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MÉTODOS NUMÉRICOS INTRODUCCION Antes de la invención de la computadora sólo contaban con tres métodos para la solución de problemas:

1) ENCONTRAR SOLUCIONES DE ALGUNOS PROBLEMAS USANDO MÉTODOS EXACTOS O ANALÍTICOS Estas soluciones con frecuencia resultaban útiles y proporcionaba una comprensión excelente del comportamiento de algunos sistemas, pero sólo se encontraban en una clase limitada de problemas, incluyendo a los que podríamos aproximarlos mediante modelos lineales y aquellos que tienen pocas dimensiones 2) EL USO DE SOLUCIONES GRÁFICAS. Para analizar el comportamiento de los sistemas, se usaban gráficas ó nomograma, aunque las técnicas gráficas se emplean para resolver problemas complejos, los resultados no eran muy precisos, eran tediosas y difíciles de implementar. 3)

PARA EL USO DE MÉTODOS NUMÉRICOS, SE UTILIZABAN CALCULADORAS Y REGLAS DE CÁLCULO.0 Con este método se presenta algunas dificultades, los cálculos son muy lentos, tediosos y los resultados no eran consistentes; debido a que surgen equivocaciones al realizar cálculos manuales. Tenemos las fases de solución de un problema:

FORMULACION Leyes fundamentales brevemente

SOLUCION Metodos muy elaborados y muy complicados

FORMULACION Exposicion profunda de la relacion del problema con las leyes fundamentales

SOLUCION Metodo de la computadora de facil uso

INTERPRETACION Desarrollar la intuicion INTERPRETACION Análisis limitado

Estudiar el comportamiento del sistema

1

Entonces los Métodos Numéricos son técnicas que nos permiten formular modelos matemáticos, de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Hoy en día las computadoras y los Métodos Numéricos proporcionan una buena alternativa para cálculos muy complicados. El uso de las computadoras nos permite hacer aproximaciones de cálculo sin tener que recurrir a suposiciones ó técnicas lentas. Nos preguntamos ¿Por qué estudiar Métodos Numéricos? 1) Los Métodos Numéricos son herramientas muy poderosas para la solución de problemas. Pueden manejar ecuaciones grandes, no lineales y geometrías complicadas; aumentando la habilidad de resolver problemas. 2) Contar con la ocasión de usar software que contenga métodos numéricos, es por eso que debe tenerse el conocimiento de la teoría. 3) Ser capaces de diseñar sus propios programas para resolver los problemas que otros software no lo realizan. 4) La mayoría de los métodos numéricos están diseñados para implementarlos en la computadora. 5) Los métodos numéricos son un medio de reforzar su compresión de las matemáticas; pues una de sus funciones es convertir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas.

2

INTRODUCCION A LA TEORIA DE ERRORES Es importante entender el concepto de ERROR, para usar en forma efectiva los Métodos Numéricos. Por ejemplo en la caída de un paracaidista, la velocidad de la caída puede determinarse por métodos analíticos es decir; obtener los resultados exactos pero, también, se puede determinar la velocidad de caída por métodos numéricos que son solo una aproximación, observando que aparece una cierta discrepancia ó error en los valores encontrados. Pero en muchos problemas no podemos obtener la solución analítica, por lo que no podemos calcular con exactitud los errores asociados con nuestro método numérico, en estos casos debemos resolver por aproximaciones ó estimar los errores: Generalmente se lucha por limitar los errores en los trabajos; pues así: cuando se realiza un examen ó se realizan tareas son sancionadas más no premiados por sus errores. En la práctica profesional los errores pueden resultar costosos y en algunas ocasiones catastróficos es decir; puede perderse la vida, si un dispositivo falla. Entonces nos preguntamos si las aproximaciones numéricas introducen errores ¿Qué tanto error se presenta en los cálculos y qué tan tolerable es?

TIPOS DE ERRORES Entre los tipos de errores tenemos:

1) ERROR ABSOLUTO

𝑬𝑨

Es la diferencia entre el valor verdadero (valor exacto) y el valor aproximado (valor observado)

𝑬 𝑨 = ⃒ 𝑽 − 𝑽𝑨 ⃒ Donde : V = Valor verdadero ó exacto. 𝑽𝑨 = Valor aproximado Sí 𝑽 − 𝑽𝑨 > 𝟎  𝑬𝑨 es por defecto Sí 𝑽 − 𝑽𝑨  𝟎  𝑬𝑨 es por Exceso OBSERVACION Ambos 𝑬𝑨 sin valor absoluto

3

E1) Calcular los errores absolutos que se cometen al tomar √𝟕 = 𝟐. 𝟔𝟒𝟓𝟕𝟓𝟏𝟑𝟏𝟏𝟎𝟔𝟒 con el valor verdadero √𝟕 = 𝟐. 𝟔𝟒𝟓𝟕 𝑽𝑨 = 𝟐. 𝟔𝟒𝟓𝟕𝟓𝟏𝟑𝟏𝟏𝟎𝟔𝟒 𝑬𝑨 = 𝟐. 𝟔𝟒𝟓𝟕 − 𝟐. 𝟔𝟒𝟓𝟕𝟓𝟏𝟑𝟏𝟏𝟎𝟔𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏𝟑𝟏𝟏𝟎𝟔𝟒 > 𝟎

. Es un error por Defecto

Entonces: 𝑬𝑨 = ⃒ 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏𝟑𝟏𝟏𝟎𝟔𝟒 ⃒ 𝑬𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟏𝟑𝟏𝟏𝟎𝟔𝟒

E2) Sí, 𝑽 = 𝟏𝟑. 𝟓𝟗𝟑𝟒𝟐 y sea el valor aproximado 𝑽𝑨 = 𝟏𝟑. 𝟓𝟗𝟖𝟏𝟔 𝑬𝑨 = ⃒𝟏𝟑. 𝟓𝟗𝟑𝟒𝟐 − 𝟏𝟑. 𝟓𝟗𝟖𝟏𝟔 ⃒ = ⃒ − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟕𝟒 ⃒ 𝑬𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟕𝟒 = 𝟒. 𝟕𝟒 × 𝟏𝟎−𝟑 E3) Sí, 𝑽 = 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 =  y sea el valor aproximado a)

𝟐𝟐

b)

𝟕

𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟎𝟔

c)

𝟑𝟓𝟓

d) √𝟑 + √𝟐

𝟏𝟏𝟑

𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟔𝟒𝟑𝟒𝟔 ⃒ = 𝟎. 𝟏𝟐𝟔𝟒𝟑𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟐 𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟎𝟗⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟖𝟑𝟔𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟒 𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓 ⃒

= ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑

𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟔𝟐𝟔𝟒⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟔𝟕𝟏𝟑𝟒𝟔 ⃒ = 𝟎. 𝟒𝟔𝟕𝟏𝟑𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟐 E1) Calcular los errores absolutos que se cometen al tomar √𝟓 = 𝟐. 𝟐𝟑𝟔𝟎𝟔𝟕𝟕𝟗𝟕𝟕 con el valor

verdadero √𝟓 = 𝟐. 𝟐𝟑𝟔

𝑽𝑨 = 𝟐. 𝟐𝟑𝟔𝟎𝟔𝟕𝟕𝟗𝟕𝟕 𝑬𝑨 = 𝟐. 𝟐𝟑𝟔 − 𝟐. 𝟐𝟑𝟔𝟎𝟔𝟕𝟕𝟗𝟕𝟕 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟕𝟗𝟕𝟕𝟒𝟗𝟗𝟕𝟖  𝟎

. Es un error por Exceso

Entonces: 𝑬𝑨 = ⃒ − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟕𝟗𝟕𝟕𝟒𝟗𝟗𝟕𝟖 ⃒ 𝑬𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔𝟕𝟗𝟕𝟕𝟒𝟗𝟗𝟕𝟖 E2) Sí, 𝑽 = 𝟕. 𝟓𝟗𝟑𝟔𝟐 y sea el valor aproximado 𝑽𝑨 = 𝟕. 𝟓𝟗𝟖𝟏𝟔 𝑬𝑨 = ⃒𝟕. 𝟓𝟗𝟑𝟔𝟐 − 𝟕. 𝟓𝟗𝟖𝟏𝟔 ⃒ = ⃒ − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟓𝟒 ⃒ 𝑬𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟓𝟒 = 𝟒. 𝟓𝟒 × 𝟏𝟎−𝟑 E3) Sí, 𝑽 = 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 =  y sea el valor aproximado b)

𝟐𝟐 𝟕

𝟑𝟑𝟑

b) 𝟏𝟎𝟔

𝟑𝟓𝟓

c)𝟏𝟏𝟑

d) √𝟑 + √𝟐

𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟔𝟒𝟑𝟒𝟔 ⃒ = 𝟎. 𝟏𝟐𝟔𝟒𝟑𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟐 𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟎𝟗⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟖𝟑𝟔𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟒 𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓 ⃒

= ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑

𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟔𝟐𝟔𝟒⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟔𝟕𝟏𝟑𝟒𝟔 ⃒ = 𝟎. 𝟒𝟔𝟕𝟏𝟑𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟐

4

E4) Calcular los errores absolutos que se cometen al tomar √𝟑 = 𝟏. 𝟕𝟑𝟐𝟎𝟓𝟎𝟖𝟎𝟖

con el valor

verdadero √𝟑 = 𝟏. 𝟕𝟑

𝑽𝑨 = 𝟏. 𝟕𝟑𝟐𝟎𝟓𝟎𝟖𝟎𝟖 𝑬𝑨 = 𝟏. 𝟕𝟑 − 𝟏. 𝟕𝟑𝟐𝟎𝟓𝟎𝟖𝟎𝟖 = −𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟎𝟓𝟎𝟖𝟎𝟕  𝟎

. Es un error por Exceso

Entonces: 𝑬𝑨 = ⃒ − 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟎𝟓𝟎𝟖𝟎𝟕 ⃒ 𝑬𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟎𝟓𝟎𝟖𝟎𝟕 E5) Sí, 𝑽 = 𝟔. 𝟑𝟓𝟔𝟒 y sea el valor aproximado 𝑽𝑨 = 𝟔. 𝟑𝟔𝟏𝟑 𝑬𝑨 = ⃒𝟔. 𝟑𝟓𝟓𝟒 − 𝟔𝟑𝟔𝟏𝟑⃒ = ⃒ − 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟗 ⃒ 𝑬𝑨 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟗 = 𝟎. 𝟒𝟗 × 𝟏𝟎−𝟐 E6) Sí, 𝑽 = 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 =  y sea el valor aproximado c)

𝟐𝟐

𝟑𝟑𝟑

b) 𝟏𝟎𝟔

𝟕

𝟑𝟓𝟓

d) √𝟑 + √𝟐

c)𝟏𝟏𝟑

𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟓𝟕⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟐𝟔𝟒𝟑𝟒𝟔 ⃒ = 𝟎. 𝟏𝟐𝟔𝟒𝟑𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟐 𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟎𝟗⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟑𝟔𝟓𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟖𝟑𝟔𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟒 𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓⃒

= ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑

𝑬𝑨 = ⃒𝟑. 𝟏𝟒𝟏𝟓𝟗𝟐𝟔𝟓𝟒 − 𝟑. 𝟏𝟒𝟔𝟐𝟔𝟒⃒ = ⃒𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟔𝟕𝟏𝟑𝟒𝟔 ⃒ = 𝟎. 𝟒𝟔𝟕𝟏𝟑𝟒𝟔 × 𝟏𝟎−𝟐

OBSERVACION: a) El error absoluto que conviene tomar es el menor de estos números, pues más estrecho será el intervalo dentro del cual se asigna el número exacto. b) El error absoluto refleja sólo el aspecto cuantitativo

2) ERROR RELATIVO 𝑬𝑹 Con la finalidad de estimar la calidad de los cálculos ó las mediciones respectivas, se introduce el concepto de error relativo. Entonces:

𝑬𝑨

𝑬𝑹 =

,

𝑽≠𝟎

⃒𝑽⃒ 𝑬𝑹 = ⃒

𝑽 − 𝑽𝑨 ⃒ , 𝑽

E1) Sea 𝑽𝑨 = 𝟎. 𝟒𝟐 un valor aproximado de 𝑽 =

𝟓 𝟏𝟐

𝑽≠𝟎

= 𝟎. 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 …., hallar el error

relativo. 𝑬𝑹 = ⃒

𝟎. 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 − 𝟎. 𝟒𝟐 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏𝟔 = 𝟖. 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑 𝟎. 𝟒𝟏𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔

5

E2) Sea, 𝑽 = 𝟓. 𝟔𝟐𝟖𝟔 y sea el valor 𝒂) 𝑽𝑨 = 𝟓. 𝟔𝟐𝟒𝟏

a)

𝑬𝑹 = ⃒

b)

𝑬𝑹 = ⃒

c)

𝑬𝑹 = ⃒

b) 𝑽𝑨 = 𝟓. 𝟔𝟕𝟖𝟎

𝟓.𝟔𝟐𝟖𝟔−𝟓.𝟔𝟐𝟒𝟏 𝟓.𝟔𝟐𝟖𝟔

c ) 𝑽𝑨 = 𝟓. 𝟐𝟏𝟕𝟓

⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟗𝟗𝟒𝟖𝟖 = 𝟕. 𝟗𝟗𝟒𝟖𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒

𝟓.𝟔𝟐𝟖𝟔 −𝟓.𝟔𝟕𝟖𝟎

⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟖𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟓 = 𝟖. 𝟕𝟕𝟔𝟔𝟎𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑

𝟓.𝟔𝟐𝟖𝟔 𝟓.𝟔𝟐𝟖𝟔 −𝟓.𝟐𝟏𝟕𝟓

⃒ = 𝟎. 𝟎𝟕𝟑𝟎𝟑𝟕𝟕𝟎𝟎 = 𝟕. 𝟑𝟎𝟑𝟕𝟕𝟎𝟎 × 𝟏𝟎−𝟐

𝟓.𝟔𝟐𝟖𝟔

𝟒

E1) Sea 𝑽𝑨 = 𝟎. 𝟒𝟓 un valor aproximado de 𝑽 = 𝟗 = 𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 … .., hallar el error relativo.

𝑬𝑹 = ⃒

𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒 − 𝟎. 𝟒𝟓 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐𝟓 = 𝟏. 𝟐𝟓𝟎𝟏𝟎𝟏𝟐𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 𝟎. 𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒𝟒

E2) Sea, 𝑽 = 𝟗. 𝟔𝟓𝟖𝟕 y sea el valor 𝒂) 𝑽𝑨 = 𝟗. 𝟔𝟐𝟏𝟏

b) 𝑽𝑨 = 𝟗. 𝟔𝟕𝟗𝟎

d)

𝑬𝑹 = ⃒

𝟗.𝟔𝟓𝟖𝟕−𝟗.𝟔𝟐𝟏𝟏

e)

𝑬𝑹 = ⃒

𝟗.𝟔𝟓𝟖𝟕−𝟗.𝟔𝟕𝟗𝟎

f)

𝑬𝑹 = ⃒

𝟗.𝟔𝟓𝟖𝟕−𝟗.𝟔𝟏𝟐𝟓

𝟗.𝟔𝟓𝟖𝟕

𝟗.𝟔𝟓𝟖𝟕

𝟗.𝟔𝟓𝟖𝟕

c ) 𝑽𝑨 = 𝟗. 𝟔𝟏𝟐𝟓

⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟖𝟗𝟐𝟖𝟔𝟑𝟒𝟐𝟗 = 𝟑. 𝟖𝟗𝟐𝟖𝟔𝟑𝟒𝟐𝟗 × 𝟏𝟎−𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟐𝟏𝟎𝟏𝟕𝟑𝟐𝟏𝟏𝟕 = 𝟐. 𝟏𝟎𝟏𝟕𝟑𝟐𝟏𝟏𝟕 × 𝟏𝟎−𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟕𝟖𝟑𝟐𝟓𝟐𝟒𝟎𝟓 = 𝟒. 𝟕𝟖𝟑𝟐𝟓𝟐𝟒𝟎𝟓 × 𝟏𝟎−𝟑 𝟐

E3) Sea 𝑽𝑨 = 𝟎. 𝟔𝟕 un valor aproximado de 𝑽 = 𝟑 = 𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔 …., hallar el error relativo. 𝑬𝑹 = ⃒

𝟎. 𝟔𝟔𝟔𝟔 − 𝟎. 𝟔𝟕 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 𝟎. 𝟔𝟔𝟔

E4) Sea, 𝑽 = 𝟔. 𝟑𝟓𝟔𝟒 y sea el valor 𝒂) 𝑽𝑨 = 𝟔. 𝟑𝟔𝟏𝟑

b) 𝑽𝑨 = 𝟔. 𝟑𝟓𝟏𝟒

g)

𝑬𝑹 = ⃒

𝟔.𝟑𝟓𝟔𝟒−𝟔.𝟑𝟔𝟏𝟑

h)

𝑬𝑹 = ⃒

𝟔.𝟑𝟓𝟔𝟒−𝟔.𝟑𝟓𝟏𝟒

i)

𝑬𝑹 = ⃒

𝟔.𝟑𝟓𝟔𝟒−𝟔.𝟑𝟒𝟒𝟗𝟗

𝟔.𝟑𝟓𝟔𝟒

𝟔.𝟑𝟓𝟔𝟒

𝟔.𝟑𝟓𝟔𝟒

c ) 𝑽𝑨 = 𝟔. 𝟑𝟒𝟗𝟗

⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟕𝟎𝟖𝟕𝟔 = 𝟎. 𝟕𝟕𝟎𝟖𝟔 × 𝟏𝟎−𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕𝟖𝟔𝟔𝟎𝟖 = 𝟎. 𝟕𝟖𝟔𝟔𝟎𝟖 × 𝟏𝟎−𝟑 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟎𝟐𝟐𝟓𝟗𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟐𝟐𝟓𝟗𝟏 × 𝟏𝟎−𝟐

3) ERROR RELATIVO PORCENTUAL Es el error relativo multiplicado por 100 %

𝑬𝑨 𝑬𝑹% = | | × 𝟏𝟎𝟎 % 𝑽 E1) Sea 𝑽 =

𝟐𝟓 𝟕𝟑

,𝑽 ≠ 𝟎

= 𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟒𝟔𝟓𝟕𝟓𝟑 y sea 𝑽𝑨 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟕𝟓𝟗𝟕. Calcular el valor relativo

porcentual.

𝑬𝑹% = ⃒

𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟒𝟔𝟓𝟕𝟓𝟑 − 𝟎. 𝟑𝟑𝟕𝟓𝟗𝟕 ⃒ × 𝟏𝟎𝟎 % = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟐𝟏𝟔𝟕𝟓𝟗% 𝟎. 𝟑𝟒𝟐𝟒𝟔𝟓𝟕𝟓𝟑

6

E2) Sea 𝐕 = √𝟕𝟑 = 𝟖. 𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎𝟑𝟕𝟒𝟓 y 𝐕𝐀 = 𝟖. 𝟏𝟗𝟔𝟖𝟕𝟗. Calcular el valor relativo porcentual.

𝑬𝑹% = ⃒

𝟖. 𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎𝟑𝟕𝟒𝟓 − 𝟖. 𝟏𝟗𝟔𝟖𝟕𝟗 ⃒ × 𝟏𝟎𝟎 % = 𝟒. 𝟎𝟔𝟐𝟕𝟖𝟑𝟖 % 𝟖. 𝟓𝟒𝟒𝟎𝟎𝟑𝟕𝟒𝟓

𝟏𝟕

E1) Sea 𝑽 = 𝟐𝟔 = 𝟎. 𝟔𝟓𝟑𝟖𝟒𝟔𝟏𝟓𝟑𝟖 y sea 𝑽𝑨 = 𝟎. 𝟔𝟓𝟐𝟗𝟖𝟕. Calcular el valor relativo porcentual.

𝑬𝑹% = ⃒

𝟎. 𝟔𝟓𝟑𝟖𝟒𝟔𝟏𝟓𝟑𝟖 − 𝟎. 𝟔𝟓𝟐𝟗𝟖𝟕. ⃒ × 𝟏𝟎𝟎 % = 𝟎. 𝟏𝟑𝟏𝟑𝟗𝟗𝟗𝟑% 𝟎. 𝟔𝟓𝟑𝟖𝟒𝟔𝟏𝟓𝟑𝟖

E2) Sea 𝐕 = √𝟑𝟖 = 𝟔. 𝟏𝟔𝟒𝟒𝟏𝟒𝟎𝟎𝟑 y 𝐕𝐀 = 𝟔. 𝟏𝟔𝟒𝟖𝟕𝟗. Calcular el valor relativo porcentual.

𝑬𝑹% = ⃒

𝟔. 𝟏𝟔𝟒𝟒𝟏𝟒𝟎𝟎𝟑 − 𝟔. 𝟏𝟔𝟒𝟖𝟕𝟗 ⃒ × 𝟏𝟎𝟎 % = 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟓𝟒𝟑𝟐𝟒𝟕𝟒𝟏𝟔 % 𝟔. 𝟏𝟔𝟒𝟒𝟏𝟒𝟎𝟎𝟑

𝟏𝟑

E3) Sea 𝑽 = 𝟏𝟗 = 𝟎. 𝟔𝟖𝟒 y sea 𝑽𝑨 = 𝟎. 𝟔𝟖𝟒𝟐𝟏. Calcular el valor relativo porcentual.

𝑬𝑹% = ⃒ E4) Sea 𝐕 = √𝟓𝟐 = 𝟕. 𝟐𝟏1102551

𝟎. 𝟔𝟖𝟒𝟐𝟏 − 𝟎. 𝟔𝟖𝟒 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟑 % 𝟎. 𝟔𝟖𝟒

y 𝐕𝐀 = 𝟕. 𝟐𝟏𝟏𝟏. Calcular el valor relativo porcentual.

𝑬𝑹% = ⃒

𝟕. 𝟐𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓𝟓𝟏 − 𝟕. 𝟐𝟏𝟏𝟏 ⃒ = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟑𝟓𝟑𝟕𝟔 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟑𝟕𝟕𝟔 × 𝟏𝟎−𝟒 % 𝟕. 𝟐𝟏𝟏𝟏𝟎𝟐𝟓𝟓𝟏

OBSERVACION: a) Si comparamos los dos resultados anteriores, veremos que la calidad de datos del E2) es mejor que E1) b) El error relativo representa el aspecto cualitativo, es decir ¿Cómo hemos realizado el cálculo bien ó mal?. c) Cuando se maneja cantidades muy grandes o muy pequeñas, el error absoluto puede ser no tan significativo, mientras el error relativo si es significativo en muchos casos.

CIFRAS SIGNIFICATIVAS EXACTITUD: Que tan cercano está el valor calculado ó medido con el valor verdadero. PRECISION: Que tan cercano está un valor individual medido ó calculado respecto a los otros. EJEMPLO 1: LA INEXACTITUD (SE CONOCE COMO SESGO TAMBIEN)

Son inexactos, pues están alejados del centro que es el valor verdadero

7

IMPRESICION (SE CONOCE COMO INCERTIDUMBRE)

Ambas son exactas, pero la segunda es más precisa que la primera, ya que los puntos están en un grupo más compacto.

Entonces las cifras significativas de un número son todas sus cifras, a excepción de los ceros que están a la izquierda. E1) 0.072671

⇒

Tiene 5 cifras significativas.

E2) 515.218

⇒

Tiene 6 cifras significativas.

E3) 7.1

⇒

Tiene 2 cifras significativas.

E4) 5796.1436 ⇒

E1) 0.002671

⇒

Tiene 4 cifras significativas.

E2) 15.218

⇒

Tiene 5 cifras significativas.

E3) 16.1

⇒

Tiene 3 cifras significativas.

E4) 5796.174 ⇒

Tiene 7 cifras significativas.

E5) 0.001604

⇒

Tiene 4 cifras significativas.

E6) 30.500

⇒

Tiene 5 cifras significativas.

E7) 48.5

⇒

Tiene 3 cifras significativas.

E8) 87324.45 ⇒

Tiene 7 cifras significativas .

Tiene 8 cifras significativas.

DEFINICION Se dice que un número 𝑉𝐴 se aproxima a V con t dígitos significativos, si t es el entero más grande no negativo para la cual se cumple:

⃒𝑽𝑨 − 𝑽 ⃒ < 𝟓 × 𝟏𝟎−𝒕 𝑽

8

E1) Aproxime 𝑽𝑨 al número 25 con dos cifras significativas. Entonces: ⃒𝑽𝑨 − 𝑽 ⃒ < 𝟓 × 𝟏𝟎−𝒕 𝑽 ⃒𝑽𝑨 − 𝟐𝟓 ⃒ < 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 𝟐𝟓

⃒𝑽𝑨 − 𝟐𝟓 ⃒ < 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 × 𝟐𝟓 ⃒𝑽𝑨 − 𝟐𝟓 ⃒ < 𝟏. 𝟐𝟓 − 𝟏. 𝟐𝟓 < 𝑽𝑨 − 𝟐𝟓 < 𝟏. 𝟐𝟓 𝟐𝟑. 𝟕𝟓 < 𝑽𝑨 < 𝟐𝟔. 𝟐𝟓 ⇒ 𝑽𝑨 ∈ 〈𝟐𝟑. 𝟕𝟓 𝟐𝟔. 𝟐𝟓〉 Por lo tanto, podemos decir que cualquier valor de 𝑉𝐴 en dicho intervalo cumple con la condición E1) Aproxime 𝑽𝑨 al número 15 con dos cifras significativas. Entonces:

⃒𝑽𝑨 − 𝑽 ⃒ < 𝟓 × 𝟏𝟎−𝒕 𝑽 ⃒𝑽𝑨 − 𝟏𝟓 ⃒ < 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 𝟏𝟓

⃒𝑽𝑨 − 𝟏𝟓 ⃒ < 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟐 × 𝟏𝟓 ⃒𝑽𝑨 − 𝟏𝟓 ⃒ < 𝟎. 𝟕𝟓 − 𝟎. 𝟕𝟓 < 𝑽𝑨 − 𝟏𝟓 < 𝟎. 𝟕𝟓 𝟏𝟒. 𝟐𝟓 < 𝑽𝑨 < 𝟏𝟓. 𝟕𝟓 ⇒ 𝑽𝑨 ∈ 〈𝟏𝟒. 𝟐𝟓 𝟏𝟓. 𝟕𝟓〉 Por lo tanto, podemos decir que cualquier valor de 𝑉𝐴 en dicho intervalo cumple con la condición

9

SERIES DE TAYLOR ERROR DE TRUNCAMIENTO Los errores de Truncamiento son aquellos que resultan al usar aproximaciones en lugar de un procedimiento matemático exacto. La serie de Taylor es importante, pues es útil para obtener modelos numéricos, así como analizar los errores de truncamiento.

TEOREMA Sea 𝑓(𝑥) una función cuya (𝑛 + 1) − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑎 derivada 𝑓(𝑥)(𝑛+1), existe para cada 𝑥 en un intervalo abierto 𝐼 , que contenga a 𝑎 para todo 𝑥 de 𝐼.

𝑓(𝑥) =

(𝑥 − 𝑎) 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓 ′′ (𝑎) ⏟ 2!

2

(𝑥 − 𝑎)3 (𝑥 − 𝑎)𝑛 + ⋯ + 𝑓 𝑛 (𝑎) + 𝑅𝑛 (𝑥) 3! 𝑛!

+ 𝑓 ′′′ (𝑎)

𝑃𝑂𝐿𝐼𝑁𝑂𝑀𝐼𝑂 𝐷𝐸 1𝑒𝑟 𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁

⏟ ⏟

𝑃𝑂𝐿𝐼𝑁𝑂𝑀𝐼𝑂 𝐷𝐸 2𝑑𝑜 𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁 𝑃𝑂𝐿𝐼𝑁𝑂𝑀𝐼𝑂 𝐷𝐸 𝑂𝑅𝐷𝐸𝑁

Donde 𝑅𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝑐)

(𝑥−𝑎)𝑛+1 (𝑛+1)!

𝑛

es el residuo u error, donde 𝑐 es algún punto

entre 𝑥 y 𝑎. OBSERVACION 1) 𝑃1 (𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑃2 (𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓 ′′ (𝑎)

(𝑥 − 𝑎)2 2!

E1) Encuentre 𝑷𝟏 (𝒙) en 𝒂 = 𝟏 para 𝒇(𝒙) = 𝑳𝒏 𝒙 y úselo para calcular valores aproximados de 𝑳𝒏 (𝟎. 𝟗) y 𝑳𝒏 (𝟏. 𝟓). Sea 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓(1) = 𝐿𝑛 1 ⟹ 𝑓(1) = 0 1

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥

⟹

1

𝑓 ′ (1) = 1

⟹ 𝑓 ′ (1) = 1

Entonces : 𝑃1 (𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) 𝑃1 (𝑥) = 𝑓(1) + 𝑓 ′ (1)(𝑥 − 1) 𝑃1 (𝑥) = 0 + 1 (𝑥 − 1) 𝑃1 (𝑥) = 𝑥 − 1 ⟹ 𝐿𝑛 𝑥 ≅ 𝑥 − 1 10

Luego: 𝐿𝑛 𝑥 ≅ 𝑥 − 1 𝐿𝑛 (0.9) = 0.9 − 1 ⟹ 𝐿𝑛 (0.9) = −0.1 ⟹ −0.10536 ≅ −0.1 𝐿𝑛 (1.5) = 1.5 − 1 ⟹ 𝐿𝑛 (1.5) = 0.5

⟹ 0.40546 ≅ 0.5

El primero es mejor, pues 0.9 está más cercano de 0 que 1.5

E2) Encuentre 𝑷𝟐 (𝒙) en 𝒂 = 𝟏 para 𝒇(𝒙) = 𝑳𝒏 𝒙 y úselo para calcular valores aproximados de 𝑳𝒏 (𝟎. 𝟗) y 𝑳𝒏 (𝟏. 𝟓). Sea 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥 ⟹ 𝑓(1) = 𝐿𝑛 1 ⟹ 𝑓(1) = 0 1

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥

𝑓 ′′ (𝑥) = −

1 𝑥2

1

⟹

𝑓 ′ (1) = 1

⟹

𝑓 ′′ (1) = −

⟹ 𝑓 ′ (1) = 1 1 12

⟹ 𝑓 ′′ (1) = −1

Entonces : (𝑥 − 𝑎)2 2! (𝑥 − 1)2 𝑃2 (𝑥) = 𝑓(1) + 𝑓 ′ (1)(𝑥 − 1) + 𝑓 ′′ (1) 2! 1 2 𝑃2 (𝑥) = 0 + 1(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1) 2! 1 1 𝑃2 (𝑥) = (𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)2 ⟹ 𝐿𝑛 𝑥 = (𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)2 2 2 𝑃2 (𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓 ′′ (𝑎)

Luego: 1 𝐿𝑛 𝑥 = (𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)2 2 1

𝐿𝑛 (0.9) = (0.9 − 1) − 2 (0.9 − 1)2 ⟹ −0.10536 ≅ −0.105 1

𝐿𝑛 (1.5) = (1.5 − 1) − 2 (1.5 − 1)2 ⟹ 0.40546 ≅ 0.375

Observamos que estas son mejores aproximaciones que en el caso lineal.

11

E3) Use el polinomio de Taylor de orden 4 para 𝒂 = 𝟏 al calcular el valor aproximado de 𝑳𝒏 (𝟎. 𝟗) y dé una estimación del máximo error cometido. Es necesario las cinco primeras derivadas de 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝐿𝑛 𝑥

⟹ 𝑓(1) = 𝐿𝑛 1

1

𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥

1

𝑓 ′′ (𝑥) = − 𝑥 2 2

𝑓 ′′′ (𝑥) = 𝑥 3 𝑓 ′𝑣 (𝑥) = − 𝑓 𝑣 (𝑥) =

6𝑥 2 𝑥6

24𝑥 3 𝑥8

⟹ 𝑓(1) = 0

1

⟹

𝑓 ′ (1) = 1

⟹

𝑓 ′′ (1) = − 12

⟹

𝑓 ′′′ (1) = 13

⟹

𝑓 ′𝑣 (1) = − (1)4

⟹

⟹ 𝑓 ′ (1) = 1 1

2

⟹ 𝑓 ′′′ (1) = 2 6

24

𝑓 𝑣 (𝑐) = (𝑐)5

⟹ 𝑓 ′′ (1) = −1

⟹ 𝑓 ′𝑣 (1) = −6 ⟹ 𝑓 𝑣 (𝑐) =

24 𝑐5

Entonces por la fórmula de Taylor: 𝐿𝑛 𝑥 = 𝑓(1) + 𝑓 ′ (1)(𝑥 − 1) + 𝑓 ′′ (1)

𝐿𝑛 𝑥 = 0 + 1(𝑥 − 1) +

(𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)3 (𝑥 − 1)4 + 𝑓 ′′′ (1) + 𝑓 ′𝑣 (1) + 𝑅4 (𝑥) 2! 3! 4!

(−1)(𝑥 − 1)2 2 (𝑥 − 1)3 (− 6)(𝑥 − 1)4 + + + 𝑅4 (𝑥) 2! 3! 4!

𝐿𝑛 𝑥 = (𝑥 − 1) −

(𝑥 − 1)2 2 (𝑥 − 1)3 6(𝑥 − 1)4 + − + 𝑅4 (𝑥) 2 3×2×1 4×3×2×1

𝐿𝑛 𝑥 = (𝑥 − 1) −

(𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)3 (𝑥 − 1)4 + − + 𝑅4 (𝑥) 2 3 4

𝐿𝑛 (0.9) = (𝑥 − 1) −

(𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)3 (𝑥 − 1)4 + − + 𝑅4 (𝑥) 2 3 4

𝐿𝑛 (0.9) = (0.9 − 1) −

− 0.10536 = −0.1 −

(0.9 − 1)2 (0.9 − 1)3 (0.9 − 1)4 + − + 𝑅4 (0.9) 2 3 4

(−0.1)2 (−0.1)3 (−0.1)4 + − + 𝑅4 (0.9) 2 3 4

− 0.10536 = −0.105358 + 𝑅4 (0.9) Sabemos que : 𝑅𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝑐)

𝑅𝑛 (0.9) =

(𝑥 − 𝑎)𝑛+1 (𝑛 + 1)!

24 (−0.1)5 𝑐5 5! 12

𝑅𝑛 (0.9) =

(−0.1)5 24 𝑐5 5 × 4 × 3 × 2 × 1

𝑅𝑛 (0.9) =

(−0.1)5 5 𝑐5

0.9 < 𝑐 < 1 𝑥 0 ⟹ {

𝑎2 = 𝑥1 = 6.25 𝑏2 = 𝑏1 = 6.5

Sea i  2 [ 𝑎2 , 𝑏2 ] = [ 6.25 , 6.5 ] ⟹ 𝑥2 =

𝑎2 + 𝑏2 6.25 + 6.5 = = 6.375 2 2

⟹ 𝑥2 = 6.375 𝑎 = 𝑥2 = 6.375 𝑓(𝑎2 )𝑓(𝑥2 ) = 𝑓(6.25)𝑓(6.375) > 0 ⟹ { 3 𝑏3 = 𝑏2 = 6.5 Sea i  3 [ 𝑎3 , 𝑏3 ] = [ 6.375 , 6.5 ] ⟹ 𝑥3 =

𝑎3 + 𝑏3 6.375 + 6.5 = = 6.4375 2 2

⟹ 𝑥3 = 6.4375 𝑓(𝑎3 )𝑓(𝑥3 ) = 𝑓(6.375)𝑓(6.4375) < 0 ⟹ {

𝑎4 = 𝑎3 = 6.375 𝑏4 = 𝑥3 = 6.4375

27

𝑛

𝑥𝑛

⃒𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ⃒

0

6.5

1

6.25

0.25

2

6.375

0.125

3

6.4375

0.0625

4

6.40625

0.03125

5

6.390625

0.015625

6

6.3828125

0.0078125

≤ 𝟎. 𝟎𝟏

Luego tenemos que la raíz es: ⟹ 𝑥5 = 6.390625

Donde ⃒𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ⃒ = 0.015625 ≤ 𝟎. 𝟎𝟏

28

Ejemplo 1

Sea

f x  x3  x  1 x *   1 ,2 

1)

Sea

i0

con un error de aproximación de obtener10−2 , aplicar el método de bisección.

a0 ,b0    1 ,2  a 0 , b 0 1  2   1, 5 2 2  x 0  1, 5  x0 

 

a1  a0  1 1 f f a f x 0  f 1.5   0  b  x  1,5 0  1 0     2) Sea



i1

a1 ,b1    1 , 1,5  a1 , b1 1 ,1,5   1, 25 2 2  x 1  1, 25  x1 

3)

  

a  x  1,25   2 1 1 f 1,25  f a f x1  f     0  b  a  1,5 1  1  2     4) Sea

i2

a

2

, b2    1,25 , 1,5 

a 2  b 2 1,25  ,1,5   1, 375 2 2  x 2  1, 375  x2 

5)

  

a3  a2  1,25 1,375  f a f x 2  f  1,25  f   0  b  x  1,375     2  3 2 6) Sea

i3

a

3

, b3    1,25 , 1,375 

𝑛

a3  b3 1,25  ,1,375   1, 3125 2 2  x 3  1, 3125  x3 

𝑥𝑛

⃒𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ⃒

0

1.5

1

1.25

0.25

2

1.375

0.125

3

1.3125

0.0625

4

1.34375

0.03125

5

1.328125

0.015625

6

1.320312

0.0078125 < 𝟎. 𝟎𝟏

EJEMPLO 1

Sea

a)

b)

f x   x 2  2x  4  0 x* 

x* 

 1 ,2  4,  3 

obtener la solución con dos cifras significativas

obtener la solución con dos cifras significativas

f x   x 2  2x  4  0 Entonces resolveremos a) 7)

Sea

i0

a0 ,b0    1 ,2   x0 

a 0  , b0 1  2   1, 5 2 2

 x 0  1, 5

  

a a 1   1 0 1 f1.5  f a f x0  f   0  b  x  1,5 0  0  1     8) Sea

i1

a1 ,b1    1 , 1,5  a , b1 1 ,1,5  x1  1   1, 25 2 2  x 1  1, 25

9)

 

a 2  a1  1 1 f1,25 f a f x 1  f   0  b  x  1,25 1  2 1     10) Sea



i2

a2 ,b2    1 , 1,25 

a  b 2 1 ,1,25  x2  2   1, 125 2 2  x 2  1, 125 11)

 f x

fa

2

2

1 f 1,125   f     0  

 

a3  x 2  1,125  b3  b2  1,25

12) Sea

i3

a3 ,b3    1,125 , 1,25  a 3  b3 1,125  ,1,25   1, 1875 2 2  x 3  1, 1875  x3 

29

Ejemplo 2

Encuentre la raíz de la siguiente ecuación en el intervalo [−2.5, −1], empleando el método de Bisección para el polinomio 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 10, e iterar hasta que el error estimado sea menor o igual al 5%. Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 10 𝑥 ∗ 𝜖 [−1, −2.5] con un 𝜉𝑠 ≤ 5% , 1) Sea i  0

a

0

, b0   - 1 ,-2.5 

a 0  b0 1  2.5    1,7 5 2 2  x 0   1, 75  x0 

  

   f a f x 0  f  1 f 1 .75   0    

a  a  1   1 0 0   b  x  1.75  0  1

2) Sea i  1

, b1     1,  1.75 

a

1

a1  , b1 1  1,75    1, 375 2 2  x1   1, 375  x1 

 

a 2  x1  1, 375  f a f x1  f  1 f  1, 375   0    1 b2  b1  1, 75    



3) Sea i  2 a 2 , b2     1, 375 , 1.75  a  b2  x2  2   1, 5625 2  x 2   1, 5625

  

a  a  1, 375   3 2     f a f x 2  f 1, 375 1, 5625   0    f   2 b  x  1,5625  2  3    

𝒏 0 1 2 3 4

𝒙𝒏 -1.750000000 -1.375000000 -1.562500000 -1.468750000 -1.51625000

|𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊 | 0.375000000 0.187500000 0.093750000 0.046875000 ≤ 𝟎. 𝟎𝟓

30

Luego tenemos que la raíz es:  x 4  - 1.51625000

Donde

x 4  x 3  0.04687500 0  0.05

Ejemplo 3

Sea

4)

f x   x 2  0.9 x  1.52 , x *   1 ,2  Sea

i0

con un 𝜉 = 10−3

a0 ,b0    1 ,2  a 0  b 0 1 2   1, 5 2 2  x 0  1, 5  x0 

5)

a1  x 0  1.5 1 f  f a 0 f x 0   f 1.5   0  b  b  2 0  1    

 

6) Sea

i1

a1 , b1   1, 5 , 2  a1  , b1 1,5  ,2   1, 75 2 2  x 1  1, 75  x1 

7)

 f x

f a

1

1

   f 1,5  f 1,75      

0

 

 a 2  x1  1,75   b b  2   2 1

8) Sea

i2

a 2 , b2    1,75 , 2  a 2  b2 1,75  ,2   1, 875 2 2  x 2  1, 125  x2 

9)

a3  a2  1,75 1,75 1,875 f a 2 f x 2   f  f     0  b  x  1,875 2  3    

 

10) Sea

i3

a3 , b3    1,75 , 1,875  a 3  b3 1,75  ,1,875   1, 8125 2 2  x 3  1, 8125  x3 

11)

Sea

i0

a0 ,b0    1 ,2 

a 0  b 0 1 2   1, 5 2 2  x 0  1, 5  x0 

12)

a1  x 0  1.5 1 f  f a 0 f x 0   f 1.5   0  b  b  2 0  1    

 

13) Sea

i1

a1 , b1   1, 5 , 2  a1  , b1 1,5  ,2   1, 75 2 2  x 1  1, 75  x1 

14)

a 2  x1  1,75  1,75 f a1 f x 1   f 1,5  f   0  b  b  2  2 1    

 

15) Sea i  2

a 2 , b2    1,75 , 2  a 2  b2 1,75  ,2   1, 875 2 2  x 2  1, 125  x2 

16)

31

 a3  a2  1,75 1,75 1,875 f a 2 f x 2   f  f     0    b3  x 2  1,875    

 

17) Sea

i3

a3 , b3    1,75 , 1,875  a 3  b3 1,75  ,1,875   1, 8125 2 2  x 3  1, 8125  x3 

Luego tenemos que la raíz es :

 x 9  1, 762695313 Donde

x 9  x 8  0.000976  0.001

32

MÉTODO DE REGULA FALSI

Dado que el Método de Bisección es una técnica que permite determinar raíces, su enfoque no es tan eficiente. La Falsa Posición es una alternativa basada en la visualización gráfica, pues la intersección de una línea con el eje de las X, representa una mejor estimación de la raíz, de aquí el nombre de Falsa Posición, en Latín Regula Falsi ó método de Interpolación Lineal.

1) Este método se basa en la interpolación lineal, es análogo al método de bisección, puesto que el tamaño del intervalo que contiene a la raíz se reduce mediante iteración.

Sin embargo en vez de encontrar los puntos medios de los intervalos en forma monótona , utiliza la interpolación lineal ajustada a dos puntos extremos para encontrar una aproximación de la raíz, siendo la función bien aproximada por la interpolación lineal , entonces las raíces tendrán una buena precisión y la iteración convergerá más rápido que usando el método de bisección.

El Método de Bisección tiene el defecto que al dividir el intervalo en mitades iguales no considera la magnitud de las imágenes de la función.

Así por ejemplo si

f a 

encuentre más cerca de

a

es más cercano a cero que que de

b

f b 

aprovechando en unir

es lógico que la raíz se

f a  y f b  con una línea

recta , donde la intersección de esta línea con el eje X representa una mejor estimación de la raíz , de hecho al reemplazar una curva por una línea recta da una FALSA POSICION de la raíz de aquí el nombre “Método de FALSA POSICION ”.

GRAFICAS

33

Sabemos que la ecuación de la recta es: 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎 ) 𝒚𝟏 − 𝒚𝟎 (𝒙 − 𝒙𝟎 ) 𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒙𝟏 − 𝒙𝟎 Entonces: Sea el intervalo cerrado [𝑎 , 𝑏] que contenga a la raiz , la funcion lineal que pasa por los puntos : (𝑥1 , 𝑓(𝑥1 )) , (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 ) ) , se tiene: 𝑦 − 𝑓(𝑥1 ) =

𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) (𝑥1 − 𝑥0 ) 𝑥1 − 𝑥0

Despejando, 𝑥1 tenemos: (𝑦 =𝟎 − 𝑓(𝑥0 ) )(𝑥1 − 𝑥0 ) + 𝑥0 = 𝑥1 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) Si 𝑦 = 0 ⟹La recta intersecta al eje X en una raíz Entonces 𝑥1 =

−𝑓(𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥0 ) + 𝑥0 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 ) (𝑥1 − 𝑥0 ) 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥0 )

𝑥1 = 𝑥0 −

Entonces: 𝑥2 = 𝑥1 −

(𝑥2 − 𝑥1 ) 𝑓(𝑥1 ) 𝑓(𝑥2 ) − 𝑓(𝑥1 ) 34

𝑥3 = 𝑥2 −

(𝑥3 − 𝑥2 ) 𝑓(𝑥2 ) 𝑓(𝑥3 ) − 𝑓(𝑥2 )

....... 𝑥𝑛 = 𝑥𝑛−1 −

(𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ) 𝑓(𝑥𝑛−1 ) 𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑥𝑛−1 )

2) La desventaja de este método es que pueden aparecer extremos fijos así las aproximaciones

x 2, x 3, x 4....

a la raíz converge solamente por un lado.

3) Los extremos fijos no son deseables, pues hacen más lentos la convergencia, especialmente cuando el intervalo inicial es muy grande.

ALGORITMO DEL METODO DE REGULA FALSI

Sea 𝒇(𝒙) una función continua y definida en el intervalo

a , b

donde 𝒇(𝒙) = 𝟎 .

Si 𝒇(𝒂) 𝒇(𝒃) < 𝟎 ⟹ ∃ 𝒙∗ 〈𝒂 , 𝒃 〉 ; 𝒇(𝒙∗ ) = 𝟎 Tenemos la relación:

𝑥𝑖 =

𝑓(𝑏𝑖 ) 𝑎𝑖 − 𝑓(𝑎𝑖 ) 𝑏𝑖 𝑓(𝑏𝑖 ) − 𝑓(𝑎𝑖 )

𝑖 = 0,1,2 ….

Determinamos:

𝒇(𝒂𝒊 ) 𝒇(𝒙𝒊 ) = {= Donde 𝒙𝒊 =

>

𝟎

⇒

𝒂𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 𝒃𝒊+𝟏 = 𝒃𝒊