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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO

INSTITUTO TECNÓLOGICO DE TUXTLA GUTIÉRREZ DEPARTAMENTO DE METAL-MECANICA

MATERIA: MÉTODOS NUMÉRICOS DOCENTE: AGUILAR SUAREZ MARCO ANTONIO COMPETENCIA: 1.- INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS GRADO Y GRUPO: 4° SEMESTRE GRUPO A CARRERA: INGENIERÍA MECÁNICA

INTEGRANTES: PÉREZ PÉREZ JOSÉ DANIEL LÓPEZ ROQUE ESTEBAN ULISES MARTÍNEZ CRUZ EDUARDO RUIZ CABALLERO JUAN DIEGO

ÍNDICE 1. Introducción a los métodos numéricos. .......................................................................... 3 1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones. .................................................. 4 1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento. ................................................................................................ 5 1.3 Convergencia. .............................................................................................................. 6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS. ........................................................................................ 7 FUENTES DE INFORMACIÓN: ..................................................................................... 10

COMPETENCIA 1: introducción a los métodos numéricos. DESCRIPCIÓN: Reconocer los conceptos básicos que se emplean en los métodos numéricos. SUBTEMAS: 1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones. 1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento. 1.3 Convergencia.

1. Introducción a los métodos numéricos. Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que se puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, estos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. El análisis numérico y sus métodos es el dialogo entre el análisis matemático cualitativo y el análisis matemático cuantitativo. El primero nos dice, por ejemplo, que de bajo de ciertas condiciones algo existe, que es o no único, mientras el segundo complementa al primero, permitiendo calcular aproximadamente el valor de aquello que existe. El análisis numérico es pues: una reflexión sobre los cursos tradicionales de cálculo, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales entre otros, concretando en una serie de métodos o algoritmos, cuya característica principal es la posibilidad de obtener resultados numéricos de problemas matemáticos de cualquier tipo a partir de números y un número finito de operaciones aritméticas. Para dar una mejor solución a un método o algoritmo se implementa la computadora dado que es fundamental para el estudio de estos, ya que un algoritmo implica numerosas operaciones lógicas, aritméticas y en múltiples casos graficaciones. El binomio computadora lenguaje de alto nivel (Fortran, Basic, C, entre otros) ha sido utilizado para la enseñanza y aprendizaje de los métodos numéricos. También la operación de paquetes comerciales como Mathcad, Maple, Matlab permite un acercamiento al estudio de los métodos numéricos. Fig. 1. Las tres fases en la solución de problemas en ingeniería en a) la era anterior a las computadoras y b) la era de las computadoras.

1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones. ALGORITMOS: Se denomina algoritmo al conjunto de pasos ordenados y finitos que permiten resolver un problema o tarea específica. Los algoritmos son independientes del lenguaje de programación y de la computadora que se vaya a emplear para ejecutarlo. Todo algoritmo debe ser: 1. Finito en tamaño o número de instrucciones (tiene un primer paso y un último paso) y tiempo de ejecución (debe terminar en algún momento). Por lo tanto, debe tener un punto particular de inicio y fin. 2. Preciso Debe tener un orden entre los pasos. 3. Definido. No debe ser ambiguo (dobles interpretaciones); si se ejecuta el mismo algoritmo el resultado siempre será el mismo, sin importar las entradas proporcionadas. 4. General. Debe tolerar cambios que se puedan presentar en la definición del problema. Toda actividad que realizamos la podemos expresar en forma de algoritmo. Existen dos tipos de algoritmos, los que se desarrollan para ser ejecutados por una computadora, llamados algoritmos computacionales, y los que realizan el ser humano, es decir, algoritmos no computacionales. APROXIMACIONES: Aproximar un número ciertas cifras decimales consiste en encontrar un numero con las cifras pedidas que este muy próximo al número dado. En la aproximación por defecto se busca el número con un determinado número de cifras que es menor que el dado. La aproximación por exceso es cuando el numero con las cifras decimales fijadas es inmediatamente mayor al número dado. Esto surge gracias a los errores, ya que hay muchas veces en problemas en el cual no hay forma analítica de resolver el problema, en este caso se podrían usar aproximaciones para poder acercarse a un resultado que se desea alcanzar o ya sea los métodos numéricos.

1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento. Los errores son una parte inherente de los métodos numéricos debido a la naturaleza de estos ya que son aproximaciones o estimaciones de la realidad, precisamente estos métodos surgieron debido a que habían situaciones en que la solución a un problema aparentaba no existir, pero en realidad era que aún no se tenía y todavía no se tienen soluciones a todos los modelos matemáticos (solución analítica), y fue de esa manera que se buscaron alternativas, hasta que se dio con los métodos numéricos, los cuales dieron una buena aproximación de la realidad, el único inconveniente que había (aparte de los errores en el cálculo)era que para llegar a una solución, se tardaba mucho en conseguirla, pero a la llegada de las computadoras estos métodos se volvieron eficientes. Cabe señalar que aun que se volvieron muy eficientes(los métodos numéricos) el error seguía latente, es decir el valor de la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado seguía existiendo. ERROR DE REDONDEO: Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora emplea un número determinado de cifras significativas durante un cálculo. Los números tales como “pi”, “e” no pueden expresarse con un número fijo de cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados exactamente por la computadora. Además, debido a que las computadoras usan una representación en base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base 10. Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas se llama error de redondeo. ERROR DE TRUNCAMIENTO: Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Este tipo de error aparece muy característico en la serie de Taylor, debido a que no se utiliza toda la representación matemática de la “polinomicidad” (representar una función en forma de polinomio), y se limita a una solución aproximada, en estos casos se dice que se truncó el resultado verdadero y se originó un error de truncamiento en el valor de la solución.

ERROR ABSOLUTO: El error absoluto o verdadero surge cuando se conoce el valor exacto de una solución y además se tiene otra solución aproximada de la misma, por tanto se puede hacer la siguiente relación

E = |Valor verdadero – valor aproximado| Donde

E: Error absoluto. ERROR RELATIVO: De la anterior y el análisis de diferentes problemas se llegó a la conclusión de que el error absoluto no era suficiente para calcular el error con respecto a lo que se estaba analizando; es decir que era indiferente a si se trataba de un error de 0.1 en un problema donde las unidades eran gigantes a un problema donde el valor del error era casi del tamaño de las magnitudes en cuestión por eso se originó el error relativo, el cual si tomaba en cuenta el todo como punto de referencia y la fórmula para calcularlo es: Er = (E)/ Valor verdadero ERROR PORCENTUAL: El error porcentual es una forma de representar el valor real del error en forma de porcentaje y solo hay que multiplicar por cien en la ecuación anterior. Er = ((E)/ Valor verdadero) *100

1.3 Convergencia. DEFINICIÓN: El término convergencia, que procede del vocablo latino “convergens”, refiere al acto y el resultado de converger de donde “con” es reunión” y “vergens” significa inclinación; y se refiere a dirigirse dos cosas, líneas, series numéricas, calles, pensamientos, etcétera, hacia un mismo punto, resultado, fin u objetivo. A nivel general, de este modo, puede decirse que la convergencia es la característica de dos o más elementos que confluyen en un cierto lugar o estado. El concepto se utiliza de distintas maneras de acuerdo al contexto. En Matemática cuando una sucesión numérica posee un límite finito se denomina convergente, de lo contrario, si es infinito recibe la denominación de divergente. En Métodos numéricos, entendemos por convergencia, la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteraciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia. Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario, divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado. Un método numérico tiene una mayor estabilidad, cuando ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro. Normalmente se puede encontrar métodos que convergen rápidamente, pero son demasiado inestables y, por el contario, modelos muy

estables, pero de lenta convergencia. En métodos numéricos, se denomina “orden de convergencia”, a la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de iteraciones. El número que es llamado orden de convergencia. En particular, convergencia de orden 1 es llamada convergencia lineal, la de orden 2 convergencia cuadrática y la convergencia de orden 3 convergencia cúbica.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Unidad 1. Práctica 1: Análisis del error, importancia y tipos de errores. Integrantes del equipo: Pérez Pérez José Daniel López Roque Esteban Ulises Martínez Cruz Eduardo Ruiz Caballero Juan Diego

La siguiente práctica permitirá visualizar de forma práctica el error de redondeo y truncamiento, así como recordar la sintaxis y estructura del lenguaje de programación que estudiaste. Contesta las siguientes preguntas y realiza las actividades: 1.- ¿Qué entiendes por error de redondeo? Un error de redondeo1es la diferencia entre la aproximación calculada de un número y su valor matemático exacto debida al redondeo. Este es una forma de error de cuantificación. Uno de los objetivos del análisis numérico es estimar errores en los cálculos, incluyendo el error de redondeo, cuando se utiliza ecuaciones o algoritmos de aproximación, especialmente cuando se utiliza un número finito de dígitos para representar números reales (que en teoría tiene un número infinito de dígitos). 2.- ¿Qué es el error de truncamiento? Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Además para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresa a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar Funciones en forma polinomial: Serie de Taylor

3.- Escribe las expresiones que permiten evaluar los errores verdaderos porcentuales y aproximados porcentuales.



Error Verdadero Porcentual = Valor Verdadero Porcentual - Valor aproximado Porcentual



Aproximado Porcentual = Valor Verdadero Porcentual – Error Verdadero Porcentual

4.- Diseña un algoritmo que permita la suma de 0.1; 1000, 10000, 100000 y 1000000 de veces. El algoritmo debe preguntar cuántas veces se desea sumar 0.1 y debe escribir la suma. 

Programa que suma “n” veces el número 0.1.

Los resultados de cada ejecución con los diferentes valores de la suma de 0.1 escríbelos en la siguiente tabla evaluando el error verdadero.

No. de veces a sumar 0.1 1000 10000 100000 1000000

Suma obtenida con el programa 99.99999999999859300000 1000.00000000015880000000 10000.00000001884800000000 100000.00000133288000000000

Ev 1.406875*10^-12 1.588205*10^-11 1.884837*10^-10 1.332883*10^-9

5.- Diseñar un algoritmo que utilice la serie de Mac Laurin para aproximar la función seno del ángulo, 3𝜋 radianes, según el número de términos de la serie, que se deseen (se sugieren 2, 4, 6, 8, 10). La 4

serie de Mac Laurin es: 𝑛

𝑠𝑒𝑛𝑜(𝑥) = ∑(−1)𝑖 𝑖=0



𝑥 2𝑖+1 + 𝑅𝑛 (2𝑖 + 1)!

Programa que aproxima la función sen ((3*pi)/4).

Calcula el seno del ángulo de

3𝜋 4

radianes, utilizando la función sin (), y luego utilízalo para calcular

el Error relativo porcentual de cada una de las aproximaciones obtenidas con la serie. Los resultados obtenidos con los diferentes términos escríbelos en la siguiente tabla

No. de Valor aproximado términos 2 7.812315*10^-1 4 6 8 10

7.074073*10^-1 7.071071*10^-1 7.071068*10^-1 0.7071067812

Valor verdadero

Ev

0.7071

1.048282*10^1 %

0.7071 0.7071 0.7071 0.7071

4.249713*10^-2 % 4.058556*10^-5 % 1.354307*10^-8 % 1.994017*10^-12%

6.-Escribe tus conclusiones. De lo investigado y la elaboración de las actividades hemos llegado a la conclusión de que los errores son un factor influyente en los métodos numéricos, ya que estaremos trabajando con estimaciones y como son cálculos tenemos que medir no solo la estimación si no que tenemos que medir el error ya que como se pudo ver en la práctica de la adición del número 0.1 “n” veces, la herramienta computadora cometió un error de redondeo pequeño pero debido a que se trata de grandes iteraciones iba acumulando ese error y eso nos hace pensar en un error grande cuando se trata de operaciones igualmente grandes (iteraciones), por lo que es de suma importancia tener presente que habrá un error y por consiguiente es necesario cuantificarlo para saber qué tan exacto es el resultado, y cuando no se conoce el valor verdadero es necesario conocer que tan preciso es el método el cual estaremos aplicando.

FUENTES DE INFORMACIÓN:  Chapra G., Margaret, Canale C., Helen (2007). Métodos numéricos para ingenieros quinta edición. México D.F. McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.  Nieves A., & Domínguez F. (S/A). Métodos numéricos Aplicaciones a la ingeniería, 2da. Edición. CECSA.