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Indice PROLOGO

Capitulo I : ANÁLISIS ESTRUCTURAL - FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Conceptos básicos Exigencias básicas de las Estructuras. Clasificación de Estructuras. Cargas Estructurales Equilibrio De Estructuras Armaduras Espaciales Y Planas

4 17 19 22 26 30

Capitulo II: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS

2.1 Flexión 2.2 Cortante.

35 42

Capitulo III: MÉTODO DE LA RIGIDEZ EN LA SOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS.

3.1 Consideraciones Básicas Del Método. 3.2 Problemas Rigidez Lateral Método Compatibilidad.

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Capitulo IV: IV ARMADURAS PLANAS Y ESPACIALES

4.1 Ensamble de la matriz global para el calculo de esfuerzos 94 4.2 Análisis de armaduras con incremento de esfuerzos por efectos de temperatura 102 4.3 Análisis De Armaduras Con Un Desplazamiento Especifico Conocido 106 4.4 Análisis De Armadura Bidimensional Por El Sap-2000 125 4.5 Análisis De Armadura Tridimencional Por El Sap-2000. 146 Capitulo V: MARCOS Y PÓRTICOS PLANOS, O ELEMENTOS DE CONCRETO

5.1 Método de la rigidez Para Pórticos Planos. 5.2 Análisis Bidimensional De Pórtico Por Computadora. 5.3 Diseño De Pórticos Por Computador. Capitulo VI: LÍNEAS DE INFLUENCIA Y CONFIGURACIÓN DE ESTRUCTURAS DÚCTILES.

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6.1 Consideraciones Generales 6.2 Líneas De Influencia Para Momentos En Vigas Simples 6.3 Usos De Líneas De Influencia Cargas Concentradas O Reacción. 6.4 Diseño Conceptual del Sistema de Cargas Vivas Vehiculares 6.5 Configuración De Estructuras Dúctiles. 6.6 Vulnerabilidad Estructural 6.7 Vulnerabilidad Funcional.

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PROLOGO El presente Texto muestra al estudiante de Ingeniería Civil los fundamentos necesarios para realizar un análisis y diseño de Estructuras bidimensionales y tridimensionales por medio del método matricial y computadora. El objetivo es desarrollar la capacidad de los Alumnos para analizar sistemas variados de estructuras y poder realizar su diseño de una forma sencilla y rápida acorde a las exigencias de las Normas de Diseño y del Mercado Profesional. Los conocimientos previos para el estudio del texto son la Estática y Resistencia de Materiales. El libro desarrolla una preparación teórica en los dos primeros Capítulos, que son necesarios para poder entender los problemas estructurales desarrollados en los demás capítulos. En el texto se desarrolla sistemas en flexión y corte (Placas), así como sistemas de armaduras sometidos a cargas externas, incrementos de Temperatura y asentamientos en los apoyos, En sistemas de Pórticos, se analizan pórticos variados sometidos a cargas externas. Esta primera Publicación se realiza tomando conciencia de que la enseñanza del análisis estructural a cambiado en los últimos 20 años en la mayoría de las universidades del mundo, existiendo todavía países Sub Desarrollados como el Perú, en el que se siguen dictando métodos tradicionales (Cross, Kani, Bernadsky, Takabeya, Muto, etc) que lo único que logran es formar profesionales no competitivos y mecanizados. El presente libro es una recopilación apuntes de clase del curso de análisis Estructural dictado por la PUCP y apuntes de varios textos con los que dicte el curso de Análisis Estructural I los dos ciclos pasados en la UPLA. Los problemas resueltos en el texto son los problemas propuestos que formaron parte de los exámenes y practicas de evaluación. Finalmente expreso mi gratitud a los alumnos de la Facultad de Ingeniería, pues gracias a sus exigencias y sus deseos por ser cada vez más competitivos motivaron a la realización de este texto. Así mismo agradezco a mis profesores de la Pontificia Universidad Católica del Perú, en el Área de Estructuras. . Francisco Godiño P.

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CAPITULO I I.ANÁLISIS TEÓRICOS

ESTRUCTURAL

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FUNDAMENTOS

1.1 CONCEPTOS BÁSICOS

1.1.1 Estructuras. Es el conjunto de elementos resistentes, convenientemente vinculados entre sí, que accionan y reaccionan bajo los efectos de las cargas. Su finalidad es resistir y transmitir las cargas a los apoyos (edificios, puentes, etc.) manteniendo el espacio arquitectónico, sin sufrir deformaciones incompatibles. 1.1.2 Propiedades Mecánicas de los Materiales En ingeniería se necesita saber como responden los materiales sólidos a fuerzas externas como la tensión, la compresión, la torsión, la flexión o la cizalladura. Los materiales sólidos responden a dichas fuerzas con una deformación elástica (en la que el material vuelve a su tamaño y forma originales cuando se elimina la fuerza externa), una deformación permanente o una fractura. Los efectos de una fuerza externa dependientes del tiempo son la plastodeformación y la fatiga, que se definen más adelante. La tensión es una fuerza que tira; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre un cable que sostiene un peso. Bajo tensión, un material suele estirarse, y recupera su longitud original si la fuerza no supera el límite elástico del material. Bajo tensiones mayores, el material no vuelve completamente a su situación original, y cuando la fuerza es aún mayor, se produce la ruptura del material. La compresión es una presión que tiende a causar una reducción de volumen. Cuando se somete un material a una fuerza de flexión, cizalladura o torsión, actúan simultáneamente fuerzas de tensión y de compresión. Por ejemplo, cuando se flexiona una varilla, uno de sus lados se estira y el otro se comprime. La plastodeformación es una deformación permanente gradual causada por una fuerza continuada sobre un material. Los materiales sometidos a altas temperaturas son especialmente vulnerables a esta 4

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deformación. La pérdida de presión gradual de las tuercas, la combadura de cables tendidos sobre distancias largas o la deformación de los componentes de máquinas y motores son ejemplos visibles de plastodeformación. En muchos casos, esta deformación lenta cesa porque la fuerza que la produce desaparece a causa de la propia deformación. Cuando la plastodeformación se prolonga durante mucho tiempo, el material acaba rompiéndose. La fatiga puede definirse como una fractura progresiva. Se produce cuando una pieza mecánica está sometida a un esfuerzo repetido o cíclico, por ejemplo una vibración. Aunque el esfuerzo máximo nunca supere el límite elástico, el material puede romperse incluso después de poco tiempo. En algunos metales, como las aleaciones de titanio, puede evitarse la fatiga manteniendo la fuerza cíclica por debajo de un nivel determinado. En la fatiga no se observa ninguna deformación aparente, pero se desarrollan pequeñas grietas localizadas que se propagan por el material hasta que la superficie eficaz que queda no puede aguantar el esfuerzo máximo de la fuerza cíclica. El conocimiento del esfuerzo de tensión, los límites elásticos y la resistencia de los materiales a la plastodeformación y la fatiga son extremadamente importantes en ingeniería. 1.1.3 Clasificación De Los Materiales Toda la discusión de las estructuras se basan en la suposición de que prevalecen en el material ciertas características: Material homogéneo:

(Fig 1)

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Que tiene las mismas propiedades elásticas (E, €, u) en todos los puntos del cuerpo (modulo de elasticidad, deformación unitaria y modulo de poisson, respectivamente). (Ver figura 1). Material isótropo o isotropico: Que tiene las mismas propiedades elásticas en todas las direcciónes en cada punto del cuerpo (axial, lateral e intermedia). No todos los materiales son isótropos. (Ver figura 2).

(Fig. 2)

Material Anisótropo O Anisotropico Si un material no tiene ninguna clase de simetría elástica se llama anisótropo (sus propiedades difieren en varias direcciónes) o, a veces, aeolotropico. En lugar de tener dos constantes elásticas independientes (E, u) como un material isótropo, este material tiene 21 constantes elásticas. (Ver figura 3).

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(Fig. 3)

Material ortotropico. Si el material tiene tres planos de simetría elástica perpendiculares entre sí dos a dos se dice que es ortotrópico, en cuyo caso el numero de constantes independientes es 9. (Ver figura 4).

(Fig. 4)

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Materiales dúctiles y frágiles: Los materiales usados en la Ingeniería Estructural (obras civiles) se clasifican generalmente en dúctiles y frágiles. Un material dúctil es el que tiene un alargamiento a tracción relativamente grande hasta llegar al punto de rotura (por ejemplo, el acero estructural o el aluminio), mientras que un material frágil tiene una deformación relativamente pequeña hasta el mismo punto. Frecuentemente se toma como línea divisoria entre las dos clases de materiales un alargamiento arbitrario de 0.05 cm/cm. El concreto es un ejemplo de material frágil, con una deformación última de 0.03cm/cm. (Ver figura 5).

(Fig.5)

1.1.4 Efectos Internos De Las Fuerzas Barra cargada axialmente: Probablemente, el caso más sencillo que se puede considerar para empezar es el de una barra metálica inicialmente recta, de sección constante, sometida en sus extremos a dos fuerzas colineales dirigidas en sentidos opuestos y que actúan en el centro de las secciones. Para que haya equilibrio estático, las magnitudes de las fuerzas deben ser iguales (Ver figura 6). Si están dirigidas en sentido de alejarse de la barra, se dice que ésta esta sometida a tracción, mientras que si actúan hacia la barra, 8

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existe un estado de compresión. Bajo la acción de estas dos fuerzas aplicadas se originan otras fuerzas internas dentro de la barra, que pueden estudiarse imaginando un plano que la corte en un punto cualquiera y sea perpendicular a su eje longitudinal.

P

P (Fig.6)

Distribución de las fuerzas resistentes: Llegados a este punto, es necesario hacer alguna hipótesis sobre el modo en que varían estas fuerzas repartidas, y como la fuerza aplica P actúa en el centro. Se suele admitir que son uniformes en toda la sección. Esta distribución probablemente no se dará nunca exactamente, a consecuencia de la orientación caprichosa de los granos cristalinos de que esta compuesta la barra. El valor exacto de la fuerza que actúa en cada elemento de la sección transversal es función de la naturaleza y la orientación de la estructura cristalina en ese punto, pero para el conjunto de la sección la hipótesis de una distribución uniforme da una exactitud aceptable desde el punto de vista de la ingeniería (isotropia). Tensión normal: En lugar de hablar de la fuerza interna que actúa sobre un elemento de superficie, probablemente es más significativo y más útil para la comparación considerar la fuerza normal que actúa sobre una superficie unidad de la sección transversal. La intensidad de la fuerza normal por unidad de superficie se llama tensión normal y se mide 2 en unidades de fuerza por unidad de superficie, kg/cm . A veces se usa la expresión tensión total para expresar la fuerza resultante axial total, en kilogramos. Si las fuerzas aplicadas a los extremos de la barra son tales que ésta esta sometida a tracción, se establecen tensiones de tracción en la misma; si esta sometida a compresión, tenemos 9

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tensiones de compresión. Es esencial que la línea de aplicación de las fuerzas pase por el centro de cada sección transversal de la barra. Probetas de ensayo: La carga axial es frecuente en los problemas de diseño de estructuras. Para simular esta carga en el laboratorio se coloca una probeta entre las mordazas de una maquina de ensayos del tipo accionado eléctricamente o de una hidráulica, maquinas usadas corrientemente en los laboratorios de ensayo de materiales para aplicar una tracción axial. En un intento de tipificar los métodos de ensayo, la Sociedad Americana de Ensayos de Materiales, comúnmente conocida por A.S.T.M., ha redactado especificaciones que son de uso común en USA y numerosos países de América y Europa. Se prescriben varios tipos de probetas para materiales metálicos y no metálicos, tanto para ensayos de tracción como de compresión. En Ensayos de Tracción, los extremos de las probetas pueden tener cualquier forma que se adapte a las mordazas de la maquina de ensayo que aplique la carga axial. La parte central de la probeta es algo más delgada que las extremas para que no se produzca el fallo en la parte de las mordazas (Ver figura 7). Los chaflanes redondeados que se observan tienen por objeto evitar que se produzcan las llamadas concentraciones de esfuerzos en la transición entre las dos anchuras diferentes. De ordinario se marca una longitud standard patrón en la que se miden los alargamientos, perforando dos pequeños orificios en la superficie de la barra con una separación de 2 o de 8 pulgadas, como puede verse.

(Fig.7)

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Deformación normal: Supongamos que se ha colocado una de estas probetas de tracción en una maquina de ensayos de tracción y compresión, y se aplican gradualmente en los extremos fuerzas de tracción. Se puede medir el alargamiento total en la longitud patrón para cualquier incremento predeterminado de la carga axial por medio de un aparato de medida mecánico y hallar, a partir de estos valores, el alargamiento por unidad de longitud llamado deformación normal y representado por e, dividiendo el alargamiento total delta por la longitud patrón L, es decir: e = delta / L. (cm.); Generalmente se expresa la deformación en centímetros por centímetros, por lo que es adimensional. A veces se usa la expresión deformación total para indicar el alargamiento en centímetros. Curva Tensión-Deformación Cuando se aumenta gradualmente la carga axial por incrementos de carga, se mide el alargamiento de la longitud patrón para cada incremento, continuando de este modo hasta que se produce la rotura de la probeta. Conociendo el área original de la sección transversal de la probeta puede obtenerse la tensión normal, representada por sigma (σ), para cada valor de la carga axial, simplemente utilizando la relación: σ = P / A .

F

(Fig. 8)

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Donde P representa la carga axial en kilogramos y A el área Inicial de la sección transversal Con varios pares de valores de la tensión normal y σ de la deformación normal podemos representar gráficamente de los datos experimentales tomando estas cantidades como ordenadas y abscisas, respectivamente (Ver figura 8). Así se obtiene un diagrama tensión-deformación del material para este tipo de carga. Este diagrama puede adoptar numerosas formas. La curva tensión-deformación se puede usar para determinar varias características de resistencia del material. Estas son: Límite de proporcionalidad: A la ordenada del punto 1 se le conoce por límite de proporcionalidad, esto es, la máxima tensión que se puede producir durante un ensayo de tracción simple de modo que la tensión sea función lineal de la deformación. Par un material que tenga la curva tensión-deformación no existe límite de proporcionalidad. Límite elástico: La ordenada de un punto que casi coincide con EL PUNTO 2 se conoce por límite elástico, esto es, la tensión máxima que puede producirse durante un ensayo de tracción simple de muchos materiales son casi idénticos los valores numéricos del límite elástico y del límite de proporcionalidad, por lo que a veces se consideran sinónimos. En los casos en que es notoria la diferencia, el límite elástico es casi siempre mayor que el de proporcionalidad. Zona elástica: La región de la curva tensión-deformación que va desde el origen hasta el límite de proporcionalidad. PUNTO 1-2 12

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Zona plástica: La región de la curva tensión-deformación que va desde el límite de proporcionalidad hasta el punto de rotura. PUNTO 2-3 Límite elástico aparente o de fluencia: A la ordenada del punto Y en el que se produce un aumento de deformación sin aumento de tensión se le conoce por límite elástico aparente o límite de fluencia del material. Cuando la carga ha aumentado hasta el punto Y, se dice que se produce fluencia. Algunos materiales presentan en la curva tensión - deformación dos puntos en los que hay aumento de deformación sin que aumente la tensión. Se les conoce por límites de fluencia superior e inferior. Modulo de resistencia: El trabajo realizado en un volumen unidad de material, cuando se aumenta una fuerza de tracción simple gradualmente desde cero hasta un valor tal que se alcance el límite de proporcionalidad del material, se define como modulo de resistencia. Puede calcularse por el área bajo la curva tensión-deformación desde el origen hasta el límite de proporcionalidad, las unidades en que se mide son kg/cm2. Así, pues, la resistencia de un material es su capacidad de absorber energía en la zona elástica. Modulo de tenacidad: El trabajo realizado en un volumen unidad de material cuando se aumenta una fuerza de tracción simple gradualmente desde cero hasta el valor que produce la rotura, se define como modulo de tenacidad. Puede calcularse por el área total bajo la curva tensióndeformación desde el origen hasta la rotura. La tenacidad de un material es su capacidad de absorber energía en la zona plástica del material. 13

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Estriccion: La relación entre la disminución del área de la sección transversal respecto a la Inicial en la fractura, dividida por el área Inicial y multiplicada por 100, se llama estricción. Hay que observar que cuando actúan fuerzas de tracción en una barra disminuye el área de la sección transversal, pero generalmente se hacen los cálculos de las tensiones en función del área Inicial. Cuando las deformaciones se hacen cada vez mayores, es mas interesante considerar los valores instantáneos del ares de la sección transversal (que son decrecientes), con lo cual se obtiene la curva tensión-deformación verdadera. Alargamiento de rotura: La relación entre el aumento de longitud (de la longitud patrón) después de la fractura y la longitud inicial, multiplicada por 100, es el alargamiento de rotura. Se considera que tanto la estricción como el alargamiento de rotura son medidas de la ductilidad del material. Tensión de trabajo: Se pueden usar las características de resistencia que se acaban de mencionar para elegir la llamada tensión de trabajo. Frecuentemente, esta tensión se determina simplemente dividiendo la tensión en la fluencia o rotura por un número llamado coeficiente de seguridad. La elección del coeficiente de seguridad se basa en el buen juicio y la experiencia del proyectista. A veces se especifican en los reglamentos de la construcción valores de determinados coeficientes de seguridad. La curva tensión-deformación no lineal de un material frágil, caracteriza otras varias medidas de la resistencia que no se pueden definir sin la mencionada curva tiene una zona lineal. Estas son:

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Límite elástico convencional: La ordenada de la curva tensión-deformación para la cual el material tiene una deformación permanente predeterminada cuando se suprime la carga se llama límite elástico convencional del material. Se suele tomar como deformación permanente 0.002 o 0.0035 cm. por cm; pero estos avalores son totalmente arbitrarios. La ordenada Y representa el límite elástico convencional del material, llamado a veces tensión de prueba. (Ver figura 9)

(Fig.9)

Modulo tangente: A la pendiente de la tangente a la curva tensióndeformación en el origen se la conoce por modulo tangente del material. Hay otras características de un material que son útiles para los proyectos, que son las siguientes: 15

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Coeficiente de dilatación lineal: Se define como la variación por unidad de longitud de una barra recta sometida a un cambio de temperatura de un grado. El valor de este coeficiente es independiente de la unidad de longitud, pero depende de la escala de temperatura empleada. Consideraremos la escala centígrada, para la cual el coeficiente que se representa por alfa es para el acero, por ejemplo, 11 x 10-6 por grado C. Las variaciones de temperatura en una estructura dan origen a tensiones internas del mismo modo que las cargas aplicadas. Relación de poisson: Cuando una barra esta sometida a una carga de tracción simple se produce en ella un aumento de longitud en la dirección de la carga, así como una disminución de las dimensiones laterales perpendiculares a esta. La relación entre la deformación en la dirección lateral y la de la dirección axial se define como relación de Poisson. La representaremos por la letra griega .Para la mayoría de los metales esta entre 0.25 y 0.35. Ley de hooke: Para un material cuya curva tensión-deformación, resulta evidente que la relación entre tensión y deformación es lineal para los valores relativamente bajos de la deformación. Esta relación lineal entre el alargamiento y la fuerza axial que lo produce (pues cada una de estas cantidades difiere solo en una constante de la deformación y la tensión, respectivamente) fue observada por primera vez por sir Robert Hooke en 1678 y lleva el nombre de ley de Hooke. Por tanto, para describir esta zona inicial del comportamiento del material, podemos escribir E=є σ

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donde E representa la pendiente de la parte recta de la curva tensión-deformación, є deformación unitaria, σ esfuerzo. Modulo de elasticidad: La cantidad E, es decir, la relación de la tensión unitaria a la deformación unitaria se suele llamar modulo de elasticidad del material en tracción o, a veces, modulo de Young. En los manuales aparecen tabulados los valores de E para diversos materiales usados en la ingeniería. Como la deformación unitaria є es un numero abstracto (relación entre dos longitudes) es evidente que E tiene las mismas unidades que la tensión, por ejemplo, kg/cm2. Para muchos de los materiales usados en la ingeniería el modulo de elasticidad en compresión es casi igual al contraído en tracción. Hay que tener muy en cuenta que el comportamiento de los materiales bajo una carga, tal como de estudia en este tema, se limita (sin o se dice lo contrario) a esa región lineal de la curva tensióndeformación. 1.2 EXIGENCIAS BÁSICAS DE LAS ESTRUCTURAS.

Los requisitos o exigencias básicas que una estructura debe cumplir son: 1.2.1 Equilibrio Se identifica con la garantía de que el edificio no se moverá. Tienen cierto grado de movimiento, pero comparado a las dimensiones del edificio los desplazamientos de este edificio son tan pequeños que a simple vista parece inmóvil y sin deformación alguna. Un cuerpo no se mueve en una sola dirección, si se aplican otras fuerzas de igual magnitud y dirección aplicada en sentido contrario lo anulan. Cuando esto sucede se dice que el cuerpo está en equilibrio.

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1.2.2 Estabilidad Se relaciona con el peligro de movimiento inaceptable del edificio en su totalidad. Debe estar bien equilibrado. Cuando un viento huracanado actúa sobre un edificio alto y éste no se halla adecuadamente arraigado en la tierra o equilibrado por su propio peso, puede volcarse sin desintegrarse. El edificio es inestable desde el punto de vista rotatorio, éste peligro existe también cuando un edificio no está bien equilibrado y apoya sobre un suelo de resistencia no uniforme. Un edificio construido sobre la ladera de una colina empinada puede mostrar una tendencia a deslizarse hacia abajo por acción de su propio peso. Todos estos casos de inestabilidad se relacionan con el suelo y con los cimientos del edificio. 1.2.3 Comportamiento Estructural. Se define COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL como la propiedad de una estructura que tiene tendencia a deformarse, vibrar, pandearse o fluir dependiendo de las condiciones a que estén sometidas. La ingeniería Estructural trata principalmente el Análisis Estructural, el análisis de esfuerzos y el diseño estructural. Estos temas están interrelacionados, pero se estudian independientemente por ser distintos, Su secuencia es la siguiente.

CARGAS EXTERNAS

ESTRUCTURA

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

ANÁLISIS ESFUERZOS

MODIFICACION

DISEÑO ESTRUCTURAL

(Fig. 10)

En la Figura 10. se observa que el objetivo es diseñar una estructura y el análisis estructural es una de las herramientas para alcanzar el fin. La participación de cada componente que integra la secuencia es mandatoria ya que el análisis estructural se basa en los principios de la estática, el análisis de esfuerzos se basa en la resistencia de 18

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materiales y la mecánica de los materiales complementada con su teoría de elasticidad. El diseño estructural es aquel que asegura que los esfuerzos no excedan los límites permitidos (fluencia), para que no ocurra esto se modifica la estructura y se reinicia el ciclo de la figura 10 hasta lograr un diseño optimo es decir, verificando que los esfuerzos límites permitidos sean mayores que los esfuerzos actuantes en la estructura.

1.3 CLASIFICACIÓN DE ESTRUCTURAS

Una estructura esta conectada por elementos interconectados, los cuales se consideran en una, dos o tres dimensiones. En forma local un elemento siempre tiene tres dimensiones que son: Largo, Ancho y Espesor, pero como el ancho y el espesor son pequeños en comparación con su longitud como ocurre en estructuras reales, se puede considerar dichos elementos como unidimensionales. Las estructuras muy independientes de ser consideradas de una, dos o tres dimensiones se clasifican en: Estructuras de barras o tipo esqueleto (Reticulados). Son llamadas también Estructuras RETÍCULADAS Son sistemas planos, bidimensionales y/o tridimensionales que están sujetos a cargas en diferentes planos (la estructura y las cargas se encuentran en diferente plano) por lo que sus elementos están sujetos a torsión como a flexión y cortante. La cargas a estas estructuras están aplicadas en cualquier punto y en cualquier dirección y los elementos pueden estar unidos entre si en cualquier forma. Se dividen en las siguientes categorías: 1.3.1 Armaduras Los elementos se unen entre si por articulaciones sin rozamiento y las cargas se aplican a los nudos (Armaduras 01 dimensión). Cuya área transversal es pequeña comparada con su longitud y está sometido a cargas netamente axiales aplicadas en sus extremos. Por su geometría y tipo de cargas actuantes soporta solamente fuerzas de tracción y de compresión. Su comportamiento netamente axial exige que sus conexiones a otros elementos o soportes sean rotulas sin rozamiento. Sin embargo en la práctica se construyen uniones rígidas que obligan a mantener la geometría de la sección y la posición de los nudos. Esto hace que las pequeñas deformaciones de alargamiento o 19

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acortamiento de los elementos por sus tensiones axiales, no se disipen en deformaciones de los nudos y producen entonces esfuerzos de flexión en los elementos. Estos esfuerzos de flexión son muy pequeños comparados con sus grandes fuerzas axiales y no se tienen en cuenta en su análisis y diseño. (Ver figura 11).

Uniones

articuladas

(Fig. 11)

1.3.2 Armaduras planas y espaciales

En este sistema se combinan elementos tipo Armadura con elementos tipo viga o columna unidas por articulaciones. (Ver figura 12).

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(Fig. 12)

1.3.3 Marcos o pórticos Este sistema conjuga elementos tipo viga y columna. Su estabilidad está determinada por la capacidad de soportar momentos en sus uniones. Pueden ser planos y espaciales (Ver figura 13). Uniones rígidas entre sus elementos, que determinan la estabilidad de todo el conjunto

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(Fig. 13)

1.3.4 Sistemas de pisos Consiste en una estructura plana conformada por la unión varios elementos (cáscara, viga, Armadura) de tal manera que soporte cargas perpendiculares a su plano. Se clasifican por la forma en que transmiten la carga a los apoyos en by direccionales y unidireccionales. (Ver figura 14).

Sistema unidireccional, solo apoyo en dos extremos

Sistema bidireccional, apoyo en sus cuatro extremos

(Fig. 14 - a)

(Fig. 14 - b)

1.3.5 SISTEMAS COMBINADOS PARA EDIFICACIONES Se aprovechan las cualidades estructurales de los elementos tipo muro con las cualidades arquitectónicas de los sistemas de pórticos. Las características de rigidez lateral también se pueden lograr por medio de riostras que trabajan como elementos tipo Armadura. (Ver figura 15).

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(Fig. 15)

Pórticos espaciales (edificio) La cargas a estas estructuras están aplicadas en cualquier punto y en cualquier dirección y los elementos pueden estar unidos entre si en cualquier forma (Ver figura 16).

(Fig. 16)

1.3.6

Estructuras laminadas

Por lo general se consideran a todas las placas, bóvedas, que tienen espesor y su análisis es bidimensional. (Ver figura 17).

(Fig. 17)

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Placas

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Bóvedas

1.3.7 Elementos tipo cascaron Pueden ser flexibles, en este caso se denominan membranas, o rígidos y se denominan placas. Membrana: no soporta esfuerzos de flexión, es como si fueran cables pegados. Trabaja por tracción netamente (Ver figura 18).

(Fig. 18)

1.3.8 Cascaron o placa: tiene rigidez a flexión es decir trabaja principalmente por compresión, pero se asocia con esfuerzos cortantes y flectores mínimos. (Ver figura 19).

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(Fig. 19)

1.3.9

Estructuras sólidas

Elementos tipo muro: Estos elementos se caracterizan por tener dos de sus dimensiones mucho mas grandes que la tercera dimensión y porque las cargas actuantes son paralelas a las dimensiones grandes. Debido a estas condiciones de geometría y carga, el elemento trabaja principalmente a cortante por fuerzas en su propio plano. Adicionalmente a esta gran rigidez a corte los muros también son aptos para soportar cargas axiales siempre y cuando no se pandeen. (Ver figura 20). Momentos mínimos en el sentido transversal

Gran rigidez para soportar momentos longitudinales

(Fig. 20-a) Estribo de Puente

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TRASLAPE

(Fig. 20 - b)

1.4 CARGAS ESTRUCTURALES

Clasificación 1.4.1 Cargas estáticas: Muertas Son aquellas que se mantienen en constante magnitud y con una posición fija durante la vida útil de la estructura; generalmente la mayor parte de las cargas muertas es el peso propio de la estructura. Es que puede calcularse con buena aproximación a partir de la configuración de diseño, de las dimensiones de la estructura y de la densidad del material. Para edificios, por lo general se toman como cargas muertas, rellenos, acabados de entrepisos y cielos rasos, y se deja un margen para tener en cuenta cargas suspendidas como conductos, aparatos y accesorios de iluminación, etc. Consisten en los pesos de los diversos miembros estructurales y en los pesos de cualesquiera objetos que estén permanentemente unidos a la estructura, entre otros: Columnas, Vigas, Trabes, Losas, Muros, Ventanas y Instalaciones eléctricas y sanitarias. Las cargas por peso propio, provocan esfuerzos y producen deformaciones en la estructura. (Ver figura 21).

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(Fig. 21)

Vivas Las cargas vivas son cargas no permanentes producidas por materiales o articulo, e inclusive gente en permanente movimiento. Cabinas, particiones y personas que entran y salen de una edificación pueden ser consideradas como carga vivas. Las cargas vivas son producidas por el uso y ocupación de la edificación y no deben incluir cargas ambientales tales como viento, sismo, ni la carga muerta. Consta principalmente de cargas de ocupación en edificios, estas pueden estar aplicadas total o parcialmente o no estar presentes y también es posible cambiarlas de ubicación. Su magnitud y distribución son inciertas en determinado momento, y además sus máximas intensidades a lo largo de la vida útil de la estructura no se conocen con precisión. Son cargas variables en magnitud y posición debidas al funcionamiento propio de la estructura. Pueden ser causadas por los pesos de los objetos colocados temporalmente sobre una estructura. (Ver figura 22).

(Fig. 22)

1.4.2

Cargas dinámicas Clasificación: Vibraciones

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Cuando las maquinarias vibratorias no han sido aisladas de la estructura principal, sus vibraciones pueden afectar tanto a la estructura que las soporta como a las estructuras vecinas. Ejemplo, maquinas de Imprenta, maquinas hospitalarias de panadería etc. (Ver figura 23).

(Fig. 23)

Viento Son cargas dinámicas pero son aproximadas usando cargas estáticas equivalentes. La mayor parte de los edificios y puentes pueden utilizar este procedimiento cuasi-estático y solo en casos especiales se requiere un análisis modal o dinámico. La presión ocasionada por el viento es proporcional al cuadrado de la velocidad y debe ser calculada, principalmente, en las superficies expuestas de una estructura. Debido a la rugosidad de la tierra, la velocidad del viento es variable y presenta turbulencias. Sin embargo, se asume que la edificación asume una posición deformada debido a una velocidad constante y que vibra a partir de esta posición debido a la turbulencia. El procedimiento analítico para evaluar los efectos producidos por la fuerza del viento involucra el análisis simple, si los efectos producidos por la fuerza del viento no son fundamentales en el diseño, o el análisis completo, si por el contrario, las fuerzas de viento en algún sentido resultan determinantes en el diseño. Estas cargas dependen de la ubicación de la estructura, de su altura, del área expuesta y de la posición. Las cargas de viento se manifiestan como presiones y succiones. (Ver figura 24).

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(Fig. 24)

Sismos Las cargas sísmicas son cargas inerciales causadas por movimientos sísmicos, estas pueden ser calculadas teniendo en cuenta las características dinámicas del terreno, de la estructura (amortiguamiento masa y rigidez), y las aceleraciones esperadas. Son cargas dinámicas que también pueden ser aproximadas a cargas estáticas equivalentes. Los edificios pueden utilizar este procedimiento casi-estático, pero también se puede utilizar un análisis modal o dinámico. Los sismos producen cargas sobre una estructura por medio de la interacción del movimiento del suelo y las características de respuesta de la estructura. Esas cargas resultan de la distorsión en la estructura causada por el movimiento del suelo y la resistencia lateral de ésta. Sus magnitudes dependen de la velocidad y tipo de aceleraciones del suelo, así como de la masa y rigidez de la estructura. El análisis y diseño sisico, se realiza siguiendo lo descrito en la Norma E-030. (Ver figura 25).

(Fig. 25)

Espectro de diseño sísmico. 29

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Impulsivas Son aquellas que tienen corta duración (dt), por ejemplo las explosiones, después de esta solicitud culmina, se produce el movimiento en vibración libre de la estructura. (Ver figura 26).

(Fig. 26)

1.5

Explosión de Una edificación.

EQUILIBRIO DE ESTRUCTURAS

Uno de los objetivos de cualquier análisis estructural es determinar varias acciones pertenecientes a la estructura, tales como las reacciones en los apoyos y los esfuerzos internos resultantes (momento flexionante, fuerza cortante, etc.). Una solución correcta para cualquier parte de ella tomada como un cuerpo libre. 1.5.1 Determinación, indeterminación estática y cinemática Hay dos tipos de indeterminación que deben ser considerados en el análisis estructural dependiendo de si el interés recae en las acciones en o en los desplazamientos 1.5.1.1 Indeterminación estática (Grados de indeterminación redundantes)

30

o

número

de

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Se refiere al número de acciones (fuerza axial, cortante o momento) externo y/o internos que deben liberarse a fin de transformar la estructura original en una estructura estable y determinada. 1.5.1.2 Indeterminación cinemática (Grados de libertad) Se refiere al número de componentes de desplazamiento de nudo (traslación, rotación) que son necesarios para describir la respuesta del sistema. Define la configuración deformada del sistema. (Ver figura 27).

Indeterminación Estática 6-3=3º

Indeterminación Estática 3º (Fig. 27 -a)

31

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(Fig. 27 - b)

1.5.2

Principios de superposición de efectos.

La respuesta de una estructura debida a un numero de cargas aplicadas simultáneamente es la suma de las respuestas de las cargas individuales, aplicando por separado cada una de ellas a la estructura; siempre y cuando para todas las cargas aplicadas y para la suma total de ellas los desplazamientos y esfuerzos sean proporcionales a ellas. Esto implica que para aplicar el principio de superposición necesitamos trabajar con materiales elásticos, que cumplan la ley de Hooke (isotrópicos). Si la estructura a analizar cumple con estos requisitos podemos usar la teoría elástica en su estudio. (Ver figura 28).

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Análisis Estructural

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F

P1+P2 P2

Δ1

Δ2

P1

Δ Δ de P1 + p2

Fig. 28) Gráfica Fuerza vs. Deformación para un elemento constituido

con un material perfectamente elástico.

¿Qué otras teorías existen para analizar estructuras que no cumplan con una relación lineal de esfuerzos desplazamientos?. Existen otras teorías, que estudian a los materiales compuestos como la metalurgia, la tecnología de los polímero etc., cuyos fundamentos se basan en la teoría de la elasticidad anisótropa, que estudia materiales de la naturaleza como los huesos, la madera etc. Cuando se habla de respuesta ESTRUCTURAL, se refiere a los desplazamientos y a las fuerzas internas. Por el principio de superposición podemos expresar los efectos totales como la suma de efectos de cargas parciales: (Ver figura 29).

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P w

V Diagramas de cortante

Diagramas de momentos

M+ (Fig. 29 - a)

Para una estructura elástica-lineal (Ver figura).

(Fig. 29 - b) Se cumple la relación lineal de Esfuerzo Deformación.

34

Análisis Estructural

1.6

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ARMADURAS ESPACIALES Y PLANAS

1.6.1 Definición de armadura Una estructura de barras unidas por sus extremos de manera que constituyan una unidad rígida recibe el nombre de armadura. Algunos ejemplos son los puentes, los soportes de cubiertas etc. En este capitulo me limitare al estudio de Armaduras planas, es decir, aquellas en que todos los miembros que la forman se encuentran en un mismo plano. Las Armaduras espaciales se tocaran en clase utilizando el programa SAP-2000, dado su versatilidad para analizar n números de uniones o nudos en un corto tiempo; esto se lograra si conocen los principios básicos del análisis de Armaduras planas. Entonces, consideramos que todas las fuerzas están en el plano x y, y que los momentos de las fuerzas están en la dirección z. Esto nos permite omitir el carácter vectorial en las ecuaciones del equilibrio, que quedan reducidas a tres: la suma de las componentes x e y de las fuerzas, junto con la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a algún punto de la armadura .También suponemos que las Armaduras son estructuras estáticamente determinadas o isostáticas: que solamente tienen las ligaduras necesarias para mantener el equilibrio .El objetivo será la determinación de las fuerzas internas en la armadura, es decir, las fuerzas de acción y reacción entre los elementos o barras que la forman .Nos basaremos en la hipótesis de que todos los miembros de una armadura son miembros de dos fuerzas, es decir, que cada uno se encuentra en equilibrio bajo la acción de dos únicas fuerzas, aplicadas en sus extremos, que serán iguales ,opuestas y colineales. Para ello, tendremos en cuenta que todas las fuerzas externas deben aplicarse en las uniones entre las barras (en los nudos). Las fuerzas internas que deseamos obtener serán de tensión o compresión según el sentido del resultado si son positivas se dirá que se traccionan y son negativas se dirán que se contraen o están en compresión. Para estos casos se consideran dos grados de libertad por nudo, se suprime el tercero de momento, dado que una barra estructural sometida a cargas en los nudos solo absorbe esfuerzos de tracción y compresión Existen diversos métodos para analizar las fuerzas internas de las barras (Método de los momentos, Método de los nudos, Método de las secciones etc.) que forman parte de la estática y de la resistencia de materiales, métodos que se usaban antes de que la

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tecnología como herramienta nos halla llevado a hacer uso del análisis practico por computadora y no tedioso como del siglo pasado. En el capitulo VII se analizaran Armaduras mediante el Método de la Rigidez aplicado a Armaduras (método matricial), método usado desde los años 1980 para dar solución a Armaduras y Pórticos. Existen muchos tipos de Armaduras de acuerdo con su uso, estos tipos tomaron el nombre de la primera persona que las analizó o construyó, una de ellas es la Pratt para puentes y para techos: (Ver figura 30).

(Fig. 30)

En esta Armadura, las diagonales trabajan a tensión. Este análisis lo podemos hacer comparando los esfuerzos internos en una viga simplemente apoyada, momento positivo y cortante positivo (Ver figura 31) :

36

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(Fig. 31)

Podríamos decir que para Armaduras simplemente apoyadas, de acuerdo con la orientación de las diagonales ellas trabajarían a tracción o a compresión. (Ver figura 32):

(Fig. 32)

Note la orientación de las diagonales y concluya sobre su forma de trabajo, tracción o compresión. (Se pueden ver los otros tipos en los libros de referencias). 1.6.2- Clasificación De Las Armaduras Según Su Conformación: Según Hibbeler en su libro “Análisis estructural” las Armaduras se clasifican, en: Armaduras simples, compuestas y complejas Simples: aquellas construidas a base de la figura mínima estable (triángulo, Ver figura 33) y a partir de ahí por cada dos barras agregadas se agrega un nudo, de tal manera que:

37

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(Fig. 33)

Las Armaduras simples siempre se empiezan por un triángulo y se construyen agregando 2 barras unidas a un nudo común pudiendo dar origen a figuras que no son triángulos, por su manera de construirse una Armadura simple siempre será estable internamente. (Ver figura 34).

(Fig. 34)

Compuestas: Una armadura compuestas es una armadura formada al conectar dos o mas Armaduras simples pueden estar conectadas por tres eslabones no paralelos y no concurrentes, por un nudo y un eslabón, por una armadura de conexión, por dos o más nudos, etc. puede formarse de esta manera un numero casi limitado de

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Armaduras. Es decir son Aquellas construidas por la unión de dos Armaduras simples usando 1 barra de unión adicional y un nudo común, o tres barras adicionales o sustituyendo elementos de una estructura principal por Armaduras secundarias. (Ver figura 35).

(Fig. 35)

Armaduras complejas: Hay unas cuantas Armaduras que son estáticamente determinadas pero que no cumplen con los requisitos necesarios para ser clasificados como simples o compuestas. A esta armadura se les llama complejas. Las barras de las Armaduras simples y compuestas están usualmente dispuestas de manera que pueden pasarse secciones a través de tres barras simultáneamente. Tomarse en la intersección de dos de estas y encontrarse la fuerza en la tercera. (Ver figura 36).

(Fig. 36)

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CAPITULO II II. ESFUERZOS Y DEFORMACIONES EN ESTRUCTURAS 2.1 FLEXION

En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es preponderante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñas para trabajar, preponderantemente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. (Ver figura 37).

(Fig. 37)

El rasgo más destacado es que un objeto sometido a flexión presenta una superficie de puntos llamada fibra neutra tal que la distancia a lo largo de cualquier curva contenida en ella no varía con respecto al valor antes de la deformación. Cualquier esfuerzo que provoca flexión se denomina momento flector.

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Flexión en vigas Las vigas o arcos son elementos estructurales pensados para que trabajar predominantemente en flexión. Geométricamente son prismas mecánicos cuya rigidez depende, entre otras cosas, del momento de inercia de la sección transversal de las vigas. Para una viga de eje recto, y tomando las coordenadas habituales para prismas mecánicos (x, y, z) siendo x la distancia sobre el eje de la viga e (y, z) las coordenadas sobre la sección transversal coincidentes con las direcciónes principales de inercia las tensiones normales de una viga sometida a flexión simple no-esviada según el eje Z vienen dadas por (Ver figura 38). :

(Fig. 38)

Por otro lado el campo de desplazamientos, en la hipótesis de Bernoulli, viene dado por la ecuación de la curva elástica: 41

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Donde: representa la flecha, o desplazamiento vertical, respecto de la posición sin cargas. la ordenada sobre la viga. el momento flector sobre la ordenada

.

el segundo momento de inercia de la sección transversal. el módulo de elasticidad del material. Flexión en placas y láminas Una placa es un elemento estructural que puede presentar flexión en dos direcciónes perpendiculares. Existen dos hipótesis cinemáticas comunes para representar la flexión de placas y láminas: La hipótesis de Love-Kirchhoff La hipótesis de Reisner-Mildin. (Ver figura 39)

(Fig. 39)

Siendo la primera el análogo para placas de la hipótesis de Bernouilli y el segundo el análogo de la hipótesis de Timoshenko.

42

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Ensayos De Flexión Comportamiento de los materiales sometidos a la flexión. Si las fuerzas actúan sobre una pieza de material de tal manera que tiendan a inducir esfuerzos compresivos sobre una parte de una sección transversal de la pieza y los esfuerzos tensivos sobre la parte restante, se dice que la pieza está en flexión. La ilustración común de la acción flexionante es una viga afectada por cargas transversales; la flexión puede también causarse por momentos o pares tales como, por ejemplo, los que pueden resultar de cargas excéntricas paralelas al eje longitudinal de una pieza. Las estructuras y máquinas en servicio, la flexión puede ir acompañada del esfuerzo directo, el corte transversal, o el corte por torsión. Por conveniencia, sin embargo, los esfuerzos flexionantes pueden considerarse separadamente y en los ensayos para determinar el comportamiento de los materiales en flexión; la a tensión usualmente se limita a las vigas. Se asume que las cargas se aplican de modo que actúen en un plano de simetría, de modo que no ocurra torsión alguna y que las deflexiones sean paralelas al plano de las cargas. Se asume también que ningunas fuerzas longitudinales son inducidas por las cargas o los apoyos. Fallas por flexión. La falla puede ocurrir en la viga debido a una de varias causas, de las cuales se ofrece una lista a continuación. Aunque estos modos de falla se exponen primariamente con referencia a las vigas de material dúctil, en sus aspectos generales son aplicables a cualquier material. o

La viga puede fallar por cedencia de las fibras extremas. Cuando el punto de cedencia es alcanzado en las fibras extremas, la deflexión de la viga aumenta más rápidamente con respecto a un incremento de carga; y si la viga tiene una sección gruesa y fuerte o está firmemente empotrada de tal modo que no pueda torcerce o flambearse, la falla se verifica con un pandeo gradual que finalmente se torna tan grande que la utilidad de la viga como miembro sustentante queda destruida.

43

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o

En una viga de largo luz, las fibras en compresión actúan de manera similar a aquellas en compresión de una columna, y la falla puede tener lugar por pandeo. El pandeo, el cual generalmente ocurre en dirección lateral, puede deberse ya sea a la causa primaria o secundaria de la falla. En una viga en la cual el esfuerzo flexionante excesivo sea la causa primaria de la falla y en la cual la viga no esté firmemente sostenida contra el pandeo lateral, el sobreesfuerzo puede ser rápidamente seguido por el colapso de la viga debido al pandeo lateral, ya que la estabilidad lateral de la viga es considerablemente disminuida si sus fibras extremas son esforzadas hasta el punto de cedencia. El pandeo lateral puede ser una causa primaria de la falla de la viga, caso en el cual el esfuerzo en las fibras no alcanza la resistencia hasta el punto de cedencia del material antes de que el pandeo ocurra. El pandeo frecuentemente limita la resistencia de las vigas angostas.

o

La falla de los miembros de alma delgada, como una vigueta, puede ocurrir debido a los esfuerzos excesivos en el alma o por el pandeo del alma bajo los esfuerzos compresivos diagonales que siempre acompañan a los esfuerzos cortantes. Si el esfuerzo cortante en el alma alcanza un valor tan alto como en de la resistencia hasta el punto de cedencia del material en corte, la falla de la viga puede esperarse y la manera de la falla probablemente derivará de alguna acción de pandeo o torsión secundaria. El esfuerzo compresivo ordinario que siempre acompaña al cortante puede alcanzar un valor tan alto que el pandeo del alma de la viga constituya una causa primaria de la falla. El peligro de la falla en el alma como una causa primaria de la falla de la viga existente, en general, solamente para las vigas cortas con alma delgada.

o

En aquellas partes de vigas adyacentes a los datos de apoyo que transmiten las cargas concéntricas o las reacciones las vigas, pueden establecer esfuerzos compresivos altos, y en las vigas I o canales el esfuerzo local en aquella parte del alma más cercana a un lado de apoyo puede tornarse excesivo. Si este esfuerzo local excede la resistencia contra el punto de cedencia del material en la unión del alma y el ala, la viga puede fallar primariamente debido a la cedencia de la parte sobrefatigada.

o

La falla de las vigas de material quebradizo como el hierro fundido y el concreto simple siempre ocurre por ruptura súbita. Sin embargo cuando simple siempre ocurre por ruptura súbita. Sin embargo cuando se acerca al momento de la falla, el eje neutro se desplaza

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hacia el canto en la compresión y tiende así a reforzar la viga, la falla finalmente ocurre en las fibras tensadas porque la resistencia a la tensión de estos materiales es únicamente una fracción de la resistencia y a la compresión es de aproximadamente 25% para el hierro fundido y 10% para el concreto. Aunque algunos autores asignan hasta un 5 % de resistencia al concreto. Objetivos y aplicabilidad de los ensayos de flexión La mayoría de las estructuras y máquinas poseen miembros cuya función primaria es resistir las cargas que causan la flexión. Son ejemplos las vigas, los ganchos, las placas, los losas y las columnas bajo cargas excéntricas. El diseño de tales miembros estructurales puede basarse en las propiedades de tensión, compresión y esfuerzo cortante apropiadamente usadas en varias fórmulas de flexión dan resultados que solamente se aproximan a las condiciones reales. Aunque frecuentemente pueden realizarse análisis especiales de los esfuerzos que surgen de condiciones inusitadas de carga y de distorsiones y discontinuidades locales, no siempre es factible la realización de tales análisis, los cuales pueden ser muy complicados. El ensayo de flexión puede servir entonces como un medio directo para evaluar el comportamiento bajo cargas flexionantes, particularmente para determinar los límites de la estabilidad estructural de las vigas de varios tamaños y formas. Los ensayos flexionantes de vigas usualmente se hacen para determinar la resistencia y la tiesura a la flexión; ocasionalmente se hacen para obtener una imagen más o menos completa de la distribución del esfuerzo en un miembro de flexión. Los ensayos de vigas también ofrecen un medio para determinar la resistencia y la tenacidad de los materiales en flexión. Bajo la designación general de resistencia se puede incluir el límite proporcional, la resistencia al sedimento, y el módulo de ruptura. Estas propiedades pueden ir determinándose con la mira de establecer con factores de reducción apropiados, esfuerzos flexionantes admisibles para usarse en el diseño. El módulo de ruptura puede también utilizar simplemente como un criterio de calidad en los ensayos de control. La tiesura de un material puede determinarse de un ensayo de flexión en el cual la carga y la deflexión se observan. El módulo de elasticidad 45

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para el material en flexión se calcula mediante el uso de una fórmula de deflexión elástica.

Probetas para ensayos de flexión Para determinar el módulo de ruptura para un material dado, la viga bajo ensayo debe proporcionarse de tal manera que no falle por corte o deflexión lateral antes de alcanzar su última resistencia a la flexión. Para producir una falla por flexión, la probeta no debe ser demasiada corta con respecto al peralte de la viga, e inversamente, si se desea la falla por esfuerzo cortante, el luz no debe ser demasiado largo. Aunque se usen vigas de una variedad de formas para labores de ensayo especiales e investigativas. Se utilizan probetas normales para el ensayo rutinario y de control de un número de materiales comunes tales como el hierro fundido, el concreto, el ladrillo y las maderas. Realización de los ensayos de flexión de las vigas La realización de ensayos rutinarios de flexión es usualmente simple. Ordinariamente sólo el módulo de ruptura se requiere; éste se determina de la carga al ocurrir la ruptura y de las dimensiones de la pieza (luz y sección transversal crítica). Los bloques de apoyo y carga se indican con un grado de exactitud razonable, digamos 0.2 % del largo del luz. El montaje de apoyos y probeta debe colocarse centralmente en la máquina de ensayo y debe revisarse para cerciorarse de que estén debidamente alineados y puedan funcionar según se desee. Los deflectómetros y los deformímetros deben ubicarse cuidadosamente y revisarse para cerciorar de que operen satisfactoriamente y se les ajusta para funcionar sobre el rango requerido. Efectos de las variables importantes en los ensayos de flexión En los ensayos de flexión de materiales quebradizos, algunos de los factores más importantes que afectan los resultados son tipo y la velocidad de carga, el largo del luz; y las dimensiones secciónales transversales de la viga.

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El efecto del tipo de carga lo ilustran los resultados de números ensayos de concreto, los cuales para tres tipos comunes de cargado son los siguientes: o

En una luz simple, el máximo valor del módulo de ruptura se obtiene de carga central. Los valores computados sobre la base del momento al centro de la luz tienden a ser un poco mayores (aproximadamente 7%) que los valores computados sobre la base del momento en la sección de ruptura.

o

La carga en voladizo tiende a arrojar valores ligeramente más altos que la carga central sobre una luz simple, aunque prometidamente la diferencia no es grande.

o

La carga en los tercios sobre un luz simple arroja resultados invariablemente un poco menores que la carga central (en términos generales entre 10 y 25%); parece razonable suponer que como la resistencia del material varía un tanto a todo el largo de la viga, en la carga en tercios, la sección más débil (de aquellas sometidas a momento constante) se busca. Estas relaciones probablemente subsistirían cuando menos en principio, para otros materiales quebradizos. En general, el método de carga en los tercios parece arrojar los resultados más concordantes.

La rigidez en flexión En los ensayos de doblado de algunos materiales, tales como el alambre y los plásticos la ASTM especifica que tanto el momento flexionante como el ángulo de flexión serán observados. Como el ángulo observado posee componentes tanto elásticos como plásticos, un verdadero módulo elástico no puede calcularse de los datos de ensayo. Sin embargo, un valor aparente se obtiene, y se define para propósitos del ensayo, como la rigidez del material en flexión. 2.2 CORTANTE

La fuerza cortante viene a ser el resultado de la acción de fuerzas verticales que actúan en una sección determinada de una viga y tiende a cortar la viga, tal como muestra la figura 40.

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(Fig.40)

La fuerza cortante resultante genera esfuerzos horizontales y verticales. Los esfuerzos horizontales generados se pueden demostrar si se toma una viga profunda de madera y se le corta en una serie de tablones horizontales como muestra la figura 41. Los tablones individuales se deslizan entre ellos, y su resistencia es mucho menor que la de la viga de la cual fueron cortados. Si ahora prensamos los tablones con mordazas grandes de manera que la acción de deslizamiento sea impedida, se restaurará la resistencia original de la viga. Los esfuerzos cortantes verticales y horizontales son iguales ya que los momentos generados por estos son iguales, impidiendo que la viga rote.

(Fig. 41) En este ejemplo se muestra el deslizamiento que tiende

a ocurrir entre superficies de tablones adyacentes al ser

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flexionados. La fuerza cortante genera esfuerzos horizontales y verticales La combinación de estos esfuerzos cortantes genera esfuerzos de compresión y esfuerzos de tracción diagonal, los cuales se ilustran en la figura 42.

a) Elementos de Esfuerzo.

b) Trayectorias de Esfuerzos.

c) Fisuras Inclinadas. Fig 42. Efectos de la tensión diagonal en vigas de concreto a), b) y c).

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En la actualidad, aunque son muchos los problemas de ingeniería que han enfocado su atención en la transferencia de cortante en vigas de concreto armado, son pocos aún los trabajos donde se ha estudiado la aplicación de láminas de FRP (Laminas de Fibra de Carbono), en el refuerzo o reparación a cortante, de vigas de concreto armado. Existen varios tipos de secciones transversales en vigas de concreto armado, pero, en general, el tipo de falla en vigas sin armadura a cortante es muy semejante entre ellas. A continuación, en la figura 43 se dan ejemplos de ello.

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Fig 43. Tipos de fallas por cortante a), b), c).

2.2.1.- Distribución de las fuerzas en una viga fisurada En la teoría tradicional se aceptaba en forma general que la zona a compresión no fisurada (Vc) soportaba todo el cortante resistido por el concreto (Vh), pero investigaciones posteriores (ver Fig. 41) indican que parte del cortante se soporta por la acción de dovela del acero longitudinal Vd (alrededor de 10 a 20% del cortante total) y parte la transmiten fuerzas ( aspereza superficial o “transferencia de cortante en la superficie de interacción” Va) a lo largo de la fisura por tensión diagonal. De hecho parece que Va es alrededor de un 45 a 60% del corte total y que el cortante en la zona de compresión apenas es del 20 a 35% del total. Dichas referencias (Cornell Sructural Testing laboratory) suponen que conforme las fisuras a tensión diagonal se abren bajo carga creciente, Va decae y cuando la zona a compresión no puede absorber el cortante que crece rápidamente, además de la compresión, ocurre la falla a cortante por aplastamiento del concreto en la zona a compresión. También se presenta la contribución de resistencia a cortante a lo largo del acero a tensión como se indica en Vd. En la figura 44 se observa como se presenta cada una de las contribuciones al esfuerzo cortante nominal por parte del concreto (Vh = Vc + Va + Vd). (Willems, Easley, Rolfe, 1981)

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Fig 44. Resistencia al esfuerzo cortante.

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CAPITULO III III MÉTODO DE LA RIGIDEZ EN LA SOLUCIÓN DE ESTRUCTURAS. INTRODUCCIÓN

Este método es aplicable generalmente a todos los tipos de estructura, incluyendo aquellos formados por vigas, columnas, placas, cascarones y otros elementos estructurales. En este libro solo se analizaran estructuras reticulares, ya que estos son los más comunes en la práctica de la ingeniería y proporcionan buenos ejemplos con los que ilustrare este método. Este método involucra formulaciones matemáticas que se hacen mediante el álgebra matricial, lo que permite una generalización inmediata a estructuras muy complicadas, siendo esta una ventaja en la notación matricial. También el uso de matrices plantea el problema en una forma ideal para programación en calculadoras, HP, computadoras, etc., este hecho representa probablemente la primera motivación para utilizar el método de la rigidez. 3.1 CONSIDERACIONES BASICAS DEL METODO.

Rigidez.-Fuerza o par, que aparece ante un alargamiento o giro unitario Flexibilidad.- Alargamiento o giro producido por una fuerza o unidad

par

3.1.1 Sistema de coordenadas; discretizacion o

Sistema de referencia Es un sistema cartesiano que permite la definición geométrica de la estructura (coordenadas de los nudos, longitudes de los elementos, etc.).

o

Discretizacion Proceso de disociar la estructura en elementos (unidos en los nodos)

o

Sistema local

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o

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En cada barra o elemento de la estructura definiremos un sistema local, al que referiremos los movimientos y fuerzas de cada barra. Sistema global Puesto que en el proceso de discretizacion de la estructura se ha supuesto ésta formada por un conjunto de elementos y nodos, será preciso definir un sistema único, global, que permita referir a él de forma única y para toda la estructura los movimientos y fuerzas de los nodos.

o

sistema nodal A veces, para facilitar ciertas condiciones de contorno (caso de un patín,) será conveniente definir un sistema nodal de coordenadas, distinto del global, operando conjuntamente con ambos.

o

Cargas nodales equivalentes

Hasta ahora hemos supuesto que las cargas estaban aplicadas en los nudos, y por lo tanto existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de aplicación de las cargas y los desplazamientos que están siendo calculados. Si esto no ocurriera, por ejemplo tuviéramos cargas en el tramo de las barras, en forma distribuida o concentrada, debemos sustituir las cargas en las mismas por un sistema de cargas equivalentes aplicadas en los nodos que produzca en la estructura el mismo efecto que las cargas originales. Aplicando el principio de superposición, que es válido por haber supuesto que el sistema es lineal, podemos descomponer las cargas tal como se indica en la figura 45:

Fig 45: Barra de pórtico con cargas en el tramo

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Decimos entonces En este método las incógnitas son los desplazamientos de los nudos de la estructura, por lo que el número de las incógnitas que debe calcularse es igual al grado de indeterminación cinemática. Este método involucra el uso extensivo de acciones y desplazamientos en miembros con extremos empotrados por lo que se hará uso de la siguiente tabla 1.0

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Donde: G = Modulo de Corte l = Constante de torsión La tabla 1.0 enumera formulas para acciones de empotramiento producida por desplazamientos en uno de los extremos del miembro. Los casos 1 y 2 son para traslaciones axiales y laterales en el extremo b del miembro a través de una pequeña distancia “A” mientras que los casos 3 y 4 son para rotaciones. La rotación a través del ángulo Φ, mostraba en el caso 3 produce flexión en el miembro mientras que la rotación a través del ángulo Φ en el caso 4 produce torsión. Por lo 57

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general el caso 1 se utiliza para el análisis de armaduras el caso 3 para miembros sometidos a flexión, pero por lo general se requiere el uso de los cuatro casos para un análisis completo del método de la rigidez. Considerando el siguiente miembro prismático con sus extremos i, J, con unos ejes ortogonales X, Y, Z, tal que X coincide con el eje centroidal del miembro y es positivo de i @ J.

Fig 46.

La figura 46 muestra un segmento de viga de un pórtico espacial con sus doce coordenadas nodales numeradas consecutivamente. La convención adoptada consiste en enumerar primero los tres desplazamientos lineales del primer nudo y luego los tres desplazamientos angulares del mismo nudo, para después continuar con los tres desplazamientos lineales y los tres desplazamientos angulares del segundo nudo. Las dobles flechas de la figura 47 indican las coordenadas rotacionales, mientras que las coordenadas de desplazamiento (traslación) se indican con una sola flecha.

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Fig 47. 1 EA L 0

12 EIz l³

0

0

0

0

0

0 6 EIz l²

0

[K]=

2

-EA l 0

0 -12 EIz l³

0 0

0

0

0 6 EI Z l²

0

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

12 EIY l³ 0 -6 EIY l²

Fig 48. GJ l 0

4 EIY l

0

0

0

0

0

0

0 -12 EIY l³

0

0 6 EIY l²

0 -6 EIY l² 0

- GJ l 0 0

0 2 EIY l

4 EIz l 0 -6 EIz l²

EA l 0

12 EIz l³

0

0

0

0

0

0

0 2 EIz l59

0

0 -6 EIz l²

12 EIY l³ 0 6 EIY l²

GJ l 4 EIY l 4 EIz l

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Análogamente a los seis primeros grados de libertad descritos, se puede realizar para los otros seis, quedándonos una matriz de 12 * 12 (filas y columnas), lo que representa la matriz de rigidez para un elemento de un pórtico tridimensional, en que Iy e Iz son respectivamente, lo momentos de inercia de la sección transversal de la viga, con respecto a los ejes principales en las direcciónes Y , Z, l, A y J son respectivamente la longitud, el área de la sección transversal y la constante torcional del elemento.

La matriz de rigidez mostrada (ver figura 48) es una matriz simétrica. El cálculo de la matriz rigidez de un miembro depende de las solicitaciones a la que esta sometida, es por ello que esta se rige a un sistema de coordenadas local. Es por ello que para estructuras sometidas solo a deformaciones axiales (armaduras), se utiliza la siguiente matriz.

Pasos a seguir el la resolución de problemas:

1.- aplicar un desplazamiento unitario, grado de libertad o coordenada de interés 2.- verificar la transformación o deformada que ocurre en el elemento local tanto en el nudo ( i ) Y ( j ) 3.- ensamblar la matriz de compatibilidad 4.- para todo elemento sometido a flexión utilizarlas siguientes expresiones

5.- finalmente se ensambla la matriz de rigidez utilizando la de las compatibilidades

60

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

K astructura

ate .k e .ae

Donde:

ae

Matriz equivalente de compatibilidad

Ke

Matriz de un elemento sometido a flexión

Sistema de referencia

1

2

i j Figura 49.

+ i

+

j

Figura 50.

Nota.- se llama matriz de compatibilidad a la relación existente entre los desplazamientos globales de la estructura y las deformaciones locales de los elemento

61

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

3.2 PROBLEMAS RIGIDEZ LATERAL METODO COMPATIBILIDAD. Problema 1 Calcula la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados.

Figura 51.

En el sistema global que se muestra los G. D. L. *Grados de libertad 5 y 6 pueden ocurrir libremente, pero los primeros cuatro G. D. L. Están restringidos por los apoyos. Por lo tanto para este ejemplo se genera una matriz de 6 * 6, que contiene todos los desplazamientos (D) de nudo posible, incluyendo aquellos restringidos por los apoyos. La construcción de la matriz de rigidez toma en consideración los seis desplazamientos unitarios y el eje de referencia local o sistema equivalente que se muestra. ℮ Para el problema se tiene la siguiente matriz de desplazamiento:

62

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Pasos a seguir para la solución: - Aplicar el desplazamiento unitario al G. D. L. Correspondiente, graficando sus desplazamientos - Los efectos que ocurren en los elementos trasladarlos a los nudos. - Verificar el equilibrio en los nudos, correspondientes a los G. D. L. - Ensamblar la columna de rigidez correspondiente al G. D. L. * Primera columna de la Matriz de Rigidez T

[D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0) (Desplazamiento transpuesta)

Los símbolos , mantienen el equilibrio el nudo y representan al G. D. L. De la matriz de rigidez.

63

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* Segunda columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0)

T

1

2 6 EI l²

6 EI l²

6 EI l²

12EI 12EI l³ l³ K21 = –12 EI l³

12EI l³

;

K22 = 12 EI +12 EI l³ l³

K23 = -12 EI ; K24 = –6 EI l³ l²

[K]2 =

-12 EI / l³ 24 EI / l³ -12 EI / l³ -6 EI / l² 0 6 EI / l²

T

1

6 EI l²

6 EI l² 12EI

3

12EI

64

12EI l³

= 24 EI l³

; K25 = 0 ; K26 = 6 EI l²

* Tercera columna de la Matriz de Rigidez: [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0)

6 EI l²

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

l³

[K]3 =

l³

0 -12 EI / l³ 12 EI / l³ 0 -6 EI / / l² -6 EI / l²

*Cuarta Columna de la Matriz de Rigidez T [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0) 1 4

[K]4 =

4 EI l

2 EI l

6EI l²

6EI l²

6 EI / l² -6 EI / l² 0 4 EI / / l 2 EI / l 0

* Quinta Columna de la Matriz de Rigidez

65

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

[D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0)

T

5

2 EI l

4 EI l

6EI l²

6EI l²

0

4 EI l

2 EI l

6EI l²

6EI l²

6 EI / l² 0 [K]5 = -6 EI / l² 2 EI / / l 8 EI / l 2 EI / l

* Sexta Columna de la Matriz de Rigidez [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1)

T

1

0 6 EI / l² [K]6 = -6 EI / l² 0 2 EI / l 4 EI / l

66

6

2 EI l

4 EI l

6EI l²

6EI l²

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Finalmente ensamblamos la Matriz de Rigidez

[K]=

1

2

12 EI l³ -12 EI l³

-12 EI l³ 24 EI l³ -12 EI l³ -6 EI l²

0 6 EI l² 6 EI l² 0

0 6 EI l²

3

0 -12 EI l³ 12 EI l³

4

5

6 EI l² -6 EI l²

6 EI l²

0 4 EI l 2 EI l

0 -6 EI l² -6 EI l²

0

6

0 6 EI l² -6 EI l²

0 -6 EI l² 2 EI l 8 EI l 2 EI l

0 2 EI l 4 EI l

Problema 2

Calcular la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados. 2

3

1

+

L1

+ +

℮

L2

(Sistema Local)

L1 (Sistema global) * 1ra Columna al 1er G. D. L. 1 1

=

67

12 EI L1³ 6 EI L1³

12

EI L2³ 6 EI L2²

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

[K]1 =

12 EI + L1³ 6 EI L1² 6 EI L1²

12 EI L2³

* 2da Columna al 2da. G. D. L.

4 EI L1

2

4 EI L1

=

[K]2 =

2EI L1

6 EI L1 8 EI L1² 2 EI L1²

* 3ra Columna al 3ra. G. D. L. 3

=

L2²

68

2 EI L1

4EI L1

6 EI L2

4 EI

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

6 EI L2² 2 EI L1 4 EI L1

[K]3 =

+ 4 EI L2

Ensamblando La Matriz de Rigidez: 12 EI + 12 EI L1³ L2³

6 EI L1²

6 EI L2²

6 EI L1²

8 EI L1

2 EI L1

6 EI L2²

2 EI L1

4 EI + 4 EI L1 L2

[K] =

Problema 3 Calcular la matriz para los G. D. L. Mostrados: 2

3 4 l

1 l

l

+

+ ℮ Sistema Local

69

+

3*3

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

70

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Solución: 1ra Columna al primer grado de libertad: T [D] = (1, 0, 0, 0)

6EI (l √2)²

3EI√2 l²

1

2EI l√2

4EI l√2

1

3 EI √2 l² 45 3 EI 90 l²

[ K ]1 =

45 N

4EI / l√2 2 EI / l√2 0 3 EI √2 / l²

2DA. Columna al Segundo grado de libertad T [D] = (0, 1, 0, 0) 4 EI 2 EI l l

2 4EI l √2 2EI l√2

6 EI

3 EI √2 l²

N

6 EI l²

3EI l² 6EIl² (l√2)²

3EI√2 l²

90 45

45

45 3 EI l²

71

45 90

N

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

2EI / l√2 4 EI / l√2 + 4 EI / l [ K ]2 = 2 EI / l 3 EI √2 / l² - 6 EI / l²

3ra. Columna al tercer grado de libertad T [D] = (1, 0, 0, 0) 2EI 4EI

l

l 6EI

l² N 90

45

6 EI l² 45

[ K ]3 =

0 2 EI / l 4 EI / l 6 EI / l²

4ta. Columna al cuarto grado de libertad. T [D] = (1, 0, 0, 0) 1

1

4

12EI*√2=6EI (l√2)³

l³ 6EI * √2 = 3 EI √2 (l√2)³ l²

6 EI l³

6 EI √2/l³ 45 45 N 90

12 EI l³

72

12EI√2 l ³

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

73

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

[ K ]1 =

3EI√2 l² 3 EI √2 - 6 EI l² l² 6 EI l² 6 EI √2 + 12 EI l³ l³

Finalmente ensamblamos la matriz de rigidez

[K] =

4 EI l 2 2 EI l 2 0 3 EI 2 l²

2 EI l 2 4 EI + 4 EI l 2 l 2 EI l 3 EI 2 - 6 EI l² l²

0 2 EI l 4 EI l 6 EI l²

3 EI 2 l² 3 EI 2 - 6 EI l² l² 6 EI l² 6 EI 2 -12EI l³ l³

4*4

Problema 4 Calcular la matriz de rigidez para los G. D. L. mostradas: 1

2

3 l²

l²

l²

+

l²

+ 74

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

e Sistema Local Equivalente * Primera Columna al primer G. D. L. T

[D] = (1, 0, 0)

1 1

12 EI (√2) (l1 √2)³

12 EI l2³ 12 EI (√2) = 6 EI (l1 √2)³ l1³ 6 EI √2 l1³

12 EI l2³ 12 EI l2³

6 EI l1³ K11 = ( 6 EI √2 ) ² + 12 EI l1³ l2³ 6 EI l2³

6 EI l2³

6 EI (√2) = 3 EI √2 (l1 √2)² l1²

75

3EI√2 l1²

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

K12 = 3 EI √2 - 6 EI l1² l2² K13 = 3 EI √2 - 6 EI l1² l2² 12 EI√2 + 12 EI l1² l2² 3 EI √2 - 6 EI l1² l2² 3 EI √2 - 6 EI l1² l2²

[ K ]1 =

* Segunda Columna al segundo G. D. L. T

[D] = (0, 1, 0)

2 1

4 EI 4 EI l2 l2 6 EI 4 EI l2² l1 √2 6 EI = 3 EI (l1 √2)³ l1² 3 EI √2 6 EI l1² 6 EI 3 EI 90 l2² l1² 3 EI√2 - 6 EI l1² l2²

76

l2² 90

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

[ K ]2 =

4 EI + 4 EI l1√2 l2 2 EI l2

* Tercera Columna al tercer G. D. L. T [D] = (0, 0, 1) 3 1

2 EI l2

90

4 EI l2 6 EI l2² 6 EI = 3 EI (l1 √2)² l1² 4 EI l1 √2 6 EI l2² 3 EI 4 EI l1² l1 √2

3 EI √2 l1²

[ K ]3 =

3 EI√2 - 6 EI l1² l2² 2 EI l2 2 EI √2 + 4 EI l1 l2

77

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

1

2

3

12 EI 2 + 12 EI

3 EI 2 - 6 EI

3 EI 2 - 6 EI

l1³ l2³ 3 EI 2 - 6 EI

l1² l2² 4 EI + 4 EI

l1² l2² 3 EI 2 - 6 EI

l1 2

[K] =

l1²

l2 2 EI l2

l2²

l1²

l2² 1 2 EI 2 l2 2 EI 2 + 4 EI l1

3 3*3

l2

Ensamblando la matriz de rigidez: Los problemas 3 y 4 representan las dificultades típicas en elementos inclinados, para la solución de estos problemas es necesario el conocimiento del álgebra vectorial. Cada columna de la matriz de rigidez representa los efectos actuantes debido al desplazamiento o giro unitario aplicado a la estructura. Al ensamblar la matriz de rigidez se debe verificar que sea transpuesta y que la diagonal mayor sea positiva en todas las celdas. Problema N° 5 Calcular la matriz de rigidez para los g. D. L. Mostrados.

5

6

2 L 1

3

4

+

L (Sistema Global)

(Sistema Local)

78

+

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* 1ra Columna al primer G. D. L. T [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0) 48 EI L³ -24 EI L³ 0 1

Δ

Δ =

[ K]1 =

0 -6 EI L² -6 EI L³

* 2da Columna al segundo G. D. L. T [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0) 2

=

-24 EI L³ 24 EI L³ 6 EI L² [ K]2 = 6 EI L² 6 EI L² 6 EI L²

* 3ra Columna al tercer G. D. L. T [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0) 0 6 EI L² 12 EI 3 =

79

L [ K]3 = 2 EI L 2 EI L 0

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* 4ta Columna al cuarto G. D. L. T [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0) 0

4 =

6 EI L² 2 EI L [ K]4 = 12 EI L 0 2 EI L

* 5ta Columna al quinto G. D. L. T [D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0) 5

=

[ K]5 =

-6 EI L² 6 EI L² 2 EI L 0 8 EI L 2 EI L

* 6ta Columna al sexto G. D. L. T [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1) 6

-6 EI L² 6 EI L² 0 =

80

[ K]6 =

2 EI L 2 EI L 8 EI

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

L Ensamblando la Matriz: 1 48 EI L³ -24 EI L³

[k] =

2 -24 EI L³ 24 EI L³ 6 EI L² 6 EI L² 6 EI L² 6 EI L²

0 0 -6 EI L² -6 EI L²

3

4

0 6 EI L² 12 EI L 2 EI L 2 EI L

0 6 EI L² 2 EI L 12 EI L

0

0 2 EI L

5 -6 EI L² 6 EI L² 2 EI L 0 8 EI L 2 EI L

6 -6 EI L² 6 EI L² 0 2 EI L 2 EI L 8 EI L

Problema N° 6 Calcular la matriz de rigidez para los grados de libertad 2

3

1 3.00

4.00 EI = constante

4.00

5.00

3.00

Solución +

+ +

2

3

1 2 1

3

81

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Determinación de los elementos * 1ra columna al primer G. D. L. T [D] = (1, 0, 0, ) 3/3

5/4

1

3/4 5/3

[K] =

4/3

4/4

(5/3) /5 (5/3) /5 -(4/3) /5 -(3/4) /5 (5/4) /5 (5/4) /5

* 2da columna al segundo G. D. L. T [D] = (0, 1, 0) 2

[K] =

0 1 1 0 0 0

* 3ra columna al tercer G. D. L. T

[D] = (0, 0, 1)

3

82

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

0 0 0 1 0 1

[K] =

at=

K=ae

T

(5/3) / 5 (5/3) / 5 -(4/3) / 5 -(3/4) / 5 (5/4) / 5 (5/4) / 5

0 1 1 0 0 0

0 0 0 1 0 1

Ke a e

(5/6) / 5 (5/3) / 5 0 1 0 0

+

-(4/3)/5 -(3/4)/5 1 1+ 0 1

+

(5/4)/5 -(3/4)/5 1 0 0 1

* 2 EI

* 2 EI 5

* 2 EI 5

83

2 1

1 * (5/3)/5 0 2 (5/3)/5 1

2 1 1 2

* -(4/3)/5 -(3/4)/5

2 1 1 2

*

1 0

(5/4)/5 0 (5/4)/5 0

0 0

0 1

0 1

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Matriz de Rigidez 1 0.5235 0.1266 0.0733

[K] =

2 3 0.1266 0.0733 1.60 0.40 0.40 1.60

Problema N° 7 Calcular la matriz de rigidez para los G. D. L. Mostrados:

4 5.00

1

2.50

DATOS: Viga Columna Placa 1 Placa 2 F‟c

3.00

= = = = =

5 2

3

4.00

2.50

25 * 55 40 * 50 30*250 25*250 210 kg/cm²

Solución (Modulo de Elasticidad) E = 15000 √f‟c = 15000 √ 210 = 217370.62 kg/m² Módulo de Corte) G=

E = 217370.65 = 94508.99 kg/m² 2(1 + u) 2 (1 + 0.15)

EI placa 1 = 2173706.5*2.50*0.30³/12= 12227.099 Tn.m² EI Columna 2 = 2173706.5*0.40*0.50³/12 = 9057.110 Tn.m² 84

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

EI placa 3 = 2173706.5*2.50*0.25³/12 = 7075.87 Tn.m² EI Viga 4,5 = 2173706.5*0.25*0.55³/12 = 7534.38 Tn.m² Rigideces: 2+β 1–β

K1 = 2 EI placa 1 L * (1 + 2β)

1–β 2+β

; β=

6 EI A‟ G L²

β = 6 * 12227.099 = 0.0049 = 0.005 (0.3 * 2.50 )945089.9 * 5² K1 = 2 * 12227.099 5 * (1 + 2*0.005) K1 =

9709.04 4818.20

K2 = 2 EI Col 2 L

1 – 0.005 2 + 0.005

2 + 0.005 1 – 0.005

4818.20 9709.04

2 1

1 2

7245.68

3622.84

3622.84

7245.68

= 2 * 9057.11 5

2 1

K2 =

K3 = 2 EI placa 3 L * (1 + 2β)

2+β 1–β

1–β 2+β

β = 6 * 12227.099 (0.25* 2.50 ) 945089.9 * 5²

K3 = 2 * 7075.87 5 * (1 + 2*0.003)

K3 =

1 – 0.003 2 + 0.003

2805.03

85

6 EI A‟ G L²

= 0.0034 = 0.003

2 + 0.003 1 – 0.003

5635.37

; β=

1 2

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

2805.030

K4 = 2 EI Vig 4 L

2 1

5635.37

1 2

= 2 * 7534.38 2 3 1

10045.84

5022.92

5022.92

10045.84

1 2

K4 =

K5 = 2 EI VIgl 5 L

2 1

1 2

= 2 * 7534.38 4

*1ra Columna para el primer grado de libertad T [D] = (1, 0, 0, 0) Δ Δ 1 4 5 1

2

a=

3

1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 0 0 0 0

86

2 1

Δ

1 2

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

*2da Columna para el segundo grado de libertad [D] = (0, 1, 0, 0)

T

a = { 0,1,0,0,0,0,1.42,0.42,0,0}

T

2 4

5

1

2

3

* 3ra Columna para el tercer grado de libertad: [D] = (0, 0, 1, 0)

T

3 4 1

5 2

3

a =

* 4ta Columna para el cuarto grado de libertad: T [D] = (0, 0, 0, 1) 4

4 1

5 2

3

87

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

0 0 0 0 0 1 0 0 0.31 1.31

a=

0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1.42 0.42 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0.31 1.31

a1 a2 a3 a4 a5

T

K = a e Ke a e Por lo tanto

KG =

+

0.20 0.20 0 1 0 0 0 0

9709.04 4818.20

4818.20 9709.04

0.20 0 0 0 0.20 1 0 0

0.20 0.20 0 0 0 1 0 0

7245.68 3622.84

3622.84 7245.68

0.20 0 0 0 0.20 0 1 0

88

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

0.20 0.20 0 0 0 1 0 0

+

5635.37 2805.03

0 0 1.42 0.42 0 1 0 0

+

10045.84 5022.92 5022.92 10045.84

0 0 0 0 1 0 0.31 1.31

+

2805.03 0.20 0 0 0 5635.37 0.20 0 0 1

7534.38 3767.19

0 1.42 0 0 0.42 1

3767.19 7534.38

0 0

0 0

1 0

* Matriz de Rigidez 2706.89 K=

2905.45 3772.8

2173.70 11351.80 24825.90

1688.08 0 7270.68 22348.88

Problema N° 8 2706.89

2905.45

2173.7

1688.08

3772.8

11352

0

24826

7270.68

Ke=

22348.9

89

0 0

0.31 1.31

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Calcular la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados: 3 5 2 3.00 4

6

1

4.00

3.00

Datos: C1 = 0.6 m. (diámetro) C2 = 0.5 * 0.5 C3 = 0.4 * 0.4 V1 = 0.3 * 0.6 V2 = 0.25 * 0.5 µ = 0.15 f‟c = 210 kg/cm² Solución: Sabemos que: E = 15000 √f‟c = 15000 √ 210 = 217370.65 kg/cm² E = 2173706.512 Tn/m² C1 =E = 217370.65 + µ) 2 (1 + 0.15 )

= 94508.98 kg/cm² 2 (1

C1 = 945089.98 tn/m² 4

EI C1 = E* π d 4 = 2173706.512 * π * (0.6) = 13828.52 64 64 EI C2 = 0.5 * 0.5³ * 2173706.512 = 11321.39 Tn/m² 12 EI C3 = 0.4 * 0.4³ * 2173706.512 = 4637.24 Tn/m² 12

90

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

EI V1 = 2173706.512 * 0.3 * 0.6 ³ = 11738.02 Tn/m² 12 EI V2 = 2173706.512 * 0.25 * 0.5 ³ = 5660.69 Tn/m² 12 Rigideces: K1 = 2 EI L

2 1

1 2

K1 = 2 * 13828.5 2 7

2 1

1 2

=

K2 = 2 * 11321.3 9 4

2 1

1 2

=

11321.39 5660.69

K3 = 2 * 11321.3 9 3

2 1

1 2

=

15095.18 7547.59 7547.59 15095.18

K4 = 2 * 4637.24 2 3 ...

1 1

K5 = 2 * 11738.02 7

2 1

K6 = 2 * 5660.69 2 4

1 1

=

6 2

5660.69 11321.39

182.99 3091.49 3091.49 6182.99

1 2 =

7902.01 3951.01 3951.01 7902.01

=

5 2

15650.69 7825.34 7825.34 15650.69 660.69 2830.35 2830.35 5660.69

* 1ra. Columna para el primera Grado de libertad: T [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0) 6 3 1

1

5 2

4

91

0 0 ¼ 1/4 -1/3 -1/3 ¼ ¼ 0 0 0 0

a1 a2 a3 a4 a5 a6

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* 2da. Columna para el segundo Grado de libertad:

[D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0)T 2 6 3 1

5 2

4

1/7 1/7 0 0 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0

* 3ra. Columna para el tercer Grado de libertad: T [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0) 3 0 6 1 0 3 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 0 1 0

92

a1 a2 a3 a4 a5 a6

a1 a2 a3 a4 a5 a6

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* 4ta. Columna para el cuarto Grado de libertad:

[D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0)T 6 3 1

4

5 2

4

0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0

a1

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

a1

a2 a3 a4 a5 a6

* 5ta. Columna para el quinto Grado de libertad: T [D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0) 3 6 3 1

5 2

4

93

a2 a3 a4 a5 a6

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* 6ta. Columna para el sexto Grado de libertad:

[D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1)T 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0

6 3 6 1

5 2

aTOTAL =

4

a1 a2 a3 a4 a5 a6

0 0

1/7 1/7

0 1

0 0

0 0

0 0

a1

1/4 1/4

0 0

0 0

0 1

0 0

0 0

a2

-1/3 -1/3

1/3 1/3

0 0

1 0

0 1

0 0

a3

1/4 1/4

1/3 1/3

0 0

0 0

0 0

0 1

a4

0 0

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

a5

0 0

0 0

1 0

0 0

0 1

0 0

a6

K = a1 * K1 * a1 + …..

94

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

-3302.07

-7547.59

2318.62

-5031.73

8313.8

5515.52 1693.24

7547.59

7547.59

0

0

1693.29 13562.7

0

2830.35

0

42047.26

7547.59

7825.34

7547.59

20755.88

0

7825.34

0

21833.67

K=

-5031.73

0

-3302.07

7547.59

-7547.59

7547.59 2830.35

2318.62

0

0

0

Problema N° 9 Calcular la matriz de rigidez para los grados de libertad mostrados.

4

7

2 .

3.00

8

.

2

3 1

5

5

6

6 1

7 3

3.50

4

3.50

Datos: C1 = 0.5 * 0.5 C2 = 0.4 * 0.4 C3 = 0.4 * 0.4 V1 = 0.3 * 0.6 V2 = 0.25 * 0.5 F‟c = 210 kg/cm² µ = 0.15

95

4.00

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Sabemos que: E = 15000 √ f‟c = 15000 * √ 210 = 21730.65 kg/cm² E = 2173706.5 Tn/m² C1 = E = 217370.65 = 94508.98 kg/cm² 2 (1 + µ) 2 (1 + 0.15) EI C1 = 2173706.51 * 0.5 * 0.5 ³ = 11321.39 Tn-m² 12 EI C2 = 2173706.51 * 0.4 * 0.4 ³ = 4637.24 Tn-m² 12 EI C3 = = 2173706.51 * 0.4 * 0.4 ³ = 4637.24 Tn-m² 12 EI V1 = = 2173706.51 * 0.3 * 0.6 ³ = 11738.02 Tn-m² 12 EI V2 = = 2173706.51 * 0.25 * 0.5 ³ = 5660.69 Tn-m² 12 Rigideces: K1 = 2 EI L

2 1

K1 = K 4 =

11321.39 5660.69

5660.69 11321.39

K2 = K 5 =

6182.99 3091.49

3091.49 6182.99

4637.24 2318.62

2318.62 4637.24

13414.87 6707.44

6707.44 13414.87

3234.68 1617.34

1617.34 3234.68

K3 =

K6 = K 7 =

K8 =

1 2

96

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

*1ra Columna para el primer grado de libertad: T [D] = (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) a1 = 8

a2 =

2 1

5

6

a3 =

7

1

a4 =

3

4

a5 = a6 =

a7 =

0 0

a8 =

* 2da Columna para el segundo grado de libertad: T [D] = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) a1 = 2 8 a2 = 2

5 6

7

1

a6 =

a3 = a4 =

3

1 0

4

a7 = ;

0 0

97

a5 =

a8 =

1/4 1/4 - 1/3 - 1/3 1/4 1/4 1/4 1/4 1/3 1/3 0 0 0 0

0 0 1/3 1/3 0 0 0 0 0 0

0 0

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* 3ra Columna para el tercer grado de libertad: [D] = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)

T

a1 =

8

a2 =

2

5 a3 = 6

3

7

1

3

4

a4 = a5 =

a6 =

1 0

a7 =

0 0

a8 =

* 4ta Columna para el cuarto grado de libertad: T [D] = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0) a1 = 4 a2 = 8

a3 =

2

5 6

7

1

a4 =

3

4

a5 = a6 =

0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

a7 =

0 a8 = 1 0 0 * 5ta Columna para el quinto grado de libertad: T [D] = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0) a1 = 8

a2 =

2

5 a3 = 6

1

5

0 0

0 0 0

7

1

3

4

a4 = a5 =

98

0 0 0 0

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

a6 = 1 a8 = 0 0 0 * 6ta. Columna para el sexto grado de libertad: T [D] = (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0) a1 =

0 1

a7 =

8

a2 =

2

5 6

a3 =

7

1

a4 =

3

4

a5 =

a6 = a7 =

0 1

a8 =

0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

0 0

* 7ma Columna para el séptimo grado de libertad: T

[D] = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1)

a1 = 7

8

a2 =

2

5 6

1

a6 =

7

a4 =

3

0 0

a3 =

a7 =

4

0 0

a8 =

99

a5 = 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Análisis Estructural

a T=

Ing. F. Godiño Poma

1/4

0

0

0

0

0

0

1/4 -1/3 -1/3 1/4 1/4 1/4

0 1/3 1/3 0 0 0

1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

1/4

0

0

0

0

1

0

-1/3 -1/3 0 0 0

1/3 1/3 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0 0

1 0

0 0

0

0

0

0

0

0

1

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

9236.99 -4121.99

1154.03

-3091.49

1738.97

1154.03

-3091.49

4121.99

3091.49 30919.25

3091.49 3091.49

0 6707.99

3091.49 0

3091.49 0

9417.67

0 31466.99

0 6707.44

1617.34 0

30919.25

3091.49

K=

9417.67

K = a1 * K1 * a1 + ….. Problema N°10 Hallar la matriz de rigidez de la siguiente estructura: f‟c= 210 kg/cm² E = 2173706.5 Tn/m² 4 I = 0.000698 m +

2 3 +

3 1

3.00

4 2 1

3.00

4.00 2.00

100

4.00

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* 1ra. Columna para el primer Grado de Libertad: [D] = (1, 0, 0, 0, 0)

T

3

(3) L α h (5) Δ (4) Sen α = Δ / h→ h = Δ /sen α h = ¼ / 5 → h = 5/4 Tang α = Δ/L→L=Δ/Tang α L = 1/3 / 5 →L= 5/3

.

.2 . 1

. β h (5) Δ (3) Sen β = Δ / h→ h = Δ /sen β h = 1/3 / 5 → h = 5/3 Tang β = Δ/L→L=Δ/Tang β L = 1/4 / 3 →L= 3/4 (4) L

a1 =

5/4 / 5 5/4 / 5

a2 =

0 0

a3 =

-5/3 /5 -5/3 / 5

* 2da. Columna para el segundo Grado de Libertad: T [D] = (0, 1, 0, 0) a1 = 5/3 / 5 5/3 / 5 3 . .2 2 a2 = 0 . 3/5 5/4 0 5/3 3/4 1 4/4 . a3 = -5/4 / 5 -5/4 / 5

* 3ra. Columna para el tercer Grado de Libertad: T [D] = (0, 0, 1, 0) a1 = 0 1

3 3

.

. a2 =

1 0

a3 =

0 0

.

1 2

101

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

* 4ta. Columna para el cuarto Grado de Libertad: T [D] = (0, 0, 0, 1) a1 = 0 0 3 . . a2 = 0 . 1 2

a3 =

1 0

1/3 1/3 0 0 1/5 1/5

0 1 1 0 0 0

1

* Matriz de Compatibilidad:

aTOTAL =

1/5 1/5 0 0 -1/3 -1/3

0 0 0 1 1 0

T

K = ae * Ke * ae 1/5 1/5 K = 1/3 1/3 * 2 * 1517.2471 0 1 5 0 0

+

+

0 0 1 0

0 0 * 2 * 1517.2471 0 2 1

-1/3 -1/3 1/5 1/5 * 2 * 1517.2471 0 0 5 1 0

2 1

1/5 1/5

1/3 0 0 + 1/3 1 0

2 1 1 2

1/5 1/5

1/3 0 0 + 1/3 1 0

2 1

-1/3 1/5 0 0 -1/3 1/5 1 0

102

1 2

1 2

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

CAPITULO IV IV ARMADURAS PLANAS Y ESPACIALES 4.1 ENSAMBLE DE LA MATRIZ GLOBAL PARA EL CALCULO DE ESFUERZOS

Una estructura de armadura consiste en miembros sujetos a dos fuerzas es decir cada elemento de armadura está a compresión o tracción directa. En una armadura se requiere que toda carga y reacciones estén aplicadas en un solo nudo y que todo miembro este conectados entre si en sus extremos por medio de instalaciones sin fricción. Este método es aplicable a estructuras estáticamente determinadas, también nos proporciona las deflexiones en los nudos, reacciones en los apoyos, los efectos o cambios de temperatura y asentamientos en los apoyos o soportes (Ver Figura 52). Q12 Q14 Q16

Q11 Q1

Q13

Q4

Q15

Q6

Q10 Q2 P1 Q3

P2

Q8 Q5

P 3 Q7

P

Q9 P

Figura 52. P = Carga Axial ± Sistema Local y Global. X‟ q‟2 θ q3

2

q4

q2 senθ

Y q„1

1 1

q1 cosθ 1

θ

103

Elemento Deformado q2

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

q1 Figura 53.

q„1 = q1 cos θ + q2 sen θ q‟2 = q3 cos θ + q4 sen θ -

-

En este esquema de numeración local, los nudos de elemento se enumeraron 1 y 2. El un sistema global, el sistema de coordenadas consiste en el X‟ e Y esta fijo, y no depende de la orientación del elemento, pues forma un sistema coordenado derecho con el eje “Z”. En el sistema coordenado global, cada nudo tiene 2 G. D.L. El sistema de coordenadas local, q„1 y q„2 son los desplazamientos de los nudos 1 y 2 respectivamente. El vector de desplazamiento del elemento en el sistema de coordenadas local se denota como: T

q‟ = [q1 ; q2] ....... -

a

El vector de desplazamiento de elemento en el sistema coordenado Global es: T

q = [q1 , q2, q3, q4,] ....... b Relación entre local q y Global q‟ q„1 = q1 cos θ + q2 sen θ q‟2 = q3 cos θ + q4 sen θ Haciendo: l = cos θ Cosenos directores (C. D.) m = sen θ ........ C

Son los cosenos del eje local X‟ que forma con los ejes globales x, y. NOTA: Se puede escribir como: q„1 = L q

........

D

Donde: L = matriz de transformación y esta dada por: L= L m 0 0 0 0 L m

...... E

104

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Forma para Calcular “L” y “m” : L = cos θ = ( x1- y2) Lc M = sen θ = ( y2- y1) ( y2, y1) Lc Lc = √(( x1- y2)² + ( y2- y1)²)

2 ( x1, y2)

θ

1

( x2, x1)

( x1, y1)

Figura 54.

Matriz De Rigidez del Elemento K‟ = Ee Ae Lc

1 -1

-1 1

.........

F

Donde: A = Área de la sección Transversal E = Modulo de Young. T

K = L K‟ L ................... G * Sustituyendo L y K en G

L²

Lm

-L²

-Lm

Lm

m²

-Lm

-m²

-L²

-Lm

L²

Lm

-Lm

-m²

Lm

m²

Ee Ae = K ...... H le

Calculo De Esfuerzos σ = Ee Єe .................. i Como la deformación unitaria, es el cambio de longitud por unidad de longitud original, se tendrá:

105

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

σ = Ee q‟2 - q‟1 .......... J Le σ = Ee [-1 1] q‟1 ......... K Le q‟2 * Luego “K” se puede escribir en términos de los desplazamientos globales q usando la transformación se tiene: q‟ = L q σ = Ee [ -L -m L m] Le Problema N° 11 Calcular los esfuerzos de la armadura: 11000 kg.

E = 2.1 E6 kg/cm² A = 2.5 cm²

3.00 8000 kg. 4.00 Solución: Q8 Q7

Q6 4

4

3 3

Q5

. 2

Q2

Q4 .1

Q1

1

2

Q3

Tabla de Conectividad

i

J

Lc

cos ø L

1

1

2

400

1

0

13125

2

3

2

300

0

-1

17500

3 4

1 4

3 3

500 400

0.8 1

0.6 0

10500 13125

106

sen ø m

K AE / L

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

2) Matriz de Distribución para cada Elemento 1

2

3

4

1

0

-1

0

0

0

0

0

1 2

K1 =

* 13125 3

-1

0

1

0

0

0

0

0

4

5

6

3

4 5

0

0

0

0 6

K2 =

0

1

0

* 17500

-1 3

0

0

0

0

0

-1

0

1

4

1

2

5

6

0.64

0.48

-0.64

-0.48

0.48

0.36

-0.48

-0.36

1

2

K3 =

* 10500 5

-0.64

-0.48

0.64

0.48

-0.48

-0.36

0.48

0.36

7

8

5

6

1

0

-1

0

0

0

0

0

6

7 8

K 4=

* 13125 5

-1

0

1

0

0

0

0

0

6

107

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Luego: Ensamblando la matriz “K”, a partir de la matriz de rigideces de los elementos, sumados las contribuciones de cada elemento y tomando en cuenta su conectividad:

9845

1 5040

2

3 -13125

0

4 6720

5 -5040

6 0

7 0

8

5040 -13125

3780 3780

0 0

0 0

-540 -540

-3780 -3780

0 0

0 0

0

0

0

417500

0

-17500

0

0

6720

-540

0

0

19845

5040

0

0

-5040 0

-3780 0

0 0

-17500 0

5040 13125

21280 0

0 13125

0 0

0

0

0

0

0

0

0

0

1 2 3 4 5 6 7 8

Paso 3: La matriz de rigidez deberá modificarse para tener en cuenta las condiciones de frontera se elimina filas y columnas correspondientes a los grados de libertad: “1, 2, 4, 7, 8” que corresponden a soportes (filas) es decir:

12125

0

Q3

0 =

8000 =

0

19845

5040

Q5

0

0

5040

21280

Q6

-11000

Q=K

–1

F

Q3

0.6 =

Q5

0.13

Q6

-0.55

108

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Son los desplazamientos en “cm". 4) Esfuerzos en cada elemento: σ = Ee * (-L -m ; Lm) * θ Le 8

6 7

4

5 2

2

3

4 1

1 σ1 = 2.1 E6 * (-1 0 1 0) * 400

σ2 = 2.1 E6 * ( 0 1 0 1) * 300

3 0 0 0.6 0

0.13 - 0.55 0.6 0

1

= 3150 kg/cm²

2 3 4

5 6 3 4

0.13 -0.55 0.6 0

σ3 = 2.1 E6 * (-0.8 –0.6 0.8 0.6) * 500

σ4 = 2.1 E6 * ( -1 0 1 0) * 400

0 0 0.13 -0.55

= 3850 kg/cm²

1 2

= -949.2

5 6

7 8

= 682 kg/cm²

5 6

5to. Paso: Determinación de Reacciones G. D. L. (1, 2, 4, 7, 8) R = K Q -F

109

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

En está sustitución son necesarias aquellas filas de matriz de rigidez correspondientes a los G. D. L. De soportes y para estos G. D. L. F = 0 0

R1

1

R2

2

R4

=4

R7

7

R8

8

19845

5040

-13125

0

6720

-5040

0

0

0

5040

3780

0

0

-5040

-3180

0

0

0.6

0

0

0

17500

0

-17500

0

0

0

0

0

0

13125

0

13125

0

0.13

0

0

0

0

0

0

0

0

-0.55

*

0

0 0

Finalmente: 0.00

11000 kg.

1706.25 kg.

1423.8 kg 8000 kg. 4229.4 kg 9625.00 kg.

R=

-4229.40 1093.80 9625.00 -1706.25 0.00

110

1 2 4 7 8

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

4.2 ANALISIS DE ARMADURAS CON INCREMENTO ESFUERZOS POR EFECTOS DE TEMPERATURA

DE

Se considera un problema de esfuerzo térmico, como un elemento de armadura, donde es un elemento unidimensional al verlo en un sistema de coordenada local, la carga del elemento estará dado: θ„ = Ee Ae Єo

-1 ....................... 1 1 θ„ = Carga del elemento por temperatura. Donde: Єo = Deformación unitaria inicial, asociado a un cambio de temperatura esta dado por: Єo = α Δ T ..........................2 Donde: α = Coeficiente de dilatación térmica. Δ T = Cambio promedio de temperatura en el elemento. Nota: La Єo, también puede ser inducida al instalar en un lugar miembros muy cortos o muy largos debido a errores de fabricación. Luego expresamos el vector de carga dado por ecuación (1) en el sistema global. T

T

q‟ θ‟= q θ ...................... 3 Donde: θ = Vector de carga en el sistema de coordenada Global. Sustituyendo: q‟ = L q T

T

en 3 ; se tiene: T

L q θ‟ = q θ .................... 4

111

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Eliminado factores comunes: T

θ = L θ‟ ...........................5 Sustituyendo “L” ecuación 5 , se puede escribir la expresión para la carga de temperatura de un elemento. -L θe = Ee Ae Єo -m .................... 6 L m Esfuerzo en cada elemento: σ = E (Є – Єo) ........................... 7 * La ecuación “7” se puede escribir, si: te = α ΔT ; reemplazando en 6 σθ = Ee -L -m L m q - Ee α ΔT .................. 8 Problema N° 12 Del problema 1 anterior, se tiene que 2, 3 sufren ΔT = 50° F, se tiene un coeficiente de dilatación térmica = 6.5 E F6 por 1° F ¿ Hallar los desplazamientos y esfuerzos en cada elemento como resultado del incremento de T° ? Q8 Q7

Q6 Q5 .

8

.

3

2 T + 50° F

Q2

Q4 Q1

1

Q3

Solución: 1) Vector de carga debido ΔT se tiene: T

θe = Ee Ae Єo [-L -m L m q ]

112

; Єo = α ΔT

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Sistema global 0 5 0 1 6 = 1706.25 0 3 0 -1 4 -1706.25

θ2 = 2.1 E6 * 2.5 * 6.5 E-6 * 50

5 6 3 4

-0.8 1 -1365.0 -0.6 2 = -1023.75 0.8 5 1365.0 0.6 6 1028.75

θ3 = 2.1 E6 * 2.5 * 6.5 E-6 * 50

1 2 5 6

2) Se tiene Desplazamiento: KQ=F Donde: Los vectores de carga θ2, θ3 constituye el vector F. Luego: Se tiene que G. D. L. (1, 2, 7, 8, 4) son restricciónes y los G. D. L. (3, 5, 6). Por lo tanto eliminando los demás. 0 F = 1365.00 2730.00 σ1 = 2.1 E6 [-1 0 1 0] – 2.1 E6 * 0 * 0 = 0 400 σ2 = 2.6 E6 [0 1 0 -1] 500

0.038 0.119 - 2.1 E6 * 6.5 E6 * 50 = 0 0

σ2 = 150.5 kg/cm² 0 0 - 2.1E6*6.5E6 * 50 0.038 0.119

σ3 = 2.6 E6 [-0.8 –0.6 0.8 0.6] 500 σ3 = -254.94 kg/cm² σ4 = 2.6 E6 [ -1 0 1

0]

0 0

113

-0 = 199.5 kg/cm²

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

500

0.038 0.119

Matriz de Esfuerzos por ΔT: 0 150.50 -254.94 199.50

σ=

1

Kg/cm²

2 3 4

Lo mismo se repite en la matriz de rigidez eliminando G. D. L.: 1, 2, 7 ,8, 9. 3

5

6 3

13125

0

0

0

19845

5040

0

5040

21280

K=

5 6

3

5

6

13125

0

0

0

19845

5040

0

5040

21280

Q3

3

Q5 =

3

0 =

5

Q6

0.6 0.038

1730

0.119

6

6

-1

Q=K *F Desplazamiento en (cm) 3.- Los esfuerzos en los elementos se obtiene: σe = Ee [ -L -m L m] - Ee α ΔT Le 6

5

1365

σ1 = 2.1*10 [ -1 0 1 400

6

0] –2.1*10 * 0 *0= 199.5 kg/cm²

114

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

6

σ2 = 2.1*10 [ 0 1 0 -1] 500

0.038 6 6 0.119 -2.1 * 10 *6.5*10 *50 0 0

σ2 = 150.5 kg/cm² 0.038 0 0 0

6

σ3 = 2.1*10 [ -0.8 –0.6 0.8 0.6] 500

6

6

-2.1*10 *6.5*10 *50

σ3 = 254.94 kg/cm² 6

σ4 = 2.1*10 [-1 0 1 01] 400

0 0 -0 = 119.5 kg/cm² 0.038 0.119

Matriz de Esfuerzo por ΔT σ=

0 150.5 -254.94 199.5

kg/cm²

4.3 ANALISIS DE ARMADURAS CON UN DESPLAZAMIENTO ESPECIFICO CONOCIDO Q1 = a1

Q1 Estructura Resorte

Donde: a1 es un desplazamiento especifico a lo largo del grado de libertad 1 del soporte.

a1

Terreno Figura 55. 115

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

-

Para modelar el soporte se usa un resorte con una gran rigidez C. en este caso se desplaza en un extremo del resorte una cantidad a1 .

-

Se tiene en consideración los nudos restringidos agregándose un número “C” a los diagonales restringidos el cual impedirá que se desplacen los apoyes.

-

La extensión neta del resorte es igual a (Q1 – a). La fuerza de reacción en el “nudo 1” es igual a la fuerza ejercida por el resorte sobre la estructura. Como la extensión neta del resorte es (Q1 – a1) y la rigidez del resorte es C, la fuerza de reacción está dada por: R1 = - C (Q1 – a1)

Luego: Las únicas modificaciones para tratar Q1 = a1 son: que debe agregarse un gran número C al primer elemento diagonal de K y que Ca1 se agrega a F1.

(K11 + C)

K 12

......

KIN

Q1

K21

K22

......

K1N

Q2

. .

. .

......

. .

. .

. .

KN1

KN2

......

KNN

QN

FN

F1 + Ca1 =

F2

Nota: PAra estructuras de acero se sugiere un valor “C” igual a la magnitud 4 de la rigidez de G. D. L. Mas alto de diagonal, multiplicando por 10 . 4 C = Kij * 10 Problema N° 13: Para la estructura en el nudo 2 se asienta 12 cm. verticalmente, se aplica 02 cargas puntuales sobre la estructura ¿hallas los desplazamientos, esfuerzos?. 8

6 11000 kg. 5

7 .

8

116

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

.

3

2

2

4 1

1

3 8000 kg

12.1 cm. Nota: Se deberá agregar una constante “C” a los elementos diagonales en la matriz de rigidez de la estructura en aquellos G. D. L., donde estén restringidos en desplazamientos. Esta constante C corresponde al valor mas alto de la diagonal multiplicado por 10 a la cuarta. Para este ejemplo será: C = 21280 E 4.

2

3

4

5

6

7

19750 +C 378 0+C 13125 17500 +C

2128 0 1312 5+C

0.60954 -0.12004 0.1635 -0.65503

1

Q1

0

2 3

Q2 Q3

0 8000

4 * Q4 =,-0.12C 1984 5

Q=

8

5

Q5

0

6

Q6

-11000

7

Q7

0

0+ C 8

Q8

0

3 4 5 6 en cm.

2.- Calculo de los esfuerzos: σe = Ee [ -L -m L m] q Le σ1 = 2.1 E6

0 0

[-1 0 1 0] * 117

1 2

= 3197.25 kg/cm²

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

0.609 -0.12

400

σ2 = 2.1 E6 [ 0 1 0 -1] * 300

σ3 = 2.1 E6 [-0.8 –0.6 0.8 0.6] 500

3 4

0.16635 -0.65503 0.60954 -0.12004

0 0 0.16535 -0.65503

5 6

= 3744.93 kg/cm²

3 4

5 6

= 873.33 kg/cm²

3 4

0 5 0 6 = 873.33 kg/cm² 0.16635 3 -0.65503 4 * Finalmente obtenemos la matriz de esfuerzos: σ4 = 2.1 E6 [-1 0 1 0] * 400

σ =

3197.25 -3744.93 1091.73 873.33

kg/cm²

Problema N° 14 Para la armadura que se muestra determine: - La matriz de rigidez elemental K para cada elemento. - Ensamble la matriz K - Usando el método de eliminación, encuentre Q. - Evalue los Esfuerzos. Determine las reacciones. P =4000 kg A = 1 cm²

E = 2.1 * 10

–6

kg/cm² 15.00 m.

118

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

A = 1.25 cm² 7.50 m.

Solución: Q4

Q2 .

1

Q3

Q1 .

2

Q6 Q5 Paso 1: Tabla de Conectividad:

ELEMENTO

i

j

Le

ø

L

m

K

1

-1

2

750

180°

-1

0

2800

2

1

3

900

213.69° -0.8321 -0.5547 2916.7 90°

180°

1

213.69°

0°

2 270°

Paso N° 2 Rigidez de cada Elemento: 1 K1 =

2

3

4

1

2

3

4

1

0

-1

0

1

1

0.6923 0.4615 -0.692 -0.462

0

0

0

0

2 K2 = 2

0.4615 0.3077 -0.462 -0.308

119

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

-1

0

1

0

3

3 -0.6923 -0.4615 0.6923 0.4615

0

0

0

0

4

4 -0.4615 -0.3077 0.4615 0.3077

Paso N° 3: Rigidez de cada Elemento: 1

2

3

4

5

6

1 4819.21 1346.04

2800

0

-1817

2 1346.04 897.46

0

0

-1346 -897.46

Ke = 3 4

-2800

0

2800

0

0

0

0

0

0

0

0

0

-1346

0

0

2019

1346

-897.46

0

0

1346

897.46

5 -2019.2 6

-1346

-1346

Paso N° 4: Desplazamiento: Q = K

–1

F

-1

4819.21 1364.04 1346.04 897.46

*

0 4000

Q1 = 2.143 Q2 = -7.67 Paso 5: Esfuerzos: σ = Ee [-l -m L m] q Le 6

σ1 = 2.1 * 10 [l 0 -1 0] * 750

2.142 -7.67 = 5997.60 0 0 120

=

Q1 Q2

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

2.142 6 σ2 = 2.1 * 10 [0.8321 0.5547 -0.8321 0.55470] * -7.67 900 0 kg/cm² 0

= - 5768.45

Paso N° 6: Reacciones: R = K Q –F 1

2

3

4

5

6

3

-2800

0

2800

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

5 -1817.09

-1346.04

0

0

2019.21

1346.04

6 -1346.04

-897.46

0

0

1346.04

897.46

Q=

2.142 -7.67 0 0 0 0

=

R3 = -5997.6 R4 = 0 R5 = 5998.98 R6 = 4000.30

4000 kg .

1

6000 kg .

2

6000 kg. 4000 kg.

Problema N°15. En la armadura de barras determine: a) Matriz de Rigidez.

121

Análisis Estructural

b) c) d) e)

Ing. F. Godiño Poma

Ensamble la matriz K. Desplazamiento. Esfuerzos. Reacciones.

12000 kg A = 1 cm²

A = 1 cm²

6

3.00 m.

E = 2.1 * 10 kg/cm²

5.00 m.

4.00 m.

Solución Q4

Q2 1

2

.

1

Q3

Q1 . 2

Q6 3

Q5

Paso 1: Tabla de conectividad:: ELEMENTO

i j

Le

Ø

L

m

K

1

1 2

500

180°

-1

0

4200

2

1 3

500 90

323°

0.8

-0.6

4200

122

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

.

1

180°

0° 323°

2 270°

Paso N° 2: Rigidez de cada elemento: 1 2 3 4 K1 =

1

2

5

4

1

0

-1

0

1

1 0.64

-0.48

-0.64

0.48

0

0

0

0

2 K2

2 -0.48

0.36

0.48

-0.36

-1

0

1

0

3

5 -0.64

0.48

0.64

-0.48

0

0

0

0

4

6 0.48

-0.36

-0.48

0.36

Paso N° 3: Ensamblando la Matriz: 1 2

3

4

5

6

1 6888

-2016

-4200

0

-2688

2016

2 -2016

1512

0

0

2016

-1512

3 -4200

0

4200

0

0

0

4

0

0

0

0

0

2016

0

0

2688

-2016

0

0

-2016

1512

0

5 -2688

6 2016 -1512 Paso N° 4: -1 Desplazamiento: Q = K F -1 6888

-2016

0

Q1

-2016

1512

-12000

Q1 = 3.809 cm. Q2 = -13.01 cm. Paso N° 5:

123

=

Q2

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Esfuerzos: σ = Ee [-l -m L m] q Le 6

σ1 = 2.1 * 10 [l 0 -1 0] 500

-3.809 -13.01 0 0

= 15997.80 kg/cm²

6

σ2 = 2.1 * 10 [-0.8 0.6 0.8 -0.6] * 500 -3.809 -13.01 = - 19986.96 kg/cm² 0 0

Paso N° 6 Reacciones: R = K Q -F.

1

2

3

4

5

6

3

-4200

0

4200

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

5

-2688

2016

0

0

2688

-2016

6

2016

-1512

0

0

-2016

1512

Q=

-3.809 -13.01 0 = 0 0 0

R3 = 15997.80 kg. R4 = 0 R5 = -15989.568 kg. R6 = 11992.176 kg.

12000 kg.

124

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

16000 kg. 16000 kg 12000 kg

Problema N° 16 Para la armadura mostrada Calcular: f) Matriz de Rigidez de cada elemento g) Ensamble la matriz General h) Calcule los Desplazamientos. i) Calcule los Esfuerzos. j) Determine las Reacciones. 25000 kg .2

1 A = 2.5 cm² 6 E = 2.1 * 10 kg/cm²

3.00 m

20000 kg. .

3

4 4.00 m.

Solución: Q4 .2

Q2 1

1 Q3

Q1 .2 . 4

125

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Q6

Q8 .3

.

3

Q5

4

Q7

Paso 1: Tabla de Conectividad: ELEMENTO i

J

Le

ø

L

m

K

1

1

2

400

180°

-1

0

13125

2

1

3

500

217°

-0.8

-0.6

10500

3

4

3

400

180°

-1

0

13125

4

1

4

300

270°

0

-1

17500

90 .

1

180°

0° 217° 2

4

.

270° Paso N° 2: Rigidez de cada elemento: 12 34 K1 =

1

2

5

4

1 0 -1 0 1

1

0.64

0.48

-0.64

-0.48

0 0 0 0 2 K2

2

0.48

0.36

-0.48

-0.36

-1 0 1 0 3 *13125

5 -0.64

-0.48

0.64

0.48

0 0 0 04

6 -0.48

-0.36

0.48

0.36

12 34 1 0 -1 0 1

1

126

1

2

3

4

0

0

0

0

*10500

Análisis Estructural

K3 =

Ing. F. Godiño Poma

2

0

1

0

-1

-1 0 1 0 3 *13125

3

0

0

0

0

0 0 0 04

4

0

-1

0

1

0 0 0 02

K4 =

*17500

Paso N° 3: Ensamblando la Matriz: 1

2

3

4

5

6

7

8

1 19845 5040

-13125

0

-6720

-5040

0

0

2 5040 21280

0

0

-5040 -21280

0

0

3 -13125

0

13125

0

0

0

0

0

4

0

0

0

0

0

0

0

5 -6720 -5040

0

0

19845

5040 -13125

0

6 -5040 -21280

0

0

5040

21280

0

0

7

0

0

0

0

-13125

0

13125

0

8

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Paso N° 4: -1 Desplazamiento: Q = K F 19845 5040 5040 21280 0

0 0

0

*

Q1 Q2

0 -25000 20000

13125

=

Q1

=

0.3174 cm.

Q2 Q7

= =

-1.25 cm. 1.5238 cm.

Q7

Paso N° 5: Esfuerzos: σ = Ee [-l -m L m] q Le 0.3174 6 σ1 = 2.1 * 10 [l 0 -1 0] -1.25 = 1666.35 kg/cm² 400 0

127

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

0 6

σ2 = 2.1 * 10 [-0.8 0.6 0.8 -0.6] * 500 0.3174 -1.25 0 0

= - 2083.54 kg/cm² 1.5238 0 0.3174 -1.25

6

σ3 = 2.1 * 10 [l 0 -1 0] 400

6

σ4 = 2.1 * 10 [l 0 -1 0] 300

0.3174 -1.25 = - 8750.00 kg/cm² 1.5238 0

Paso N° 6 Reacciones: R = K Q –F 1 2 3 K=

Q=

= 10316.88 kg/cm²

4

5

6

7

8

1 -13125

0

13125

0

0

0

0

0

2

0

0

0

0

0

0

0

3 -6720 -5040

0

0

4 -5040 -21280

0

0

5

0

0

0

0

0

0.3174 -1.25 0 = 0 0 0 1.5238 0

19345 5040 -13125 5040 21280 0

R3 = -4165.875 kg. R4 = 0 R5 = -15832.803 kg. R6 = 25000.304 kg. R8 = 0.

25000 kg. 4165.875 kg.

128

0

0

0

0

0

0

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

15832.803 kg. 25000 kg

20000 kg.

Problema N° 17 Para la armadura que se muestra determine: la matriz de rigidez, los esfuerzos, Reacciones. A = 12 cm² 6 I = 2.1 * 10 4 5

600 m 1

2

15000 kg. 9.00 m. 9.00 m.

3

9.00 m

9.00 m.

Solución: Q8 4

Q10 5

3 Q7

.4

6

Q2 1

Q9 7

5 Q4

1 Q1

Q6

2

2

3

Q3

Q5

Paso N° 01 Tabla de Conectividad:

ELEMENT O 1

i 1

j 2

Le 1800 129

ø 0

L 1

m 0

K 14000

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

2

2

3

1800

0

1

0

14000

3

4

5

1081.67

0

1

0

14000

4

1

4

1081.61 33.69 0.8321 0.5547 23297.3

5

2

5

1081.67 33.69 0.8321 0.5547 23297.3

6

2

4

1081.67 146.31 -0.832 0.5547 23297.3

7

3

5

1081.67 146.31 -0.832 0.5547 23297.3

90° 6-7 146.31°

4-5 33.69° 0° 1-2-3

180°

270° Paso N° 2 Matriz de Rigidez

K1=

K2=

K3=

1

2

3

4

1 2

1 0

0 0

-1 0

0 0

3

-1

0

1

0

4

0

0

0

0

* 14000

3

4

5

6

3 4

1 0

0 0

-1 0

0 0

5

-1

0

1

0

6

0

0

0

0

7

8

9

10

7 8

1 0

0 0

-1 0

0 0

9

-1

0

1

0

130

* 14000

* 14000

Análisis Estructural

10

Ing. F. Godiño Poma

0 1

0

0

2

7

0 8

1 0.6923 0.4615 -0.6923 -0.4615 2 0.4615 0.3077 -0.4615 -0.3077 * 23297.31 K4=

7 -0.692 -0.4615 0.6923 0.4615 8 -0.462 -0.3077 0.4615 0.3077 3

4

9

10

3 0.6923 0.4615 -0.6923 -0.4615 4 0.4615 0.3077 -0.4615 -0.3077 * 23297.31 K5=

9 -0.692 -0.4615 0.6923 0.4615 10 -0.462 -0.3077 0.4615 0.3077 3 3 4

K6=

0.6923 0.4615

4

7

8

0.4615 -0.6923 -0.4615 0.3077 -0.4615 -0.3077 * 23297.31

7 -0.6923 -0.4615 0.6923 0.4615 8 -0.4615 -0.3077 0.4615 0.3077 5 5 6

K7=

6

9

10

0.6923 0.4615 -0.6923 -0.4615 0.4615 0.3077 -0.4615 -0.3077 * 23297.31

9 -0.6923 -0.4615 0.6923 0.4615 10 -0.4615 -0.3077 0.4615 0.3077

131

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

1

2

3

1

30128.73

10751.71

-14000

-16128.73 -10751.7

0

0

-15000

Q1

2

10751.71

7168.58

0

-10751.71 -7168.58

0

0

0

Q2

0

Q3

0

= Q7

3 7

-14000

0

7

8

9

10

-1

60257.46 -16128.71 10751.71 -16128.73 -10751.7

-16128.73 -10751.71 -16128.73 46257.46

*

0

-14000

0

0

14337.16

0

0

0

Q8

8

0

9

0

0

-16128.73

-14000

0

46257.46

0

0

Q9

10

0

0

-10751.71

0

0

0

14337.16

0

Q10

-8783.09 10751.71

1 2 1 30128.73 10751.71 2 10751.71 3 -14000 Ke =

3

7168.58 0

-14000

0

4 0

5 0

6

7 8 -16128.73 -10751.71

9

0 60257.46

0 0

0 -14000

0 0

-10751.71 -7168.58 0 0 -16128.73 10751.71 -16129 -10751.7

0

10 0

4

0

0

0

14337.16

0

0

10751.71

5 6

0 0

0 0

-14000 0

0 0

30128.73 -10751.71

-10751.71 7168.58

0 0

-7158.58 -10752 -7168.58 0 0

-16129 10751.71 10751.7 -7168.58

7 -16128.73

-10751.71

-16128.73

10751.71

0

0

46257.46

0

-14000

0

8 -10751.71

0

-8783.09

10751.71

-7158.58

0

0

0

14337.16

0

9

0

0

-16128.73

-10751.71

107351.71

-14000

0

46257.46

0

10

0

0

-10751.71

-7168.58

10751.71

-7168.58

0

0

0

Q1 = 0.10 cm. Q2 = -25.31 cm. Q3 = 1.173 cm. Q7 = -5.85 cm. Q8 = -16.38 cm. Q9 = -1.36 cm. Q10 = 0.88 cm. Paso N° 5: Calculo de Esfuerzos σ = Ee [-L -m L m] q Le 6

σ1 = 2.1 * 10 [0 -1 0 1]

0.10 -25.31

132

= 29528.33 kg/cm²

14337.16

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

1800

1.173 0

6

σ2 = 2.1 * 10 [0 -1 0 1] 1800

6

σ3 = 2.1 * 10 1800

[0 -1 0 1]

1.173 0 =0 0 0 -5.85 -16.38 -1.36 0.8

= 20137.83 kg/cm²

6

σ4 = 2.1 * 10 [-0.8321 –0.5547 0.8321 0.5547 * 1081.67

*

0.10 -25.31 -5.85 -16.38

= σ4 = 0.68 kg/cm²

6

σ5 = 2.1 * 10 [-0.8321 –0.5547 0.8321 0.5547 * 1081.67 1.173 -5.85 * -1.36 = σ5 = 3070 kg/cm² -0.8 6 σ6 = 2.1 * 10 [-0.8321 –0.5547 0.8321 0.5547 * 1081.67

*

1.173 0 -5.85 -16.38

= σ6 = -6294.44 kg/cm²

6

σ7 = 2.1 * 10 [-0.8321 –0.5547 0.8321 0.5547 * 1081.67 0 0

133

Análisis Estructural

*

-1.36 -0.88

Ing. F. Godiño Poma

= σ7 = 3058.58 kg/cm²

4.4 ANALISIS DE ARMADURA BIDIMENSIONAL POR EL SAP-2000 NOTA: El analizar estructuras por el metodo de la Rigidez, matricialmente, es un metodo sencillo y mecanico, pero a medida que se incrementen los nudos el metodo se vuelve inmanejable manualmente y por calculadoras cientificas, ya que su memoria es reducida. Para poder analizar estructuras reales con un numero de nudos finito y grados de libertad presentes en una estructura, debemos recurrir a programas de computo como el Sap-2000. Seria ilogico que se pretenda formar profesionales que compitan en el mercado profesional (analizar estructuras) con el metodo de la rigidez, es por eso que se presenta la solucion por computadora que permite analizar estructuras con complejidad variada en un tiempo minimo. Para ello es necesario que el alumno tenga claro los conceptos descritos en el primer y segundo capitulo del libro, asi como de poder idealizar mentalmente la deformacion de los elementos estructurales, para la corecta interpretacion de datos; Debe recordarse que el Sap2000 es solo un programa y depende de el alumno o del calculista el ingreso, manejo e interpretacion de datos. Recuerdese que si ingresa datos errados o propiedades de los materiales herradas, los resultados serán equibocos.

Ejemplo1: Análisis de una armadura plana por computadora. METODO 1: Diseñar un perfil economico para la siguiente armadura.

134

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Solución: Paso 1: Después de ingresar al sap 2000, elegir unidades en la parte Inferior derecha de la pantalla, Ton – mt – C.

Paso 2: Ingreso la ventana File, New Model, y se tendrá la siguiente Ventana. En esta elegir Grid Only 135

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 3: Por defecto en esta pantalla hago clic en Ok. Esto para poder uno mismo definir la malla con las dimensiones que debo trabajar para la armadura a solucionar.

Paso 4: Tengo la siguiente pantalla, en la primera ventana hago doble clic en cualquier línea y tendré una pantalla, en la cual colocare las coordenadas tanto en absisas como ordenadas, esto por tratarse de una armadura en el plano. Se debe tener en cuenta que la absisa es el eje de coordenadas X-X, y la Ordenada Z-Z. Se empieza a colocar las coordenadas con respecto al 0,0. Finalmente se hacer clic en OK.

136

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Luego se tendra la malla, sobre la cual se dibujara el modelo de la estructura a analizar. Se iniciara primero colocando la primera pantalla en el Plano X-Z. Y la segunda ventana en forma tridimensional. Empiezo a colocar los elementos tipo Draw. Frame/Cable Element Sobre l a malla que muestra la pantalla, y empezamos a unir nudo a nudo formando la geometría de la estructura. Una vez graficada la estructura, procedemos a definir los apoyos de la estructura seleccionando el nudo de interés, luego nos vamos a la ventana Assign – Joint - Restraints y tendremos la siguiente ventana, en la cual definimos el tipo de restricción deseado.

Paso 5: Una vez asignada las restricciónes, defino el material y sus propiedades, así como el tipo de Análisis, si es elástico o inelástico. Hago clic en Define – Materials – STEEL – Add New Material. Y se tendrá la siguiente ventana.

137

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

En la cual Name Material, indica que podemos colocar un nombre al material en este caso pondremos A-36, para indicar que es un material de acero estructural comercial. Type of Material, nos Ubicamos en Isotropic, y que el acero es un material isotropito y Homogéneo que cumple la ley de Hooke. Type of design, se refiere al tipo de diseño y colocamos Steel por estar analizando una armadura. Mass per unit Volume, masa por unidad de volumen, colocamos 0,80 Tn-seg2/ m2, que viene hacer el peso especifico del material / la aceleración de la gravedad. Weight per unit Volume, peso por unidad de volumen, se refiere al peso específico del material, en este caso colocamos 7.849 tn/m3. Modulus of elasticity, modulo de elasticidad, colocamos 20000000 Tn/m2, que viene hacer el modulo de elasticidad del acero para perfiles A-36. Poisson`s Ratio, Razón de poisson, colocamos 0.3, que viene hacer la razón de deformación de este material. Adimensional cm/cm. Coeff of termal Expansion, Coeficiente de expansión termal 11.7E-6 para acero, en grados centígrados. Shear Modulus, Modulo de corte, calculado por el programa. Relaciona el modulo de elasticidad con la Razón de poisson. Minimum Yield Stress, Fy; Mínimo esfuerzo de fluencia, colocaremos 25000 Tn/m2. Minimum Tensile Stress, Fu; Esfuerzo último de tensión en servicio y mínimo de tensión en el rango inelástico. Como se esta realizando un análisis elástico, el Fy = Fu, Fu = 2500 Kg/cm2. 138

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Luego selecciono toda la estructura y asigno la sección a elementos tipo armadura. Define – Frame Section.

los

Paso 6: luego asignamos las cargas en los nudos de la armadura. En la cual asignamos en la parte superior de los extremos 5.00 tn /m , en la parte central se asignamos 10tn/my por ultimo asignamos en al parte inferior de 10tn/M y se obtendrá la siguiente grafica.

Pasó 7: luego de ingresar las cargas en los nudos se Asigana el tipo de perfil a utulizar en Define - Frame sections… y tendremos una pantalla que nos solicitara el tipo de perfil a usar o su importacion. Para este caso importo el perfil, saviendo que utilizare uno del tipo W. Hogo Clic en Import I/WideFlange, seleccionando los perfiles tipo W y luego hare Clic en Add New Propertyubicando dentro del directorio raiz del

139

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

sap-2000 los archivos de los perfiles como se muestra en la grafica. Selecciono el archivo del cual deseo importar los perfiles y Clic.

Paso 8: Seleccionamos todos los perfiles y Clic, para tenerlos como utilizables.

Paso 9: Ingresar a I/Wide flange section y seleccionamos tipo de material A 36 , que viene hacer el material creado inicialmente.

140

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 10: Ingresamos a la ventana Add Auto select – Add New Property y seleccionamos todos los perfiles del tipo W que se encuentran en List of section para trasladarlo a Auto Selection con un Clic en Add.

Paso 11: Aparecera la siguiente ventana, en la cual se hara Clic.

141

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 12: En la parte izquierda, veremos el amterial llamado Auto1, que debemos asignar a la estructura, dentro del cual se encuentran todos los perfiles W posibles a usar.

142

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso13 : Selecciono la estructura e ingreso a la ventana Assing – Frame/Cable/Tendon – Frame Sections… para asignarle el tipo de seccion, para este caso le asigno Auto1 y el programa automaticamente le asignara un tipo de perfil inicial.

Paso 14: Luego tendremos la sección definida en cada una de las barras (W24X117) Auto1.

Paso15: Ingreso a la ventana, Analyze – Set Analysis Options…y defino la opcion de analisis, para este caso selecciono Space Truss, por tratarse del diseño de una armadura.

143

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 16: Ingreso a la ventana, Analyze – Set Analysis Cases to run… para definir el tipo de análisis a realizar, desactivo MODAL, ya que solo se trata de un análisis estático simple y hago Clic en Run Now y el programa iniciara el análisis.

144

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 17: El sap-2000 analiza la estructura, y cuando termina hacer Clic en ok.

Paso 18: Automaticamente nos muestra la deformación de la armadura (Deformed Shape), (DEAD) y también nos muestra los valores de deformacion traslacional y rotacional.

145

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso19: Luego ingresamos a la ventana Display – Show Forces/Stresses – Frames/Cables, dentro de esa ventana seleccionamos Axial, para que nos muestre las fuerzas axiales en cada elemento.

Paso20: Después de ingresar el sap2000 nos muestra una ventana de Axial Force Diagran de la armadura Diagrama de fuerza axial por carga muerta asignada.

146

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso21: Luego en la ventana Options – Steel Frame Design… para poder realizar el diseño de la seccion.

Paso22: Después de ingresar en la ventana el sap2000 nos muestra una ventana de Stell Frame Design Preferentes for AISC_LRDF93 y hacer Clic en Ok

147

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso23: Ingresamos a la ventana Design - Steel Frame Design Select Design Combos.

Paso24: En la ventana Design load combinations selection Seleccionamos DSTL1que será la combinación con la que trabajaremos.

148

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso25: Después de ingresar en la ventana seleccionamos las combinaciónes nos muestra una ventana de Response Combination Name y lo cual define las combinaciónes de DEAD Linear Static y Scale Factor 1.4. es decir amplifica la carga muerta un 40 % para su analisis.

Paso 26: Ingreso a la ventana de Dessign - Steel Frame Desing - Start Design /Check of Structure. Y diseñara automaticamente la estructura.

149

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso27: Verifico el diseño haciendo doble Clic en cualquiera de las barras, mostrandome la siguiente ventana con el diseño de la seccion.

Paso28: En la misma ventana hago Clic en Details y se tiene lo siguiente.

150

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 29: Para ver los esfuerzos, ingresamos a la ventana Display Show forces/Stresses - Frames/Cables. Y seleccionamos Axial.

Paso 30: La ventana nos muestra las fuerzas axiales en cada barra diferenciando tension (+), de compresion (-) por el signo.

151

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 31: Al hacer doble Clic en cada barra veremos a cada distancia el valor de la fuerza axial; dato con el que diseñaremos la estructura.

Paso 32: Ingreso a la ventana Display - Show Tables… para poder ver los resultados por cada elemento.

152

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 33: Luego seleccionamos de la lista la tabla que deseamos ver como ingreso de datos o resultados en Choose Tables for Display.

Paso 34: Para ver el resultado de los esfuerzos y el tipo de perfil a usar, elegimos Element Forces – Frames y hacemos Clic en Done

153

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 35: La Ventana nos muestra los resultados por carga muerta y por la combinación de toda la armadura y las secciones transversales que son necesarias por cada barra.

Paso 36: Exporto los resultados a una hoja de calculo para un mejor manejo e interpretación de datos de la siguiente manera: File - Export Current Table - To Exel y automáticamente se abrirá el archivo de resultados en Exel, pudiendo grabarlo.

154

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso37: Finalmente el sap2000 nos muestra los resultados finales de la armadura que se ha calculado y exportado al Excel.

4.5 ANALISIS DE ARMADURA TRIDIMENCIONAL POR EL SAP2000. Ejemplo 2 : Analizar la armadura que se muestra para las cargas mostradas, primero en forma bidimensional y luego tridimensional. El tipo de análisis que deberá hacer el sap-2000 será análogo al de el 155

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

método de la rigidez, es decir le pediremos únicamente al programa que nos muestra los esfuerzos para poder realizar un diseño manual. Espaciamientos en X a cada 2.0 mt; Espaciamiento en Y a cada 6.0 mt. Espaciamiento en Z a cada 1.00 mt.

Paso1: Ya ingresado al Sap 2000 nos muestra la ventana de coordenadas en X, Y, Z y se le da los valores en las coordenadas mencionadas.

Pasó 2: Luego de insertar los valores respectivos abrimos la ventana Define - y elegir la opción Materials.

156

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 3: Se define el material que deseamos trabajar en la estructura en este caso elegimos Add New Material.

Pasó 4: Luego de insertar los valores respectivos abrimos la ventana Define - y elegir la opción Materials. Elegimos el nombre, tipo y análisis de las propiedades del material y hacemos Clic en ok. Poniéndole el 157

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

nombre de FICTICIO al material creado. Nótese que la única propiedad del material es el Módulo de Elasticidad, y los esfuerzos por servicio del acero

Paso 5: Hago clic en Define – Frame Property, y selecciono un tipo de seccion rectangular Add Rectangular. y Clic en ok.

Paso 6: En la ventana Rectangular Section defino un tipo de sección, al cual le pongo de nombre NULO y asigno las dimensiones de la

158

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

sección transversal de la armadura (que debe ser de 1 m2). Para ello hacemos clic en Set Modifiers y ok..

Paso 7: Modificamos Los factores y propiedades de los materiales, colocando únicamente1 en área de la sección transversal (Crosssection (axial) Area).

159

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 8: Hacemos Clic en el icono Draw_Frame/Cable Element y tendremos la ventana properties of object y elegimos la sección transversal de NULO. Que viene hacer el material que hemos creado

Pasó 9: Luego de Unir los nudos y haber dibujado la grafica, se tiene la siguiente figura:

160

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 10: Luego asignamos las restricciónes con la Ventana Assign y elegimos la opción Joint - Restraints, asignando los tipos de apoyos, el primero arriostrado y el segundo móvil, quedándonos finalmente la siguiente grafica:

Paso 11: Luego asignamos cargas a la estructura con Assign - Joint loads - Forces, quedándonos la gráfica de la siguiente manera:

161

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Pasó 12: Se procede con el análisis de la armadura en Analyze – SetAnalysis Options… - Space Truss, definiendo un análisis únicamente por fuerzas axiales o desplazamientos.

Paso 13: : Procedemos a elegir el caso de análisis en Analyze – Set Analysis Cases to Run… - Space Truss, donde desactivamos la opción de análisis modal, por tratarse de un análisis estático. Finalmente se procede al análisis haciendo clic en Run Now.

162

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 14: Para poder ver los resultados, Vamos a la ventana Display Show Forces/Stresses - frames/Cables…, para obtener lo deseado que son los esfuerzos.

Paso 15: Seguidamente tendremos la ventana Member Force Diagram For Frames, y seleccionamos Axial Force, para poder obtener los esfuerzos axiales tanto de tensión como de compresión

163

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 16: Al hacer clic en Ok. El sap-2000 nos muestra los esfuerzos en cada barra diferenciando los de tension y de compresion por un color diferente.

Paso 17: También nos muestra la magnitud de los esfuerzos con su diagrama. Los valores positivos, indicaran que la barra se encuentra en tensión, y los valores negativos, indicaran que la barra se encuentra en compresión. Con estos valores diseñaremos el perfil económico, de acuerdo a los tipos de perfiles que se fabrican en nuestro medio. Este tipo de análisis es mas real, ya que asignaremos nosotros mismos perfiles comerciales, haciendo que la estructura a analizar sea ejecutable en obra.

164

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 18: Para poder visualizar la tabla de resultados ingreso a la ventana Display – Show Tables… - y elijo los datos que deseo de la tabla Choose Tables for Display.

Paso 19: Seguidamente nos muestra los desplazamientos de los nudos, como las fuerzas axiales en cada barra.

165

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 20: Exportamos los resultados al Exel para poder interpretar corectamente los resultados.

166

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 21: Nos muestra los resultados ya en una hoja Excel

167

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Pasó 22: Procedemos a realizar el análisis tridimensional. Ventana Edit – Replicate -

Pasó 23: Realizamos una replicacion lineal a 6.0 mt del eje Y (dy), y el número de réplicas asignamos 1.

168

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Pasó 24: Luego procedemos a dibujar las celosias, asignandole a todo elemento el tipo de seccion NULO y el material FICTICIO, creado para este problema. Notece el Grid tejido, se encuentra apto para poder dibujar otros elementos.

Paso 25: Replicamos las celosias, que soportaran a la cobertura y analizando obtendremos la siguiente deformada.

169

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Los datos de este análisis se obtienen del mismo modo que se obtuvieron los resultados del análisis bidimensional.

170

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

CAPITULO V V MARCOS CONCRETO.

Y

PÓRTICOS

PLANOS,

O

ELEMENTOS

DE

5.1 METODO DE LA RIGIDEZ PARA PÓRTICOS PLANOS. Se considera estructuras planas con miembros, conectados rígidamente. Estos miembros serán similares a las vigas excepto que se tendrán presentes cargas axiales y deformaciones axiales. . q‟5 q5 q‟4 2 . q4 q6 q2 Y

q‟2

q‟1 1

q3

q1

X Fig 56.

Se define a un sistema de coordenadas local: X‟, Y‟, tal que X‟ este orientado a 1 y 2 con cosenos directores: c, m. Donde: c = cos θ m = sen θ Estas se evaluán usando las relaciones de armaduras mostrada anteriormente. El vector desplazamiento nodales en el sistema locales: T q = {q 1‟, q 2‟, q 3‟, q 4‟, q 5‟, q ‟} 6

q3 ‟ = q 3 ; q6 ‟ = q 6 - Desplazamientos Globales. - Son rotaciones con respectos al cuerpo. q‟ = L q L -m

m L

Matriz de transformación

1 L

m

-m

L

171

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

1 Para armadura:

Para Pórtico:

Nota: Fig 57. Se observa: q2‟, q3‟, q5‟, q6‟, son G. D. L. Para la viga q1‟ y q4‟ son similares la armadura. Por lo tanto cambiando las dos rigideces y colocando en posición conveniente tendremos:

3

6

1

4 2

5

EA/L

0

0

-EA/L

0

0

0

12EI/L³

6EI/L²

0

-12EI/L³

6EI/L²

6EI/L²

4EI/L

0

-6EI/L²

2EI/L

0

EA/L

0

0 -6EI/L² 4EI/L

K e'=

0 -EA/L

0

0

-12EI/L³

-6EI/L²

0

12EI/L³

0

6EI/L²

2EI/L²

0

6EI/L²

Por lo tanto: E Δ = A; L

6EI = C ; L²

2EI = E L 172

Análisis Estructural

12 EI = B L³ T Ke = L Ke‟ L

A

Ing. F. Godiño Poma

;

4 EI = D L

0

0

-A

B

C D

K e'=

0

0

0

-B

C

0

-C

E

A

0

0

B

-C D

Para llevar el sistema Global. Problem N° 18. Calcular las reacciones para las cargas indicadas E, I, A, son constantes. Hacer I/A = 1000. 15 K/pies 15 K 10 K.

6 piés

Y

10 piés

X 8 piés

Solución: 11 2

8

10

.1 1

7 .3

12

9

.2 2 3

4

3

1

173

5 6

4

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso N° 01

1

i j 1 2

Le 10

A 0.1

B 12

C 60

D E L m 400 200 0.8 0.6

2

1 3

10

0.1

12

60

400 200 0 -1

3

2 4

16 0.0625 2.9296 23.437 250 125 0 -1

ELEMENTO

Tabla de Conectividad 90° 1 180°

37°

0°

270° Paso N° 02 Matriz de rigideces del Elemento: T Ke = L Ke‟ L 7 8 9 10

11

12 0 60

7 8

0.1 0

0 12

0 60

-0.1 0

0 -12

Ke‟1 = 9

0

60

400

0

-60

10 -0.1

0

0

0.1

0

0

-12

-60

0

12

-60

12 0 60 * Matriz de Rotación

200

0

-60

400

11

L1 =

0

200 *10

-3

0.8 -0.6

0.6 0.8

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0.8

0.6

0

0

0

0

-0.6

0.8

0

0

0

0

0

0

1

174

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

7

8

9

4.384

-5.172 7.716

-36 48

Ke1 =

Ke‟2 =

L2 =

11

12

-4.384 -5.712 5.712 -7.716

400

-36 48

7 8

36

-48

200

9

4.38

5.712

36

10

7.716

-48

11

400

12

0.1 0

0 12

0 60

-0.1 0

0 -12

0 60

0

60

400

0

-60

200

-0.1

0

0

0.1

0

0

0

-12

-60

0

12

-60

0

60

200

0

-60

400

0 0

-1 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

7 7 Ke2 =

10

8 9

12

8 0 0.1

1 2 3

9 60

1 -12

2 0

3 60

-0.1 400

0 -60

0 0

0 200

12

0

-60

0

0

-3

*10

400.1

175

*10

-3

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

10 10 0.0625 11 Ke3' = 12

0 0

11 0

12 0

4 -0.063

2.9296 23.437 23.437 250

4 -0.025

0

0

0 0

5 0

6 0

-2.93 23.437 -3 -23.44 125 * 10

0.025

0

0

5

0

-2.9296 -23.44

0

2.9296 -23.44

6

0

23.437

0

-23.44

L3 =

4

250

0

-1

0

0

0

0

1 0

0 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

10 10 2.9296 11 Ke3 = 12

125

11 0 0.0625

12 4 23.437 -2.93 0 250

5 0

0 -0.063 -23.44 0 2.9296

5 6

6 23.437 0 125

0

-23.44

0.0625

0 250

176

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

7

Ke =

9

10

11

12

7 16.384

-5.712

24

-4.304

5.712

-36

8 -5.112

7.816

48

5.716

-7.716

48

9

24

8

-3

*10

Q7

10

Q8

0

Q9

=

0

48

800

36

-48

200

10 -4.304

5.712

36

7.3136

-5.712

59.437

Q10

11 5.712

-7.716

-48

-5.712

7.716

-48

Q11

0

650

Q12

15

12

-36

48

200

59.437

-48

15

Q7 = 5012 Q8 = 2109.4 Q9 = -830.1 Q10 = 14134 Q11 = -3375.1 Q12 = -1191.3 Calculo de las Reacciones R = [Kij] [q] 7 R2 =

8

9

-12

0

-60

1

0

-0.1

0

2

60

0

10 R3 =

5012

-3

*10 * EI

200 3

11

*1/EI =

2109.4 -830.1

-10.34 lb/pulg -0.211 lb/pulg 134.9 lb/pie

12

-2.9296

0

0

-0.0625

-23.4375 4 0

5

23.4375

0

125

6

-3

*10 * EI

14134 -3375 -1141

177

lb/pulg lb/pulg 216.88 lb/pie -14.65

*1/EI =

0.21

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

830.1 5012

14134

1141.3

2109.4

3375.1

Problema N° 19 W = 300 kg/m. 2000 kg.. E = 217370.6 kg/cm² 4 I = 67500 cm A = 900 cm²

. 2 .1

3

4

8.00 m

5 1

1

8

2 4

7

6 .

2

9

3 2

3

11

4 1

12

10

3 1) Tabla de Conectividad: ELEMENTO

I j Le

A

B

C

D

E

Lm

1

1 2 800 24.454

0.0343

13.755

7336.25

3668.12 1 0

2

1 3 400 48.908

0.275

55.022

14672.52

7336.25 0 1

3

2 4 400 48.908

0.275

55.022

14672.52

7336.25 0 1

T

Ke = L K L

178

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

4 4 5 K4=

24.454

5

6

7

8

0 0 -24.454 0 0 0.0343 13.755 0 -0.0343 13.755

6

7336.25

7

0

13.755 3668.1

24.454

8

0

0

0.343

-13.76

9

L3 =

24.454

9

7336.3

1 0

0 1

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0 0 -24.454 0 0 0.0343 13.755 0 -0.0343 13.755 7336.25

0

-13.755 3668.12 *10

24.454

0

0

0.0343 -13.755 7336.25 T

Ke = L K‟e L

179

4

Análisis Estructural

L=

1

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

2

3

4

5

6

0.2751

0

-55.0219

-0.2751

0

-55.0219

48.9

0

0

-48.9

0

14672.5

55.0219

0

7336.25

0.2751

0

55.0219

48.9

0

2 Ke2=

Ing. F. Godiño Poma

3 4 5 6

10 11 Ke3''= 12 7

14672.52

10 48.9

11 0

12 0

7 -48.9

8 0

9 0

0.2751

55.0219 14672.5

0 0

-0.2751 -55.0219

55.0219 7336.25

48.9

0

0

8

0.2751

9

55.0219 14672.52

180

Análisis Estructural

4 24.7291

4 KT=

Ing. F. Godiño Poma

5 6

5 0

6 -55.0219

7 -24.454

8 0

9 0

48.9343

13.755 22008.765

0 0

-0.0343 -13.755

13.755 3668.128

0

55.0219

7

24.7291

8

48.9343

9

*104

-13.755 22008.765

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1

L3=

KQ = F F = Fext. – F int. 6

10

wl² =160000 12

5 4

9

wl² =1200 2 Fuerzas Internas en los extremos de los elementos:

2000 -0 0 -1200 0 -160000 F= 0 -0 = 0 -1200 0 160000

2000 -1200 -160000 = Q = K-1 * F = 0 -1200 160000 181

cm 24.5644 cm 5.49 cm 4705.41 cm -24.51 cm 5.41 cm 4746.17

Análisis Estructural

P13 =

Ing. F. Godiño Poma

48.9

0

0

0

0.2751

-55.0219

-55.0219

14672.515

4746.17 *

-24.51

=

-1

0

0

0

0

1

-1607.74

24.454

0

0

0

0.0343

13.755

13.755

7336.25

-24.51

0

341695.39

4705.41 [I] +

1

-1201.19

5.49

P12 =

*

0

[I] +

996.94

=

0

0

0

-0.0343

13.755

-13.755

3668.12

4

*10

149.92

5.41

-24.454

60119.79

Problema N° 20 A = 10 pulg² 4 600 k-p I = 200 pulg

100 pulg.

A = 10 pulg² 4 I = 200 pulg

200 pulg.

A = 5 pulg² A = 5 pulg² 4 4 I = 100 pulg I = 100 pulg

200 pulg.

100 pulg.

E = 30000 kg/pulg²

182

*

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Solución: 14 5 4 1

.2

15 11

8

13

3 7

10

9 .1

12

3 2

5 1

1

4

ELEMENTO

i

j

Le

1

2

1

2

2

3

3

3

4

4

3

5

4

3

6

A

B

C

200

750

4.5

200

1500

9

223.6 670.84 100

D

E

L

m

450

60000

30000

0

-1

900

120000

60000

1

0

3.22

360.02

53667

26833.6

0.447

-0.894

72

3600

240000

120000

0

1

3000

T

Ke = L Ke‟ L 7 8 7 8 K1 =

4.5

0 750

9

9

1

2

3

450 0

-4.5 0

0 -750

450 0

60000

-450

0

30000

4.5

0

-450

750

0

1 2 3

60000 7

7 8

1500

8

9 0 9

0 900

183

10 -1500 0

11

12 0 -9

0 900

Análisis Estructural

K2=

Ing. F. Godiño Poma

120000

9

0

10

-900 60000

1500

11

0

0

9

-900 12000 0

12

10

11

12

4

5

6

10 136.61 -266.79 321.86 -136.61 266.79 11 536.8 160.92 266.79 -536.8 K3 = 12

321.86 160.93

5.3667 -321.85 -160.93 26833.63

4

136.61 -266.79

5

536.8

-321.86 -160.93

6

53667

10 11

10

11

12

13

14

15

72

0 3000

-3600 0

-72 0

0 -3000

-3600 0

0

120000

0

3600

3000

0

K4= 12

240000 3600

13

72

14 15

240000

7 7 1504.5 8 T

K =

9

8

9

10

11

12

0 759

450 900

-1500 0

0 -9

0 900

180000

0

-900

60000

10

1708.61 -266.79 -3278.14

11

3545.8

12

-739.08 41366.7

184

Análisis Estructural

Q=

Ing. F. Godiño Poma

200 0 -500 0 0 0

1.38 -0.00112 -0.00957 1.2499 0.0940 0.01146

-1

K =

Nudo 1

Nudo 2

Fuerza en los Extremos de los Elementos: Pij = Kii Li qi + K‟ji – Lj qj

750 P21 =

0

0

0

-1

1.38

4.5

450

1

0

-0.00112 1

-0.00957

1.2499

195.15

60000 0.84 P21 =

k

1.9035 46.8

k k-pulg

7

8

9

1500

0

0

-9

900

P23 =

0.094

*

60000

P23 =

=

7

8

9

1500

0

0

9

900 120000

185

0.01146

=

k

0.8449

k

-546.4

k-p

1.38 *

[ I ]

-0.00112 -0.00957

+

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

10

11

12

670.84

0

0

3.22

360.021

P34 =

*

0.447

-0.894

1.2499

0.894

0.447

0.094

53667

7.85 1032.44

10

11

12

1500

0

0

9

-900

P32 =

1.2499 *

[ i ]

0.094

120000

1.38 [ I ]

0.01146

k k k-p

318.42 P34 =

1

-0.0011 -0.00952

=

0.01146

-195.2

k

-0.844 715.39

k k-p

7

8

9

-1500

0

0

11

-9

900

12

-900

60000

10 +

Reacciones: R = [Ke] ij [q ]i

R1 =

13 R5 = 14 15

7

8

9

-4.5

0

-4.5

0

-750

0

450

0

30000

1

1.38 2

3

-0.00112 -0.00957

10

11

12

-72

0

3600

1.2499

0

-300

0

0.094

-3600

0

120000

186

=

0.01146

-1.9

k

0.834

k

333.9

k-p

-48.73 Kg

=

-282

Kg

-3124.44 Kg*pulg

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

10

11

12

4 R4 = 5

-136.6 266.79

266.79 -536.8

-321.85 -160.93

6

321.86

160.93

26833.63

10

11

12

3000

0

0

7.2

3600

P35 =

*

240000

P35 =

282

k

-48.7368 -1749.24

k

1.2499 0.094

=

0.01146

-149.35 284.85 725

Kg Kg Kg*pulg

0

1

1.2499

-1

0

0.094 1

0.01146

k-p

5.2 ANÁLISIS BIDIMENSIONAL DE PÓRTICO POR COMPUTADORA. Ejemplo 3 : Para la siguiente estructura, diseñar el acero requerido para soportar las cargas mostradas.

187

Análisis Estructural

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Paso1: Después de ingresar al sap2000, elegir unidades en la parte inferior de la derecha de la pantalla Ton – mt – C. Definimos la malla sobre la que se trabajara y/o se dibujara la Estructura a analizar. Esto es en Define grid Data for GLOBAL Coordinate System. Procediendo a ingresar los datos, según la geometría de la estructura .

Paso 2: luego definimos el tipo de Material en la ventana de Define Materials y elegimos la opción mostrada en (CONC) y hacemos en Clic Add New Material…, para poder crear el material a utilizar, que para este ejemplo será Con210, que representara a la resistencia a la compresion al concreto : f´c=210 kg/cm2.

188

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 3: Ingreso en Material Property Data las propiedades de los materiales, sabiendo que es un material isotropico y que el tipo de análisis que realizaremos será Elastico.

Paso 4: Procedo a asignar las Secciones, con Add rectangular. , para poder asignar su seccion transversal, teniendo en cuenta que el material q utilizo es el CON210.

189

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 5: En Rectangular Section, dimensiono la seccion, colocando primero el peralte y despues el fondo de la viga. La viga será de 0.60*0.30 mt.

Paso 6: Selecciono Concrete Reinforcement ( por tratarse de elemento de concreto reforzado), y nos muestra la ventana de Reinforcement Data donde Top viene a ser el recubrimiento superior y Botton el recubrimiento inferior de la viga, que para este caso consideraremos 0.06 mt. Tanto superior como inferior

190

Análisis Estructural

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Paso 7: Del mismo modo procedo a signar la seccion de la Columna.

Paso 8: Seccion de la columna 0.60*0.40 mt.

191

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 9: Asigno los recubrimientos. Y activo Reinforcement to be Designed, para que el programa me diseñe el acero requerido para soportar los esfuerzos debidos a las cargas externas.

Paso10: Graficamos la estructura sobre la malla definida inicialmente, asignando columnas y vigas.

192

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 11. Asignación de Elementos Viga.

Paso 12: Seleccionamos los tres apoyos de la estructura y asignamos su restricción, entrando a la Ventana Assign y la opción Joint – Restraints.

193

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 13: La ventana mostrada nos indica el tipo de restricción que debemos darle al apoyo. Para este caso asignamos empotramiento perfecto, por estar en contacto directo con la cimentación

194

Análisis Estructural

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Paso 16: Finalmente se tiene a la estructura lista para la asignación de cargas y su respectivo análisis.

Paso 17: Para poder ver si la asignación de las secciones es la correcta, hacemos Clic en el icono Display options For Active Window, y hacemos Clic en sections para que el sap-2000 nos muestre las secciones asignadas.

Paso 18: Realizo el paso mostrado en la grafica para poder asignar las cargas distribuidas del ejemplo.

195

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 19: Se tendra la siguiente ventana donde procedemos a asignar la carga muerta de 2.0 tn/ml.

Paso 19: Nos muestra la estructura con las cargas asignadas.

196

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 19: Analizamos la estructura, definiendo el tipo de análisis por tratarse de un análisis bidimensional, hacemos Clic en Plane Frame

Paso 19: El tipo de análisis a realizar será del tipo estático, ya que no se ha realizado combinaciónes de cargas, ni se ha inducido a la

197

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

estructura a cargas dinámicas. Por lo que asigno únicamente Análisis estático.

Paso 19: Luego de realizado el análisis, procedo a seleccionar el diagrama de momentos en la dirección 3-3, para que me muestre los diagramas de esfuerzos y momentos finales, con los cuales diseñare la estructura.

198

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 19: Se aprecia en diagrama de fuerza axial y el diagrama de momentos flectores, por carga muerta.

5.3 DISEÑO DE PÓRTICOS POR COMPUTADOR. Paso 19: Procedemos a realizar el diseño de la estructura, con la opción Concrete Frame Design…

199

Análisis Estructural

Ing. F. Godiño Poma

Paso 19: Escogemos el código de diseño ACI 318-02.

Paso 20: Pasamos a seleccionar el tipo de combinación, con la que se deberá realizar el diseño del pórtico.

200

Análisis Estructural

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Paso 20 : Para poder realizar el diseño, hacemos Clic en Start design/Check of Structure.

Paso 20: Luego observamos la cantidad de acero para cada elemento. Esta cantidad de acero, deberá verificarse para dar cumplimiento a la Norma E-060 de concreto Armado.

201

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Paso 20: Se puede ver los detalles de diseño, haciendo doble Clic en cada barra de interes.

202

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CAPITULO VI VI LÍNEAS DE INFLUENCIA Introducción En los capítulos anteriores analizamos estructuras que soportaban cargas fijas en un lugar. Ya se tratase de vigas, marcos o armaduras o sin las funciones buscadas eran cortantes, reacciones fuerzas en los elementos etc. 6.1 CONSIDERACIONES GENERALES Si bien en el tratamiento del tema, por simplicidad nos referimos a casos de vigas, la generalización a otros tipos de estructuras es casi inmediata y no requiere de nuevos conceptos a los necesarios en nuestro tratamiento. La posibilidad de cargas móviles implica la necesidad de obtener: a) las solicitaciones, deformaciones, etc., que produce una carga (o un estado de cargas) para distintos puntos de aplicación de la misma. b) El estado más desfavorable de aplicación de la carga, que trae aparejada las mayores solicitaciones o deformaciones, y con las cuales tiene que ser evaluada una sección dada Estas dos necesidades deben ser tenidas en cuenta en todas las secciones de la viga, o por lo menos, en varias secciones características según las circunstancias. El trazado de diagramas o Líneas de Influencia nos permite una adecuada respuesta a las dos necesidades y su utilización es casi imprescindible en el caso de estudios de puentes, puentes grúa, etc., Donde las cargas móviles (p) tienen una cierta importancia con respecto a peso propio o carga permanentes (g). Definición De Líneas De Influencia Definiremos como líneas de influencia de una solicitación (o deformación), en la sección A-A, a un diagrama tal, que su ordenada en un punto i mida, en una determinada escala, el valor de la solicitación en la sección A-A (o de la deformación), cuando en el punto i de referencia actúa una carga de valor unitario. En el caso de la figura, diremos que η Mf (A) es la Línea de Influencia del momento flector en A, si se cumple que la ordenada δi Representa el valor del momento flector en A para una carga P = 1 aplicada en el punto i.

203

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Mf (A) = δi * (escala de L. de I.) para P = 1 aplicada en i Si P ≠ 1 se cumplirá: Mf (A) = P * δi * (escala de L. de I.). Esto mismo puede aplicarse para otros estados de carga y otras solicitaciones, reacciones, Deformaciones, etc. (Ver Figura 58.)

Fig 58.

6.2 LÍNEAS DE INFLUENCIA PARA MOMENTOS EN VIGAS SIMPLES Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que se pueden clasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes o vivas y/o cargas de construcción. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estará presente en la vida útil de la estructura y producirá sobre esta efectos constantes; la carga viva o no permanente fluctúa tanto en posición sobre la estructura como en su duración produciendo efectos variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos máximos en ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio más complejo. Problema 21 : Una viga simplemente apoyada con voladizo a un lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un momento positivo en la luz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en este ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para que produzca los efectos máximos y así cuando diseñemos no corramos el peligro de que nuestra estructura falle. Fig 59.

204

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En esta parte estudiaremos el método de las líneas de influencia para colocar la carga viva o variable de tal manera que produzca efectos máximos de corte, flexión, reacciones y deflexiones tanto para cargas puntuales como para cargas distribuidas. La línea de influencia es un grafico que define la variación de un esfuerzo (corte, momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una carga unitaria sobre ella. La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a la elástica de la viga, estos representan la variación de la función a lo largo de la viga para una serie de cargas definidas y el otro define como varía V, M o δ en un punto específico cuando se mueve una carga unitaria sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición. La línea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos de linealidad, proporcionalidad y superposición se puede determinar la función específica simplemente multiplicando el valor de la línea de influencia por el valor de la carga real. Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles. Determinación de la línea de influencia: La línea de influencia es una gráfica en la cual las ordenadas representan una fuerza interna o deflexión y la abscisa representa la posición de una carga unitaria. Para su construcción se define el punto de estudio sobre la estructura, se comienza a variar la posición de la carga puntual y se encuentra el valor del esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se puede construir una tabla del valor de la

función vs la posición de la carga y después se grafica. Otro método es encontrando la ecuación de la línea de influencia y graficando. Construyamos la línea de influencia para la reacción en A de la siguiente viga:

205

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Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula RA. Otro método es encontrando la ecuación de la variación de la reacción en A a medida que se mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reacción en función de la posición x de la carga P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por proporciones tenemos:

Notemos que la ecuación tiene pendiente negativa y con una variación lineal para RA.

Fig 60.

Para obtener el valor de la reacción en A para cualquier carga P, se multiplica la ordenada de la línea de influencia por el valor de la carga. Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A el valor de la reacción sería:

206

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Línea de influencia para el cortante en A: Se determina la variación del cortante en A por el método de las secciones:

En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en función de la posición x y después se aplica el método de las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la línea de influencia:

Figura 61. Haciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en x>0

tenemos:

En este caso concluimos que la línea de influencia del cortante en A es igual a la de la reacción en A. Note que la línea de influencia se hace para la convención positiva de los esfuerzos internos. Línea de influencia para la reacción en B:

207

Análisis Estructural

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Línea de influencia para el momento en A: Para cualquier posición de la carga unitaria el momento en A será cero.

Línea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2 Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:

Fig 62.

Para xL/2 se toma la sección A-C para equilibrio:

209

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Línea de influencia para el cortante en C:

Momento en C:

Problema 22. Construya la línea de influencia para el cortante y momento en el punto B y diga en que puntos debe colocar una carga puntual para producir los máximos efectos de cortante y momento en B.

Figura 63.

Encontremos las reacciones en función de x: 210

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Líneas de influencia para corte y momento en B: 0 < x < 4m

211

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Para 4

ρ = 0.004468

Ok!!

Verificación del eje neutro a = As * fy 0.85 * f‟c * b

a = 106.41 * 4200 0.85 * 210 * 180

a = 13.91


Δ f f f = 1139.56 kg/cm² Ok!!

>

Δ f = 977.39 kg/cm²

DISTRIBUCIÓN DE ACERO Usaremos barras de 1” su área será Ab = 5.067 cm² # barras = As Ab

=

106.41

=

21 varillas

5.067

Debido a la gran cantidad de acero en lugar de distribuirlo en varias capas lo haremos en paquetes y en dos capas. REFUERZO MINIMO EN COMPRESIÓN Según el Art. 1.5.7 de la Norma AASHTO: En alguna sección de un miembro flexionante excepto paredes y losas, donde el refuerzo es dado por análisis, la relación ρ dada, no será menor que: ρ Min. = 14 Fy En vigas T, donde el alma esta en tracción la relación ρ será completada para este propósito usando el ancho del alma. Acatando este criterio el refuerzo mínimo será en compresión será: As min = ρ Min. * b * d As = 0.003333 * 40 * 126 = 16.79 cm² Usare 4 varillas de 1” en toda la longitud de la viga. 244

ACERO EN COMPRESIÓN DE LA VIGAS ρ min = 14 Fy As min = 14 * b * d fy As min = 14 * 40 * 126 4200 As min = 16.8 cm² As min = 4 ø 1” Nota.- As mínimo en compresión en el apoyo hasta una distancia 2 d del apoyo zona de confinamiento, se tendrá un tercio como mínimo del acero en tracción, esto es:

As min. = 1 (106.41) 3 As min = 35.47 cm² Usare: 6 ø 1” = 30.402 cm² 2 ø ¾” = 5.70 cm² At

= 36.10 cm²

>

35.47 cm²

LONGITUD DE DESARROLLO EN TRACCIÓN La longitud de desarrollo básica “ld” en cm. será la mayor de: L db = 0.06 * Ab * fy √ f‟c L db = 0.06 * 5.067 * 4200

= 88.11 cm

√ 210 L db = 0.06 * db * fy L db = 0.06 * 2.54 * 4200 = 64.01 cm. cm. 245