INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS Apuntes de Optimización
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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS
Apuntes de Optimización y Simulación de Procesos
Gabriel E. Santana Rodríguez
Julio 2007
Contenido Optimización _________________________________________________________ 1 ¿Porqué optimizar? ________________________________________________________ 1
Clasificación de modelos ________________________________________________ 1 Función objetivo ______________________________________________________ 1 Características esenciales de los problemas de optimización_______________________ 1 Pasos para la solución de problemas de optimización ____________________________ 1 Ejemplo 1 ________________________________________________________________ 1 Ejemplo 2 ________________________________________________________________ 1
Métodos analíticos _____________________________________________________ 1 Derivación Univariable _____________________________________________________ 1 Primera derivada ________________________________________________________________1 Segunda derivada________________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Derivación Multivariable ___________________________________________________ 1 Gradiente ______________________________________________________________________1 Hessiano_______________________________________________________________________1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1 Ejemplo 3______________________________________________________________________1
Multiplicadores de Lagrange ________________________________________________ 1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Métodos numéricos ____________________________________________________ 1 Fibonacci_________________________________________________________________ 1 Ejemplo _______________________________________________________________________1
Sección dorada ____________________________________________________________ 1 Ejemplo _______________________________________________________________________1
Simplex __________________________________________________________________ 1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Nelder-Mead______________________________________________________________ 1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Máxima Pendiente _________________________________________________________ 1 Ejemplo 1______________________________________________________________________1 Ejemplo 2______________________________________________________________________1
Programación lineal ___________________________________________________ 1 Método gráfico. ___________________________________________________________ 1 Ejemplo _______________________________________________________________________1
Método Simplex ___________________________________________________________ 1 Ejemplo _______________________________________________________________________1
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Programación geométrica _______________________________________________ 1 Ejemplo de polinomios con términos positivos __________________________________ 1 Ejemplo de polinomios con términos positivos y negativos ________________________ 1
Programación dinámica ________________________________________________ 1 Ejemplo 1 ________________________________________________________________ 1 Ejemplo 2 ________________________________________________________________ 1
Bibliografía __________________________________________________________ 1
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Optimización [1] La optimización es el uso de métodos específicos para determinar la solución más rentable y más eficiente a un problema o a un diseño para un proceso. Esta técnica es una de las herramientas cuantitativas principales en la toma de decisión industrial. Una amplia variedad de problemas en el diseño, la construcción, la operación, y el análisis de plantas químicas (así como muchos otros procesos industriales) se puede resolver por la optimización. El objetivo de la optimización es encontrar los valores de las variables en el proceso que produzcan el mejor valor del criterio establecido tal como el costo mínimo. Normalmente existe una compensación entre los costos de capital y de operación.
¿Porqué optimizar? ¿Por qué los ingenieros están interesados en la optimización? ¿Qué beneficios resultan de usar este método en vez de tomar decisiones intuitivamente? Los ingenieros trabajan para mejorar el diseño inicial del equipo y se esfuerzan para mejorar la operación de ese equipo una vez que esté instalado de tal modo que realice la mayor producción, el máximo beneficio, el costo mínimo, el menor uso de energía y así sucesivamente. El valor monetario proporciona una medida conveniente de objetivos diversos, pero no todos los problemas tienen que ser considerados en un marco monetario (costo contra rédito). En operaciones de planta, las ventajas surgen del funcionamiento mejorado de la planta, tal como mejores producciones de productos valiosos (o producciones reducidas de contaminantes), del consumo de energía reducido, de velocidades de procesamiento mayores y de tiempos más largos entre paros. La optimización puede también conducir a costos de mantenimiento reducidos, a menos desgaste del equipo y a una utilización mejor del personal. Además, las ventajas intangibles surgen de las interacciones entre operadores de planta, ingenieros y la gerencia. Es extremadamente provechoso identificar sistemáticamente el objetivo, las restricciones y los grados de libertad en un proceso o una planta, conduciendo a beneficios tales como calidad mejorada del diseño, una localización de averías más rápidamente y más confiables, y una toma de decisión más rápida. Los beneficios pronosticados se deben hacer con cuidado. Las variables de operación y diseño en la mayoría de las plantas se relacionan siempre de cierta manera. Si la cuenta del combustible para una columna de la destilación es $3000 por día, un ahorro del 5 por ciento puede justificar un proyecto sobre conservación de energía. Sin embargo, en una operación unitaria tal como destilación, es incorrecto simplemente sumar los servicios del intercambiador de calor y hacer una reducción en el calor total requerido. Una reducción en el servicio de calentamiento del rehervidor puede influenciar en la pureza del producto, que se puede traducir en un cambio en las ganancias y en los requerimientos de enfriamiento en el condensador. Por lo tanto, puede ser engañoso no hacer caso de los efectos indirectos y de relación que tienen las variables del proceso en los costos.
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¿Qué hay acerca de la discusión, de que el uso formal de la optimización realmente no está garantizado debido a la incertidumbre que existe en la representación matemática del proceso o de los datos utilizados en el modelo del proceso? Tal discusión tiene ciertamente cierto mérito. Los ingenieros tienen que usar un juicio en la aplicación de técnicas de optimización a los problemas que tienen una incertidumbre considerable asociada a ellos, desde el punto de vista de la exactitud y del hecho de que los parámetros de operación de la planta y los alrededores no son siempre estáticos. En algunos casos puede ser posible realizar un análisis vía optimización determinista y después agregar características estocásticas al análisis para producir predicciones cuantitativas del grado de incertidumbre. Siempre que el modelo de un proceso se idealice y los datos de la entrada y los parámetros se conozcan aproximadamente, los resultados de la optimización se deben tratar juiciosamente. Pueden proporcionar límites superiores a las expectativas. Otra manera de evaluar la influencia de parámetros inciertos en el diseño óptimo es realizar un análisis de sensibilidad. Es posible que el valor óptimo de una variable de proceso no es afectado por ciertos parámetros (sensibilidad baja); por lo tanto, tener valores exactos para estos parámetros no será crucial para encontrar el óptimo verdadero.
Clasificación de modelos Basados en la teoría física
Basados en descripciones estrictamente empíricas
Involucra balances de masa y energía, termodinámica, cinética de la reacción química, etc.
Provienen de la experiencia como de reglas heurísticas a consecuencia de falta de tiempo o de recursos.
Linear
No linear
f (x)
f (x)
x
x
Estado estacionario (estático)
Estado no estacionario (dinámico)
∂ =0 ∂t
∂ ≠0 ∂t
No hay variación respecto al tiempo.
Si hay variación respecto al tiempo.
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Parámetro agrupado
Parámetro distribuido
∂ =0 ∂V
∂ ≠0 ∂V
Las variaciones espaciales se ignoran y las propiedades del sistema son iguales en todo el volumen
Existen variaciones espaciales y las propiedades del sistema son diferentes en todo el volumen
Variable discreta
Variable continua
La variable tiene un número finito de valores, por ejemplo, el número de compresores.
La variable tiene un número infinito de valores, por ejemplo, los diferentes valores de presión y temperatura en cada etapa de compresión.
Determinísticos
Estocásticos
Son sistemas que exhiben el mismo comportamiento bajo las mismas condiciones y no suceden al azar. Por ejemplo, un líquido hervirá bajo ciertas condiciones.
Son sistemas que funcionan por azar en función de probabilidades. Por ejemplo, la forma que toma el vapor es aleatoria. 3
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Función objetivo [1] Formular el problema es quizás el paso más crucial de la optimización. La formulación del problema requiere identificar los elementos esenciales de una declaración conceptual o verbal de una aplicación dada y organizarlos en una forma matemática prescrita, a saber, 1. La función objetivo (criterio económico) 2. El modelo de proceso (restricciones) La función objetivo representa los factores tales como beneficio, costo, energía, y producción en términos de las variables claves del proceso que es analizado. El modelo del proceso y las restricciones describen las correlaciones de las variables clave.
Características esenciales de los problemas de optimización Debido a que la solución de los problemas de optimización implica varias características de las matemáticas, la formulación de un problema de optimización debe utilizar expresiones matemáticas. Tales expresiones no necesitan necesariamente ser muy complejas. No todos los problemas se pueden indicar o analizar cuantitativamente, pero restringiremos nuestra cobertura a los métodos cuantitativos. Desde un punto de vista práctico, es importante relacionar correctamente la declaración del problema con una técnica de solución anticipada. Una variedad amplia de problemas de optimización tiene estructuras asombrosamente similares. De hecho, es esta semejanza la que ha permitido el progreso reciente en las técnicas de optimización. Los ingenieros químicos, ingenieros petroleros, físicos, químicos e ingenieros de tráfico, entre otros, tienen un interés común en la misma estructura matemática del problema, cada uno con un diverso uso en el del mundo real. Podemos hacer uso esta semejanza estructural para desarrollar un marco o una metodología dentro de la cual puede ser estudiado cualquier problema. Cada problema de optimización contiene tres categorías esenciales: 1. Por lo menos una función objetivo que se optimizará (función beneficio, función costo, etc.) 2. Restricciones de igualdad (ecuaciones) 3. Restricciones de desigualdad (desigualdades) Las categorías 2 y 3 constituyen el modelo del proceso o del equipo; la categoría 1 a veces se llama el modelo económico. Por solución factible del problema de optimización se quiere decir que se trata de un conjunto de variables que satisfacen las categorías 2 y 3 al grado deseado de precisión.
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Pasos para la solución de problemas de optimización 1. Analizar el proceso para definir las variables de proceso y las características específicas del interés; es decir, hacer una lista de todas las variables. Puede incluir un diagrama o esquema. 2. Determinar el criterio de optimización (minimizar o maximizar), especificar la función objetivo en términos de las variables definidas en el paso 1 junto con los coeficientes. Este paso proporciona el modelo de optimización (a veces llamado modelo económico cuando sea apropiado). 3. Con expresiones matemáticas, desarrolle un modelo válido del proceso o del equipo que relacione las variables de entrada-salida del proceso y los coeficientes asociados. Incluir las restricciones de igualdad y desigualdad. Utilizar principios físicos bien conocidos (balances de masa, balances de energía), relaciones empíricas, conceptos implícitos y restricciones externas. Identificar las variables independientes y dependientes para obtener el número de grados de libertad. 4. Si la formulación del problema es demasiado grande en alcance: (a) Divida el problema en partes manejables o, (b) simplifique la función objetivo y el modelo. 5. Aplique una técnica de optimización adecuada a la declaración matemática del problema. 6. Compruebe las respuestas y examine la sensibilidad del resultado a los cambios en los coeficientes del problema y las suposiciones.
Ejemplo 1 Se desea enfriar un gas [Cp=0.3 Btu/(lb ºF)] de 195 a 90 ºF, usando agua de enfriamiento a 80 ºF. Los costos del agua son $0.20/1000 pies3 y los cargos fijos anuales para el intercambiador son $0.50/pie2 de superficie interna, con un diámetro de 0.0875 pies. El coeficiente de transferencia de calor es U=8 Btu/(h pie2 ºF) para un gasto másico de gas de 3000 lb/h. Grafique los costos anuales del agua de enfriamiento y los cargos fijos del intercambiador como una función de la temperatura del agua de salida. ¿Cuál es el costo total mínimo? Solución: Paso 1. Suposición: Intercambiador de calor de un solo paso por tubos y un solo paso por coraza en contracorriente y sin cambio de fase.
El perfil de temperatura es:
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195ºF
T0 90ºF 80ºF
0.20 $ 1000 pies 3 $ C fijos = 0.50 pie 2 año lb m gas = 300 h Btu Cp gas = 0.3 lb º F Btu U =8 h pie 2 º F C agua =
Paso 2. Minimizar Costos totales como una función de la temperatura del agua de salida.
Costostotales = f (T0 ) =
$ año
Paso 3. Sumar todos los costos y dejarlos en $/año. Para eso se necesita las ecuaciones que describen el proceso: Suposiciones: Pérdidas de calor despreciables Se laboran 365 días al año, 24 horas al día. lb Btu , ρ agua = 62.4 Cp agua = 1 pie 3 lb º F
Q = magua cpagua (T0 − 80) Q = m gas cp gas (195 − 90) Q = UAΔTml ΔTml =
(195 − T0 ) − (90 − 80) ⎛ (195 − T0 ) ⎞ ⎟⎟ ln⎜⎜ ⎝ (90 − 80) ⎠
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Los costos son: 0.20 $ ⎛⎜ 1 pie 3 ⎞⎟⎛ $ lb ⎞⎛ (24)(365)h ⎞ = magua ⎟⎜ ⎜ ⎟ 3 ⎜ 1000 pies ⎝ ρ agua lb ⎟⎠⎝ h ⎠⎝ año ⎠ año $ $ = 0.50 ( A pies 2 ) = 2 pie año año
C agua = C fijos
Donde: magua =
A=
m gas cp gas (195 − 90) (3000)(0.3)(195 − 90) lb Q = = = cpagua (T0 − 80) cpagua (T0 − 80) h (1)(T0 − 80)
Q = UΔTml
(3000)(0.3)(195 − 90) = pies 2 ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ (195 − T0 ) − (90 − 80) ⎪ (8)⎨ ⎬ ⎪ ln⎛⎜ (195 − T0 ) ⎞⎟ ⎪ ⎜ (90 − 80) ⎟ ⎪ ⎪⎩ ⎝ ⎠ ⎭
Paso 4. No hay nada que simplificar Paso 5. Una técnica de solución, es derivar la función objetivo en términos de la variable T0. Igualar a cero y encontrar la solución. dCtotal = dT0
T0 = 120.5 °F
Ctotal = 249.40
$ año
Paso 6. Para comprobar la solución, se puede graficar.
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Ejemplo 2 Un compuesto orgánico se produce en un proceso por lotes donde no se obtiene ningún producto hasta que se termine el procesamiento del lote. Cada ciclo consiste de un tiempo de operación necesario para completar la reacción más un tiempo adicional de 1.4 h requeridas para descarga y carga. El tiempo de operación por ciclo es igual a 1.5P0.25, donde P son los kilogramos de producto producido por lote. Los costos de operación durante el periodo de operación son $20 por hora, mientras que los costos durante el periodo de descarga-carga son $15 por hora. Los costos fijos anuales (Cf) del equipo, varían con el tamaño del lote de la siguiente forma: ⎡ $ ⎤ C f = 340 P 0.8 ⎢ ⎣ año ⎥⎦
Los cargos por almacenamiento e inventario se pueden despreciar. De ser necesario asuma que la planta puede operar 24h/día por 300 días/año. La producción anual es 106 kg de producto. A esta capacidad, los costos de las materias primas y misceláneas, diferentes a los ya mencionados, son de $260 000 por año. Determine el tiempo del ciclo para obtener el mínimo costo anual total.
Paso 1. ⎡h ⎤ 1.4 ⎢ muerto ⎥ ⎣ ciclo ⎦ ⎡ hoperación ⎤ 1.5P0.25 ⎢ ⎥ ⎣ ciclo ⎦ ⎡ Kg producto ⎤ P ⎢ ⎥ ⎣ ciclo ⎦
tiempo para descarga y carga. tiempo de operación por ciclo (se asume en horas) kilogramos de producto producido por lote (1 lote por cada ciclo)
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⎡ $ ⎤ 20 ⎢ ⎥ ⎣⎢ hoperación ⎦⎥
Costo durante el periodo de operación
⎡ $ ⎤ 15 ⎢ ⎥ ⎣ hmuerto ⎦
Costo durante el periodo de descarga-carga
⎡ $ ⎤ C f = 340 P 0.8 ⎢ ⎣ año ⎥⎦
Costos fijos anuales
⎡ Kg producto ⎤ 106 ⎢ ⎥ ⎣ año ⎦
Producción anual
⎡ $ ⎤ 260 000 ⎢ ⎣ año ⎥⎦
Costos de las materias primas y misceláneas
De ser necesario asuma que la planta puede operar 24h/día por 300 días/año. Paso 2. Minimizar los costos totales anuales en función de la única variable P.
Costostotales = f ( P) =
$ año
Paso 3. Convertir todos los costos a $/año y después sumarlos. Costo durante el periodo de operación, ⎛ ⎞⎛ h ⎞ ⎜ 20 $ ⎟⎜1.5P 0.25 operación ⎟⎛⎜ 1 ciclo ⎞⎟⎛⎜10 6 Kg ⎞⎟ = ⎛⎜ $ ⎞⎟ ⎜ ⎜ h ⎟ ciclo ⎟⎠⎜⎝ P Kg ⎟⎠⎝ año ⎠ ⎝ año ⎠ operación ⎠⎝ ⎝
Costo durante el periodo de descarga-carga,
⎛ $ ⎞⎛ hmuerto ⎞⎛ 1 ciclo ⎞⎛ 6 Kg ⎞ ⎛ $ ⎞ ⎜⎜15 ⎟⎟⎜1.4 ⎟⎜10 ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ h ciclo ⎠⎜⎝ P Kg ⎟⎠⎝ año ⎠ ⎝ año ⎠ muerto ⎠⎝ ⎝ El costo total es,
Paso 4. No hay nada que simplificar
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Paso 5. Una técnica de solución, es derivar la función objetivo en términos de la variable P. Igualar a cero y encontrar la solución.
dCtotal = dP P = 1625.840 Ctotal =
Kg ciclo $ año
El tiempo de cada ciclo es,
1.4 + 1.5P 0.25 = 1.4 + 1.5(1625.84) 0.25 = 10.9
h ciclo
El tiempo total al año es,
h ⎞⎛ 1 ciclo ⎞⎛ 6 Kg ⎞ 10.9 ⋅ 10 6 h ⎛ ⎟⎟⎜10 = 6704.2 ⎟= ⎜10.9 ⎟⎜⎜ ciclo ⎠⎝ P Kg ⎠⎝ año año ⎠ 1625.84 ⎝ El tiempo total disponible es de (24)(300)=7200 h/año, es decir, a condiciones óptimas no se requerirá todo el tiempo disponible de operación. Paso 6. Para comprobar la solución, se puede graficar.
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Métodos analíticos [2] Derivación Univariable Primera derivada. Es la pendiente de una recta y se define como: f ' ( x) = lim h→0
f ( x + h) − f ( x ) h
Para una función dada f (x) , la pendiente en un punto estacionario (punto mínimo, máximo o de inflexión) es cero.
f (x) Máximo
f ' ( x) = 0
Inflexión
f ' ( x) = 0 Mínimo
f ' ( x) = 0 (x)
Segunda derivada. Sigue siendo una pendiente, pero su significado es diferente. La serie de Taylor, es una serie infinita que puede representar una función como:
f ( x) = f ( x 0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ' ' ( x0 ) Donde:
( x − x0 ) 2 ( x − x0 ) n + L + f ( n) ( x0 ) 2! n!
x0 es un punto estacionario x es un punto alrededor de x0
Si la serie se trunca hasta el tercer término, 0 (en un punto estacionario) ( x − x0 ) 2 f ( x) = f ( x 0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ' ' ( x0 ) 2! ( x − x0 ) 2 f ( x) = f ( x 0 ) + f ' ' ( x 0 ) 2!
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Se despeja f ' ' ( x0 ) , f ' ' ( x0 ) =
2!( f ( x ) − f ( x0 ) ) ( x − x0 ) 2
En está última ecuación, el término f ( x) − f ( x0 ) varía de signo, los otros términos son siempre positivos.
Para un mínimo
f (x)
f ( x) Como f ( x) > f ( x0 ) :
f (x) f ( x) − f ( x0 ) siempre es positivo f ( x0 )
∴ f ' ' ( x0 ) > 0 es un mínimo x
x0
x
(x)
Para un máximo
f ( x)
f ( x0 )
Como f ( x) < f ( x0 ) :
f ( x) f ( x)
f ( x) − f ( x0 ) siempre es negativo ∴ f ' ' ( x0 ) < 0 es un máximo x
x0
x
( x)
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El resultado anterior se puede generalizar. Si el orden de la derivada es un número par (n): Si f(n)(xopt)>0 se trata de un mínimo Si f(n)(xopt)0 se trata de un punto de inflexión Si f(m)(xopt)