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. statlca ~

y elasticidad

Conceptos -encontexto

CONCEPTOS

EN

CONTEXTO

Las grúas de torre se usan ampliamente en los sitios de construcción. La grúa de torre K-10000 que se muestra aquí es la más grande disponible en el comercio. Su torre central mide 110 m de alto y su largo brazo horizontal alcanza hasta 84 m. Puede levantar 120 toneladas en el extremo del brazo largo y más del doble en el medio del mismo brazo. El brazo corto sostiene un contrapeso fijo de 100 toneladas (al final, sobre el brazo) y dos contrapesos móviles (bajo el brazo). Para el levantamiento de cargas pequeñas, los contrapesos móviles se estacionan en la posición a bordo, cerca de la torre central. Para el levantamiento de cargas grandes, los contrapesos móviles se mueven hacia afuera para mantener equilibrada la grúa. Los conceptos discutidos en este capítulo permiten examinar muchos aspectos de la operación de esa grúa:

? ¿Dónde deben colocarse los contrapesos móviles para mantener equilibrada la grúa para una carga dada? (Ejemplo 2, página 435)

430

CAPíTULO 14

Estática y elasticidad

? ¿Cuál es la tensión en el tirante (que se estira diagonalmente desde lo alto de la torre hasta el extremo del brazo) que mantiene en su lugar al brazo corto? (Ejemplo 3, página 435)

? ¿Cuál es la elongación del cable de levantamiento cuando se sujeta a una carga dada? (Ejemplo 8, página 448)

L

a) Puede elegirse un eje a través del centro de masa hacia afuera de la página.

El bat está en reposo, de modo que las toreas en torno de dicho eje deben sumar cero: r2N2 - r¡N¡ = O.

b)

Puede elegirse un eje a través de la mano izquierda, hacia afuera de la página.

Las toreas en torno de dicho eje deben sumar cero: r2w - (r¡ + r2)N¡ = o.

FIGURA 14.1 Un bat de béisbol en reposo en sus manos. Las fuerzas externas son el peso hacia abajo w y los empujes hacia arriba NI y N2 de las manos derecha e izquierda, respectivamente. Estas fuerzas externas suman cero. Las toreas externas en torno de cualquier eje también suman cero. a) El eje es a través del centro de masa. b) El eje es a través de la mano izquierda.

Os ingenieros y arquitectos preocupados con el diseño de puentes, edificios y otras estructuras necesitan conocer bajo qué condiciones un cuerpo permanecerá en reposo, incluso cuando sobre él actúen fuerzas. Por ejemplo, el diseñador de un puente de ferrocarril debe estar seguro de que el puente no se inclinará ni se romperá cuando un pesado tren pase sobre él. Se dice que un cuerpo está en equilibrio si permanece en reposo, incluso cuando muchas fuerzas actúan sobre él. La más antigua rama de la física y que estudia las condiciones para el equilibrio de un cuerpo se llama estática. Los antiguos egipcios, griegos y romanos tenían una buena comprensión de los principios básicos de la estática, como es evidente a partir de la construcción de sus elegantes arcos para marcos de puertas y puentes. El más antiguo libro de física sobreviviente es un tratado de Arquímedes acerca de la estática de los barcos. Las primeras tres secciones de este capítulo se apoyarán en la suposición de que los miembros estructurales "rígidos", como vigas y columnas, de hecho permanecen rígidos; es decir: no se deforman. En esencia, esto significa que se supone que las fuerzas no son tan grandes como para producir un pandeado o compresión significativo de las vigas o columnas. Sin embargo, en la última sección, se dará un breve vistazo al fenómeno de la deformación elástica de los cuerpos sólidos cuando se sujetan a la acción de grandes fuerzas.

14. 1 ESTÁTICA DE CUERPOS RíGIDOS Si un cuerpo rígido debe permanecer en reposo, sus aceleraciones de traslación y rotación deben ser cero. Por tanto, la condición para el equilibrio estático de un cuerpo rígido es que la suma de las fuerzas externas y la suma de las toreas externas sobre el cuerpo deben ser cero. Esto significa que las fuerzas y las toreas están en equilibrio; cada fuerza se compensa mediante alguna otra fuerza o fuerzas y cada torea se compensa mediante alguna otra torea o toreas. Por ejemplo, cuando un bat de béisbol descansa en sus manos (figura 14.1), las fuerzas externas sobre el bat son su peso (descendente) w y los empujes (ascendentes) NI y N2 de sus manos. Si el bat debe permanecer en reposo, la suma de estas fuerzas externas debe ser cero; es decir: w + NI + N2 = O, o, en términos de magnitudes, -w + NI + N2 = o. Del mismo modo, la suma de las toreas de las fuerzas externas debe ser cero. Dado que la aceleración angular del bat es cero en torno de cualquier eje de rotación que elija en la figura 14.1, la suma de las toreas debe ser cero en torno de cualquiera de tales ejes. Por ejemplo, puede elegir un eje de rotación horizontal a través del centro de masa del bat, hacia afuera del plano de la página, como en la figura 14.1a. Con esta elección de eje, la fuerza N2 produce una torea en contra de las manecillas del reloj r2N2 Y la fuerza NI produce una torea en el sentido de las manecillas del reloj r1N1, mientras que el peso w (que actúa en el eje) no produce torea. La condición de equilibrio para la torea es entonces r2N2 - rlN1 = O. De manera alternativa, puede elegirse un eje de rotación horizontal a través de, por ejemplo, la mano izquierda, hacia afuera del plano de la página, como en la figura 14.1b. Con esta elección, la fuerza NI produce una torea (rl + r2)N1, el peso produce una torea contra las manecillas del reloj r2w Y la fuerza N2 no produce torea. La condición de equilibrio para las toreas es entonces - (rl + r2)N1 + r2w = O. Con otras elecciones de eje de rotación, pueden generarse muchas más ecuaciones que las fuerzas o toreas desconocidas en un problema de equilibrio estático. Si embargo, las ecuaciones obtenidas con

14.1

Estática de cuerpos rígidos

431

diferentes elecciones de eje de rotación se relacionan y puede demostrarse que siempre son consistentes. A partir de esta discusión, se concluye que, para los propósitos del equilibrio estático, cualquier línea a través del cuerpo o cualquier línea que pasa a cierta distancia del cuerpo puede considerarse como un eje de rotación concebible

y

la torea total en torno de cada uno de

tales ejes debe ser cero. Esto significa que se tiene total libertad para elegir el eje de rota-

ción y puede hacerse cualquier elección que parezca conveniente. Con algo de práctica, uno aprende a reconocer cuál elección de eje será más útil para la solución de un problema de estática. La fuerza de gravedad juega un importante papel en muchos problemas de estática. La fuerza de gravedad sobre un cuerpo se distribuye sobre todas las partes del cuerpo y cada parte está sujeta a una fuerza proporcional a su masa. Sin embargo, para el cálculo de la torea que ejerce la gravedad sobre un cuerpo rígido, puede considerarse que toda la fuerza gravitacional actúa sobre el centro de masa. En la figura 14.1 se usa esta regla, y se supone que el peso actúa en el centro de masa del bato La prueba de esta regla es sencilla: suponga que libera algún cuerpo rígido arbitrario y le permite caer libremente desde una condición inicial de reposo. Dado que todas las partículas en el cuerpo caen a la misma tasa, el cuerpo no cambia su orientación mientras cae. Si considera un eje a través del centro de masa, la ausencia de aceleración angular implica que la gravedad no genera torea alguna .en torno del centro de masa. En consecuencia, si quiere simular gravedad mediante una sola fuerza que actúe en un punto del cuerpo rígido, dicho punto tendrá que ser el centro de masa. Dado que, en un cuerpo rígido, la fuerza de gravedad efectivamente actúa en el centro de masa, se ve que un cuerpo rígido sostenido por una sola fuerza que actúa en su centro de masa, o que actúe sobre la línea vertical a través de su centro de masa, está en equilibrio, pues la fuerza de soporte es entonces colineal con la fuerza de gravedad efectiva y tales fuerzas colineales de iguales magnitudes y direcciones opuestas no ejercen torea neta. Esto proporciona un método simple para la determinación experimental del centro de masa de un cuerpo de forma complicada: suspenda el cuerpo de una cuerda unida a un punto sobre su superficie (figura 14.2); entonces el cuerpo se asentará en una posición de equilibrio tal que el centro de masa esté sobre la prolongación vertical descendente de la cuerda (esta prolongación vertical se marca rayada en la figura 14.2). A continuación, suspenda el cuerpo de una cuerda unida a otro punto de su superficie y marque una nueva prolongación vertical descendente de la cuerda. El centro de masa está entonces en la intersección de las prolongaciones reciente y anterior de la cuerda. b)

a)

Para encontrar el centro de masa, suspenda el cuerpo mediante una cuerda de un punto sobre su superficie. El centro de masa estará a lo largo de la prolongación vertical de la cuerda. Cualesquiera dos de tales líneas deben intersecar en el centro de masa.

FIGURA 14.2 a) Bicicleta suspendida mediante una cuerda unida a un punto sobre su "superficie". b) Bicicleta suspendida mediante una cuerda unida a un punto diferente.

432

CAPíTULO 14

a) equilibrio estable

Estática y elasticidad

b) equilibrio inestable

e) equilibrio neutro

La silla está suspendida de un punto por arriba del centro de masa.

La silla está soportada en el centro de masa. La silla está soportada de un punto por abajo del centro de masa.

FIGURA 14.3 Un cuerpo en a) equilibrio estable; b) equilibrio inestable; e) equilibrio neutro.

Un cuerpo suspendido de un punto por arriba de su centro de masa, como ocurre en lafigura 14.3a, está en equilibrio estable (véase también la sección 8.2). Si este cuerpo se

gira a través de cierto ángulo, de modo que el centro de masa ya no esté verticalmente por abajo del punto de soporte, la fuerza de gravedad y la fuerza de soporte producirán una torea que tiende a regresar al cuerpo a la posición de equilibrio. En contraste, si este cuerpo está soportado mediante masa, como en la figura

FIGURA 14.4 Automóvil estacionario en equilibrio a) estable, b) inestable y e) neutro. a) equilibrio estable

una sola fuerza

aplicada en un punto por abajo del centro de

14.3b, el cuerpo está en equilibrio inestable. Si se gira el cuerpo

muy lentamente, la fuerza de gravedad y la fuerza de soporte producirán una torea que tiende a girar el cuerpo más lejos de la posición de equilibrio: el cuerpo tiende a derrumbarse. Finalmente, un cuerpo soportado mediante una sola fuerza en su centro de masa, como se presenta en la figura 14.3c, está en equilibrio neutro. Si se gira ese cuerpo, permanece en equilibrio en su nueva posición y no muestra tendencia de regresar a su posición original o a girar aún más. Criterios de estabilidad similar se aplican al movimiento de traslación de un cuerpo que se mueve sobre una superficie. Un cuerpo está en equilibrio estable si resiste pequeñas perturbaciones y tiende a regresar a su posición original cuando la perturbación cesa. Un automóvil que reposa en el fondo de una hondonada en el camino es un ejemplo de este tipo de equilibrio; si el automóvil se desplaza hacia adelante y se le deja, el auto regresa a su posición original. Un cuerpo está en equilibrio inestable si tiende a alejarse de su posición original cuando se perturba. Un automóvil que reposa sobre lo alto de una colina es un ejemplo de este segundo tipo de equilibrio. Si el automóvil se desplaza hacia adelante, continúa rodando hacia abajo de la colina. Un automóvil que descansa sobre una calle plana está en equilibrio neutro con respecto a desplazamientos de traslación. Si el automóvil se desplaza a lo largo de la calle, simplemente permanece en la nueva posición, sin alguna tendencia a regresar a su posición original o a moverse lejos de ella (véase la figura 14.4). Los primeros cuatro ejemplos de la siguiente sección involucran equilibrio estable o neutro; los siguientes dos ejemplos involucran equilibrio inestable. Los ingenieros tienen mucho cuidado de evitar el equilibrio inestable en el diseño de estructuras y maquinaria, pues una configuración inestable colapsará o se separará a la menor provocación. b) equilibrio inestable

Un automóvil desplazado se mueve de vuelta al equilibrio.

e) equilibrio neutro Un automóvil desplazado permanece en la nueva posición.

Un automóvil desplazado se alejará del equilibrio.

14.2

~

433

Ejemplos de equilibrio estático

Revisión 14. 1

PREGUNTA 1: ¿Un ciclista equilibrado sobre una bicicleta derecha está en equilibrio estable o inestable? Suponga que el ciclista se sienta rígidamente y no hace esfuerzo por evitar de algún modo el poder caer (véase la figura 14.5). PREGUNTA

2: Usted se sienta en un columpio, con sus rodillas dobladas. Si ahora usted

extiende sus piernas completamente, columpio y de su cuerpo?

¿cómo cambiará esto la posición de equilibrio del

PREGUNTA 3: a) Usted sostiene una caña de pescar con ambas manos y la apunta recta hacia arriba. ¿La fuerza de soporte está alineada con el peso? b) Usted apunta la caña de pescar horizontalmente. ¿La fuerza de soporte está alineada con el peso? ¿Hay una sola fuerza de soporte? 4: Considere un cono sobre una mesa a) que yace plano sobre su lado curvo, b) de pie sobre su base, e) de pie sobre su ápice. Respectivamente, el equilibrio de cada posición es PREGUNTA

(A) Estable, inestable, neutro

(B) Estable, neutro, inestable

(C) Inestable, estable, neutro

(D) Neutro, estable, inestable

FIGURA 14.5 ¿Una bicicleta derecha está en equilibrio inestable?

(E) Neutro, inestable, estable

14.2 EJEMPLOS DE EQUILIBRIO ESTÁTICO Los siguientes son algunos ejemplos de soluciones a problemas de estática. En estos ejemplos, las condiciones de una suma de fuerzas externas cero

a)

(14.1)

l'

y una suma de toreas externas cero (14.2) se usan para encontrar las magnitudes de las fuerzas que mantienen al cuerpo en equilibrio o para encontrar si el cuerpo puede lograr equilibrio total.

Una locomotora de 90 000 kg de masa está a un tercio del camino a través de un puente de 90 m de largo. El puente consiste de una viga de hierro uniforme de 900 000 kg de masa, que está sostenida por dos pilares (véase la figura 14.6a). ¿Cuál es la carga sobre cada pilar?

EJEMPLO

1

El cuerpo cuyo equilibrio se quiere investigar es el puente. La figura 14.6b es un diagrama de "cuerpo libre" para el puente, que muestra todas las fuerzas que actúan sobre él: el peso del puente, el empuje hacia abajo ejercido por la locomotora y el empuje hacia arriba que ejerce cada pilar. Puede considerarse que el· peso del puente actúa en su centro de masa. El puente está estático y por tanto la torea neta sobre el puente considerado en torno de cualquier punto debe ser cero. Considere primero las toreas en torno del punto P2, en el pilar derecho. Estas toreas están generadas por el peso del puente que actúa a una distancia de 45 m, el empuje hacia abajo de la locomotora que actúa a una distancia de 30 m y el empuje hacia arriba Fl del pilar en P1 que actúa a una distancia de 90 m (el empuje hacia arriba F2 tiene brazo cero, está en el eje y no genera torea en torno de P2). El peso del puente es mpuenteg = 9.0 X 105 kg X g Y el empuje hacia abajo que ejerce la

b)

Los pilares ejercen fuerzas hacia arriba.

En e! equilibrio, la torea neta en torno de P, y de P2 debe ser cero cada una.

SOLUCiÓN:

Las fuerzas hacia abajo son los pesos de! puente y de la locomotora.

Wpuente

FIGURA 14.6 a) Puente con una locomotora en él. b) Diagrama de "cuerpo libre" para el puente.

434

CAPíTULO14

Estática y elasticidad

locomotora es igual a su peso, mlo.g = 9.0 X 104 kg X g. Dado que cada una de las fuerzas actúa en ángulo recto con la línea (horizontal) de P2 al punto de aplicación de la fuerza, la magnitud de la torea 'T = rFsen 90° para cada fuerza es simplemente el producto de la distancia y la fuerza, 'T = rF. De acuerdo con la condición de equilibrio, debe igualarse a cero la suma de las tres toreas:

+ 'T loe + 'T pilar

'T puente

45 m

X

9.0

105 kg

X

X

g + 30 m

X

9.0

=

(14.3)

O

104 kg

X

X

g - 90 m

X

F¡

=

O (14.4)

Aquí se eligió considerar como positivos las dos primeras toreas, pues ellas tienden a producir rotación en contra de las manecillas del reloj en torno de P2 y la última torea debe considerarse entonces como negativa, pues tiende a producir rotación en la dirección de las manecillas del reloj. La ecuación (14.4) sólo contiene la única fuerza desconocida F¡. Observe que puede aislarse esta fuerza desconocida al evaluar las toreas en torno de P2: la otra fuerza desconocida F2 está ausente porque no produce torea en torno de P2• Al resolver esta ecuación para la incógnita Fl> se encuentra 4 (45m X 9.0 X 105kg+30m X 9.0 X 10 kg) X g F¡

=

90 m

=

4.8

X

105 kg

X

g

=

4.8

X

105 kg

X

9.81 m/s2

=

4.7

X

106 N

A continuación, considere las toreas en torno del punto p¡. Estas toreas se generan mediante el peso del puente, el peso de la locomotora y el empuje hacia arriba F2 en el punto P2 (el empuje hacia arriba de F¡ tiene brazo cero y no genera torea en torno de p¡). Al igualar a cero la suma de estas tres toreas en torno del punto p¡, se obtiene -45 m

X

9.0

X

105 kg

X

g - 60 m

X

9.0

X

104 kg

X

g + 90 m

X

F2

=

O

Esta ecuación sólo contiene la única fuerza desconocida F2 (la fuerza F¡ está ausente porque no produce torea en torno de p¡). Al resolver para la incógnita F2' se encuentra F2

=

5.0 X 106 N

Las cargas sobre los pilares (los empujes hacia abajo del puente sobre los pilares) son opuestas a las fuerzas F¡ y F2 (estos empujes hacia abajo del puente sobre los pilares son las fuerzas de reacción correspondientes al empuje hacia arriba de los pilares sobre el puente). Por tanto, las magnitudes de las cargas son 4.7 X 106 N Y5.0 X 106 ,respectivamente. COMENTARIO: Note que la fuerza vertical hacia arriba neta que ejercen los pilares es F¡ + F2 = 9.7 X 106 N. Es fácil comprobar que esto coincide con la suma de los pesos del puente y de la locomotora; por tanto, la condición para fuerza vertical neta cero, como se requiere para equilibrio estático de traslación, se satisface automáticamente. Este resultado. automático para el equilibrio de fuerzas verticales surge porque se usó la condición para equilibrio de rotación dos veces. En vez de ello, podría usar la condición para equilibrio de rotación una vez [ecuación (14.4)] y luego evaluar F2 mediante la condición para equilibrio de traslación [ecuación (14.1)]. Entonces el resultado para torea neta cero en torno del punto p¡ surgiría automáticamente. Observe también que, en lugar de tomar al puente como el cuerpo cuyo equilibrio se investiga, pudo haber considerado alpuente más la locomotora como un cuerpo combinado. El empuje hacia abajo de la locomotora sobre el puente no sería

14.2

435

Ejemplos de equilibrio estático

entonces una fuerza externa y no 'se incluiría en el diagrama de "cuerpo libre". En su lugar, el peso de la locomotora sería una de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo combinado y se habría incluido en el diagrama de "cuerpo libre". Por tanto, los vectores en la figura 14.6b permanecerían invariables.

Una gran grúa de torre tiene un contrapeso fijo de 100 ton en el extremo de su brazo corto, y también un contrapeso móvil de 120 ton. La longitud del brazo corto es de 56 m y la del brazo largo es de 84 m; la masa total de ambos brazos es de 100 ton y se distribuye uniformemente a lo largo de su longitud combinada. La grúa levanta una carga de 80 ton que cuelga en el extremo del brazo largo. ¿Dónde debe colocar el operador de la grúa el contrapeso móvil para lograr un equilibrio perfecto de la grúa, es decir, una condición de torea cero (externa)?

EJEMPLO 2

Conceptos

-.,,contexto

Para encontrar la posición del contrapeso, considere la ~56 m rX~"'~-4-m-!~--84 m-------,">I condición de equilibrio para toda la grúa (de manera alternativa, podría considerar la parte superior de la grúa; es decir, los brazos y los tirantes que los mantienen rígidos). La figura 14.7 es un diagrama de I I "cuerpo libre" para la grúa. Las fuerzas externas son la fuerza de soporte de la base y los pesos de la carga, la torre, los brazos horizontales, el El centro de masa contrapeso fijo yel contrapeso móvil. El peso de los brazos actúa en el de los brazos está centro de masa de los brazos combinados. La longitud total de estos en el punto medio. brazos es de 84 m + 56 m = 140 m y el centro de masa está en el punto medio, a 70 m de cada extremo, es decir, 14 m desde la línea La posición del contracentral de la torre. peso móvil puede variar Wtorre Para examinar el equilibrio de toreas, es conveniente seleccionar el para equilibrar la carga. punto P en la intersección de los brazos y la línea media de la torre. Entonces todas las fuerzas actúan en ángulos rectos a la línea de P al punto de aplicación de la fuerza y la torea para cada una es simplemente el producto de la distancia y la fuerza. El peso de la torre y la fuerza de soporte de la base no generan toreas, pues actúan a distancia cero del eje. FIGURA 14.7 Diagrama de "cuerpo La condición de equilibrio para la suma de las toreas generadas por los pesos de la libre" de una grúa de torre. La grúa está carga, los brazos, el contrapeso fijo y el contrapeso móvil es equilibrada, así que la base no ejerce torea. SOLUCiÓN:

Tearga

+ Tbrazos + Tfijo + T móvil

=

(14.5)

O

Al sustituir los valores de los pesos y brazos, se tiene - 84 m X 80 t + x X 120 t

X

g - 14 m

X

g

=

X

100 t

X

g + 56 m

X

100 t

X

g

O

donde de nuevo se eligió considerar como positivas las toreas en contra de las manecillas del reloj y como negativas las toreas a favor de las manecillas del reloj. Cuando se resuelve esta ecuación para x, se obtiene x= =

84 m

X

80 t

+ 14 m

X

100 t - 56 m

X

100 t

120 t 21 m

El brazo corto de la grúa de torre se mantiene en su lugar mediante un tirante de acero estirado diagonalmente desde lo alto de la torre hasta el extremo del brazo, como se muestra en la figura 14.8a. La parte superior de la torre tiene 30 m de alto y el brazo corto tiene una longitud de 56 m y una masa de 40 toneladas métricas. La unión del brazo y la torre es un poco flexible, así que la unión actúa como pivote. Suponga que los contrapesos se colocan en

EJEMPLO 3

Conceptos

-.,,contexto

436

CAPíTULO14

Estática y elasticidad

el brazo corto, como en el ejemplo anterior: el contrapeso fijo de 100 toneladas métricas está en el extremo del brazo y el contrapeso móvil de 120 toneladas métricas está a una distancia de 21 m de la línea central. a) ¿Cuál es la tensión en el tirante? b) ¿Cuál es la fuerza que el brazo corto ejerce contra la torre en la unión?

a)

El extremo izquierdo del brazo corto se sostiene mediante un tirante diagonal ...

SOLUCiÓN: La figura 14.8b es un diagrama de "cuerpo libre" del brazo corto, que muestra todas las fuerzas externas que actúan sobre él. Estas fuerzas son el peso Wbrazo del brazo, los pesos de los contrapesos W fijo Y W móvil' la tensión T del tirante y la fuerza F que la torre ejerce sobre la unión. La fuerza F es igual y opuesta a la fuerza que el brazo corto ejerce contra la torre. El peso del brazo actúa en su centro de masa, a una distancia de 28 m de la línea central; el contrapeso móvil actúa a una distancia de 21 m; y el contrapeso fijo y la tensión actúan en el extremo del brazo corto, a una distancia de 56 m. a) Para encontrar la tensión T, es conveniente examinar el equilibrio de toreas en torno de un punto P que coincide con la unión. La fuerza F no genera torea alguna en torno de este punto, y por tanto la condición para el equilibrio de las toreas contendrá T como la única incógnita. El peso del brazo corto y los contrapesos actúan en ángulos rectos con la línea de P al punto de aplicación de la fuerza, de modo que la torea para cada una es el producto de la distancia al eje y la fuerza. A partir de la figura 14.8b, se ve que la tensión actúa a un ángulo Odado por

b) 1~----56m------;>1

tanO

30m

= --

=

56m

0.54

que corresponde a O = 28°. Con la misma convención de signos para la dirección de las toreas como en el ejemplo precedente, la condición del equilibrio para las toreas ejercidas por el peso del brazo, los contrapesos y la tensión es entonces 28 m X 40 t X g+ 21 m X 120 t - 56 m X T X sen 28° = O

Wfijo W

e)

móvil

Para encontrar la tensión T, examine en este caso el equilibrio de las toreas, pues la fuerza F ejercida por la torre no contribuye aquí.

X

g+ 56 m

X

100

t X

g

Puede resolverse esta ecuación para T,con el resultado 28 m X 40 t X g+ 21 m T= -----~~------~-------~

X

56 m =

351 t

=

351

X

X

120 t

X

g + 56 m

X

sen 28°

=

3.4

X

100 t

X

g

g 1000 kg

X

9.8 m/s2

106N

X

b) Para encontrar los componentes de la fuerza F (figura 14.8c), simplemente use las condicione para el equilibrio de traslación: la suma de los componentes horizontales de todas las fuerzas y la suma de los componentes verticales de todas las fuerzas deben ser cero cada una. Los pesos del brazo corto y los contrapesos tienen componentes verticales, pero no componentes horizontales. La fuerza de tensión tiene una componente horizontal Tcos Oy una componente vertical Tsen O. Por tanto 3.4 ... y se requiere que todas las fuerzas sumen cero (equilibrio de traslación) para determinar F.

FIGURA 14.8 a) Tirante de acero que soporta el brazo corto de la grúa de torre. b) Diagrama de "cuerpo libre" para el brazo corto de la grúa de torre. e) Las componentes x y y de las fuerzas.

X

106 N

X

cos 28°

+ Fx

=

O

y 3.4

X

106 N

X

sen 28° - 40 t

X

g - 120 t

X

g - 100 t

Cuando estas ecuaciones se resuelven para Fx Y Fy se encuentra

X

g +~

=

O

14.2

TÉCNICAS

PARA RESOLUCiÓN

Ejemplos de equilibrio estático

DE PROBLEMAS

EQUILIBRIO

2

A continuación, mencione todas las fuerzas externas que actúan sobre este cuerpo y muestre estas fuerzas en un diagrama de "cuerpo libre".

3

Si las fuerzas tienen diferentes direcciones, por lo general es mejor dibujar ejes coordenados sobre el diagrama y descomponer las fuerzas en componentes x y y.

4

Para cada componente, aplique la condición de equilibrio estático para fuerzas: la suma de las fuerzas es cero.

5 Elija una opción de eje de rotación, calcule la torea de cada fuerza en torno de este eje (T

=

RF sen e) y aplique

ESTÁTICO

la condición de equilibrio estático para toreas: la suma de las toreas es cero. Establezca y mantenga una convención de signos para toreas; por ejemplo, para un eje que apunta hacia el plano del papel, las toreas en contra de las manecillas del reloj como positivas y las toreas en la dirección de las manecillas del reloj como negativas.

A partir de los ejemplos precedentes, se ve que los pasos en la solución de un problema de estática recuerdan a los empleados en el capítulo 5. El primer paso es la selección del cuerpo que debe obedecer las condiciones de equilibrio. El cuerpo puede consistir de un genuino cuerpo rígido (por ejemplo, el puente del ejemplo 1), o consistir de varias piezas que actúan como un solo cuerpo rígido para los propósitos del problema (por ejemplo, el puente más la locomotora en el ejemplo 1). Con frecuencia es útil marcar la frontera del cuerpo rígido seleccionado con un color distintivo o con una línea gruesa; esto hace más fácil reconocer cuáles fuerzas son externas y cuáles internas.

6

Como se mencionó en la sección 14.1, cualquier línea puede considerarse como un eje de rotación; y la torea en torno de cada uno de tales ejes debe ser cero. Es posible desaparecer de la ecuación una fuerza desconocida si coloca el eje de rotación en el punto de acción o en la línea de acción de esta fuerza, de modo que esta fuerza tenga, desde el eje, brazo cero. Más aún, como se ilustra en el ejemplo 1, a veces es conveniente considerar dos ejes de rotación diferentes y examinar por separado las condiciones de equilibrio de las toreas para cada uno de estos ejes.

7

Como se recomienda en el capítulo 2, por lo general es mejor resolver algebraicamente las ecuaciones para las cantidades desconocidas y sustituir números para las cantidades conocidas como un último paso. Pero si las ecuaciones son confusas, con un desorden de símbolos algebraicos, puede ser conveniente sustituir algunos de los números antes de proceder con la solución de las ecuaciones.

y Fy

=

437

9.5 X 105 N

Los componentes x y y de la fuerza ejercida por el brazo corto sobre la torre son, por tanto, +3.0 X 106 N Y -9.5 X 105 N,respectivamente.

El fondo de una escalera descansa sobre el suelo y la parte superior descansa contra una pared (véase la figura 14.9a). Si el coeficiente de fricción estática entre la escalera y el suelo es ¡.ts = 0.40 Yla pared no tiene fricción, ¿cuál es el ángulo máximo que la escalera puede formar con la pared sin deslizar?

EJEMPLO 4

SOLUCiÓN: La figura 14.9b muestra el diagrama de "cuerpo libre" para la escaler~, con todas las fuerzas. El peso de la escalera actúa hacia abajo en el centro de masa. Si la escalera está a punto de deslizarse, la fuerza de fricción en el suelo tiene la magnitud máxima para una fuerza de fricción estática, es decir,

(14.6) Si considera las toreas en torno del punto de contacto con el suelo, la fuerza normal NI y la fuerza de fricción f no ejercen toreas en torno de este punto, pues sus brazos respecto al eje son cero. El peso w = mg que actúa en el centro de masa

438

CAPíTULO14

Estática

y

elasticidad

a)

b)

y,-----------------~ La pared sin fricción sólo puede ejercer una fuerza normal.

El suelo ejerce tanto una fuerza normal como una fuerza de fricción.

o L---·._~J-----____l~x

FIGURA 14.9 a) Escalera inclinada contra una pared. b) Diagrama de "cuerpo libre" para la escalera.

ejerce una torea en contra de las manecillas del reloj de magnitud (112) X mg X sen e y la fuerza normal N2 de la pared ejerce una torea en el sentido de las manecillas del reloj de magnitud 1 X N2 X sen 0', donde O' es el ángulo entre la escalera y la fuerza normal (véase la figura 14.9b); dado que O' = 90° el seno de O' es igual al coseno de e y la torea es igual a 1 X N2 X cos e. Para el equilibrio, la suma de estas toreas debe ser cero,

e,

1

+ "2mgsen

e-

IN2 cos

e

=

o

(14.7)

o, de manera equivalente,

1 "2mg sen

e

Se juntan los factores que dependen de entre ~ mg cos e, de modo que

o, dado que sen

el cos e =

tan

sen

e

cos

e

tan

e

e

(14.8)

e al dividir

ambos lados de esta ecuación

lS.

=

cos

2N2 mg

e, 2N2 mg

(14.9)

= --

Para evaluar el ángulo e necesitará determinar la incógnita N2. Para esto, use la condición para equilibrio de traslación: las fuerzas vertical y horizontal netas deben ser cero, o NI - mg N2 -

J-LsNI

=

(14.10)

O

=

O

(14.11)

A partir de la primera de estas ecuaciones, NI = mg; por tanto, de la segunda ecuación,N2 = J-Lsmg. Al sustituir esto en la expresión (14.9) para la tangente del ángulo e, se obtiene el resultado final

14.2

tan () =

2 JL,mg ---

mg

439

Ejemplos de equilibrio estático

= 2JL s

(14.12)

Con JL, = 0.40, esto produce tan () = 0.80. Con una calculadora, se encuentra que el ángulo con esta tangente es

Para cualquier ángulo mayor que esto, es imposible el equilibrio, pues la máxima fuerza de fricción no es suficientemente grande para evitar el deslizamiento de la escalera.

a)

Una caja rectangular uniforme de 2.0 m de alto, 1.0 m de ancho y 1.0 m de profundidad está sobre un suelo plano. Usted empuja el extremo superior de la caja hacia un lado y luego lo suelta (véase la figura 14.10a). ¿A qué ángulo de liberación la caja se derrumbará sobre su lado?

EJEMPLO 5

Las fuerzas sobre la caja cuando se libera son como se muestra en el diagrama de "cuerpo libre" de la figura 14.10b. Tanto la fuerza normal N como la fuerza de fricción f actúan en la esquina inferior, que es el único punto de contacto de la caja con el suelo. El peso actúa en el centro de masa, que está en el centro de la caja. Dado que la caja gira en torno de la esquina inferior, considere la torea en torno de este punto. La única fuerza que produce una torea en torno de la esquina inferior es el peso. El peso actúa en el centro de masa; para una caja uniforme, éste se encuentra en el centro de la caja. La torea que ejerce el peso puede expresarse como d X Mg, donde d es la distancia perpendicular desde la esquina inferior hasta la línea vertical a través del centro de masa (véase la figura 14.10b). Esta torea produce rotación en contra de las manecillas del reloj si el centro de masa está a la izquierda de la esquina inferior y produce rotación en contra de las manecillas del reloj si está a la derecha de la esquina inferior. Esto significa que, en el primer caso, la caja regresa a su posición inicial, y, en el último caso, se derrumba sobre su lado. Por tanto, el ángulo crítico más allá del que la caja se derrumbará corresponde al alineamiento vertical de la esquina inferior y del centro de la caja (véase la figura 14.10c). Este ángulo crítico es igual al ángulo entre el lado de la caja y la diagonal. La tangente de este ángulo es la razón del ancho y la altura de la caja, SOLUCiÓN:

tan () =

0.50 m 1.0 m

--

=

b)

El peso actúa en el centro de masa.

f Considere torea neta en torno de esta esquina, donde las fuerzas de fricción y normal no ejercen torea.

e)

0.50

Con la calculadora se encuentra que el ángulo crítico es entonces

En esteejemplo se encontró que la caja comienza a derrumbarse si su inclinación es tal que el centro de masa está verticalmente alineado con la esquina inferior. Éste es un ejemplo especial de la regla general de que un cuerpo rígido en reposo sobre una superficie (plana o de otro tipo) se vuelve inestable cuando su centro de masa está verticalmente por arriba del punto de soporte más exterior,

COMENTARIO:

Una caja rectangular uniforme de 2.0 m de alto, 1.0 m de ancho y 1.0 m de profundidad está de pie sobre la plataforma de un camión (figura 14.11a). ¿Cuál es la máxima aceleración hacia adelante del camión que puede soportar la caja sin caer? Suponga que el coeficiente de fricción estática es lo suficientemente grande como para que la caja caiga antes de deslizarse.

EJEMPLO 6

Para () más pequeño, e! peso produce una torea en contra de las manecillas de! reloj.

En el ángulo crítico, el peso no ejerce torea.

FIGURA 14.10 a) Caja de pie parada sobre un borde. b) Diagrama de "cuerpo libre" para la caja. e) Diagrama de "cuerpo libre" si la caja se inclina al ángulo crítico. El centro de masa está directamente arriba del borde.

1

440

CAPíTULO14 Estática y elasticidad

SOLUCiÓN: Estrictamente, éste no es un problema de estática, pues el movimiento de traslación es acelerado; sin embargo, el movimiento de rotación involucra una pregunta de equilibrio y puede tratarse con los métodos de esta sección. Bajo las condiciones del problema, las fuerzas sobre la caja son como se muestra en la figura 14.11b. Tanto la fuerza normal N como la fuerza de fricción f actúan en la esquina trasera (cuando la caja está a punto de caer, hace contacto con la plataforma sólo a lo largo del borde inferior trasero). El peso actúa en el centro de masa; para una caja uniforme, éste se encuentra en el centro de la caja, a 1.0 m arriba y 0.50 m enfrente de la esquina. Puesto que la caja está en movimiento acelerado, debe tener cuidado acerca de la elección del eje para el cálculo de la torea. Como se mencionó antes, en el ejemplo 6 del capítulo 13, para un cuerpo acelerado, la ecuación de movimiento de rotación (y la condición de equilibrio de torea cero) sólo es válida para un eje a través del centro de masa. Las fuerzas que producen una torea en torno del centro de masa son N y f y cada torea T = RF sen {}puede expresarse como el producto de la fuerza y el correspondiente brazo, R sen {};los brazos son las distancias perpendiculares que se muestran en la figura 14.11b. Para un eje que apunta hacia la página, la fuerza normal tiende a producir rotación en la dirección de las manecillas del reloj y la fuerza de fricción lo hace en contra de las manecillas del reloj; por tanto, la condición de torea cero es

a)

Para un cuerpo que acelera, debe usar un eje a través del centro de masa para aplicar condiciones de equilibrio de torea cero. b)

Cuando la caja comienza a caer, las fuerzas de fricción y normal actúan en la esquina trasera.

w

N \\.50

- 0.50 m

X

N + 1.0 m

X

f=

(14.13)

O

m

A partir de las ecuaciones para los movimientos de traslación horizontal y vertical, pueden obtenerse expresiones para f y N. La aceleración horizontal es a y la aceleración vertical es cero; en consecuencia, las componentes horizontal y vertical de la segunda ley de ewton son

brazo para

FIGURA 14.11 a) Caja sobre un camión que acelera. b) Diagrama de "cuerpo libre" para la caja.

f= ma N- mg

=

O

Al sustituir estas expresiones para f y N en la ecuación (14.13), se obtiene 0.50

m X

mg - 1.0

m X

ma

=

O

de donde a

=

0.50g

=

4.9 m/s2

Si la aceleración supera este valor, falla el equilibrio de rotación, y la caja cae.

~

Revisión 14.2

¿Por qué es peligroso subir por una escalera que se inclina contra un edificio a un ángulo grande con la vertical? ¿Por qué es peligroso subir por una escalera que se inclina contra un edificio a un ángulo pequeño con la vertical? PREGUNTA

1:

PREGUNTA 2: Suponga que en el ejemplo 5 toda la masa de la caja se concentra en el punto medio de la superficie inferior, de modo que el centro de masa está en dicho punto medio. ¿Cuál es el ángulo crítico al que tal caja cae sobre su lado? PREGUNTA 3: Dos pesadas piezas de madera se inclinan una contra otra y forman un marco en A (véase la figura 14.12). Cualitativamente, ¿cómo varía con el ángulo la fuerza que una pieza de madera ejerce sobre la otra en la punta de la A?

FIGURA 14.12 Dos piezas de madera que forman un marco en A.

PREGUNTA 4: Usted sostiene estacionariamente una caña de pescar, con una mano adelante, que empuja hacia arriba para soportar Ia caña y la otra mano más atrás, que empuja hacia abajo para mantener torea neta cero. Si un pez comienza a jalar

14.3

Palancas y poleas

441

hacia abajo sobre el extremo lejano de la caña, entonces, para mantener el equilibrio, usted debe (A) Aumentar el empuje hacia arriba y reducir el empuje hacia abajo (B) Aumentar el empuje hacia arriba y aumentar el empuje hacia abajo (C) Aumentar el empuje hacia arriba y mantener igual el empuje hacia abajo

Las fuerzas de equilibrio están en razón inversa a la distancia desde el fulero.

14.3 PALANCAS Y POLEAS Una palanca consiste de una barra rígida que se balancea sobre un pivote (véase la figura 14.13). Si aplica una fuerza en el extremo largo, el extremo corto de la barra empuja contra una carga con una fuerza mayor. Por ende, la palanca permite levantar una carga mayor de la que podría levantar sólo con las manos. La relación entre las magnitudes de las fuerzas en los extremos sigue la condición para equilibrio estático de la palanca. La figura 14.13 muestra las fuerzas que actúan sobre la palanca: la fuerza F que se ejerce en un extremo, la fuerza F' que ejerce la carga en el otro extremo y la fuerza de soporte S que el pivote ejerce en el punto P. La torea neta en torno del punto pivote P debe ser cero. Dado que, para el arreglo que se muestra en la figura 14.13, las fuerzas en los extremos están en ángulos rectos a las distancias 1y l', la condición para la torea neta es FI- F'l'

=

O

(14.14)

de donde se encuentra F'

I

F

l'

(14.15)

Por la tercera ley de Newton, la fuerza que la carga ejerce sobre la palanca es igual en magnitud a la fuerza que la palanca ejerce sobre la carga (y de dirección opuesta). Por tanto, la ecuación (14.15) menciona la razón de las magnitudes de las fuerzas que uno ejerce y que ejerce la palanca. Estas fuerzas están en relación inversa de las distancias desde elpunto pivote. Para una palanca poderosa, debe tomar el brazo de palanca I tan largo como sea posible, y el brazo de palanca l' tan corto como sea posible. La razón F' /F de las magnitudes de la fuerza entregada por la palanca y la fuerza que uno debe aplicar se llama ventaja mecánica. Aparte de su aplicación en el levantamiento de cargas pesadas, el principio de la palanca encuentra aplicación en muchas herramientas de mano, como los alicates y las pinzas. Los mangos de estas herramientas son largos y los extremos operativos son cortos, lo que produce una mejora en la fuerza ejercida por la mano (véase la figura 14.14). Un caLa fuerza de la mano se aumenta por la razón de brestante manual simple también se apoya en el distancias desde el pivote. principio de la palanca. El mango del cabrestante es largo y el tambor del cabrestante, que actúa como el brazo de palanca corto, es pequeño (véase la figura 14.15). Entonces la fuerza que el cabrestante entrega a la soga unida al tambor es mayor que la fuerza que ejerce la mano al empujar sobre el mango. Los cabrestantes compuestos, que se usan para recortar velas en los botes de vela, tienen conjuntos internos de engranes que proporcionan una mayor ventaja mecánica; en esencia, tales cabrestantes compuestos escalonan un cabrestante dentro de otro, de modo que la razón de fuerza generada por un cabrestante se multiplica aún más FIGURA 14.14 Un par de pinzas por la razón de fuerza del otro. sirve como palancas.

Para comparar F y F', evalúe la torea en torno del punto de soporte.

FIGURA 14.13 Una palanca. Los vectores muestran las fuerzas que actúan sobre la palanca; F es el empuje, F' es el empuje de la carga y S es la fuerza de soporte del pivote. La fuerza que la palanca ejerce sobre la carga es de la misma magnitud que F' , pero de dirección opuesta.

ventaja mecánica de la palanca

La fuerza ejercida por la mano se aumenta por la razón de la longitud del mango al radio del tambor.

FIGURA 14.15

Un cabrestante manual.

442

Sobre el pie se ejercen fuerzas del suelo ...

FIGURA 14.16

CAPíTULO 14

Estática y elasticidad

En el cuerpo humano, muchos huesos juegan el papel de palancas que permiten a los músculos o grupos de músculos soportar o mover el cuerpo. Por ejemplo, la figura 14.16 muestra los huesos del pie; éstos actúan como palanca, articulad a en el tobillo. El extremo trasero de esta . palanca, en el talón, se une a los músculos de la pantorrilla mediante el ... del músculo de la pantorrilla ... tendón de Aquiles y el extremo frontal de la palanca está en contacto con el suelo, en la bola del pie. Cuando el músculo se contrae, gira el talón en torno del tobillo y presiona la bola del pie contra el suelo, lo que, por tanto, levanta todo el cuerpo sobre la punta del pie. Observe que el músculo se une al extremo corto de esta palanca: el músculo debe proporcionar una fuerza mayor que la fuerza generada en la bola del pie. A primera vista, parecería ventajoso instalar un espolón que se proyecte más lejos en el talón del pie y unir el tendón de Aquiles al extremo de Para rotar el pie en torno del tobillo, el músculo de la este espolón; pero esto requeriría que el músculo que se contrae se muepantorrilla debe aplicar una va a través de una distancia más larga. El músculo es bueno para produfuerza mayor que el suelo, cir grandes fuerzas, pero no tan bueno para contraerse a través de debido a su menor brazo de P momento para rotación en distancias largas, y la unión del tendón de Aquiles representa el mejor torno del talón. acomodo. En la mayoría de las palancas que se encuentran en el cuerpo humano, el músculo se une al extremo corto de la palanca. Los huesos del pie actúan como palanca. La ecuación (14.15) sólo es válida si las fuerzas se aplican en ángulos rectos con la palanca. Una ecuación similar es válida si las fuerzas se aplican en algún otro ángulo, pero en lugar de las longitudes 1 y l' de la palanca, debe sustituir las longitudes de los brazos de las fuerzas; es decir, las distancias perpendiculares entre el punto pivote y las líneas de acción de las fuerzas. Estos brazos juegan el papel de longitudes efectivas de la palanca.

Cuando usted se dobla para levantar algo del suelo, su columna vertebral actúa como una palanca pivoteada en el sacro (véase la figura 14.17). El peso del tronco jala hacia abajo sobre esta palanca y los músculos unidos a lo largo de la parte superior de la columna jalan hacia arriba. El arreglo real de los músculos es más complicado, pero para un modelo mecánico simple puede suponer que los músculos son equivalentes a una cuerda unida a la columna en un ángulo de aproximadamente 12° en un punto más allá del centro de masa (el otro extremo de la "cuerda" está unido a la pelvis). Suponga que la masa del tronco, incluidos cabeza y brazos, es de 48 kg Yque las dimensiones son las que se muestran

EJEMPLO 7

Suponga que los músculos de la espalda actúan aquí con una fuerza F.

La fuerza muscular F debe ser grande porque actúa con un brazo de palanca pequeño.

En el equilibrio, las toreas en torno de la pelvis del peso w y la fuerza muscular F deben sumar cero.

FIGURA 14.17 Diagrama de "cuerpo libre" para la columna vertebral que actúa como palanca. Las fuerzas sobre la columna son el peso w del tronco (incluido el peso de la columna), el jalón F de los músculos y el empuje P de la pelvis que actúa como pivote.

14.3

Palancas y poleas

443

en el diagrama. ¿Qyé fuerza deben ejercer los músculos para equilibrar el peso del tronco cuando se dobla horizontalmente? La figura 14.17 muestra un diagrama de "cuerpo libre" para la columna vertebral, con todas las fuerzas que actúan sobre ella. Dado que el peso w del tronco actúa en ángulo recto con la columna, el brazo de palanca para este peso es igual a la distancia! = 0.40 m entre el pivote y el centro de masa del tronco. El brazo de palanca para el músculo es la (pequeña) distancia l, que es igual a / = 0.47 m X sen 12° = 0.10 m. De acuerdo con la ecuación (14.15),la fuerza F ejercida por los músculos tiene entonces magnitud SOLUCiÓN:

F

t'

= -

/

=

F'

I' = -

/

w

=

t' -Mg /

0.40 m

= --

4.0 X 48 kg X 9.81 m/s2

0.10 m

=

X

Mg

=

4.0

X

Mg

1.9 X 103 N

Ésta es una fuerza muy grande, 4.0 veces mayor que el peso del tronco. Doblarse horizontalmente impone un esfuerzo severo sobre los músculos de la espalda. Más aún, pone un esfuerzo de compresión casi igual de grande sobre la columna vertebral, que la jala con fuerza contra el sacro. Los esfuerzos son incluso mayores si usted intenta levantar una carga del suelo mientras su cuerpo está doblado en esta posición. Para evitar daño a los músculos y a los discos lumbosacros, es mejor levantarse doblando las rodillas y mantener la columna vertebral vertical. COMENTARIO:

Con frecuencia se aplica una fuerza a una carga mediante una soga o cuerda flexible. Entonces, en ocasiones se usa una polea para cambiar la dirección de la cuerda o soga y la dirección de la fuerza ejercida sobre el cuerpo. Si la polea no tiene fricción, la tensión en cada punto de una soga flexible que pasa sobre la polea es la misma. Por ejemplo, si quiere levantar una carga con una soga que pase sobre una polea simple Para una polea simple, la unida al techo (véase la figura 14.18), la fuerza que debe ejercer sobre la soga tiene la fuerza ejercida por la mano misma magnitud que el peso de la carga. Por tanto, no hay ganancia de ventaja mecáy el peso de la carga tienen magnitud igual. nica en tal arreglo de una polea simple; el único beneficio es que permite jalar de manera más cómoda que si se intentara levantar la carga directamente. FIGURA 14.18 Una polea simple. Sin embargo, un arreglo de muchas poleas juntas, llamado polipasto, puede proporcionar una ganancia mayor de ventaja mecánica. Por ejemplo, considere el arreglo de tres poleas que se muestra en la figura 14.19a; los a) b) ejes de las dos poleas superiores están atornillados juntos y se unen mutuamente y a la tercera polea mediante una sola soga. Si los segmentos de soga que unen las poleas son paralelos y no hay fricción, entonPara este polipasto, la ces la ventaja mecánica de este arreglo es 3; es decir: tensión F en la soga sólo es las magnitudes de las fuerzas Fy F' están en la proun tercio de F' de la carga. La fuerza ejercida por porción de 1 a 3. Esto puede entenderse más fácilla mano es igual a la mente al dibujar el diagrama de "cuerpo libre" para la tensión en la soga. porción inferior del sistema de poleas, incluida la carga (figura 14.19b). En este diagrama, las tres sogas que se dirigen hacia arriba se cortaron y se sustituyeron por las fuerzas ejercidas sobre ellas por las porciones externas (superiores) de las sogas. Dado que la tensión es la misma en todas partes a lo largo de la soga,las fuerzas que jalan hacia arriba sobre cada uno F' de los extremos de las tres sogas que se muestran en el diagrama de "cuerpo libre" tienen la misma magnitud FIGURA 14.19 a) Polipasto. b) Diagrama de "cuerpo libre"para la porción Fy, por tanto, la fuerza neta hacia arriba es 3F. inferior del sistema de poleas.

444

CAPíTULO14 Estática y elasticidad

Los arreglos de polipasto tienen muchas aplicaciones prácticas. Por ejemplo, se usan para proporcionar tensión adecuada en los cables de conexión cable de conexión eléctrica aéreos para trenes y tranvías eléctricos (véase la figura 14.20); sin tal arreglo, los cables se pandearían en los días calurosos, cuando la expansión térmica aumenta su longitud, y se encogerían en exceso y acaso se romperían en los días fríos, cuando se contraen. Una causa común de las fallas eléctricas en las noches frías de invierno es el romLa masa que cuelga mantiene pimiento de las líneas de transmisión la tensión cuando el cable de conexión se expande o contrae. por la falta de poleas compensatorias. Otra aplicación práctica de los polipastos se encuentra en los dispositivos de tracción que se usan en los hospitales para inmovilizar y alinear huesos fracturados, en especial huesos de la pierna. Un arreglo común se muestra en la figura 14.21; aquí la polea aplicada a la pierna tiene el doble de la magnitud del peso unido al extremo inferior de la soga. Además, como en el caso de las líneas de transmisión, la tensión permanece constante incluso si la pierna se mueve. La ventaja mecánica proporcionada por las palancas, arreglos de poleas u otros dispositivos puede calcularse en una forma general y elegante al apelar a la ley de conservación de la energía. Una palanca simplemente transmite el trabajo que se suministra en un extremo, a la carga en el otro extremo. Esta igualdad de entrada de trabajo y salida de trabajo puede expresarse del modo siguiente

La tensión en el cable de conexión es el doble del peso de la masa que cuelga.

\

FIGURA 14.20 Polipasto usado para tensar líneas de transmisión eléctrica.

La tensión aplicada a la pierna es el doble del peso de la masa que cuelga.

FIGURA 14.21 Polipasto en un aparato de tracción para pierna fracturada.

La razón de los desplazamientos pequeños es igual a la razón de los brazos de palanca.

FIGURA 14.22 La rotación de la palanca por un ángulo pequeño produce los desplazamientos I1x y I1x' de los extremos.

F' I1x'

= F I1x

(14.16)

donde I1x es el desplazamiento de la mano y I1x' el desplazamiento de la carga. De acuerdo con esta ecuación, las fuerzas F' y F están en proporción inversa a los desplazamientos,

F'

D.x

F

D.x'

(14.17)

Considere ahora la rotación de la palanca por un ángulo pequeño (véase la figura 14.22). Dado que los dos triángulos incluidos entre las posiciones inicial y final de la palanca son similares, las distancias I1x y D.x' están en la misma proporción que los brazos de palanca Iy 1'; por tanto, inmediatamente se reconoce de la ecuación (14.17) que la ventaja mecánica de la palanca es l/l'. Del mismo modo, de inmediato se reconoce de la ecuación (14.17) que la ventaja mecánica del arreglo de poleas que se muestra en la figura 14.19 es 3, pues siempre que la mano jale una longitud D.x de soga por la polea superior, la carga se moverá hacia arriba por una distancia de sólo I1x/3.

~

Revisión 14.3

PREGUNTA 1: La figura 14.23 muestra dos formas de usar una palanca. ¿Cuál tiene la mayor ventaja mecánica? PREGUNTA 2: ¿La ecuación (14.15) para la razón de las fuerzas Fy F' sobre una palanca es válida si una o ambas fuerzas no son perpendiculares a la palanca?

Suponga que las poleas en un polipasto son de diferente tamaño. ¿Esto afecta a la ventaja mecánica?

PREGUNTA 3:

14.4

445

Elasticidad de materiales

a)

b)

FIGURA 14.23 Dos formas de usar una palanca.

PREGUNTA 4: Para levantar una roca de 100 kg se usa una palanca. La distancia desde la roca hasta el pivote es aproximadamente un décimo de la distancia desde el pivote hasta el mango. Si la roca tiene una masa de 100 kg, la fuerza hacia abajo en el mango, necesaria para levantar la roca, es aproximadamente:

(A) 1 N

(B) 10 N

(C) 100 N

(D) 1000 N

14.4 ELASTICIDAD DE MATERIALES

ti. F

En los ejemplos de puentes, grúas de torre, etc., se supone que los cuerpos La fuerza jala sobre sobre los que actúan las fuerzas son rígidos; es decir, no se deforman. Aunun extremo del cuerpo. A que los cuerpos sólidos, como las barras o bloques de acero, son casi rígiLa deformación dos, no son rígidos de manera exacta y se deformarán una cantidad notable ,mocio"","". si se les aplica una fuerza suficientemente grande. Una barra sólida puede considerarse como un resorte muy rígido. Si la fuerza es muy pequeña, este "resorte" sólo sufrirá una deformación insignificante, pero si la fuerza es L grande, sufrirá una deformación notable. Siempre que la fuerza y la deformación permanezcan dentro de ciertos límites, la deformación de un cuerpo sólido es elástica, lo que significa que el cuerpo regresa a suforma original una El otro extremo vez que lafuerza deja de actuar. Tales deformaciones elásticas de un cuerpo se mantiene fijo. sólido por lo general obedecen la ley de Hooke: la deformación es proporcional a la fuerza. Pero la constante de proporcionalidad es pequeña, lo que da una pequeña deformación a menos que la fuerza sea grande. La correspondiente constante de resorte es por tanto muy grande, lo que significa FIGURA 14.24 La tensión aplicada al extremo de un que una deformación apreciable requiere una gran fuerza. bloque de material causa elongación. Un bloque sólido de material puede sufrir varios tipos de deformación, dependiendo de cómo se aplique la fuerza. Si un extremo del cuerpo se mantiene fijo y la fuerza jala sobre el otro extremo, la deformación es una simple elongación del cuerpo (véase la figura 14.24). Si un lado del cuerpo se mantiene fijo y la fuerza empuja tangencialmente a lo largo del otro lado, entonces la deformación es un corte, que cambia la forma del cuerpo de un paralelepípedo rectangular a un

r~::: .l-- ~//'" -¡-:~-;,-,

446

CAPíTULO14

La fuerza empuja tangencialmente a lo largo de un lado. a)

La defor-

FIGURA 14.25

a) La fuerza tangencial aplicada aliado de un bloque de material causa corte. b) Cuando tal fuerza tangencial se aplica a la cubierta de un libro, las páginas se deslizan una sobre otra.

elongoción y módulo de Young

Estática y elasticidad

paralelepípedo romboidal (véase la figura 14.25a). Durante esta deformación, las capas paralelas del cuerpo se deslizan unas con respecto de otras tal como las páginas de un libro se deslizan unas con respecto a otras cuando se empuja a 10 largo de su cubierta (véase la figura 14.25b). Si la fuerza se aplica desde todos los lados simultáneamente, al sujetar al cuerpo a la presión de un fluido en el que se sumerge el cuerpo, entonces la deformación es una compresión del volumen del cuerpo, sin cambio alguno en la forma geométrica (véase la figura 14.26). En todos estos casos, la deformación fraccional, o la deformación porcentual, es directamente proporcional a lafuerza aplicada e inversa mente proporcional al área sobre la que se distribuye la fuerza. Por ejemplo, si una fuerza determinada produce una elongación de 1% cuando jala sobre el extremo de un bloque, entonces la misma fuerza que jala sobre el extremo de un bloque de, por ejemplo, el doble de área transversal, producirá una elongación de ~%. Esto puede entenderse fácilmente si piensa en el bloque como constituido por hileras paralelas de átomos ligados mediante resortes, que representan las fuerzas interatómicas que mantienen a los átomos en sus lugares (véase la figura 14.27). Cuando se jala en el extremo del bloque con una fuerza determinada, los resortes interatómicos se estiran cierta cantidad; y cuando se jala sobre un bloque del doble de área transversal, se tiene que estirar el doble de resortes y, por tanto, la fuerza que actúa sobre cada resorte sólo es la mitad de grande y produce sólo la mitad de la elongación en cada resorte. Más aún, ya que la fuerza aplicada al extremo de una hilera de átomos se comunica a todos los resortes interatómicos en dicha hilera, una fuerza determinada produce una elongación dada en cada resorte en una hilera. La elongación neta del bloque es la suma de las elongaciones de todos los resortes interatómicos en la hilera y por tanto la elongación fraccional del bloque es la misma que la elongación fraccional de cada resorte, sin importar la longitud global del bloque. Por ejemplo, si un bloque se elonga por 0.1 mm cuando se sujeta a una fuerza determinada, entonces un bloque de, por ejemplo, el doble de longitud se elongará por 0.2 mm cuando se sujete a la misma fuerza. Para expresar desde el punto de vista matemático las relaciones entre elongación, fuerza y área, considere un bloque de longitud inicial L y área transversal A. Si una fuerza F jala sobre el extremo de este bloque, la elongación es t:.L y la elongación fraccional es t:.L/ L. Esta elongación fraccional es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional al área A:

s:

1F

L

YA

(14.18)

Aquí la cantidad Yes la constante de proporcionalidad. En la ecuación (14.18), esta constante se escribió como l/Y, así que divide el lado derecho, en lugar de multiplicarlo (esto es análogo a escribir la ley de Hooke para un resorte como t:.x = (l/k)F, donde t:.x es la elongación producida por una fuerza aplicada F). En consecuencia, un mate-

Si la fuerza que jala sobre el extremo se distribuye sobre un área más grande, necesitan estirarse más resortes y ello dará por resultado menor deformación.

FIGURA 14.26 La presión aplicada a todos los lados de un bloque de material causa compresión.

FIGURA 14.27 Microscópicamente, un bloque de material sólido puede considerarse como una hilera de átomos unidos mediante resortes. Los resortes se estiran cuando al bloque se le aplica una tensión.

14.4

447

Elasticidad de materiales

MÓDULOS ElÁSTICOS DE ALGUNOS MATERIALES

MATERIAL

MÓDULO DE CORTE

MÓDULO DE YOUNG

Acero

22

Hierro fundido

15

X

1010 N/m2

8.3 6.0

X

1010 N/m2

MÓDULO VOLUMÉTRICO 16

X

9.0

3.5

6.0

Aluminio

7.0

2.5

7.8

Hueso (largo)

3.2

1.2

3.1

Concreto

2

Plomo

1.6

0.6

4.1

Nylon

0.36

0.12

0.59

Glicol

0.27

Agua

0.22 9.7(máx)

3.1

/m2

11

Latón

Cuarzo

1010

3.6

rial rígido, como el acero, que se elonga sólo por una pequeña cantidad tiene un gran valor de Y La constante Y se llama módulo de Young. La tabla 14.1 muestra valores de módulos de Young para algunos materiales sólidos. Observe que, si en lugar de ejercer un jalón sobre el extremo del bloque se ejerce un empuje, entonces F en la ecuación (14.18) debe considerarse como negativa, y el cambio tlL de la longitud será entonces igualmente negativo: el bloque se vuelve más corto. En el lenguaje de la ingeniería, la deformación fraccional por lo general se llama deformación y la fuerza por unidad de área se llama esfuerzo. En esta terminología, la ecuación (14.18) simplemente afirma que la deformación es proporcional al esfuerzo. Esta proporcionalidad de deformación y esfuerzo también es válida para deformaciones de corte y deformaciones compresivas, siempre que se adopte una definición adecuada de deformación, o de deformación fraccional, para estos casos. Para corte, la deformación fraccional se define como la razón del desplazamiento lateral tlx del borde del bloque a la altura h del bloque (véase la figura 14.25a). Esta deformación fraccional es directamente proporcional a la fuerza Fe inversamente proporcional al área A (observe que el área relevante A ahora es el área superior del bloque, donde se aplica la fuerza): tlx

1F

h

SA

(14.19)

corte y módulo de corte

Aquí, la constante de proporcionalidad se llama módulo de corte. La tabla 14.1 incluye valores de módulos de corte de sólidos. Para compresión, la deformación fraccional se define como la razón del cambio tl V . del volumen al volumen inicial y esta deformación fraccional es, de nuevo, proporcional a la fuerza F que presiona sobre cada cara del bloque e inversamente proporcional al área A de dicha cara: tlV

1F

V

EA

(14.20)

En esta ecuación, el signo menos indica que tl Ves negativo; es decir, el volumen disminuye. La constante de proporcionalidad E en la ecuación se llama módulo volumétrico.

compresión y módulo volumétrico

448

CAPíTULO 14

Estática y elasticidad

La tabla 14.1 incluye valores de módulos volumétricos para sólidos. Esta tabla también incluye valores de módulos volumétricos para algunos líquidos. La fuerza por unidad de área, F/A, también se conoce como presión: [presión]

presión

=

AF

(14.21)

La ecuación (14.20) es igualmente válida para sólidos y para líquidos: cuando se aprieta . un líquido por todos lados, sufrirá una compresión. Observe que la tabla 14.1 no incluye valores de módulos de Young y de corte para líquidos. Un líquido no puede soportar elongación y esfuerzo de corte: puede elongarse o cortar un "bloque" de líquido tanto como quiera sin tener que ejercer una fuerza significativa.

Conceptos

-.,,contexto

El cable de levantamiento de una grúa de torre está hecho de acero, con un diámetro de 5.0 cm. La longitud de este cable, desde el suelo hasta el brazo horizontal, a través del brazo horizontal y hacia la carga, mide 160 m (figura 14.28). ¿Por cuánto se estira este cable, en exceso a su longitud inicial, cuando lleva una carga de 60 ton?

EJEMPLO

8

El cable se estira debido a la carga.

FIGURA 14.28 Elongación del cable de una grúa de torre.

SOLUCiÓN: El área transversal del cable es 2

A =

7Tr

=

7T X

(0.025

m?

m2

= 2.0

X

10-3

2.9

X

10 N/m

y la fuerza por unidad de área es F -

A

(60000 kg =

2.0

X

X

9.81 m/s'')

10-

3

8 =

2

m

2

Dado que se trata de una elongación, el módulo elástico relevante es el módulo de Young. De acuerdo con la tabla 14.1, el módulo de Young del acero es 22 X 1010 N/m2. Por tanto, la ecuación (14.18) produce !1L

1F

L

YA

1

---1:-::-0------=-2 22 X 10 N/m

X

2.9

X

8

10 N/m

= 1.3 X 10-3

El cambio de longitud es entonces !1L

=

1.3 X 10-3 X L

=

0.21 m

=

1.3 X 10-3 X 160 m

2

------_._------- ........•

14.4

Elasticidad de materiales

449

¿:

Demuestre que la tensión en la correa,es

T

= we-¡L,e

\

como función del ángulo de contacto (figura 14.55). b)

Demuestre que la torca de fricción neta que la correa ejerce sobre el volante es T =

e)

húmero

wR (1 -

e -21T¡L,)

radio-

b)

Demuestre que la potencia disipada por la fricción es

P

=

wRw (1 -

e-21T¡L,)

1•

wl ,1

I~I,

5.5 cm

30cm

FIGURA 14.56 El antebrazo como palanca.

w

FIGURA 14.55 Correa y volante.

2500N

•

14.3 Palancas y poleas 49. El antebrazo humano (incluida la mano) puede considerarse como una palanca pivoteada en la articulación del codo y que se jala hacia arriba mediante el tendón del bíceps (véase la figura 14.56a). Las dimensiones de esta palanca están en la figura 14.56b. Suponga que una carga de 25 kg descansa en la mano. ¿Qyé fuerza hacia arriba debe ejercer el bíceps para mantener horizontal el antebrazo? ¿Cuál es la fuerza hacia abajo en la articulación del codo? Ignore el peso del antebrazo. 50. Repita el problema anterior si, en lugar de estar vertical, el brazo se inclina, de modo que forma un ángulo de 135° con el antebrazo (horizontal). 51. Un cabrestante manual simple consiste de un tambor de 4.0 cm de radio al que se une una manija d 25 cm de radio (véase la figura 14.57). Cuando usted gira la manija, la soga se enrolla en el tambor y jala la carga. Suponga que la carga jalada por la soga es de 2500 N. ¿Qyé fuerza debe ejercer sobre la manija para sostener esta carga? 52. El mango de una palanca de hierro mide 60 cm de largo; el extremo corto mide 4.0 cm desde el doblez, que actúa como el

FIGURA 14.57 Cabrestante manual. fulero. Si un hombre de 75 kg se inclina sobre el mango con todo su peso, ¿cuánta masa puede levantar en el extremo corto? 53. Una mujer de 60 kg se sienta a 80 cm del fulero de un subibaja de 4.0 m de largo. La hija de la mujer jala hacia abajo sobre el otro extremo del subibaja. ¿Qyé fuerza mínima debe aplicar la niña para mantener el extremo del subibaja donde está su madre arriba del suelo? 54. Los dedos aplican una fuerza de 30 N en el mango de un par de tijeras, a 4.0 cm del punto bisagra. ¿Qyé fuerza está disponible para cortar cuando el objeto que se va a cortar se coloca en el extremo lejano de las tijeras, a 12 cm del punto bisagra? ¿Qyé fuerza está disponible para cortar cuando el objeto se coloca tan cerca del punto bisagra como es posible, a una distancia de 1.0 cm? 55. Una microbalanza de laboratorio tiene dos platos para pesar, uno que cuelga 10 veces más lejos del fulero que el otro. Cuando una masa desconocida se coloca en el plato interior, la mi-

-----------

459

Problemas

crobalanza puede medir cambios en masa tan pequeños como 100 nanogramos (1.0 X 10-7 g) y puede medir masas de hasta 2.0 miligramos. ¿Cuál esperaría que fuera la resolución y la carga máxima para el plato exterior? 56. Un hombre de 73 kg está sostenido sobre un pie y descansa todo su peso sobre la bola del pie. Como se describió en la sección 14.3, los huesos del pie juegan el papel de palanca. El extremo corto de la palanca (al talón) mide 5.0 cm y el extremo largo (a la bola del pie) 14 cm. Calcule la fuerza ejercida por el tendón de Aquiles y la fuerza en el tobillo.

57. Un montasacos de cable consiste de cuatro poleas ensambladas en dos pares con tirantes rígidos, con una soga enrollada alrededor, como se muestra en la figura 14.58. Una carga de 300 kg cuelga del par inferior de poleas. ¿Q¡é tensión debe aplicar a la soga para sostener la carga estacionaria? Trate las poleas y la soga como sin masa e ignore cualquier fricción en las poleas.

T

sobre la soga, paralelo a la rampa. ¿Cuál es la fuerza que la soga ejerce sobre el barril? ¿Cuál es la ventaja mecánica de la tiravira? 59. Considere el molinete diferen.cial que se ilustra en la figura 14.30. Calcule qué torea en el sentido de las manecillas del reloj debe aplicarse a la manivela para levantar una carga de masa m. ¿Q¡é fuerza tangencial debe ejercerse sobre la manivela? ¿Cuál es la ventaja mecánica de este molinete? 60. Diseñe un polipasto con una ventaja mecánica de 4 y otro con una ventaja mecánica de 5. Si usted conecta estos dos arreglos en serie, ¿qué ventaja mecánica obtiene? *61. La figura 14.60 muestra un corta tornillos compuesto. Si las dimensiones son las indicadas en esta figura, ¿cuál es la ventaja mecánica? F'

F

~10

FIGURA 14.60

cm---?/

Cortatornillos

compuesto.

*62. El tambor de un cabrestante está rígidamente

FIGURA 14.58 Montasacos de cable.

unido a un en-

grane concéntrico grande, que es impulsado por un engrane pequeño unido a una manivela. Las dimensiones del tambor, los engranes y la manivela se dan en la figura 14.61. ¿Cuál es la ventaja mecánica de este cabrestante engranado?

58. Una tiravira es un dispositivo simple que usan los trabajadores para elevar o bajar un barril o algún otro objeto cilíndrico a lo largo de una rampa. Consiste de un lazo de soga enrollado alrededor del barril (véase la figura 14.59). Un extremo de la soga se

5.0 cm

f

amarra a la parte superior de la rampa y el trabajador jala el otro extremo. Suponga que el trabajador ejerce un jalón de 500 N

25 cm

J FIGURA 14.61

Cabrestante

engranado.

*63. El tornillo de banco tiene un paso de 4.0 mm; es decir, avanza 4.0 mm cuando da una vuelta completa. El mango del tornillo de banco mide 25 cm de largo, desde el tornillo hasta el extreFIGURA 14.59 una rampa.

Tiravira utilizada para mover un barril sobre

mo del mango. ¿Cuál es la ventaja mecánica cuando usted empuja horizontalmente sobre el extremo del mango?

460

CAPíTULO14 Estática y elasticidad

*64. Un gato de tijera tiene las dimensiones que se muestran en la figura 14.62. El tornillo del gato tiene un paso de 5.0 mm (como se estableció en el problema anterior, ésta es la distancia que el tornillo avanza cuando da una vuelta completa). Suponga que-el gato de tijera está parcialmente extendido, con un ángulo de 55° entre sus lados superiores. ¿Cuál es la ventaja mecánica proporcionada por el gato?

su extremo inferior. ¿En cuánto se estira esta cuerda, en exceso de su longitud inicial? 68. Una cuerda elástica mide 5.0 m de largo y 1.0 cm de diámetro y actúa como resorte, con constante de resorte de 70 N/m. ¿Cuál es el módulo de Young para este material? 69. La cuerda de piano descrita en el problema 67 puede considerarse como un resorte. ¿Cuál es la constante de resorte efectiva de este resorte? 70. Una prensa hidráulica manual simple puede generar una presión de 6.0 X 109 1m2. Si el sistema se usa para comprimir un pequeño volumen de acero, ¿qué fracción del volumen original ocupa el volumen final de acero? 71. Un alambre de cobre de 10 m de largo y 1.0 mm de radio se esti-

¡-

ra al mantener un extremo fijo y jalar el otro extremo con una fuerza de 150 N. ¿Cuál es el cambio de longitud? Al aumentar en

18 cm

forma breve la fuerza para superar el límite de comportamiento elástico (una elongación fraccional de aproximadamente 1.0%), el

1

alambre puede quedar deformado de manera permanente; con frecuencia esto se hace con la finalidad de enderezar los pliegues o rizos en un alambre. ¿Aproximadamente qué fuerza se necesita?

FIGURA 14.62 Gato de tijera.

72. Una cuerda de pescar hecha de nailon, tiene 0.50 mm de radio

**65. La figura 14.63 muestra un dispositivo tensionante que se usa para apretar el tirante trasero del mástil de un bote de vela. El polipasto jala hacia abajo una barra rígida con dos rodillos que aprietan juntos las dos ramas del tirante trasero separado. Si los ángulos son los que aparecen en la figura, ¿cuál es la ventaja mecánica?

y 100 m de largo cuando no se aplican fuerzas. Un pez queda atrapado y jala con una fuerza de tensión de 250 N. ¿Cuál es la elongación? 73. En un rascacielos, un elevador está suspendido de tres cables de acero iguales paralelos de 300 m de largo, cada uno de 1.0 cm de diámetro. ¿Cuánto se estiran estos cables si la masa del elevador es de 1 000 kg? 74. La longitud del fémur de una mujer es de 38 cm y la sección transversal promedio es de 10 cm2. ¿Cuánto se comprimirá el fémur, en longitud, si la mujer carga a otra mujer de 68 kg Y la lleva sobre los hombros? Suponga que, momentáneamente, todo el peso descansa sobre una pierna. 75. Si el volumen de una esfera sujeta a una presión externa se encoge 0.10%, ¿cuál es el encogimiento porcentual del radio? En general, demuestre que el encogimiento porcentual del volumen es igual a tres veces el encogimiento porcentual del radio, siempre que el encogimiento

sea pequeño.

76. En el fondo de la fosa de las Marianas en el océano Pacífico, a una profundidad de 10 900 m, la presión es de 1.24 X 108 1m2. ¿Cuál es el aumento porcentual de la densidad del agua a esta profundidad en comparación con la densidad en la superficie? 77. Una losa de piedra, de 1 200 kg de masa, se une a la pared de un edificio mediante dos tornillos de hierro de 1.5 cm de diámetro (véase la figura 14.64). La distancia entre la pared y la losa de piedra es de 1.0 cm. Calcule cuánto se pandean hacia abajo los tornillos debido al esfuerzo de corte al que están sujetos.

FIGURA 14.63 Dispositivo tensionante.

14.4 Elasticidad de materiales 66. La soga del ancla de un bote de vela largo y 1.3 cm de diámetro. Mientras tormenta, el bote momentáneamente una fuerza de 1.8 X 104 N. ¿Cuánto

es de nailon de 60 m de está anclado durante una jala sobre esta soga con se estira la soga?

67. Una cuerda de acero de piano, con 1.8 m de largo y 0.30 mm de radio, se sujeta a una tensión de 70 N mediante un peso unido a

78. De acuerdo con consideraciones teóricas (un tanto sobresimplificadas), el módulo de Young, el módulo de corte y el módulo volumétrico se relacionan mediante 9BS y=-3B + S Compruebe esto para los primeros cuatro materiales que se mencionan en la tabla 14.1.

46 1

Problemas

-lt

*82. Una barra de hierro fundido se suelda a los bordes superiores de

l.Ocm

,.

••

IL Ef

l.5cm

r

una placa de cobre cuyo borde inferior se mantiene en un tornillo de banco (véase la figura 14.66). La barra tiene un diámetro de 4.0 cm y una longitud de 2.0 m. La placa de cobre mide 6.0 cm X 6.0 cm X 1.0 cm. Si el extremo libre de la barra de hierro se jala hacia adelante por 3.0 mm, ¿cuál es la deformación por corte (tJ.x/h) de la placa de cobre? -2.0m

~

.:»b

""

FIGURA 14.64

Una losa de piedra sujeta mediante tornillos.

79. Una soga de nailon, de 1.3 cm de diámetro, se empalmará a una soga de acero. Si la soga de acero debe tener la misma resistencia a la rotura que el nailon, ¿qué diámetro tendrá? La resistencia a la rotura para el acero es de 2.0 nailon es de 3.2 X 108 N/m2.

X

109 N/m2 y para el

*80. Una barra de aluminio tiene un diámetro de 1.000002 cm. Un anillo de acero fundido tiene un diámetro interior de 1.000000 cm. Si la barra y el anillo se colocan en un líquido bajo alta presión, ¿a qué valor de la presión la barra de aluminio encajará dentro del anillo de acero? *81. Una viga uniforme pesada, de 8 000 kg de masa y 2.0 m de largo, está suspendida en un extremo mediante una soga de nailon de 2.5 cm de diámetro y en el otro extremo mediante una soga de acero de 0.64 cm de diámetro. Las sogas se amarran juntas sobre la viga (véase la figura 14.65). Las longitudes no estiradas de las sogas son de 3.0 m cada una. ¿Qyé ángulo formará la viga con la horizontal?

FIGURA 14.66 Barra de hierro y placa de cobre.

*83. Cuando una barra de acero se calienta, se expande en longitud por 0.0012% por cada grado Celsius de aumento de temperatura. Si la longitud de la barra calentada debe reducirse a su valor original, debe aplicársele un esfuerzo de compresión. El esfuerzo de compresión que se requiere para cancelar la expansión térmica se llama esfuerzo térmico, ¿Cuál es su valor para una barra cilíndrica de acero fundido de 4.0 cm2 de sección transversal calentada a 150°C? *84. Un cable de cobre para transmisión de electricidad se tiende recto entre dos torres fijas. Si la temperatura disminuye, el cable tiende a contraerse (compare el problema 83). La cantidad de contracción para un cable o barra de cobre libre es de 0.0017% por grado Celsius. Calcule qué disminución de temperatura hará que el cable se rompa. Suponga que el cable obedece la ecuación (14.18) hasta que alcanza su punto de rotura, que para el cobre ocurre a un esfuerzo de tensión de 2.4 X 108 N/m2. Ignore el peso del cable y el pandeado y el esfuerzo producidos por el peso. **85. Un metro de acero, de 7.8 X 103 kg/m3 de densidad, está hecho para girar en torno de un eje perpendicular que pasa a través de su parte media. ¿Cuál es la máxima velocidad angular con la que puede rotar la barra si su centro está fijo? El acero dulce se romperá cuando el esfuerzo de tensión supere 3.8

X

108 N/m2.

**86. La pared de una tubería de 60 cm de diámetro se construye con una hoja de acero de 0.30 cm de grueso. La tubería está llena con agua bajo alta presión. ¿Cuál es la máxima presión, es decir, la fuerza por unidad de área, que la tubería puede soportar? Véase el problema 85 para datos acerca del acero dulce. **87. Un aro de aluminio, de 40 cm de radio, se hace girar en torno de su eje de simetría a alta rapidez. La densidad del aluminio es de 2.7 X 103 kg/m3 y la resistencia a la rotura por tensión es de 7.8 X 107 N/m2. ¿A qué velocidad angular el aro ~menzará a romperse? **88. Una tubería de acero, con una pared de 0.40 cm de grueso y

11E-,---FIGURA 14.65

2.0 m

------>,1

Viga que cuelga de dos tipos de soga.

50 cm de diámetro, contiene un líquido a 2.0 X 104 N/m2 de presión. ¿Cuánto se expandirá el diámetro de la tubería debido a esta presión?

,

CAPíTULO14 Estático y elasticidad

462

PROBLEMAS

DE REPASO

89. Un semáforo de 25 kg de masa cuelga de un alambre tendido entre dos postes. El semáforo cuelga a la mitad del alambre y las dos mitades del alambre se pandean hacia abajo a un ángulo de 20° (véase la figura 14.67). ¿Cuál es la tensión en el alambre? Suponga que el alambre no tiene mas~.

25 kg

FIGURA 14.67

FIGURA 14.69

Carga que cuelga de una pluma.

Un semáforo.

90. Un cartel pesado cuelga de una pluma adherida horizontalmente a un edificio (véase la figura 14.68). La pluma está articulada en el edificio y la soporta un alambre diagonal, que forma un ángulo de 45° con la pluma. La masa del cartel es de 50 kg Yla pluma y el alambre no tienen masa. ¿Cuál es la tensión en el alambre? ¿Cuál es la fuerza con la que el extremo de la pluma empuja contra el edificio? FIGURA 14.70

Tractor que jala un remolque.

incluir las fuerzas y la torea ejercida por el eje sobre la rueda, pero desprecie el peso de ésta. Si el tractor debe proporcionar un jalón de 8 000 N (un jalón de 4 000 N de cada rueda trasera), ¿qué torea debe ejercer el eje sobre cada rueda trasera? 94. Un extremo de una cuerda se amarra a un metro en la marca de 80 cm y el otro extremo se amarra a un gancho en el techo. Usted empuja contra el borde inferior del metro en la marca de 30 cm, de modo que el metro se mantiene horizontal (véase la figura 14.71). La masa del metro es de 0.24 kg. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer? ¿Cuál es la tensión en FIGURA 14.68 Cartel que cuelga de una pluma.

la cuerda?

91. La figura 14.69 muestra una carga que cuelga de la pluma de carga de un barco. Si la pluma está inclinada a un ángulo de 30° y la carga tiene una masa de 2 500 kg, ¿cuál es la tensión en el cable superior? ¿Cuál es la fuerza de compresión en la pluma? Ignore la masa de la pluma. 92. Repita el cálculo del problema 91, pero suponga que la masa de la pluma es de 800 kg Yque esta masa está uniformemente distribuida a lo largo de la longitud de la pluma. 93. Un tractor jala un remolque a lo largo de una calle (véase la figura 14.70). Las ruedas traseras, que están conectadas al motor mediante el eje, tienen un radio de 0.60 m. Dibuje un diagrama de "cuerpo libre" para una de las ruedas traseras; asegúrese de

FIGURA 14.71

Metro amarrado a un gancho.

-

463

Problemas de repaso

95. Una viga de acero cuelga de una grúa mediante cables unidos a las esquinas superiores de la viga y forman un ángulo de 60° uno con otro. La masa de la viga es M. Encuentre las tensiones en los cables y la fuerza de compresión en la viga.

,..,. /'

96. Las cabrias a veces se usan para suspender cargas. Las cabrias consisten de dos vigas rígidas que se inclinan una hacia la otra, como las patas dela letra A (véase la figura 14.72). La carga se suspende mediante un cable desde el ápice de la A. Suponga que un par de cabrias, cada una a un ángulo de 30° con la vertical, se usan para suspender un motor de automóvil de 400 kg de masa. ¿Cuál es la fuerza de compresión en cada pata? ¿Cuáles son las fuerzas horizontal y vertical que cada pata ejerce sobre el suelo? Desprecie la masa de las patas.

FIGURA 14.72

FIGURA 14.74

Pinzas.

Cabrias que soportan una carga.

97. Un barril de 100 kg se coloca sobre una rampa de 30° (véase la figura 14.73). ¿Qyé empuje, paralelo a la rampa, debe ejercer contra el medio del barril para evitar que ruede hacia abajo? Suponga que la fricción entre el barril y la rampa evita el deslizamiento del barril, es decir, el barril rodaría sin deslizarse si se le liberara.

FIGURA 14.75

Cochero que empuja sobre una rueda.

100. Un asta de bandera apunta horizontalmente desde una pared vertical. El asta es una barra uniforme de masa M y longitud L. Además de la montura del asta en el lado de la pared (que está articulad a y no ejerce torea), el asta está sostenida en su extremo lejano mediante un cable recto; el cable está unido a la pared a una distancia L/2 sobre la montura del asta. ¿Cuál es la tensión en el cable? ¿Cuáles son la magnitud y la dirección de la fuerza que proporciona la montura de pared del asta? 101. Un alambre se estira cuando se sujeta a una tensión. Esto significa que el alambre puede considerarse como un resorte.

FIGURA 14.73

a)

Exprese la constante de resorte efectiva en términos de la longitud del alambre, su radio y su módulo de Young.

b)

Si un alambre de acero de 2.0 m de longitud y 0.50 mm de radio debe tener la misma constante de resorte que un alambre de acero de 4.0 m de longitud, ¿cuál debe ser el radio del segundo alambre?

Barril sobre una rampa.

98. La figura 14.74 muestra un par de pinzas y sus dimensiones. Si usted empuja contra el mango de las pinzas con una fuerza de 200 N de cada lado, ¿cuál es la fuerza que las mordazas de las pinzas ejercen una contra otra? 99. Para ayudar a sus caballos a arrastrar un pesado vagón hacia arriba de una colina, un cochero empuja hacia adelante en la parte superior de una de las ruedas (véase la figura 14.75). Si él empuja con una fuerza de 600 N, ¿qué fuerza hacia adelante genera sobre el eje del vagón? (Sugerencia: El diámetro de la rueda puede considerarse como una palanca pivoteada en el suelo).

102. Si una soga de acero y una soga de nailon de iguales longitudes deben estirarse por iguales cantidades cuando se sujeten a iguales tensiones, ¿cuál debe ser la razón de sus diámetros?' ·103. Una barra de acero larga cuelga recta hacia abajo en el tiro de una mina muy profunda. ¿A qué longitud la barra se romperá en la parte superior debido a su propio peso? La densidad del acero dulce es de 7.8 X 103 kg/m3 y su esfuerzo de tensión para la rotura es de 3.8 X 108 N/m2.

464

CAPíTULO 14

Estática

104. Una soga de 12 m de largo consiste de una mitad superior de nailon, de 1.9 cm de diámetro, empalmada a una mitad inferior de acero, de 0.95 cm de diámetro. ¿Cuánto se estirará la soga si de ella se suspende una masa de 4 000 kg? El módulo de Young para la soga de acero es de 19 X 1010 N/m2.

y

elasticidad

105. Suponga que usted suelta en el océano una esfera de aluminio, de 10 cm de radio, y se hunde a una profundidad de 5 000 m, donde la presión es de 5.7 X 107 N/m2. Calcule cuánto se encogerá el diámetro de esta esfera.

Respuestas a las revisiones Revisión 14. 1 1. Si el ciclista se sienta rígidamente, el equilibrio es inestable; si se inclina un poco, la gravedad jalará la bicicleta y al ciclista aún más. 2. Cuando usted extiende sus piernas mientras está sentado sobre el columpio, usted corre su centro de masa hacia adelante. Para permanecer en equilibrio, el columpio y su cuerpo se correrán hacia atrás, y se inclinarán, de modo que mantendrá su centro de masa alineado bajo el punto de soporte.

3. a) Sí, la fuerza de soporte (vertical) es a 10 largo de la misma línea que el peso cuando se mantiene la caña recta (de manera más precisa, está ligeramente distribuida alrededor del borde de la caña). b) No, la fuerza de soporte la proporciona la mano más adelante (que empuja hacia arriba); una fuerza adicional de la mano trasera empuja hacia abajo, para equilibrar las toreas de la fuerza de gravedad y la fuerza de soporte. 4. (D) eutro, estable, inestable. Como puede sugerir la intuición, un cono sobre su lado está en equilibrio neutro (después de un pequeño desplazamiento, permanece sobre su lado). Un cono sobre su base está en equilibrio estable (después de inclinarlo ligeramente, se asentará de nuevo sobre su base). Finalmente, un cono equilibrado sobre su ápice está en equilibrio inestable (después de inclinarlo ligeramente, el cono caerá).

la primera pieza, lo que equilibra la torea debido al peso de la pieza contraria, en cada caso. Tal torea aumenta desde cero cuando las piezas de madera están verticales (cuando la punta de la A forma ángulo cero) a un máximo cuando la punta tiende a 180°. Dado que la fuerza ejercida por una pieza sobre la otra actúa con un brazo de momento cada vez menor, conforme el ángulo de la punta tiende a 180°, la fuerza debe ser muy grande para que el ángulo de la punta tienda a 180°. 4. (B) Aumentar el empuje hacia arriba y aumentar el empuje hacia abajo. Si considera las toreas en torno de un eje a través de la mano delantera, entonces el jalón hacia abajo del pez debe equilibrarse al aumentar el empuje hacia abajo de la mano trasera. El empuje hacia arriba de la mano delantera debe aumentar para equilibrar las dos fuerzas descendentes en aumento.

Revisión 14.3 1. El arreglo que se muestra en la figura 14.23b tiene la mayor razón 1/1' y, por tanto, tiene una mayor ventaja mecánica. 2. No. Si, por ejemplo, la fuerza F no es perpendicular a la palanca, debe sustituir 1 con 1 sen (},donde (}es el ángulo entre la fuerza y la palanca. 3. No. La polea transmite tensión a una dirección diferente, independientemente

Revisión 14.2 1. Cuando una escalera forma un ángulo grande con la vertical, el peso de la escalera y la persona que sube por ella ejercen una torea grande en torno del fondo, que más fácilmente puede superar la fricción y hacer que la escalera se deslice. Cuando una escalera forma un ángulo pequeño con la vertical, una persona sobre la escalera puede correr el centro de masa a un punto por detrás del fondo, lo que hace que la escalera caiga hacia atrás. 2. Con el centro de masa en el fondo, la caja tendría que rotar 90° antes de caer. Sin embargo, en este caso, la caja estaría sobre su lado cuando llegue al ángulo crítico, donde el centro de masa está justo arriba del punto de soporte. 3. Para cada lado de la A, la fuerza que una pieza de madera ejerce sobre la otra pieza debe ejercer una torea en torno del fondo de

de su tamaño.

4. (C) 100 N. El peso de la roca es w = mg = 100 kg X 9.8 m1s2 = 980 N = 1000 N. La palanca tiene una ventaja mecánica de

1'/1 = fa. De modo que la fuerza requerida para levantar la roca esF= (I'/I)F' = faX 1000 = 100N.

Revisión 14.4 1. La tensión determina la elongación fraccionaria

[véase la ecua-

ción (14.18)]; por tanto, para una cuerda de piano del doble de longitud, la elongación será del doble, 04.0 mm. 2. Sí, un cable puede romperse bajo su propio peso (el peso descendente por abajo de cualquier punto debe equilibrarse con la tensión ascendente en dicho punto). Dado que la longitud crítica para la rotura es una condición de máximo esfuerzo de tensión (una fuerza por unidad de área), esto sólo depende del material y su densidad de masa, no de su área.

3. Un material con un módulo volumÚrico más grande es más rígido, es decir, su volumen se encoge menos en respuesta a una presión aplicada. La ecuación (14.20) puede reescribirse como F/A = - B(!':.V/V); por tanto, a presión constante, una B que sea más grande por un factor dado da por resultado un cambio de volumen fraccional que es menor por el mismo factor. El volumen de la esfera de cobre se encoge entonces por 0.005%.

V2.

4. (A) Dado que la elongación es inversamente proporcional al área del cuerpo elástico [véase la ecuación (14.18)], si usted quiere reducir la elongación de un cable por un factor de 2, debe aumentar el área transversal por un factor de 2; en consecuencia, debe aumentar el diámetro por un factor de

V2.