-1- LINEAS DE ESPERA. 12.- Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de auto servicio, según una distribución de Po
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LINEAS DE ESPERA. 12.- Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de auto servicio, según una distribución de Poisson con media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos .El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos. El espacio en frente de la ventanilla, incluyendo al auto al que se le está dando servicio, puede acomodar un máximo de tres automóviles. Otros vehículos pueden esperar fuera de este espacio. a) ¿ Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega pueda manejar directamente hasta el espacio frente a la ventanilla ? b) ¿ Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tendrá que a aguardar fuera del espacio indicado? c) ¿ Cuántos espacios deberán proporcionar enfrente de la ventanilla de manera que todos los clientes que llegan puedan esperar frente a ésta al menos 20 % del tiempo ?. SOLUCIÓN (M/M/) : (DG//) : 10 Clientes/hora = 0.16667 Clientes/minuto 10
Clientes 1 hora * hora 60 minutos
= 0.16667 Clientes/minuto
: 5 minutos P0 =
1
=
1
0.16667 5
= 1 – 0.03333 = 0.96667
P0 = 96.667 % 96.7 % La probabilidad de que un cliente llegue y pueda manejar directamente hasta el espacio de la ventanilla es del 96.7 % a)
=
0.16667 5
= 0.03333
Pn = (1 – ) n = (1 - 0.03333)*(0.03333) 4 = 0.96667*0.000001 P4 = 0.000001 = 0% Como son tres las ventanillas de atención, la probabilidad de que un cliente llegue y tenga que aguardar fuera del espacio indicado es del 0 %. b)
Pn = (1 – ) n (1 - 0.03333)*(0.03333) (0.03333)
n
=
n
= 0.2
0 .2 0.9667
n log(0.03333) = log (0.20689) n =
0.68426 1.47716
= 0.46320
n 1
Los espacios en la ventanilla para que un cliente espere por lo menos el 20 % frente a ella tiene como óptimo 1 sola ventanilla. 13.- Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para dar servicio a automóviles. Se estima que los autos llegan de acuerdo a una distribución de Poisson a la tasa de 2 cada 5 segundos y que hay espacio suficiente para dar cabida a una fila de 10 automóviles. Otros autos que llegan pueden esperar fuera de este espacio de ser necesario. Los empleados quedan 15 minutos en promedio en surtir un pedido, pero el tiempo de servicio varía en realidad, según una distribución exponencial. Determine lo siguiente : a) La probabilidad de que el estacionamiento esté inactivo. b) El número esperado de clientes en espera, pero que no se les atiende en el momento. c) El tiempo de espera calculando hasta que un cliente pueda hacer su pedido en ventanilla. d) La probabilidad de que la linea de espera sea mayor que la capacidad de espacio que conduce a la ventanilla de servicio de automóviles. SOLUCIÓN (M/M/) : (DG/N/) a) : 2/5 Automóviles/hora = 0.4 Automóviles/minuto
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N = 10 : 1.5 minutos
P0 =
1 1 N 1
=
0.4 1.5
= 0.73333
=
1 0.26667 1 0.2666711
=
0.73333 0.99999
= 0.73333
P0 = 73.333 % 73 % La probabilidad de que el restaurante esté inactivo es del 73 % b)
P1 = (0.26667)*(0.73333) = 0.19556 P2 = (0.26667)2*(0.73333) = 0.05215 P3 = (0.26667)3*(0.73333) = 0.01391 P4 = (0.26667)4*(0.73333) = 0.00371 P5 = (0.26667)5*(0.73333) = 0.00099 P6 = (0.26667)6*(0.73333) = 0.00026 P7 = (0.26667)7*(0.73333) = 0.00007 P8 = (0.26667)8*(0.73333) = 0.00002 P9 (0.26667)9*(0.73333) = 0.00000 ef = (P0+P1…….+Pn) ef = 0.4*(0.73333+0.19556+0.05215+0.01391+0.00371+ 0.00099+0.00026+0.00007+0.00002+0.000) ef = 0.4
Ls =
1 N 1 N N N 1 (1 )(1 N 1 )
Ls =
0.26667 * 1 10 1 * 0.26667 10 10 * 0.26667 10 1 (1 0.26667)(1 0.26667101 )
Ls =
0.26667 0.73333
Lq =
Ls
ef
= 0.36364
= 0.36364 +
0.4 1.5
= 0.63031
Lq 1 automóvil. El número esperado de clientes en espera es de 1 automóvil. c)
Lq
Wq =
ef
=
0.63031 0 .4
= 1.57578 1.58 minutos.
El tiempo de espera calculado hasta que un cliente pueda hacer su pedido es de 1.58 minutos, no incluye el tiempo de servicio. d)
Pn =
1 * n 1 N 1
=
1 0.26667 * 0.26667 11 10 1 1 0.26667
=
0.73333 0.99999
= 0.73333
P11 = 73.333 % 73 % La probabilidad de que la línea de espera sea mayor a la capacidades del 73 % puesto que la capacidad es de 10 automóviles Markov 1.- Formule las siguientes cadenas de Markov:
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- L a p r o b a b i l i d a d d e u n a h u e l g a m a ñ a n a e s d e 0 . 8 0 , s i p e r s i s t e l a h u e l g a h o y, m i e n t r a s q u e l a p r o b a b i l i d a d q u e s e t r a b a j e m a ñ a n a e s d e 0 . 8 5 s i s e t r a b a j a h o y. a ) E s c r i b a l a m a t r i z d e t r a n s i c i ó n d e l a c a d e n a d e M a r k o v. b) Encuentre la probabilidad de estabilidad del sistema. SOLUCIÓN S1 : Huelga. S 2 : Tr a b a j o . a)
S1
S2
S1 0.80 0.20 S2 0.15 0.85 b)
0.80 x 2 0.15
x1
0.20 x1 0.85
x2
0.80x 1 0.15x 2 x 1 0.20x 1 0.85x 2 x 2 0.20x 1 0.15x 2 0 0.20x 1 0.15x 2 0
x1 x 2 1 x 2 1 x1 0.20x 1 0.15(1 x 1 ) 0
0.20x 1 0.15 0.15x 1 0 0.35x 1 0.15 x1
0.15 0.35
x 1 0.43 x 2 1 x 1 1 0.43 x 2 0.57 La probabilidad de estabilidad del sistema es (0.43 , 0.57), es decir existe el 43 % de probabilidad de que haya huelga mañana al igual que el 57 % de la probabilidad es que se trabaje. 2.- Se tiene dos acciones. Las acciones 1 se vende a 10 dólares o 20 dólares. Si hoy las acciones 1 se venden a 10 dólares, hay una posibilidad 0.80 de que mañana se venderán a 10 dólares. Si las acciones 1 se venden hoy a 20 dólares, hay una probabilidad 0.90 de que mañana se venderán a 20 dólares. Las acciones 2 siempre se venden a 10 dólares o a 25 dólares. Si e venden hoy a 10 dólares hay una probabilidad 0.85 de que mañana se vendad a 25 dólares. En promedio , ¿ Qué acciones se venden a mayor precio ?. Determine e interprete todos los tiempos promedio de primer pasaje. SOLUCIÓN Sean los estados: E1 :las acciones 1 se venden a 10 $. E2 .las acciones 1 se venden a 20 $. 0.80 0.20
( 0)
x
( 0.5 0.5 )
0.10 0.90
x =( 0.5 0.5 )
0.80 0.20 0.10 0.90
( 1)
x
( 0.45 0.55 )
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E1= 45% E2= 55% (x,y)P=(x y) 0.8x + 0.1y =x 0.2x + 0.9y =y 0.8x + 0.1 – 0.1x = 0 -0.3x = -0.1 x =1/3 y =2/3
y = 1-x
Por tanto : 10(1/3)+20(2/3) = 16.667 $. Para la acción 2: E1: las acciones 2 se venden a 10$. E2: las acciones 2 se venden a 25$ 0.90 0.10
( 0)
x
0.15 0.85
x = ( 0.5 0.5 )
0.90 0.10 0.15 0.85
( 0.5 0.5 )
1
x
( 0.52 0.48)
E1=52% E2=48% 0.9x + 0.15y = x 0.1x + 0.85y = y 0.9x + 0.15 – 0.15x – x = 0 0.25x x y Por tanto: 0.6(10) + 0.4(25)=
= -0.15 = 0.6 = 0.4 16$.
Las acciones 1 se venden a 20$ siendo este su mayor precio, con un porcentaje de 55%, mientras las acciones 2 se venden a 10$ con su mayor precio con un porcentaje de 52%. Las acciones 1 se venden a mayor precio: 16.667 $, 0.667 más que las acciones 2. 3.- Una compañía presenta un nuevo producto al mercado. Si las ventas son altas existe una probabilidad de 0.5 de que se mantendrán a ese nivel el mes siguiente. Si no son altas, la probabilidad de que aumentarán el mes siguiente es solo de 0.2. La compañía tiene la opción de elaborar una campaña publicitaria. Si lo hace y las ventas son altas, la probabilidad de que se mantendrán así el mes siguiente aumentará a 0.8. Por otra parte, una campaña publicitaria mientras las ventas son bajas aumentará la probabilidad a solo 0.4. Si no recurre a la publicidad y las ventas son altas, se espera que los rendimientos sean 10, si las ventas se mantienen altas el mes siguiente y 4 si ni sucede esto. Los rendimientos correspondientes si el producto empieza con ventas altas son 7 y –2. Recurriendo a la publicidad se generarán rendimientos de 7 si el producto comienza con ventas altas y se mantiene en ese nivel y de 6 si no ocurre esto. Si las ventas empiezan bajas, los rendimientos son 3 y –5, dependiendo de si las ventas se mantienen altas o no. Determine la política óptima de la compañía para los 3 meses siguientes y luego los 5 meses siguientes. SOLUCIÓN Sean los estados: S 1 : Ve n t a s a l t a s S 2 : Ve n t a s b a j a s Periodo n = 1 mes Acción k = 1 Sin publicidad
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E1
E2
E1 1
0.5 0.5
1
P
R
0.2 0.8
E2
10
4
7
2
Acción K = 2 Con publicidad E1
E2
E1 2
0.8 0.2
2
P
R
0.4 0.6
7
E2 6
3
5
Cálculo de rendimiento esperado: V11 V11 V12 V22
= = = =
0.5 0.5 0.8 0.4
(10) + 0.5 (4) = 7 (10) + 0.5 (4) = 7 (7) + 0.2 (6) = 6.8 (3) + 0.6 (-5) = -1.8
Aplicando las funciones recursivas: fn (i) = Máx {Vik} fn (i) = Máx {Vik + Σ Pij + fn+1(j)} Etapa N I 1 2 Etapa N – 1 i 1 2 Etapa N-2 i 1 2
Etapa N-3 i 1 2 Etapa N-4 i 1 2 Etapa N-5 i 1 2 Etapa N-6 i 1 2
K = 1 7 -0.2
K = 2 6.8 -1.8
K = 1 7+0.5(7)+10.5(0.2) =10.54 -0.2+0.2*7+0.8* (-0.2)=1.04 K = 1 7+0.5(12.36)+0.5(1.04) =13.7
fn (i) 7 -0.2 K = 2 6.8+0.8*10+ (0.2)=12.36 -1.8+0.4*7+0.6(0.2)=0.88
K* 1 1 fN-1 12.36
K* 2
1.04
1
K = 2 6.8+0.8(12.36)+0.2 (1.04)=16.896 1.8+0.4*12.36+ 0.6(1.04)=3.768
fN-1 16.896
K = 1 7+0.5(16.896)+0.5 (3.22) =17.333 -0.2+0.2*16.896+0.8* (3.22)=6.195
K = 2 6.8+10.8*16.896+0.2 (3.77)=21.071 1.8+0.4*16.998+0.6(3. 22)=7.22
fN-1 21.071
K = 1 7+0.5(21.071)+0.5 (7.22) =21.146 -0.2+0.2*21.071+0.8* (7.22)=9.79
K = 2 6.8+0.8*21.071+0.2 (7.22)=25.101 1.8+0.4*21.071+0.6(7. 22)=10.96
fN-1 25.101
K* 2
10.96
2
K = 1 7+0.5(25.101)+0.5 (10.96) =25.03 -0.2+0.2*25.101+0.8* (10.96)=13.59
K = 2 6.8+0.8*25.101+ 0.2(10.96) =29.073 1.8+0.4*25.101+0.6(10 .96) =14.816
fN-1 29.073
K* 2
14.816
2
K = 1 7+0.5(29.073)+0.5 (14.816) =28.94 -0.2+0.2*29.073+0.8*
K = 2 6.8+0.8*29.073+0.2+ (14.816)=33.022 -
-0.2+0.2*12.36+0.8* (1.04)=3.104
3.77
7.22
fN-1 33.022 18.719
K* 2 2
K* 2 2
K* 2 2
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Etapa N - 7 i 1 2
(14.816)=17.467
1.8+0.4*25.101+0.6(14 .816=18.7
K = 1 7+0.5(33.022)+0.5 (18.719) =32.87 -0.2+0.2*33.022+0.8* (18.0719)=21.78
K = 2 6.8+0.8*33.022+0.2 (18.719)=36.96 1.8+0.4*33.0227+0.6(1 8.79 =22.64
fN-1 36.96
K* 2 2
22.64
Para los tres primeros meses, es decir N = 3 En el primer mes debe realizarse publicidad no importa si se tengan ventas altas o bajas, en ambos casos es conveniente realizar la publicidad. En el segundo mes debe hacerse publicidad solo si las ventas son altas. En el tercer mes, no debe realizarse publicidad en ningún caso. El beneficio óptimo esperado es: 16.896 $, si en el primer mes las ventas fueron altas. 3.77$, si en el primer mes las ventas fueron bajas. Para 5 meses adicionales,
N=8
Durante los 6 primeros meses debe realizarse publicidad, sin importar el estado de las ventas. En el séptimo mes se deberá hacer publicidad solo si el estado de ventas es alto. En el octavo mes no debe realizarse publicidad. El beneficio esperado es de : 36.96 $, si las ventas en el mes inicial fueron altas. 22.64 $, si las ventas en el primer mes fueron bajas. 4.- Al principio de cada año mi automóvil está en buen, regular o mal estado. Un buen automóvil será bueno al principio del año siguiente, con probabilidad de 0.85, regular con probabilidad de 0.10 y mal con probabilidad de 0.05. Un automóvil regular estará regular al principio del año siguiente con probabilidad 0.70 y mal con probabilidad 0.30. Cuesta 6000 dólares comprar un buen automóvil, uno regular se puede conseguir por 2000 dólares; uno malo no tiene valor de venta y se debe reemplazar de inmediato por uno bueno. Cuesta 1000 dólares al año el funcionamiento de un buen automóvil y 1500 dólares el de uno regular. ¿ debo reemplazar mi automóvil tan pronto como se vuelva regular, o debo esperar hasta que se descomponga ? Suponga que el costo de funcionamiento de un automóvil durante un año depende del tipo de vehículo que se tiene a la mano al principio del año ( después de llegar cualquier auto nuevo, si es el caso). SOLUCIÓN Sean los estados: S1 = Automóvil en buen estado. S2 = Automóvil en regular estado. S3 = Automóvil en mal estado. Matriz de transición: S1 S2
S3
S1 0.85 0.10 0.05 S2 S3
0
0
0.70 0.30
1
0
S1 -> V1 = 0
0
0
6000 8000 0
0
1000 1500 0
S2 -> V2 = 1400
i
:
1
2
3
Vi
:
0
1400
1000
S3 -> V3 = 1000
Los valores fn (i) se determinan : f3 (1) = 0 + 0.85*0 + 0.10 * 0 + 0.05 * 0 = 0 f3 (2) = 1400 + 0 (6000) + 0.70 * 2000 + 0.30 * 0 = 2800 f3 (3) = 1000 + 1 *(1000) + 0 * 1500 + 0* 0.0 = 2000
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--f2 (1) = 0 + 0.85*0 + 0.10 * 1400 + 0.05 * 1000 =190 f2 (2) = 1400 + 0 *0 + 0.70 * 1400 + 0.30*1000 = 2680 f2 (3) = 1000 + 1 *0 + 0 * 1400 + 0* 1000 = 1000 --f1 (1) = 0 +190 * 0.85 +2680* 0.10 * 1000 + 0.05 *0 =929.5 f1 (2) = 1400 + 190 *0 + 2680 *0.70 + 1000 * 0.30 = 3576 f 1 ( 3 ) = 1 0 0 0 + 1 9 0 * 1 + 2 6 8 0 * 0 + 1 0 0 0 * 0 . 0 = 11 9 0 5.- Una empresa tiene un programa de adiestramiento que contempla dos fases la fase 1 de tres semanas de adiestramiento en aula. La fase 2 de 3 semanas de aprendizaje ya trabajando bajo supervisión. Estudios realizados por la empresa han determinado que de la fase de aula 60% pasan a la fase de aprendizaje y 40% abandonan completamente el programa de la fase de aprendizaje 70% se gradúan de supervisores 10% repiten la fase 2 y 20% quedan fuera del programa. La compañía se ha fijado un plazo de 9 semanas. Cuántos supervisores espera graduar la compañía si tiene actualmente 45 personas en fase de aula y 21 personas en fase de aprendizaje las personas quedan fuera del programa nunca vuelven. SOLUCIÓNSean los estados: E1 : Abandonar E2 : Adiestramiento en aula. E 3 : Tr a b a j a n d o b a j o s u p e r v i s i ó n . E4 : Graduación. Ve c t o r i n i c i a l x 0 = ( 0
45
21
x0 = (0
45/66
0) 21/66
0)
Matriz de transición:
0.90 0.10
( 0)
x
0.15 0.85
x = ( 0.5 0.5 )
0.90 0.10 0.15 0.85
( 0.5 0.5 )
1
x
( 0.52 0.48 )
E1 E2 E3 E4 E1 E2 E3 E4
1
0
0
0.40 0 0.60
0 0
0.20 0 0.10 0.70 0
0
0
1
Cadena de Markov: X(3) = x10 x3 6.- Cada familia norteamericana se puede clasificar como habitante de zona urbana , rural o suburbana. Durante un año determinado el 15% de todas las familias urbanas se cambian a una zona suburbana y el 5 % s e c a m b i a n a u n a z o n a r u r a l . Ta m b i é n e l 6 % d e l a s f a m i l i a s s u b u r b a n a s p a s a n a z o n a u r b a n a y e l 4 5 se mudan a zona rural. Por último el 4% de las familias rurales pasan a una zona rural y el 6% se mudan a una zona suburbana.
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a)
Si una familia actualmente vive en una zona urbana. ¿ Cuál es la probabilidad que después de dos años viva en una zona urbana ? ¿ En zona suburbana? ¿ En zona rural?
b)
Supongamos que en la actualidad el 40% de las familias vive en zona urbana, el 35% en zona suburbana y el 25% en zona rural. Después de dos años ¿ qué porcentaje de las familias norteamericanas vivirá en zona urbana?
c)
¿ Qué problemas se pueden presentar si este modelo se usara para predecir la distribución futura de la población de Estados Unidos?
SOLUCIÓN Sean los estados: S1 : familia vive en zona urbana. S2 : familia vive en zona rural. S1 : familia vive en zona suburbana. Periodo n=1año Sea la matriz de transición P :
S1 S2
S3
S1 0.80 0.05 0.15 S2 0.04 0.90 0.06 S3 0.06 0.04 0.90 a ) Ve c t o r i n i c i a l x 0 = ( 1
0
0) 0.80 0.05 0.15
2
0.04 0.90 0.06 2
0
2
x = x P = (1
0
0)
0.06 0.04 0.90
= (0.651 0.091 0.258)
La probabilidad son las siguientes: Zona urbana
0.651
Zona rural
(65.1%) 0.091
Zona suburbana
0.258
b ) Ve c t o r i n i c i a l x 0 = ( 0 . 4
0.25
(9%)
(25.8%) 0.35)
Entonces:
0.80 0.05 0.15 0.04 0.90 0.06 x2 = x0P2 = (0.4 0.25
0 . 3 5 ) 0.06 0.04 0.90
Después de 2 años el 31.5 % vivirá en zona urbana. 7.- Se tiene la siguiente matriz de transición:
= (0.315
0.266 0.419)
-9-
P =
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
4
4
0
0
1
0
0
0
1 3
0
1 2
0
0
0
0
0
0
2 3
a)
¿ Cuáles estados son transitorios?
b)
¿ Cuáles estados son recurrentes?
c)
Identifique todos los conjuntos cerrados de estados
d)
¿ Es ergódica esta cadena?(demuestre)
e)
¿ A qué se llama distribución de estado estable?
SOLUCIÓN a)
Estados transitorios 6
1)
li1 1 / 4 1 5 / 4
> 1
i 1
6
li 2 1 / 4 1 / 3 7 / 12
2)
< 1
i 1
6
3)
li3 1 1
= 1
i 1 6
4)
li 4 1 / 2
< 1
i 1 6
5)
li5 1 1
= 1
i 1 6
6)
li6 1 2 / 3 5 / 3
> 1
i 1
Los estados 2 y 4 son transitorios b)
Los estados recurrentes:
Se calculan las probabilidades de los estados a largo plazo para
1 ->6 respectivamente:
- 10 -
0
0
1
0 0
0
0
0
0
0 0
1
0
0
0
0 1
0
1 ( x1 x2 x3 x4 x5 x6 ) 4
1
1
0
0
4 1 3
x1 = 0
x4 = 0
x2 = ¼
x5 = 0
x3 = 0
x6 = 3/4
0
1
0
0
0
0 0
0
0
0 0
2
( x1 x2 x3 x4 x5 x6 )
2 3
9.- El valor en el mercado de un automóvil usado se estima en $ 2000. El propietario cree que puede obtener más que esto, pero está dispuesto a escuchar ofertas de los tres primeros compradores prospecto que respondan a su anuncio (lo que significa que debe tomar su decisión a más tardar después de que reciba la tercera oferta). Se espera que las ofertas sean de $ 2000, $ 2200, $2400, $2600, con iguales probabilidades. Naturalmente, cuando él acepte una oferte, todas las posteriores no le servirán más. Su objetivo es el de fijar un límite aceptable que pueda utilizar cuando reciba cada una de las tres ofertas. Por lo tanto, estos límites pueden ser $ 2000, $ 2200, $2400, $2600. Elabore un plan óptimo para el propietario del automóvil. SOLUCIÓN S1 S2 S3 S4
: : : :
Oferta Oferta Oferta Oferta
de de de de
2000 2200 2400 2600
$. $. $. $.
f(i)=max{vi} P(f1) = 0.25 P(f2) = 0.25 P(f3) = 0.25 P(f4) = 0.25 D = $ 2000 f(i) = máx{vi + Pij fn+i(j)} Para la Primera oferta S1 = 2000 + (0.25 * 2000 + 0 * 2200 + 0 * 2400 + 0 * 2600) = 2500 S2 = 2000 + (0 * 2000 + 0.25 * 2200 + 0 * 2400 + 0 * 2600) = 2550 S3 = 2000 + (0 * 2000 + 0 * 2200 + 0.25 * 2400 + 0 * 2600) = 2600 S4 = 2000 + (0 * 2000 + 0 * 2200 + 0 * 2400 + 0.25 * 2600) = 2650 Para la Segunda oferta S1 = 2000 + (0.25 * 2500 + 0 * 2550 + 0 * 2600 + 0 * 2650) = 2625.0 S2 = 2000 + (0 * 2500 + 0.25 * 2550 + 0 * 2600 + 0 * 2650) = 2637.5 S3 = 2000 + (0 * 2500 + 0 * 2550 + 0.25 * 2600 + 0 * 2650) = 2650.0 S4 = 2000 + (0 * 2500 + 0 * 2550 + 0 * 2600 + 0.25 * 2650) = 2662.5 P a r a l a Te r c e r a o f e r t a S1 = 2000 + (0.25 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0 * 2662.5) = 2656.25 S2 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0.25 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0 * 2662.5) = 2659.38 S3 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0.25 * 2650.0 + 0 * 2662.5) = 2662.50 S4 = 2000 + (0 * 2625.0 + 0 * 2637.5 + 0 * 2650.0 + 0.25 * 2662.5) = 2665.63 El propietario deberá vender su automóvil mínimamente a 2656.25 $, pero se espera una oferta óptima de 2665.63 $ f(1) f(2) f(3) f(4)
= = = =
2000 2200 2400 2600
3.-Una investigación recientemente realizada con suscriptora de una revista de viajes, muestra que el 65% de ellos tienen al menos una tarjeta de crédito de alguna línea aérea. Comparando estos resultados con una investigación similar efectuada hace 5 años, los datos indican que 40% de aquellos individuos que no tenían una tarjeta de crédito de alguna línea aérea, obtuvieron posteriormente una, mientras que el 10% de aquellas que poseían alguna de estas tarjetas, hace 5 años, ya no lo hacen. Considerando que estas tendencias continúen en el futuro, determínese la proporción de suscriptores que poseerán tarjetas de crédito de líneas aéreas: a) dentro de 10 años. b) A largo plazo
- 11 -
SOLUCIÓN Sean los estados: S1 : Suscriptores con tarjeta de crédito. S2 : Suscriptores sin tarjeta de crédito. a)
x 0 x1 x 2 x 0 0.65 0.35 S1
S2
S1 0.90 S2 0.40
0.10 0.60
Para n = 10 años
x 10 P 0 P 10 0.90 0.10
b b
2
b
3
b
4
b
5
=
0.6
b
5
b
6
b
7
b
8
b
9
b
10
10
0.4
0.825
0.175
0.7
0.3
0.813
0.188
0.75 0.806
0.25 0.194
0.806 0.775 0.194 0.225
ab
x 10 P 0 P 10
0.40 0.60 0.85 0.15
0.775 0.803
0.225 0.197
0.788 0.802
0.213 0.198
0.794
0.206
0.801
0.199
0.797 0.8
0.203 0.2
0.798 0.8
0.202 0.2
0.799
0.65
0.8
0.201 0.2
0.90
0.35 0.40
0.10 0.60
10
= [0.8 , 0.2]
Dentro de 10 años el 80 % de las personas tendrán tarjeta de crédito y el 20 % de las personas carecerán de ellas. b)
x1
0.90 x 2 0.40
0.10 x1 0.60
0.90x 1 0.40x 2 x 1 0.10x 1 0.60x 2 x 2
x2
- 12 -
0.10x 1 0.40 x 2 0 0.10 x 1 0.40 x 2 0
x1 x 2 1 x 2 1 x1 0.10 x 1 0.40(1 x 1 ) 0
0.10x 1 0.40 0.40x 1 0 0.50x 1 0.40 x1
0.40 0.50
x 1 0.8 x 2 1 x 1 1 0 .8 x 2 0.2 7.
A largo plazo se espera que el 80 % tenga la tarjeta de crédito y por ende el 20 % no la tenga. Las uvas del valle de Sonoma, se clasifican como superiores, regulares o malas. Después de una c o s e c h a s u p e r i o r, l a s p r o b a b i l i d a d e s d e t e n e r d u r a n t e e l s i g u i e n t e a ñ o , u n a c o s e c h a s u p e r i o r, r e g u l a r y m a l a s o n d e 0 , 0 . 8 y 0 . 2 r e s p e c t i v a m e n t e . D e s p u é s d e u n a c o s e c h a r e g u l a r, l a s p r o b a b i l i d a d e s d e q u e l a s i g u i e n t e c o s e c h a s e a s u p e r i o r, r e g u l a r y m a l a s o n : 0 . 2 , 0 . 6 0 . 2 . d e s p u é s d e u n a m a l a c o s e c h a , l a s p r o b a b i l i d a d e s d e u n a c o s e c h a s u p e r i o r, r e g u l a r y m a l a s o n d e 0.1, 0.8 y 0.1. Determínese las probabilidades de una cosecha superior para cada uno de los s i g u i e n t e s a ñ o s , s i l a c o s e c h a m á s r e c i e n t e f u e r e g u l a r.
SOLUCIÓN S 1 : C o s e c h a S u p e r i o r. S 2 : C o s e c h a R e g u l a r. S2 : Cosecha Mala. Para la cosecha más reciente regular tenemos la probabilidad 1 inicialmente.
x 0 x1 x 2 x 3 x 0 0 1 0
S1 S2 S1 0.0 0.8 S2 0.2 0.6 S3 0.1 0.8 Para n = 5 años
x 5 P0P5
S3 0 .2 0.2 0.1
- 13 -
a
( 0.2 0.6 0.2 ) 0.0 0.8 0.2
b
0.2 0.6 0.2 0.1 0.8 0.1
ab
b
2
ab
b
3
2
ab
3
4
b
ab
b
4
5
ab
0.14
5
0.68
0.18
0.18
0.64
0.18
0.14
0.68
0.18
0.17
0.64
0.19
0.154
0.664
0.182
0.146
0.672
0.182
0.154
0.664
0.182
0.147
0.672
0.181
0.151
0.667
0.182
0.153
0.666
0.182
0.151
0.667
0.182
0.153
0.666
0.182
0.152
0.667
0.182
0.151
0.667
0.182
0.152
0.667
0.182
0.151
0.667
0.182
0.151
0.667
0.182
Para el primer año la cosecha superior será de 0.14 = 14 % Para el segundo año la cosecha superior será de 0.154 = 15.4 % Para el tercer año la cosecha superior será de 0.151 = 15.1 % Para el cuarto año la cosecha superior será de 0.152 = 15.2 % Para el quinto año la cosecha superior será de 0.151 = 15.1 %