial B]2) (a= t a= 2,L x=(de == t )como )t=)trecta ( (2,2 )está u = ( a,0 2,2,0 x[A, 2,2 { ) } ) ( ) u0,1 =( )( a,0 Otra ecuación L definida sigue: 3 x2(la x t =( a,0 . j) 20,) +t v 0 v = j =a) t( 0,1) . x (t ) = ( a, 2 ) +t ( 0,–1) t (aa,a,t (0,–1 = (ava,t=) taj x(u=()= .0,1 = a,t t . xaaa(t ) 0, x t ( ) ( ) –2) + t(0, –1), t R. t()= =2v{()(a, t . u = a,0 ) ( ) 0, = j = 0,1 = u +tv | t R L x t t 0, v = j = ( 0,1) = (va,0 a recta es paralela u()=0,1 =la a,0 a ua0, 0,j =v) j=Y2=(.j En aa }se ((()(0,1 ))) ) +t4.3. 2 Esta Figura esta L.a,t t 1 L=x=(t0,1 = 2,0 0,1 L = { x (t ) = ua+tv0,|utva, val=Reje ) ( )umuestra j } x t = a,0 +t ==){a, xrecta t 2) =+t ) ). ( a )a 0, (v0,1 { ( } ( ( (0,–1 ) )t }. . ==),(tvj 2,t =x ()t0,1 =xv((va, 2 +t 0,–1 t xaLa(= t )0,{0, ) ( ) ) ( ) t = a,0 +t 0,1 t = x t = a,t t . = j = 0,1 = j = 0,1 ) ( ) ( ) } { ( ) ( ) } u L = x t = a,0 +t 0,1 t = x t = a,t t . ( ( ) { ( ) ( ) ( ) } { ( ) ( ) } a 0, v = j de =L =(arecta 0,1 x}{(v= tx)5)(= =tx)(j(=xa,0 +t 0,1 a2,0 0,1 Segmentos 1+t)()+t 2 ()(0,1 L{v=x)({tx0.x)((=tt))0(=a,0 =t (( a,0 0,1 t 3))tLa==(}4{0, =2,t t=)( a,t =)( +t a,t t()0,1 t ) t} . } . } = { x (t ) = ( ) { ( ) ) Bu v 0. v(t)=)+t j (= L =22 { x (at ) =0, 0,1()0,1 t L) =a{.}x0, =t{)vx=(=(ta,0 t 2) t } . } = { x (t ) = ( a,t =recta a,t x0. (. a,0 ) =ju =(),ya,t )(0,1 +t u ,v v(es0,1 –1 ≠ La Lt}=que pasa paralela a v)v+t xSean L x(a,0 +t 0,1 ={={xj xx(= ==t(por a,t t t((R 0,1 t t(=0,1 t()tt()(=0,1 a,t t . ). = a,t t . xta,0 t )=)a=tcon ( ) ( ) } )txa,t ()x(a,0 ) ( ) } ) } ( ( ) 0, = j = ) a 0, v = t L = { x (Lxt=)(={t={)x(= +t 0,1 t x t a,t . ) a,t t . ( ) } { ( ) ( } L = x t = a,0 +t 0,1 t ( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) } = { x (t ) = ( = a,t = a,t t t . . t ( )L( =)(={u(–2+tv ) x)(t0) =a,(} .2,0 = u L =vectorial La )ecuación tviene v es el conjunto {=uv{+tv }defi+t 0,1 t x t = a,t t 2 ) +t 0,–1 t . ) ( ) } ( ) ( ) ( ( ) {) tx x(t()t )=.=( a,0 v 0. x (t ) = (La,t 0. = a,t t . x t x (tL )= {(x. (t ) = (a,0) +t (0,1) t }}=. { x (t ) = (a 0,–1 t . x(t()t)==x( (a,t ta,)L)=)t=2xtu){(+t +txx)(tv(=t(. –3 nida como ,). ()=ta,= R. ) a,t 2 +t 0,–1 x ( ) ( ) 0 2,0 = u a,0 = ((a,t Bx (2tt) +t )x+t ((0,1 }=x=(a,t {a,0,1 =0,–1 tt ) =)tt( a,0 0,–1 xx(t ) = ( a,t ) t x (tx). (=t )( a, {()1x0,–1 }. . } )=t{) xt. (t )}=. . ( a,t ) t x. (t)). +t 2+tvt 2( )L(+t )+t t(+t =1, x (xa, t )=t=(2=ua, t ) =)Ltu=+tvt 2)).= () 2,1) ( = 0,–1 t . x∈(t a,t t . u , v L = {u t+tv t u +tv t ) ( ) ( ) x t = u +tv ( ) ( ) } { } (0,–12 t t . . x (xt )(t=) (=a,(a,t22) +t . t ( 0,–1 . )t u ,)tv)==( (a,a,2x22u)t)+t ,+t vt (=1, (0,–1 x )1) = 2,1) ) t ux , tv = 2 ) +t xx((tt))==x(xu(a,t(+tv . a, 2 +t 0,–1 t . ( ) ( ) ( ) u ,(vu(0,–1 ,)v=)2(t2a,t2)tt(=.)x (2,t().x=( ( a,t 2 ) = ( 2,2 ) v 0.
Ecuación vectorial de la recta
Saberes previos
tv
(
x1
t0 , t1
x 0 = x (t 0 ) = u +t ov , x1= x (t1 ) = u +t 1 v .
x 0 = x (t 0 ) = u x+t 0 ov , x1= x (t1 ) = u +t 1 v . x 0 t0 , t1
x1
x 0 = x ( t 0 ) = u + t ov , Sea t0 , t1 R, tal que t0 < t1. Ponemos x t = u +t v . x 1 x 0 =xx0 =(tx0 )(t= [0A,B u]+ovt o,vx1= , x 1 =(x (1t)1 ) = u + t 1v1 . )u=+t
1 Al vector el punto A y al vector = x (tAB [ A,Bx 0] lexasociamos (0, ix,1j, )el punto B. 1 ) = u + t 1v . El segmento de recta de extremos los puntos A, B denotamos con 1 (0, iu, ,vj )de L 2definido como [A, B]. AB xo también [ x 0 , yx1 ] y es subconjunto
y
L
Recuerda que… u + tj
Sean A, B dos puntos j ≅ distintos cualesquiera y x 0 2AB.Seudice que a los tres C puntos A, B, C están alineados y o≅ que son colineales.
ut,v v t 0,t2 . L t v AB = x , x = A,B = u +tv [ ] [ ] A,B { 0 1 [ x0=[, [xx10],AB u}[. 0 1 ]} AB x]1 ]==[[xA,B = u +tv t t ,t ] [ ] { 0 1 L x1 ], x= [=A,BA,B t t [t0 ,tt1 ],t} . . ]v=t]{=ux [{+tv x(1) 0[,x AB =A,B +tv [u +tv [x está ]}definido AB = =1{]=u +tv ,tt=1,t]u}[A, tv.B] 0]segmento 0 t )1 = xtu0)[v u +tv | t R} L0+].= La ecuación del det (recta y j 0 [, x 1 ], x= ][ = ( { j AB[ x=vectorial x A,B [ ] { } AB = x , x = A,B = u +tv t t ,t . 0 1 0 1 [ 0 1 ]} x (t ) = u+tv[ 0 1 ] [ ] { u AB como:x (t ) = u+tv x (tx) =t u+tv 0 W x x u +tv | t R} –2 –1 ( ) x=(u+tv t ) =0 u +utv t ∈ [Lt 0=, {ut 1x](. t ) = u+tv x (t )x = = u+tv t ( ) t [t0 x,t(1t]). = u+tv x1 v –1 B t [[t 0x,t0 1, ]tx. 1 ][t 0 ,t1 ] . t ,t . t En la Figura 4.4. se muestran los vectores , , la recta L y el segmenv u [ ] x(–2) . ] . . t 0∈ 1[t 0 , t1 ] . t t[t 0 ,t[t1 ],tA,B x 0 –2 B] 0[ 1 ] t [t0 ,t1 ] . u [A, to de [recta [A, B]. A,B] . [ A,BA,B ]. ]. v x L=u+W [ A,B[ A,B ] . ]L. = [{(3,1 x0 A,B +t] .(–1, 2) t , t 0 = –2 y t1 = 3. [ ) } Ejercicios resueltos A L = {(3,1)L+t –1, =L{(= }2), tt20) =t –2}, }tyx0, =tt10–2 (3,1 ))+tt) +t (–1,(–1, x==(3. t–2 +tv )y=tLa yu1 = t13.= 3. {–1, (223,1 L = {L (=3,1 +t –1, t , t = –2 y t = 3. 1) Sean ecuación +t 2 t , t = –2 y t = 3. ( ) } {()3,1 ) ( ) } =y{)(+t 3,1()–1,2 +t (–1, x (t ) =L(3,1 )0t 02) tL. }1 , 1t0 = –2 y t1 = 3. p Figura 4.4. x t = u +tv 3,1 +t –1,2 t . x )(t+t vectorial recta definida como x (tde t . ( ) )x (=t(L)–1,2 (está ) ( ) t ) =la(3,1 ) = (3,1) +t (–1,2 ) t . y x (t )x = tx(3,1 .j=(.(–1,2 =t ()3,1 +t t–2 ( ) (t()3,1 ) ) (x, y) =+t–2, x(t0–1,2 = 3, 1))–2 2 ) = (5, –3) . x–1,2 +t t, t(–1, . R. 2= ( ) ( ) ) + t u 0u ,v x x –2 = 3, 1 –2t –1, 2 = 5, –3 . ( ) ( ) ( ) ( ) –2 = 3, 1 –2 –1, 2 = 5, –3 . t 0 = –2, xt00 ==t x–2, 0 ( (–1, 2) ) = (5, –3) . =( –2,) x 0(= x )(–2 ) = (3, 1)) –2 y v x j –2 1x)1(–2 xt01 ==x 03, x0 =–2 Para t 0 =t–2, ()–1, (,v5,–3 ()–1, )7. ) .2.2 ) = (5, –3) . x=()(3=3,)x(=013,)=(–2 3, +3 = –2 =(2–1, –1, 0 = –2, (0,(–3 ()23,=)21(=)5,u–2 b u (vxt10 (=) –2, L 7 A x=1()3x+3 =3 (–1, 3, 13,)2+3 –1, 2 )x .=2 (= 0, 70,) .7 . v ) ( 3=)x= = 0, 7 Para t1 = 3, x 1 =t1x=t(13, ( ) ( a 3,1 = x03, = 1 +3 –1, u ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3x (= = 3, = 3 = 3, 1 +3 –1, 2 = 0, 7 . 6 ) ( ) ( ) ( ) x = x 3, 1 +3 –1, 2 = 0, 7 . t1 =tu3, , x x 3, x)21 = x((3) = )(3, (1) +3)u(–1,v2 ) = ( 0, 7 ) . y0 ,v 1 ,v 1 2 01u(,vu1),vt1 =( asociamos A losuvectores los puntos A y B. El segmento de 5 x 0 , x1 x 0 ,xx0 1, les x1 xv1[ A,B xB] x01, está rectaux[A, el) tsubconjunto x+t . L siguiente: )(+t (–1,2 ) t[0,1[–2,3 xdefinido v –u 0 , vu 1como ] . u],v}de 0 a x (ut])=x==0{v,u(3,1 x04 A,BA,B 3,13,1 +t –1,2 t t.[–2,3 . . [A, B] [ ] ] ( ) ( ) { } A,B = 3,1 +t –1,2 t –2,3 = +t –1,2 –2,3 [ [uA,B ] {( [(3,1 ])}] . [ x t]=}u+t v –u t 0,1 . 3 ) )]+t ( ({–1,2 ( ) )) t [( [–2,3 [ ] ]. 2 ( ) / t ) [0,1 = {()–1,2 +t + tv](}v. –u A,B],v= {] x(=3,1 t(3,1 –2,3 [(=A,B ,v 3,1 t (–1,2 (–1,2 u[ ,v }[de []–2,3 ({xt )()u0=+t )]+t uyx = v)[),luego u. x}),v(t]t].)==({[–2,3 uu) +t ) y ()1 La ecuación vectorial de este segmento recta está definido como} x t = 3,1 +t –1,2 t –2,3 . [ ] ( ) ( ) ( ) x(t()–1,2 = (3,1 x (t ) = 3,1 ([–1,2 [–2,3 ]).t [–2,3x. ]0. = uyx 10,=i v, j,luego u ,v = 1u +t v –u / t 0,1 . ) +t ))t+t +t ,))t+t (tx–1,2 ==(u(3,1 –2,3 ((tut()()3,1 x)((+t tv))((–u t ∈][[–2,3 t(0 , )t]1.] . (( ) xx((tt))xx== +t = t+t –1,2 t,=–1,2 (+[)v=–2,3 )]]t).. ,)] .,)W[t0,1 [,v)t0,1 ]–u ((.0,1 )t(=u)3,1 (–1,2 ) [ ] { ( ) [ ]} t()3,1 )uv+t=x–u –2,–3 4,2 x1
v B |t En la Figura 4.5. muestra segmento [A, B]. vuyx , ]elluego ,vu] =+t –u 0,) i([v),0,1 [u4,2 ]t}2.)6,5 ) = se ),v][=}0,1 . 01v[))–2,3 1 ,vu–u /4,2 x ( 0 )x=( 0uyx 1(t)xt∈ =)((= ,(==–2,–3 luego v+t |uxt(=+t ]=(=v(){)–2,–3 uj,v–u ( [ (xuyx { ) –{[(uu(–2,–3 0 ) u)+t=,vv](=,luego (–2,–3 ))(.+t ( ,[0,1 ) ]} . u
[A, B]
0
1
2
3
4
5
x
–1 –2
= (–2,–3 = ( 4,2 2) Sean la) W de 0 la( 4,2 ) – (–2,–3) = (–2,–3) +t ( 6,5) u(–2,–3 ,v v ) 2+t x (t ) =vectorial =uL(=4,2 , ecuación u+ u = (u–2,–3 (x0–2,–3 )x,v(u0=))=,v(=4,2 ) , ))),v, =obtén –3 –2,–3 ( B recta que pasa por estosApuntos. v 0 = u +tv | t R L = x t = –2,–3 +t 4,2 – –2,–3 = –2,–3 +t 6,5 x t ( ) { } (t =1, () –)(=–2,–3 )) +t ( ) (x–2,–3 ((0) =+t)(–2,–3 () ,) =t)u p Figura 4.5. x) +t x (t ) =(()–2,–3 (t )x)=(=4,2 ((–2,–3 ) +tR.(6,5) ()=6,5(–2,–3 v , ()4,2=)(––2,–3 4,2 L = xu(t ) = u +tv | t = (u–2,–3 (0()–2,–3 t =1, x = {( 4,2 Para tx=( 00,)x=se tiene ) = v., Por x) (=0u))==(u–2,–3y) = u y para (x, y)
0, i , j y está defilo tanto, el segmento de recta que une los puntos , ( 4,2 =v ( t4,2 v) = v , u ( u ) v ==1, v), = xv = t =1,tx=1, = (x4,2 2 ) b de : L nido como, el siguiente subconjunto (0, iv , ,vj )]}v . 2x u 6,5) / t v [u0,1 [uu,v ] = {(–2,–3) +t u y0 ( x2 x (t ) = u +tv u[,vu v,v está v vectorial =0 {(definido –2,–3).+t La ecuación de este segmento de recta como ] (6,5) / t v v 0 a x0 x 2 u ,v u ,v2 6, 5 )0,1 36,5 t=uu+tv , vt ∈L0[ 0,1 )u =,v+t(–2,– +tv | t R} = {x]x(.(tt))= =x{((t[–2,–3 +t(–2,–3 () )| t+)t|)([t+t =()6,5 0,1(][6,5 u ,v[]u=,v{](–2,–3 ] { u ,)v]/}, t [20,1]} [ ) } u v u v x (tt) = u +tv | t R} 2 x=(tgeneral, = (–2,–3 +u( 6,5 0,1]u Lv,=la{uecuación , vt , ) , [t0,1 [ ) ) con vectorial De manera sean x t –2,–3 + 6,5 , ] ) ( ) u ,v u ,v ( ) ( del segmento de recta que u une v los puntos u , v está. definida como x (t ) = ux (+t v –u , t 0,1 . [ ] ( ) t ) = u +t (v –u ) , t [ 0,1] . Nota que x ( 0 ) = u y x (1) = v , luego, v x x ( 0 ) =xuyx = v ,(1luego u ,v ] =[{uu,v+t +t)(|vt –u[)x0,1 | t ]x} .t[ 0,1 . ] =({vu–u (0)(=1)uyx ) = v , [luego ( ) =]u}+tv u = (–2,–3 ,v = ( 4,2 u = ()–2,–3 ) ,v )=, (4,2) ,
x (t )t = u +tv
+t ( 4,2+t) – (4,2 –2,–3 = (–2,–3 +t ( 6,5 x (t ) = (x–2,–3 ) 6,5 – )–2,–3 = )–2,–3 t = )–2,–3 t +t
R}
Recuerda que… Para determinar la ecuación vectorial de una recta, necesario conocer un punto 0,1]} [es de la recta y un vector director no nulo o dos puntos distintos de la recta. Dados el punto u = ()–2,0 yj =v (=0,1 j =) , ( 0,1) , u = (–2,0 )vector y elv = la ecuación la =recta =x(–2,0 +t (t))y=v)vectorial (–2,0 )(+t (,0,1 ) t)(,–2,t t), t ) =)de (–2, ux (=t)(–2,0 = j (=0,1 0,1 es x (t) = (–2,0 ) +t ( 0,1) = (–2, t ), t
. 179
x = x 0 +ta 2 x = x 0 +ta 2 u, v u , v 2 u, v x – x0 t= . x – x0 v 0 2 v 0 a t 2= v .0 u , v y paramétrica a DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir u, v u=, vx t =2 u +tv t 2 de dos puntos de la recta. L u, v { (t ) } } y = y 0 +tb, L = { x (t ) =2 u +tv = { x (t ) = u +tv t v }0 v 0 y = y 0 L+tb, u, v 2 2 u, v v 0 2 u , vv 0 u, v x x 0 previos b u Saberes u x t = u +tv t L = yL = y + = x – x b y – y { ( ) } x x b ( ) u t 0 b}0 ay – y =0 ( x – x )v 0 = { x0 (t )y==auy+tv u , v v2 2 0 2 v0 0 0+ 0 } v t0 v t u , v } v L = { x (t ) = u +tv L = { x (t ) =uu, +tv ¿Cuál es la ecuación a a v u v L = { x (t ) = u +tv general v 0t L =}{ x (t ) =uu +tv t (ux , y ) de xla2, yrecta? u +tv 0 , 2t}definido Sean uL, =v {ux (t )2 =con v ≠t00 y Lv}el subconjunto = u +tv t L = {.x (t )así: x (, tt) = u de +tv ( ) 2 } x t = u +tv . ( ) v x t = u +tv , t . ( ) v 2 u a x (ut)), = u +tv vt }t. }u u, v vu 0v v = ( a,bL L)=={({x0,0 x (t )tx= =u +tv y – y0 = x – x 0 )a, cognitivo t )L==u{+tv ( ( } t x , y Desequilibrio ( x = ( x,precedentes, y) L t )esteL conjunto x (t ) = use+tv t . en las páginas by – y = x – x , L reprevha, dicho x (t ) = u +tv , 0tx =b ((x. , y ) 0v) L 0 t Como v a 0. ut x (t ) al= uvector +tv , tv . Una. ecuación v= {recta = u +tv L x t ( ) } u senta una que pasa por y es paralela u x t = u +tv , t . ¿Por () bxquébel estudio x = u +tv . x = u +tv . x = ( x, y ) x (Lt ) = u t+tv , t =, y ) 0 L+ x xcartesiana yx –=lasy(0xecuaciones =ut0y+tv b.mx 0 + mx vectorial =bx . de 0– de L está dada por: +ta x = x v mxutx (t ) =}u +tv ,0 tv . xv (t ) = u +tvx ,=t( x ,vy )=. ( a,b ya– y a= + xL = {yx0 – (tmx ) = 0u++tv , ), t ( 0,0.) , a,b t )(tv0,0 =)=u()+tv u, 2= x 0tiene , y 0 ) ,lavLsiguiente =x)((a,b L t = xL de x = ( xdel , y ) subconjunto y vectorial de la0 recta ( a es a De la definición , se equivau , y v = a,b ( ) ( ) x = u +tv . 0 0 u = x , y , v = a,b ( el0 estudio ( )lencia: x =x =x(, yx , y )xL–Lxx0 (tt ) t= ux ,+tv condición para 0) . , , ty xL=. u +tv = ( xque t , previa xx = u +tv u v (x = ut)=+tv . x (t. ) = u +tv x (tal t ), =t u)+tv . ,0,t a2 . 0. vx == (aa,b L ), t x , y)0.) ( 0,0 , x v de derivadas? u , v a v 0, u = x , y , v = a,b ( ) ( ) 0 0 v 0, x = u +tv . x , y , v = a,b yu = a+ mx ( 0 y0 =) a+ mx ( ) v , xy = u L+tv . ut = ( x x, y= )x, v+ta . , t x, x=v=(=. x( x, a,b xx(t=) u= u=+tv =) x 0. +ta L( x , yv)(t≠x 0,L0, y )x))=con +tv yt)es0decir Lt 0 0 que tax==(ala,b u+tv un Ponemos yx=0 , y 00 +tb, ( ) ( 0.uxmenos x, y L ( ) v 0, v = a,b 0,0 , ( ) ( ) u = x , y , v = a,b av = y0,0 – mx 0 . ( x , y ) L x (t )t= u +tvcomponente ( ) ( ) uequivalencia =. ( x 0 , y 0 )v, vprecedente = ( a,b)x – xse sigue que De 0, nulo. = u)la +tv , t xu== . ((xx, y0es,)y0 no v =x a,b v = ( a,b)a =( 0,0 , 0. y 0 –) mx x. = u +tv . x{, yxb)(0,t=)t(=x=u+ =. x((t0xa,b , xy)0–=) x,(0vx.0=+ta, (a,by)0 +tb) v 0,0 )L x (x=t u x+tv y=0xu)0t+t = L = 0} ( =+ta 0 0 +tv y y x, y = x + y +t a,b x +ta, y 0 +tb) v = ( a,b) ( 0,0 )x,, y = x + y +t a,b x, y L t tal que y = y + = x – x b y – y ( ) ( ) ( ) ( b ( ) ( ) a 0. 0 0 0 0 a a u( x=, y( )x 0 , yL0 ) (t ) ( 0x = 0x), y ( L ) = ( xt 0 v+ta,0,y 0 +tb0) u =a( x 0v, y 0 )0,, v = 0( a,b L ) vt 0, ( xva, )y=x) (+ta, a 0. Simbología xv= ua0, +tv u = ( x 0 , y 0matemática ya,b a,b , (vx = ) tv u ( ) ) ( x , y.) L u =L (tx 0 , yu0 = x–x 0 ,u 0 )x, )= ( 0 y = y +tb, a 0. t = y = 0y.0 +tb, +ta x = x x = x +ta, x, y = x + y +t a,b = x +ta, y +tb 2 L ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x(1) 0 0 0 0 x , y L t tal que x = x +ta, v( x , y ) = ( x 0 + y 0 )v+t ( a,b x 0+tv +ta,. y 0 +tb)( x(, y ) ) (Lx , y ) t vj 0, ( x , y )j L yx=, yty 0=+tb, 0x )x==( u aa,b) = ( x +ta, y +tb) x = x 0 +ta x 0 )+, y(0x) ,+t = u = ( x 0x,,yyb0 )=, v x=v+ = 0,y 0v=+tb, ((0a,b )) y(0(0,0 (a,b 0,)) +tv(ya,b y )v(= El vpar de ecuaciones v y x +ta, +tb y = y +tb, ( ) ( ) ( ) m = . 0 0 (La,b)x t0(x0,0 )b, 0 u 0 x = x 0 +ta x – x 0 x–2= x 0–1+tab, 0 x= yx 0+tb, x = x 0 +ta, 0 x 0 u x a= 0, t a y x ,ty= =v =x +a,b y)0+t +tb . y x)), +t y =( a,b – y 0) =b ( xy––xy0 0) = (x(a,b =by 0 y+0y+tb y ( 0,0 xL), ,y) ()=xse =a( tx(+ta, x 0+ta, +xyy=ecuaciones x =x –x 0x+ta, (, ayxy00 +ta, de ecuaciones u = ( x 0 , y 0 )El , yvpar 0+tb x(,)0, y ) =) (yx–(0a+y0(0y=0()x(ya0+t (+tb, ) , y)t0 +)(=xparamétricas x+tv 0a = 0, t L0 (0. –0 t+tb ,= y( x)(y)a,b L(0)x)=a, ,y–1 t0 xllama 0t ) == y(v0a,b a a 0 +ta, = x + y t = u . t =y = . ) ( ) x = x +ta, 0 0 ) +t ( a,b) = ( x 0 + a 0. x –ya0x+tb, 0 2 b 0 v = a,b 0,0 , y = y +tb, x , y ( ) ( ) vt == ( a,b 0,0 . ( ) . x x b )v =( a,b) 0,0 v. 0, 0 de la rectaxL,y=y=donde como las )ecua0. t ( x(–2) x 0yay+ta, 0 2 = 2y x , yR =se(xconoce x= +x x0by+ta, +t a,b)parámetro = x 0 +ta, yde +tb ) ) ( ( 0 +tb, y = + = b y – y +ta x 0y–2 0= 0v t x , y L t (x a = a,b 0,0 , x = x +ta, ( ) ( ) x , y ( ) x , y ( ) ( ) 0 0 0 0 +tb, ( ) x , = x + y +t a,b = x +ta, y +tb ( ) m = . x , y = x + y +t a,b = x +ta, y +tb 0 ( ) ( ) ( ) ( ) xt =0 x0x= 0 x =0t(( x ,0y ) ( L0 x 0a+ta ciones queydefinen = y 0 +tb,L.( bx 0) b( y0 = y0a0 )+tb, a 0 +ta, se ecuaciones paraméybt =llaman y0,0 +tb, b y =t ya0 +tb, yx– 0.=by 0x 0=+ta + x = y 0 – mx 0 + mx y = y +tb, y = y 0de+tb, tricas lab recta xxxa–0(=a,b x 0x)0a)+ta, xb–2y x+tb x)(+t 0, L, donde la( x , y ) L a t ( x , tyy) – =y y= x0 y0=++ay= =xy( – x, yyx0t)0+ta, 0 a, y ) a0 x0.–2 xa ( ( ) = +ta, 0 x= 0+tv x +ta, = . = x – x b x x x = u . t ( ) ( 0 v = a,b 0,0 , Como tdijimos, de los 0 es, al menos 0y – yuno ––xcompo(x –ax)y =( y0 +tb, ) esto y ,= 0 x – x 0 ) , variable llama pará- b x Rxse 0 = ( xy x = x0 0 +ta 0 aa y ty tb t = 0 0) b .( x – x0 ) b y= y 0 +tb, y0y=. +tb y 0 +tb, , x ty== y 0 y+ 0x . axy0 by 0 y L– y 0(=x , bay )( = metro. nentes es no nulo. Supongamos que a ≠ 0. De la ecuación x + y +t a,b = x +ta, t = x = xa+ta ) y = y 0b+ t = b . y – y 0 = ( x –( x00 m xa0( , y000.) a2t 0 ) =0 a) . x(=ux=0)+ta, ( u b=y=(+tb, xx0 –, yx00)), v = ( a,b) a 0 y – y = ( y = 0 , yx – x ybx – y =b ( x –bxx00 ) , b t b como: a y = y(0tx+tb, a 0en la yecuación La ecuación2adefinida se obtiene =y )= a+0tmx . Reemplazando mx 0x+=mx – y 0 = 0 y0y+–=ybyxx00=–=+tb, yx 0 – + y 0 – mx 2 x = x 0 +ta,( x , y ) (xx=, yx)0 +ta 2=ux+0tj, +tb,) . y ==)axy00(+ta v = ( a,b 0,0 a t =a b 0a. a v 0, x tal que y x , y x x u = x , y x = x +ta = x , ( )j (y0= y0 ) + t 0 y = y 0 +tb,obtenemos 0 0 resultado siguiente: . ay= =y 0a–(mx b y – y 0 =bx 0(axx–bxx0 )0 yely–= 0 0y7 +tb, A x – 0x 0 ) , b y – 0y+0 = a m + x =by 0 – mx a xy – = yx 0 +ta = x , x x 0 b )L. y – y 0 = =b( x – x 0 ) 0 xb– x 0x x 0 v = ( a,b( x) , y()0,0 u ), a t , y – yx0yy===yaya0 ,++tb, a 0 = a 0 = x0 , t x (=xx–00 x+ta a y b y – y = x – x . 6= y 0 + . ( ) t = a 0 0 0 ,y y – y0 = b ( x – x 0 ) , a 2y = a+ mx 0a a u =5( xbx x 0 0 x) 0ba ( x(,=xy,)+by )(mx y x=, , ya+ x =llama x 0 ecuación yb 2 se cartesiana x –( xx00 +) y 0 ) x+t ( a,b = =) (mx x 0 x+ta, u = ( x 0 , y 0 ) yy–=y 0y 0=+ + bx = yby0 – ymx ( ) 0 xbx= x 0 b y x 0y 0 +tb) 0 2 4 La ecuación definida como: 0 a a [A, B] a a a+tb, v x , y y = y + b y – y0 = b y = y ( ) = – mx + mx y –layrecta + x = y de L. También se expre0 2 0 y 0 – mx 0a. a a = y 0 –ymx =. .3 0a. =mx 2 (yx–, yy)00 = bxax 0, y+ ba x =2 y00 – mx 00 + mx v = (a,b) m 0,0 = a+ ( )a(x, y) 2 R tal que by – xy 0==x 0 +ta, ( x – x0 ) , y – y = a ( x – x ) , sa como (ya ) a tal que x( xa, y=)2,0, xa x m = b. 0 0 bb+tb, 0 y = y y=0 )yu(– yx)0 , .yb0 ) 2 =x ,mx se y= xu–=pasa x(0x)0 ,por – y 0 =L 0que – y0 + = ( x –bxde ,layaarecta xy – y 0 =, m( x – x 0 ) . W ( ( ) 1 cartesiana b llama ecuación 0 a y – y0 = m 0 0 (ax –bx 0a0,0 ), . abx b , y – y0 = m( x – x 0 ) . x mx yaes paralelayay=–va+ = ) ( ) x1 0( a,b x x 0 ,+ x = y – mx + mx t 1 2 3 4 5 = y – y bx b v y – y = m x – y = x – x , ( 2 0) 0( B 0 y = a+ mx 0 b a0 v) a u =0 (vxyy0–,–yy00y0)== a 0 x+– xx =, y 0 – mx b bx b bx b –1 x , y ( ) b . + mx y = a+ mx0 x 0 = . 0 + x = ym– 0 a =ybyby–0 ––0,ymx a( a 0 ) +=bxmx yreal = = y 0 – mx00de mnúmero = . 0 +0 xpendiente 0b b El la recta y se lo representa con 0 –2se llama u [A, B] a 0 a = y 0 – mx 0 . ab a a bx aa b a y = yx0 – ,+ xa==y 00,– mx 0 + mx a = 0, v como 0a a + mx aL se , bx b x a = y 0 x0– mx 0 . L = u + W – mx y=–( yx–300y,=y 0cartesiana + x = y m = . La ecuación de la recta expresa u 2 B 0 0 ) yx, mx – yb0 y=a, 0 ( xa– x 0 ) , ( x , y ) 0 y – y 0 a= m(yx – xa+ ) = A 0 y – y + ) . x = y0 – m tm= = . b. 2 v =– (xa,b . 0 =) ( 0,0 u = ( x0 , y0 ) v0,0 = ()a,b y– =mxa+ mx ) ( y = a+ (x, y) R tal que y y = m(x ), a = 0, a a b a y = a+ mx 0 0 u = ( x0 , y0 ) bxb0x. vbx y, =,a+ mx m = b su con , que y = y 0 – a + x = y 0 – mx 0bx 2+ mx ,b x b0 .( vez v ba,b 0, (,0,0 y y00–=amx = x0,– xv0se)= (escribe , yx)y0 0+ta = =0x+0 , x = yay0=– –ymx mx a a x(yx=– mx)0. . ax=)y 0 – (x, y) 0+ a v 0, y = a + mx, axy=2 R, con a = y – mx . a a = a+ mx 0 0 y 00 – .b mx 0 . a = yu0 –=mxx 0 ., y xmx , y )a = y 0 a–=mx y y y es y =la a+(Figura a = 0, y a+ymx v ( , y0 ))tpor En 4.6.xyse Luque =– xymuestra +ta = ==( xxla–0 ,xrecta = (x0,by0 0.) 0, tuy===paralela 0 = ( x0pasa b 0 0) ( xb0 , y0 0. ) L a = 0, , x 0 0 v = a,b 0,0 . ( ) ( ) v . a – mx . a = y b v 0 0 b alx vector y, – y 0v=. =x(u= x= –x(x 0x)0y, y 0 ) v = ( a,b) ( 0,0 )y0. mx 0 . v yva y=0 yb0 – a u = x0a0 , y= y = a+ mx En el caso en que , se tiene ≠ 0.= x , v = a,b 0,0 . a = 0, v = ( a,b) ( 0,0 ) . ( ( ) ( ) 0 ) 0 , como t = . +ta = x , x = x b 0, x = x +ta 0 0 a = y 0 – mxa0 . =u0,=v( x 0 , y 0 ) 0 0 b 2 b 0, x0 a = 0, En consecuencia, paramétricas de la recta L u = ( x 0 , y 0 )( x , y )de las ecuaciones , y u = x 0 a x ( ) 0 0 (0,0 ) . v = (a,b y00 –) mx b) b 0, yva==(ya,b v. 0. x = x 0 +ta =xxax+ta =0=, x0,0 =+ta v=( a,b x = x 0 ,= x 0 , v = se obtiene y reemplazando en la ecuación a = 0, t . ) 0 y y0 v = a,b 0,0 . v = a,b 0,0 . ( ) ( ) ( ) ( ) p Figura 4.6. . a de L: x = x , y vv=. ( a,b) ( 0,0 ) . t= y y . yb–by x=0 ,m a =tiene 0, la siguiente y 0()x – xcartesiana 0) se = x 0 = yx , a =uav0,== ((0 ecuación 0 x = xx +ta t= b 0 . a,b) ( 0,0 ) . 0 b b x = x +ta = x , b 0, a = 0, 0 b 0 0 v = ( a,b) m = . 2 b v( a,bb ) ( 0,0 ) . a x = x 0 +ta = x 0 , ( x , y ) x = x(0x , yy0,) 2 v =m a = . b 0, x = x 0 +ta = x 0 , y y0 v =y( a,b a = x0 , b x = x 0 +ta t= . y ) ( 0,0 ) .
Ecuación paramétrica de la recta
180
( x , y) L t ( x , y) L t ( x , y ) ( x L, y ) Lt t ( x , y ) = ( x 0 , y0 ) +t (a,b) = ( x 0 + at, y0 +tb ( x , y) ) L t x , y = x , y +t a,b = x + at, y +tb ( ) ( , 0y L0+t ) (t, y ) ==) ( xx(0 ,+y0 0at, 0 ) =) ( x 0 + at, y 0 +tb) ) +t (a,b ) )(=(xa,b (0 (, y0xy)0, y+tb )0 (0a,b y =)yt 0 +tb ( x , y ) =( x(, xy0),(=yx0(,)yx+t ( x 0)+( xat, ) L y)L0 +tb ( x , y ) = ( x 0 , y0 ) +t (a,b) = ( x 0 + at, y0 +tb) x , y L t x, y L t (x x, 0y, yx), yL L= yx(=y, y=(yxy)0+tb ,0 y+tb L y = y +tb ( ) ) 0 y +tb y0 – ((0 x+tb ) L () de y )=layequivalencia. 0, y )00) +t L t( a,b(t)x=, y()x=t0 =+ ( x 0 , y )( 0que Observa , yy00)0 +t ( xat, , y ) ) L y = y 0 +tb . ( a,b) = ( x 0 + at,(yx00+tb x , = x , y +t a,b = x + at, y +tb ( ) ( ) ( ) ( ) y – y b 0 0 0 0 x, y = x , y +t a,b = x + at, y +tb 0 ( ) (0 ), ( x , y ) tL ( xy t–, yy)t =y –Ltalyt0 que 0 y 00 ) 0 . ( t)=+ty( –a,b y 0 y+tb ( )b )L.= ( x 0y+=at, 0()x 0 , y 0 +tb) t t = 0 t =0 (. x , yb) =.y (=x 0y,0y+tb y – y0 t =,(y0,yy=0L)y 0 +tb t= t . y( xa, = que y = y +tb y )0,= se , y 0 )b+t y +tb ) ( x 0sigue (a,b(bx)0=y, y(–)xy0 +u(Lxat, ) 0 0 0 b 0 u = 0, y (t 0 ) ( xt0=, yu)= (0,L y. 0 )ty = y0 +tbt = y – y0 . para algún u = ( 0,uy=0 )( 0, y 0 ) – )y 0 y – y b b v = (ya,0 u = ( 0, y 0 ) 0 ( x 0 , y ) v =L a,0y = y0 +tb t= t t =. . define la pendiente t y –alybeje ) En este caso,( la recta L es paralela se v = a,0 0 Y y no ( ) b t a= 0. . v =) ( a,0 u =) ( 0, yt0 ) v = a,0 ub= ( 0,lay 0recta ) L paralela al vector v .= (a,0) de la( recta L. En y –lay 0Figura 4.7. se muestra t . u =a( 0,0.y 0u) = ( 0, y ) a t =0. p Figura 4.7. = u) +tv = { x (t ) = ( 0, y 0 ) +t ( a,0 ) t a 0. a 0. v =que } (ba,0u) = (0, y0 ) Ly= {v x=((t0)a,0 conta ≠ 0.}Tenemos Supongamos a 0. v = (= u +tv ta,0 =t ( 0, y 0})=+t{ x( a,0 { xt(t=) =u +tv {ux+tv { x)v(t}=)==a,0 (t))t)=t(0, y}0}) +t (a,0) t } u = ( 0,Ly=L0 = )(=)yt=) ta, x t 0, y +t a,0 )0. t v = (t}La,0 ( ( ) ( = {) x}=(t={){x(= 0, +t a,0 t L = { x (t )){=xua(+tv 0 ( ) ( ) t y t }. } a( )0. (0 0) t L = { x (t ) = u +tvRecuerda } =que… { x (t ) = (0, y0 ) +t (a,0) t a 0. = x t = ta, y t . a 0. { ( ) ( ) } y )t v = ( a,0 ) L = x t = 0u=+tv { x (t ). =yL(ta, t) = (}0,. yt0 ) +t (}a,0 = { x (t=){=x((ta, y{0()ta, t( a)y 0 )0.t} . t}( 0, = {) xt (t ) ==}( 0,xy 0t) +t a,0y) Sit tla ecuación =} =x{0 xt(t=) u= +tv }} . vectorial 0){ ( ) {+t) t(a,0 ) =de(}t(ta, 0 )recta L está = u +tv t = x t = 0, y +t a,0 L = x t una definida { ( ) } { ( ) ( ) ( 0 x t = u +tv t = x t = 0, y L = Ela conjunto { ( por ) el punto (0,}y0){y (es) paralela ( 0) ( ) } 0. ( 0, y 0L)es una recta y 0 t) pasa (x0,y(t0que = x t = ta, . 0, y como = u +tv t = x t = 0, y +t a,0 t L = { ( ) ( } ( ) 0, y x t = ta, y t { ) } { ( ) ( ) ( ) } ) {recta (x (t ) L=0 )es: = (ta, y0 ) t } . 0 al( eje0 x.) La 0ecuación vectorial de( la (0, y0 ) 3 = x t = ta, y t . t { ( ) ( ) }a,0 t = x t = 0, y +t L = { x (tx)(=t )u=+tv ta, y t 0 = x t = ta, y } { ( ) ( ) } y (t ) = ,–1 , ( { ( y 0)) t, (t0 R. 0 ) x (t ) = (ta, 0() t ) } . 3 +t ( 0,–1)3, t x t = ta, y t 2 0, y x (t ) = ((ta,) y(0() t 0 )0 )= { x (t ) = ((ta, x , y( )0, L } .t y t = ,–1 t+t 0,–1 , t+t ( 0,–1 , ,t ,–1 , )0,–1 ) =(+t 0 ) yt0 ) x (t ) = (ta, y 0 ) t ( )y (t )2= y3(,–1 ), t ), 2( Obtengamos la ecuación cartesiana. Tenemos 0, y 2 O de la forma ) y L) t t( yt }( x.t0,)y ) (0,Ly0 ) t = { x (t )(=x (, yta, 3 ,t 3 y 0 )y 0 ) t t, , tal que x , y L y (t )t= 2 ,–1–t ( x , y ) ( x L, y ) x (tLt)0 = (ta, 3 (0,, taly00))que ( x , yx)(=t )(=ta,(ta, . ,t y (t ) = ,–1–t ( ) y3(t ) =, t ,–1–t y (t )2= ,–1–t2 , t , y ) = (ta, y 0x) ((t )x = 0 )=ty(ta, y 0 ) tt, , yt,()ta, =x (ytta, ) ) ((0,xx ,=yy0)ta, )=( x((,xta, 0 2 y )(= y ) y 0xL)t,(t ) = t, t yx(,)ta, (t ta, y0x)=(t xta,, y ) L t Entonces, x =0 ta x , y ) = (ta, y 0 )t t, t ( xy==tay x. = ta L(xx,=yta t 33 ,–1 +t 0,–1 , t ( x , yx) = ta, x= xx(=t )ta=0(xta,= y 0ta, t )tL t y ((x, t) = (, t0 )∈, tal, • Si y) 2∈ L, existe x)x, y ) = ((ta, y)0 ) L yt,=(xtxy=, 0yta x , y = , –1–t ( x =tata, ta, x= ( ) x , y = ta, y t, 3 3 ) ( ) 0 x Este sonx las ecuaciones paramétricas de L.x = ta, x3, y ) = , , –1–t , ( x , y )x2=, y =,( –1–t y 0t.de ecuaciones t x=, yxúltimo . t =Lytx==.par x , y = ta, y t, ( ) ( ) y y , –1–t , 2 que t = . ( ) 0 2 x, y = ta, y t, (0 a) x( 0 ) (t y=la=xa)yecuación 3 . 0 y =ay 0xa= ta, 2 ,t = ,–1–t y t t = . De x = ta se obtiene La ecuación cartesiana de 3 ( ) x , y = ta, y t, x = ta, ( ) ( ) y = y a 0 t= . 0 x = , 3 23 y (tx2)== , ,–1 +t (30,–1) , t , = ta, x = ta,a x xcomo xyy y0=,0y)ydefinida 0 ,x t, , yay)0=,yL(=ta, 2= 3 , x = , la(yyx= recta está . , x y = y = y x 2 0 de donde y = –1–t , 2 0 =y , x y=y t 0
0
0
0
0
0
0
0
0 x =xta, 0 0 2 , y = –1–t , y = y 0 ,0 x = yta y = –1–t xx = de y =pendiente y=0=, ta x 0 0 y = x , y 3 La la recta L se define como m = 0. En la Figura 4.8. se x ta 0 y = y y = –1–t x x==x ta, 0 ,, t 0 0 , x =yx 0 , 0 y x = x , y = ,–1–t y t ( ) 3 0 x = x , y y = y 3 0 2 , –1–t x =que ecuaciones muestra 0 x al eje ( x , y, )son x X. = x0 , y 0 , y3= 2las x = x 0=, xxtauna y2 recta L 2paralela 3 L. t= . 2 2 tt= paramétricas de y== x = , y y 0( x.. , y(2)x , y ) 2 En x = ( xxy,resumen: ) 3 t 0 x2 = , y 2 , y a ( x , y) y ) aa 2 2 (1. ,Ecuación x , y 3 2 el parámetro t0. • 3Eliminamos ( L )paralela al eje X: cartesiana de la recta (yx–, yty)= =x m x =. , ,0 y – y = m x – x . ( ) 3 x – x , x y = y 0 0 3t = –1 –y. Lue) 2= . 3 , –1–t 2Obtenemos y –yyy=0= = ay 0–,, y((0xx=x–m ( xy, =y,0)–1–t 3 , 0,0 0 . , x00()x .– x 0 ) 0 y – yy 0–=ym=( xm– xx 0–) x 0 y 0m ,02 0. 2 cartesiana de 2 go, la ecuación ( ) 0 0 y – 2 Ecuación y 0 = m( x2– x0 ) 2. cartesiana de la recta L paralela al eje Y: 2 x = x 0 , 2y = xxy002,,, yyx L está3 definida como: . 2xxy == 2 0 x =3 , 2 2 2 L que es transversal a los ejes x = 2, y . 2 3. Ecuación cartesiana de la recta 2 2 2 x , y ( ) x = x , y 2 (coordenados y =2–1–t 0 , (xx22,, yy))0 2 X e Y: • Advertimos inmediata3 m–(xx y––x 0y) = m( x – x ) , m=yy(m x–=–(2yxm x0 –0=()xque ,0 . que L es una recta y –y(yx–0, =yy)0– tal mente 0 y – y0 = m 0 ( x – x0 ) ) ) 0 0 y –yy–0 =y 0m=(m x –( xx–0 )x00 ) 2 3 – y 0 =L.m( x – x 0 ) x = , y al eje Y que pasa donde pendiente de lay recta paralela y – y 0 = m(mx2–esxla 2 2 ) 0 2 2 ( xx0 y,,yy–220 )(yx00=,(yxm002),(yx0–) x20 ) por el punto x , y ( ) 0 0 2 ( 0 la0 ) ecuación Dada cartesiana de la(recta la ecuación x 0 , y 0 )L, obtengamos 3 x 0 , y 02 ) 2 2 (vectorial ,0 . No se define la 2 2 2 2 de L y por consiguiente el subconjunto L de R . Para el efecto, sea L una recta que pasa por (x0, y0) ∈ R2 y tiene pendiente pendiente de esta recta. x , yy )– L=y – y( – –=–yy0m =)m m x –– x.x00 ) . ( y = x , yy )–.(yx2Obtengamos L,=y()m y m x x . 0 (mxx∈ L y x – x 0 0 = mla( xequivalencia: – x0 ) . ) 0 ) L yde– yL.0 De 0x – x ( . , yvectorial ( , y )– y00L= m(y(xx–––yxx0 00=)) mla (ecuación 0) , y ) que L y – y0 = m( x – x 0 ) . y 0 = m( x – x 0 ) ,. se( xsigue ( xx,, yy) = Lx (, yx ,yy+–)m =, (y(xxx+ x=0 ))2)+ =((0,x y,mx +y( 0,) ymx –,)yx0(0+x()x0)m,= ( x ,((yxx)–0 =,(,yyyx(00,x)=)y,)ym0=(+(xx2m 2– –=y(0(xx)x0(x–),mx 0, x )= (0x),mx ) + (0, y0 – mx 0 ) ) ( x000 –) x00–))0mx ((x=0,, yy)0x0+0+,––y()mmx 0x0 –m x ,mx mx ( )0 (0 0 ( 0 )) ( , y( x)()=,x+y,mx ( x – x 0 )) = ( x ,mx ) + (0, y0 – mx 0 ) 0 +m m x – x 0 )) = ( x ,mx ) + ()0, y( 0 – mx (=xx, y 1,m ) = ( x+,=y00,x+(y1,m 0) 2 ( ) + ( 0, ymx – mx, 0x) , x – mx , x 0 x 0 =, y)x0 )(1,m ( ) ( + 0, y – (1,m).+ (0, y0 – mx 0 ) , x = x (1,m) + ( 0, y)00 –( mx000 ) , x 0 )= x = x (1,m) + ( 0, y 0 – mx 0 ) , x = x (1,m) +u( 0, y – mx , x 0 y – mx 0 )( x , y ) L y –. yLa=ecuación m( x – x )vectorial . = 0, y v = 1,m Se de la ( ) ( u =define 0, y – mx y v = 1,m . x , y L y – y = m x – x . 0 0 )x.(–u1,m ((((x0,, yuy))0=–(0,Lmxy00 ))–yymx –vy000=)=((y1,m mv((= x=00 ))()0, . . y)0 –0mx 0 ) y v =0(1,m) . u = ) 0 0 recta L está definida como u = ( 0, y 0 – mx 0 ) y v = (1,m) . u = ( 0, y 0 –ymxx 0 )=yu v+ =xv(1,m = ( x ,mx ) + ( 0, y 0 – mx 0 ) , y()))x).=–=(x(x0x,)y,mx , yyyu) = L(x=, uy)x0+∈ yxv –m y(0x=(–xm .0=+u)m . y ( x()xxx= + xv + x , ((x0,0,–yyx000––))mx ( x +++(xv y x mx00 )) , yu)(=+)(xvx , y 0 + m( x – x00 )) = ( ),mx p Figura 4.8. ) y ( x( ) = y ( x ) = u + xv y ( x ) = u + xxv 0, y)0 +–(mx x 0) x=–0xx)(0,1,m 0, y00)–, mx x =( xx, (yx1,m ) = ( x , y0,0 +yy0m––(mx ))x=x)(+x(,mx x = x (1,m))++((0, 0 mx 0 ) , x x x u = 0, y – mx 0 ) y v = (1,m) . ( = x 1,m + 0, y – mx , x (mx0 )0 yy vv ==0()1,m uu == ( 0, 0, yy0) ––mx 1,m)0..
181
}
u = (3,1) , v = ( 0,1) .
Taller práctico DCCD: M.5.2.9. Escribir y reconocer la ecuación vectorial y paramétrica de una recta a partir de un punto de la recta y un vector dirección, o a partir de dos puntos de la recta.
1
En cada literal se da un vector no nulo 2 a . Obtén la recta L que pasa por el 2 origen y es paralelo a a, así como la ecuación vectorial de L.
a) a = (3,0 ) . ___________________________________________
u = (2,0 ) , v = ( 0,–1) . u = ( 0,0 ) , v = (–2,–3) .
d) u = (1,1) , v = (5,1) . ___________________________________________ ___________________________________________
3
3,11), Sean a ==((3, (2,)5). Escribe las ecua) ,bb(2,5 ciones vectoriales de las rectas siguientes. Además, representa gráficamente cada recta.
a = ( 0,–2 ) .
( ) a) L1 = {a +tb | t }. a = (1,4 ) . ___________________________________________ b) a = ( 0,–2) . L2 = {b +ta | t ___________________________________________ a = 3,0 ) . L1 = {a +tb | t }}.. a = ((–2,3 ). ___________________________________________ a = (1,4 ) . ___________________________________________ a = ( 0,–2 ) . . b) LL32 = = (3,0 –1,–2 = {{aba+t +ta(b|| t– t a ) | t}.. } aa = . ). ) L = +tb { } a = (–2,3) . 1 ___________________________________________ c) a = (1,4 ) . LL4 = = {b+t (ba| ––b a = ( 0,–2 ) . a+t a )) || tt . }}.. ___________________________________________ ( 3 ={ . aa = = ((3,0 –1,–2 L b +ta t ) ___________________________________________ { ) .) . L12 = {a +tb | t }}. a = (–2,3 ___________________________________________ a = (1,4 ) . L = {{b+t (a –b ) | t }. a = ( 0,–2 ) . = {ba+t +ta(b| – t a ) | t}. }. a = (–1,–2 ) . x , y ) L c) t LL324 = ( d) a = (–2,3) . ___________________________________________ a = (1,4 ) . ___________________________________________ =a,b +aat, ___________________________________________ {b+t ) || ytt 0 +tb}).. ( x , y ) = ( x 0 , y0 ) +t ) = ((xba0––b LL34 (= a+t t a = (–1,–2 ) . ( x , y ) L ___________________________________________ a = (–2,3) . x , y L d) y = y 0 +tb x , y ) = ( x 0 , y 0 ) +t ( a,b) =(( x00 +2)at, y 0 +tb ( )L4 = {b+t (a –b ) | t }. u, v e) a = (–1,–2) . ___________________________________________ 2 y – y0 u , tv t = ___________________________________________ . ___________________________________________ ( x 0 , y ) L y = y0 +tb v 0 b ___________________________________________ a = 3,0 .
___________________________________________
y – y 0 L =v ux0=t 0,=yu +tv t { ( () 0Resuelve } ) . en el cuaderno. b t ) = u +tv t } 2 En cada literal se dan dos vectores u Ly =v{=x((a,0 ) u = ( 0, y ) 4 Los vértices de un cuadrilátero son los de 2. Obtén la recta L0que pasa por u v a 0. puntos u = (–2 , 3), v =(–1, –2), w = (4, –1) como y es paralela a v ,=así( a,0 ) la ecuaciónv vectorial de L. x (t )L==u{+tv = { x (t ) = ( 0, y 0 ) +t ( a,0 ) t x (t ), =t u +tv. ytz = (3,} 3). } a 0. x t = u +tv , t . ( ) a) u = (3,1) , v = ( 0,1) . a) Obtén las ecuaciones vectoriales de las recx = (=x , yx) t L= ta, yt0 )+t t a,0} .t { ( ) ( = u +tv t = x t = 0, y L = x t { ( ) } { ( ) ( ) ( ) por} los lados del cuadrilátero. ___________________________________________ t que pasan x = ( x , y ) L 0tas u = (2,0 ) , v = ( 0,–1) . x = u +tv . ___________________________________________ u = (3,1) , v = ( 0,1) . (0, y0 ) . b) Expresa los lados del cuadrilátero como seg= { x (t ) = (ta, y 0 ) t x}=. u +tv mentos de rectas. u = ( 0,0 ) , v = (–2,–3) . u = ( x 0 , y 0 ) , v = ( a,b ) b) u = (2,0) , v = ( 0,–1) . x (t ) = (ta, yc) Obtén 0 )t u = x , y , v = a,b ( 0 0 ) ( ) las ecuaciones vectoriales de las rec(0,). y0 ) 3,1),, v = (5,1 0,1 u = 1,1 ( ___________________________________________ v 0, tas que pasan por las diagonales del cuadriu = ( 0,0 ) , v = (–2,–3) . x , y L t ( ) látero y de estas obtén las diagonales del ___________________________________________ v 0, x (t ) .= (ta, y 0 ) t u = (2,0 ) , v = ( 0,–1 x , y) L t cuadrilátero. ( u = (1,1) , v = (5,1) . ( x(, yx), y ) =L (ta, yt0 ) t,el punto de intersección de las diagoc) u = ( 0,0) , v = (–2,–3 ( x , y )) . L t +t ( a,b) = ( x 0 +ta, y 0 +tb) ( x , y ) = ( x 0 + y0 )d) Halla nales del cuadrilátero. ___________________________________________ x = ta, u = (1,1) , v = (5,1 x) ., y ) = (ta, y 0 ) t, ( x , y ) = ( x 0 + y 0 ) +t ( a,b) = ( x 0 +ta, y 0 +tb) ( ___________________________________________ x = x 0 +ta, y0 y =x =yy0x=+tb, 0 +ta, x = ta, t y = y 0 +tb, y = y0 t t
182
t=
5
Los vértices de un triángulo T son (–2, 0), (1, –2), (3,1).
Trabajo colaborativo Diversidad funcional en el aula
Obtén las ecuaciones vectoriales de las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del triángulo. Observa la figura adjunta.
Uno de los obstáculos que enfrenta una persona con discapacidad es el miedo que las personas sienten ante lo ‘diferente’. Es necesario perder ese miedo y construir una sociedad sin prejuicios. Archivo editorial, (2020).
Trabajen en equipo y resuelvan en sus cuadernos.
8
p Figura 4.9
6
Sea L ⊂ 2 que se define en cada ítem: escribe las ecuaciones vectorial, paramétricas y cartesiana de la recta por W. Traza gráficamente dicha recta.
a) LL = = {{((xx +2,1 +2,1)) xx
}}. .
b) LL = = {{((a–1, a–1,a+2 a+2)) aa
= {{((–2y –2y,, –– yy)) yy c) LL =
{{ ((
))
L= a 3– 5 a ,– 5 a d) LL== aa 3 –
7
}}. .
L = { y (–2,1) – (–1,0 ) y
}.
Demuestra que el subconjunto L de 2 2 Lque = {se –u+v –1}.es una recta. (u,vdefine ) en cada=caso Representa gráficamente el conjunto L. Obtén la ecuación cartesiana de dicha recta.
a) LL = = {( xx +1, +1,11) xx
}..
=={( axx –1, –1,3xx,)–xx 5 a}.. b) LLL=
{(
)
=={{yyy(–2,1 –2,1 –1,0 c) LLL= –1,0))yyy (–2,1) )–––((–1,0
{
== {(u,v u,v d) LLL= (u,v) )
Los vértices de un triángulo T son los puntos u = ( 0,2 ) , v = (–3,0 ) , w = (1,–3) .
a) Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del triángulo T. b) Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del triángulo. c) Obtengan las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a las medianas del triángulo.
10 Los vértices de un cuadrado son los 0,2 –3,0 1,–3 . , )v),,=vv(==–3,0 –3,0 , )w ),, w=w(==1,–3 puntos u =u=u(==0,2 (2, =((1,–3 (–2, ((0,2 )0), (((0, )2), ) . )).0) y z = (0, –2).
}.
}}.. .
}
–u+v –u+v ==–1 –1 –u+v= –1}.. .
22 2
a) Obtengan la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto medio del segmento y por el origen. b) Obtengan la ecuación vectorial de cada recta que pasa por cada extremo y el origen. c) En el sistema de coordenadas rectangulares, representen el segmento de recta, y cada una de las rectas obtenidas en a) y b).
9
}}. . }}. .
Los extremos de un segmento de recta 3,1) ,b 3).(2,5) son los puntos a ==((2, ba =)=((–2, 3,11) ) ,by(2,5
a) Expresen los lados del cuadrado como segmentos de rectas elegidos apropiadamente. b) Expresen las diagonales del cuadrado como segmentos de rectas y como productos cartesianos apropiados. 183
DCCD: M.5.2.10. Identificar la pendiente de una recta a partir de la ecuación vectorial de la recta, para escribir la ecuación cartesiana de la recta y la ecuación general de la recta.
Saberes previos ¿Qué es la pendiente de una recta? Desequilibrio cognitivo ¿Por qué se dice que mientras mayor inclinación tiene una recta, mayor es su pendiente?
Ecuación cartesiana de la recta Pendiente de una recta Primeramente, cada recta del plano ∏ tiene una inclinación, un declive que es el mismo en cualquier parte de la recta. Asociamos el plano ∏ con el sistema de coordenadas rectangulares y consideramos una recta L en este plano. A la inclinación o declive de esta recta la podemos medir con la razón: cambio en el eje y , cambio en el eje x a la que denominamos pendiente de la recta L, siempre que el cambio en el eje x no sea nulo. Esta razón en cualquier parte de la recta es siempre constante. A la inclinación de la recta L la podemos medir con el ángulo que forman el eje x con la recta L. Denotamos con
Recuerda que… En la Figura 4.10. se muestra una porción de un plano ∏, A, B ∈ ∏ con A B y una porción de la recta L que pasa por A y B que tiene una inclinación con la horizontal. ∏
la medida de este ángulo. Para una , 2 2 recta dada L, esta medida θ es constante, con lo que la pendiente y – y1 se muestra una recta L y el ángulo θ también lo es. En m la Figura = 2 4.11. . que forma con el eje x. x 2 – x1 –
m=
y 2 – y1 y – y1 = x 2 – x1 x – x1
x x1 ,
( x , y) y – y1 =
p Figura 4.10.
Por otro lado, hemos definido 2 como el producto cartesiano × , esto es, 2
= {( x , y ) x , y
}.
Como ya se ha dicho anteriormente, al plano ∏ lo identificamos con el conjunto 2, es decir que cada punto P ∈ ∏ está en correspondencia con un único par (x, y) ∈ 2 escribimos P =(x, y). Al par ordenado (0, 0), origen, le asociamos el punto O, o sea, O = (0, 0).
184
2
,
y 2 – y1 ( x – x1 ) , x 2 x1 , x 2 – x1
A = ( x1 , y1 ) ,B = ( x 2 , y2 ) , x1 x 2 .
p Figura 4.11.
Sean A = (x1 , y1), B = (x2 , y2) dos elementos de 2, tal que x1 x2 –2 , 2, A, B. La –pendiente y L una recta que pasa por los – puntos de L es nú, 2 2 la2razón: mero real denotado con m y se ha 2definido como – , y 2 – y1 y 2 – y1 – m, m= = y2 – y.1 . 2 2 . 2 2 x 2x–2 –x1x1 m = x 2 – x1 y 2 – y1 . m = cartesiana y 2 – y1 y – y1 Ecuación y1=recta yde–la x 2 – x1 m = 2 mm . = y2 – y=1 = y – y1y2 – y1 y – y1 Sea w = (x, y) ∈ L. Puesto recta=L es constante, x1x xm –x de x 2 –que x1 laxpendiente 2x– – –x=1xla 2 1 1x – x x – x1 2 1 se tiene y2 – y1 y – y1 m= = x x, x 2 – x1 m x=– yx21 – yx1 =1x1y, – y1 si x x1 , x 2 – x1 x – x2 12 ( x(,xy,)y ) , , x , y x x1 , ( ) 2, y de esta obtenemos x xla1 ,ecuación y –y ( x , y ) 2 , tal que y –y2 –y1y=1 = 2y2 –1y(1xy(––x –xy1x)=1,)xy, 22x–2 xy11x, 1x,la–cual x 2x– –x1x ( x1 ) , x 2 x1 , 1 , ( x , y) 2 1 x 2 – x1 se conoce cony2el–nombre de ecuación cartesiana de la recta L que y1 y – y1 = (Ax =– x(x1yA)2,A,=–yx=(y2),x1(1Bx, xy=,11y), (x,B) ,B=, y=( x)(2x, y ), x x . pasa por los puntos x 2 – yx1– y = 1 1 ( x1 –1x 2) , 2xA =12 (,2xyx12,x,)2y, 1.1)x1,B =2x(2 x. 2 , y2 ) , x1 x 2 . 1 1 2 1 x 2 – x1 A = ( x1 , y1 ) ,B = ( x 2 , y2 ) , x1 x 2 . A = ( x1 , y1 ) ,B = ( x 2 , y2 ) , x1 x 2 .
y 2 – y1 =ypasa En la Figura 4.12. se muestra una rectatan Lyque por, los puntos A y B – = 2son 1A,,x 2B–yx1C = (x , y ) con su y2 – y1 cuyostan y el triángulo rectángulo vértices 2 1 tan = , x 2 – x 1 y 2 – y1 ángulo recto en C. x 2 – x1 tan = , x1 x 2 , x – x y –y 2 x1 x 2 , y2 – 1y1 tan = 2 1 , , x 2ángulo x1 x 2 del tan = , L. Con refeSea θ la medida el eje x con – x1 que yforma yx2 –, y1 x la– recta 2 – y1m x1 tiene x1=Figura , 2 se tan =ACB , 2 rencia al triángulo rectángulo en la 4.12. y –y mxy2=––xy21 1 ,x 2 – x1 xm1 =xy22, – y1 , 2 x 1– x , , 1= 1 yx 2 2– y1 x 2 – x1 xtan x =, x – x2 xm , x 1 2 2 1 1 2 x 2 – x1 y 2 – y1 – y y x x , la recta L1 , a =la2 que m= que es la pendiente de 2 notamos 1y – y x1 xx22 – x1 x yx tan m = ,2 21 , , x , y 1 x – x ( ) 2 – y1 p Figura 4.12.. , x2 x1 x.2 – x1 m= x , y) 1 2 2 ( 2 x – x 2 1 x1( x ,xy2) y – y1x , x yx – y 2 ,2 (que m =de 2xla1 recta x1 , y )22 1 , por A = (x , y ) y La ecuación cartesiana – y=1 x pasa 1 1 x1 y2Lm xx22 – m 2 x1 = – y , 2 – x1 2 –y x , y )xy2 B = (x2, y2) (m con ycomo: = 1 x1 2, se escribe 2 x – 1 x ( x , y) – y x 2 – x1 x(1 x2 , yx)2m = x2 –2x m, 1= 2 1 , Recuerda que… y – y 2 1 tal que x , y 1 =xm–(xx – x1 ) , (y –)y m= 2 1 , y – y21 = m ( x – 2xy12)–, 1y1 m= 2 , y – y1 x=2 m – yx( x––y(x1x1,)y, y)x1 – yx 2 , La pendiente de la recta m = 21 m =, 2 1 , ( xy ,–y2 )y1 =xm2 –( x1– x1 ) , L es número real denotado con x – x x (–x ,xy1) 2 y( x–, y1) = m 2(2x – x11 ) , y22( – y1) m y se define como la razón: x , 2 – y(1x – x1 ) , lo que es lo mismo m= , y(=xy,y–y )y+1 y=2 m x – x1 ) , x1 x 2 . ( 1 x – x – y y y –y y – y1 = 2m y =(yx1 –+x1 2) , 1 xx2 – – xx1 , x x . m= 2 1 . y1 que (yx=, yy)1 + y22–tal x 2 – x1 ( x – x1m), 2=xy11 2 –x(y22 x1.–, yx)1 ( y2 –2 y1 )1 1 2 x 2 – x(y1x–, yy)1 = m ( xx– xy1x=)1, y1 + x – x1 ) , x1 x 2 . – ( 2 En forma conjuntista, y2 – yescribimos y – y Lx= . ( x , y x) 2y––x1y2 y = y + y2 –yy21–( xy– 1 –2yx1=) y( x2+, y )2 L1 (yx2–y–1x=y1)y,x1 +x– x x . 1 (xx1 )–, xx11) x 2 , ( xy, y=) y1 +L x –y x=( x(yx,1y+–) xy12L)–,=y2x1y1=((xxm x 2y ,– y , yy) x – x1 y, = y + 1 (x 1 x1 ) 2, xx1 2– – – y y 2 1 2 x – x 1 L = ( x , y ) y = y1=+2y12+11 21 ( x (–1 (xx1 )–, 1x)1xx)12, –xx11x212. x(x2x2 ,–y, x)1 yL –x 2y1–y = 2 1 y + 2 1 1 y = y1 + x – x1 )x, x–1 x x(2x –, x1 ) x 2 –xx21 –Lx2=1 ( x , y ) ( x , (yxy, +y2y)–y=2y1–y(1yx+1–(yx2 1––),xyx1)x(,1xx2–xx,2 1.x2) ( x, , y )y x–2yL–y–x1y y = y1 + 2y2 –1y1 ( x – x1 ) y=1L+ = ( x , y ) ( x , y )2=yrecta 2 y a esto loL denominamos Sex tiene L x⊂ Además, con las TIC =1y+2y– +2 1 2y12(–x1 y–(1xx–1 )x1 )x, 2x–1 xConexiones x , L= – x1, yL y2 –1xL. ) y1 y,=L1Lyy =yyx∅. 2y– 1x 2 1–2 x1( x 2, y()( x1,yy y derecha, =1xyy1,–+ x – x1 ) 1 2 ( 2x)– x , y L + x – x x – x x – x x , ( ( ) (xx1, y )x2 , Lm > y0,=laLy=recta ( ) si la pendiente un inclinación hacia la y 1 1 1 +( x , tiene 1 – y y x xy y–=)xy11 + 2 y = 1y(1 x+1 –xx1–2) ,x x(1x –xxx212.)–, 2xx11 2x1x2 2–1 x, 1 Para recordar las , 2 tiene si la pendiente m < 0, xla recta una , x22y–inclinación x1y y22 – hacia y11 x1 laxxizquierda. 2, – – y y – y y ecuaciones de la recta, te sugey = + x – x , x x , L = x , y x , )= dos 1 De la definición , ( y 1 )y1 +1 2 2 1 ( x – x1 ) y(1 x+–equivalencias x1x)Lsiguientes: y1L+( 2ylas x2x1 ) (11 ,x( x, yx–)2 – ( x , y ) , Lde( xL,xyse) tienen 1 rimos mirar este video tutorial: x , x x , 1 2 y2 x–,1yy1 2 L x 2 –y x1 y + y2 – y1 x – x yx22––yx11 x 2x – x21x , ( 1) , (xx1 , y )x2 , L y = y1 + L = ( (xx, yx–)1 x11)x,2 , x2y1 = xy21 ,+ x ( – x )( x – x1 ) , x1 1x2 bit.ly/2vsRGPs x , x x , y , Lx 2 – xy1 y + y2 – yx1 x – x, 2 x ,1y L y y +x 2y–2 –x1y1 x – x ( ) ( 1 ) ( ) yy1 – y 1 ( 1) 1 x 2, y–) xx1, yL Ly yxy1y+2 –yy2y,–+ x – x1 y 2 – y1 2( x –1 x ) ( 1 1x – x 2) , x , ( ) ( 1 L y y + x – x x , y L y y + x – x x , y x x , 1 (x1 )x2 . 1 2 1 ( ( 1 ) x1 x2 . 1 x2 –(xx1 – x1 ) x 2 – x1 2 1 x –x x ,2 1 xx . , x x x , 1 2 – y y 2 ,B = –1,1 ,Bx ,=y(2,3L) y y + 2 x A A1 resuelto = (–1,1 Ejercicio , ( ) (2,3 ) ) 1 = x ,( x – x1 ), x , ( ) 1 . Determina x x x – x Sean A = (–1, 1), B x=1 (2,x 23). la ecuación cartesiana 2 . )de 2 1 ,B =la(2,3) A =1 (–1,1 y2 –2y1 x . x – y y 3–1 2 – y y 3–1 L y y + x – x x , y 1 2 x1= x22 . 1 = 2 1 )pasa recta L (xque por = . m = A y 1B. x =– x. ( x1 1 )x 2 . m 1 =x 2 . ,B = 2,3 A = –1,1 ,B A = –1,1 x , 2 1 ( ) ( ) (2,3) 2 x 2 – x1 2 –y(2(– –1y)1) 3=3–1 x – x 2 – (–1) 3 Comenzamos2 con1 el cálculo de la pendiente. Tenemos x = –1, y = 1 , ,B = 2,3 A = (A –1,1 ) ( ) m = = )x1 2 – (–1) = 3 . A = (–1,1)=,B(=–1,1 A x= (–1,1, ) ,B = (2,3) (2,3)2,B)1 (x2,3 – x x . 21 2 – y y 3–1 2 –1y y 3–1 2 x2 = 2, y(2 x=, y3,) luego m =2 2 1 = = (yx. , –y )y m= 2 2 1 = = . 3–1 y1 3–1 x 2 – x1 2 2 – (–1m 2x – x 2 2 – –1 3 3–1 ) y 3– 2y=1 =y12 =–3–1 x1 = xy22. – y1A== (–1,1 x=(, –1 y=) ) =2. 32. 1= . ( ) ,B== (.2,3)m = =2 xm – m ( ) x 2 – 2 –recta 2 se muestran 2x x12 )2 3 3(–1pasa x4.13. – (–1) 2 3los puntosxA, 2– En la Figura 2– 1 y la 2 – (xx 1 +12 y B, –1= +1))L2. –que y –1= ( xx(1–1 ) .2,3 L y x , y x , y ( ) ( ) ,B = A = –1,1 ( y2 –) y1 3–1 x2, y 2 23 por A y B. ( 3 ) 2 B 3 ( x , y )5 2m = x2 – 2x1 = 2 – (–1( x) ,=(y )3 . )( x ,2y5) y –1= 3 (2x +1) . –y ycartesiana 3–1 2 L se escribe La ecuación de la recta y =como: my = = 2, 1 =y –1= (=x +1. ) . 2 3 , 2 y –1= 3 ( x +1) . 2 3x 2– x 2 – (–13)2 3 2 y –1= ( x +1) . =)5. , 2 1 y –1= x , )y.) y –1= ( x(+1 tal que y –1= ( x3+1)3. ( xy+1 3x 3 35 A x 5 1 2 y = 2, hacemos x = 0, 5obtenemos y = , y para x , y) Si en la(ecuación cartesiana 5 3 3 5 x y5= 2y, = 5, y –1= ( x +1) . y =de L, 3con y2=x + ,5 =y0,= 3. El punto 0 3 x = 2, tenemos de corte el eje x se obtiene hax + = 0, 3 x 1 2 –3 –2 –1 0 3 4 2 3 3 3 3 x y3–1=3 ( x +1x) . 2 5 p Figura 4.13. ciendo y = 0 y3resolviendo la ecuación: x x tal que x + = 0, de 5 x x 32 35 5 5 y =2 3 , 5 x + (–5/2, = 0, 0) es el punto + x= 0, L. donde x =5– . El punto con 2 x5=de– corte del xeje 3 3 y2 = 5, 2 2 x5+ 2 x=+0,25 = 0, 3 5 3 x 3+ =30, x +3 = 0,x x =– 3 3 3 3 3 3 25 5 x =– x 5 2 x =5–
185
DCCD: M.5.2.11. Determinar la posición relativa de dos rectas en 2 (rectas paralelas, que se cortan, perpendiculares) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones o de barcos para determinar si se interceptan).
Saberes previos ¿Cómo se define la ecuación cartesiana de la recta que pasa por dos puntos? Desequilibrio cognitivo ¿De qué manera identificas si dos rectas en el plano son paralelas o son perpendiculares?
( ) y perpendiculares. Rectas paralelas Intersección de rectas ( ) x,y
2
a1x +b1 y + c1 = 0 , y, a2 x +b2 y + c2 = 0.
x,y
2
En esta sección establecemos las condiciones de paralelismo y pera1xrectas. +b1 y + c1 = 0 , y, pendicularidad en términos de las pendientes de las 2 2 2 1 = {( 2x , y ) ( x , y ) a1 x +b1 y + c1 = 0} , (( xx ,, yyL))del Sean L1 , L2 dos rectas plano con ecuaciones cartesianas respectia2 x +b2 y + c2 = 0. 2 vamente: a x +b y + c = 0 , y, = x , y a x +b y + c = ( ) a1xL+b y + c = 0 , y, 1 1 1 { 2 1 a x +b21 y + c21 = 0,2 y,0} , 1 a1x +b 2 2 1 y + c1 = 0 , 1 y, L1 = {( x , y ) a1x +b1 y + c1 = 0} , tal que ( x , y) x +b y + c = 0. a x +b y + c = 0. a x +b y + c = 0.22 22 22
2 b1 2> 0, a2 + b2 > 0. 1 + a2 xa+b y + c = 0. 2 L221 a=1{x (+b x , 1yy)+ c1 = 0a}1x,2 +b{1 y + c1 = 0} , a2 x +b2 y + c2 = 0} , L1 = {b1( x , y0,) L1 = {( x , y ) a1x +b1 y + c1 = 0} , a2 x +b 2 y + c2 = 0. a + b > 0, a + b > 0. x , y2 y) + c2 =2 0a}2 x1, +b2 y1 + c2 = 0}2 , 2 L2 = m x=, y–) a1 , L222 a=2{x(+b ( { 1 2 L1 = {L( 2x = , y{) ( x , y )ba1 1x +ba12yx++b c12=y + 0}c,2 = 0b} , 0, 1 representa una recta si y solo si a1 + b1 > 0, aa2 1++b2b1> >0. 0, a2 + b2 > 0. . + by 2+ >c 0.= 0 , L2 = {(ax1 , +yb)2b1 0,>20,a2 xa2+b } m1 = – a1 , y si b 0, 2 2 Si b1 0, la pendiente de L está definida como b 0, 1 2 b 0, 1 b1 x (t ) = u +tv , a2 b11 0, m20,= a–2 + . b2 > 0. la pendiente de b1 > a1 +L2 es Recuerda que… a1 a b b2 0, t m1 = – a11 , 2 m1 = – , b1 Condición de , x (t ) = uLa+tv b1 paralelismo 0,m1 = – b1 , ecuaciones de la recta b1 ( x , y) 2 Se establece la siguiente condición de paralelismo:m = – a2 . xt (t )son: = u +tv , 0, b 2 , 0, xx((tt)) = u +tv b 2 a = u +tv , Vectorial –b22 1=,0,m entonces L es paralela a L . b2 m1 si= m y – y = m x – x , 1 2 1 2 ( 0) 0 b1 t 2 aNota (xx(t,t)y)=)=uu+tv a2 +tv, , tt 2 . Si L1 es paralela a Lm2, escribimos L ⎥⎥ L . que L es paralela a L2 si m1 2 = –2 . 1 2 = – a2 . bx b b = – . m ( x , y) 2 0 binclinación. 2 2 vez, 2 solo A su mx. b2 la0,misma mx 0si+tienen tty – y 0 = m ( x – x 0()(xx, y,, yy=)) y 0 – 2 + x = yy0 – b22 Cartesiana a a m = m a b – a b = 0. y – y = m( x – x 0 ) , 1 1 2 2 1 a2 2 y – y = m x – x , que ((xx,,yy)0) bx2 2tal ( ) 0 0 b m x0 ) , , ( x+–mx. Por lo tanto, m a12b=2 –– a2b. 1 = 0 L1 ⎥⎥ L2. y = y 0 –bx 0 +b xy=–xyy00 –=mx 0 b2 a0 a 2 2 2 En la sección precedente a1x +b1 y + c1se = 0ha , y,visto que cada conjunto, 2 L = ( x , y)
– m( x+– x x0 )=, y 0 – mxbx =y0= y– 0 +0mx.b + mx. + bx = y 0 – mx 0 identifican a ( x a– x 0 )y, = xy 0=–xbx y – y00 = m 0 +ta, dos casos: a 0 +a x = y 0 –Semx – y = y 0 0 + mx. x , bx b a a Paramétrica xy = y – , 0 + x = y –y mx mx. = y00++tb, 1. L1 = L2 si y solo si existe λ ∈ , tal que c1 = λ c2. En este caso se dice 0 0 bx a 0 +a b x x= y –, mx y x==y 0x 0–+ta, 0 , 0 + mx. x que las rectas L1 y L2 son coincidentes. x = x 0 +ta,a a xt = x 0 +ta, . x , +tb, x = x 0 +ta, x yy ==yy00,+tb, En efecto, supongamos b2 ≠ 0, de la condición de paralelismo prey = y 0 +tb, x = x 0 +ta, ab t x = x +ta, y = y 0 +tb, cedente obtenemosa2ab11 = 2 1 . Sea (x, y)a ∈ t y = y 00+tb, b L1 entonces (x, y) ∈ L2,
t t y = y 0 +tb, Simbología matemática t • Para indicar que L1 no es paralela a L2, escribimos L1 L2.
• Si L1 es perpendicular a L2, escribimos L1 L2. Diremos también L1 ortogonal a L2.
186
a1 =
. b a1 = 2 1 . 2 b2 por lo tanto, a2x + b2y + c2 = 0. Luego, b2 a b a2b1 x +b1 y + c1 = ay1x++b 1 y +2 c11 = a2b1 0 = a1x0+b c = x +b1 y + c1, 1 1 x +b1 y + c1 b02 = a1bx2+b1 y + c1 = b2 0 = a2b1x + b2b1y + b2c1 = b1 (a x + b y) + b2c1 = b1 (–c2) + b2c1 , b1c1 = b1 2c2 . 2 b c1 = c2 . b c1 = 1 c2 . 2 y de esta última igualdad b2 obtenemos b2 2. L1 ⎥⎥ L2 y L1 ≠ L2. a a m1 = – 1 = m2 = – 2 , a b ≠ 0 yab2 ≠ 0.b1De la definición b2 Supongamos de los conjuntos L1 y L2 m1 = – 1 = m 12 = – 2, b1 a1 b2 a2 tenemos m1 = – = m2 = – ., Luego, a x + c1 2 b1 L1 = {( x , yb)2 a1x +b1 y + c1 = 0} = x ,– 1 x a1x + c1 b1 2 a1x +b1 y + c1 = 0} = x ,– x L1 = {( x , y ) b1 a1x + c1 2 a1x +b1 y + c1 = 0} = x ,– x L1 = {( x , y ) c b1 . = x , m1 x – 1 x c b1 . = x , m1 x – 1 x b1 c1
c1 x b2 c 2 L2 = {( x , y ) a2 x +b2 y +cc2 = 0} = x , m2 x _ 1 x 2 1 _ c b2 L2 = {( x , y ) + c2 =2 0}x= x , m 2yx =a2 x x+b ,m . 2x b x 1 – y y De manera similar, 2 b2 y c 3 L L3,2 m =x{x,(m x , cy2)_B cx1 2 xa2 x .+b2 y + c2 = 0} = x , L1m x_ 1 x 2 – L22 L2 = {( x , y ) a2 x +bc22y +x c2 = 0, }x= 1 – 2x b2 2 b2 b2 = x , m1x – x .2 b2 A 1 A c1, 1 c2 c x –3 x ,m1x – x ,m1x –2 c . –3 0 0 –2 –1 = x , m1xx– 2 , x . –2 –1 =b01 x ,1 m1x2 – b3 b2x x 2 b2 c1 c x ,m1x – 2 c1 c2x1x – , c1 cx2,m b c b c x ,m1x – x ,m1x – , x x ∈, , como x ,m x –1 1 x ,m1x –2 2 , Para L1 b≠1 L2, se btiene y 1 y b2 b2 1 b1 b2 y c1 c2 c1 c2 L1 c1c c c2 , 1x – x ,m1x – L1 ,m1x – 1 x2 ,m – c bb1 c b. x ,m 1x b b dexdonde o bien , 1 2 L2 bb1 b b2 1 b1 2 2 2 1 2 c cy + c = 0 = x , m x _ 1 x {( x , y ) c1 2 ab2cx11+b c1 si cL21 ⎥⎥ L2 y L1b≠LL2 2=, entonces c2 . 2 2a, 2 a } a a 2 b2 Así, 1 , 0 bb b 1 – x2 = 1 2 , –1= 0 m1m221= –2 b1 b2 c1 b c2 . 0 b1 b2 b1b2 L2 2 L2paralelas L , L . Arriba se tiene En la Figura 4.14. se muestran dos rectas c2 1 2 A b aa 1. y , m1x –coinciden, xc mesto b1 en que las=dosxrectas c .esa1L1=–La2, 2mientras elc caso = 1 2 , que 1 1a a ym 2 2= 2 – a1 b–1= a c2 . 2 1 1 b bL1 bes2 decir, b1bL2 ⎥⎥ L –2 y no = coincidentes, –1= m m2 = –paralelas 2 , abajobse 2 tiene dos1 rectas 1 2 y b1 y b23 b1b2 B L1 – L2 con L1 ≠ L2. L1 x , y a1 a2 a1a2 L1 a1 a2 a1a2 2 –1= m = – – = , m 1 2 – L no–es paralela = A a, L , escribimos –1=indicar m1m2 =que L2 L1 bL12. b2 Para b1b2 A B b11 L2b2 c1 bA 1b2 B2 1 c2 ,mda x – x ,m x – Particular atenciónxse al caso en que las pendientes de las rectas 1–3 1 0 0 x 1 b2 2 3 no existen, esto significa queb–21las –1rectas son paralelas al eje y. 0 C L2 = {( x , y )
0
2
a2 x +b2 y + c2 = 0} = x , m2 x _
c1 c2 Condición de perpendicularidad , b1 L3b2 Ly esD perpendicular E Si m1 ≠ 0 y m2 ≠ 0, entonces a L2 si y solo si m2m1 = –1. 1 L1 ⊥ L2. Diremos también L1 Si L1 es perpendicular a L2, escribimos L1 b ortogonal a L2. c1 1 c2 . y b2 De la condición de ortogonalidad se sigue que m1≠ 0 , m2≠ 0 , y a a aa –1= m1m2 0= – 1 a1x –+ b1y +2 c1 ==0 1 x2 , b1 L2 b2 b1b2
x
p Figura 4.14.
L x
a1 x + b1 y + c 1 = 0 x
x L
3
B
2 L2 y
y
A
–3
a1x + b1y + c1 = 0
0
y0 A
y 0
a2x + b2y + c2 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
L1
y
L1
3
L
x
x
L1
L2 y0) (x0,
0 x0 x
1
L1–1 0 1 2 a1x + b1y + c1 = 0 L1
–2
L2
En la Figura 4.15. seL2 muestran dos rectas ortogonales L1, L2. NuevaA mente ponemos atención al casoB en que una sola de las pendientes de las rectas L1, L2 es nula, digamos L1. En tal caso la otra pendiente no x está definida, lo que significa0 a suCvez que L1 es paralela al eje x, mientras L2 es paralela al eje y. L3 D
x
L1 x
E
D
y
a2x + b2y + c2 = 0
a1a2 + b1b2 = 0 ⇒ L1 ⊥ yL2.
x3
2
y
0
L3
L1
0 de donde b1b2 + a1a2 = 0. Consecuentemente
1
x
C
L2
L B
xx
p Figura 4.15.
L 0
x
a1 x + b1 y + c 1 = 0 L2
0
x
E
y
Observación. En la Figura 4.16. se muestran tres rectas L1, L2, L3, tal que L2 ⎥⎥ L3 con L2 ≠ L3 , y L1 ⊥ L2. Por lo tanto, L1 ⊥ L3. Nota que las y pendientes de L2 y L3 son nulas, mientras que la de L1 no está definida.
Intersección de rectas b1y + c1 = 0 Determinemos el conjunto L1 ∩ La1x2. +Identificamos tres casos. L1 L2 1. L1 = L2. 0 x 2. L1 ⎥⎥ L2 con L1 ≠ L2. a2x + b2y + c2 = 0 3. L1 ⎥⎥ L2.
L1 y L2 A
B
L1 a1x + b1y + c1 = 0
L2
0
y0
C
x
(x0, y0) L3
0 x0
E
D
x
a2x + b2y + c2 = 0
p Figura 4.16. y
187 a1x + b1y + c1 = 0
m1 = – 0
a1 b1
a m1 = – 1 a m = –b1 2
x
m1 = –
a1 b1
y a2 b2 a1 m2y =la–pendiente m = – a 1 1. SimL1==–aL22, las rectas son coincidentes de L1 es b2 b1 m1 2= –aabb12 L1 – L2 b2 1 1 , ma11 ==– b1 con b1 ≠ 0. La pendiente de L2aestá b dada como a b a b121 = – 2 a1 = 2 1 , 2, a1 = 2m a b2 coinciden, m2 = –bb12a2 conbb2 2 ≠ 0. Tenemos que sus pendientes 2 b c = c m21 = – 2 2 bb2b a2b1 b c1 = 1 a c 2= luego, ,. En consecuencia0 c1 = 1 c2 , y se obtienenxlas x ab22b112 b2 b2 a1 = a b , ab b1 2 1 equivalencias: siguientes b c2 = 0 a1x +b1 y + c1 = 0 a b 2 1 x +b a1 = 2 , 1y + b 2 1 1 b b b x +b y + c = 0 b a x +b y + c = 0 2 2 1 1 2 ( x , y ) c2 =L1 c( x , y ) L2 1 1 1 a1x +b1 y + c1 = 0 b2 b2 ( x , yb)1 1L1 b2( x 2, y ) L2 a2 x +b2xy, + c = 0 2 y L x , y L c1 = b c2 ( ) ( ) 1 2 x +b y + c = 0 a a2 x +b2 y + c2 y= 0 2 0 2 a2 x +b2 y + c2 = 0 a2 x +b22y + c2 = c1 = b21 c2 a2b1 b b2 x +b1 y + 1 c2 = 0 a1x +b1 y + c1 = 0 x +by2+yc+ c=2 )0= 0 2 +b bb1 (1 a( a x a b b ) b2 b2 2 1 1 +b2yy++cc1 2==00. L2 ( x2, y ) 2 L1 2 ( x , y ) a2 xaLa+b 212xx+b b1 ( a2 x +b2 yab2+bc1 2x)+b = 01 y + bb1 c2 = 0 2 y +1 c2 = 0. y + c2 = 0 2 x +b1 y + 2 c2 = 0 a1x +b1ay2+x c+b ( x , y )aa2 x2 xL+b1+b2 y2+y( c+x2,c=y2)0= 0L2 1 =2 0 c2 = a x +bb2ay22 x++b 2 y0+ c2 = 0. a x +b y + c = 0 y + cb2= 0 2 x , y L x , y L ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 x +b a x + b y 2+ c2 =2 0},a22x +b2 yL1+ c2 = 0 Así, L1 ∩ L2 = L2 = {(x, y) ∈ a22|xa+b 2 2 y +2 c2 = 0 a2 x +b2 y + c2 = 0 ( x , y0) b a x +b y + c = 0 ) es decir que1el( sistema 2 2 de 2ecuaciones x a x +b y + c = 0. b1 ( a2 x +b2 y + c2 ) = 0 2 2 2 2 x +b a2 x2+b c2 =1 y0.+ c1 = 0 b( 1x(, ay2)x +b y +2cy2 +) =c202=(0x ,ay2)x +bA 2ay21+ x , y tal que ( ) a2 x +b2 y + c2 = 0. 2 y+c = 0 2 2 ( x , yaa)2 xx+b a2 x +b2 y + c2 = 0, +b y + c = 0 a x +b y + c = 0 2 1 21 a211x +b1 y + c1a=1x0+b1 y + c1 = 0 y +a2 cla =sola 0 ecuación: (x, y) ∈ 2 tal que a2x + b2y + c2 = 0, se yx)+b ( xa,1reduce a x + c2 a x + c2 y y + c = 0, a21x +b21y + c2 = 0, 2 a2=x 0, +b 2S = 2( 2xcomo , y) y =– 2 = x ,– 2 cuyo conjunto asolución S cestá definido 2 x +b2 y + 2 x , y ( ) b2 b2 +b2yy++cc2==00, aa12xx +b 1 1 x + c x + c a a 2 + c2 ,x ,– a2 x + c2 x S = ( x , y) y = –S =2 2 (ax ,x2y+b =a x +x2c,–==20– a2Lx2 + cxa22 x = –) 12y +a2acx12y2 + =2b2 xb,– x b , c a2 x +b2 y + c2 S=2=0, ( x , ya)2 x + c2b2y 1= m =b– 2 a xx + 2b y +bc, = 0 y =– = x2 ,– S = ( x , y) 2b 2 2 b2 b a2 x +b2 y + c2 2= 0, a2 2una recta a por (x , y ) y tiene pendiente que m representa +que c2=pasa a2 x m a = – –= 2 x ,–ba12 x0 +0c2 x S = ( x2 a, y ) b m y==–– 2 , 2 2 cb22 2 x 2 b2 (x , b0y2c)1 es cualquier x + c2de a a x + c2 m2 = – 2 con 2 b2 ≠ 0,bdonde solución 2 S =0 0( x , y )b2 y =– = x ,– 2 x b2 b b 2 2 b a2x +b ya +c1 ≠ 0, o sea, = 0. b1 a2xc01 +b2by10 c+c 2 2 m2 =cb1–2 2 b 2c2 c1 c c 2 1b 2 x ,am x– 1 L1 2 b2 la recta bcomún c1 Figura c224.17. muestra 2L1= L ∩ L con la ecuación La y m2 = – 1 b1 2 b2 b cartesiana de L . c2 1 c1 b L1 c c1 x1, cm2 1 x – x , m1 x L–1 c1x , m1Lx – 1 1 b b 1 b2x – c1 b1L x , m L2 . 1 1 xL1– b 1 x , m 1 c1 c2 , b2a1x≠+0. 2. Si L1 ⎥⎥1L2 conb L1 ≠ L12, seL2 tiene Para todo x ∈ , b b1y + c1 = 0 1 1 b2 c c1 L2 . c1x , m x –a cx1+b y + x , mx1 x, m–1 x 1– x , Lm1, pero L2c. Resulta que el 1 1 1=0 cb11 b1 1 x – y0 1L(x0,2 . y0) b1 x , m1 xb1– c1 x , m1 x – L2 . L1 x0 elasistema conjunto L1b∩ b21y +dec2ecuaciones 1 L2 = 0, es decir0 que x +b = 0, x 2 a1x +bc1 y + c1 = 0 a1x0+b1 y + c1 =a2x0+ b2y + c2 = 0 1 a1 x +b1 y + c1 = xa, xm+b . 1x – a1x +b1 y + c1 = 0 , y + c1 =y)0 ∈L2 2 1 a+1xc0 +b c11 y 0 + c1 = 0, 1y + c = 0, tal que a21x +bb(x, a x +b 2 2 x , x –2 = 0, L2 . 2 yx a2 x +b2 y + c2 2= 0, am 2 1 +b2 y + c2 = 0, b1 aa2xx +b +b2yy++cc2==00, x 0 +b2 y 0 + c2 = 0. a1x1 0solución. +b11 y 0 + c1 = 0, a1x 0 +b1 ya02 + c1 = 0, no1tiene a1x 0 +b1 y 0 + c1 = 0, a x +b y c1 = 0 1 1 +rectas. xx0+b +b y+0 +c4.18. c1 =se 0, muestran estas Enaa12la Figura dos 2 y= 0, a2 x21y0 +b a x +b y + c 2 0 + c2 = 0. a2 x 0 +b2 y 0 + c2 2 0= 0. 2 0 2 = 0. a2 x +b2 y + c2 = 0, +b2yy 0++cc2==0,0. aa12xx00 +b 1 0 1 L1 ⎥⎥ L2. Probemos que existe un único punto 3. Supongamos que 2 a1x 0, +b c1 = 0,que (x , y ) ∈ L , (xa0 , xy0)+b ∈ , tal que L ∩ L2 = {(x y0)},1 yes 0 +decir 0 0 0 1 2 0 2 y 0 + c2 = 0. 1 (x0 , y0) ∈ L2, consecuentementea (x , y ) es el único elemento que 0 0 2 x 0 +b2 y 0 + c2 = 0. satisface el par de ecuaciones, esto es, 2
y L
3 y
B
2 A
1
L2
–3 –2
0
–1
1
2
3
L1 x
0 A
y L1
y L a1 x + b1 y + c 1 = 0
0
x
L2
0
x
y L1
y
L2
L1 B a1x + b1y + c1 = 0
A
L2
p Figura 4.17.
1
y0
(x0, y0) 0
x
C
0 x0 L3
x D
a2x + b2y + c2 = 0 E
y
a1x + b1y + c1 = 0 L1
L2 0
x
a2x + b2y + c2 = 0
p Figura 4.18.
188
1
1
a1x 0 +b1 y 0 + c1 = 0, Recuerda que… a2 x 0 +b2 y 0 + c2 = 0. y y a1b2 La mediana de un triánaa1bb2 a2 ≠ L gulo es el segmento que une aa2 ≠ 1 2 que b ≠ 0, y b ≠ 0. 3Como Lb1⎥⎥ L Supongamos B 2 , entonces ≠ 1 1 2 L2 abb1b12 2 uno deL1 –sus vértices con el a2 ≠ 1 a1b2 2 b a1x + c1 punto medio de su lado aa1bxa2a2+2 ≠≠c a1 b2 – a2 b1 ≠1 0, de donde .(Además, x,y L y =– , opuesto. Las medianas de un (( xx ,, yy )) LL11 ayy2==≠–– aab111xx ++Acc11 ,, b1 1 ) 1 b1 1 b1 1 triángulo confluyen en un ( x , y ) L1 y–3= – b1 , a1x + c1 0 x b x , y L y = – , x + c a punto llamado baricentro. )+b–22 (yyL1++1 –1cc2) ==y 0=0,0,(1–x , 1y1) 1L22, b31a2 xx +b2 y + c2 = 0, (( xx ,, yy )) LL22 (aax22,xxy+b La longitud de la mediana se b 2 2 ( x , y ) L2 a2 x +b2 y + c2 = 0, 1 a1x + c1 calcula a partir del teorema de x , y ) La2 2 x +b a22x +b 0,c2 = 0 ( a2b1 – a1b2 ) x –b2 c1 +b1c2 = 0. ( c aa1xx + – 2 y + c2 =+ 1 las medianas. +ac1b2 2=) 0, (+x ,cy1 ) ++ ccL22== 00 a2 x((+b aa2bb21y– xx b–b c +b c = 0. aa2 xx +b 2 – 1 1 2 c1 +b1c2 = 0. – a b –b ) c 2 +b2 – a1 x 2 2 1 1 2 2 1 1 2 bb+ y B y a2 x +b2 – 11 1 + c2 = 0 ( aa2bx1 +– ca1b2 ) x –b2 c1 +b1c2 = 0. 1 1 b1 – + c = 0 a b – a b x –b c +b c = 0. a2 xa+b x + c ( ) b2 c1 –b1c2 2 0 ( a2,b1 – a1b22 ) 1x –b12 c21 +b1c22 =1 0. 1 2 a2 2 x +b2 – 1 2 1L1x 0+=cb21 = bb2 cc1 –b 1c –b c a , xx 0 = b 2 1 1 2 a2b1 – a1b2 c 1 L2 m G De esta0 =última ecuación –b c2 , se obtiene aab22bbc11 – a b m 1 x 0 = 2 1 – a1b2 , b2 c1 –b1c2 a2b1 – a1b2 b2 c1x–b ,a1x 0 + c1 m 0 =1c2 C = , x c aa1xx 0 + = – . y A a b – a b b 0 1 0 2 1 1 2 – yy 0 = L1 1 0 + c1 . a2b1 – a1b2 b1 p Figura 4.19. = – . a1xb0 1+ c1 0 0 x y 0 = – b1 . x 0 a x +c b1 2 2 2 +– c1 1 L20 1 . a1yx00 = 2 b +c )–a . b y0 = – ym = A ( Se verifica inmediatamente b1que (x0 1, y0) ∈ L1 ∩ L2. Probemos que a Lh 2 el punto es único. Para ello, supongamos que existe otro elemento P1 f(a+h1) (u, v) ∈ L1 ∩ L2, entonces 2 ( a2 + c 2 ) –b2 y mb = y a1x 0 +b1 y 0 + c1 = 0, L1 a1u+b1v + c1 = 0, L(¹)h 2 y, L(²)h P2 L(³)h a a u+b v + c = 0. L22 x 0 +b2 y 0 + c2 = 0, L 2 a1x 0 +b1 y 0 + c1 = 0,A a1Bu+b1v + c2 1 = 0,2 2 ( a2 +b2 ) – c 2 P3 y, f(a+h4) m = a P4 x+b y+c =0 c a p+u +b q v.= 0,Entonces, ( ) (q+vsea, ) + c2x1v=+=0,cp2 =+ 0.u, ya1p+b L a x +b y + c = 0, 1 1 2 1+ 2 0p = 2x 0– u,2q = y –v,ao2u+b Ponemos = q 0 0 0 0 P0 p = q = 0, f(a) x 0 C p+b2 q = 0, 0, q a=20, 2 (1p+u a1 ( p+u)a+b = 0, ) + c2 a=1p+b (q+v) +b ) +2c(1q+v x 0 1 p = q = 0, a L3 a + h4 E a + h1 x D x + c a a p+b q = 0, 1 1 q+v + c = 0, a2 ( p+ua) +b ) 2 y= 2 . 2 2( 1 x +b1 y + c1 = 0 b1 x++c+L1cc1==0, y ya011y∩ x+b ={(x 0, 0 , y0a)}. a u+b vc+1 c= 0, = 0, de donde y =a1v.xa01Así, 1L 1u+b 1v + 0 +b a1x +bx10ay=+xu,c+b y 1 0 2 1.a c 1 =0 0yc + cy = + c11 = 0, 1 1 1 0 1 02 1 = 0, ba1 x 0 + 1u+b 1 y,1v y, . x 0 = – , y 0 = – 1y, aa22ax20 x+b a2u+b +2bc=12 0, = 0, a2u+b vc+2 c= 0. = 0. 2 y20 y+0 c 2v 2+ L1 0 +b a2u+bL2v, L+ ,ctal y 0 a+ xc2 + = c0,dos rectas 0. L ⎥⎥2 L . 2 x 0 +b 2muestran 2 = que L2 En la Figuraca4.20. se a1x + b1y + c1 = 0 1 2 1 2 1 0 1 2 x 0 = – , y 0 =a– p+u +b. a1xq+v 1 1 +)=c+01 c=1 0, +(b1y +)c1 0 0 a p+u +b q+v = 0, a p+b q = 0, ( ) ( a p+b q = 0, ( ) 1 1 a b 1 1 1 1 1tiene1 a ≠ 0 y Si b1 ≠ 0 y ba212 (=p+u 0, de |> 0,qse 1 t t q+v 2 = 0, ) +bla1 (condición ) +L1c1 =| 0,a2 |+ | ab12p+b y0 p =p q= =q 0, 1 (x0, y0) = 0, L2 c2 p = q = 0, 1 1 a2 a( p+u q 0, = 0, 0, a2 ap+b = )–+b ) +)c+2 c=2a0,=p+b consecuentemente, a2x + c2 = 0, con lo que 2 q2= (xp+u ) +b (q+v 2 ,(2q+v 2 p+b 0 x0 x a2 ( p+u) +b2 2 ( q+v a)2+ c2 = 0, 2 2 q = 0, 0 x a2x + b2y + c2 = 0 2 2 y = 0,5t + 4,9t² y = 0,5t + 9,8t a1xa1+x c+1 c1 a2x + b2y + c2 = 0 y + c = 0 y = . a1xa1+b – x +b y + c = 0 y = . 3 3 x + c a 1 1 1 . b1 b1 a1x +b1 y + c1 = 0 1 y =1 1 b1 p Figura 4.20.4 4 a1xa01x+0 c+1 c1 c2 c2 5 5 . . +0 – c= – c x 0 x=0 –= – ,a ,yx0 y= b1 b1 L1 ∩ L2 = {(x0, y0)}. Ponemos x 0 = – 2 , y 0 =a2–a2 1 0 1.. Tenemos 6 6 a2 b1 Nota que la pendiente de la recta L2 no está definida. 7 7 c
a
b
1
y
1
1
v
189
Taller práctico 1
DCCD: M.5.2.10. Identificar la pendiente de una recta a partir de la ecuación vectorial de la recta, para escribir la ecuación cartesiana de la recta y la ecuación general de la recta. M.5.2.11. Determinar la posición relativa de dos rectas en R2 (rectas paralelas, que se cortan, perpendiculares) en la resolución de problemas (por ejemplo: trayectoria de aviones o de barcos para determinar si se interceptan).
En cada literal se da un punto A 2. Obtén la pendiente de la recta L que pasa por el origen O y por A, la ecuación cartesiana de la misma y en el sistema de coordenadas rectangulares representa gráficamente esta recta.
a) A = (3, 0).
3
Los extremos de un segmento de recta son los puntos P = (2, 1) y Q = (–2, 3).
a) Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento y por el origen. b) Obtén la ecuación de cada recta que pasa por cada extremo y el origen. c) En el sistema de coordenadas rectangulares, representa el segmento de recta, y cada una de las rectas obtenidas en a) y b). Nota. Si P = (a, b), Q = (c, d) 2, el punto medio M del segmento que une P y Q está definido como M=
a+ c b+ d , . 2 2
( x , y) a+ c b+ d
2
L=
b) A = (0, –2).
M=
2
M=
4 c) A = (1, 4).
L=
,
2
.
–2,2 a+Ac= (b+ d ) ,B = ( 0,1) , , . 2 22 1
y = – x +1 ( x , y ) C = (4,–1 ), y D =
. 2 2 ,– +1 y = – x +1 . 2 2 21
2 Sea L = ( x , y ) A = (–2,2 ) ,B = ( 0,1) , Prueba que A = (–2, 2), B = (0, 1),
A = (–2,2 ) ,B = ( 0,1) ,
C = ( 4,–1) , y D =
C = ( 4,–1) , y D =
2
En cada literal se dan dos puntos distintos u y v de 2. Siempre que sea posible, calcula la pendiente de la recta L que pasa por u y por v, y obtén su ecuación cartesiana. En el sistema de coordenadas rectangulares, representa gráficamente esta recta.
a) u = (3, 1), v = (0, 1).
b) A = (–2, 0), v = (0, –1).
190
2 +1 2 2 2 ,– +1
2 ,–
pertenecen a la recta L.
2
1 y = – x +1 . 2
5
Los vértices de un triángulo T son los puntos u = (–2, 1), v = (2, 3), w = (4, –3). Obtén las ecuaciones cartesianas de las rectas que pasan por los lados del triángulo T.
6
Los vértices de un cuadrado son los puntos A = (2, 0), B = (0, 2), C = (–2, 0) y D = (0, –2).
a) En el sistema de coordenadas rectangulares representa estos puntos y traza el cuadrado. Siempre que sea posible, determina las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del cuadrado. b) Halla las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del cuadrado.
Trabajo colaborativo Diversidad funcional en el aula Sin importar las diferencias o similitudes que podamos tener unos con otros, siempre debemos tener en cuenta que los comentarios y las visiones positivas nos estimulan y favorecen nuestro aprendizaje. Archivo editorial, (2020).
Indaguen, trabajen en equipo y resuelvan.
9
Los vértices de un triángulo T son: P = (–3, –1), Q = (0, 3), R = (3, 0).
a) Representen gráficamente este triángulo. b) Hallen (siempre que sea posible) las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del triángulo T.
7
Sean A = (2, 1), B = (4, 5). La recta que pasa por A y B es L. Sea L1 la recta que pasa por B y C = (1, –1). Demuestra que L = L1.
10 Sean L , L las rectas definidas como: 1 2 L1 = {(x, y) L2 = {(x, y)
2 |3x – y = 4}, 2 |–2x + 5y = –7}.
a) Obtengan las pendientes de las rectas L1 y L2. b) Representen gráficamente estas rectas. c) Demuestren que (1, –1) L1 L2 y que este punto es único. Para el efecto supongan que existe otro punto (a, b) L1 L2 y muestren que a = 1, b = –1.
8
Sean a = (–2, –5), b = (2, 3)
2.
a) Obtén la recta L 2 que pasa por a y b. b) Sea L1 la recta que pasa por los puntos u = (0, –1), v = (1, 1) 2. Prueba que L = L1. c) Sea L2 la recta que pasa por los puntos p = (–5, –11), q = (5, 9) 2. Demuestra que L = L2.
11 Los vértices de un cuadrilátero son los puntos u = (–2, 3), v = (1, –2), w = (4, –1) y z = (3, –3). a) Calculen la pendiente de cada uno de los lados del cuadrilátero. b) Determinen las ecuaciones cartesianas de las rectas que contienen a los lados del cuadrilátero. c) Obtengan las ecuaciones de las rectas que contienen a las diagonales del cuadrilátero. d) Hallen el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero. 191
DCCD: M.5.1.32. Calcular, de manera intuitiva, el límite cuando h→0 de una función cuadrática con el uso de la calculadora como una distancia entre dos número reales.
Saberes previos ¿Cómo se define el valor absoluto de un número real? ¿Cuáles son las propiedades más importantes?
Desequilibrio cognitivo ¿Cómo se define la distancia entre dos números reales?
Recuerda que… Si u = x – y, v = y – z, se tiene u + v = x – y + (y –z) = x – z, y la desigualdad |u + v| ≤ |u| + |v| se transforma en |x – z| ≤ |x – y| + |y –z|; esto en términos de la distancia entre dos números reales se expresa como d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z). que hemos obtenido en la demostración iv.
Simbología matemática A la distancia entre dos números reales la denominamos métrica usual en y se representa por d (x, y) = |x – y|, x, y ∈ .
192
Distancia entre dos números reales De manera intuitiva, las ideas de proximidad, de tendencia, de aproximación y de cercanía a un punto, a un valor numérico o también de tendencia a alejarse, están ligadas con la distancia entre dos puntos en la recta numérica, a la cual definimos a continuación. Definición. Sean x, y define como
. La distancia de x a y se denota d (x, y) y se
d (x, y) = |x – y|. De la definición de valor absoluto y de la distancia entre dos números reales, se tiene: i) isi) x ≥ y, entonces x – y ≥ 0, luego, d (x, y) = |x – y| = x – y, y.
ii) iisi) x < y, entonces y – x > 0, resulta, d (x, y) = |x – y| = y – x. d(xd(x , y), y) = x=–x y–, y, si x ≥ y, Así, d(xd(x , y), y) = y=–yx–, x , si x < y. A la distancia entre dos números reales la denominaremos métrica usual en y, como se dijo, esta nos permite medir la proximidad o lejanía entre dos números reales. Ejercicios resueltos 1. Para x = –3, y = 1, se tiene d (–3, 1) = |–3 –1| = |–4| = 4. 2. Si x = 4,6 = y, entonces d (4,6; 4,6) = |4,6 – 4,6| = 0. 3. d (–8, –2) = |–8 –(–2)| = |–8 + 2| = |–6| = 6.
Propiedades de la métrica usual en Teorema. Sean x, y, z . Se verifican las siguientes propiedades. i. d(x, y) ≥ 0. ii. d(x, y) = 0 ⇔ x = y. iii. d(x, y) ≥ d (y, x). iv. d(x, z) ≤ d (x, y) + d (y,z) (desigualdad triangular). Demostración. Estas propiedades resultan inmediatamente de las propiedades del valor absoluto. i. Puesto que |x – y| ≥ 0, se sigue que d (x, y) = |x – y| ≥ 0. ii. De la definición de distancia entre dos números reales, se tiene d(x, y) = |x – y|, luego, d(x, y) = 0 ⇔ |x – y| = 0 ⇔ x – y = 0 ⇔ x = y. Por lo tanto, d (x, y) = 0 ⇔ x = y. iii. Tenemos d(x, y) = |– 1(y – x)| = |–1||y – x| = d(y, x). Así, d (x, y) = d (y, x). iv. Por la desigualdad triangular del valor absoluto, se tiene d(x, y) = |x – y|, d(y, z) = |y – z|. Luego, d(x, z) = |x – z|=|x – y + y – z| ≤ |x – y|+|y – z| = d(x, y) + d(y, z). Conclusión: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Otra propiedad de la distancia entre dos números reales es: |d (x, y) – d(y, z)| ≤ d(y, z), x, y, z ∈ . Esta desigualdad es consecuencia inmediata de la siguiente: ||u| – |v|| ≤ |u – v|, u , v ∈ . Poniendo u = x – y, v = z – y en la desigualdad precedente, obtenemos ||x – y| – |z – y|| ≤ |x – y – (z – y)| = |x – z| y tomando en consideración que d(y, z) = d (z, y), se deduce que |d (x, y) – d (y, z)| ≤ d(x, z). Ejercicio resuelto 1. Sean x0 = –2,5; x = –2,5 + h, h ∈ . Calculemos las distancias que se muestran en la Tabla 1: d(–2,5; –2,49) = |–2,5 – (–2,49)| = 2,5 – 2,49 = 0,01; d(–2,5; –2,495) = |–2,5 – (–2,495)| = 2,5 – 2,495 = 0,005; d(–2,5; –2,499 9) = |–2,5 – (–2,499 9)| = 2,5 – 2,499 9 = 0,000 1; d(–2,5; –2,499 98) = |–2,5 – (–2,499 998)| = 2,5 – 2,499 998 = 0,000 002; Observamos que los números reales –2,49; –2,495; –2,499 9; –2,499 998 se aproximan cada vez más a –2,5. Para h > 0 y x = –2,5 + h, se tiene d (–2,5; x) = d (–2,5; –2,5 + h) = |–2,5 + h – (–2,5)| = –2,5 + h –(–2,5) = h.
Si asignamos valores a h > 0 cada vez más próximos a cero, tendremos que x = – 2,5 + h se aproxima cada vez más a x0 = –2,5. En la tabla 1 se muestran algunos de estos valores y d (–2,5, x) = |–2,5 –(–2,5 + h) | = h.
2. Sean x0 = 3,2; y = 3,2 + h, h ∈ . En la Tabla 2 se muestran algunos valores de h > 0, de y = 3,2 + h y la distancia d (3,2; y) = |3,2 – (3,2 + h) | = h.
Observamos que para valores de h > 0 que tienden a cero, y = 3,2 + h tiende a 3,2. Nota que para valores de h > 0 cada vez más pequeños, se tiene que d (3,2; y) = d (3,2; 3,2 + h) = h son igualmente cada vez más pequeños.
3. Sea x0 = 0,3. Consideramos y = 0,3 + h, h ∈ . En la Tabla 3 se muestran algunos valores de h < 0, de y = 0,3 + h y la distancia d (0,3; y) = d (0,3; 0,3 + h) =| 0,3 – (0,3 + h)|= –h. Los resultados de la tabla muestran que para h < 0 y h que se aproxima a cero, y = 0,3 + h se aproxima cada vez a 0,3. Sean h < 0, y x = x0 + h, entonces x < x0 , y d (x, x0) = d (x0 + h, x0) = x0 – (x0 + h) = x0 –x0 – h = –h > 0.
h
x = –2,5 + h
d (–2,5; x)
0,1
–2,4
0,1
0,01
–2,49
0,01
0,005
–2,495
0,005
0,000 1
–2,499 9
0,000 1
0,000 01
–2,499 99
0,000 01
0,000 002 –2,499 998
0,000 002 p Tabla 1
h
y = –3,2 + h d (3,2; y) = h
0,1
3,3
0,1
0,01
3,21
0,01
0,001
3,201
0,001
0,000 2
3,2002
0,000 2
0,000 04
3,20004
0,000 04
0,000 000 1 3,2000001 0,000 001 p Tabla 2
h
y = 0,3 + h
d (0,3; y)= –h
–0,2
0,1
0,2
–0,05
0,25
0,05
–0,001
0,299
0,001
–0,000 025
0,299 995
0,000 025
–0,000 0001 0,299 999 9 0,000 0001 p Tabla 3
Conexiones con las TIC Para profundizar sobre el estudio de valor absoluto y distancia entre dos puntos, puedes visitar la siguiente página: bit.ly/2UOUtNk
Para valores de h < 0 y h cada vez más próximos de cero, x0 + h es cada vez más próximo de x0.
193
Recuerda que… Los conceptos de límite y continuidad son la base del estudio del cálculo diferencial e integral; sobre estos conceptos daremos aquí los primeros pasos. Observemos el significado más próximo al matemático de la palabra “límite”, dado por el diccionario de la lengua española. Encontramos lo siguiente: “término”, “fin”, “extremo”, “confinante”, “aledaño”, “línea que separa dos terrenos contiguos”, “punto del cual no se puede extender una acción, una influencia, un estado”. En cuanto a la palabra “continuo”, encontramos “sin interrupción en el tiempo o en el espacio”, “que se hace o se extiende sin interrupción”, “todo compuesto de partes unidas entre si”, “incesante” y de la palabra “continuidad” encontramos “calidad o condición de las funciones o transformaciones continuas”.
Noción intuitiva de límite Las nociones que introducimos en esta sección corresponden a los primeros pasos que se dan en el cálculo diferencial e integral. Recordemos la definición de valor absoluto de un número real t: t=
t, si t ≥ 0, –t, si t < 0.
De esta definición y de la distancia entre dos números reales, se tiene: d ( x , y) = x – y si x ≥ y, entonces x – y ≥ 0, con lo que d (x, y) = |x – y| = x – y. Si x < y, entonces x – y < 0, con lo que x – y| = –(x – y) = y – x. d ( xd, y(x,) =y)y=– |x Ejercicios resueltos x x0 , 1. Para x = –3, y = 1, se tiene d (–3, –1) = |–3 –1| = |–4| =4. x 0 . 4,6) = |4,6 – 4,6| = 0. 2. Si x = 4,6 = y, entonces dx(4,6;
Significados de x → 0, x → x0+ y x → x0– Para introducir los términos "pequeño" y "suficientemente pequeño", utilizaremos las relaciones de orden “menor que ” en el siguiente sentido: sea 0 < < 1, diremos que x ∈ R con x ≠ 0 es pequeño (suficientemente pequeño) con respecto de , si se verifica que |x| < . Ejercicio resuelto 1. Sea = 0,1. Todo número real x ≠ 0 tal que |x| < 0,1 es pequeño con respecto de = 0,1. Así, si x = –0,05, se tiene |–0,05|= 0,05 < 0,1; con lo que x = –0,05 es pequeño respecto de = 0,1. Por el contrario, x = 0,15 no es pequeño respecto de = 0,1, pues x = 0,15 > 0,1 = .
Notación Escribiremos x → 0, que se lee “x tiende a cero” o también “x se aproxima a cero”, para indicar que |x| puede hacerse tan pequeño como se quiera. Es decir que para cada > 0, se tiene |x|< . Simbología matemática Algunas letras del alfabeto griego. alfa eta e beta b theta (tita) t gamma g iota i delta d kappa k épsilon e lambda l zeta z mu m
194
También se dice “|x| es suficientemente pequeño”. Damos a continuación una interpretación de esta formulación. Sea x0 ∈ R fijo. Dado x ∈ R con x ≠ x0, por la propiedad de tricotomía, se verifica una y solo una de las dos condiciones siguientes: i) x < x0; ii) x > x0. Para precisar la notación x → x0 que se lee “x tiende a x0” o también “x se aproxima a x0 ”, veamos algunos ejemplos que nos permitan comprender este significado.
1. Consideremos el caso x > x0. Se tiene d(x0, x) = |x0 –x| = x – x0 > 0. Sea x0 = –2,5. Consideremos la función real f, definida como f(h) = –2,5 + h, h ∈ R. Primeramente, calculemos las distancias que se muestran en la Tabla 4: d (–2,5; –2,49) = |–2,5 – f(0,01)|= 2,5 –2,49 = 0,01; d (–2,5; –2,495) = |–2,5 – f(0,001)|= 2,5 –2,499 = 0,001; d (–2,5; –2,499 9) = |–2,5 – f(0,000 1)|= 2,5 –2,499 9 = 0,000 1; d (–2,5; –2,499 998) = |–2,5 – f(0,000 002)|= 2,5 –2,499 998 = 0,000 002.
Simbología matemática
x → 0 se lee “x tiende a
cero” o también “x se aproxima a cero”.
x → x0 que se lee “x tiende a x0” o también “x se aproxima a x0”.
Se observa que los números reales –2,49; –2,495; –2,499 98 se aproximan cada vez más a –2,5. Para h > 0 y x = f(h) = 2,5 + h, se tiene d (–2,5; f(h)) = d (–2,5; –2,5 + h) =| –2,5 + h – (–2,5) |= –2,5 + h –(2,5) = h. Si asignamos valores a h > 0 cada vez más próximos a cero, tendremos que x = f(h) = –2,5 + h se aproxima cada vez más a x0 = f(0) = –2,5. En la Tabla 4 se muestran algunos de estos valores y d (–2,5; f(h)) = |–2,5– (–2,5 + h)|= h.
f (h) = –2,5 + h
d (–2,5; f (h))
0,1
–2,4
0,1
Noción de límite de una función real La noción de límite se limita al tipo de funciones afines, cuadráticas, ya tratadas.
0,01
–2,49
0,01
0,001
–2,499
0,001
0,000 1
–2,499 9
0,0001
Definición Sea f una función real definida en todo , L ∈ . Se dice que f(x) tiende a L cuando x tiende a x₀, si y solo si se verifica la condición:
0,000 01
–2,499 99
0,000 01
∀ε>>0,0, δδ>>00 tal talque que 0< 0 0 tal que 000< tal h 0 que se indican en la tabla. x = 5 – 10h2
h 0,1
–0,2
0,02
–0,015
0,003
–0,002 2
0,000 4
–0,000 33
0,000 05
–0,000 002
¿Qué puedes decir acerca de los resultados?
¿Qué pueden decir acerca de los resultados? b) Hallen lím (5 – 10h2). h→0+
c) Calculen x para cada uno de los valores h < 0 que se indican en la tabla. ¿Qué pueden decir acerca de los resultados? x = 5 – 10h2
h
c) Para h < 0,2 y que tiende a cero, –2 –2|h|, –2 + 4 h2, –2 –h +10h2 tienden todos a –2,1. ¿Es cierta esta afirmación?
–0,3 –0,02 –0,00 1 –0,000 5 –0,000 08
d) Hallen lím (5 – 10h2). h→0
197
DCCD: M.5.1.33. Calcular de manera intuitiva la derivada de funciones cuadráticas, a partir del cociente incremental.
Saberes previos ¿Qué es una cantidad suficientemente pequeña? Desequilibrio cognitivo ¿Cómo interpretas de manera geométrica la tangente a una curva?
Recuerda que... Los trabajos de Leibniz que buscaban un método general para hallar la tangente a una curva dieron origen a la noción de derivada como el cociente incremental o el cociente de diferencias de una función y = f (x).
y f ( x1 ) − f ( x ) = , x1 ≠ x , x x1 − x dy f ( x1 ) − f ( x ) . = lím dx x1 →x x1 − x Conexiones con las TIC Para profundizar sobre el estudio de valor absoluto y distancia entre dos puntos puedes visitar la siguiente página: bit.ly/2GJ8yGY
Cociente incremental. Noción de derivada En el cálculo de la derivada de una función, aparece el denominado cociente incremental, al que definimos a continuación. Definición. Sean A, B dos intervalos de , f una función de A en B, a ∈ A fijo y h ∈ , tal que h ≠ 0, y, a + h ∈ A. El cociente incremental de la función f en el punto a se denota Q(h) y se define como sigue: f ( a+ h) – f ( a) , h ≠ 0. Q ( h) = h En general, los valores de |h| ≠ 0 son suficientemente pequeños. f (–2+ h) – f (–2 ) –5+2h– (–5) Q ( h) = = =2 h h Ejercicios resueltos 1. Sea f la función real definida como f(x) = 2x – 1 con x ∈ . Fijemos el punto a = –2. Sea x = –2 + h con h ≠ 0, tenemos f(–2) = 2(–2) –1 = –5, y, f(–2 + h) = –5 + 2h. Note que si |h| es suficientemente pequeño, 2|h| también lo es. El cociente incremental está definido como Q ( h) =
f (–2+ h) – f (– 2 ) –5 + 2h –(–5) = = 2 , h ≠ 0, h h
es decir que el 1cociente incremental2 es constante y vale 2. Q ( 0,02 ) = 12+ 6 0,02+ ( 0,2 ) = 3,030 4 2. Sean ∈ con ≠ 0 y f la función real definida por f(x) = x3, 1 2 x ∈Q. Calculemos incremental 0,02+ ( 0,2 (–0,02 ) = 12+el6cociente ) = 2,970Q (h) para h ∈ , 4 a ∈ y h ≠ 0. De la definición de la función tal que h ≠ 0. Sean 3 f y del incremental, h) – f ( a) se tiene (3a+ h) – a3 = a3 + 3 a2 h+3 ah2 + h3 – a3 Q (cociente 0,00 0 f ( a+ 3 Q h = = ( h)) – f (a) (a+ h) – a a3 + 3 a2 h+3 ah2 + h3 – a3 f ( a+ h Q ( h) = =h = h 1h 2 h h 2 ) = 12+3 6 0,02+2 ( 0,02 ) = 2,970 4h (3a +3ah+ h ) 2 +3ah+ h2 ) , h 0. = (3a h (3a3=+3ah+ h2 ) 2 2 h= (3a +3ah+ h ) , h 0. = Q (h–0,00 0 1 f (2 + h) – f (2) 1 =1 y a = 2, se tiene Q ( h) = 1 = (12 + 6 h + h2 ) , Para = h 4 4 4 2 ) = 4 (12 – 6 0,000 h ≠ 0. Calculemos algunos valores de este cociente: 2+ (–0,000 1 2 Q ( 0,02 ) = 12 + 6 × 0,02 + ( 0,02 ) = 3,030 1, Q ( –0,02 ) = 2,970 1. 2 4 2 ) = 2,999 Q ( 0,000 2 ) = 3,000 300 01, Q ( –0,000 2 ) = 2,999 700 01.
(
)
(
)
)
(
)
(
)
Para valores de h no nulos y cada vez más próximos a 0, el cociente incremental se aproxima cada vez a 3. Calculemos la distancia de 3 a Q(h), esto es, d(3, Q(h)), h ≠ 0. Tenemos 1 1 3 d ( 3, Q (h) ) = Q ( h) – 3 = 12 + 6 h + h2 – 3 = h + h2 , h ≠ 0. 4 2 4
(
198
)
3 1 d (3,Q ( h)) = h+ h2 3 1 2 2 42 4 3 1 2 d (3,Q ( h)) = h+ h es también suficientemente pequeño. En 2(3,Q 4( h)) =3 33 h+ 1 112h2 33 h +1 1 2h =37 h 3,Q 0. ≤ 4|4hh|, ) ) 4 2 4 6 3 1 2 23 421 47 triangular, se tiene h+ h = h< , d (3,Q ( h)) = h+6 h 2 < 4 . 3 23 61 142 3 36 1 1 7 7 h 6 d (d3,Q h 2 h+ h = h< , .