• Author / Uploaded
• 985575653

Citation preview

BALANCES DE MATERIA PARA SISTEMAS DE CULTIVO I. ECUACION DE BALANCE DE MATERIA EN EL BIORREACTOR BIORREACTOR O FERMENTADOR  

Es el equipo o recipiente donde se realiza el proceso fermentativo o bioprocesos en general. Provee todos los servicios que son necesarios para el cultivo: mezclado, termostatización, suministro de oxígeno, entradas para adición nutrientes, control del pH, etc. ESQUEMA DE UN BIORREACTOR

Se indica los caudales (F) y concentraciones del componente i (Ci) a la entrada (1) y salida (2). La flecha que rodea al eje del agitador significa que el cultivo está perfectamente mezclado.

F1 Ci1

F2 Ci2

Figura 1

En la Figura 1 para un componente i cualquiera del cultivo (Ci): i = sustrato, biomasa o producto, se puede plantear el siguiente balance de materia en el biorreactor Velocidad de acumulación

(1)

d (V Ci) dt V F1 F2 Ci1 Ci2

rf i

=

=

Velocidad de ingreso

-

Velocidad de salida

+

F1 Ci1

-

F2 Ci2

+

Velocidad de formación V rf i

-

-

Velocidad de consumo V rci

Volumen de cultivo, Caudal de alimentación, (Lh-1) Caudal de salida, (Lh-1) Concentración del componente "i" en la alimentación Concentración del componente "i" en el caudal de salida Si el cultivo esta bien mezclado, se puede asumir idéntica a la que hay dentro del biorreactor. Velocidad de formación del componente "i"

Velocidad de consumo del componente "i"

rci EJERCICIO 1:

Aplicando la Ecuación (1): Deduzca la Ecuación de Balance de Materia para las Células (Ci = X)

(1)

II.

d (V Ci) dt

=

F1 Ci1

-

F2 Ci2

+

V rf i

-

V rci

d (V X) dt

=

F1 X1

-

F2 X2

+

V rx

-

V rd

d (X) dt

=

F1 X1 / V

-

F2 X2 / V +

V rx / V

-

V rd / V

d (X) dt

=

F1 X1 / V

-

F2 X2 / V +

rx

-

rd

d (X) dt

=

F1 X1 / V

-

F 2 X2 / V +

µX

-

αX

SISTEMAS DE CULTIVO Y ECUACIONES DE BALANCE DE MATERIA



Los sistemas de cultivo o métodos de cultivo, hace referencia al modo de operar de un biorreactor, esto es en forma continua o discontinua.



Suponiendo que la densidad del cultivo (d = m / V) y de su alimentación son iguales resulta: o

El volumen del cultivo (V) variará en el tiempo según sea F1 y

(2)



dV dt

=

F1 - F2

F1 Caudal de entrada F2 Caudal de salida

Dependiendo de como sea F1 y F2 surgen tres sistemas de cultivo:

F2

1. Cultivo Continuo F1 

Ambos caudales son iguales



Por la ec. (2): V es constante



Por lo tanto: la ec. (1) se reduce a ec. (3)

=

F2

F1 = F2

(1)

d (V Ci) dt

=

F1 Ci1

-

F2 Ci2

(3)

V d (Ci) Dt

=

F ( Ci1

-

Ci2 )

+

V rf i

+

V ( rf i

V rci

-

rci )

-

2. Cultivo Batch Alimentado





El caudal de salida F2 , es nulo

F1

0

Por lo que V aumentará en el tiempo en función del caudal de entrada: Ec. (4)



F2 = 0

dV dt

F1

=

En la Ec. (1) se anula el término:

(1)

d (V Ci) dt

=

F1 Ci1

(5)

d (V Ci) dt

=

F Ci1

-

F2 Ci2

F2 Ci2

+

+

V rf i

V ( rf i

V rci

-

-

rci )

3. Cultivo Batch



Ambos caudales son nulos F1 = F2 = 0



V es constante



En la Ec. (1) se anulan los términos:

0

F1 Ci1

(1)

(5)



,

=

0

F2 Ci2

V rf i

-

V rci

=

V ( rf i

-

rci )

=

( rf i

-

rci )

d (V Ci) dt

=

V d (Ci) dt

d (Ci) dt

F1 Ci1

-

F2 Ci2

+

Su duración: También es limitada en el tiempo y depende de las condiciones iniciales del cultivo



Una vez inoculado el medio: La Biomasa aumenta a expendas de los nutrientes y cuando el substrato que limita el crecimiento se agota, finaliza el batch.

II.

BALANCES DE MATERIA DE LOS COMPONENTES ( X, P, S ) PARA SISTEMAS DE CULTIVO



Analizaremos ahora con más detalle cada uno de los sistemas vistos aplicando en particular los balances de materia a la biomasa (X), al producto (P), y al sustrato limitante de crecimiento (S).



Para la biomasa (X), y el producto (P) sólo es necesario considerar la cinética de formación



rx

y

rp

respectivamente, con lo cual rci = 0 en ambos casos.

Para el sustrato (S) se tiene el caso inverso y sólo deberá considerarse la velocidad de consumo, rs .



Si por las características del proceso, la lisis celular o la descomposición del producto son importantes, deberá incluirse en el balance un término adicional que contemple este aspecto.

II.1. Cultivo continuo II.1.1. Operación:  

Para poner en marcha un cultivo continuo, se realiza previamente un cultivo batch En un momento dado se comienza a alimentar con medio fresco a caudal F y por rebalse se mantiene el volumen constante.

3.1.2. Componentes del caudal de salida:   

Células Medio de cultivo parcialmente agotado y Eventualmente algún producto.

3.1.3. Consideraciones: 

Si alimentamos con medio fresco significa que: X1 = 0



y

P1 = 0

Por lo que, sólo se debe considerar la concentración de sustrato limitante del crecimiento (S1).

3.1.4. Balance de Materia para X, S, P

En base a las consideraciones anteriores y de acuerdo a Ec. (3) los balances de materia para X, S y P será la: Ec. (7) , Ec. (8) Ec. (9) CUANDO: Ci = X (7)

VdX dt

=

DEDUCCION MATEMATICA DE EC. (7)

F X

-

+

V rX

(3)

CUANDO: Ci = S (8)

VdS dt

=

V d (Ci) dt

=

F (Ci1 -Ci2) + V (rf i - rci )

Cuando: Ci = X F (S1 – S2) - V rS

VdX dt

=

F ( 0 - X ) + V (rX - 0 )

CUANDO: Ci = P (9)

VdP dt

=

-

F P

-

V rP

(7)

VdX dt

=

-

F X

+

V rX

3.1.5. En Estado Estacionario 

Las concentraciones dentro del biorreactor permanecerán constantes en el tiempo, lo que significa igualar a cero las ecuaciones (7), (8) y (9).

3.1.6. Relación entre la Velocidad de Dilución ( D ) y Crecimiento Celular ( µ ) 

De la primera Ec. (7) y teniendo en cuenta que rx = (10)

VELOCIDAD DE DILUCIÓN (D)

(10)

F V

=

D =

D

u

X, resulta Ec.

DEDUCCION MATEMATICA EC. (10) (7)

u (10)

VdX dt

=

-

F X

+

V rX

0

=

-

F X

+

V rX

F X

=

V

=

u

F V D

=

u

uX



Si se reemplaza D Ec. (10) en la ec. (19) resulta Ec. (11)

CONCENTRACION DE SUBSTRATO EN ESTADO ESTACIONARIO (ŝ) (11)

ŝ = KS D / (u m - D)

DEDUCCION MATEMATICA Ec. (11) F V

(19)

u

=

um . S

/ KS + S

D

=

um . S

/ KS + S

Ejercicio de Aplicación: KS = 0.05 g L-1 D

= 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0

h -1

=

D

u

(10)

=

KS D + D S

=

um . S

KS D

=

um . S

Dividiendo por

u m = 1.0 h-1

ढ़

뉰 , àKC D 莬¯ ŝ ࠤ Ȱ=ʠ ĬuҠm - 뉰æ

1. Calcule los valores de ŝ 2. Traze la curva de evolución de ŝ Rpta: ŝ = 0.017 g/L; cuando D = 0.25

8 ࠤŝ뉰 luäm - D⎭ $= )KSɠ뉰 (11)

˨耠ơ

뉰Ʋ 耠ƷKs 耠Ä Π耯ƹ(ϵ 耠 ý ǽ

3Ҡ1ʾ7 뉰 `Rӥlació 뉰 "entsҠ ɬa 뉰 Vílïcidad 뉰 æe DiҠuɫi 音 n>(àD ) ≤e Sӵbstra⇼ï ( sҠ 

荽 ¢ConsҠmͿ

Æeäha Ecc¢,8)!$sϵrࠤeļ хc. (1뉰©

VEࠤOϋI뉰AÜ ӄE CON菛 ÷MO Eࠤ ɓUҠSŔRӅTO 뉰ý) ! Ш ࠤ4 ࠤ(12 ) 뉰¢$ !

- DS

(8)

뉰 $ !ࠤ xrࠤ " Ӡ= $ !

DEDUCCION MATEMATICA Ec. (11)

D !(Sұ耠– 뉰«

VdS dt

=

F (S1 – S) - V rC

=

F (S1 – S) - V rS

뉰¢

0

d 耠

ࠤ!! ä E胪 ezcicio de AplicAción: D

= 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0

S1 = 5 g L-1

h -1

V bS

=

F (S1 – S)

rS

=

F (S1 – S)

/ V

Ŝ

= valores del ejercicio anterior

(12)

rS

D (S1 – ŝ)

=

1. Calcule rS para los valores de ŝ Rpta:



Por la Ec. (26) :

VELOCIDAD DE CONSUMO DE SUBSTRATO (26)

rs = u X / Yx/s

DEDUCCION MATEMATICA Ec. (26)

(26)

Y x/s

rx / rs

=

rs =

rx / Y x/s

rs =

uX / Yx/s

Por lo tanto, comparando ec. (26) y dc. (12) y reemplazando u = D se tiene ec.(1#) CONCENTRACION DE BIOMASA EN DEDUCCION MATEMATICA Ec. (13) ESTADO ESTACIONARIO (x) (12) (13)

X

=

Yx/s ( S1 - Ŝ)

Ejebcicio de Aplicación:

Ŝ

D (S1 – ŝ)

rS = u X / Yx/s

(26) y (12)

u X / Yx/s = D (S1 – ŝ) Reemphazando u = D

-1

= valores del ejercicio anterior

1. Calcule X 2. Gr!fi1ue la evolución de la biomasa Rpta: X = 2.49 g/L;

=

(26)

Y’p-s = 0.5 S1 = 5 g L

rS

cuando Ŝ = 0. 17 g/L

(13)

D X = Yx/s D (S1 - Ŝ) X = Yx/s (S1 - Ŝ)

Si en particular S es la fuente de carbono y energía, r S vendrá dada por la Ec. (29) del Cap. 5 y X será:

CONCENTRACION DE BIOMASA EN ESTADO ESTACIONARIO (x)

(13 B)

DEDUCCION MATEMATICA Ec. (13 B) (11)

ŝ

(13)

X

X = Yx/s ( S1 – Ks D / u m – D)

= KS D / (u m - D) =

Yx/s (S1 - Ŝ)

Introduciendo (11) en (13) resulta (13 B)

(13B)

X = Yx/s ( S1 – Ks D / u m – D) CONCENTRACION DE BIOMASA EN ESTADO ESTACIONARIO (x)

(14)

X

=

D Y’x/s ( S1 - Ŝ) (D + ms Y’x/s )

DEDUCCION MATEMATICA Ec. (14) En ec. (29) reemplazar rx = µX

rs = rx / Y’x/s + ms X

(29)

µX / Y’x/s

=

+ ms X

Factorizando en X Ejercicio de Aplicación: D

= 0, 0.25, 0.5, 0.75, 1.0

rs = X [ µ / Y’x/s + ms ] h-1

Introducir la ec. (26):

rs = µX /Yx/s

Y’x/s = 0.5 S1 = 5 g L-1 Ŝ

= valores del ejercicio anterior

ms = 0.06 g / g h

µX /Yx/s

=

X [ µ / Y’x/s + ms ]

Introducir la ec. (13):

X =Yx/s (S1 - Ŝ)

µYx/s (S1 - Ŝ) / Yx/s = X [ µ /Y’x/s + ms ]

-------------------------------------------------1. Calcule X 2. Grafique la evolución

Despejando X X [ µ /Y’x/s + ms ] .Yx/s = µYx/s (S1 - Ŝ) X

=

µ

Yx/s ( S1 - Ŝ )

Rpta:

------------

[ µ/Y’x/s + ms ] .Yx/s X

D

=

Yx/s ( S1 - Ŝ ) D + ms . Yx/s

Cuando ms = 0 , la ecuación (14) se reduce a la ecuación (13).

Figura 16. Cultivo continuo. Muestra como varía la concentración (Ŝ) en estado estacionario en función de la velocidad de dilución (D) La curva superior continua corresponde a Ec. (13) y la inferior Ec. (14) (13) ms = 0

X

=

X

=

Yx/s ( S1 - Ŝ)

(14)

ms = 0.08 g-1g-1h-1

D Y’x/s ( S1 - Ŝ) (D + ms Y’x/s)

S1 = 5 gL-1

Ks = 0.05 gL-1 Dc = 0.99 h-1 µm = 1 h-1 Concentración de biomasa (X) y de substrato limitante (S1) en estado estacionario a distintos valores de D. Parámetros:

µm = 1 h-1

;

Y’x/s = 0.5

Ks = 0.05 gL-1 ;

S1 = 5 gL-1

En el caso de la Ec.(14) el efecto del mantenimiento celular se hace notable a bajas velocidades de dilución. En ambos, casos puede apreciarse que existe un valor D por encima del cual es X = 0, con lo cual por la ec. (13) o (14) es Ŝ = S1 (14)

X

=

0

=

0

=

D Y’x/s ( S1 - Ŝ) (D + ms Y’x/s)

(13)

X

=

Yx/s ( S1 - Ŝ)

0

=

Yx/s ( S1 - Ŝ)

D Y’x/s ( S1 - Ŝ) (D + ms Y’x/s)

Ŝ = S1

D Y’x/s ( S1 - Ŝ)

Ŝ = S1 Si se reemplaza este valor en la Ec. (11) se obtiene Ec. (15) VELOCIDAD DE DILUCION CRITICA Dc

DEDUCCION MATEMATICA Ec. (15) (11)

ŝ

= KS D / (u m – D)

S1 (15)

Dc

=

µm

S1 = KS D / (u m – D)

Ks + S1

KS D = S1 . (u m – D) (15)

KS D =

u m S1

– S1 D

KS D + S1 D =

u m S1

D (KS + S1 )

u m S1

=

S1 D

=

µm Ks + S1

Si como ocurre normalmente S1 >> Ks se tiene Dc ≈ µm lo cual es un criterio muy útil en el momento de seleccionar un valor D apropiado, ya que debe cumplirse que D < µm Caso contrario, ocurrirá el “lavado del cultivo” debido a que la velocidad de salida de las células del biorreactor será mayor que la del crecimiento.

Debe tomarse en cuenta que la Fig. 16 se representa en caso que µ esta dado por la ecuación de Monod, pero si en el medio de cultivo hay sustancias inhibidoras del crecimiento ( o son formadas por microorganismos ) o el substrato limitante es el inhibidor, deberán emplearse las expresiones de µ correspondientes a las dadas en el capitulo 5. 3.1.8. Relación entre la Velocidad Dilución y Formación de Producto 

De la tercera Ec. (9) en estado estacionario se reduce a:

CONCENTRACION DE PRODUCTO EN ESTADO ESTACIONARIO (P)

DEDUCCION MATEMATICA EC. (10) (9)

(10)

O bien: (17)

P =

rP / D

rP = qp . X _ P = qp . X / D

VdP dt

-

V rP

0 = -F P F P = V rP P = V rP / F

V rP

=

-

F P

P =

rP / D

Donde P : concentración de producto en estado estacionario Dependiendo de cómo sea la cinética de formación de producto será la forma de la curva P vs D. El cultivo continuo, alternativamente puede emplearse, y de hecho se emplea, para elucidar que tipo de relación existe entre q p y µ , ya que como se mencionó en el capitulo 6 es uno de los factores a tener en cuenta para planear la estrategia de producción, como se verá mas adelante cuando se trate la producción de penicilina.

DETERMINACION DE LOS PARAMETROS DE CRECIMIENTO El cultivo continuo es sumamente útil para determinar parámetros de crecimiento tales como Ks, u m o Y’x/s. Así reordenando la ec. (11) se tiene la ec.(15)

ŝ

(11)

(15)

= KS D / (u m – D)

KS D =

ŝ . (u m – D)

KS D =

um ŝ

KS D +

ŝ

D (KS +

ŝ)

D = =

–

ŝ

D

um ŝ um ŝ ŝ

D

=

µm Ks +

ŝ

La Ecuación de Monod se puede linearizar tomando los recíprocos para obtener la expresión

µm ŝ D

µm ŝ +

=

ŝ

Ks

µm ŝ

µm D

.

=

ŝ

+

ŝ

Ks 1

Ks

1

= D

1 +

µm

ŝ

µm

ó

Y

=

a

X

+

b

Es una línea recta

Graficando 1 / D en función de 1 / ŝ, los puntos deberán ajustarse a una línea recta cuya intersección con el eje 1/D dará el valor de 1/ µm y la pendiente Ks / µm , si es que el cultivo puede ser representado por una cinética como la de Monod. Y

a=Ks/µm

1/D b= 1/µm

1/ŝ

X

Por otra parte reordenando la ec. (14) resulta ec. (19) (14)

X

=

D Y’x/s ( S1 - Ŝ) D ( S1 - Ŝ)

(19)

D Y’x/s ( S1 - Ŝ) (D + ms Y’x/s)

=

X (D + ms Y’x/s)

=

X (D + ms Y’x/s) / Y’x/s

D ( S1 - Ŝ) /

X

=

D / Y’x/s

+

ms Y’x/s / Y’x/s

D ( S1 - Ŝ) /

X

=

D / Y’x/s

+

ms

D ( S1 - Ŝ) /

X

=

1 / Y’x/s . D

Y De donde la gráfica de: 1 / Y’x/s y ms

=

a

D ( S1 - Ŝ) / X

.

X

+

ms

+

b

Es una línea recta

en función de D permitirá estimar

Obviamente en esta caso el substrato considerado es la fuente de carbono y energía

Y

A = 1 / Y’x/s

D ( S1 - Ŝ) / X B = ms

D

X

3.2. Cultivo Batch Alimentado 3.2.1. Operación: Se inicia la alimentación del cultivo cuando el substrato limitante se ha agotado. No es un requisito indispensable, pero simplifica el tratamiento matemático. 3.2.2. Objetivo: Controlar la alimentación

velocidad

de

crecimiento

mediante

la

velocidad

de

3.2.3. Consideraciones: Supondremos que alimentamos con medio fresco, es decir: X1 = 0

y

P1 = 0

Por lo que, sólo deberemos considerar la concentración de sustrato limitante del crecimiento, S1 . 3.2.4. Balance de Materia para X , S , P Según Ec.(5)

(5)

d (V Ci) dt

=

F Ci1

V ( rf i

+

rci )

-

Se tiene: CUANDO: Ci = X (20)

d XV dt

=

DEDUCCION MATEMATICA DE EC.(20)

V rX

=

µX

(5)

CUANDO: Ci = S (21)

d SV dt

=

d (VCi) dt

=

F (Ci1 )

+

Cuando: Ci = X F S1 – V r S

dVX dt

=

V (rf i - rci ) donde X = 0

F ( 0 ) + V (rX - 0 )

CUANDO: Ci = P (22)

d PV dt

=

V rP

(20)

d XV dt

=

V rX

=

µX

Si en la ec. (21) se reemplaza rS por rx / Yx/s que resulta de Yx/s = rx / rs y reemplazando V rx por su equivalencia de la ec. (20). DEDUCCION MATEMATICA DE EC.(23) (23)

d SV dt

=

F S1 – 1 / Yx/s . dXV/dt

(21)

d SV dt

=

F S1 – V rX / Yx/s

=

d SV dt

F S1 – V rS

=

F S1 – 1 / Yx/s . V rX

Pero como Ec. (20): d XV dt (23)

d SV dt

=

=

V rX

F S1 – 1 / Yx/s . dXV/dt

Si deseamos que la velocidad de crecimiento d(XV)/dt este controlada por la alimentación d(SV)/dt , esta deberá ser tal que en todo momento S ≈ 0 y por lo tanto d(SV) / dt ≈ 0 Esto equivale decir que el sustrato es consumido totalmente ni bien ingresa al birreactor Luego ec. (23) es: (23)

0

=

1 / Yx/s

F S1 – 1 / Yx/s

.

.

dXV/dt

(24)

=

dXV/dt

=

dXV/dt

F S1

Yx/s . F S1

E integrando: XV

t

∫ dXV

Yx/s . F S1

=

XoVo

(25)

XV

∫ dt

to

XV - Xo Vo

=

Yx/s . F S1 t

XV

=

Xo Vo + Yx/s . F S1 t

=

Xo Vo + Yx/s . F S1 t

Donde: Xo = Concentración de biomasa en el momento de iniciar la alimentación. Vo = Volumen del cultivo en el momento de iniciar la alimentación La variación de V con el tiempo se obtiene integrando la ec. (4): dv/dt = F V

t

∫ dv

=

F

Vo

∫ dt

to

V - Vo

=

F t

(26)

V - Vo

=

F t

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA POST GRADO MAESTRIA: BIOTECNOLOGIA Y BIOINGENIERÍA DOCENTE : MSc CARLOS E. VILLANUEVA AGUILAR Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo – Lambayeque 074-283610

[email protected]

EJERCICIO N° 1 Para un cultivo continuo se tiene los sgtes. parámetros: µm = 1 h-1 ; Y’x/s = 0.5 ; Ks = 0.05 gL-1 ; S1 = 5 gL-1 a) Calcule la velocidad de dilución crítica Dc b) Si como ocurre normalmente S1 >> Ks . Calcule Dc. c) Que criterio deberá cumplirse en el momento de seleccionar un valor D apropiado En caso contrario que ocurriría?

EJERCICIO N° 2 Aplicando la ecuación general de balance de materia determine las ecuaciones de balance de un sistema de cultivo batch o discontinuo para los componentes biomasa (X) , producto (P) y substrato (S).

EJERCICIO N° 3 Tomando como base el ejemplo 4.6. Producción de goma xantano, realice los cálculos de balance similares a los solicitados para cuando la cantidad de gas de salida recogido durante todo el proceso es de 1350 kg.

EJERCICIO N° 4 Si considera el esquema de datos para el biorreactor indicado deduzca: 1. 2. 3. 4.

La ecuación general de balance de materiales, tomando como patrón el La ecuación general de balance La ecuación de balance cuando el componente es biomasa (X) La ecuación de balance cuando el componente es substrato (S) La ecuación de balance cuando el componente es producto (P)

EJERCICIO N° 5 Deducida la ecuación de balance de materia para biomasa (Ci = X) y suponiendo las siguientes condiciones para el biorreactor:  Estado estacionario  Alimentación estéril  Velocidad de muerte despreciable Establezca la ecuación resultante para dichas condiciones